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2016年 考研数学 高等数学 函数的极限典型例题精讲
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2016年 考研数学 高等数学 函数的极限典型例题精讲
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高等数学第01章_函数与极限习题详解
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没关系，我还有长长的几十年去爱你/(/ /o/?/o/ /)/
<option value='/video/av8901679/index_1.html' cid='、徐小湛《高等数学》第007讲：函数的极限 (3) 标清
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<option value='/video/av8901679/index_3.html' cid='、徐小湛《高等数学》第011讲：极限的运算法则 (1) 标清
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<option value='/video/av8901679/index_6.html' cid='、徐小湛《高等数学》第014讲：两个重要极限(1) 标清
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网络 四川大学 教授：徐小湛
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同济大学高等数学第七版13函数极限汇总.ppt 40页
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2. 另两种情形 A x f x = -￥ ? ) ( lim 解 显然有 可见 和 虽然都存在, 但它们不相等. 故 不存在. 例5
是否存在? 图形 完全落在: 的图形的 水平渐近线(horizontal
asymptote). 则直线 例6
由极限的定义可知: 例7 证 要使 成立. 只要 有
解不等式 试证 证 注意 有 为了使 只要使 有 三、函数极限的性质
函数极限与数列极限相比,有类似的性质, 定理1(极限的唯一性) 有极限, 若在自变量的某种变化 趋势下, 则极限值必唯一. 定理2(局部有界性) f(x)有极限, 则f(x)在
上有界; f(x)有 极限, 且证明方法也类似. 定理3(局部保号性) 证 (1) 设A&0, 取正数 即 有 自己证 只要取 便可得更强的结论: 证 (1) 也即 (2) 自己证. 定理3 (1)的证明中, 不论 定理
假设上述论断不成立, 那么由(1)就有 在该邻域内 这与 所以 类似可证
的情形. 假设矛盾, 若定理3(2)中的条件改为 必有 不能!
是否 定理3 定理3 1. 函数极限的 或 定义; 2. 函数极限的性质 局部保号性; 四、小结 唯一性; 局部有界性; 3. 函数的左右极限判定极限的存在性. 第三节
函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下两种情况： 二、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，
一、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势 一、自变量趋向有限值时函数的极限
这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1 时
f(x) 的极限。 1 x y o 4 怎样用数学语言刻划 无限接近 于确定值A？ 1.定义 定义1 设函数 有定义. 记作 或 恒有 在点x0某去心邻域内 注： (1) 定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素： ①正数ε， ②正数δ， ③不等式 (3) δ与任意给定的正数ε有关。 (2)
有没有极限，与
是否有定义无关
必存在x0的去心邻域 对于此邻域内的 x, 对应的函数图形位于这一带形区域内. 作出带形区域 一般说来, 应从不等式 出发, 推导出
应小于怎 这个正数就是要找的与
相对应的 这个推导常常是困难的.
但是, 注意到我们不需要找最大的 所以 适当放大些, 的式子, 变成易于解出 找到一个需要的 找到 就证明完毕. 可把 样的正数, 证
这是证明吗？ 非常非常严格！ 例1 例2
证明 证 于是 恒有 例3 分析： 函数在点x=1处没有定义.但这与函数在该点是否有极限并无关系． 证 例4 证 min 可用 保证
证明 证 由于 要使 解出 只要 可取 有 解不等式, 3. 左、右极限(单侧极限) 例如, 两种情况分别讨论! 记作 记作 左极限 右极限 使得 时, 或 使得 时, 或 记作 记作 注 且 此性质常用于判断分段函数当x趋近于 分段点 时的极限. (1) 左、右极限均存在,
且相等； (2) 左、右极限均存在,
但不相等； (3) 左、右极限中至少有一个不存在. 找找例题！
函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况之一： 讨论
时 的极限是否存在 .
利用定理 3 . 因为 显然 所以 不存在 . y = f (x) x O y 1 1 在 x = 1 处的左、右极限. 解 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 返回 通过上面演示实验的观察: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”.
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