& 反比例函数综合题知识点 & “如图1，已知：点A（-1，1）绕原点O顺...”习题详情
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如图1，已知：点A（-1，1）绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数y=kx图象上点B处．（1）求反比函数的解析式；（2）如图2，直线OB与反比例函数图象交于另一点C，在x轴上是否存在点D，使△DBC是等腰三角形？若不存在，请说明不存在的理由；如果存在，请求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图3，直线y=-x+√2与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为反比例函数在第一象限图象上一动点，PG⊥x轴于G，交线段EF于M，PH⊥y轴于H，交线段EF于N．当点P运动时，∠MON的度数是否改变？如果改变，试说明理由；如果不变，请求其度数．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图1，已知：点A（-1，1）绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数y=k/x图象上点B处．（1）求反比函数的解析式；（2）如图2，直线OB与反比例函数图象交于另一点C，在x轴上是否存在点D，使△DBC是...”的分析与解答如下所示：
（1）由A点绕原点O逆时针旋转90°与点B重合，根据A的坐标得出B点的坐标，将B的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）在x轴上存在点D，使△DBC是等腰三角形，理由为：分两种情况考虑，（i）以C为圆心，CB长为半径画弧于x轴交于两点，分别为D1和D2的位置，如图所示，过C作CM垂直于x轴于点M，由B的坐标得到C的坐标，确定出CM与CD1的长，在直角三角形CMD1中，利用勾股定理求出MD1的长，由MD1+OM求出OD1的长，确定出D1的坐标，同理求出D2的坐标；（ii）以B为圆心，BC长为半径画弧于x轴交于两点，分别为D3与D4的位置，过B作BN垂直于x轴于点N，在直角三角形BND3中，利用勾股定理求出ND3的长，由ND3-ON求出OD3的长，确定出D3的坐标，同理确定出D4的坐标，综上，得到所有满足题意的D的坐标；（3）当点P运动时，∠MON的度数不变，为45°，理由为：由P在反比例函数图象上，设P的坐标为（a，1a），进而确定出PG与OG的长，由一次函数的解析式求出E和F的坐标，确定出OE与OF的长，利用勾股定理求出EF的长，且得到三角形OEF为等腰直角三角形，可得出两个角为45°，进而得到三角形MEG与三角形FHN都为等腰直角三角形，用OE-OG表示出GE，进而表示出ME，用EF-ME表示出FM，同理表示出NE，求出FM与NE的乘积，发现与OE与OF的乘积相等，将积的恒等式化为比例式，再由夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形FOM与三角形EON相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠FMO=∠EON，而∠FMO为三角形MOE的外角，利用外角性质得到两个角相加，又∠EON等于两个角相加，利用等式的性质得到∠MON=∠MEO相等，由∠MEO为45° 可得出∠MON为45°．
解：（1）由点A（-1，1）绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数的B点，得到B（1，1），将x=1，y=1代入y=kx中得：k=1，则反比例函数解析式为y=1x；（2）在x轴上存在点D，使△DBC是等腰三角形，理由为：分两种情况考虑：当C为等腰三角形的顶角顶点时，以C为圆心，CB长为半径画弧，与x轴交于D1，D2，如图所示，过C作CM⊥x轴于点M，∵B（1，1），即ON=BN=1，且C（-1，-1），即CM=OM=1，∴OB=OC=√2，∴BC=OB+OC=2√2，即CD1=CD2=BC=2√2，在Rt△CMD1中，根据勾股定理得：CD12=CM2+MD12，∴（2√2）2=12+MD12，即MD1=√7，∴OD1=MD1+OM=√7+1，又D1在x轴负半轴上，∴D1（-√7-1，0），同理D2（√7-1，0）；当B为等腰三角形的顶角顶点时，以B为圆心，BC长为半径画弧，与x轴交于D3，D4，如图所示，过点B作BN⊥x轴于点N，同理可得BD3=BD4=BC=2√2，在Rt△BND3中，根据勾股定理得：BD32=BN2+ND32，∴（2√2）2=12+ND32，即ND3=√7，∴OD3=ND3-ON=√7-1，又D1在x轴负半轴上，∴D3（-√7+1，0），同理D4（√7+1，0），综上，所有符合条件的点D的坐标为（-√7-1，0）或（√7-1，0）或（-√7+1，0）或（√7+1，0）；（3）当点P运动时，∠MON的度数不变，为45°，理由为：设P坐标为（a，1a），∵OE=OF=√2，∴EF=2，∠OBA=∠OAB=45°，∴ME=√2GE=√2（√2-a），FN=√2FH=√2（√2-1a），∴FM=EF-ME=√2a，EN=EF-FN=√2a，∴FMoEN=√2ao√2a=2=OEoOF，∴FMOE=OFEN，又∵∠OFM=∠NEO=45°，∴△FMO∽△EON，∴∠FMO=∠EON，∴∠MEO+∠MOE=∠MON+∠MOE，则∠MON=∠MEO=45°．
此题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，以及利用待定系数法求函数解析式，利用了分类讨论及数形结合的数学思想，是一道综合性较强的试题．
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如图1，已知：点A（-1，1）绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数y=k/x图象上点B处．（1）求反比函数的解析式；（2）如图2，直线OB与反比例函数图象交于另一点C，在x轴上是否存在点D，使...
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经过分析，习题“如图1，已知：点A（-1，1）绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数y=k/x图象上点B处．（1）求反比函数的解析式；（2）如图2，直线OB与反比例函数图象交于另一点C，在x轴上是否存在点D，使△DBC是...”主要考察你对“反比例函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
反比例函数综合题
（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
与“如图1，已知：点A（-1，1）绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数y=k/x图象上点B处．（1）求反比函数的解析式；（2）如图2，直线OB与反比例函数图象交于另一点C，在x轴上是否存在点D，使△DBC是...”相似的题目：
已知A（-1，m）与B（2，m+3）是反比例函数图象上的两个点．（1）求k的值；（2）若点C（-1，0），则在反比例函数图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．&&&&
如图，已知正比例函数y=x与反比例函数y=的图象交于A、B两点．（1）求出A、B两点的坐标；（2）根据图象求使正比例函数值大于反比例函数值的x的范围．&&&&
如图，设P是函数在第二象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′，过P作PA∥y轴，过P′作P′A∥x轴，PA与P′A交于点A，则△PAP′的面积是&&&&248随P的变化而变化
“如图1，已知：点A（-1，1）绕原点O顺...”的最新评论
该知识点好题
1如图，在函数y=4x（x＞0）的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，点B，P在双曲线上，下列说法不正确的是（　　）
2如图，已知在直角梯形OABC中，CB∥x轴，点C落在y轴上，点A（3，0）、点B（2，2），将AB绕点B逆时针旋转90°，点A落在双曲线y=kx的图象上点A1，则k的值为（　　）
3一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=kx的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，DAC与BD交于点K，连接CD．对于下述结论：①S四边形AEDK=S四边形CFBK；②AN=BM．③AB∥CD；不论点A，B在反比例函数y=kx的图象的同一分支上（如图1）；还是点A，B分别在反比例函数y=kx的图象的不同分支上（如图2），都正确的是（　　）
该知识点易错题
1一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=kx的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，DAC与BD交于点K，连接CD．对于下述结论：①S四边形AEDK=S四边形CFBK；②AN=BM．③AB∥CD；不论点A，B在反比例函数y=kx的图象的同一分支上（如图1）；还是点A，B分别在反比例函数y=kx的图象的不同分支上（如图2），都正确的是（　　）
2如图，A（-1，m）与B（2，m+3√3）是反比例函数y=kx图象上的两个点，点C（-1，0），在此函数图象上找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为梯形．满足条件的点D共有（　　）
3（2012o南湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=2，OB=4，P为线段AB的中点，反比例函数y=kx的图象经过P点，Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点，经过点Q的直线交x轴于点C，交y轴于点D，且QC=QD．下列结论：①k=2；②S△COD=4；③OP=OQ；④AD∥CB．其中正确结论的个数是（　　）
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15．已知点P的坐标为(1.1).若将点P绕著原点旋转45°.得到点P1.则P1点的坐标为 【】
题目列表(包括答案和解析)
已知：等腰△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A坐标为（-3，3），点B坐标为（-6，0）．（1）若将△OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数y=的图象上，求a的值；（2）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α度（0＜α＜360）．①当α=30°时，点B恰好落在反比例函数y=的图象上，求k的值；②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上？若能，直接写出α的值；若不能，请说明理由．
24、已知抛物线m：y=ax2+bx+c&（a≠0）&与x轴交于A、B两点（点A在左），与y轴交于点C，顶点为M，抛物线上部分点的横坐标与对应的纵坐标如下表：
…（1）根据表中的各对对应值，请写出三条与上述抛物线m有关（不能直接出现表中各对对应值）的不同类型的正确结论；（2）若将抛物线m，绕原点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线n的解析式，并在坐标系中画出抛物线m、n的草图；（3）若抛物线n的顶点为N，与x轴的交点为E、F（点E、F分别与点A、B对应），试问四边形NFMB是何种特殊四边形？并说明其理由．
已知：如图1，二次函数y=a（x-1）2-4的图象交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，且OB=3OA．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，M是抛物线的顶点，P是抛物线在B点右侧上一点，Q是对称轴上一点，并且AQ⊥PQ，是否存在这样的点P，使得∠PAQ=∠AMQ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，设（1）中抛物线的顶点为M，R为x轴正半轴上一点，将（1）中抛物线绕R旋转180°得到抛物线C1：y=-a&（x-h）2+k交x轴于D，E两点．若tan∠BME=1，求R点的坐标．
已知：如图，抛物线2+12x-2与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋90°到△A′OB′，且抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）过点A′、B′．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线y=ax2+2ax+c的解析式；（3）点D在x轴上，若以B、B′、D为顶点的三角形与△A′B′B相似，求点D的坐标．
已知：如图1，二次函数y=a（x-1）2-4的图象交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，且OB=3OA．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，M是抛物线的顶点，P是抛物线在B点右侧上一点，Q是对称轴上一点，并且AQ⊥PQ，是否存在这样的点P，使得∠PAQ=∠AMQ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，设（1）中抛物线的顶点为M，R为x轴正半轴上一点，将（1）中抛物线绕R旋转180°得到抛物线C1：y=-a （x-h）2+k交x轴于D，E两点．若tan∠BME=1，求R点的坐标．
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全国各地2012年中考数学分类解析_专题54_图形的旋转变换初级.doc 66页
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2012年全国中考数学试题分类解析汇编
专题54：图形的旋转变换
一、选择题 （2012天津市3分）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转900，所得图形一定与原图形重合的是【
（A）平行四边形
（D）正方形
【答案】D。
【考点】旋转对称图形
【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形。故选D。
（2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【
【答案】D。
【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。
【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可：
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，
∴BC=AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。∴。
设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，
∵BC=DC，∴△BCD是等边三角形。∴BD=CD=1。
∴点D是AB的中点。
（2012广东汕头4分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是【
【答案】B。
【考点】旋转的性质，三角形内角和定理。
【分析】根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，
∵∠A=40°，∴∠A′=40°。
∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°。∴∠ACB=30°。
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=30°+50°=80°，故选B。
（2012江苏苏州3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若
∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是【
【答案】B。
【考点】旋转的性质。
【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，从而得出答案：
∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA－∠A′OB=45°－15°=30°。故选B。
（2012福建龙岩4分）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB所在直线旋转一
周所得圆柱的侧面积为【
【答案】B。
【考点】矩形的性质，旋转的性质。
【分析】把矩形ABCD 绕AB所在直线旋转一周所得圆柱是以BC=2为底面半径，AB=1为高。所以，它
的侧面积为。故选B。
（2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【
A．①②③⑤
B．①②③④
C．①②③④⑤
【答案】A。
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。
【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。
∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论①正确。
连接OO′，
∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②正确。
∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形。
∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论③正确。
。故结论④错误。
如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，
点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的
直角三角形。
故结论⑤正确。
综上所述，正确
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