汽车与山羊___一道概率趣味题& - 跟谁学
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汽车与山羊___一道概率趣味题&
汽车与山羊___一道概率趣味题
美国有一家报纸，叫做&&行进&&（Parade）。在它的星期日增刊上，有一个专栏，叫做“请问玛丽莲”(Ask Marilyn)。在这个专栏中，常有一些有趣的问题，要广大读者作答，当然，最后权威的解答由主持人“玛丽莲小姐”给出。在日的“请问玛丽莲”专栏中，有这样一个问题:
电视节目主持人请你参加一项有奖游戏，就像我国很多电视台节目中的“请你参加”一样。主持人让你看3扇关着的门，这3扇分别编上了号码:1号门、2号门和3号门。主持人告诉你：其中一扇门后面是一辆汽车，另两扇门后面各有一头山羊，你可以从中选择一扇门，选定后，这扇门后面的东西就归你了。这可是太富有刺激性了！
你当然希望得到一辆汽车，但是此时此刻，你只能凭运气，随机地选择一扇门，除此别无他法。比方说你选择了1号门。但这时主持人﹙他知道汽车藏在哪扇门后面﹚打开了另两扇门的一扇，如果他打开了3号门，让你看到这后面是一头山羊，并对你说，现在给你一个机会，允许你改变原先的选择，请你考虑一下：是仍然选择1号门，还是改而选择2号门。这时，你该怎么办?
应该说这道题目的设计者真是诡计多端，他﹙她﹚把一道概率论方面的数学问题用通俗的方式表达出来，并用一种“节外生枝”的手法把问题弄得扑遡迷离。还是先让我们用概率论的术语把问题表达清楚：在这种情况下，是仍然选择1号门而获得汽车﹙即汽车是藏在1号门后面﹚的概率大,还是改而选择2号门获得汽车﹙即汽车是藏在2号门后面﹚的概率大?
大概玛丽莲小姐自己也没有料到,当她的“权威性”答案公布以后,在美国引起了轰动.从二年级的小学生到研究生,甚至具有博士学位的读者，纷纷写信报社，对玛丽莲小姐的答案提出了自己的看法.在这成千上万的来信中,有90%认为玛丽莲小姐的答案是错误的.据说这90%的读者中,有约1000位是博士；甚至在卷入这场讨论的美国大学教授中，也有三分之二对玛丽莲小姐的答案持反对意见。
先在让我们来看看玛丽莲小姐的答案和大多数读者的看法。
玛丽莲小姐的答案：玛丽莲小姐说,这时你应该改而选择2号门,因为本来汽车藏在1号门后面的概率1/3﹙一共有3扇门,汽车藏在其中任何一扇门后面的概率都一样,故各为1/3﹚,而藏在2号3号门后面的概率2/3。现3号门被排除了,汽车藏2号门后面的概率就增加到2/3了。
大多数读者的看法：既然现在3号门后面不是汽车,那末汽车藏在1号门后面和藏在2号门后面的概率是相等的，各为1/2，故仍选择1号门和改而选择2号门都一样，无所谓。
玛丽莲小姐振振有词,似无懈可击；大多数读者的看法理由明了，似符合直觉.问题出在哪里呢?
这是十五年前的今天引起众人注目(包括在我国)的一道概率论方面的数学问题。现在我想问的是，这道题目的关键在什么地方? 改而选择2号门获得汽车﹙即汽车是藏在2号门后面﹚的概率P为多大? 什么条件下玛丽莲小姐的结论（P=2/3）是对的? 什么条件下大多数读者的结论（P=1/2）是对的? 谈谈你的看法?

请注意原题中的话：
但这时主持人﹙他知道汽车藏在哪扇门后面﹚打开了另两扇门的一扇，如果他打开了3号门，让你看到这后面是一头山羊，并对你说，现在给你一个机会，允许你改变原先的选择，请你考虑一下：是仍然选择1号门，还是改而选择2号门。这时，你该怎么办?
﹙他知道汽车藏在哪扇门后面﹚
所以这时改选2号门是汽车的概率要大。
玛丽莲小姐是正确的：
有一个条件大家不要忽视：主持人是知道哪道门背后有汽车。
如果1号门后是汽车，主持人会随意打开2号或3号门；
如果1号门后不是汽车，主持人会选择2号或3号门后没有汽车的门打开。
所以1号门和2号门（或者3号门）的概率当然不一样。亲切器其实这是一道无趣问题。之所以变得有趣，不是因为问题本身，而是因为新闻焦点人物在这个简单的问题上犯了幼稚的错误。
虽然楼主例举了某某教授在某某杂志上的观点。但是他的观点并不应该因为他是教授、他发表在杂志上 就具有了绝对的权威性。因为问题炒得比较热，杂志选择发表冲突双方中具有代表性的观点，这很自然。
我的观点和大多数人一样，也就是最开始 是1/3，然后各位1/2。
正如前面有人提到过的，在排除了一些不可能的选择后，概率会出现重新的分布。排除了3号门，概率就在1号、2号门间重新分布，则各为1/2。在提问概率是多少的时候，总是伴随着一个时间定位点。在第三扇门打开后，概率的时间定位点就出现了变化。而玛小姐的错误的本质则在于，仍然停留在最初的时间定位点上，尽管此时已经有了新的已知信息导致了时间定位点的变化。
关于这个问题，我可以提供一种新的思路。我们可以这样假想一下：
最开始只有1号门和2号门，而没有三号门。观众选择了其中一扇门比如1号门。显然选择正确的概率是1/2。
接下来，主持人又增加了一扇门，就是第三号门，并且告诉观众这第三号门后面是山羊。这时候观众是否需要重新选择呢？这样的重新选择当然是不会改变1/2这个概率的。
另外这个节目有一点没有交代清楚。主持人和观众是否在事先就约定好 在观众做出选择后，主持人打开一扇“非”门？？？？如果事先约定好，无论观众选择是否正确，主持人都一定去会打开一扇非门，那么观众做出重新选择与否不会改变中奖概率。如果事先没有约定好，而是主持人临时根据观众已经做出的选择而决定打开一扇“非”门的话，这个问题就不是一个纯粹的数学问题了，因为里面搀杂了主持人的个人主观情绪。这种情绪如果是积极的，也就是希望观众得奖，那么观众重新选择会增加中奖概率。然而，如果这种情绪是消极的，就是主持人不希望观众中奖，那么观众重新选择，甭说中奖几率提高到2/3，就连1/2都达不到了。
楼上有人吵嚷什么多次实验证明了玛小姐是对的。我们不要相信。只能说明他的实验做得有问题。如果做，这个实验要这样做：无论首次选择是否正确，出题人都必须打开一扇“非”门。在这样的做法下，几率一定是1：1。如果只是在发现答题人的首次选择是错误的时候 才去打开一扇 “非”门，那几率当然不是1：1了。
当你选择了一门时，主持人说三门是一头山羊就说明你选择的是错的，主持人说三门是一头山羊的意思是原来这三个选项每个占1/3，当主持人说三门是一头山羊就说明把第三选项的1/3加到第二选项上了。所以二选项就占了2/3。我是山羊我怕谁！！
我一直都选择2号门。赞同zhh2360的说法，就是说的复杂了一些。这位玛丽莲小姐是没有学过概率的，上面有几位也与她一样，只要学习过概率论（不需要学得多么好），稍有概率知识的人是绝不会得到她那样的荒谬结论的。当然与不懂概率的人说概率与对牛弹琴没有多少区别，可能是吃力不讨好的事情，不过我还是说几句，给懂概率的人听。
1、概率都是在结果出来之前说的，结果一旦出现，就无所谓概率不概率了，概率的大小也没有什么意义了，因为事情要么发生，要么没有发生，都是确定的了。
2、概率与在什么时候说也有非常大的关系。例如本问题，在一开始时，汽车在1，2，3号门后面的概率都是1/3，这一点似乎大家没有争论；关键是当3号门被打开以后，有人认为（包括玛丽莲小姐）汽车在1号门后面的概率仍然是1/3，这样汽车在2号门后面的概率就是2/3了——错了！
当3号门被打开以后我们再来说概率，汽车在1，2号门后面的概率仍然是相等的，各是1/2，因此换不换是一样的，得到汽车的机会是一样的，这一结论是可以用数学式子严格推导的。
设想，如果我们把2号门也打开，后面仍然是羊，那么汽车在1号门后面的概率就是1了，所以认为汽车在1号门后面的概率永远是不变的1/3是错误的。问题出在：无条件的3个基础事件为：
（汽车，山羊，山羊），（山羊，汽车，山羊），（山羊，山羊，汽车）。
而有条件时，只有2个基础事件为：
（汽车，山羊，山羊），（山羊，汽车，山羊）。
所以概率=1/2
玛丽莲小姐的错误是将有条件时的2个基础事件定为：
（汽车，山羊，山羊），{（山羊，汽车，山羊），（山羊，山羊，汽车）}。
明显错误。
除非玛丽莲小姐做某些暗示，则问题将不是条件概率了。
当然也可能不是概率问题。
即使有条件为：主持人必须在1,2，3号门选择一头山羊，且选择3号门。
则原有6个基础事件为：
（汽车，山羊（选），山羊），（汽车，山羊，山羊（选）），
（山羊，汽车，山羊（选）），（山羊，山羊（选），汽车），
（山羊（选），汽车，山羊），（山羊（选），山羊，汽车）。
而有条件时，只有2个基础事件为：
（汽车，山羊，山羊（选）），
（山羊，汽车，山羊（选））。
所以概率依然=1/2。
状况一(主持人知道那扇门后有汽车)：此时玛丽莲小姐正确
　　由下表可知，二只山羊和一辆汽车的排法共有三种，即情节１、２、３等三种情形，故每种情节发生的机率为1/3。假设观众选定的是１号门的话，则有1/3的机率得到汽车，2/3的机率得到山羊；当情节１发生时，知道内情的主持人任意从２、３号门择一打开，所以情节１分为１a、1b情况；不论其打开那扇门，门后皆是山羊，此时观众若要求换，得到的是山羊，此机率为1/3。但是当情节２、３发生时，知道内情的主持人选择打开没有汽车的那一扇门，后面一定是只可爱的山羊，此时观众要求换便得到汽车的。情节２、３发生的机率为 。
　　所以，若主持人事先知道汽车在那一扇门后，则此时原选定的那一扇门之后有汽车之机率仍为1/3，另一扇门后有汽车的机率则为2/3，所以换是较好的抉择。
主持人展示此门后羊
发生概率
状况二(主持人不知道那扇门后有汽车)：此时大多数读者的结论（P=1/2）
　　假设观众选定的是１号门，主持人则自２号、３号门任挑一扇门打开。如图每一情节发生的机率皆为1/6。
因主持人事先不知道汽车在那一扇门后，有可能打开一扇门后有汽车(情节3及6)，此时游戏结束。在打开的那扇门后是山羊的情节中，有两种情节(1及2)另一扇门后亦为山羊，有两种情节(4及5)另一扇门后为汽车。所以换或不换，会得到汽车的可能性皆相同。
主持人展示此门后羊
发生概率
1/6 game over
1/6 game over
1.参加者从三个门中选一个，正确率P=1/3
2.主持人打开一个门分两种情况：1.两个都是山羊，概率1/3；2.一个为羊一个车
概率2/3
3.很明显，一个为羊一个为车的概率大。这是有一个被证实不是了，当然另一扇门比参加者选的那扇概率大。因为参加者是随机选的，而主持人不是随即选的。所以打开的门的概率才可以加在另一扇上，就是比如的2号门这是个傻子骗傻子的问题，有点类似于我们的脑筋急转弯：
如果主持人肯定知道哪个后面有汽车并且肯定打开没汽车的那扇门，你换后赢的概率是2/3，坚持A则赢的概率没变还是1/3。
但是如果主持人不肯定知道哪个后面有汽车并且随机打开一扇门并且碰巧没汽车，你换后赢的概率就是1/2，坚持A则赢的概率将提升到1/2。
坐沙发的洋洋洒洒，其实根本没搞清楚，正如楼上所说：如果概率重新分布了，你开多少扇门都是一样的，所以关键的问题是概率有没有重新分布：这就看玛丽莲小姐是不是知道哪扇门后面有车并且保证打开没车的大门了-如果是，该率就不重新分布，如果不是，该率就会重新分布！eerttttttttttt我认为应该是2分之1，因为概率是 建立在未知的情况上的，而3肯定不是了，那么此时的分析自然改变了，就象抽签，先抽者既然没抽到，那么后两者的概率是一致的
大家都从不同的角度看这个问题。试想一下，不找开一门，的机率各是1/3，而找开后，另外的两门都有可能性，而且都是平等的。这是从主观和客观两方面来考虑的。要是硬要从客观上，或是说钻牛角尖的话，那主持人就是对的。就像兔龟的再次赛跑一样，从数学的角度也就是极限上来说，在后的兔子永远也追不上乌龟的。但事实上，在我们眼睛里，它会追上，并超过乌龟的。两个问题在这方面还有一定的联系的。!@#$%^&*(){}:"?&
我认为，按照最初的3扇门各1/3的概率来看，在打开3号门且不调整概率的分布时，2号门的概率就上升为2/3，这是对的。
但是通常，人们都在排除了一些不可能的项后，会对概率进行重新分布。排除了3号门，概率就在1号、2号门间重新分布，则各为1/2。
这样，即使有10000扇门，在排除了9998扇后，经过概率的重新分布，还是在剩下的两扇门间各占1/2。这是历史问题了，但并非历史遗留问题，早就有答案了。这是个概率论问题。玛丽莲小姐的说法是正确的。选择换的策略是最大概率赢取汽车的策略，但不保证赢。赌徒喜欢冒险去赌小概率事件，但理智的人会更理智。
可以用多次实验的方法证明换的策略是正确的，所以答案是铁的。
有一个简单的方法可以帮助思维，就是放大法。试想有10扇门让你选，你选好后我给你打开8扇门，只留两扇，你换不换？还想不通？接着设想1000000扇门，你选好后我给你打开999998扇门，只留两扇，你换不换？换则几乎百分百拿到汽车。这是放大思维或称极限思维，说明换的策略是对的。
有人认为该题要引入主持人的心理倾向问题，于是当有多种答案，这是无意义的。和这道题的性质一样，如果有更多的信息来到，作为预测的结果的概率当然会变，问题在于这里没有。关于这道题的信息是确定的，仅仅是主持人多打开一扇门（不管你选什么，他都能做到，主持人的心理倾向不能产生影响），并不是重新放置汽车和羊。概率因信息量而改变，但不是概率重新分布。
概率问题我最喜欢。未曾发生的事件可能有多种结果，预测之就产生了概率。所能预测正确的概率取决于所得到的信息。例如我们现在预测三天后的天气，是不会比预测一天后的天气更准确的(从统计上讲，概率的)。当然有了更多的信息还必须能正确处理，出错的话可能犯更大的错误。
又及：9月9日20时30分
诸位诸位：为什么不去做一下实验？我做过。如果做1000次实验，理论上应该有大约667次可以验证换的策略可以赢取汽车，也就是2/3，实验结果正是如此。那么即使只有一次，我们也应该换才对，这就是尊重概率。赌徒的心态才是明知1/3的概率而不换。
为什么没人评价我说得放大思维法？试想有10扇门让你选，你选好后我给你打开8扇门，只留两扇，你换不换？还想不通？接着设想1000000扇门，你选好后我给你打开999998扇门，只留两扇，你换不换？换则几乎百分百拿到汽车。这是放大思维或称极限思维，说明换的策略是对的。
该题的的妙处还在于，不管你选什么（选中汽车或没选中），主持人总能打开一扇羊的门，主持人肯定不会打开你已选中的门。这一事实说明主持人的心理倾向或她知不知到答案无关重要，本题必有确定答案。那些分情况展开讨论的朋友我问一句，您是换还是不换？必须二选一，我才好开奖嘛。
确实有些大腕数学家评论过该题，但他们不一定对。要讲真理。其实我早就关注过此问题，这是到出了名的智力题。我曾在网上检索过，的确没人能统一众人的思维。第一，统计实验的结果是公认的。第二，放大思维法是我提出的，大家认真试试。第三，大家对这道题的理解不完全一致，我认为既然该题没说主持人总是爱捉弄人或怎么样，那么就不要考虑这方面的信息。最后说一句，我大学里学过概率论，成绩一般，但我喜欢概率问题。我的关于随机数列特征的提问其实就是概率问题引发的。大家正好关注一下。相关问题大家都在看最新提问
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今天在逛CU的时候，发现了一个很有意思的，这个帖子的楼主问了一个问题：有个函数foo，返回0的概率是60%，返回1的概率是40%，让你自己写一个函数，使返回0和1的概率是50%，用前面说的foo函数实现，不能用像c++里面的rand这类的函数，怎么解？有个人说的方法很不错：因为生成0-1的概率和生成1-0的概率是一样的(不算1-1,0-0)，那么把0-1->1，1-0->0，这样就能使生成0和1的概率都为50%。但后来有人说这个算法不收敛，我也不知道为什么不收敛，反正上课闲的无聊，就想了另一个方法：既然foo函数生成0的概率为60%，生成1的概率为40%，那么我先来生成N个随机数，用a[N]保存，此时数组a中0占60%，1占40%(N足够大)，然后我把60%中的10%由0变成1，这样0和1就各占50%。我也不知道这个方法到底对不对，若有哪个大牛发现其中有不对的地方，请指教。
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给主人留下些什么吧！~~
概率论里面有一个相反的场景，比如网球选手A和B，A得分的概率是51，B得分的概率是49，如何设计比赛规则，使A赢的概率是90%。或者分析现有的规则
我觉得你的方法可行。
请登录后评论。设常数a与b为随机变量X的一切可能取值中的最小值和最大值，EX，DX分别为X的数学相关问答：123456789101112131415期望与方差。证明：（1）a<=EX<=b ；（2）DX<=[(b-a)/2]^2 。
(1). 显然.
(2). DX = E(X-EX)^2
=E[ (X-(a+b)/2 + (a+b)/2-EX)^2]
=E[ (X-(a+b)/2)^2 + ((a+b)/2-EX)^2 + 2 (X-(a+b)/2)((a+b)/2-EX)]
=E[ (X-(a+b)/2)^2] + ((a+b)/2-EX)^2 + 2 E[(X-(a+b)/2)]((a+b)/2-EX)
=E[ (X-(a+b)/2)^2] - ((a+b)/2-EX)^2
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请遵守网上公德，勿发布广告信息
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匿名回答于
没有问题的，求解过程　就是这样子的．．．．．．．．．．
Pz(z) 是对Pxz（x,z）的边界分布，对x积分没问题的，
Pxz（x,z）=Pz|x(z|x)Px(x) 是条件概率的公式也没问题；
Z = X/(K+Y); Y =(X/Z-k);
Pz|x(z|x) = Py(X/Z-k)也是没有问题的；
所以这个结果是对的。