如图，在四棱锥p abcd-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-20 15:11 标签： 如图在四棱锥pabcd中
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点（1）求PB和平面PAD所成的角的大小（2）证明AE⊥平面PCD（3）求二面角A-PD-C的正弦值
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第（1）（2）小题不一样啊
里面有一部分证明了AE垂直PD和pC
看见没?这个可以证明第二问
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如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A-PD-C得到正弦值．
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（1）在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥PB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，由条件CD⊥PC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，又AE?面PAC，∴AE⊥CD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，综上，AE⊥平面PCD．（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，∴∠AME是二面角A-PD-C的平面角，由已知得∠CAD=30°，设AC=a，得PA=a，AD=，PD=，AE=，在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AMoPD=PAoAD，∴AM==，在Rt△AEM中，sin∠AME=
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（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A-PD-C的平面角，由此能求出二面角A-PD-C得到正弦值．
本题考点：
用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
考点点评：
本题考查直线和平面所成角的大小的求法，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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