企业QQ多少钱一个啊
(18条回答)
var sogou_ad_id=731549;
var sogou_ad_height=160;
var sogou_ad_width=690;当前位置： >>
《数字通信原理》习题及解答
《数字通信原理》（冯穗力等编著）教辅材料习题解答汇编（仅供参考） 冯穗力 余翔宇 刘梦华 周诗等 编1目录第一章 绪论................................... 3 第二章 信号分析基础 ........................... 6 第三章 模拟信号的数字编码 .................... 19 第四章 信息论基础 ............................ 31 第五章 数字基带传输系统 ...................... 47 第六章 数字载波调制传输系统 .................. 62 第七章 传输信道 .............................. 80 第八章 差错控制编码 .......................... 90 第九章 同步原理与技术 ....................... 110 第十章 扩展频谱通信技术 ..................... 122 第十一章 信道复用与多址技术 ................. 1292第一章 绪论1.1数字通信系统有哪些主要的功能模块，这些功能模块各起什么作用？解：数字通信系统基本由发送端的信源、信源编码器、信道编码器、数字调制器；信道 和接收端的数字解调器、信道译码器、信源解码器和信宿组成。 其中信源产生待传输的信号或各种数据。信源编码器完成模拟信号到数字信号的转化， 及数据压缩等信号处理功能； 信道编码器主要对待传输的数据进行某种编码处理， 使系统具 有检错或纠错的功能。 数字调制器： 数字调制器的主要功能是将数字序列变换成特定的信号 形式， 以适合在特定的信道中传输。 信道是传送信号的物理媒质。 数字解调器、 信道译码器、 信源解码器完成与数字调制器、信道编码器和信源编码器相反的功能。1.2 号？对于已调的数字信号，呈现为连续的信号波形，如何理解它传输的是一个数字信解：对于已调制的数字信号，虽然一般它的波形是一个连续取值的信号，但它只有有限 种不同的波形， 数字的接收系统中， 只需在判别收到的信号是有限多种信号波形中的哪一个 即可，从这个意义上来说，它传输的仍然是一个数字信号。1.3已知一个数字传输系统的比特速率为 64kbps，如果采用一个十六进制的系统传输这些数据，其符号速率是多少？该系统的频带利用率为多少？ 解：已知： Rb ? 64kb / s ， M ? 16 ，由此可得RS ?所需带宽Rb 64,000 64,000 ? ? ? 16,000波特 log 2 M log 2 16 4B?频带利用率1 1 ? ? RS ? 16,000 Hz T 1 RS??Rb 64,000 ? ? 4 bits ?Hz ? s ? B 16,0001.4试述数字通信的优点有哪些？为什么？答：数字通信的优点主要有以下几点：3抗噪声和干扰能力强： 数字信号最大的特点是它只有有限种状态。 噪声和干扰对信号的 影响只要小于某一门限，就可以无失真地恢复经衰落和噪声污染前的信号。 便于提高消息传输效率： 随着计算机技术的广泛应用， 语音和图像等消息序列的压缩编 码处理算法获得了极大的发展， 对原始的视频图像数据序列进行上百倍的压缩， 而仍然保持 较好的画面质量的压缩算法已经很普遍， 从而可以极大地提高传输效率， 这些信号处理只有 对采样量化后的信号才有可能。另外，只有对数字信号才能在进行时间上的“压缩”，将多 个低速的数据流汇接成高速的数据流，实现时分复用。 便于进行差错控制： 伴随数字通信的应用发展起来的差错控制编码理论与技术， 能够使 传输的数字序列具备一定的检错和纠错能力， 视不同的编码方法和效率， 在一定范围内的传 输错误可在接收端被检出，甚至检出后进一步被纠正，从而提高传输的可靠性。 便于对信息进行加密处理:目前有效的信息加密方法都是借助计算机运算的、基于数学 复杂性问题求解的算法，各种信息必须以数字的方法表示时才能利用这些方法进行加密。 便于采用大规模集成电路实现:数字集成电路具有集成度高，一致性好和易于实现等特 点，这是数字通信系统得以广泛应用的关键之一。随着微电子、嵌入式系统、信号处理和软 件无线电等技术的发展，各种通信设备，包括终端设备，很大程度上就是一个基于大规模集 成电路、可编程阵列和数字信号处理器等数字运算器件构成的系统。1.5已知二进制信号在 3min 内共传送了 72000 个码元，（1）问其码元速率和信息速率分别是多少？（2）如果码元脉冲宽度保持不变，但改为八进制数字信号，则其码元速率 和信息速率又为多少？ 解： （1）二进制系统的码元速率为 RB 2 ?72000 ? 400 波特 3 ? 60信息速率为 Rb 2 ? RB 2 ? 400 bit/s （2）若改为八进制，由于码元脉冲宽度没有变化，故 码元速率为 RB 8 ? RB 2 ? 400 波特 信息速率为 Rb 8 ? RB 8 ? log 2 N ? 400 ? log 2 8 ? 400 bit/s1.6已知某八进制数字传输系统的信息速率为 3600 bit/s,接收端在 1h 内共收到 216 个错误码元，求系统的无码率。 解：先把信息速率转为码元速率，再由误码率定义求出误码率RB =3600 ?1 =1200波特 log 2 84Pe ?错误码元数 216 ? ? 5 ? 10 -5 RB ? T 1200 ? 60 ? 601.7已经 A、B 两个八进制数字传输系统，他们的码元传输速率相同，在接收端相同时间 T 分钟内，A 共接收到 m 个错误码元，B 共接收到 m ? 3 个错误比特，试比较两个系统 那个性能比较好？为什么？ 解：要比较两个系统性能好坏，主要看系统的有效性和可靠性，本题两个系统的传输速 率相同，因此有效性相同，因此只求出两系统的误码率比较即可，设码元速率为 RB 。 由误码率定义可得PeA ?m RB ? T ? 60m?3 log 2 8 m?3 ? PeB ? RB ? T ? 60 3RB ? T ? 60可以看出只要 m ? 2 时，A 系统误码率大于 B 系统误码率，因此 B 系统性能优于 A 系 统；当 m ? 1 时，A 系统性能优于 B 系统。5第二章 信号分析基础2.1? at 若确知信号为 f ?t ? ? e u ?t ? ，试求其能量谱密度、能量和自相关函数。解：信号的傅氏变换为?? f ?t ?? ? F ?? ? ? ? ? ? e ? at e ? j?t dt ?0 ????f ?t ?e ? j?t dt1 a ? j?1 a ? ?22其能量谱密度为E ?? ? ? F ?? ? ?其能量为2E?1 2??????E ?? ?d? ? 11 2?????1 d? a ??22 ?1 ? a?? ?? ? 1 arctan ?? ??? ? 2 d ? a a? a 1? 2 ? ? aE ? ? f 2 ?t ?dt ? ? e ? at dt?? 0 ? ??01 2a信号的能量也可用下面的方法求解? ?? 02? ? e ? 2at dt ? ?0?1 ? 2at e 2a?1 2a2.2（a）试证明题图 2.2 所示的三个函数在区间（－2，2）上两两正交。 （b）求（a）中的三个函数构成的标准正交基函数所需要的常数 A。 （c）用（b）中的标准正交基函数表示波形 x?t ? 。? ?1,0 ? t ? 2 x?t ? ? ? 0, 其它 ? ??1(t) ?2(t) ?3(t)解：6（a）计算两两函数间的相关性? ?2 ?22?2?1 ?t ??2 ?t ?dt ? ? ?? A??? A?dt ? ? ? A??? A?dt ? ? ? A?? A?dt ? ? ?? A?? A?dt?2 2 ?1 0 1 2 2 2 ?1 0 1 2?1012? A ?A ?A ?A ?0 ?1 ?t ??3 ?t ?dt ? ? ?? A??? A?dt ? ? ? A??? A?dt ? ? ? A ??? A?dt ? ? ?? A??? A?dt?2 ?1 0 1 2 2 2 2 2? A ?A ?A ?A ?0??2?2 ?t ??3 ?t ?dt ? ? ?? A??? A?dt ? ? ? A??? A?dt?2 0 2 202? 2A ? 2A ? 0可见三个函数两两正交。 （b）任取一函数，如 ?1 ?t ? ，对其码元的能量进行归一化，即令?2?2?12 ?t ?dt ? ? ?? A? dt ? ? ? A? dt ? ? ? A? dt ? ? ?? A ? dt ? ?2 2 2 2 ?2 ?1 0 1?10122?2? A?2 dt ? 4 A2 ? 1解得 A＝1/2。 （c）已知由（b），得到 A＝1/2，直接观察函数 x(t)与该标准正交基函数的关系，易 得： x?t ? ? ?2 ?t ? ? ?3 ?t ? 。 若按定义求解，则有：x?t ? ? a1?1 ?t ? ? a 2 ?2 ?t ? ? a3 ?3 ?t ?其中a1 ? ? x?t ??1 ?t ?dt ? 0?222 2 1 a2 ? ? x?t ??2 ?t ?dt ? ? 1 ? dt ? 1 ?2 0 22 2 ? 1? a3 ? ? x ?t ??3 ?t ?dt ? ? 1 ? ? ? ?dt ? ?1 0 ?2 ? 2?同样得： x?t ? ? ?2 ?t ? ? ?3 ?t ? 。2.3带通信号 s ?t ? ? ?? A cos 2?f C t 0 ?0?t ?T 通过一个冲激响应为 h?t ? 的线性系统， 其他 0?t ?T ，试求： （1）s ?t ? 的复包络 s L ?t ? ； 其他输出为 y ?t ? 。若 f C ??2 cos 2?f C t 4 ，h?t ? ? ? T 0 ?（2） y ?t ? 的复包络 y L ?t ? 的复包络；（3）求 y ?t ? 。 解： （1） s L ?t ? ? ??A ?00 ?t ?T ； 其他7（2） h?t ? 的等效低通响应为 hL ?t ? ??1 1 z h ?t ?e ? j 2?f C t ? ? 2 ?0? ??0?t ?T 其他y L ?t ? ? hL ?t ?* sL ?t ? ? ? s L ?t ? ? ?hL ?? ?d? ??T0? At ? ? t? ? s L ?t ? ? ?d? ? ? AT ? 2 ? ? T? ? ? ? 0 ?0?t ?T T ? t ? 2T 其他（3） y ?t ? ? Re y L ?t ?e?j 2?f C t?At cos 2?f C t ? ? ? t? ? ? ? AT ? 2 ? ? cos 2?f C t T? ? ? ? 0 ?0?t ?T T ? t ? 2T 其他2.4证明实平稳随机过程 X ?t ? 的自协方差函数满足如果的关系： （1） ?X ?? ? ? ?X ?? ? ? ；2 （2） ?X ?? ? ? R X ?? ? ? m X ；（3） ?X ?? ? ? ?X ?0? 。证明： （1）按照定义?X ?? ? ? E?? X ?t ? ? ? ? m X ?? X ?t ? ? m X ?? ? E?? X ?t ? ? m X ?? X ?t ? ? ? ? mX ?? ? ?X ?? ? ?（2）利用随机过程平稳的特性，可得?X ?? ? ? E?? X ?t ? ? ? ? m X ?? X ?t ? ? m X ??2 ? E X ?t ? ? ? X ?t ? ? X ?t ? ? ?m X ? X ?t ?mX ? m X??2 ? E? X ?t ? ? ?X ?t ?? ? E? X ?t ? ? ??m X ? E? X ?t ??m X ? m X 2 ? RX ?? ? ? m X（3）利用小题（2）的结果和自相关函数 R X ?? ? ? R X ?0 ? 的性质，立刻有?X ?? ? ? ?X ?0?2.5 设 y ?t ? ? x1 cos ?0 t ? x2 sin ?0 t ，是均值为 0、方差为 ? 2 ，且相互独立的高斯随2 （2） y ?t ? 的一维概率密度函数 p? y ? ； （ 3） 求 y ?t ? 机变量， 试求： （1）E ? y ?t ?? 和 E y ?t ? ；??的相关函数与自协方差函数。 解： （1） E ? y ?t ?? ? E ?x1 cos ?0 t ? x2 sin ?0 t ? ? E ? x1 ? cos ?0 t ? E ? x2 ?sin ?0t ? 0 ? 0 ? 0E y 2 ?t ? ? E ? x1 cos ?0t ? x2 sin ?0t ??? ?2 22?2? E ? x1 cos ?0t ? ? 2 x1 x2 cos ?0t sin ?0t ? ? x2 sin ?0t ??2?? ? E ?x ?cos ? E ?x ?cos2 1 2 12 ? E x12 cos 2 ?0t ? 2 x1 x2 cos ?0t sin ?0t ? x2 sin 2 ?0t?2 ?0t ? 2 E ? x1 ?E ? x2 ? cos ? 0t sin ?0t ? E ?x2 ?sin 2 ?0t 2 ?sin 2 ?0t ? ? 2 cos2 ?0t ? ? 2 sin 2 ?0t ? ? 2 ?0t ? 0 ? E ?x28（2）在任一时刻 y ?t ? ? x1 cos ?0 t ? x2 sin ?0 t 可看作两高斯随机变量的线性加权和， 因此仍为一高斯随机变量，由小题（1），已经求得 E ? y ?t ?? ＝0 和 E y ?t ? ? ? ，由此可得2 2??2 2 2 ?y ? E ? y ?t ? ? E? y ?t ??? ? E ?y 2 ?t ?? ? ?E? y ?t ??? ? ? 2 ? 0 ? ? 2??已知该高斯随机过程的均值与方差，可得其分布为2 ? ? 1 ? ? y ? E ? y ?? ? ? ? ? y2 ? ? ? p? y ? ? exp exp ? ? ?? 2 ? 2 2 2 2? y 2? ? y 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?1（3） y ?t ? 的相关函数Ry ?t1 , t2 ? ? E ? y ?t1 ? y ?t 2 ?? ? E?? x1 cos ?0t1 ? x2 sin ?0t1 ?? x1 cos ?0t2 ? x2 sin ?0t2 ??2 ? E x12 cos ?0t1 cos ?0t2 ? x1 x2 cos ?0t1 sin ?0t 2 ? x1 x2 cos ?0t1 sin ?0t 2 ? x2 sin ?0t1 sin ?0t 2 2 1 0 1 0 2 2 ? 0 ? 0 ? E x2 sin ?0t1 sin ?0t2? ? E ?x ?cos ? t cos ? t?? ?? ? 2 ?cos ?0t1 cos ?0t 2 ? sin ?0t1 sin ?0t 2 ? ? ? 2 cos ?0 ?t 2 ? t1 ? ? ? 2 cos ?0? 其中? ? t 2 ? t1 。因已知 y ?t ? 的均值为 0，可见 y ?t ? 是一平稳随机过程。y ?t ? 的自协方差函数?y ?t1 , t2 ? ? E?? y?t1 ? ? E ? y?t1 ???? y ?t2 ? ? E ? y?t 2 ???? ? E ? y?t1 ? y?t 2 ?? ? ? 2 cos ?0 ?t2 ? t1 ? ? ? 2 cos ?0?2.6 已知随机信号 x?t ? ? A cos?? 0 t ? ? ? ，式中 A 是均值为?A、方差为?A2 的高斯随机变量。 （1）求随机信号 x(t)的均值和协方差； （2）该随机信号是否为广义平稳的随机过程， 为什么？ 解： （1）均值：E?x?t ?? ? E? A cos?? 0t ? ? ?? ? E ? A?cos?? 0t ? ? ? ? ? A cos?? 0 t ? ? ?协方差：??t1 , t 2 ? ? E?x?t1 ? ? ? A cos?? 0 t1 ? ? ???x?t 2 ? ? ? A cos?? 0 t 2 ? ? ?? ? E?x ?t1 ?x ?t 2 ?? ? E?x?t 2 ??? A cos?? 0 t1 ? ? ?2 ? E ?x?t1 ??? A cos?? 0 t 2 ? ? ? ? ? A cos?? 0 t1 ? ? ?cos?? 0 t 2 ? ? ? 2 ? E A 2 cos?? 0 t1 ? ? ? cos?? 0 t 2 ? ? ? ? ? A cos?? 0 t1 ? ? ?cos?? 0 t 2 ? ? ?? ?2 A? ? ??2 2 2 ? ?A ? ?A cos?? 0 t1 ? ? ? cos?? 0 t 2 ? ? ? ? ? A cos?? 0 t1 ? ? ?cos?? 0 t 2 ? ? ? 2 ? 2? A cos?? 0 t1 ? ? ? cos?? 0 t 2 ? ? ???（2）因为均值为时变的函数，所以该随机信号为非平稳的随机过程。92.7已知 x?t ? 和 y ?t ? 是两个相互独立和零均值的平稳随机过程，它们的自相关函数分?? ?别为： R X ?? ? ? e,R y ?? ? ? ?? ?? ? 。若 z ?t ? ? x?t ? ? y ?t ? ，求 z ?t ? 的功率密度谱。解：由于 x?t ? 和 y ?t ? 相互独立，且均值为 0，因此 E ?x?t1 ? y ?t2 ?? ? E ?x ?t1 ??E ? y ?t 2 ?? ? 0 ， 所以 z ?t ? 的自相关函数Rz ?? ? ? E?z ?t ?z ?t ? ? ?? ? E??x?t ? ? y ?t ???x?t ? ? ? ? y ?t ? ? ??? ? E?x?t ?x?t ? ? ?? ? E?x ?t ? y ?t ? ? ?? ? E ?x?t ? ? ? y ?t ?? ? E? y ?t ? y ?t ? ? ?? ? E?x?t ?x?t ? ? ?? ? E?x ?t ??E? y ?t ? ? ?? ? E?x?t ? ? ??E? y ?t ?? ? E? y ?t ? y ?t ? ? ?? ? E?x?t ?x?t ? ? ?? ? E? y ?t ? y ?t ? ? ?? ? Rx ?? ? ? Ry ?? ?z ?t ? 的功率密度谱为? j 2? f ? Pz ? f ? ? ? Rz ?? ? e ? j 2? f ? d? ? ? ? Rx ?? ? ? Ry ?? ? ? d? ? e ?? ?? ? ?? ? ? j 2? f ? ?? ? e ? ?? ?? ? ? d? ? ? e?? e ? j 2? f ? d? ? ? e ??? e ? j 2? f ? d? ? ? ?e ?? ? ?? 0 1 1 2? ? ? ?? ? 2 ?? ? ? j 2? f ? ? j 2? f ? ? 4? 2 f 2 ? 0 ? ? ?2.8设 RC 低通滤波器如题图 2.8 所示，求当输入 n(t)为均值为 0，功率密度谱为 N0/2的白噪声时，输出过程 y(t)的均值、功率密度谱、自相关函数和分布特性。R C题图2.8 RC低通滤波器解：RC 低通滤波器的频率特性为H?f ??均值1 1 ? j 2?fRCmY ?t ? ? ? h?t ? ? ?E ?n?? ??d? ? ? h?t ? ? ? ? 0d? ? 0?? ????功率密度谱PY ? f ? ? PI ? f ? H ? f ? ?自相关函数，求功率密度谱的傅氏变换得2N0 1 2 2 2 2 2 1 ? 4? f R C10PY ? f ? ?? ? 1 N0 N ? ?? RY ?? ? ? 0 e RC 2 2 2 2 2 1 ? 4? f R C 4 RC1噪声功率（输出信号方差）N0 1 df 2 2 2 2 2 1 ? 4? f R C ? N0 N 1 1 ? ? 0 arctan f1 f ??? df1 ? 2 ? 1 ? ? 2 2?RC 1 ? f1 4?RC2 ? ? PY ? f ?df ? ? NY ? ? Y ?? ? ? ???N0 ? ? ? ? ?? N0 ? ? ? ? ?? ?? 4?RC ? ? 2 ? 2 ? ? 4 RC因为高斯过程经线性系统后仍为高斯过程， 现已求得均值和方差， 所以输出高斯信号分布概 率密度函数为pY ? y ? ? N mY , ??2 Y? ? N ?0,? ?2 Y? ? y ? exp ?? ? ?? 2? ? Y ? ? ? Y 1? ? ? ?2? ? ? ?2.9 若双边功率密度谱为 N 0 2 的白噪声经过传递函数为 H ? f ? 的滤波器后成为 X ?t ? ，?TS ? ?1 ? cos ?fTS ? H?f ?? ? 2 ? 0 ?求 X ?t ? 的功率密度谱及其功率。 解： X ?t ? 的功率密度谱为f ?1 TS 其他PX ? f ? ? H ? f ?22 ? N 0 ? N 0TS ?1 ? cos ?fTS ?2 ?? 2 ? 8 0 ?f ?1 TS 其他X ?t ? 的功率 P ? ? PX ? f ?df ? ? TS2?? ? ? TS2N 0TS2 ?1 ? cos ?fTS ?2 df ? 3N 0TS 8 82.10设 X ?t ? ? X C ?t ? cos 2?f C t ? X S ?t ? sin 2?f C t 为窄带高斯平稳随机过程，其均值为2 信号 A cos 2?f C t ? X ?t ? 经过题图 2.10 所示的电路后成为 Y ?t ? ? u ?t ? ? v?t ? ， 0， 方差为 ? X 。其中 u ?t ? 是与 A cos 2?f C t 对应的输出， v?t ? 是与 X ?t ? 对应的输出。假设 X C ?t ? 和 X S ?t ? 的 带宽等于低通滤波器 LPF 的通频带。 （1）若 ? 为常数，求 u ?t ? 和 v?t ? 的平均功率之比； （2） 若 ? 与 X ?t ? 是独立的零均值的高斯随机变量，求 u ?t ? 和 v?t ? 的平均功率之比。11A cos 2?fC t ? X ?t ?LPFy ?t ? ? u ?t ? ? v?t ?cos?2?fC t ? ? ?题图 2.10 解： （1） ? 为常数，由图， A cos 2?f C t 经乘法器和低通滤波器输出分别为A cos 2?f C t ? cos?2?f C t ? ? ? ? u ?t ? ?A A cos?2 ? 2?f C t ? ? ? ? cos ? 2 2 A cos ? 2u ?t ? 的功率为A2 Pu ? u ?t ? ? cos2 ? 42（1）X ?t ? 经乘法器和低通滤波器输出分别为X ?t ? cos?2?f C t ? ? ? ? ? X C ?t ? cos 2?f C t ? X S ?t ?sin 2?f C t ?cos?2?f C t ? ? ? ? 1 1 X C ?t ??cos?2 ? 2?f C t ? ? ? ? cos? ? ? X S ?t ??sin ?2 ? 2?f C t ? ? ? ? sin ? ? 2 2v?t ? ?1 1 X C ?t ? cos ? ? X S ?t ? sin ? 2 2v?t ? 的平均功率为2 ?? 1 1 ? ? P v ? E v 2 ?t ? ? E ?? X C ?t ? cos? ? X S ?t ?sin ? ? ? 2 ? ? ? ? ?? 2 1 2 ?t ? cos2 ? ? 1 E?X C ?t ?X S ?t ??sin ? cos? ? 1 E X S2 ?t ? sin 2 ? ? E XC 4 2 4 1 2 1 2 1 2 ? ?X cos 2 ? ? 0 ? ? X sin 2 ? ? ? X 4 4 4??????（2）由（1）和（2）两式得Pu A2 ? 2 cos 2 ? Pv ? X（2） ? 与 X ?t ? 同是独立的零均值的高斯随机变量，记 ? 的方差为 ? 。此时，利用小2题（1）的结果， u ?t ? 的平均功率为? A2 A2 A2 2 ? 2 P u ? E u ?t ? ? E ? cos ? ? ? E cos ? ? E ?1 ? cos 2? ? 4 ?4 ? 4 A2 A 2 A2 A 2 ? ? E ?cos 2? ? ? ? E e j 2? ? e ? j 2? 8 8 8 16?2?????12因为Ee ?e代入上式得?? j 2??? ??? ?????e? j 2?p?? ?d? ? ? e???? j 2?? 2 1 e 2? d? 2? ??2? 2? 2? 1 e 2? ??? ? j? ?2? 22 2d? ? e ? 2?2Pu ?v ? t ? 的平均功率仍为A2 A 2 A2 A2 ? 2? 2 ? E e j 2? ? e ? j 2? ? ? e 8 16 8 8??1 2 Pv ? ? X 4由此得Pu A2 A2 ? 2? 2 ? ? e 2 2 2? X P v 2? X2.11 若随机过程 z ?t ? ? m?t ? cos?2?f 0t ? ? ? ，其中 m?t ? 是广义平稳随机过程，且自相关函数 Rm ?? ? 为?1 ? ? ? Rm ?? ? ? ?1 ? ? ? 0 ??1 ? ? ? 0 0 ?? ?1 其他（1）证明 z ?t ? ? 是在 ?0, ? ?范围内服从均匀分布的随机变量，且与 m?t ? 彼此独立， f 0 ? 3 。 是广义平稳的；（2）绘出自相关函数 Rz ?? ? 的波形；（3）求功率谱密度 Pz ?? ? 及功率 S 。 解： （1）均值E?z ?t ?? ? E?m?t ? cos??0t ? ? ?? ? E?m?t ??? E?cos??0t ? ? ?? ? E?m?t ??? ? cos??0t ? ? ?0 2?1 d? 2? 1 d? ? E?m?t ??? 0 ? 0 2?? E?m?t ??? ?相关函数2?0?cos ?0t cos? ? sin ?0t sin ? ?Rz ?z ?t1 ? ? z ?t 2 ?? ? ?m?t1 ? cos??0t1 ? ? ? ? m?t 2 ? cos??0t2 ? ? ?? ? E?m?t1 ?m?t 2 ??E?cos??0t1 ? ? ? cos??0t2 ? ? ?? ? ?1 ? ?1 ?? ? Rm ?? ? ? ? E ? cos ?0 ?t1 ? t 2 ? ? 2? ? ? E ? cos ?0 ?t1 ? t 2 ?? ? ? ?2 ?? ? ?2 ? 1 ? 1 ? Rm ?? ? ? ?0 ? cos ?0 ?t1 ? t 2 ?? ? Rm ?? ? cos ?0? ? 2 ? 213z ?t ? 的均值为零（常数），相关函数只与时间的差值? 有关，因此是广义平稳的。（2）由小题（1） Rz ?? ? ?1 1 Rm ?? ? cos ?0? ? Rm ?? ? cos 2?? ，由此可绘出其波形如下 2 2RZ ?? ??（3）相关函数与功率密度谱是一对傅氏变换： Rz ?? ? ? PZ ?? ? 。因为??cos ?0? ? ? ? ?? ?? ? ?0 ? ? ? ?? ? ?0 ??? ? ? ? sin ?? 2 ? ? ??Rm ?? ?? ? sinc ? ? ? ? ? ?2? ? ? 2 ?22因此可得功率谱为PZ ?? ? ? ? ?功率为1 1 ? ??cos ? 0? ? ? ??Rm ?? ?? 2 2?1 ?? ? ? ?? ?? ? ?0 ? ? ? ?? ? ?0 ??? sinc 2 ? ? 4? ?2? 1? ? ? ? ?0 ? 2 ? ? ? ? 0 ?? sinc 2 ? ? ? sinc ? ?? ? 4? ? 2 ? ? 2 ??1 2S ? Rz ? 0 ? ?2.12设信道加性高斯白噪声的功率密度谱为 N 0 2 ，设计一个题图 2.12 所示的信号s ?t ? 的匹配滤波器。（1）求匹配滤波器冲激响应的波形图；（2）确定匹配滤波器的最大信号输出幅度；（3）求匹配滤波器最大输出信噪比；（4）画出信号 s ?t ? 输入匹配滤波器时输 出信号 so ?t ? 的波形图。题图 2.12 解：14（1）通过对信号 s ?t ? 关于纵轴折叠反转和平移等操作，容易得匹配滤波器的冲激响应h?t ? ? k ' s?T ? t ? 的波形图为（2）匹配滤波器对信号 s ?t ? 响应的最大输出幅度为so ?T ? ? ? s ?? ?h?t ? ? ?d? ? kA? d? ?kAT0 0TT（3）噪声的平均功率为N0 N ? 2 df ? 0 ? H ? f ? df ? ? 2 2 N ? N T N ? 0 ? h 2 ?t ?dt ? 0 ? k 2 dt ? 0 k 2T 2 ?? 2 0 2 N ? ? H?f ??? ? 2最大的输出信噪比SNRmax2 so T ? k 2 A2T 2 2 A2T ? ? ? ? N N 0 k 2T 2 N0（4）严格求匹配滤波器时输出信号 so ?t ? 的波形图是一种较为复杂的卷积计算过程。但 对于本题的规则特殊情况： s ?t ? 和 h?t ? 均是分段的常数， so ?t ? 波形将由若干直线组成，只 即可获得 so ?t ? 波 要计算出在 s ?t ? 和 h?t ? 分段位置 t ? 0, T 2 , T , 3T 2 , 2T 时刻的 so ?t ? 取值， 形曲线。so ?0 ? ? 0so ?T 2 ? ? ?T 0T 2 0s ?? ?h?T 2 ? ? ?d? ? ?T 2 0T 20A ? ?? k ?d? ? ?TkAT 2so ?T ? ? ? s ?? ?h?T ? ? ?d? ? ? ? kAT kAT ? ? kAT 2 23T 2 0A ? kd? ? ?T 2?? A?? ?? k ?d?so ?3T 2 ? ? ? ??T 2 0s?? ?h?T ? ? ?d?T 3T 20 ? 0d? ? ??? A? ? kd? ? ?T T 20 ? 0d? ? ?kAT 2so ?2T ? ? 0将上述的点用直线连接，即可获得如下 so ?t ? 的波形15kATso(t)T/2 0 -kAT/2 T3T/2 2Tt2.13已知信号 s ?t ? 的波形如题图 2.13 所示，加性高斯白噪声的功率密度谱为 N 0 2 。（1）求出 s ?t ? 的匹配滤波器的冲激响应波形图；（2）求出匹配滤波器的最大输出信噪比； （3）求输出信噪比达到最大时，输出值的概率密度函数。题图 2.13 解： （1）匹配滤波器的波形图为（2）噪声平均功率为2 ? ? H?f ? ?n ??N0 N df ? 0 2 2 N ? N 2 ? 0 ? h?t ? dt ? 0 k 2T 2 ?? 2? 2T????H ? f ? df2在 t ? T 时刻，匹配滤波器输出的信号最大值so ?T ? ? ? s 2 ?t ?dt ? A2T0匹配滤波器的最大输出信噪比SNRmax ?2 so ?T ? 2 ?n?A T ? ?22k 2TN 0 2?2 A4T k 2 N016（3） t ? T 时刻，匹配滤波器的输出值 so ?T ? ? n ? A2T ? n ， n 是均值为 0，方差为? n2 ?N0 2 k T 的高斯随机信号，输出信噪比达到最大时，输出值的概率密度函数 2? n ? A2T p?n ? ? exp ?? 2 2 ?n 2?? n ? ? 1??? ?。2? ?2． 14 已知噪声 n?t ? 的自相关函数 Rn ?? ? ?a ?a ? e ， a 为常数。 （1） 求功率谱密度 Pn ?? ? 2及其功率 S ；（2）绘出 Rn ?? ? 及 Pn ?? ? 的图形。 解： （1）功率密度谱Pn ?? ? ? ? Rn ?? ?e ? j?? d? ? ???????a ? a ? ? j?? e e d? 2?a 0 a? ? j?? a ? e e d? ? ? e ? a? e ? j?? d? ? ? ? 2 2 0 a? 1 1 ? a2 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2? ? a ? j? a ? j? ? a ? ?a ?a ? e 2 a 2信号平均功率S ? E ?n2 ?t ?? ? Rn ?0? ?（2） Rn ?? ? 及 Pn ?? ? 的图形? ?0?a 2Rn ?? ?Pn ?? ???2.15将一个均值为 0，功率密度谱为 N 0 2 的高斯白噪声加到一个中心角频率为 ? 0 ，带宽为 W 的如题图 2.15 所示的理想带通滤波器上。（1）求滤波器输出噪声的自相关函数； （2）写出输出噪声的一维概率密度函数。2?WH ?? ?2?W?? ?0题图 2.1517?0解：将高斯白噪声加到一个理想带通滤波器上时，滤波输出将是一个窄带高斯白噪声， 其概率密度谱为Po ?? ? ? H ?? ?2N N0 ? ? 0 ?? 2 2 ? 0 ???0 ? ?W ? ? ? ?0＋?W其他由平稳随机过程的自相关函数与功率密度谱的傅氏变换关系式，其自相关函数为Ro ?? ? ? ? 1 2??1 2????Po ?? ?e j?? d?N 0 j?? 1 e d? ? 2 2? sin ??W? ? ? N 0W cos?0? ?W????? 0 ? ?W0 ??W??? 0 ??W0 ??WN 0 j?? e d? 218第三章 模拟信号的数字编码3.1 试确定能够完全重构信号 x(t)=sin(6280t)/(6280t)所需的最低采样速率。 解: sin(6280t)/(6280t)=sin(Wt/2)/(Wt/2) W/2=2πf=6280 弧度 f=1000Hz fm=1000Hz fs=2 fm =2000 样本/s 3.2 某载波电话通信系统的频率范围为 60~108kHz。若对它采用低通抽样，最低抽样 频率是多少？若对它采用带通抽样，最低抽样频率又是多少？ 解: 由题 fL=60kHz, fH=108kHz, B= fH -fL=48kHz 低通抽样 根据抽样定理 fs =2 fH =216kHz 带通抽样 fH =nB+kB=2×48+0.25×48=108kHz 因此 n=2, k=0.25,根据带通抽样定理 fs =2B(1+k/n)=2×48×(1+0.25/2)=108kHz 3.3 使用 256 个电平的均匀 PCM，当信号均匀分布于[-2,2]区间时，得到的 SNR 为？ 解：SNR ?2 ?X ? M 2 ? 22b =dB ? q23.4 设模拟信号 s(t)的幅值[-2，2]内均匀分布，最高频率为 4kHz。现对它进行奈奎斯 特抽样，并经过均匀量化后编为二进制码。设量化间隔为 1/64。试求该 PCM 系统的信息速 率和输出的量化信噪比。 解：由题意 a=-2 b=2 △v=1/64, fH =4kHz 量化电平 M=(b-a)/ △v=4×64=256 因此编码位数 N=log2M=8 对信号进行 Nyquist 抽样 fs =2 fH =2×4=8kHz, Rb=N fs =8×8=64kb/s 信号幅度值均匀分布，因此信噪比为 S/Nq=M2=256×256=6dB 3.5 在 CD 播放机中，抽样率为 44.1kHz，对抽样值采用 16 比特/样本的量化器进行量 化。求出持续时间为 5 分钟（约一首歌）的立体声音乐所需要的容量。 解： 4×60×2=4../.47M193.6设某量化器的压缩特性曲线为 f ( x) ?1 ln x ，试计算其信噪比，有什么结论。 B解: 因为 f ( x) ? 所以 f ?( x ) ?1 ln x B1 Bx? q2 ?而信号功率为q2 6?V0p X ( x) B2q2 dx ? 2 6 ? f ?( x) ?V?V0x 2 p X ( x)dx? q2 ? 2 ? x 2 pX ( x )dx0则可得12 3L2 ? ? ? 常数 ? q2 B 2 q 2 B 2V 2 S因此，压缩特性为对数时，量化器输出信噪比 S/σq 始终保持为常数。 3.7 令?=100，试计算当 x=0 和 x=1 时的放大量。 解：? ? ? dy ? ? dx ? ? 1 ? ? x ln 1 ? ? ? ln 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ?0 ?例如，当?=100 时，此值为 21.7，即? ? dy ? ? dx ? ? 1 ? ? ln 1 ? ? ? ? ? ? ? x ?1 ?当?=100 时，此值为 0.214。 因为 x 和 y 都进行了归一化，在均匀量化时，上面的值应该为 1，因此，当?=100 时， 信号很小(x→0)时，量化间隔比均匀量化时减少了 21.7 倍，量化误差大大下降；而当信号最 大(x→1)时，量化间隔比均匀量化时增加 1/0.214=4.67 倍。 3.8 用草图画出?=10 时的压缩特性曲线草图。 解: 用 Matlab 画出如下20? law ?=101 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0y00.10.20.30.40.5 x0.60.70.80.913.9 采用 13 折线 A 律编码电路， 设最小量化间隔为 1 个单位， 已知抽样脉冲值为+635 单位。（1）试求此时编码器输出码组，并计算量化误差。 （2）采用自然二进制码，写出对应于该 7 位码的均匀量化 11 位码。 解： (1) 设码组为 c1c2c3c4c5c6c7c8。 因为抽样脉冲值是+635&0，所以极性码 c1=1。 因为 512&635&1024，所以落入第 7 段，段落码为 c2c3c4=110。 这一段长度为 ，再进行 16 级均匀量化，量化间隔为 512/16=32. 抽样脉冲值在段内的位置为 635-512=123. 3&123/32&4 因此落在段内位置的第三段，即 c5c6c7c8=0011。 因此编码器的码组输出为
量化输出电平为 512+32×3+32/2=624 个量化单位 则量化误差为|635-624=11 个量化单位。 (2)除极性码以外的 7 位非线性码组为 110011，对应的量化值是 624. 因为 624=29+26+25+24，故相应的 11 位自然二进制码元为 。 3.10 某 A 律 13 折线 PCM 编码器的设计输入范围是(-5,5)V。 若抽样脉冲幅度 x=1.2V， 请按照 CCITT G7.111 建议进行 PCM 编码。 (1)求编码器的输出码组； (2)求解码器输出的量化电平值，并计算量化误差； (3)写出对应于 A 律 13 折线 PCM 码组的均匀量化线性编码的码组(13 位码)。 解： (1) x ? 0 所以极性码为 1；x ? 1.2V ，折合为1.2 ? 4096 ? 983.04 量化单位。 521从此图可见段落码是 101。512 ? 32 量化单位。 16 ? 983.04 ? 512 ? 因此段内码是 ? ? ? 14 ? ?1110 ?2 ? ? ?此段落的量化间隔是 因此输出码组是 )所在量化区间的起点是 960 单位，终点是 992 单位，因此量化电平是 976 个量化单 位，即 976 ?5 ? 1.1914V 。量化误差为 983.04 ? 976 ? 7.04 量化单位，即 0.0086 伏 40969 8 7 5 4(3) 976 ? 512+256+128+64+16=2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?0 ? 2 3.11 若将一个二阶线性预测用于 DPCM：?(n) ? a1 x (n ? 1) ? a2 x(n ? 2) x假设实平稳序列{x(n)}的均值为 0， 自相关函数为 Rx(m)=E[x(n)x(n+m)]， 且 Rx(0)=1， Rx(1)=C1， Rx(2)= C2。试求： (1) 确定使预测误差最小的 a1 和 a2 。 (2) 确定均方预测误差表达式 解： 预测误差为? ?? ? n ? ? x ? n ? ? ?1 x ? n ? 1? ? ? 2 x ? n ? 2 ? e ? n? ? x ? n? ? x均方误差是2 2 ? ? ? e2 ? E ? ?e ? n ?? ? ? E x (n) ? ?1 x ? n ? 1? ? ? 2 ? n ? 2 ???? E? ? x ? n ? ? ? x ? n ? 1? ? ? x ? n ? 2 ? ? ? ?E ? ? ?2?1 x ? n ? x ? n ? 1? ? 2? 2 x ? n ? x ? n ? 2 ? ? 2?1? 2 x ? n ? 1? x ? n ? 2 ? ? ?2 ? Rx ? 0 ? ?1 ? ?12 ? ? 2 ? ? 2 ? ??1 ? ?1? 2 ? Rx ?1? ? 2? 2 Rx ? 2? 2 ? 1 ? ?12 ? ? 2 ? 2?1c1 ? 2?1? 2 c1 ? 2? 2 c222 122 22求极小值，通过令?? 2 ?? e2 ? 0 ， e ? 0 得到 ??1 ?? 222? ? ? ?2?1 ? ?1 ? ? 2 ? c1 ? 0 ? ? ? ? ?2? 2 ? 2c2 ? 2c1?1 ? 0解得? ? c1 ? c1c2 ??1 ? 2 ? c 2 ? 1 ? 2 ?? ? ? 2c2 ? c1 2 ? 2 ? c12 ?? ? ，?2 代入 ? e2 式，得到 将 ?1?2 e min?2 2 2 ?1 ? c2 ? c14 ? ? c2 ? 6c2 ? 7 ? c12 ? 4 ? 4c2?2 ? c ?2 2 1随机过程 X(t)具有如下的自相关函数 Rx(0)=1，Rx(1)=0.8，Rx(2)=0.6，Rx(3)=0.4 (a)若用三个延迟单元，计算最优线性预测器的系数 (b)求所得到预测误差的方差。 解： 3.12? 1 0.8 0.6? ? Rx ? ? ? 0.8 1 0.8? ? ?0.6 0.8 1 ? ?rx=[0.8, 0.6, 0.4]T (a)1 w0 ? R ? x rx? 1 0.8 0.6? ?0.8 ? ? ? ? ?? ? 0.8 1 0.8? ?0.6 ? ? ?0.6 0.8 1 ? ? ? ?0.4 ? ? ? 0.875 ? ? ?? ? 0 ? ? ? ?0.125? ??1(b)T 1 J min ? Rx (0) ? rx R? x rx? Rx (0) ? rxT w 0 ? 0.875 ? ? ? 1 ? ? 0.8, 0.6, 0.4? ? ? 0 ? ? ??0.125 ? ? ? 1 ? 0.7 ? 0.05 ? 0.35233.13 对一最高频率为 900Hz 的语音信号进行 DM 编码传输， 接收端低通滤波器的截止 频率为 3.4kHz。若要求系统的量化信噪比为 30dB。求该 DM 系统应采用的抽样频率和信息 速率。 解：由题意 f0=900Hz， fL=3.4kHz, Smax/Nq=30dB=1000 对于 DM 系统，最大量化信噪比满足? Smax f s3 3 ? f3 ? 3 ? ? 2 ? 2s ? ? 2 ? ? 2 Nq 8? ? f 0 f L ? 8? ? 900 ? 3.4 ? 1000 ?可解得 fs=41kHz DM 系统采用 1 位编码，故信息速率 fb=41kHz 一个带限低通信号 x(t ) 具有如下的频谱特性3.141X(f)?f 200f ? 200Hz0其他（1）若抽样频率 f s ? 300Hz ，画出对 x(t ) 进行理想抽样时，在 f ? 200 Hz 范围内已 抽样信号 xs (t ) 的频谱； （2） f s 改为 400Hz 后重复（1）?解： X s (w) ? f sn ? ??? X ( w ? nw )s ?（1）当 f s ? 300Hz 时， X s (w) ? 300n ? ??? X ( w ? n ? 600? ) ，如题图 3.14（b）所示。?（2） 当 f s ? 400 Hz 时， X s ( w ) 所示。? 400n ? ??? X ( w ? n ? 800 ? ) ，如题图 3.14（c）24M( f )f / HzM( f )f / HzM( f )f / Hz题图 3.143.15已知一基带信号 x(t ) ? cos 2?t ? 2 cos 4?t ，对其进行理想抽样。（1）为了在接收端能不失真地从已抽样信号 xs (t ) 中恢复出 x(t ) ，抽样间隔应如何选 取？ （2）若抽样间隔取为 0.2s，试画出已抽样信号的频谱图。 解：设抽样频率和间隔分别为 f s 和 Ts ，已抽样信号为 xs (t ) ? X s ( w) 。（1） x(t ) 的最大频率为 f H ? 2 Hz ，根据抽样定理， f s ? 2 f H ? 4 Hz ，故Ts ?1 ? 0.25s fs（2）因为 Ts ? 0.2s ，故 f s ? 5 Hz ，又X (w) ? ? ?? (w ? 2? ) ? ? ( w ? 2? )? ? 2? ?? ( w ? 4? ) ? ? ( w ? 4? )?25故X s ( w) ?1 Ts? n ? ?? ?? X ( w ? nw )s? 5?n ? ??? ??? ( w ? 10?n ? 2? ) ? ? ( w ? 10?n ? 2? )? ? 2?? ( w ? 10?n ? 4? ) ? ? ( w ? 10?n ? 4? )??绘制 X s ( w) ,如题图 3.15 所示。????? ????? ???题图 3.153.16设信号 x(t ) ? 9 ? A cos wt ，其中 A ? 10V 。若 x(t ) 被均匀量化为 41 个电平，试确定所需的二进制码组的位数 N 量化间隔 ? 。5 6解：由 2 ? 41 ? 2 ，得 N ? 6又 x(t ) 的信号范围为 (?1,19)故? ?19 ? (?1) ? 0.5V 41 ? 13.17已知模拟信号抽样值的概率密度函数 f ( x ) 如题图 3.17 所示。26f ( x)x题图 3.17 将 x 经过一个 4 电平均匀量化器得到输出是 y ? ? y1 , y2 , y3 , y4 ? ，试求：2 （1）量化器输出信号的平均功率 S q ? E ? ?y ? ?；2 （2）量化噪声 e ? y ? x 平均功率 N q ? E ? ?e ? ?；（3）量化信噪比Sq Nq的分贝值。解：量化间隔 ? ?1 ? (?1) ? 0.5 4? 分层电平 xk 分别为-1，-0.5，0，0.5，1量化电平 yk 为：y k ? ?1 ? k ? ? ?? 2 ? ?0.75,?0.25,?0.25,?0.7527量化后的信号功率为：4S q ? E[ y ] ? ? ( yk )2 ?k ?12xkxk ?1f k ( x) dx0 ?0.5? (?0.75)2 ? ? 3 16?0.5?1( x ? 1) dx ? (?0.25)2 ?( x ? 1) dx ? (0.75)2 ? ( x ? 1) dx ? (0.25)2 ? ( x ? 1) dx0.5 010.5量化噪声功率为：4N q ? E[( y ? x )2 ] ? ? ?k ?1 ?0.5xkxk ?1( yk ? x )2 f k ( x) dx0 ? 2 ? ? (?0.75 ? x )2 ( x ? 1)dx ? ? (?0.25 ? x )2 ( x ? 1)dx ? ? ?1 ? ?0.5 ? ??1 48Sq Nq因此，量化信噪比为?3 / 16 ?9 1 / 48?S ? ? ? q ? ? 10lg 9 ? 9.542 dB ? Nq ? ? dB ?3.18 采用 13 折线 A 率编码器电路，设接收端收到的码组为“”，最小量化 单位为 1 个单位，并已知段内码为折叠二进制码。 （1）试问本地译码器输出为多少个单位？ （2）写出对应于该 7 位码（不包括极性码）的均匀量化 11 位码。 解： （1） c2 c3c4 ? 101 表示第 6 段落， c5c6 c7 c8 ? 0011 起始电平为 256。 c1 ? 0 ， 极性为负。 表示第 5 段内起始电平，故译码输出为 ? 256 ? 4 ?16 ? ?320 。 （2）均匀量化 11 位码为 。283.19设简单增量调制器输入的正弦信号频率为 3.4 kHz 、幅度为1 V ，若抽样频率f s ? 32 kHz ，求量化间隔的范围。解：正弦信号最大斜率为Aw ? 1? 2? ? 3.14 ?103为使 ?M 不过载，必须满足Aw ? ?f s由此可得??Aw 2? ? 3.4 ? 103 ? V ? 0.67 V fs 32 ? 1033.20信号 x(t ) ? A sin 2?f 0t 进行简单增量调制，若量化间隔 ? 和抽样频率 f s 的选择既能保证不过载， 又能保证不会因为信号振幅太小而使得铮亮调制器不能正常编码， 试证明 此时要求 f s ? ?f 0 。 证明： （在简单增量调制系统中， 要保证不发生过载现象， 译码器最大跟踪斜率必须大于信号 实际斜率，即 x?(t ) ? ?f s ，而对于小信号要有正常编码，又要求 x(t ) max ? 器输出为 0,1 交替信号，译码后得一常数，不能表现 x(t ) 的变化。）? ，反之，编码 2因为 x?(t ) ? Aw0 cos w0t所以 x?(t ) max ? Aw0 ? ?f s又x(t ) max ? A ?? 229?f s ? A ? 2?f 0 ?? ? 2?f 0 ? ??f 0 2所以 f s ? ?f 0 ，证毕。30第四章 信息论基础4.1某一信源以概率 1/2、1/4、1/8、1/16、1/32 和 1/32 产生 6 种不同的符号 x1 、 x2 、x3 、 x4 、 x5 和 x6 ，每个符号出现是独立的，符号速率为 1000（符号）/秒。（1）请计算每个符号所含的信息量；（2）求信源的熵；（3）求单位时间内输出的平均信息量。 解： （1）按定义，各符号所含的信息量分别为I ? x1 ? ? ? log 2 p ? x1 ? ? ? log 2 I ? x2 ? ? ? log 2 I ? x3 ? ? ? log 2 I ? x4 ? ? ? log 2 I ? x5 ? ? ? log 2 I ? x6 ? ? ? log 2（2）信源的熵1 ? 1? bit ? 2 1 p ? x2 ? ? ? log 2 ? 2 ? bit ? 4 1 p ? x3 ? ? ? log 2 ? 3 ? bit ? 8 1 p ? x4 ? ? ? log 2 ? 4 ? bit ? 16 1 p ? x5 ? ? ? log 2 ? 5 ? bit ? 32 1 p ? x6 ? ? ? log 2 ? 5 ? bit ? 32H ? X ? ? ?? i ?1 p ? xi ? log 2 p ? xi ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? log 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 2 4 4 8 8 16 16 32 32 32 32 1 1 3 4 5 5 16 ? 16 ? 8 ? 5 ? 5 50 25 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?比特 符号? 2 2 8 16 32 32 32 32 16（3）单位时间内输出的平均信息量5I ? H ? X ? RS ?25 ? 1000 ? 1562.5 ?比特 秒 ? 164.2一个离散信号源每毫秒发出 4 种符号中的一个，各相互独立符号出现的概率分别为 0.4、0.3、0.2 和 0.1，求该信号源的平均信息量与信息速率。 解：信号源的平均信息量，即熵为：H ? X ? ? ?? i ?1 p ? xi ? log 2 p ? xi ? ? ?0.4 log 2 0.4 ? 0.4 log 2 0.4 ? 0.4 log 2 0.4 ? 0.4 log 2 0.4 ? 1.864 ?比特 符号?315因为符号速率 RS＝1/10 3＝103，信息速率 Rb－Rb ? H ? X ? RS ? 1.864 ? 103 ?比特 秒?4.3设有 4 个消息符号，其出现的概率分别是 1/8、1/8、1/4 和 1/2，各消息符号的出现是相对独立的，求该符号集的平均信息量。 解：符号集的平均信息量即为其熵H ? X ? ? ?i ?1 P ? xi ?log 2 P? xi ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? log 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 ? 1.75?比特 / 符号? 8 8 8 8 4 4 2 24.4 计算字母集的信息熵。 （1）若把英文的 27 个字母和空格共 27 个符号，看作等概4出现，求其信息熵；（2）若英文字母和空格的概率分布如题表所示，求其信息熵。 题 4.4 表 英文字母的概率分布 字母 概率 字母 概率 字母 概率 解： （1） 空格 0.1956 H 0.0470 W 0.0120 E 0.1050 D 0.0350 G 0.0110 T 0.0720 L 0.0290 B 0.0105 O 0.0654 C 0.0230 V 0.0080 A 0.0630 F 0.0225 K 0.0030 N 0.0590 U 0.0225 X 0.0020 I 0.0550 M 0.0210 J 0.0010 R 0.0540 P 0.0175 Q 0.0010 S 0.0520 Y 0.0120 Z 0.00101 ? ? 1 H ? X ? ? 27? ? log ? ? log 27 ? 4.75?比特 / 符号? 27 ? ? 27（2）H ? X ? ? ?i ?1 P? xi ? log 2 P? xi ? ? 4.02?比特 / 符号?274.5中文电码表采用四位阿拉伯数字作代号，假定这种数字代码出现的概率如题 4.5表所示，如果一个报文中包含了 1 万个中文汉字，试估计该报文最多可包含多少信息量。 题 4.5 表 汉字报文中数字代码的出现概率 数字 概率 0 0.260 1 0.160 2 0.080 3 0.062 4 0.060 5 0.063 6 0.155 7 0.062 8 0.048 9 0.052解：根据定义，该信源的熵为：32H ? X ? ? ? ?i ?1 P? xi ? log 2 P? x i ? ? ?(0.26 log 0.26 ? 0.16 log 0.16 ? 0.08 log 0.08 ? 0.062 log 0.062 ? 0.06 log 0.06 ? 0.063 log 0.063 ? 0.155 log 0.155 ? 0.062 log 0.062 ? 0.048 log 0.048 ? 0.052 log 0.052) ? 3.061 （比特/符号）10利用信源的熵，可以估算该报文包含的信息量为：I ? N ? H ? X ? ? 10000 ? 4 ? 3.061 ? 122440 （比特）4.6 解：证明平均互信息量的互易性： I ? X ;Y ? ? I ?Y ; X ? 。I ? X ; Y ? ? ? i ?1 ? j ?1 p ? xi y j ? I ? y j ? ? ? i ?1 ? j ?1 p ? xi y j ? log ? ? j ?1 ? i ?1 p ? xi y j ? log ? I ?Y ; X ?N M M NMNp ? xi y j ? p ? xi ? p ? y j ? p ? y j / xi ? p? yj ?? ? i ?1 ? j ?1 p ? xi y j ? logN MMNp ? y j / xi ? p? yj ?? ? j ?1 ? i ?1 p ? xi y j ? log I ? y j ?4.7证明两离散信源的条件熵和熵之间满足如下的关系式：I ? X ;Y ? ? H ?Y ? ? H ?Y / X ?解：I ? X ; Y ? ? ?i ?1 ? j ?1 p?xi y j ?I ? y j ?M N? ?i ?1 ? j ?1 p ?xi y j ?logM Np ?xi y j ? p? xi ? p ? y j ?? ?i ?1 ? j ?1 p?xi y j ?logM Np ? y j / xi ? p?y j ?? ? 1 1 M N ? ?i ?1 ? j ?1 p ?xi y j ??log ? log ? p?y j ? p? y j / xi ?? ? ? ? 1 1 M N M N ? ?i ?1 ? j ?1 p ?xi y j ?log ? ?i ?1 ? j ?1 p ?xi y j ?log p? y j ? p ? y j / xi ? ? ? j ?1 p ? y j ?logM M N 1 1 ? ? ?i ?1 ? j ?1 p ?xi y j ?log p? y j ? p ? y j / xi ?? H ?Y ? ? H ?Y / X ?334.8 解：若 X 与 Y 统计独立，证明 H ?Y / X ? ? H ?Y ? 。H ?Y X ? ? ?i ?1 ? j ?1 p ?xi y j ?logM N1 p? y j / xi ?? ?i ?1 ? j ?1 p ?xi y j ?logM N1 p?y j ?? ?i ?1 ? j ?1 p? xi ? p ? y j ?logM N1 1 M N ? ?i ?1 p? xi ?? j ?1 p ? y j ?log p?y j ? p?y j ?? ? j ?1 p? y j ?logN1 M M p ? xi ? ? H ?Y ??i ?1 p ? xi ? ? H ?Y ? ? i ?1 p?y j ?4.9证明，一般地，有 H ? X / Y ? ? 0 。解：按定义， H ? X Y ? ? ?? ?i ?1MN j ?1p ?xi y j ?log p ?xi y j ?因为 p xi y j ? 0 ， 0 ? p xi y j ? 1 ， 定义 p xi y j ? 0 时， p xi y j log p xi y j ? 0 ，因此有? ?????????p ? xi y j ? log p ? xi y j ? ? p ? y j ? p ? xi y j ? log p ? xi y j ? ? 0由此可得H ? X Y ? ? ? ? i ?1 ? j ?1 p ? xi y j ? log p ? xi y j ? ? 0MN4.10证明，一般地，有 H ? X / Y ? ? H ? X ? 和 H ?Y / X ? ? H ? Y ? 。解：因为 I ? X ; Y ? 、 H ? X ? 和 H ? X / Y ? 之间有如下的关系式I ? X ;Y ? ? H ? X ? ? H ? X / Y ?另外，已知 I ? X ; Y ? 具有非负性，因此有0 ? I ? X ;Y ? ? H ? X ? ? H ? X / Y ?由此可得H ?X / Y ? ? H ? X ?同理可以证明 H ?Y / X ? ? H ? Y ? 。4.11已知非对称二进制信道，输入符号的概率场为34? x1 ? ? p ? x1 ?x2 ? ? 0 ??? p ? x2 ? ? ? 1 ? 41 ? ? 3 ? 4?信道转移概率矩阵为? p ? y1 x1 ? ? ? p ? y1 x2 ?p ? y2 x1 ? ? ? p ? 0 0 ? ??? p ? y2 x2 ? ? ? p ? 0 1?p ?1 0 ? ? ? 0.8 0.2 ? ?? ? p ?1 1? ? ? ? 0.1 0.9 ?求： （1）输入符号集 X 的平均信息量 H ? X ? ； （2）输出符号集 Y 的平均信息量 H ?Y ? ； （3） 条件熵 H ? X Y ? 和 H ?Y X ? ；（4）平均互信息量 I ? X , Y ? 。 解： （1） X 的平均信息量 H ? X ?H ? X ? ? ?? i ?1 p ? xi ? log 2 p ? xi ? 1 1 3 3 ? ? log 2 ? log 2 ? 0.81?比特 符号? 4 4 4 4（2） Y 的平均信息量 H ?Y ?2 1 3 p ? y1 ? ? ?? i ?1 p ? xi ? p ? y1 / xi ? ? ? 0.8 ? ? 0.1 ? 0.275 4 4 2 1 3 p ? y2 ? ? ? ? i ?1 p ? xi ? p ? y2 / xi ? ? ? 0.2 ? ? 0.9 ? 0.725 4 42H ?Y ? ? ?? j ?1 p ? y j ? log 2 p ? y j ? ? ?0.275log 2 0.275 ? 0.725log 2 0.725 ? 0.512 ? 0.336 ? 0.848 ?比特 符号?（3）条件熵 H ? X Y ? 和 H ?Y X ? 因为 H ? X / Y ? ? ?2? ?i ?122 j ?1p ? xi y j ? log 2 p ? xi / y j ? ，故要先求 p ? xi / y j ?p ? x1 y1 ? ? p ? y1 / x1 ? p ? x1 ? ? 0.8 ? 1 4 ? 0.2 p ? x1 y2 ? ? p ? y2 / x1 ? p ? x1 ? ? 0.2 ? 1 4 ? 0.05 p ? x2 y1 ? ? p ? y1 / x2 ? p ? x2 ? ? 0.1? 3 4 ? 0.075 p ? x2 y2 ? ? p ? y2 / x2 ? p ? x2 ? ? 0.9 ? 3 4 ? 0.675p ? x1 / y1 ? ?p ? x1 y1 ? p ? y1 / x1 ? p ? x1 ? 0.8 ? 1 4 ? ? ? 0.727 p ? y1 ? p ? y1 ? 0.27535p ? x1 / y2 ? ?p ? x1 y2 ? p ? y2 / x1 ? p ? x1 ? 0.2 ? 1 4 ? ? ? 0.069 p ? y2 ? p ? y2 ? 0.725 p ? x2 y1 ? p ? y1 / x2 ? p ? x2 ? 0.1? 3 4 ? ? ? 0.273 p ? y1 ? p ? y1 ? 0.275 p ? x2 y2 ? p ? y2 / x2 ? p ? x2 ? 0.9 ? 3 4 ? ? ? 0.931 p ? y2 ? p ? y2 ? 0.725p ? x2 / y1 ? ?p ? x2 / y2 ? ?H ? X / Y ? ? ?? i ?1 ? j ?1 p ? xi y j ? log 2 p ? xi / y j ? ? ?0.2 log 2 0.727 ? 0.05log 2 0.069 ? 0.075log 2 0.273 ? 0.675log 2 0.931 ? 0.495 ?比特 / 符号? H ?Y / X ? ? ?? i ?1 ? j ?1 p ? xi y j ? log 2 p ? y j / xi ? ? ?0.2 log 2 0.8 ? 0.05log 2 0.2 ? 0.075log 2 0.1 ? 0.675log 2 0.9 ? 0.532 ?比特 / 符号?（4）平均互信息量 I ? X , Y ?2 222I ? Y , X ? ? H ?Y ? ? H ?Y / X ? ? 0848 ? 0.532 ? 316 ?比特 / 符号?4.12一个系统传输四脉冲组，每个脉冲的宽度为 1mS，高度分别为：0，1，2 和 3 伏，且等概出现。每四个脉冲之后紧跟一个负 1 伏的脉冲（宽度也为 1mS），为不带信息的同 步脉冲，试计算（1）信源的熵；（2）系统传输信息的平均速率。 解： （1）信源的熵为1 1 H ? X ? ? ?4 ? log 2 ? 2 ?比特 / 符号? 4 4（2）信息的平均速率Rb ? H ? X ? RS ?4 4 ? 2 ? 1000 ? ? 1600 ?比特 / 秒 ? 5 5上式中的系数 4/5 的引入是因为每四个脉冲之后紧跟一个负 1 伏的不携带信息的脉冲。4.13某数字通信系统用正弦波的四个相位： 45o ，135o ， 225o 和 315o ，来表示四个不同的符号以传输信息，这四个符号是相互独立的。36（1）若每秒钟内 45o ，135o ， 225o 和 315o 出现的次数分别为 ，250 和 500，求 此系统的符号速率和信息速率； （2）若每秒钟这四个相位出现的次数都为 500 个，求此时的信息速率。 解：因为每秒钟内传输的符号数为1000 ? 250 ? 250 ? 500 ? 2000 ，所以符号速率为2000 波特；（1）根据每个符号的出现次数，其各个符号出现概率可以估计为P 1 ? 1 250 1 500 1 ? ， P2 ? ? ， P3 ? ? 和 P4 ? ? 0 8 0 4H ? ??i ?1 Pi log Pi 1 1 1 1 1 1 1 1 7 ? ? log ? log ? log ? log ? ?比特 符号? 2 2 8 8 8 8 4 4 44每个符号所含的平均信息量，即符号的熵为信息速率为Rb ? RS ? H ? 2000 ?7 ? 3500?比特 秒? 4 500 1 ? 2000 4（2）若每秒钟这四个相位出现的次数都为 500 个，此时应有P 1 ? P 2 ? P 3 ? P 4 ?其熵为H ? ??i ?1 Pi log Pi 1? ? 1 ? 4 ? ? ? log ? ? 2?比特 符号? 4? ? 4信息速率为4Rb ? RS ? H ? 2000 ? 2 ? 4000?比特 秒?4.14一个包含四个符号的信源，符号间独立，每个符号用二进制的脉冲分别编码为：00、01、10 和 11。二进制脉冲的宽度为 5ms。（1）不同的符号等概出现时，计算信源的平 均信息速率；（2）若每个符号出现的概率分别为 P 1 ? 试计算传输的平均信息速率。 解：因为每个符号由两个脉冲表示，每个脉冲的宽度为 5ms，则符号周期为1 1 1 3 ， P2 ? ， P3 ? 和 P4 ? 时， 5 4 4 10TS ? 2 ? 5 ? 10ms（1）当符号等概出现时，其熵为371? ? 1 H ? 4 ? ? ? log ? ? 2?比特 符号? 4? ? 4平均信息速率为Rb ? RS ? H ?（2）此时的熵为1 1 ? H＝ ? 2 ? 200?比特 秒? TS 10 ?10 ?3H ? ??i ?1 Pi log Pi 1 1 1 1 1 1 3 3 ? ? log ? log ? log ? log ? 1.985?比特 符号? 5 5 4 4 4 4 10 10其平均信息速率为4Rb ? RS ? H ?1 1 ? H＝ ?1.985 ? 198.5?比特 秒? TS 10 ?10 ?34.152 它们的均值分别为 ? x 和 ? n ， 方差分别为 ? x 假定 x 和 n 是相互独立的随机变量，2 2 2 2 和 ? n ，若 y ? x ? n ，证明其均值 ? y ? ? x ? ? n ，方差 ? y ? ? x ? ? n 。证明：? y ? x ? n? 均值：E ? y ? ? E ? x ? n ? ? E ? x ? ? E ?n ? ? ? x ? ? n即 ? y ? ? x ? ?n 方差：D? y ? ? E ? y - E ?y ?? ? E?? x - ? x ? ? ?n - ? n ??2??2 2? E ? x - ? x ? ? 2 E?? x - ? x ??n - ? n ?? ? E ?n - ? n ?2????? ? ? ? ? 2 E?? x - ? x ??n - ? n ??2 x 2 n又因为 x 和 n 是相互独立的随机变量， E ?xn? ??x?n? E ?? x - ? x ??n - ? n ?? ? E?xn - ? x n - x? n ? ? x ? n ? ? E?xn ? ? ? x E ?n ? ? E ? x ?? n ? ? x ? n ? ? x ? n ? ? x ? n ? ? x ? n ? ? x ?n ? 02 2 2 ? ?y ??x ??n证毕。384.16黑白电视图象每幅含有 640×480 个象素，每个象素有 28＝256 个等概出现的亮度等级，要求每秒钟传输 25 帧图象，若信道的信噪比 SNR＝20dB，求传输该图像信息所需 的最小带宽。 解：该电视图象的信息速率为Rb ? 640 ? 480 ? 25 ? log 2 256 ?
? bits s ?已经信道信噪比，传输该图像信息所需的最小带宽可由香农公式计算? SNR ?dB取 C ? Rb ， SNR ? 1010? 1020 10? 100 ，所需带宽为W? C ? log 2 ?1 ? S N ? log 2 ?1 ? 100? ? 9227703 ? Hz?4.17若离散无记忆信源 ?S : Si , P ?Si ?, i ? 1, 2,..., L?的熵为 H ? S ? ，证明：由 J 个该信源中的符号组合而成的扩展离散无记忆信源 S J : S J ,i , P S J ,i , i ? 1, 2,..., LJ 的熵为?? ??H ? SJ ? ? J ? H ? S ? 。证明：∵离散无记忆信源 ?S : Si , P ?Si ?, i ? 1, 2,..., L?的熵为 H ? S ? 由于统计独立的信源，熵满足可加性，因此： 当 J=2 时， H S 2 ? H ?S1 S 2 ? ? H ?S1 ? ? H ?S 2 ? ? 2 H ?S ? ，此时? ?H ? S J ? ? J ? H ? S ? 命题成立。假设 J=n 时，原命题也成立，即有： H S n ? H ?S1 S 2 ? S n ? ? n ? H ?S ? 则当 J=n+1 时，? ?H S n?1 ? H ?S1 S 2 ? S n S n ?1 ? ? H ?S1 S 2 ? S n ? ? H ?S n?1 ? ? n ? H ?S ? ? H ?S ? ? ?n ? 1? ? H ?S ?可见 H S J ? J ? H ? S ? 依然成立。 综上，由归纳法原理， H S J ? J ? H ? S ? 成立。? ?? ?? ?4.18信源信源 S 的概率场为：39Si : S1 S 2 S 3 S 4 S5 S6 P?S i ? : 0.4 0.2 0.2 0.1 0.05 0.05试用码字符号集 X ：{0,1}对信源 S 符号进行霍夫曼编码，并求平均码长。 解： 因为编码输出的码字符号集为二元的符号集， 所以不变考虑对信源空间增加虚假符 号的进行改造。平均码长n ? ?i ?1 P?S i ? ? ni ? 0.4 ? 2 ? 0.2 ? 2 ? 0.2 ? 2 ? 0.1? 3 ? 0.05 ? 4 ? 0.05 ? 4 ? 2.3?码元符号 信源符号?4.19 信源 S 的概率场为：6Si : S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 P ? Si ? : 0.22 0.20 0.20 0.16 0.14 0.06 0.02试用码字符号集 X ：{0,1,2}对信源 S 符号进行霍夫曼编码，并求平均码长。 解： 首先估计是否要对信源空间进行改造，已知 L ? 7 ， D ? 3 。尝试 a ? 2 ，因为L ? a ? D ? 1? ? 7 ? 2 ? 3 ? 1? ? 3 ? D所以不需要增加虚假符号，编码过程如下：40码字消息符号 符号概率P(Si)S(1) 0.22S(2) 0.56 0.22 0.22 0 1 20 1 2C1：2 C2：00 C3：01 C4：02 C5：10 C6：11 C7：12S1 S2 S3 S4 S5 S6 S70.22 0.20 0.20 0.16 0.14 0.06 0.02 0 1 20.22 0.20 0.20 0.16其中码字 C7 在传输过程中不会出现。平均码长n ? 1? 0.22 ? 2 ? 0.20 ? 2 ? 2 ? 0.16 ? 2 ? 0.14 ? 2 ? 0.06 ? 2 ? 0.02 ? 1.78 ? 码字符号 信源符号?4.20已知信源的概率场和信道的转移概率矩阵分别为? 0.6 0.2 0.2 ? x1 x2 x3 ? ? X ? ? : ? ? ， p ? y j xi ? ? ? 0.25 0.5 0.25 ? P X ? ? ? 1 3 1 3 1 3? ? 0.1 0.1 0.8 ? ? ???失真函数采用平方误差失真测度，失真矩阵为? 0 1 4? dij ? ? i ? j ? ? ? ? 1 0 1? ? D? ? ? ? ? ? ? ? 4 1 0? ? ?2求其平均失真 D 。 解：D ? ?i?1 ? j ?1 d ?xi , y j ?p ? xi ? p? y j / xi ?3 31 1 1 1 1 1 ? 0 ? ? 0.6 ? 1? ? 0.2 ? 4 ? ? 0.2 ? 1? ? 0.25 ? 0 ? ? 0.5 ? 1? ? 0.25 ? 3 3 3 3 3 3 1 1 1 4 ? ? 0.1 ? 1? ? 0.1 ? 0 ? ? 0.8 3 3 3 2 ? 3414.21试证明， 在汉明失真度下， 题图 4.21 所示的信道是满足失真度 D ? ? （ 0 ? ? ? 1）的转移信道。1? ???1? ?解：已知，汉明失真矩阵? D? ? ?信道转移矩阵?0 1? ? ?1 0?? ? ?1 ? ? ? p ? y j / xi ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ?平均失真度D ? ? i ?1 ? j ?1 d ? xi , y j ? p ? xi ? p ? y j / xi ? ? ? i ? j p ? xi ? p ? y j / xi ? ? p ? x1 ? p ? y2 / x1 ? ? p ? x2 ? p ? y1 / x2 ? ? p ? x1 ? ? ? p ? x2 ? ? ?? ? p ? x1 ? ? p ? x2 ? ? ?? ? ?224.22具有 6.5 MHz 带宽的某高斯信道，若信道中信号功率与噪声功率谱密度之比为45.5 MHz ，试求其信道容量。 解：根据香农公式 C ? B log(1 ?S ) ，得 n0 B45.5 ) ? 19.5 bit/s 65C ? 6.5 ? 10 6 ? log(1 ?4.23设高斯信道带宽为 4 kHz ，信号与噪声功率比为 63，试确定利用这种信道的理想通信系统的信息速率和差错率。 解： C ? B ? log(1 ?S ) ? 4 ?103 log(1 ? 63) ? 24bit / s N 理想通信系统中， R ? C ? 24kb / s42香农定理表明，当 R ? C 时，总能找到一种编码方式，使 Pe ? 04.246 为了很好地重现图片，需要 12 个亮度 某一待传输图片约含有 2.25 ? 10 个像元。电平。假若所有的这些亮度电平等概出现，试计算用 3min 传送一张图片时所需的信道带宽 （设信道中信噪比为 30 dB）。 解：图像总信息量为 2.25 ? 106 ? ( ? log1 ) ? 8.07 ? 106 bit 123min 传输一张图片，速率为8.07 ?10 6 ? 4.48 ?10 4 bit / s 3 ? 60S )得 N根据香农公式 C ? B ? log(1 ?4.48 ? 10 4 ? B ? log(1 ? 103 )4.25已知彩色电视图像由 5 ? 10 个像素组成。设每个像素有 64 种彩色度，每种彩色5度有 16 个亮度等级。如果所有彩色度和亮度等级的组合机会均等，并统计独立。 （1）试计算每秒传送 100 个画面所需的信道容量； （ 2 ） 如 果 接 收 机 信 噪 比 为 30 dB ， 为 了 传 送 彩 色 图 像 所 需 信 道 带 宽 为 多 少 （ log x ? 3.32 lg x ）？ 解：像素的平均信息量为I ? ? log（1）信道容量 C 为1 ? 10bit 64 ? 16C ? Rb ? 100 ? 5 ? 105 ? 10 ? 5 ? 108 bit / s（2）由香农公式得B?C log(1 ? S ) N?5 ? 108 ? 500 MHz log(1 ? 1000)4.26某信源的符号集由 A、B、C、D 和 E 组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为 1/4、1/8、1/8、3/16、3/16;信源以 1000Bd 速率传送信息。 （1）求传送 1 小时的信息量； （2）求传送 1 小时可能达到的最大信息量。43解： （1）信源熵为1 2 3 16 5 16 H ( X ) ? ( log 4 ? log 8 ? log ? log )bit / 符号 4 8 16 3 16 5 ? 2.23 bit / 符号平均信息速率为Rb ? RS ? H ( X ) ? (1000 ? 2.23)bit / s ? 2.23 ? 103 bit / s1 小时传输的信息量为I ? (2.23 ? 103 ? 3600)bit ? 8.028Mbit（2）等概时信源熵为最大值，即H max ? (log 5)bit / 符号 ? 2.322 bit / 符号1 小时传输的最大信息量为I max ? 2.322 ? 1000 ? 3600bit ? 8.359Mbit4.27信道噪声的双边功率谱密度为 设数字信号的每比特信号能量为 Eb ，n0 ， 试证明： 2信道无差错传输的信噪比Eb 的最小值为 ? 1.6dB 。 n0证明：信号功率为 S ? Eb Rb 噪声功率 N ? n0 B 令 C ? Rb 得：C ? B log(1 ?由此得S E C ) ? B log(1 ? b ? ) N n0 BCEb 2 B ? 1 ? n0 C/BC CEb n0min2 B ?1 2 B ln 2 lim ? lim ? ? ln 2 ? 0.693 C C 1 ?0 C / B ?0B B4410 lgEb n0? (10 log 0.693)dB ? ?1.6dBmin4.28一个由字母 A，B，C，D 组成的系统，如果用二进制“0”，“1”对字母进行编码：即 00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替 D。设二进制符号“0”“1”的宽度各为 10ms，试求： （1）①若各字母等概出现，计算平均信息速率；②若各字母不等概，P（A）=0.2，P（B） =0.25， P（C）=0.25， P（D）=0.3，计算平均信息速率。 （2）①如果用四进制脉冲“0”，“1”，“2”，“3”对字母进行编码。即“0”代替 A， “1”代替 B，“2”代替 C，“3”代替 D，设各字母等概出现。当脉冲宽度为 10ms 时，计 算平均信息速率；②当脉冲宽度为 20ms 时，计算平均信息速率。 （3）从计算结果中，你可以得出什么结论？ 解： （1）①每个符号由两个脉冲构成，故一个符号的持续时间即码元宽度为 2 ? 10ms 。码 速率为RS ?等概时，平均信息速率为1 Bd ? 50 Bd 2 ? 10 ? 10 ?3Rb ? Rs log 4 ? 100bit / s②每个符号的平均信息量为1 2 3 10 H ( X ) ? ( log 5 ? log 4 ? log ) bit/ 符号 5 4 10 3? 1.9856 bit/ 符号则平均信息速率为Rb ? RS ? H ( X ) ? (50 ? 1.985) bit/ 符号 ? 99.3bit/ 符号（2）①当脉冲宽度为 10ms 时，码速率为RS ?等概时，平均信息速率为1 Bd ? 100 Bd 10 ? 10 ?3Rb ? Rs log 4 ? 200bit / s②当脉冲宽度为 20ms 时，码速率为RS ?1 Bd ? 50 Bd 20 ? 10? 345等概时，平均信息速率为Rb ? Rs log 4 ? 100bit / s（3）从计算结果可以看出： 1）同样码元速率时，四进制传输方式的平均信息速率是二进制传输方式的 两倍； 2）各字母等概出现时，平均信息速率最大； 3）码元宽度越大，平均信息速率越小。46第五章 数字基带传输系统5.1已知：信息代码 11 10 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1(1)画出单极性不归零码的波形图。 (2)画出传号差分码的波形图。 (3)画出交替极性码的波形图。 解：单极性不归零码、 传号差分码、 交替极性码的波形图分别如题图 5.1 （a） 、 （b） 、 （c） 所示：题图 5.15.2设独立随机二进制序列的 0，1 分别由波形 s1 (t ) 及 s2 (t ) 表示，1 与 0 等概出现，比特间隔为 Tb ，如题图 5.2 所示。 （1）若 s1 (t ) 如题图 5.2(a)所示，在比特间隔内， s2 (t ) ? ? s1 (t ) ，写出该基带信号的双边 功率谱密度计算公式，并画出双边功率谱密度图（标上频率值） ； (2) 若 s1 (t ) 如题图 5.2(b)所示，在比特间隔内， s2 (t ) ? 0 ，请按题（1）要求做题。47s1 (t )s1 (t )?Tb / 2Tb / 2?Tb / 4Tb / 4题图 5.2 解： （1）这个信号可表示为 PAM 信号， s (t ) ?n? ??? a g ?t ? nT ?n b?2 ? E a2 ? 1 其中序列 ?an ?以独立等概方式取值 ? 1 ， ma ? E ?an ? ? 0 ， ? a? ?g ?t ? ? s1 ?t ? ，则 G ? f ? ? Tb Sa ? fTb ? ? G ? f ? ? Tb2 Sa 2 ? fTb ?? Ps ? f ? ?2 ?a2Tb?G ? f ? ? Tb Sa 2 ? fTb ? （无离散直流分量）2（2） s (t ) ?n? ??? a g ?t ? nT ? ，其中序列 ?a ?以独立等概方式取值（0,1）n bng ?t ? ? s ?t ? ， 则 G ? f ? ?由 an ?Tb ? Tb ? Sa? f ? 2 ? 2?1 1 bn ? ，其中 bn 以等概方式取值 ? 1 2 2得， s (t ) ?1 ? 1 ? ? ? b g t ? nT ? ?n ? g ?t ? nTb ? b 2 n??? 2 n???2G? f ? 1 ? T ? T ? ? b Sa 2 ? f b ? u ?t ? ? ? bn g ?t ? nTb ? 的功率密度是 Pu ? f ? ? 2 n??? 4Tb 16 ? 2?? j 2? t 1 ? v?t ? ? ? g ?t ? nTb ? ? ? Gn e T0 2 n??? n ? ?? m1 ? ?? 2m? m ? ? j 2? t 1 Tb / 2 1 ? ? 1 T0 ? ? g t ? nT e dt ? 又由于 Gn ? ? ? b ? Tb ?Tb / 2 2 n??? ? 2 ? 0 ? ?48m ? 2k ? 1 m?0 其他因此 v?t ? 的功率密度谱是：Pv ? f ? ?n? 1 1 2 ? Gn ? ? ? ? f ?T ? ? ? 4 ? ? f ? ? 4? 2 n? - ? ? b ??? n ?- ?? ?2k ? 1? ? ? ?f ?21? ?2k ? 1 ? ? T0 ? ?s ?t ? 的功率密度谱是：Ps ? f ? ? Pu ? f ? ? Pv ? f ? ? Tb 2 ? Tb ? 1 1 Sa ? f ? ? ? ? f ? ? 2 16 4? ? 2? 4? n ?- ?? ?2k ? 1? ? ? ?f ?21? ?2k ? 1 ? ? T0 ? ?5.3 假设信息比特 1、 0 以独立等概方式出现， 试推导曼彻斯特码的功率谱密度计算公 式。 解：曼彻斯特码可以表示成二进制 PAM 信号的形式s?t ? ? ?n??? an g ?t ? nTb ?2 ? E a 2 ? 1 ， g ?t ? 如题图 其中序列 ?an ?以独立等概方式取值于 ? 1 ， ma ? E ?an ? ? 0 ， ? a?? ?5.3 所示：g (t )A?Tb / 2OTb / 2t?ATb题图 5.3 其傅氏变换是AT ?fTb ? Tb ? ? T ? j 2?f b AT ? T ? ? j 2?f 4b G ? f ? ? ? b Sa? f b ?e 4 ? b Sa? f b ?e ? ? jATb sin Sa? f ? 2 2 2 ? 2? ? 2? ? 2?所以TTPs ? f ? ?2 ?a2 ? ?fT ? ? fT ? G ? f ? ? A2Tb sin 2 ? b ? Sa 2 ? b ? Tb ? 2 ? ? 2 ?5.4 解：请推导出双极性不归零码的功率谱密度计算公式。G1? f??AT b Sa49? fT b ?G2 ? f ? ? ? ATb Sa? fTb ? ? ?G1 ? f ?? ? ? f ? mfb ? P 1 ? f ? ? ? ? f b ?PG1 ?mf b ? ? ?1 ? P ?G2 ?mf b ??2 ???设发 0 发 1 为等概，P=1/2 又由于 G2 ? f ? ? ? ATb Sa? fTb ? ? ?G1 ? f ? ，得 P2 ? f ? ? 0? Pu ? f ? ? A2Tb Sa 2 ? fTb ?5.5设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，如题图 5.5 所示。图中 Ts 为码元间隔，数字信息“1”和“0”分别用 g ?t ? 的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相 等。求该数字基带信号的功率谱密度。g (t )A?Ts 2题图 5.5Ts 2t解：由题图 5.5 可得：? ? 2 ? A?1 ? g ?t ? ? ? ? ? Ts ? 0, ?? t? ?, ?Ts 2 others t?g ?t ? 的频谱函数 G ? f ? 为 G? f ? ?由题意， P ?0? ? P ?1? ? P ? 且 g1 ?t ? ? g ?t ? ， g 2 ?t ? ? 0 所以 G1 ? f ? ? G ? f ? ， G2 ? f ? ? 0 代入二进制数字基带信号的双边功率谱密度计算公式，可得：50ATs 2 ? ?fTs ? Sa ? ? 2 ? 2 ?1 2Ps ? f ? ? f s P?1 ? P ? G1 ? f ? ? G2 ? f ? ? ? f s ?PG1 ?mf s ? ? (1 ? P)G2 ?mf s ?? ? ? f ? mf s ??? 22?2? f s P?1 ? P ? G ? f ? ? ? f s ?PG ?mf s ?? ? ? f ? mf s ???2?f AT ? ?fT ? ? f Sa 4 ? s ? ? ? s G ?mf s ? ? ? f ? mf s ? ? s 4 4 ? 2 ? ?? 2 ? A2Ts 4 ? ?fTs ? A2 Sa ? ?? 16 ? 2 ? 16?22 s2? Sa??4? m? ? ? 2? ?? ? f ? mf s ? ?5.6请完成下列编码。已知信息代码：1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 (1) AMI 码； （第一个信息代码为正脉冲） (2) 画出 AMI 码波形图； (3) HDB3 码； （假定前一个破坏点为负脉冲，第一个信息代码为正脉冲） (4) 画出 HDB3 码波形图； （5）曼彻斯特码； （6）画出曼彻斯特码波形图； (7) 差分曼彻斯特码； （8）画出差分曼彻斯特码波形图； 解： 信息代码： 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 AMI 码：+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 +1 -1 0 0 +1 0 0 0 0 -1 0 +1 HDB3 码：+1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0 +1 -1 +1 0 0 -1+B 0 0+V -1 0 +1 曼彻斯特码：
1001 10 差分曼彻斯特码： 1
0101 10 编码后的波形图如题图 5.6 所示：51题图 5.65.7假设在二进制数字通信系统中，相关接收机的输出信号分量 ai (T ) 为+1V 和-1V 的概率相等。如果相关器的输出高斯噪声方差为 1，试求有一比特数据出错的概率。 解：由于先验等概，所以误比特率为：?a ?a ? Pb ? Q? 1 2 ? ? Q?1? ? 1 ? 0.8413 ? 0.1587 ? 2? ?5.8 一个双极性二进制信号 si (t )(i ? 1, 2) 的可能取值为+1 和-1， 加性高斯白噪声的方差 为 0.1 V 2 。 用匹配滤波器检测信号， 分别对(a) P ( s1 ) ? 0.5 ; (b) P ( s1 ) ? 0.7 ; (c) P ( s1 ) ? 0.2 求最佳判决门限 ? 0 ，以及(d)解释先验概率对 ? 0 的影响。 解：由 Pb ? P ?s1 ?P e s1 ? P ?s2 ?P e s2? ?? ???2 ?X2lnp (s 2) p( s1)（a） P ( s1 ) ? 0.5 时，?0 ? 0（b） P ?s1 ? ? 0.7 时，52? 0 ? ?0.042365(c) P ?s1 ? ? 0.2 时，? 0 ? 0.069315(d) 由（a） （b） （c）结果可知，若先知发送某一信号的概率大于 0.5.，则最佳判决 门限应适当向先验概率小的一方偏移，若先验等概，则 r 为两信号的平均值。5.9一 个 二 进 制 数 字 通 信 系 统 发 送 信 号 si (t )(i ? 1, 2) 。 接 收 机 的 检 测 统 计 量z (T ) ? ai ? n0 ，其中，信号分量 ai 为 a1 ? ?1 或 a1 ? ?1 ，噪声分量 n0 服从均匀分布，条件概率密度函数 p( z | si ) 为：?1/ 2, ? 0.2 ? z ? 1.8 p( z | s1 ) ? ? 其他 ? 0, ?1/ 2, ? 1.8 ? z ? 0.2 p( z | s2 ) ? ? 其他 ? 0,已知发送信号先验等概，并且使用最佳判决门限，试求误码率 PB 。 解：根据 P e s1 、 P e s2 各自分布情况以及已知发送信号先验概率相等，由经验知最 佳判决门限为 ? 0 ? 0 所以误码率为： Pb ? P ?s1 ?P e s1 ? P ?s 2 ?P e s2 ? 0.1? ?? ?? ?? ?5.10设滚降系数为 ? ? 1 的升余弦滚降无码间干扰基带传输系统的输入是十六进制码元，其码元速率是 l200 波特，求 (l) 此基带传输系统的截止频率值； (2) 该系统的频带利用率（写上单位） ； (3) 该系统的信息传输速率（写上单位） 。 解： （1）该系统的码元周期为 T=1/1200s 该系统的截止频率值为 W ? （2）该系统的频带利用率为：?1 ? ? ? ? 4.8kHzT??2 log 16 ? 4 ?1 ? ? ? 253（3）该系统的信息传输速率为：1200 ? log 2 16 ? 4800b / s5.11 一个 8 进制 PAM 通信系统的传输特性是升余弦函数， 其信息传输速率为 9600b/s。频率响应的带宽为 2.4kHz。试问： （1）码元速率为多少？ （2）滤波器传输特性的滚降系数为多少？ 解： （1）码元速率为：9600 ? 3200 Baud log 2 8（2）由系统频率响应带宽为： W ? 即 2400 ? 1600?1 ? ? ??1 ? ? ?2T? ? ? 0. 5所以滚降系数为 0.5 5.12 二进制序列通过如题图 5.12 所示的预编码双二进制系统，请写出以下的编码及相应电平，判决结果： 输入数据{bn }1001011001?预编码输出 {d n } 二电平序列 {an } 抽样序列 判决输出{cn }^{b n }?{bn }?{d n }{an }?{cn }? 1 2T?1 2T^^{c n }{b n }题图 5.12 解：预编码输出： 二电平序列：-1+1+1+1-1-1+1-1-1-1+1 抽样序列：-20 判决输出：545.13理想低通信道的截止频率为 8kHz。（1）若发送信号采用 2 电平基带信号，求无码间串扰的最高信息传输速率； （2）若发送信号采用 16 电平基带信号，求无码间串扰的最高信息传输速率。 解： （1）无码间串扰传输二进制码的最高频带利用率为：?b ?Rb ? 2 log 2 M (bits / s / Hz ) B当发送信号采用 2 电平基带信号时，无码间串扰的最高信息传输速率为：Rb ? ? b B ? 2 ? 8 ? 10 3 ? 16(kbits / s / Hz )(2) 当发送信号采用 16 电平基带信号时，log 2 M ? log 2 16 ? 4无码间串扰的最高信息传输速率为：Rb ? ? b B ? 2 ? 4 ? 8 ? 10 3 ? 64(kbits / s / Hz )5.14已知滤波器的 H ( f ) 具有如题图 5.14 所示的特性（码元速率变化时特性不变） ，当 采 用 以下 码 元速 率 时（ 假 设码 元 经过 了 理想 抽样 才 加 到滤 波 器） ： （ a） 码 元速 率 （b）码元速率 RB=4000Baud； （c）码元速率 RB=1500Baud； （d）码元速率 RB=1000Baud； RB=3000Baud。问： （1）哪种码元速率不会产生码间串扰？ （2）哪种码元速率根本不能用？ （3）哪种码元速率会产生码间串扰，但还可以用？H( f )f / Hz题图 5.14 解：如图所示的滤波器特性，最大无码间串扰传输速率为 2000Baud。 （1）当码元速率为 1000Baud 时，满足无码间串扰的条件，因此不会产生码间串扰。 （2） 以码元速率 RB=1000Baud 或 RB=4000Baud 作为无码间串扰最大速率时， 其奈奎斯特 带宽分别为 2000Hz 和 1500Hz，大于本理想低通 1000Hz 的带宽，因此它们根本不能用。 （3）当码元速率为 1500Baud 时，不满足无码间串扰的条件，因此会产生码间串扰；551500Baud 小于 2000Baud 的无码间串扰的极限速率，故还可以用。 5.15 有一数字基带系统，码元速率为 2000B。接收端匹配滤波器输入的信号是二进制双极性矩形脉冲， “ 1 ” 码 幅 度 为 1mV ， 加 性 高 斯 白 噪 声 的 单 边 功 率 谱 密 度n0 ? 1.25 ? 10?10W / Hz ，求此数字基带系统的误码率 Pe 。解：依题意，输入端信号的幅度为 1mV，所以比特能量为Eb ? A 2Tb ? (1? 10 ?3 ) 2 ?则匹配滤波器接收的系统误码率为1 J ? 5 ? 10 ?10 J 2000Pe ??10 ? ? Eb ? 1 1 ? ? erfc? 5 ? 10 ?10 erfc? ? N ? 2 ? 1.25 ? 10 2 0 ? ? ?? 1 ? ? erfc?2 ? ? Q?2 ? ? 2.34 ? 10 ?3 ? 2 ?25.16数字基带信号在传输过程中受到均值为 0，平均功率为 ? 的加性高斯白噪声的干扰，若信号采用单极性非归零码，且出现“1”的概率为 3/5，出现“0”的概率为 2/5， 试推导出最佳判决门限值 ? 0 和平均误比特率公式。 解：设最佳判决门限为 ? 0 ，信源发 0 码和 1 码的概率分别为 P0 和 P 1 ，则基带传输系统 的平均误比特率为Pb ? P0 Pb0 ? P p1 ?r ?dr 1P b1 ? P 0 ? p0 ?r ?dr ? P 1??0????0基带信号采用单极性非归零码，设 1 码的幅度为 A，上式中的概率密度函数可表示为p0 ?r ? ?2 2 1 e ?r / ?2? ? ? 2?p1 ?r ? ?2 2 1 e ??r ? A ? / ?2? ? ? 2?令p ?? ? P ?Pb ? 0 ，有 P1 p1 ?? 0 ? ? P0 p0 ?? 0 ? ? 0 ，即 1 0 ? 0 ?? 0 p0 ?? 0 ? P1将 p1 ?? 0 ? 和 p0 ?? 0 ? 代入，得最佳门限值为?0 ?由题目已知条件可知 P 1 ?A ? 2 P0 ? ln 2 A P 13 2 ， P0 ? ，于是有 5 5?0 ?A ? 2 P0 A ? 2 2 ? ln ? ? ln 2 A P1 2 A 356平均误比特率为Pb ? P0 Pb0 ? P p1 ?r ?dr 1P b1 ? P 0 ? p0 ?r ?dr ? P 1??0????0?2 2 2 2 2 ? 1 3 ?0 1 e ?r / ?2? ?dr ? ? e ??r ? A ? / ?2? ?dr ? 5 ? 0 ? 2? 5 ?? ? 2?2 ? ? ?? 0 5 ? ?1 ?2 3 ? 0?A 1 ? 2 e dx ? ? ? e dx 5 ?? 2? 2?x2x22 ??0 ? 3 ? A??0 ? Q? ? ? Q? ? 5 ?? ? 5 ? ? ?5.17已知某双极性 PAM 传输系统中，信道的传输函数为 C ( f ) ? 1 ，发送正极性时接收端匹配滤波器输出的脉冲波形如题图 5.17 所示。求该基带传输系统的总体传递函数H ( f ) 以及发送的脉冲波形 gT (t ) 。题图 5.17 解：对图中的三角脉冲作傅立叶变换即为总体传递函数：H ( f ) ? Tb sin c 2 ? fTb ?e ? j 2?fTb记基带发送脉冲的傅立叶变换为 GT ( f ) ，匹配滤波器的传输函数为 GR ( f ) ，则有H ? f ? ? GT ( f )C ? f ?GR ( f ) ? GT ( f )GR ( f )由匹配滤波的关系，有? GR ( f ) ? KGT ( f )e ? j 2?ft0其中 t0 是最佳采样时刻，从图中可见 t0 ? Tb ，因此有H ( f ) ? k GT ? f ? e ? j 2?fTb ? Tb sin c 2 ? fTb ?e ? j 2?fTb所以257GT ? f ? ?考虑到 K 的任意性，取 K ? 此得2Tb sin c 2 ? fTb ? K1 。合理的解必须保证 gT (t ) 、 g R (t ) 都满足因果性，由 TbGT ( f ) ? Tb sin c? fTb ?e ? j 2?fTb因而发送的脉冲波形 gT (t ) 是一个矩形脉冲?1 0 ? t ? Tb g T (t ) ? ? 其他 ?05.18 什么是眼图？由眼图模型可以说明基带传输系统的哪些性能？ 答： 眼图是用实验手段估计基带系统性能的一种方法， 它是指接收滤波器输出的波形在 示波器上叠加所形成的图形。 从眼图中可以看出系统码间串扰及噪声的情况。 眼图越不端正、 张得越小说明码间串扰越大；而噪声越大，则眼图的线条越宽、越模糊。另外，通过眼图还 可以了解到最佳采样时刻（即“眼睛”张开最大的时刻） 、系统对定时误差的灵敏度（即眼 图斜边斜率越大，对定时误差就越敏感） 、信号幅度畸变范围（即图中阴影区的垂直高度） 、 噪声容限（即在抽样时刻，上、下两阴影区的间隔距离的一半） 、判决门限电平等。? ?A 5.19 已知二进制序列的“1”和“0”分别由波形 s1 (t ) ? ? ? ?00 ? t ? Tb 其他及 s2 (t ) ? 0表示， “1”与“0”等概出现。此信号在信道传输中受到功率谱密度为 N 0/ 2 的加性白高斯噪声 n（t）的干扰，接收端用题图 5.19 所示的框图进行接收。图中低通滤波器的带宽是 B， B 足够大使得 si (t ) 经过滤波器后近似无失真。 (1)若发送 s1 (t ) ，请写出 y(t)表达式，求出抽样值 y 的条件均值 E ? y s1 ? 及条件方 ? ? 差 D ? y s1 ? ，写出此时 y 的条件概率密度函数 ? ?p1 ( y ) ? p ? y s ?； ? 1?? ?（2）若发送 s2 (t ) ，请写出 y(t)表达式，求出抽样值 y 的条件均值 E ? y s2 ? 及条件方 ? ? 差 D ? y s2 ? ，写出此时 y 的条件概率密度函数 ? ? （3）画出p2 ( y ) ? p ? y s ?； ? 2?? ?p1 ( y ) 及 p2 ( y ) 的图形；（4）求最佳判决门限VT 值； （5）推导出平均误比特率。58题图 5.19 解： （1）此时在 0 ? t? Tb 时间范围内， y(t) ? A ? ? (t) ， ? (t ) 是白高斯噪声n（t）通过低通滤波器后的输出，显然? (t ) 是 0 均值的高斯平稳过程，其方差为? 2 ? N0 B 。于是在发送 s (t ) 的条件下，抽样值 y 的条件均值是 A，条件方差是 N 0 B ，其条件概率密度函数 1 是p1( y) ?（2）此时在 0 ? t1 e 2? N0 B? ( y ? A) 2 N0 B2? Tb 时间范围内， y(t ) ? ? (t ) ， ? (t ) 是白高斯噪声 n（t）通过低通滤波器后输出的 0 均值高斯平稳过程，其方差为? 2 ? N0 B 。因此，抽样值 y 的条件2 ? y 2 N0 B均值是 0，条件方差是 N 0 B ，其条件概率密度函数是p2 ( y) ?（3）1 e 2? N0 B。p ( y)1及p2 ( y ) 的图形如下图所示（4）最佳门限V 是后验概率相等的分界点，即为方程 P(s 1 Ty) ? P(s2 y) 的解。由59于 P( s iy) ?p ( y si ) P ( si ) p( y)，所以V 是方程 P( s ) p1 ( y ) ? 1 TP(S2 ) p2 ( y ) 的解，由于“1”与“0”等概出现，所以V 是Tp1 ( y ) ? p2 ( y) 的解，即 p1 ( y) 和 p2 ( y) 的交点。由（3）题图可知V =A/2。.T（5）Pb ? P(s1) P(e s1) ? P(s2 )P(e s2 ) ? 1 [P(e s1) ? P(e s2 )] 2 P(e s1) ? P( y ? VT s1) ? P( A ? ? ? A) ? P(? ? ? A) 2 2 2 ? 1 erfc( A / 2 ) ? 1 erfc( A ) 2 8 N0 B 2 N0 B 2P(e s2 ) ? P( y ? VT s2 ) ? P(? ? A) ? P(? ? ? A) ? 1 erfc( A ) 2 2 2 8 N0 B故2Pb ? 1 erfc( A ) 2 8N 0 B5.20 设基带传输系统的发送滤波器、信道及接收滤波器组成总传输特性为 H ? ? ? ，2若要求以2 （单位：B）的速率进行数据传输，试校验题图 5.20 所示各种 H ? ? ? 是否满足 Ts采样点无码间串扰的条件。60H(?)H(?)H(?)H(?)题图 5.20 解： （a）图中的等效低通特性的带宽为 W ?? / Ts 1 ，故所有无码间串扰的传输速率 ? 2? 2Ts为 Rb ?2W 1 2 ，所以 速率进行数据传输时有码间串扰。 ? n nTs Ts 3? / Ts 3 ，故所有无码间串扰的传输速率 ? 2? 2Ts（b）图中的等效低通特性的带宽为 W ?为 Rb ?2W 3 2 ，所以 速率进行数据传输时有码间串扰。 ? n nTs Ts 2? / Ts 1 ? ，故所有无码间串扰的传输速率 2? Ts（c）图中的等效低通特性的带宽为 W ?为 Rb ?2W 2 2 ，所以 速率进行数据传输时无码间串扰。 ? n nTs Ts（d）图中的等效低通特性的带宽为 W ?? / Ts 1 ，故所有无码间串扰的传输速率 ? 2? 2Ts为 Rb ?2W 1 2 ，所以 速率进行数据传输时有码间串扰。 ? n nTs Ts61第六章 数字载波调制传输系统6.1二进制 OOK 数字通信系统s1 (t ) ? A cos wct s2 (t ) ? 00 ? t ? Tb 0 ? t ? TbOOK 信号在信道传输中受到加性白高斯噪声 nw (t ) 的干扰，加性噪声的均值为 0，双边功率 谱密度为N0 ，接收带通滤波器的带宽为 B（B 为足够宽） ，滤波后的接收信号 2r (t ) ? si (t ) ? n(t )i ? 1或20 ? t ? Tb（1）请画出相干解调框图（含载波提取电路及时钟提取电路） ； （2）请推导出它的平均误比特率计算公式（设： s1 (t ) 与 s2 (t ) 等概率出现） 。 解： （1）相干解调框图如题图 6.1 所示t ? Tbr ?t ?? ? ?dt0Tbcos 2? f c tdt题图 6.1 （2）判决电平为 A/2，又 P 1 ? P 2 ，所以 P e s1 ? P e s2 所以 P ?e ? ? P e s1 ? P e s 2 ?? ?? ?? ?? ?? Eb 1 erfc? ? 2N 2 ?? ?? A ? 2 2N ?6.2已知二进制 2FSK 通信系统的两个信号波形为s1 (t ) ? sin(2? t) Tb 4? t) Tb0 ? t ? Tb 0 ? t ? Tbs2 (t ) ? sin(其中 Tb 是二进制码元间隔，设 Tb ? 1s ，2FSK 信号在信道传输中受到加性白高斯噪声的干 扰，加性噪声的均值为 0，双边功率谱密度为N0 ， s1 (t ) 与 s2 (t ) 等概率出现： 262（1）请画出两信号的波形图； （2）计算两信号波形的互相关系数 ? 及平均比特能量 Eb 值； （3）请画出带通匹配滤波器形式的最佳接收框图； （4）画出匹配滤波器的冲激响应图； （5）求出最佳判决门限 VT 值； （6）若发 s1 (t ) ,请问错判为 s2 (t ) 的概率 P (e | s1 ) 如何计算？ 解： （1）二者的波形如题 6.2 图（a）所示：题图 6.2（a） （2）两信号的相关系数为??平均比特能量为1 Eb? s ?t ?s ?t ?dt ? 2? ?sin 2?t ??sin 4?t ?dt ? 00 1 2 0Tb1Eb ?1 Tb 2 1 Tb 2 1 1 1 1 1 2 2 s 1 ?t ?dt ? ? s2 t ?dt ? ? ?sin 2?t ? dt ? ? ?sin 4?t ? dt ? ? ? 2 0 2 0 2 0 2 0 2（3）最佳接收框图如题图 6.2（b）所示：r(t) ?si (t)?nw(t)? ?? ?dt0Tb题图 6.2（b） （4） h1 ?t ? ? s1 ?Tb ? t ? ， h2 ?t ? ? s 2 ?Tb ? t ? （5）判决量63y ? ? r ?t ??sin 2?t ? sin 4?t ?dt01? ? ?sin 2?it ??sin 2?t ? sin 4?t ?dt ? ? nw ?t ??sin 2?t ? sin 4?t ?dt0 011?ai ?Z 2其中 ai ? ?? 1 i ?1 2 ， Z ~ N 0, ? 是均值为 0 的高斯随机变量，其方差为 ?? 1 i ? 2??2 ?? 1 ? ? ? ? E ?? ? nw ?t ??sin 2?t ? sin 4?t ?dt ? ? 0 ? ? ?? 2 1 1 ? E ? ? ? nw ?t ??sin 2?t ? sin 4?t ?nw ?t '??sin 2?t '? sin 4?t '?dt ' dt ? ? ? ?0 0 ??? ??1 10 0? E?n ?t ?n ?t '???sin 2?t ? sin 4?t ??sin 2?t '? sin 4?t '?dt ' dtw wN0 ? ?t ? t '??sin 2?t ? sin 4?t ??sin 2?t '? sin 4?t '?dt ' dt 0 0 2 N 1 N 2 ? 0 ? ?sin 2?t ? sin 4?t ? dt ? 0 2 0 21 1?因此发送 s1 (t ) 、 s2 (t ) 时判决量 y 的概率密度函数分别为? 1 p1 ? y ? ? e ?N 0 ? 1 p2 ? y ? ? e ?N 0?2 y?1?24 N0? 2 y ?1?24 N0最佳判决门限 VT 满足 p1 ?VT ? ? p2 ?VT ? ，故有 VT=0 （6）若发 s1 (t ) ，错判为 s2 (t ) 的概率为? 1/ 2 1? 1 ? p?e s1 ? ? P? Z ? ? ? ? erfc? ? 2 2? 2 ? ? 2?? 1 ? 1 ? ? erfc? ? 2 ? 4N ? 0 ?? ? ? ?6.3设二进制信息速率为 1Mbps/s， 二进制序列中的两个二进制符号等概率出现， 且各符号之间统计独立，请画出下列随即信号的双边平均功率谱密度图（标上频率值） ： （1）双极性矩形不归零码序列； (2) 双极性矩形不归零码序列通过乘法器后的 BPSK 信号。64Rb ? 1Mbps / sA cos wc tf c ? 100 MHz解： （1）基带信号，第一个零点在 1M 处，没有谐波、直流冲击量 （2）调制信号，将第一问中的图像进行平移即可，要标出载频。 6.4 BPSK 信号s1 (t ) ? A cos wc t s2 (t ) ? ? A cos wct0 ? t ? Tb 0 ? t ? Tb其中 Tb 是二进制符号间隔，二进制序列为不相关序列， s1 (t ) 与 s2 (t ) 等概率出现：请画出该 BPSK 信号的双边平均功率谱密度图（标上频率值） 。 解：该 BPSK 信号的双边平均功率谱密度图如题图 6.4（a）所示：Ps ( f )?fc ?1/T b? fc ? fc ?1/Tbfc ?1/ Tbfcfc ?1/Tbf / MHz题图 6.4（a） 6.5 一 DPSK 数字通信系统，信息速率为 Rb ，输入数据为 …（1）写出相对码（设：相对码的第一个比特为 1） ； （2）画出 DPSK 发送框图； （3）请写出 DPSK 发送信号的载波相位（设：第一个比特的 DPSK 信号的载波相位为 0） ； （4）画出 DPSK 信号的平均功率谱密度图（标明频率值） ，假设二进制不相关序列中的“1” 和“0”等概率出现；65（5）若接收信号是具有随即载波相位 ? （均匀分布）的 DPSK 信号，并受到加性白高斯噪 声干扰，请画出 DPSK 的非相干最佳接收框图。 解： （1）相对码为：[1] （2）方框图为：（3）[0]? 00 ???? 00 ? 00Ts 2 2 Sa?? ? f ? f c ?Ts ? ? Sa?? ? f ? f c ?Ts ? 4（4） PE ? f ? ? （5）??6.6已知一 OQPSK 调制器的输入二进制序列中的 2 个二进制符号等概率出现， 且各符号之间统计独立，信息速率 Rb ? 2Mbit / s ，则 (1)请画出 OQPSK 调制器的框图（设：成形滤波器的冲激响应为矩形不归零脉冲） ； （2）若输入数据为 1110010…请画出 OQPSK 调制器中的同相及正交支路的基带信号 I(t)及 Q(t)的波形图； （3）请画出 OQPSK 调制信号的双边功率谱密度图（标上频率值） 。 解： （1）OQPSK 调制器的框图如题图 6.6（a）所示：I (t )fc90 ?Q (t )0 .5 ? s题图 6.6（a） （2）串并变换后 I 路的数据是 1100…，Q 路的数据是 1010…， I (t ) 及 Q(t ) 的波形如 题图 6.6（b）所示。66I (t )?t / Tb?Q (t )?t / Tb?题图 6.6（b） （3）OQPSK 的功率密度谱和 QPSK 一致，其图如题图 6.6（c）所示。Ps ( f )f / MHz? fc ?1 ? fc ? fc ?1题图 6.6（c） 一 8PSK 及 8QAM 的星座图如图所示f c ?1fcfc ?16.7（1）若 8QAM 信号空间图中两相邻矢量端点之间的最近欧式距离为 A，请求出其内圆及外 圆之半径 a 与 b 的值；67（2） 若 8PSK 信号空间图中两相邻矢量端点之间的最近欧式距离为 A， 请求出圆的半径 r 值； （3）请求出两信号星座的平均发送功率（假设各信号点等概率出现） ，并对这两种星座结构 作出比较。 解： （1）对于图中的 8QAM 信号，可列出方程? A2 ? a 2 ? a 2 ? ? A2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? ? 4 ?解得A ? a? ? 0.7071A ? ? 2 ? ?b ? 1 ? 3 A ? 1.366 A ? 2 ?（2）对于 8PSK 信号， A ? 2r sin?r?（3）8PSK 的平均符号能量为8 A，因此2 sin?8? 1.3066 AE8 PSKA2 ?r ? ? ? 1. 2? 2 ?? ? ? 2 sin ? 8? ?2A2因此平均发送功率为P8 PSK ?8QAM 的平均符号能量为E8 PSK A2 ? 1.7071 Ts TsE8QAM ?因此平均发送功率为a 2 ? b2 3 ? 3 2 ? A ? 1. 4P8QAM ?E8QAM TsA2 ? 1.1830 Ts6.8设计一数字通信系统：二进制序列经 MQAM 调制以 2400Baud 的符号速率在300~3300Hz 的话音频带信道中传输。 （1）若 Rb ? 9600bit / s ，请画出调制框图，加以说明并画出图中各点功率谱图；68（2）若Rb ? 14400bit / s ，请按上述要求设计。1 4解： （1）由 W=3000Hz， W ? ?1 ? ? ?Rs ，得 ? ? 对于Rb ? 9600bit / s，每调制符号要携带 4 比特信息，因此是 16QAM调制框图如下：f c ? 1800Hz90 ?（2） 、对于Rb ? 14400bit / s，每调制符号要携带 6 比特信息，因此是 64QAM调制框图参考上图。 6.9 已知发送载波幅度 A=10V，在 4kHz 带宽的电话信道中分别利用 2ASK、2FSK 及2PSK 系统进行传输，信道衰减为 1dB/km， n0 ? 10?8 W / Hz ，若采用相干解调，试求解以 下问题： （1）误比特率为10 ?5 时，各种传输方式分别传多少公里？ （2）若 2ASK 所用载波幅度 AASK ? 20V ，并分别是 2FSK 和 2PSK 的 1.4 倍和 2 倍，重做 第（1）小问。 解： （1）①2ASK 系统 2ASK 接收机噪声功率N ? n0 ? W2 ASK ? 10 ?8 ? 4000W ? 4 ? 10 ?5 W2ASK 系统的误比特率? r? ?5 ? Pb ? Q? ? 2 ? ? 10 ? ?由此得 r ? 36.13 信号功率为S ? 36.13 ? 4 ? 10 ?5W ? 144.5 ? 10 ?5W信号幅度为a ? 2S ? 2 ? 144.5 ? 10 ?5 V ? 5.38 ? 10 ?2 V69由 10V 衰减到 5.38 ? 10 ?2 V ，衰减的分贝（dB）数为20 lg 10 / 5.38 ? 10 ?2 dB ? 45.4dB故 2ASK 信号传输距离为 45.4 公里 ②2FSK 系统 2FSK 接收机噪声功率? ???N ? n0 ? W2 FSK ? 10 ?8 ? 2000W ? 2 ? 10 ?5 W2FSK 系统的误比特率Pb ? Q r ? 10 ?5由此得 r ? 18.07 信号功率为? ?S ? 18.07 ? 2 ? 10?5W ? 36.14 ? 10 ?5W信号幅度为a ? 2S ? 2 ? 36.14 ? 10 ?5 V ? 2.69 ? 10 ?2 V衰减量为20 lg 10 / 2.69 ? 10 ?2 dB ? 51.4dB故 2FSK 信号传输距离为 51.4 公里 ③2PSK 系统 2PSK 接收机噪声功率? ???N ? n0 ? W2 PSK ? 10 ?8 ? 4000W ? 4 ? 10 ?5 W2PSK 系统的误比特率Pb ? Q 2r ? 10 ?5由此得 r ? 9.035 信号功率为? ?S ? 9.035 ? 4 ? 10 ?5W ? 36.14 ? 10 ?5W可 2PSK 信号传输距离与 2FSK 相同，为 51.4 公里。 （2）当 2ASK 载波幅度为 20V 时，发送功率增加了 6dB，故传输距离可由 45.4 公里增 大到 51.4 公里。 由 2ASK 系统和 2PSK 系统的误比特率公式可知，当噪声功率相等、误比特率相等时， 2PSK 接收机的信号功率可以比 2ASK 的小 6dB。故在本题给定的条件下，2PSK 系统的传 输距离与 2ASK 的相同，为 51.4 公里。 由 2ASK 系统和 2FSK 系统的误比特率公式可知，当 2FSK 系统的噪声功率为 2ASK 的 0.5 倍、误比特率相等时，2FSK 的信号功率可以比 2ASK 的小 6dB。本题所给的 2FSK 发射 功率比 2ASK 的小 3dB， 故可以比 2ASK 传输距离远 3 公里， 即 2FSK 系统的传输距离为 54.4 公里。706.10 2000Hz。设某 2FSK 调制系统的码元传输速率为 100baud，已调信号的载频为 1000Hz 或（1）若发送数字信息为 011010，试画出相应的 2FSK 信号波形； （2）试讨论这时的 2FSK 信号应选择怎样的解调器解调？ （3）若发送数字信息是等可能的，试画出它的功率密度谱草图。 解： （1）2FSK 信号波形图如题图 6.10（a）所示：题图 6.10（a） （2）因为载波中有一个载频与码元传输速率相同，如果用相干解调，将只有直流分量； 又因为载频和码元传输速率比较接近， 采用包络检波失真较大。 所以本题最好的解调法是采 用过零检测法。 （3）功率密度谱草图如题图 6.10（b）所示：P 2 ASK ? f ?f ?Hz?71题图 6.10（b） 2FSK 功率谱说明： a．2FSK 功率谱由两个双边谱（连续谱）和两个载频位置上离散谱叠加组成； b．两个载频差值 f 2 ? f1 ? f s ，且 f1 ? f s ， f 2 ? 2 f s ，两个连续谱叠加后出现单峰， 峰值在 f 0 处， f 0 ?f1 ? f 2 。 26.11已知二元序列为 ，采用 2DPSK 调制：（1）若采用码变换-2PSK 调制方案，设计发送端方框图，并画出各点信号波形图（设一个 码元周期内含一个周期载波） ； （2）设计两种解调方案，画出相应的接收端方框图。 解： （1）2DPSK 发送端方框图及各点信号波形图如题图 6.11（a）所示：a ?t ?差分 b ?t ? 编码电平 转换相乘 2DPSK信号 器c ?t ?载波发 生器 信息码a ?t ?10 010110