已知数轴上有ab两点点c属于ab.且ab:cb=2:3，求作点C的两面投影

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点、直线、平面的投影 第三章 点、直线、平面的投影,点在三面投影体系中投影图的作图方法和识读方法，判断两点的相对位置；?各种位置直线的投影规律、作图方法以及识读各种位置直线的投影图；?各种位置平面的投影规律、作图方法和投影图的识读方法；?平面上的直线和点的作图方法和判断方法。,本章提要,本 章 内 容,第一节 点的投影第二节 直线的投影第三节 平面的投影,点的投影,一、 点的三面投影,图3.1 点的三面投影,二、点的投影规律： （1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于?OX轴；? （2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴；? （3）点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ?轴的距离。? （4）点到某投影面的距离等于其在另两个投影面上的投影到相应投影轴的距离。,[例3.1]如图3.2（a），已知点A的水平投影a和正面投影a′，作出它的侧面投影a″。,图3.2 已知点的两面投影作第三投影,如果把三面投影体系看作直角坐标系，则H投影面、V投影面、W投影面称为坐标面，投影轴OX、OY、OZ称为直角坐标轴。,三、 点的坐标,图3.4 点的坐标,如果点位于投影面上、投影轴上或原点，称其为特殊位置的点。如图3.3所示，点A是水平投影面上的点，点B是侧立投影面上的点，点C是正立投影面上的点，点D为OZ轴上的点，点E是OX轴上的点。,图3.3 特殊位置的点,从上面可以得出各种位置点的投影特性：? （1）一般位置的点的三面投影分别在三个投影面上。? （2）投影面上的点，一个投影在投影面上，另两个投影在相应的投影轴上。? （3）投影轴上的点，一个投影在原点，另两个投影在同一投影轴上。? （4）原点的三面投影都在原点。?,空间两点间有左右、前后和上下的位置关系，这种位置关系可在其三面投影图中反映。如图3.5所示。 同样也可以用坐标值判断两点的相对位置，坐标值大的点在左、前、上方，坐标值小的点在右、后、下方。如图3.5所示。 当空间两点处于某一投影面的同一投影线上，则它们在该投影面上的投影必然重合，这两个点称为重影点，其中位于左、前、上方的点为可见点，位于右、后、下方的点被遮挡，为不可见点，如图3.6所示。,四、 两点的相对位置,图3.5 两点的相对位置,图3.6 重影点的投影,直线的投影,直线的投影也可以由直线上两点的投影确定。求直线的投影，只要作出直线上两个点的投影，再将同一投影面上两点的投影连起来，即是直线的投影。? 直线按其与投影面的相对位置不同，可以分为特殊位置的直线和一般位置的直线，特殊位置的直线又分为投影面平行线和投影面垂直线。,与三投影面都倾斜的直线称为一般位置的直线。一般位置直线的投影如图3.7所示。,各种位置直线的投影,一般位置直线,图3.7 一般位置直线的投影,一般位置直线的投影特点：? （1）一般位置直线的三个投影均倾斜于投影轴，但与投影轴的夹角不反映直线与投影面的倾角。? （2）一般位置直线的三个投影均不反映实长。?,平行于一个投影面而倾斜于另两个投影面的直线称为投影面平行线。 投影面平行线又可分为：? （1）水平线——平行于水平投影面而倾斜于正立投影面和侧立投影面的直线；? （2）正平线——平行于正立投影面而倾斜于水平投影面和侧立投影面的直线；? （3）侧平线——平行于侧立投影面而倾斜于水平投影面和正立投影面的直线。? 投影面平行线在三面投影体系中的投影如表3.1所示。,投影面平行线,投影面平行线的投影特性：? （1）投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映实长，与投影轴的夹角反映直线与另两个投影面的倾角。? （2）另两个投影分别平行于相应的投影轴，但不反映实长。,表3.1 投影面平行线,垂直于一个投影面而平行于另两个投影面的直线称为投影面垂直线。投影面垂直线也可分为：? （1）铅垂线——垂直于水平投影面而平行于正立投影面和侧立投影面的直线；? （2）正垂线——垂直于正立投影面而平行于水平投影面和侧立投影面的直线；? （3）侧垂线——垂直于侧立投影面而平行于水平投影面和正立投影面的直线。? 投影面垂直线在三面投影体系中的投影如表3.2所示。?,投影面垂直线,投影面垂直线的投影特性：? （1）投影面垂直线在垂直的投影面上的投影积聚成为一个点；? （2）在另外两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，并反映实长。? 分析这三种位置的直线可以看出：一般位置的直线，三面投影都倾斜于投影轴，而投影面平行线只有一个投影倾斜于投影轴，投影面垂直线没有倾斜于投影轴的投影。,[例3.2]已知正垂线AB长20mm，点A的坐标是（15，0，20），求作直线AB的三面投影。,图3.8 作正垂线的三面投影,表3.2 投影面垂直线,直线的投影是直线上所有点投影的集合，如图3.9所示。 对于一般位置直线，判别点是否在直线上，可由它们的任意两个投影决定，如图3.10(a)所示。 对于投影面平行线，判断点是否在直线上，还应根据直线在所平行的投影面上的投影，判别点是否在直线上。如图3.10（b）所示。,直线上的点,直线上点的投影,图3.9 直线上点的投影,图3.10 判别点是否在直线上,直线上一点把直线分成两段，这两段线段的长度之比等于它们相应的投影之比，这种比例关系称为定比关系。 如图3.11所示。,直线上点的定比性,图3.11 直线上点分割线段成定比,[例3.3]如图3.12，已知直线?AB的投影ab和a′b′，直线上有一点C，且AC∶CB＝3∶2，求点C的投影。,图3.12 求直线AB上分点C的投影,平面的投影,（1）不在一直线上的三个点，如图3.13（a）中的A、B、C；? （2）直线和直线外一点，如图3.13（b）中点B和直线AC；? （3）相交两直线，如图3.13（c）中AB和AC；? （4）平行两直线，如图3.13（d）中AC和BD；? （5）平面图形，如图3.13（e）中△ABC。?,平面的表示法,图3.13 几何元素表示平面,与投影面都倾斜的平面称为一般位置的平面。一般位置的平面在三个投影面上的投影都不反映实形，也不积聚成直线，均是平面的类似形。如图3.14所示。,各种位置平面的投影,一般位置平面,图3.14 一般位置的平面,平行于一个投影面而垂直于另两个投影面的平面，称为投影面平行面。投影面平行面可分为：? （1）水平面——平行于水平投影面而垂直于正立投影面和侧立投影面的平面；? （2）正平面——平行于正立投影面而垂直于水平投影面和侧立投影面的平面；? （3）侧平面——平行于侧立投影面而垂直于水平投影面和正立投影面的平面。? 投影面平行面在三面投影体系中的投影如表3.3所示。?,投影面平行面,表3.3 投影面平行面,投影面平行面的投影特性：? （1）投影面平行面在平行的投影面上的投影反映实形；? （2）在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。,垂直于一个投影面而倾斜于另两个投影面的平面，称为投影面垂直面。投影面垂直面可分为：? （1）铅垂面——垂直于水平投影面而倾斜于正立投影面和侧立投影面的平面；? （2）正垂面——垂直于正立投影面而倾斜于水平投影面和侧立投影面的平面；? （3）侧垂面——垂直于侧立投影面而倾斜于水平投影面和正立投影面的平面。? 投影面垂直面在三面投影体系中的投影如表3.4所示。?,投影面垂直面,表3.4 投影面垂直面,投影面垂直面的投影特性：? （1）投影面垂直面在与其垂直的投影面上的投影积聚成一条倾斜于投影轴的直线，该直线与投影轴的夹角反映该平面与另两个投影面的倾角。? （2）在另外两个投影面上的投影是平面的类似形。?,[例3.4]试判别图3.15中立体表面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的空间位置。,图3.15 立体表面上平面的空间位置,直线在平面上的判定条件是，如果一直线通过平面上的两个点，或通过平面上的一个点，但平行于平面上的一直线，则直线在平面上。如图3.16。,平面上的直线和点,平面上的直线,图3.16 平面上的直线,[例3.5]已知△ABC如图3.17所示，在该三角形上作一正平线DE，使其距V面的距离等于15mm。,图3.17 在△ABC上作正平线,点在平面上的判定条件是，如果点在平面内的一条直线上，则点在平面上。如图3.18所示。,平面上的点,图3.18 平面上的点,[例3.6]如图3.19，已知△ABC上点D的正面投影d′，求点D的水平投影d。,图3.19 已知平面上点的一个投影，作另一投影,
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