工程测量学思考题
测量误差基本知识
5-1 观测误差概述
1、何谓系统误差？
2、引起测量误差的主要原因有哪些？测量误差按其性质不同可分为什么误差？
3、偶然误差和系统误差有什么不同?偶然误差具有哪些特性? 偶然误差能否消除?
4、怎样区分测量工作中的误差和错误？
5、为什么观测结果中一定存在误差?误差如何分类?
6、系统误差有何特点?它对测量结果会产生什么影响?
7、容许误差是如何定义的?它有什么作用?
8、测量工作对精度的要求（&&&&&&）
5-2 衡量观测值精度的标准
9、何谓中误差、相对误差、极限误差和容许误差？
10、用检定过的钢尺多次丈量长度为29.9940m的标准距离，结果为29.990、29.995、29.991、29.998、29.996、29.994、29.993、29.995、29.999、29.991，试求一次丈量的中误差。
11、测量距离A、B和C、D。往测结果分别为258.598m和138.745m，返测结果分别为258.547m和138.778m。分别计算往返较差、相对误差，并比较精度。
12、对某段距离进行了6次同精度测量，观测值分别为346.535m、346.548m、346.520m、346.546m、346.550m、346.573m。计算该距离的最或然值、观测值的中误差和最或然值的中误差。
13、测得一正方形的边长a=86.25m+0.04m。试求正方形的面积及其相对误差。
14、在1：25000地形图上量得一圆形地物的直径为d=31.3mm±0.3mm。试求该地物占地面积及其中误差。
15、一个三角形，测得边长，测得∠A=64°24′±1′，∠B=35°10′±2′。计算边长b和c及其中误差、相对中误差。
16、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为_______。
17、真误差，中误差和容许误差都是带有测量单位的数值，统称&&&&&&&&&&&&&&&&&
；而相对误差是中误差的&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
与&&&&&&&&&&&&&&&&&&
的比值，它是一个无名数，通常以分子为1的分数式来表示。
18、对某一三角形的各内角进行观测，其内角和的观测值分别为，则其观测值中误差为（&&& ）。
19、丈量一正方形的4个边长，其观测中误差均为±2cm，则该正方形的边长中误差为±(&&&&&
A.0.5&&&&&&&&&&
B.2&&&&&&&&&&&&&&
C.4&&&&&&&&&&&& D.8
20、对四个三角形的全部内角进行观测，其观测值（内角和）分别为：180°00′18″、180°00′12、179°59′48″、179°59′42″，则其观测值中误差为（&&&&& ）。
A、±00″&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
B、±15.3″
C、±5.5″&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
D、±9.5″
5-3 误差传播定律
21、何谓误差传播定律?试述应用它求函数值中误差的步骤。
22、用钢尺丈量两段距离，其成果为：&&&
D1=150．56m±0．03m
D2=234．45m±0．03m
求：(1)每段距离的相对中误差；(2)两段距离之和(D1+D2)与两段距离之差(Dl-D2)的
相对中误差。
23、某段距离同精度观测了六测回，观测值分别为∶346.535，346.548，346.520，346.546，346.550和346.573(m)。求其算术平均值及其相对中误差。
24、坡上测距，测的斜距为m，中误差为±5mm；测的该边倾斜角为5°30&30²，中误差为±30²，求水平距离及其中误差。
25、设有n个内角的闭合导线，等精度观测各内角，测角中误差，m=±9″。试求闭合导线角度闭合差的容许误差。
26、在A、B两点之间安置水准仪测量高差，要求高差中误差不大于3mm。试问在水准尺上读数的中误差为多少?
27、用经纬仪观测水平角，测角中误差为±9″。欲使角度结果的精度达到±5″，问需要观测几个测回?
28、在水准测量中，设一个测站的高差中误差为±3mm，1公里线路有9站。求1公里线路高差的中误差和K公里线路高差的中误差。
5-4 等精度直接观测平差
29、何谓等精度观测?对某角度等精度观测6测回，观测值分别为82°19′18″，82°19′24″，82°19′30″，82°19′12″，82°19′12″，82°19′30″，求该角度的算术平均值及其中误差。
30、完成下表计算。
31、对一段距离测量了6次，观测结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、246.537m。试计算距离的最或是值、最或是值的中误差和相对中误差、测量一次的中误差。
16、用DJ6型经纬仪观测某水平角4测回，观测值为248°32′18″、248°31′54″、248°31′42″、248°32′06″。试求一测回观测值的中误差、该角最或是值及其中误差。
32、用DJ3型光学经纬仪测量某水平角4个测回，各测回的观测值分别为248°32′18″，248°31′54″，248°31′42″，248°32′06″，试求观测值的中误差，算术平均值中误差。
33、完成表中的计算。
计&&&&& 算
5-5 不等精度直接观测平差
34、何谓不等精度观测?权的定义和作用是什么?
35、用一台经纬仪以不同的测回数观测某角，观测值为=23°13′36″(4测回)，=23°13′30″(6测回)，23°13′26”(8测回)。试求单位权中误差、加权平均值及其中误差、一测回观测值的中误差。
36、从A、B、C、D四个已知高程点分别向待定点E进行水准测量，得到观测高程分别为1107．240m(4站)、站)、站)、站)。试求单位权中误差、E点高程的最或是值及其中误差、一测站高差观测值的中误差。您所在位置： &
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第1讲测量误差及其分类,衡量精度的标准,算术平均值及其中误差.doc 4页
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第1讲测量误差及其分类,衡量精度的标准,算术平均值及其中误差
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浙江广厦建设职业技术学院
学期
所属分院 建工学院课程名称 建筑工程测量授课教师
教研室主任
教案序号授课班级授课时间课题：第五章
测量误差基本知识
第一讲
测量误差及其分类、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差
课型：讲授
教学目的与要求：　
1．了解测量误差产生的原因；
2．理解衡量精度的标准；系统误差与偶然误差的特性。　　　
3．掌握系统误差与偶然误差的概念；中误差、容许误差、相对中误差、算术平均值中误差的计算公式。
教学重点、难点：　　
重点：衡量精度的标准；系统误差与偶然误差的特性；系统误差与偶然误差的概念；中误差、容许误差、相对中误差、算术平均值中误差的计算公式。
难点：系统误差与偶然误差的特性；算术平均值中误差的计算公式。
采用教具、挂图：多媒体课件
复习、提问：　　
粗差是不是误差？
系统误差与偶然误差的特性？
系统误差与偶然误差消除或减弱的方法有何区别？
距离测量用什么来衡量其精度的标准？
观测值的中误差与算术平均值的中误差是否一样？
课堂小结：　　　
本次课主要学习了测量误差及其分类、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差，应使学生重点掌握衡量精度的标准；系统误差与偶然误差的特性；系统误差与偶然误差的概念；中误差、容许误差、相对中误差、算术平均值中误差的计算公式。
作业：2、3、5、6
课后分析：　　
复习(5min):
1．方位角、象限角的概念？
2．标准方向的种类有哪三种？
3．方位角、象限角有何应用？
第五章
测量误差基本知识
第一讲
测量误差及其分类、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差
测量误差及其分类(40min)
误差就是某未知量的观测值与其真值（理论值）之差。
一、测量误差产生的原因
所有测量工作都是观测者使用测量仪器和工具，在一定的外界条件下进行的，因此测量误差产生的原因主要有以下几方面。
1．观测者
2．测量仪器和工具
3．外界条件的影响
人、仪器和外界条件是引起测量误差的主要因素，通常把这三个方面综合起来称为观测条件。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；
观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。
在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。粗差在观测结果中是不允许存在的。
二、测量误差的分类
测量误差按照对观测结果影响的性质不同，可分为系统误差和偶然误差两大类。
（一）系统误差
在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它具有一定的规律性，一般可采用以下方法消除或减弱其影响。
(1)用计算的方法加以改正。
(2)检校仪器。
(3)采用合理的观测方法，可使误差自行消除或减弱。
（二）偶然误差
1、偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都没有表现
出一致的倾向，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为偶然误差(或随机误差）。
在观测中，系统误差和偶然误差往往是同时产生的。当系统误差设法消除或减弱后，决定观测精度的关键是偶然误差。
2、偶然误差的特性
（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；
（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；
（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数n的无限增大而趋于零，即
　　　　　　　　　　　
　　
式[△]——偶然误差的代数和，[△]＝△1+△2+……+△n.
衡量精度的标准(15min)
精度，就是观测成果的精确程度。为了衡量观测成果的精度，必须建立衡量的标准，在测量工作中通常用中误差、容许误差和相对误差作为衡量精度的标准。
一、中误差
设在相同的观测条件下，对某量（其真值为X）进行n次重复观测，其观测值为l1，l2、…，ln，由式6－1可得相应的真误差为Δ1，Δ2，…，Δn。为了防止正负误差互相抵消和避免明显地反映个别较大误差的影响，取各真误差平方和的平均值的平方根，作为该组各观测值的中误差(或称为均方误差)，以m表示：
m=±
——真误差的平方和，＝△12+△22+……+△n2
【例】
二、容许误差
在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为容许误差，也称极限误差。在现行规范中，为了严格要求，确保测量成果质量，常以两倍中误差作为偶然误差的容许误差或限差。
在测量工作中，通常以三倍中误差作为偶然误差的容许误差，即：
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设在相同的条件下对未知量观测了n次，观测值为L1，L2，…，Ln，由于误差的存在导致每次结果不会完全相同。因此，我们下面就讨论如何根据这n个观测值确定
&&& 设在相同的条件下对未知量观测了n次，观测值为L1，L2，&，Ln，由于误差的存在导致每次结果不会完全相同。因此，我们下面就讨论如何根据这n个观测值确定出该未知量的最或然值。
&&& 1算术平均值
&&& 设未知量的真值为X，则有真误差：
&& &△1=L1 -X
&&& △2=L2 -X
&&&& △n=Ln -X
&&& 将上面各式相加△1 +△2+&+△n =（L1 + L2 + .....+ Ln）- n X
&&& 或者写为&&& [△]=[L] - n X
&&& 于是有：&&& &&&&&&&&&&( 8-27)
&&& 由式(8-27)可知，当n&&时，根据偶然误差的第四个性质有，于是观测值的算术平均值（x）为：
&& &&&&&&&(8-28)
&&& 式(8-28)表明，对一个量进行等精度观测n次，当n&& 时，一个量的观测值的算术平均值就是该量的最可靠值。但在实际工作中，观测次数总是有限的，平均值x只能接近真值X，并随着观测次数的增加而渐渐趋近。因此，不管观测次数多少，算术平均值x作为未知量的最或然值（或称最可靠值）会比任何观测值都接近真值。
&&& 2算术平均值的中误差
&&& 根据算术平均值的计算公式(8-28)可知：
&&& &&&( 8-29)
&&& 由于是等精度观测，各观测值的中误差均为m，n为常数，若以m。表示平均值的中误差，则按线性函数中误差计算公式( 8-22)，有：
&& &&&&&&&&&&&&&&&(8-30)
&&& 也就是说，算术平均值的中误差是观测值中误差的倍。那么是不是观测次数越多
越好呢？这就要进行分析了。
&&& 设观测值的精度m=l。当n取不同的值时对应的算术平均值的中误差m。如表8-2
表8&2 &n取不同值时对应的算术平均值的中误差
&&& 由表8-2可以看出，随着n的增大，m x 值不断减少，即戈的精度不断提高。但是，当观测次数增加到某一定的数目以后，再增加观测次数，精度就提高得很少。例如，当观测次
数由5次增加到20次时，精度增加了一倍。而观测次数由20次增加到100次，精度也只能增加一倍。由此可见，要提高最或然值的精度，单靠增加观测次数是不经济的，也是没有必要的。
&&& 3用改正数计算等精度观测值的误差我们已知，若被观测量的真值已知，就能求出观测值的真误差，从而按照&&& 求得观测值的中误差。但许多未知量的真值往往是不知道的，真误差也就无法求出。因此，无法直接按上式计算中误差。实际工作中往往是按如下公式计算观测值的中误差的。
对某一量进行了一组等精度观测，虽然不知道真值，但可以按式(8-28)求出其最或然值x，然后根据观测值求出它的改正数v：
Vi = x- Li&&& （i=1，2，&，n） &&&&&(8-31)
&&& 从而可以利用改正数v来评定观测值的精度。下面推导其计算公式。
将式(8-31)与式(8-1)相减，得
-&Di = Vi + (X-x)&&& (i=1,2，&，n)
上式两边平方并求和，得
[△△]=[vv]+2[v]（X-x）+n（X-x)2
&&& 等式两边除以n，并考虑[v]=0，则有
&&&& &&&(8-32)
&&& 式中：
根据偶然误差的特性，当n&&时，上式等号右边的第二项趋近于零，故
代入式( 8-32)，得：
根据中误差的定义，于是
&&& &&&&&&&&(8-33)
【例8-9】用经纬仪对某角等精度观测了6个测回，其观测值列于表8-3，试求该角的最或然值和观测值的中误差。
表8-3观测值
观测(&&&P)
1.136&10&26&P
2.2.6&P&&&
（责任编辑: 佚名 ）
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