考研数学分析
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题: 《数学分析》VS《高等数学》3——发生在数学系的一场(转载)
发信站: 饮水思源 (日16:28:58 星期天)
不久前，我们数学系召开了教学改革会议，主持会议的是分管教学的黄建国主任。他把我
向教务处提交的Proposal《关于全校理工科加强数学教学的建议》打印出来，人手一份。
这个建议书是我根据大家在网上的精彩发言整理而成的，可以说凝结着大家的心血。大意
是全校理工科强化数学的教育，首先从《高等数学》入手，在学生素质允许的前提下，尽
可能地将《高等数学》用《数学分析》替换掉。
我的建议是得到了乐经良教授、朱佐农教授的支持。乐老师说：“《数学分析》是补药，
吃得越多越好。没什么好说的，这个建议书写的非常好！从培养人的角度来说，绝对正确
。”还谈起了这个话题在全国有关会议上的发展史，由来已久。列举了很多教育家，例如
萧树铁等人的观点，以及这个讨论主题的发展现状和在全国的状况。基本上在全国是各占
半壁江山，没有输赢。可以说，争论仍在继续。朱老师则说：“我们交大可不可以心胸宽
广一点，不要拘泥于仅仅使用自己编写的教材，而是从全国，甚至全世界范围内对教材进
行择优录用。而且，培养人的过程是一个脑力劳动的复杂的过程，不能象个作坊：全校统
一的课本、统一的试题，尽管我们称呼它为《高等数学A》,《高等数学B》,《高等数学C》
,《高等数学D》,……，但事实上大同小异。这简直就是“批发销售”《高等数学》的教学
模式。其实微积分用电脑完全可以计算了，没必要花这么多时间学习。”他们都是从培养高质量人才的角度上去考虑的。我非常赞同，和我的观点可以说
是“异曲同工”。但是却得到了广大《高等数学》老师们的反对，换句话说，我成了众矢
之的。他们的理由如下：
1）按照《高等数学》的方式教学，考研成绩反而会非常好（交大考研成绩遥遥领先）。而
同学们将来会不会成为院士或者高尖端人才，是遥远的事情，和他们没有关系，发生的概
率也很小。也没有充足证据显示学习《数学分析》就一定会培养出院士。有一位高等数学老师竟然对我说：“我们交大80年代记就经开始对非数学专业实施《数学分析》教学了，而且还是章仰文亲自上的，怎么还没有培养出院士？这就说明没有培养出院士和缺乏强化数学教育没有关系。”听了他的话，我简直哭笑不得，欲哭无泪。我耐心地说：“四年的大学教育就好比是4&100米接力赛，而大一的数学就好比是第一棒。即使第一棒跑好了也不说明4&100米接力赛一定能赢，但是第一棒跑砸了一定不会赢。这是必要条件，而不是充分条件。但是，所有必要条件的总和等于充分件。�
2）非数学专业对数学有兴趣的学生占极少数，真正可以学会《数学分析》的不足10%。即使学会了《数学分析》也未必愿意改行来学数学。换句话说，不太可能成为数学系研究生的潜在生源。因此，没有必要出力不讨好地花这么大的代价去为他们上《数学分析》；
3）我对他们讲科大的《高等数学导论》的第一章就大谈而特谈数学的完备性的六大定理，
这是华罗庚留下来的遗产，其理论深度远远是我们交大的《高等数学》望其项背的，我甚
至花了75元订购了一套科大的《高等数学导论》上下册给他们看，来支持我的论据。而且
说他们52年培养了41名院士，几乎是千人一院士。这和他们如此强大的数学教育休戚相关
。他们回答说“科大是科学院的嫡系，出院士多理所当然。他们处在偏僻的安徽，除了下
工夫学习别无出路。而我们交大处在发达的上海，诱惑太多，Job 很好找，很难树立起良
好的学风。”
4）他们认为他们没有义务为了《复变函数》、《概率统计》、《实变函数》、《泛函分析
》等等后续课程来设计他们的教学，因为《高等数学》的教学大纲里面没有这种要求。认为我选择这么深的《复变函数》课本是一个错误。如果使用交大编写的《复变函数》就不会有问题。实数的完备性的六大定理如果我《复变函数》课程实在需要，给他们补补课不就得了？教学应该为大多数人服务，不能因为极少数人有可能成为科学家而设置教学计划。
我说讲没讲好实数的完备性的六大定理是衡量微积分教学好坏的重要标志。因为如果这个
没讲，由此推出的一系列的微积分中的重要结论都没法讲了。他们一致反对我这个观点。最终，朱老师不再说话，变成了“沉默的人”，而乐老师、黄主任最终被他们给“和谐”了。
后来，莫老师的报告开始了，我不能不去，就提前离开了会场。再后来听黄建国主任讲他
们讨论出了一个折中的方案：对那些有数学潜质的同学举办讲习班，用来强化他们的数学
基础。谢天谢地，虽然结局不够理想，总算努力没有白费！
我想想也是，他们已经习惯了《高等数学》的教法，立刻换为《数学分析》要增加很大的
工作强度，然而课时量不足、同学们学不会还会抱怨，也没有任何奖励。大家何苦去做那
种出力不讨好的事情？我思考问题真得太天真了。
不过我在这里向广大同学们保证：“数学二专”的改革由我亲自来抓，以后会派精干的
师资力量（起码教评必须90分以上）承担数学二专的教学。下学期《复变函数与概率论》依然由我担任。我的“把数学二专变成数学系第二大研究生生源基地”的构想也已经得到王亚光主任的支持。我也已经和最好的《数学分析》老师之一王维克教授沟通过，准备下一届由他出山，承担数学二专的《数学分析》教学。我还开玩笑地对他讲：“王老师，您白天是处长、晚上是教授，两不误。这不是很理想的职业生涯吗？”因为他对数学教学依然有割舍不了的爱，我成功的几率还是很大的。他基本上已经同意，不过还需要继续和相关方面沟通。我在这里大声呼吁：“同学们，抓舯学二专吧！即使拿不到数学第二学位，也为你的将来打下了一个更加强有力的数学基础，保佑你成为更尖端的人才。你的路会越走越宽。”在数学二专学习成绩突出，更加为我们为你推荐出国找到了口实（国外很看重数学教师的推荐）�
国外很多大学的做法是，数学系提供各种不同类型的数学课（标注好适合什么专业），由全校需要学习数学的同学们自由选择。大家完全可以根据自己的天赋和人生目标选择不同深度不同难度的数学课。
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附：关于全校理工科加强数学教学的建议
教务处领导：您好！
上海交大第九次党代会上提出学校中长期发展目标：到2013年，学校2－3个学科群接近世
界一流水平，若干学科方向率先达到世界一流，理学、工学、生命医学、人文社科四大学
科领域协调发展；到2020年，这四大学科领域的总体实力均在国内名列前茅，科技创新能
力、师资队伍水平等关键指标进入世界百强，学校整体办学实力开始步入世界一流大学行
为了实现这样一个宏伟目标，首先要树立培养研究型人才的理念，而培养研究型人才，加
大数学的教学力度至关重要（我这种理念来自于长期观察，我发现许多数学系本科毕业改
行做其他专业却可以干得更好！例如王选院士等等），首先应该从大学一年级做起，因此
我提出全校理工科实施《数学分析》教学的建议（不适应者依然有《高等数学》可以选择
），下面我谈谈我的看法：
作为国内一流的大学，单纯为学生找工作而设立教学课程是远远不够的，也与我们的培养
目标背道而驰。所有的课程体系设计，应该根据我们交大的定位和本科生培养目标，来确
虽然不是所有的学生都能成为，都有必要成为优秀的科学家，但是，凡受过
严格科学训练并且达标的，他们成为优秀工程师，或者适应其他任何工作，
都并不是很困难的事情。
我们交大近30年的教育结果表现出，我们的培养模式至少是部分失败的，可能我们短期就
业不错，但以毕业二十年后的职业发展来说，不管在科学研究领域，纯工程研究领域，还
是政治、商业等方面，我的杰出校友表现远不如同层次的大学。大家看看中国的院士榜、
富豪榜就明白了。
交大为什么培养不出最杰出的人才呢？现在正在反思，但答案绝对不是接着
走急功近利的就业培养模式。那样交大的未来就完了。
这正证明了，交大要加强数学教育。多年来交大本科生教育质量低下的原因就是太重视就
业导向，而根本没有贯彻交大的研究型大学的定位，导致不少交大毕业生缺乏职业生涯的
规划和发展潜力，结果十年下来，我们和其他同层次大学毕业生的距离就很明显了。
如果我们交大招收了全国最优秀的本科生，却无论在富豪榜，院士榜，优秀
学者校友，政治家，社会活动家方面，没有培养出足够多的足够优秀的校友
尤其是，自闵行校区启用以来，我们的培养规模，大约有近十年的时间里，
我们的招生规模是全国名校中间前三位的，我们就应该警惕了：我们的本科
教学如果不是彻底失败的，至少也是部分失败的。
虽然短期就业很好，但交大的毕业生在职场，学术界，政界，商界都表现出
缺乏后劲的情况，这是必须警惕，必须马上找到解决办法的。
张杰校长也承认我们的杰出校友和交大的地位不相称。这是当前各种改革需要优先考虑，
需要摆在第一位的位置上去解决的问题。
作为全国名校，我们交大从63年到现在，接近50年没有培养出一个两院院士，实在也说不
过去了。你在看看我的母校山东大学数学系文革以后培养的院士：郭雷（77级，现任中科
院数学与系统科学研究院院长）、彭石戈（76级，山东大学数学研究所所长，金融研究院
院长），还有竞选院士进入最后一轮的张继平（78级，现在北京大学数学院，第四届"中国
青年科学家奖"、第十二届“陈省身数学奖”获奖者）、王小云（83级，密码学家，现在山
东大学数学院，获颁陈嘉庚科学奖信息技术科学奖）。之所以我的母校山东大学数学系可
以做到培养出如此多的人才，就是因为他们是一个非常强大的数学系！学风扎实。
中国科学技术大学1958年创办至今,其毕业生中有41人已当选为中国科学院或中国工程院院
士，在同期毕业生中 1963年以来 当选为“两院”院士的人数居全国高校之冠。地处中部
城市合肥,建校又不满50年,中国科大靠什么培养出这么一大批高层次优秀人才？
以上两所学校的共同的点就是非常非常非常重视数学教育，都有强大的数学基础。
我们一直倡导素质教育。对于理工科而言，数学素质的培养至关重要。什么是"数学素质"
？ 英文翻译为
mathematical literacy. 不同专家对数学素质
的见解归纳如下：
数学素质是指：数学知识、见解、思维创造性解决实际问题等综合能力。
数学素质则是指：“数学中蕴涵的人在全面发展中起到工具性功能和育智性功能的东
数学素质是指人们认识和处理数形规律、逻辑关系及抽象事物的悟性和潜能,是一种应
用和发展数学科学的功底.这种扎实的数学功底,正是今后应用数学解决实际问题的基础.
关于数学素质，萧树铁先生的见解为“初步掌握了一种现代科学的语言和工具,学到一
种理性的思维模式,培育了一种审美情操,这一切构成了人的一种特殊的素质,称为数学素质
.”他还把数学素质的内涵概括为:创造、归纳、演绎、数学建模。
数学素质是数学学科的内蕴特性可以赋予学生良好的思维品质和创新能力.一般我们认
为数学素质对于培养学生的作用可以通过归纳：从众多的事物和现象中找出共同性和本质
的东西的抽象化思维.
世界上任何事物都有“数”和“形”的属性特征人们认识事物的这种属性及处理其相
应关系的悟性和潜能称为数学素质.数学教育的核心目标正是在于提高学生的数学素质。
下面我谈谈数学分析和高等数学的区别。
数学分析(Mathematical Analysis)是数学专业的必修课程之一，基本内容是微积分，但是
与微积分有很大的差别。
微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Caculus)的统称，英语简
称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。
后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷
大等极限过程分析处理计算问题的学问。
早期的微积分，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到
发展。柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）完善了作为理论基础的极限
理论，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”
，中文译作“数学分析”。
学好数学分析是学好其他后继数学课程，如：微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析
，微分几何，计算方法，拓扑学，测度论，概率论与数理统计等课的必备的基础。
作为学好数学最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数
学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出
于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，
并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考
方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的
培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个
我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合
新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决
定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养
严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，
并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之
日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间
的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻
辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理
方法，提高学生的数学修养。
我曾经提出全校的理工科入学后的前两年用数学系的方式对其进行严格的数学教育，在世
界很多大学都已经实行（哈佛大学、剑桥大学、牛津大学、滑铁卢大学、圣母大学等等）
。最起码一年级的《数学分析》完全可以取代《高等数学》。因为一年级还不涉及专业课
的问题，所以不存在专业课忙不过来，没时间学好数学的问题。而他们可以考取交大，一
定会有很好的数学基础的，不存在学不会的问题。（想一想二年制的专科院校都有数学系
，都培养出了席南华这样的数学家。我们的非数学系生源的数学素养不会比专科院校数学
系差吧？）
这样做对数学系本身的未来发展将产生重要影响。 因为这样做可以使得交大理工科本科生
拿到数学二专文凭的人就会大大增加。因为第一：重新学习《数学分析》要花很大的时间
和精力，而这样做《数学分析》就可以免修了；第二：《数学分析》学好了，像《微分方
程》、《复变函数》、《实变函数》、《概率统计》、《泛函分析》、《微分几何》、《
拓扑学》等等的课程就会学起来事半功倍，甚至于可以自学完成。这样，一方面数学系可
以从全校争取到更多的研究生生源，另一方面，很大程度上堵死了数学系本科毕业生转行
考取其他专业之路，因为他们失去了优势。 可以说，挽救了数学系。
为什么要学《数学分析》而不是《高等数学》？《数学分析》强调的是理论，主要是训练
学生逻辑思维的能力。它的主要特点是开动学生们的脑筋，教会大家如何去“想”。而《
高等数学》强调的是计算，二者的性质不同。把数学仅仅理解为不需要思考的演算，真的
是对数学的侮辱。这种知其然、不知其所以然的类似于马戏团驯兽似的教育方式，和我们
一贯标榜的人类灵魂工程师的教育宗旨背道而驰，根本谈不上数学素质的教育，也对后续
课程的教学造成难度。这种教学模式事实上等同于一踏进大学校门就被 misleading 了。
后来积重难返，在不懂数学原理的道路上越走越远。 在第一步没有走好的状况下，以后的
课程步履维艰。到了上周国标的研究生公共课的时候，简直成了对牛弹琴了！
《高等数学》里面不包括实数的完备性的六大定理，也不会讲一致收敛、一致连续等等概
念。我给他们上复变函数的时候发现高数出身的上了大三了连什么是上极限也不知道，可
是我们复变里面的求幂级数的收敛半径里面就有柯西—阿达玛定理，就必须要用到上极限
。我当时真的惊讶万分，同时为交大的学生感到悲哀。还有，在一个闭区域上解析，意味
着在一个更大的包含了这个闭区域的开区域上解析，这是我们复变函数里面的一个经典结
论。这个概念理解与否，决定了你能否把两种不同的区域的解析统一起来！能否对解析概
念的理解上一个台阶。但是，这个结论的证明，需要用到有限覆盖定理。不懂得一致收敛
，如何可以逐项求导、逐项积分？这是我们复变函数躲不过去的坎！
概率统计也是一样。数学分析当中关于极限理论、积分、以及函数连续性等等知识都是学
习概率的最基本知识，从初级的概率来看，基本上只需要用到简单的低重积分和级数收敛
性；但如果要学深一点，那么数学分析中关于函数连续以及一致连续的部分是概率论当中
说明随机变量收敛和证明相合性的基础，那么更需要你有一定的泛函分析基础。由于是高
数出身的很多数学分析性质学的马马虎虎，也不明白为什么随机变量的数学期望要求绝对
收敛。在讲分布函数的性质的时候，要用到很多的数学分析知识。例如：左连续的定义，
单调增加有上界，可积函数（未必连续）和原函数的关系，什么样的函数是黎曼可积的？
还有广义积分的敛散性、级数的敛散性等等。最好还有实变函数的基础知识。我们教概率
、复变的老师，事实上是接力赛的第二棒。可是微积分的第一棒跑的一塌糊涂，你叫我们
第二棒怎么跑？
有一次（我记得是2003年）清华大学数学系前系主任、国家教育部特邀顾问萧树铁访问交
大数学系，我有幸被选去和他座谈。在和萧老师座谈的两个多小时之中，我向他提出了很
多非数学专业的数学教育问题。对于现行的高等数学的教育，他老人家深恶痛绝，发自心
底的呐喊：“我们再也不能用这种断子绝孙（学子学孙——笔者注）的方式教学了！……
无论对什么样的学生，都一定要讲真正的数学！”我当时反问他：“像一致收敛这么难的
概念，数学系的学生理解起来尚有难度，如何对非数学系的学生讲？”萧树铁老师回答说
：“其实只要把函数看作点，不就可以了? 事实上没必要讲这么多的点收敛。反而先入为
主，难以理解一致收敛了。”我听了恍然大悟、茅塞顿开！真的是听君一席话、胜读十年
著名数学家莫毅明对这个问题的认识。2009年初，著名数学家莫毅明访问上海交大的时候
，张校长曾经征求过莫教授的意见：“理工科非数学专业是否有必要施行数学系的数学教
育？” 莫教授回答说：“这样做很有必要。讲数学一定要懂数学的人来讲才对。我们香港
大学经常接受来自英国很多大学的各种专业学生来数学系交流，那些非数学专业的数学素
养之高使你很难区分哪些是来自数学专业，哪些不是来自数学专业。” 著名数学家萧荫堂
访问上海交大做励志讲坛报告的时候，也鼓励工科的学生要多学一点数学。
数学专业和其他行业的关系。 基础数学与应用数学是计算机专业的基础和上升的平台，是
与计算机科学与技术联系最为紧密的专业之一。　　　
由于数学与应用数学专业与其他相关专业联系紧密，以它为依托的相近专业可供选择的比
较多，因而报考该专业较之其他专业回旋余地大，重新择业改行也容易得多，有利于将来
更好的就业。　
合格的软件人才，需要有“扎实的数学功底”，“严密的逻辑思维能力”。数学与应用数
学专业属于基础专业，是其他相关专业的“母专业”。该专业的毕业生如欲“转行”进入
科研数据分析、软件开发、三维动画制作等职业，具备先天的优势。“在改进一个软件的
速度、效率，需要新的思想和方法方面，数学高手创新能力比一般计算机专业的学生还要
强。”某知名IT公司工程师说。在一项针对IT行业230名成功人士的抽样调查表明，其中2
00名属于以数学专业或其相关专业为依托实现职业再选择的人。
中国科学院院士王选教授（北京大学数学系出身）在北大方正软件技术学院开学典礼上，
就告诉大学生：要成为一个合格的软件人才，需要有“扎实的数学功底”，“严密的逻辑
思维能力”。而严密的逻辑思维能力，来自于深厚扎实的数学功底。可见数学与应用数学
专业是从事其他相关专业的基础。
金融数学家已经是华尔街最抢手的人才之一。最简单的例子是，保险公司中地位和收入最
高的，可能就是总精算师。在美国，芝加哥大学、加州伯克利大学、斯坦福大学、卡内基
•梅隆大学和纽约大学等著名学府，都已经设立了金融数学相关的学位或专业证书教
育。尽管如此，在美国很吃香的保险精算师，很多都是数学专业出身。　
除了保险精算师以外，由于经济学也引入了数学建模，因此懂经济原理的数学人才也被用
人单位广泛接纳，还有国际经济与贸易、工商管理、化工制药、通讯工程、建筑设计等，
都离不开相关的数学专业知识。
曾经数学系学生分配难是近年来大学毕业生分配中的一个普遍现象。近日，记者在招聘会
上却意外地发现，数学系学生成了“香饽饽”。
一位计算机系的学生很不服气地问：凭什么招收软件工程师不要计算机专业的？实达软件
公司总工程师袁萌教授是这样回答的：编程序是一种很简单的工作，只要经过短期的计算
机语言培训就可以上岗。而实达正在开发的“JAVA工具库”程序，最需要的是抽象思维，
在这方面，数学系学生比计算机系学生潜力大。
目前，实达软件公司招聘的首批数学系
学生经过短时间培训后，很快就胜任核心代码的设计工作，成为实达软件中心的业务骨干
。于是公司决定面向全国高校的数学系招收更多的软件工程师。
综上所述，我向学校建议：全校理工科本科生（特别是专业和数学关系非常大的理工科）
，入学以后前两年（至少第一年）都按照数学系的模式进行培养，利用两年的时间，系统
学习未来发展有可能涉及的到的数学课程。打好数学的基础以后，第三年再根据个人兴趣
和能力选择适合的专业。 也就是说，前两年都按照数学系的模式培养，第三年根据兴趣和
天赋有的同学继续留在数学系学习数学，其他人根据兴趣爱好不同，有的选择物理力学类
，有的选择电信IT类，有的选择机械类，有的选择金融经济类等等。总之，要给每一个学
生更多的choices.
据我所知，北京大学数学学院2005年按学科大类招生，入学两年后学生可以自由选择数学
系、概率统计系、科学与工程计算系、信息科学系、金融数学系之一作为专业方向。清华
大学数学科学系2005年统一按“数理基础科学”专业招生，学生在本科前两年将重点学习
数学和物理基础课，本科高年级阶段开始学习数学专业基础课和专业课，其中很多专业课
同研究生课程紧密衔接。北京师范大学数学科学学院2005年实行数学一级学科和统计学一
级学科宽口径招生，前两年不分系与专业方向，学习共同的基础课。其中数学与应用数学
专业主要包含基础数学、应用数学、数学教育、信息处理与计算科学等方向，统计学专业
主要包含概率论、数理统计和保险精算等方向。南开大学数学学院从2004年起按照数学类
招生，学生在完成两年必修课程后，根据兴趣和爱好以及学习成绩进行专业选择和调配，
分流方向包括数学与应用数学、信息与计算科学、统计学。此外，南开大学还开设有数学
试点班，培养基础性数学人才。
以上是我对交大非数学专业数学教学的粗浅的看法，很多观点来自网上的资料的整理归纳
。我很高兴教务处有关领导已经开始对我的建议给予关注，只要我们齐心协力，相信交大
的未来发展会更上一个新的台阶！
上海交大数学系 姚卫红
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。数学｜微积分、高等数学与数学分析的区别与联系
数学｜微积分、高等数学与数学分析的区别与联系
学术交流会
微积分、高等数学和数学分析，这三个词对于绝大多数理工科专业的学生来说，是比较熟悉的，毕竟曾经被折磨得一塌糊涂。最近浙江大学的苏德矿教授（江湖人称“矿爷”）微博直播微积分，成为了网红；在矿爷的经典语录中，“从前有棵树，叫高数，上面挂了很多人；旁边有座坟，叫微积分，里面葬了很多人”这句流传甚广，其经典之处在于生动地描绘出了高等数学和微积分的难度。同一所学校同一级的同学，有些学习的课程是高等数学，而有些是数学分析。微积分、高等数学和数学分析，它们之前到底有什么联系和区别呢？今天的这篇文章，希望可以为你解答些许的疑惑。微积分：两种运算+两个概念+一个定理我们首先来聊微积分，一方面因为它作为课程，既是高等数学的核心内容，又是数学分析的核心内容，另一方面它是数学的工具，尤其是高等数学的基础工具。1. 微积分的知识机构微积分的知识结构非常清晰，主要内容就是要说清两件事：第一，介绍求导与求不定积分两种运算，并且说明它们互为逆运算；第二，介绍基础的微分学和积分学，并且给出它们之间的联系——牛顿莱布尼兹公式。求导与求不定积分两种运算，均属于微分学，尤其要强调的是不定积分，虽然带有“积分”二字，但它作为求导的逆运算，属于微分学，而不属于积分学，真正属于积分学的是黎曼定积分（即我们常说的定积分）。2. 不定积分与定积分的区别不定积分与定积分虽然在字面上只差一字，但从数学定义来看却有本质的区别，不定积分是找一个函数的原函数，它的几何意义是原函数的图象，即一条曲线；而定积分是求黎曼和的极限，它的几何意义是面积，即一个数值。它们之间毫无关系，既存在着没有原函数但可积的函数，也存在着有原函数但不可积的函数。3. 微分学与积分学的桥梁无论如何牛顿莱布尼兹公式好比一座桥梁，沟通了不定积分（微分学）和定积分（积分学），这也是牛顿莱布尼兹公式被称为微积分基本定理的原因。我相信尽管很多人不愿意再看到下面这个公式，但它真得很经典~因此，我们可以看出，微积分的核心内容就是学习两种新运算，了解两样新概念，熟悉一条基本定理而已。高等数学：微积分+空间解析几何+常微分方程微积分依然是高等数学的核心内容，国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的，主要的目的是解决工程上遇到的一些问题，例如求体积、求周长，求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识，更要学生理解各个数学概念的实际意义是什么，比如求导可以理解为求瞬时速度，可以理解求增长律，积分可以理解为求面积，求功等等。对于实际问题，数据往往是复杂的，算式也往往是冗长的；对于不容易积分、不容易求导的实际问题，我们怎么去求其高精度的近似解呢？那么就需要引进级数这一概念，例如将不易找到原函数的函数进行泰勒展开再逐项积分，再例如利用牛顿差值法计算方程的近似解。在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算，因此高等数学对学生的计算能力要求非常高。高等数学的主要内容就是三条：理解数学概念背后的实际含义；熟练运用数学工具求导求积分；会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用，但一切仍然停留在对运算理解上。只可惜的是，国内某些高校的高等数学老师，并不能给学生讲清楚数学概念背后的物理或者几何意义，而更多地让学生记住定理和公式，遇到题目时，会计算就好了。这就导致了学生学完高等数学后，无法搭建起完整的知识框架，领悟不到书本章节间内容的紧密联系。数学分析：学习研究复杂函数的方法数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础，与微积分、高等数学有着本质的区别。什么是分析学？是分析变量以及诸多变量之间关系的学科，在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系，所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学，我们已经学习过六类简单初等函数（常指对幂，正反三角），并且学习过一些研究初等函数的手段，但这些函数都是极其特殊的，比如他们都是逐段连续的，并且是无穷阶可导的。学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张，去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数，这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢？数学分析中介绍的方法主要有两个：含参变量积分与函数项级数。特别的，所有的初等函数都可以表示为函数项级数，但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多，我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数，例如处处不可导的连续函数，在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多，研究其变化性质就会变得困难得多，对此我们需要学习一些系统的定理与方法，将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。因此说，与微积分、高等数学有明显的区分，学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算，而是要扩大函数范围，学习研究复杂函数的方法。本文参考资料知乎ID：大少工作室微博：浙江大学苏德矿-END-赛氪考研原创，转载请注明出处。
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简介: 一言而可以终身行之谓之恕
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