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线性代数 习题答案 证明题【最新】
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3秒自动关闭窗口导读：证明：设A的行向量组为?1,?2,?,?m（I），?向量组（I）可以由（II）线性表示，10、评分细则：令A的行向量组?1,?2,?,?m(I),C的行向量组为?1,?，4、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：8，7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系8、试题内容：，设非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵的秩为r，证明：?,?1,?2,?,?n?r线性无关.9、答案内容：，证明6、所需时间：10分钟 7、试题关键字：向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解 8、试题内容：
设A是m?n矩阵，D是m?n矩阵，B为m?m矩阵，求证：若B可逆且BA的行向量的转置都是Dx?0的解，则A的每个行向量的转置也都是该方程组的解. 9、答案内容： 证明：设A的行向量组为?1,?2,?,?m（I） 设B的行向量组为?1,?2,?,?m（II） 则向量组（I）与（II）均为n维向量组 BA?C,B可逆?A?BC ?1令B?1?k11?k21??????km1k12k22?km2????k1m??k2m?，则有 ???kmm??????km2?????????kmm???mkm1 ??1??2
??????m??k11??k???21???????km1kk?km21222?????1?? 2???
?向量组（I）可以由（II）线性表示 ?向量组（II）是Dx?0的解
?向量组（I）也是Dx?0的解 10、评分细则：令A的行向量组?1,?2,?,?m(I),C的行向量组为?1,?2,?,?m(II)(1分);BA?C?A?BC(2分);
??1??2?推得?????m??k11??k???21???????km1k12k22?km2????k1m???1??k2m???2??????kmm???m??k11??k?,B?1??21???????km1k12k22?km2????k1m??k2m?(2分) ???km2??1所以(I)可以由(II)线性表示(2分);由(II)是Dx?0的解推出(I)也是Dx?0的解(1分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：336 2、题型：证明题
11 3、难度级别：2 4、知识点：第四章
向量组的线性相关性 5、分值：8 6、所需时间：6分钟 7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系 8、试题内容：
设非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵的秩为r，?1,?2,?,?n?r是其导出组的一个基础解系，?是Ax?b的一个解，证明：?,?1,?2,?,?n?r线性无关. 9、答案内容： 证明：假设?,?1,?2,?,?n?r线性相关， ??1,?2,?,?n?r是Ax?0的基础解系， ??1,?2,?,?n?r是线性无关的. 由以上可得?可以由?1,?2,?,?n?r线性表示. 则?是Ax?0的解,与?是Ax?b的解矛盾. ?假设不成立,即?,?1,?2,?,?n?r线性无关. 10、评分细则：假设?,?1,?2,??n?r线性相关,由题设推得?可以由?1,?2,??r?1线性表示(3分);所以?是Ax?0的解与?是Ax?b的解矛盾(3分);所以?,?1,?2,??n?r线性无关(2分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：337 2、题型：证明题 3、难度级别：3 4、知识点：第五章
相似矩阵及二次型 5、分值：8 6、所需时间：8分钟 7、试题关键字：正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵 8、试题内容：
设A*为A的伴随矩阵，若A为正定的，试证A*及A?1均为正定的. 9、答案内容： 证明： ∵A为正定矩阵， ∴A的特征值全为正数。 设A的特征值为?，则有
12 Ax??x,x?0?AAx??Ax??A的特征值?1?1?11?x?Ax.?11??0,则A为正定矩阵.**-1同理:Ax=?x,x?0?AAx??Ax?A正定?A?0,?AEx??Ax?Ax??A的特征值*** A?*x.A??0,则A为正定矩阵.10、评分细则：设A的特征值为?,由题设推得??0(2分);由A的特征值为?推得A?1的特征值为A1?(1分),则有1??0?A?1为正定矩阵(2分);A正定?A?0(1分)?A*的 特征值??0?A为正定矩阵(2分). *----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：338 2、题型：证明题 3、难度级别：3 4、知识点：第五章
相似矩阵及二次型 5、分值：8 6、所需时间：8分钟 7、试题关键字：正定矩阵 8、试题内容：
若A为实对称矩阵，证明：当t充分大时，tE?A为正定矩阵. 9、答案内容：证明：
?A为实对称矩阵.?A?A.则有(tE?A)?tE?A?tE?A.?tE?A也为实对称矩阵.设A的特征值为?1,?2,??n,最小值记为TTT ??min??i?,i?1,2,?,n.t??i均为tE?A的特征值.当t+??0?t???时,tE?A的全部特征值均为正数.?t充分大时,tE?A为正定矩阵. 13 10、评分细则：由题设推得tE?A为实对称矩阵(2分);说明t??i,i?1,2,?,n均为tE?A的特征值(2分);当t???0,?为最大特征值,推得t???时,tE?A的特征值全为正数(2分);所以t充分大时, tE?A为正定矩阵(2分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：339 2、题型：证明题 3、难度级别：3 4、知识点：第五章
相似矩阵及二次型 5、分值：8 6、所需时间：8分钟 7、试题关键字：正定二次型 8、试题内容：
设C为n阶实可逆矩阵，E为单位矩阵，??0,证明：?E?CTC为正定的. 9、答案内容： 证明： ?(?E?CC)??E?CC??E?CC,??E?CC为对称矩阵.令f=?xEx?xCCx??xx?(Cx)(Cx).?C为实可逆矩阵,??0,??x?0,有?xx??x?0,(Cx)(Cx)?x?0.?f?x(?E?CC)x为正定二次型??E?CC为正定矩阵.TTTTTTTTTTTTTTTT 10、评分细则：由题设推得?E?CCf?xTT为对称矩阵(2分);分);令?A??E?CTC?x?f??xx??Cx?TT?Cx?(2可T逆,??0,?x?0?f??x?Cx?0(2分);?f为正定二次型??E?CC为正定矩阵(2分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：340 2、题型：证明题 3、难度级别：3 4、知识点：第二章
矩阵及其运算 5、分值：8 6、所需时间：7分钟 7、试题关键字：求解逆矩阵 8、试题内容：
14 若3阶实对称矩阵A满足A3?6A2?11A?6E?0，E为单位矩阵.试证:A为正定矩阵. 9、答案内容： 证明： ?A?6A?11A?6E?0?A?A?6A?12A?6E?0?A(A?E)?(6A?A)?6A?6E?0?A(A?E)?6A(A?E)?6(A?E)?0?(A?A?6A?6E)(A?E)?0?(A?5A?6E)(A?E)?0?(A?3E)(A?2E)(A?E)?0?A?3EA?2EA?E?0则3阶实对称矩阵的全部特征值为1,2,3.?A的特征值全为正数,即A为正定矩阵. 10、评分细则：由题设推得A?A?6A?12E?6E?032(2分)?A?3E??A?2E??A?E??0(2分)?A?3EA?2EA?E?0?A的特征值为1,2,3(2分);所以A为正定矩阵(2分). ----------------------------------------------------------------------------
15 包含总结汇报、文档下载、IT计算机、考试资料、外语学习、资格考试、教学教材以及线性代数证明题等内容。本文共3页
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1、试题序号：321
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章
矩阵及其运算
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：矩阵秩的性质
8、试题内容：
设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且A 2=E ，证明：R (A +E )+R (A -E )=n .
9、答案内容：
A =E =>A -E =0
=>(A +E )(A -E ) =0
由矩阵秩的性质, 则有
R (A +E ) +R (A -E ) =
R (A +E ) +R (E -A ) ≤n .
R (A +E )+R (E -A ) ≥R (A +E +E -A ) =n .
∴R (A +E ) +R (A -E ) =n . 2
10、评分细则：由题设推出(A +E )(A -E )=0得2分; 由矩阵秩的性质推出
R (A +E )+R (A -E )≤n 得2分; 推出R (A +E )+R (A -E 得2分; 因而推出)≥n
R (A +E )+R (A -E n 2分. )=得
-----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：322
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：
相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：正交矩阵的特征值
8、试题内容：
设A 为一个n 阶正交矩阵，且A =-1. 证明：λ=-1是A 的特征值.
9、答案内容：
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线性代数证明题
证明：第一个和最后一个分量相等的所有n维向量构成向量空间
∵a(x,……，x)+b(y,……，y)
=(ax+by,……，ax+by),
(其中a,b,x,y∈R)仍是第一个和最后一个分量相等的向量，
∴第一个和最后一个分量相等的所有n维向量构成n维向量空间的子空间。
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