&p&这不就是那个如何娶老婆的算法吗。假设一辈子能交到100个女朋友，先跟100/e炮人一遍然后放弃之，从那之后遇到比之前所有人都好的马上结婚。&/p&
这不就是那个如何娶老婆的算法吗。假设一辈子能交到100个女朋友，先跟100/e炮人一遍然后放弃之，从那之后遇到比之前所有人都好的马上结婚。
&p&答案是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B11%7D%7B144%7D& alt=&\frac{11}{144}& eeimg=&1&&。&br&更新了一个圆内三角形面积期望值是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B35%7D%7B48%5Cpi%7D+& alt=&\frac{35}{48\pi} & eeimg=&1&&，在最后。&br&第一步先想到的肯定是多重积分。&/p&&p&积分内部必然是一个用三点坐标写成的面积公式，刚刚好有这个公式。&br&假设三点为&img src=&///equation?tex=A%3D%28a_1%2Ca_2%29%2C+B%3D%28b_1%2Cb_2%29%2CC%3D%28c_1%2Cc_2%29& alt=&A=(a_1,a_2), B=(b_1,b_2),C=(c_1,c_2)& eeimg=&1&&,&br&则面积是&img src=&///equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C+%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D%7B%7Ba_1%7D%7D%26%7B%7Ba_2%7D%7D%261%5C%5C%7B%7Bb_1%7D%7D%26%7B%7Bb_2%7D%7D%261%5C%5C%7B%7Bc_1%7D%7D%26%7B%7Bc_2%7D%7D%261%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%7C+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7C%7Bb_1%7D%7Bc_2%7D+-+%7Bb_2%7D%7Bc_1%7D+-+%7Ba_1%7D%7Bc_2%7D+%2B+%7Ba_2%7D%7Bc_1%7D+%2B+%7Ba_1%7D%7Bb_2%7D+-+%7Ba_2%7D%7Bb_1%7D%7C& alt=&S=\frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}&1\\{{b_1}}&{{b_2}}&1\\{{c_1}}&{{c_2}}&1\end{array}} \right| =\frac{1}{2}|{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1} - {a_1}{c_2} + {a_2}{c_1} + {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}|& eeimg=&1&&.&br&但是这个积分&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_0%5E1+%7B%5Cint_0%5E1+%7B%5Cint_0%5E1+%7B%5Cint_0%5E1+%7B%5Cint_0%5E1+%7B%5Cint_0%5E1+%7BSd%7Ba_1%7Dd%7Ba_2%7Dd%7Bb_1%7Dd%7Bb_2%7Dd%7Bc_1%7Dd%7Bc_2%7D%7D+%7D+%7D+%7D+%7D+%7D+& alt=&\int_0^1 {\int_0^1 {\int_0^1 {\int_0^1 {\int_0^1 {\int_0^1 {Sd{a_1}d{a_2}d{b_1}d{b_2}d{c_1}d{c_2}} } } } } } & eeimg=&1&&&br&是没法手算的,因为绝对值所需区分的区间太多了。&br&积分内部应该还有一部分是probability density function（&b&概率密度函数&/b&,简称pdf）,因为这6个变量是独立的，所以总的joint pdf就是各自的pdf相乘，但是他们都是1，所以可以忽略。&/p&&p&这条路走不通那就硬算，但是利用对称性简化一下计算量。&/p&&p&&br&&/p&&h2&一. 分情况&/h2&&p&&br&&/p&&p&这三个点的横坐标的大小顺序一共有六种，每种情况没什么区别，算其中一个积分就行，得到的答案乘以6就是最终答案。&/p&&p&下面只考虑&img src=&///equation?tex=a_1%3Cb_1%3Cc_1& alt=&a_1&b_1&c_1& eeimg=&1&&的情况，&/p&&p&换句话说，&img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&点在&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&点和&img src=&///equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&&点的中间那条&img src=&///equation?tex=x%3Db_1& alt=&x=b_1& eeimg=&1&&这条线上。&/p&&img src=&/7c971de05cb4297afeba0_b.jpg& data-rawwidth=&478& data-rawheight=&433& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&478& data-original=&/7c971de05cb4297afeba0_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&这时候考虑&img src=&///equation?tex=AC& alt=&AC& eeimg=&1&&交&img src=&///equation?tex=x%3Db_1& alt=&x=b_1& eeimg=&1&&于&img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&&点，&/p&&img src=&/e99c7dffb73f72_b.jpg& data-rawwidth=&427& data-rawheight=&407& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&427& data-original=&/e99c7dffb73f72_r.jpg&&&p&&img src=&///equation?tex=b_1%3D%281-t%29a_1%2Btc_1& alt=&b_1=(1-t)a_1+tc_1& eeimg=&1&&&br&那么&img src=&///equation?tex=q%3D%281-t%29a_2%2Btc_2& alt=&q=(1-t)a_2+tc_2& eeimg=&1&&&br&因为&img src=&///equation?tex=OD%3D%281-t%29OA%2BtOC%3D%28%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D%7B%7Bb_1%7D%7D%5C%5Cq%5Cend%7Barray%7D%29+%3D+%281+-+t%29%28%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D%7B%7Ba_1%7D%7D%5C%5C%7B%7Ba_2%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%29+%2B+t%28%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D%7B%7Bc_1%7D%7D%5C%5C%7B%7Bc_2%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%29& alt=&OD=(1-t)OA+tOC=(\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}\\q\end{array}) = (1 - t)(\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}\\{{a_2}}\end{array}) + t(\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}\\{{c_2}}\end{array})& eeimg=&1&&.&br&当然&img src=&///equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&&也可以直接写成关于&img src=&///equation?tex=a_1%2Ca_2%2Cb_1%2Cc_1%2Cc_2& alt=&a_1,a_2,b_1,c_1,c_2& eeimg=&1&&的函数&br&&img src=&///equation?tex=S+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%7Bc_1%7D+-+%7Ba_1%7D%29%7C%7Bb_2%7D+-+q%7C& alt=&S = \frac{1}{2}({c_1} - {a_1})|{b_2} - q|& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&h2&二.按顺序对6个变量积分&/h2&&p&&br&首先对&img src=&///equation?tex=b_2& alt=&b_2& eeimg=&1&&进行积分，在这里&img src=&///equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&&是常数。&br&&img src=&///equation?tex=E_1%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%7Bc_1%7D+-+%7Ba_1%7D%29%7C%7Bb_2%7D+-+q%7Cdb_2& alt=&E_1=\int_{0}^{1} \frac{1}{2}({c_1} - {a_1})|{b_2} - q|db_2& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%7Bc_1%7D+-+%7Ba_1%7D%29%28%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bq%7D+q-b_2db_2%2B%5Cint_%7Bq%7D%5E%7B1%7D+b_2-qdb_2%29& alt=&=\frac{1}{2}({c_1} - {a_1})(\int_{0}^{q} q-b_2db_2+\int_{q}^{1} b_2-qdb_2)& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%28%7Bc_1%7D+-+%7Ba_1%7D%29%281-2q%2B2q%5E2%29& alt=&=\frac{1}{4}({c_1} - {a_1})(1-2q+2q^2)& eeimg=&1&&&br&再对&img src=&///equation?tex=b_1& alt=&b_1& eeimg=&1&&积分&br&&img src=&///equation?tex=E_2%3D%5Cint_%7Ba_1%7D%5E%7Bc_1%7D+E_1db_1& alt=&E_2=\int_{a_1}^{c_1} E_1db_1& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cint_%7Ba_1%7D%5E%7Bc_1%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%28%7Bc_1%7D+-+%7Ba_1%7D%29%281-2q%2B2q%5E2%29db_1& alt=&=\int_{a_1}^{c_1} \frac{1}{4}({c_1} - {a_1})(1-2q+2q^2)db_1& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%28b_1%3Da_1%2Bt%28c_1-a_1%29%2Cdb_1%3D%28c_1-a_1%29dt%29& alt=&(b_1=a_1+t(c_1-a_1),db_1=(c_1-a_1)dt)& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%28c_1-a_1%29%5E2+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D1-2q%2B2q%5E2dt& alt=&= \frac{1}{4}(c_1-a_1)^2 \int_{0}^{1}1-2q+2q^2dt& eeimg=&1&&&br&接下来因为&img src=&///equation?tex=q%3Da_2%2Bt%28c_2-a_2%29& alt=&q=a_2+t(c_2-a_2)& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=a_2%2Cc_2%2Ct& alt=&a_2,c_2,t& eeimg=&1&&的函数而已，右边那部积分部分跟&img src=&///equation?tex=a_1%2Cc_1& alt=&a_1,c_1& eeimg=&1&&没关系。&br&然后对&img src=&///equation?tex=a_1& alt=&a_1& eeimg=&1&&从&img src=&///equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&积分到&img src=&///equation?tex=c_1& alt=&c_1& eeimg=&1&&，再对&img src=&///equation?tex=c_1& alt=&c_1& eeimg=&1&&从&img src=&///equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&积分到&img src=&///equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&&，再对&img src=&///equation?tex=a_2%2Cc_2& alt=&a_2,c_2& eeimg=&1&&积分，写成&br&&img src=&///equation?tex=E_3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bc_1%7D+%28c_1-a_1%29%5E2da_1dc_1%5Ctimes%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+1-2q%2B2q%5E2dtda_2dc_2& alt=&E_3=\frac{1}{4} \int_{0}^{1} \int_{0}^{c_1} (c_1-a_1)^2da_1dc_1\times\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1-2q+2q^2dtda_2dc_2& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bc_1%7D+%28c_1-a_1%29%5E2da_1dc_1%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dc_1%5E3+dc_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=& \int_{0}^{1} \int_{0}^{c_1} (c_1-a_1)^2da_1dc_1=\int_{0}^{1} \frac{1}{3}c_1^3 dc_1=\frac{1}{12}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+1-2q%2B2q%5E2dtda_2dc_2& alt=&\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1-2q+2q^2dtda_2dc_2& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+1-2%28a_2%2Bt%28c_2-a_2%29%29%2B2%28a_2%2Bt%28c_2-a_2%29%29%5E2dtda_2dc_2& alt=&=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1-2(a_2+t(c_2-a_2))+2(a_2+t(c_2-a_2))^2dtda_2dc_2& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+1-2a_2%2B2a_2%5E2%2Bt%28-2c_2%2B2a_2%2B4a_2c_2-4a_2%5E2%29%2Bt%5E2%282a_2%5E2-4a_2c_2%2B2c_2%5E2%29dtda_2dc_2& alt=&=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1-2a_2+2a_2^2+t(-2c_2+2a_2+4a_2c_2-4a_2^2)+t^2(2a_2^2-4a_2c_2+2c_2^2)dtda_2dc_2& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D1+-+%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Ctimes+%28+-+%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B4%7D%7B4%7D+-+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%29+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%5Ctimes+%28%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+-+%5Cfrac%7B4%7D%7B4%7D+%2B+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%29& alt=&=1 - \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times ( - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{4} - \frac{4}{3}) + \frac{1}{3} \times (\frac{2}{3} - \frac{4}{4} + \frac{2}{3})& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B18%7D& alt=&=\frac{11}{18}& eeimg=&1&&&br&所以最终期望是&br&&img src=&///equation?tex=E_4%3D6E_3%3D6%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7B11%7D%7B18%7D+%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B144%7D+%5Capprox+0.& alt=&E_4=6E_3=6\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{11}{18} =\frac{11}{144} \approx 0.& eeimg=&1&&&/p&&p&贴一个模拟，&/p&&img src=&/c0cc057fc7f830dbdc04c9bedd78a7da_b.jpg& data-rawwidth=&663& data-rawheight=&186& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&663& data-original=&/c0cc057fc7f830dbdc04c9bedd78a7da_r.jpg&&&p&模拟结果是0.0762564，相当接近。&/p&&p&==========================================================================&/p&&p&下面简写一下在单位圆内取三角形。&/p&&p&只要思考稍微久一点，利用圆的对称性，基本上都能想到把情况简化到以下这种，&/p&&p&固定点&img src=&///equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%281%2C0%29& alt=&(1,0)& eeimg=&1&&&/p&&img src=&/1da0a0cc9afd333bd2a214_b.jpg& data-rawwidth=&577& data-rawheight=&556& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&577& data-original=&/1da0a0cc9afd333bd2a214_r.jpg&&&p&先计算出这时期望值，假设为&img src=&///equation?tex=s& alt=&s& eeimg=&1&&,&br&让&img src=&///equation?tex=M%3Dmax%5C%7B%7CA%7C%2C%7CB%7C%2C%7CC%7C%5C%7D& alt=&M=max\{|A|,|B|,|C|\}& eeimg=&1&&,如果你稍微懂一些概率分布，应该知道CDF是&img src=&///equation?tex=x%5E6& alt=&x^6& eeimg=&1&&,那么PDF是&img src=&///equation?tex=6x%5E5& alt=&6x^5& eeimg=&1&&.&br&&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%28A%29%3D%5Cint_0%5E1%5Cmathbb%7BE%7D%28A%7CM%3Dr%29%5Ctimes6r%5E5dr%3D%5Cint_0%5E1sr%5E2%5Ctimes6r%5E5dr%3D%5Cfrac%7B3s%7D%7B4%7D& alt=&\mathbb{E}(A)=\int_0^1\mathbb{E}(A|M=r)\times6r^5dr=\int_0^1sr^2\times6r^5dr=\frac{3s}{4}& eeimg=&1&&&br&那么问题只剩下算出&img src=&///equation?tex=s& alt=&s& eeimg=&1&&,这时我们要寻找一下能够利用角度表示三角形面积的公式。&/p&&p&第一个进入脑海中的自然是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dabsin%28%5Calpha%29& alt=&\frac{1}{2}absin(\alpha)& eeimg=&1&&,这里&img src=&///equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&&指的是三角形两条边的长度然后&img src=&///equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&指的是这两条边的夹角。&/p&&p&我们思考下如何利用这个公式，比较直接的想法是，考虑&img src=&///equation?tex=%5Ctriangle+AOB%2C%5Ctriangle+AOC%2C%5Ctriangle+BOC& alt=&\triangle AOB,\triangle AOC,\triangle BOC& eeimg=&1&&等等，但是要分圆心是否在三角形内两种情况，如果再仔细思考会发现还有更多种情况，很麻烦，放弃。&/p&&p&那么暴力一点就是考虑&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+AC%5Ctimes+BCsin%28%5Cangle+ACB%29& alt=&\frac{1}{2} AC\times BCsin(\angle ACB)& eeimg=&1&&,这个公式只分两种对称情况&img src=&///equation?tex=%5Calpha+%3E%5Cbeta& alt=&\alpha &\beta& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Cbeta+%3E%5Calpha+& alt=&\beta &\alpha & eeimg=&1&&，但是用我们的坐标表达出来特别麻烦，这时候狠下心，把坐标系改成以&img src=&///equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&&点为原点的极坐标那么就很好表达了。&/p&&p&剩下的就是写下表达式然后计算我就不说了，Mathematica积分算出来是&img src=&///equation?tex=s%3D%5Cfrac%7B35%7D%7B36%5Cpi%7D+& alt=&s=\frac{35}{36\pi} & eeimg=&1&&.&/p&&p&总期望是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B3s%7D%7B4%7D+%3D%5Cfrac%7B35%7D%7B48%5Cpi%7D+%5Capprox+0.232101& alt=&\frac{3s}{4} =\frac{35}{48\pi} \approx 0.232101& eeimg=&1&&&/p&&p&再贴一个模拟，&/p&&img src=&/cc82f3e720aa734bfd547f_b.jpg& data-rawwidth=&767& data-rawheight=&285& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&767& data-original=&/cc82f3e720aa734bfd547f_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&模拟的结果是0.232216，挺接近的。&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&在圆内能否用四条直线割成九块面积相等的部分？ - Lancewu 的回答&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/?from=profile_answer_card& class=&internal&&圆内能否用四条曲线割成九块面积相等的部分？ - Lancewu 的回答&/a&&/p&&p&&a href=&/question/#answer-& class=&internal&&在一个平面内n条直线和1个圆最多能把一个平面分成几部分？ - 数学&/a&&/p&
答案是\frac{11}{144}。 更新了一个圆内三角形面积期望值是\frac{35}{48\pi} ，在最后。 第一步先想到的肯定是多重积分。积分内部必然是一个用三点坐标写成的面积公式，刚刚好有这个公式。 假设三点为A=(a_1,a_2), B=(b_1,b_2),C=(c_1,c_2), 则面积是S=\fra…
我本命年觉得自己特别倒霉。&br&&br&那年正好毕业。&br&本来想考研，却着急着和异地多年的女友相聚，别人在准备考研的时候我忙着赚钱，考研没成;&br&她说想去外面的世界看一看，所以我去外地找工作实习，找得还是跟自己专业没太多关系的编辑;&br&好不容易找到了工作，她没来，说害怕和我一起面对未来，犹豫中;&br&然后回校准备毕业论文，心思不在学习，毕业论文做得一塌糊涂，被延期毕业;&br&接到别人的消息，据说我女友已经决定要和我分手，坚称这个决定无关第三者;&br&心灰意冷，放弃了原来找到的编辑工作，由于毕业时比别人准备晚一步，没有直接开始工作，各种奔波考试一个月多，被家里各种嫌弃。&br&&br&回想一下，我曾经积累的学业，感情，金钱在那一年都失去了，几乎每个月都有一件坏事发生，就算没什么事发生的时候，也会生病或者被骂。&br&&br&我那时候经常觉得自己很倒霉，但现在回想起来:&br&我放弃考研，虽然受外界干扰，但主要还是自己傻，意志不够坚定;&br&我同意去外地找其他工作，虽然起因是她的想法，但主要也是自己想做编辑;&br&我毕业论文没做好，虽然是因为受分手影响，但主要也是自己不够清醒;&br&甚至那年她害怕和我一起面对未来，有了其他人，都主要是因为我自己不够好，当时没有一份事业与大我三四岁的人竞争。&br&&br&现在我该有的东西都有了，回想起那一年，虽然依然不觉得有什么苦难造就了现在的我，但确实是感觉到所有的苦难大多来自己的能力不足。&br&&br&&b&很多时候说运气不好，可能已经是生活最大的安慰了。&/b&毕竟说运气不好，总比承认自身问题要轻松。&br&&br&如今我工作有了，该有的硬件也都有了，医院业余还可以去卫校教教书，有时候下班还可以做点自己兴趣的事情，可以去远方看看。&br&&br&身边经常有人说羡慕我的生活质量，我只是笑笑说，&其实没什么，不过是运气好过上了而已，你也可以。&&b&&br&&/b&&br&但其实我知道，所谓的运气，都是机遇加上能力。&br&&br&哪里有这么好的运气能把人从低谷拉出来。伤心欲绝又一无所有的时候，就像站在悬崖，如果继续难过，就是万劫不复，唯有止住伤口的血，才能绝地反击。&br&&br&现实永远不会因为运气好坏而产生巨大的变化，能让自己变强大的，不是天，不是命，永远只是自己。&br&&br&那个流着泪也要吃饭的自己，&br&那个垂着眼却在工作的自己，&br&那个跌倒了依然站起的自己，&br&那个一无所有也绝不低头的自己。
我本命年觉得自己特别倒霉。 那年正好毕业。 本来想考研，却着急着和异地多年的女友相聚，别人在准备考研的时候我忙着赚钱，考研没成; 她说想去外面的世界看一看，所以我去外地找工作实习，找得还是跟自己专业没太多关系的编辑; 好不容易找到了工作，她没来…
前天晚上刚中的四等奖，还追加了一注，奖金300块。。。。尼玛啊，就差两个数字奖金就是1000万啊啊啊啊！！&img src=&/2fd981af0fe_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/2fd981af0fe_r.jpg&&&br&===============================&br&补充一个图：&br&&img src=&/21f008ca4afbd_b.jpg& data-rawwidth=&2048& data-rawheight=&1536& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&/21f008ca4afbd_r.jpg&&&br&&br&我觉得我快要中1000万了
&br&&br&大家快来排队给我攒人品，中了一人两万软妹币！！
前天晚上刚中的四等奖，还追加了一注，奖金300块。。。。尼玛啊，就差两个数字奖金就是1000万啊啊啊啊！！ =============================== 补充一个图： 我觉得我快要中1000万了 大家快来排队给我攒人品，中了一人两万软妹币！！
&img data-rawheight=&2200& data-rawwidth=&1650& src=&/dfccb151c04f62d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1650& data-original=&/dfccb151c04f62d_r.jpg&&我想你需要的是这个。&br&更多：&a href=&///?target=http%3A//www.math.wm.edu/%7Eleemis/2008amstat.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&math.wm.edu/~leemis/200&/span&&span class=&invisible&&8amstat.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
我想你需要的是这个。 更多：
一句话，&b&独立事件的概率不能加。&/b&&br&&br&&br&来和我重复一遍，&b&独立事件的概率不！能！加！&/b&&br&&br&&br&就是这样。
一句话，独立事件的概率不能加。 来和我重复一遍，独立事件的概率不！能！加！ 就是这样。
&a data-hash=&06f3b1c891d0d504eea8af& href=&///people/06f3b1c891d0d504eea8af& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@冷哲& data-tip=&p$b$06f3b1c891d0d504eea8af& data-hovercard=&p$b$06f3b1c891d0d504eea8af&&@冷哲&/a& 大 V 给出的答案有误导。&br&&a href=&/maths/& class=&internal&&数学难题？先问问语文老师吧。 - 比生活简单多了 - 知乎专栏&/a&&br&有人看见「语言」两字就讽刺「文科生」……本人拥有数学博士学位，目前仍是职业数学家。&br&&br&&b&这个月经题，不是数学题，而是语言题。&/b&请不要假装在做数学。&br&我刚刚做了语言学版本的提问：&a href=&/question/& class=&internal&&从语义和语用的角度分析，「其中一个」是否意为（或可以默认意为）「其中至少一个」或「其中特定一个」？ - 语用学&/a&&br&「其中特定一个」蕴含「其中至少一个」，但反之不成立，因此两种解读不等价。&br&&br&&b&&a data-hash=&06f3b1c891d0d504eea8af& href=&///people/06f3b1c891d0d504eea8af& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@冷哲& data-tip=&p$b$06f3b1c891d0d504eea8af& data-hovercard=&p$b$06f3b1c891d0d504eea8af&&@冷哲&/a& 在语义上的结论没有经过分析，没有回答问题&/b&。（不是第一次了吧……）&br&事实是将「其中一个」理解为「其中至少一个」或「其中特定一个」（甚至「有且仅有一个」）的人都数量不小，至少说明日常语言中各人理解不同。&br&任何试图做数学解答的人，不管多么看不起语言学，都必须先对语义做出自己的解读。而各方的争吵，也其实都是语义解读的争吵。所以请不要再骗自己说「这不是语言问题，就是数学问题」了。&br&&br&题目的语义明确之前没有确定答案。在这种歧义问题下争吵和人身攻击是浪费时间。&br&语义的解析留给专业的语言学家们解决，学数学只应该去考虑数学意义明确的问题。&br&无论哪种理解，明确语义之后，答案都是极其简单的，不需要写长篇计算来秀水平。&br&&br&何况许多人的水平惨不忍睹……&br&&br&==补充==&br&&br&我上面的提问，已经有语言学专业的朋友给出了详尽的解析。&br&&b&以下是题目的三种可能解读，及相应的答案：&/b&&br&&ul&&li&单单「其中一个是女孩」，语义上应该理解为「至少一个是女孩」或者「存在一个是女孩」。&br&&b&此时答案为 2/3。&/b&&/li&&li&但是考虑到 scalar implicature，语用上经常被理解为「有且仅有一个女孩，另一个是男孩」。&br&&b&此时答案为 1。&/b&&/li&&li&如果上下文有「另一个不清楚」的意思，则应该理解为「特指问者知道性别的那个是女孩」。&br&&b&此时答案为 1/2。&/b&&/li&&/ul&题目询问「另一个」的性别，不确定是说者隐瞒信息（解读一）还是听者自问（解读二）还是说者真不知道而问（解读三）。没有更多信息的话，&b&此处确实有歧义&/b&。&br&&b&在语义明确之后，就算使用不同的思路方法，都应该得到相应的正确答案。&/b&如果你仍然得到不一样的答案，那就是你的数学上犯了错误，这种情况请在评论中讨论。&b&不要怪罪「思路」，或者乱扯什么「学派不同」。&/b&
大 V 给出的答案有误导。
有人看见「语言」两字就讽刺「文科生」……本人拥有数学博士学位，目前仍是职业数学家。 这个月经题，不是数学题，而是语言题。请不要假装在做数学。 我刚刚做了…
题主搞错了沉没成本中，“成本”二字的意思。&br&&br&&b&「等车等了20分钟」这20分钟本身不是成本，这20分钟对应的“代价”才是成本。&/b&&br&如果天气很冷，这20分钟你过的很难受，那么这20分钟的成本就&b&高&/b&，如果你有急事要处理，很赶时间，这20分钟耽误了你的事情，那么也可以说成本&b&高&/b&，但如果你没什么事情急着回家，车站环境又很舒适，你可以找个地方坐下来，用手机看电影或上网，那么这20分钟的成本就很&b&低&/b&。&br&而「20分钟」，只是一个参考因素，诚如你所说，等了20分钟，车很快就来的概率会提高不少，但这个概率提高，仅仅是因为「20分钟没来车」这条&b&信息&/b&造成的，这是这条&b&信息&/b&的价值，与你为这20分钟花费的&b&代价（成本）&/b&无关。&br&&br&举个例子就明白了，假设三种情况（有小修改）——&br&A：你自己等了20分钟，车站条件很差，天气冷，肚子饿，网络信号差，你有急事要办。&br&B：你自己等了20分钟，车站有干净座位，天气舒适，附近有免费WIFI，你不赶时间。&br&C：你刚出车站，直接问了一个正在等车的人，他告诉你“等了20分钟都没来车”。&br&这三种情况下，&b&信息的价值是一样的&/b&，你用它来计算出来的概率也是一样的，但是&b&成本不一样&/b&，显然是情况A的成本较高，B成本较低，C则几乎为零。&br&&br&回到楼主的疑问，让你“不考虑沉没成本”，&u&是指不要去考虑这已经过去的20分钟耽误了多少事、过的是否舒服，而不是抛弃「20分钟没来车」这条信息的利用价值。&/u&&br&你用「20分钟没来车」来判断短时间内来车的概率，这没问题，假设你判断出5分钟后就有车来，然后比较坐上车得到的便利（收益）与&b&接下来&/b&花费时间的代价（成本），再决定是否继续等，这就是理性的判断。&br&重复强调：你在比较收益与成本的时候，&u&成本应该考虑你为&b&接下来&/b&的5分钟所付出的代价，而不是你对&b&已经花费&/b&的20分钟付出的代价&/u&，这就叫“不考虑沉没成本”&br&-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-&br&感谢大家的赞同与回复， 补充一点内容：&br&有评论说我在这里引用了机会成本的概念。在这里解释一下，是的，“这20分钟本来能做些什么”确实是机会成本的概念，但这并不矛盾，我只是用了机会成本的算法，来核算沉没成本的大小，一个是算法，一个是内容。&br&另外还有其他的算法，比如天气是否舒适、车站是否有座位(痛苦承受)，能否上网看电影( 收益补偿)等等，都是算法，用来算沉没成本的“大小”，是为了向题主说明无视沉没成本是指无视了哪些东西，是成本的大小而不是信息的价值。&br&你可以质疑说：“没必要考虑沉没的机会成本、没必要衡量沉没成本的价值大小”，当然，我也知道这是没必要考虑的，但我写这篇的目的就是，把这些没必要考虑（但常人容易陷进去）的东西摆出来给题主看清楚。&br&——————（再次补充）——————&br&懒得一个个回复了，那些指责我说的是机会成本的看客，能不能好好看看题主的问题描述？&br&题主对“沉没成本”的理解偏差，主要是因为他没搞清何为&b&“成本”&/b&，而非何为&b&“沉没”&/b&，所以我文中也主要在解释“成本”二字，而非“沉没”二字。
题主搞错了沉没成本中，“成本”二字的意思。 「等车等了20分钟」这20分钟本身不是成本，这20分钟对应的“代价”才是成本。 如果天气很冷，这20分钟你过的很难受，那么这20分钟的成本就高，如果你有急事要处理，很赶时间，这20分钟耽误了你的事情，那么也可…
对于真正明白概率是怎么回事的人，是可以跟他谈概率的——所以从概率上说，医生最好别跟病人谈概率。
对于真正明白概率是怎么回事的人，是可以跟他谈概率的——所以从概率上说，医生最好别跟病人谈概率。
首先，重要的事情说三遍：&br&&br&&blockquote&&b&置信区间是随机变量！&/b&&br&&b&置信区间是随机变量！&/b&&br&&b&置信区间是随机变量！&/b&&/blockquote&&br&感谢大家点赞&br&---------------------------------------------------&br&看了下前面几个答案，写的不短，赞的人也不少，但是完全没觉得讲清楚什么是置信区间，甚至好多错误观点。&br&&br&最可能出现的对置信区间的错误理解：&blockquote&&u&95%置信区间有95%的概率包括真实参数&/u&&/blockquote&&br&&br&。以前在学校教过应用统计，所以我来给个简明专业的答案吧：&br&&br&理解置信区间，有几个基础统计概念要搞清楚，抛开这些概念去理解置信区间就是扯淡。置信区间是谁的置信区间？这个问题搞清楚了么，置信区间是来&b&参数&/b&的置信区间，参数又是什么的参数？&br&参数是&b&总体（population）&/b&的参数，置信区间是怎么算的？是通过&b&样本（sample）&/b&算的，样本和总体又有什么联系？&br&1）总体，就是全部数据。可以假设总体服从某一分布，比如正太分布。一个正太分布是由两个参数唯一确定的，平均值和方差，这两个参数都是固定的数值，而不是变化的。&br&2）（随机）样本，样本就是从总体里面得到的数据，比如从一个正太分布，我们可以得到0.54，这个0.54就是一个样本。很重要的一点：一个样本未必只有一个值，我们完全可以得到一个样本(0.1,-5,12),这个样本有3个值，3 就是这个样本的size。&br&3）参数估计，实际中，总体什么分布往往不知道，但是我们可以做假设，比如假设人的体重是正太分布，做了这个假设，那接下来的问题是这个正太分布参数是多少？也就是平均值和方差怎么算，解决这个问题就是参数估计，统计里有很多方法，不展开说了。但是参数估计是从样本来估计的，这是关键的一点：样本——&总体的参数。&br&4）不同样本估计的参数一样么？没有理由一样，所以问题来了，不同样本估计的总体不一样，怎么办？区间估计，也就是给定一个区间，让总体参数被包括其中。但是总体参数一定被包括么？显然也不一定，这取决于样本，如果恰好选了某些样本，可能估计的参数和总体相距甚远。&br&&br&最后一点，也是最重要一点，很多自称搞统计的人也理解错误，就是怎么解释置信区间呢？&br&5）比如给定一组参数，算出来总体平均值的置信区间[a,b]，是不是说总体平均值有95%的概率在这个区间内？这样理解是逻辑混乱的结果，没搞懂什么是常数，什么是随机变量这些基本问题。&br&首先，总体参数，是一个常数，只是你不知道，是unknown constant，不知道不代表随机，完全两个概念。然后，一旦估计出区间，这区间也是确定的，参数也是确定的，不存在任何随机问题，那么现在大家应该清楚答案最开始说对置信区间最大的误解”&u&95%置信区间有95%的概率包括真实参数&/u&“的问题在哪了。&br&&blockquote&那么正确的解释是怎样的？可以有很多种，这里直说一个解释：&br&&b&95%置信区间，意味着如果你用同样的步骤，去选样本，计算置信区间，那么100次这样的独立过程，有95%的概率你算出来的区间可以包括真实参数值。&/b&&/blockquote&下图就是一个例子，抽样100次，计算总体参数的置信区间100次，多数情况置信区间覆盖了真实值，但是也有没有的情况。&img src=&/0fb33e11f6e_b.png& data-rawwidth=&817& data-rawheight=&793& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&817& data-original=&/0fb33e11f6e_r.png&&&br&一个类比，对置信区间包括真实参数的概率的错误理解相当于说守株待兔，已经选好一棵树，兔子撞上去的概率，兔子就是真是参数。正确的理解是，找到一棵有兔子的树的概率。树是什么？是样本，也是置信区间。&br&&br&差别有些微妙！&br&&br&&b&################################################################################&/b&&br&&b&欢迎关注微信公众号：机器会学习（id：jiqihuixuexi），精彩原创文章频繁更新！&/b&
首先，重要的事情说三遍： 置信区间是随机变量！ 置信区间是随机变量！ 置信区间是随机变量！ 感谢大家点赞 --------------------------------------------------- 看了下前面几个答案，写的不短，赞的人也不少，但是完全没觉得讲清楚什么是置信区间，甚至…
打个比方，道路上有个坑，前面一个人走过去摔了，后面的人看到了就不会走过去了。这是飞机失事。&br&镇里有好多家饼店都用的同一个面粉供应商，一家饼店的饼吃了有人拉肚子，大家都不会去其余的饼店了。这是银行。
打个比方，道路上有个坑，前面一个人走过去摔了，后面的人看到了就不会走过去了。这是飞机失事。 镇里有好多家饼店都用的同一个面粉供应商，一家饼店的饼吃了有人拉肚子，大家都不会去其余的饼店了。这是银行。
我上一年级的时候，所在的小学，和我爸任教的中学，只隔一条大马路。&br&&br&“可以经常去找我爸玩了！”我高兴的想。&br&&br&于是某天课间休息时间，我一溜烟穿过马路，跑到我爸的办公室。&br&&br&我爸看到我，大吃一惊：“你来干什么？”&br&&br&“来玩呀！”我笑嘻嘻的说。&br&&br&然后我爸抽出铁尺，揍得我鬼哭狼嚎。&br&&br&“马路上那么多车，你被撞死怎么办？以后不准下课来找我，敢来就打死你。”&br&&br&后来我爸回忆起这件事时，是这么说的：&br&&br&“那时候你年纪小，我很难和你解释清楚这件事有多危险。没办法，只好打你一顿，让你不敢再来。这件事的危险性，你可以以后慢慢理解，我得先保证你的安全再说。”&br&&br&乱穿马路被撞死的概率是几万分之一，这个我理解不了。&br&&br&乱穿马路挨打的概率是百分之百，这个我一下子就理解了！秒懂！
我上一年级的时候，所在的小学，和我爸任教的中学，只隔一条大马路。 “可以经常去找我爸玩了！”我高兴的想。 于是某天课间休息时间，我一溜烟穿过马路，跑到我爸的办公室。 我爸看到我，大吃一惊：“你来干什么？” “来玩呀！”我笑嘻嘻的说。 然后我爸…
&p&要回答这个问题，首先要明白“含有概率的陈述（probabilistic claims）的含义是什么？”&/p&&p&根据对于概率的不同理解，决定概率的因素也是不一样的。&/p&&p&我在&a href=&/question//answer/& class=&internal&&概率（Probability）的本质是什么？ - 知乎&/a&讨论了三种主流的对概率的理解（interpretations of probability）。（&i&一定要先看呀，这个答案预设了看过那个才能理解& & &/i&）&/p&&p&（一）楼上提到的，&b&概率是由观察者的信息不完备决定的、造成的，这只适用于贝叶斯派对于概率的理解&/b&。尤其地，如果这是一个全称判断，即所有概率都是由信息不完备造成的，那么它预设了这个世界是决定性的（deterministic）--因为它蕴含了客观世界并不存在任何概率性质（如果世界是非决定性的，那么会有概率是由世界本身的非决定性造成的，而不仅仅是观察者的信息不完备）。最后这一论断无法解释决定“抛硬币正面朝上”这种重复多次发生的事件的概率，和“第三次世界大战爆发”这种一次性事件的概率，之间的区别。&/p&&p&实际上，当我们在做还有概率的陈述时，对象不仅仅包含“Trump被弹劾的概率是5%”，或是“明天吃货省会局域性地漫天下虾饺的概率是0.01”，这类看起来直接和观察者信息不完备有关的概率；还包括粒子物理中“这个粒子衰变的概率是50%”，或是热力学和经典的统计力学中“放在热水中的冰块会逐渐融化的概率远远大于冰块会变得越来越大的概率”。而这些在物理学中用到的概率，一般认为，是存在于客观世界的，和观察者没有任何关系。&/p&&p&所以，贝叶斯派面临的常见挑战就是它无法很好地解释这些客观概率。即便是其分支之一的客观贝叶斯派（objective Bayesianism）。根据这个分支的观点，理性行为人的信念受到一条客观原则的限制，即无差别原则（the principle of indifference）。&/p&&br&&p&（二）根据&b&原始派&/b&（&b&Primitivism&/b&），&b&概率是由事物或事件的本质属性决定的&/b&。有的粒子就是会有衰变的可能性，这是一种基本的概率。&/p&&p&在经典力学的框架下，一切都是决定性的。无论是抛硬币，还是布朗运动，展现出的概率性只是一种表象。如果我们仔细分析组成硬币以及花粉大分子的基本粒子构成，就会发现这些基本粒子的运动完全是决定性的。也就是说，物理系统会决定性地从一个状态演化A到下一个状态B，没有其他可能性。&/p&&p&但原始派所说的基本概率，与经典框架下的抛硬币不同，无法用更深层次的决定性的自然法则来解释。这样的概率是动态的（dynamical），它直接指引粒子从一个状态A在一段时间后演化到下一个状态，只不过下一个状态不是确定的，有可能是B1，有可能是B2等等。&/p&&p&这样的基本概率的存在推翻了经典力学的框架，说明在本质上我们的世界是概率性的。&/p&&p&而&b&目前只有量子力学中，只有GRW版本的量子力学中，存在这样的基本概率&/b&。（多世界诠释和非局域的隐变量理论的量子力学中，我们的世界从本质上来说依然是决定性的。）&/p&&p&原始派面临的一个问题则是无法解释经典的统计力学中的概率。比如热水中冰块融化的例子，明确了组成冰块和水的每一个基本粒子的初始状态（位置以及动量），通过牛顿力学，原则上可以推算出每一个粒子的运动轨迹，然后得到冰块和水的宏观系统的最终状态。但这么算太麻烦了，冰块和水的初始宏观状态对应着非常多可能的构成它们的粒子的微观状态—比如说其中某一个粒子的位置从A挪到B并不会改变冰块和水的状态。&/p&&img src=&/v2-54e6b6ad49c_b.jpg& data-rawwidth=&1788& data-rawheight=&962& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1788& data-original=&/v2-54e6b6ad49c_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-b043cf12da139ae0f8a7ccfbf4002952_b.jpg& data-rawwidth=&1537& data-rawheight=&890& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1537& data-original=&/v2-b043cf12da139ae0f8a7ccfbf4002952_r.jpg&&&br&&p&而这些很多的微观状态对应着一个概率分布。由粒子的初始状态的概率分布，我们可以大致地计算出最终状态的概率分布。这个最终的概率分布会告诉我们“放在热水中的冰块会逐渐融化的概率远远大于冰块会变得越来越大的概率”。&/p&&p&&b&经典的统计力学中的概率是由微观系统初始状态的概率分布决定的。&/b&&/p&&p&还有理论认为统计力学中的概率实际上是量子概率的一种结果。这种情况下，像“放在热水中的冰块会逐渐融化的概率”，也是由量子概率的本质属性决定的。&/p&&br&&p&（三）根据&b&频率派（Frequentism）&/b&，其实没有什么决不决定概率的。概率就是频率，而频率只是一系列事件发生的统计方式。&a href=&/question//answer/& class=&internal&&概率（Probability）的本质是什么？ - 知乎&/a&举了一个例子，有两种描述一系列投硬币的事件的方式：&/p&&p&（1）完整地描述每一个事件情况：第一次硬币朝上，第二次朝下，第三次朝下......列出一个长长长长长长长的名单；&/p&&p&（2）统计一下正面朝上和朝下的频率，总结：正面朝上的概率是50%，背面朝上的概率是50%。&/p&&p&只是这样，一系列的事件发生了就是发生了。&b&没有什么更深层次的原因解释或是决定概率&/b&。&/p&&br&&p&参考文献：&/p&&p&Albert, David Z. &i&Time and Chance&/i&. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 2001. &/p&&p&Beisbart, Claus. “Probabilistic Modeling in Physics.” In &i&Probabilities in Physics&/i&, edited by Claus Beisbart and Stephan Hartmann, 144-143. Oxford: Oxford University Press, 2011. &/p&&p&Maudlin, Tim. “Three Roads to Objective Probability.” In &i&Probabilities in Physics&/i&, edited by Claus Beisbart and Stephan Hartmann, 294-320. Oxford: Oxford University Press, 2011. &/p&&p&Timpson, Christopher G. “Probabilities in Realist Views of Quantum Mechanics.” In &i&Probabilities in Physics&/i&, edited by Claus Beisbart and Stephan Hartmann, 202-230. Oxford: Oxford University Press, 2011. &/p&&p&Wallace, David. “Probability in Physics: Stochastic, Statistical, Quantum.” In &i&Chance and Temporal Asymmmetry&/i&, edited by Alastair Wilson, 195-220. Oxford: Oxford University Press, 2014. &/p&&p&Wallace, David. &i&The Emergent Multiverse: Quantum Theory According to the Everett Interpretation&/i&. New York: Oxford University Press, 2012. &/p&&p&Wallace, David. “The Everett Interpretation.” In &i&The Oxford Handbook of Philosophy of Physics&/i&, edited by Robert Batterman, 460-488. Oxford University Press, 2013. &/p&
要回答这个问题，首先要明白“含有概率的陈述（probabilistic claims）的含义是什么？”根据对于概率的不同理解，决定概率的因素也是不一样的。我在讨论了三种主流的对概率的理解（interpretations of probability…
谢...谢邀。&br&&br&假定该国人民体质很正常，生男孩和生女孩的概率都是1/2，那么严格按照该方案实施并且不会把生下来的女婴杀掉的话，该国的男女比例为1:1。&br&&br&通俗一点理解的话，想象全国的家庭一起生孩子吧。所有家庭一起生第一胎，男女各一半。生男孩的退出，生女孩的继续生第二胎，男女各一半。依此类推，每轮的男女比例都是1:1，整体来看也自然是1:1。
谢...谢邀。 假定该国人民体质很正常，生男孩和生女孩的概率都是1/2，那么严格按照该方案实施并且不会把生下来的女婴杀掉的话，该国的男女比例为1:1。 通俗一点理解的话，想象全国的家庭一起生孩子吧。所有家庭一起生第一胎，男女各一半。生男孩的退出，生…
我想想，我们把三角形的三条边延长变成大圆，这样我们就是三刀把一个球面切成了八部分，这八部分是对称的，我们的球面三角形只是八部分中的一个，因为八部分加起来是球面总面积&img src=&///equation?tex=4+%5Cpi+r%5E2& alt=&4 \pi r^2& eeimg=&1&&，所以球面三角形面积的期望是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpi+r%5E2%7D%7B2%7D& alt=&\frac{\pi r^2}{2}& eeimg=&1&&，只要利用对称性就可以了&br&=========================================================&br&稍微论证的严密一点，任取一个球面三角形ABC，我们通过上述方法可以得到另外7个球面三角形；而当我们取这另外7个球面三角形中任意一个的时候，通过相同的方法，仍然可以得到相同的8个球面三角形，所以这8个球面三角形是对称的，所以这8个球面三角形的面积期望值相等，所以每个的面积期望值等于总和的1/8，这里面不涉及“任取三个大圆是否与任取三个点等效”的问题&br&=========================================================&br&还真的有张现成的图&br&&img data-rawheight=&182& data-rawwidth=&185& src=&/b8db712055d_b.jpg& class=&content_image& width=&185&&感谢评论区 &a class=&member_mention& href=&///people/d24ce1e62fcd8e788e9067c& data-hash=&d24ce1e62fcd8e788e9067c& data-tip=&p$b$d24ce1e62fcd8e788e9067c& data-hovercard=&p$b$d24ce1e62fcd8e788e9067c&&@料理小达人&/a& ，感谢原图作者，这图应该没有版权问题吧……
我想想，我们把三角形的三条边延长变成大圆，这样我们就是三刀把一个球面切成了八部分，这八部分是对称的，我们的球面三角形只是八部分中的一个，因为八部分加起来是球面总面积4 \pi r^2，所以球面三角形面积的期望是\frac{\pi r^2}{2}，只要利用对称性就可…
&p&上面的答案并没有一个能说到点子上。
例如说一个医院中，每个病人来看病都是随机并独立的概率，则该医院一天（或者其他特定时间段，一小时，一周等等）接纳的病人总数可以看做是一个服从poisson分布的随机变量。但是为什么可以这样处理呢？&/p&&p&我个人认为最好的解释方法是从poisson的两种不同定义上着手。&/p&&p&Poisson分布的第一个定义是一个随机变量X, 只能取值非负整数（x=0,1,2,...），且相应的概率为&img src=&///equation?tex=e%5E%7B-%5Clambda+%7D%5Cfrac%7B%5Clambda+%5Ex%7D%7Bx%21%7D+& alt=&e^{-\lambda }\frac{\lambda ^x}{x!} & eeimg=&1&&&/p&&p&，则该变量称为服从poisson分布。
这个定义就是我们平时考试或者理论工作时用的poisson随机变量的定义。&/p&&p&注意Poisson还有一个知名度比较小的第二个定义，或者说是Poisson Process的定义：假定一个事件在一段时间内随机发生，且符合以下条件：
（1）将该时间段无限分隔成若干个小的时间段，在这个接近于零的小时间段里，该事件发生一次的概率与这个极小时间段的长度成正比。
（2）在每一个极小时间段内，该事件发生两次及以上的概率恒等于零。
（3）该事件在不同的小时间段里，发生与否相互独立。
则该事件称为poisson process。这个第二定义就更加利于大家理解了，回到医院的例子之中，如果我们把一天分成24个小时，或者24x60分钟，或者24x3600秒。时间分的越短，这个时间段里来病人的概率就越小（比如说医院在正午12点到正午12点又一毫秒之间来病人的概率是不是很接近于零？）。 条件一符合。另外如果我们把时间分的很细很细，是不是同时来两个病人（或者两个以上的病人）就是不可能的事件？即使两个病人同时来，也总有一个人先迈步子跨进医院大门吧。条件二也符合。倒是条件三的要求比较苛刻。应用到实际例子中就是说病人们来医院的概率必须是相互独立的，如果不是，则不能看作是poisson分布。&/p&&p&题主的问题是为什么现实生活中的情况（如医院例子）会服从poisson分布的第一定义。现在有了第二定义作为桥梁，应该就很容易理解了。现实生活中的例子中如果事件相互独立，那么它就是符合poisson分布的第二定义的。而从poisson第二定义到poisson第一定义之间是有严格的数学证明的。我这里先不把它贴出来。数学证明比较麻烦，我也不确定题主是否对这数学证明感兴趣。如果想知道可以在这个答案下面留言。我再另抽空把证明贴出来。&/p&&br&&p&*************************************************************************************************&/p&&br&&p&来个大家贴证明吧，刚才凭记忆徒手推了以下，不严谨的地方请多多见谅：&/p&&p&我们还是拿医院的接待病人的例子，令&img src=&///equation?tex=t%3D0& alt=&t=0& eeimg=&1&& 为某一天开始的一秒，令&img src=&///equation?tex=N%28x%29& alt=&N(x)& eeimg=&1&& 为在&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 时间段内该医院接待的病人个数，令&img src=&///equation?tex=P_n%28t%29& alt=&P_n(t)& eeimg=&1&& 为在&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& 时刻截止，该医院接待&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个病人的概率。首先我们有假设1，每个极小时间段里病人来的概率互相独立，即&/p&&p&&img src=&///equation?tex=P%28N%28t_1%29%3Dn_1%2C+N%28t_1%2Bt_2%29%3Dn_2%29%3DP%28N%28t_1%29%3Dn_1%29P%28N%28t_2%29%3Dn_2%29& alt=&P(N(t_1)=n_1, N(t_1+t_2)=n_2)=P(N(t_1)=n_1)P(N(t_2)=n_2)& eeimg=&1&&
（假设1）&/p&&p&然后我们定义一个极小项&img src=&///equation?tex=o%28h%29& alt=&o(h)& eeimg=&1&& 有这样的性质：&img src=&///equation?tex=+%5Clim_%7Bh%3D0%7D+%5Cfrac%7Bo%28h%29%7D%7Bh%7D+%3D+0& alt=& \lim_{h=0} \frac{o(h)}{h} = 0& eeimg=&1&& 这个性质的意思就是说当&img src=&///equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&& 趋近于0时，&img src=&///equation?tex=o%28h%29& alt=&o(h)& eeimg=&1&& 会以更快地速度趋近于0。回到例子当中，当我们把每个时间段定义的很小很小，比如一秒时，在这个时间段来一个病人的概率也会很小，但是这个概率是正比于时间段的长度的，也就是说这个概率趋近于0的速度等同于时间段长度趋近于0的速度，但是在这个时间段来一个以上的病人的概率会更小，且减小的速度远远大于时间段长度趋近于0的速度，所以这个时间段来一个以上的病人的概率就是一个极小项。把上面这段话写成公式就是&/p&&p&&img src=&///equation?tex=P_1%28h%29+%3D+%5Clambda+h+%2B+o%28h%29& alt=&P_1(h) = \lambda h + o(h)& eeimg=&1&&
(假设2）&/p&&p&&img src=&///equation?tex=P_%7B%3E1%7D%28h%29+%3D+o%28h%29& alt=&P_{&1}(h) = o(h)& eeimg=&1&&
（假设3）&/p&&p&另外注意一下&img src=&///equation?tex=o%28h%29& alt=&o(h)& eeimg=&1&& 的性质：任何常数项乘&img src=&///equation?tex=o%28h%29& alt=&o(h)& eeimg=&1&& 还是一个&img src=&///equation?tex=o%28h%29& alt=&o(h)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&证明的思路是这样的，我们要证明&img src=&///equation?tex=P_n%28t%29+%3D+e%5E%7B-%5Clambda+t%7D+%5Cfrac%7B%28%5Clambda+t%29%5En%7D%7Bn%21%7D& alt=&P_n(t) = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!}& eeimg=&1&& 对于所有的n为非负整数为真。共有三个步骤：步骤一，当n=0时为真。步骤二，当n=1时为真。步骤三，用归纳法证明当n为大于1的整数时结论为真。&/p&&br&&p&步骤一：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=P_0%28t%2Bh%29+%3D+P_0%28t%29P_0%28h%29& alt=&P_0(t+h) = P_0(t)P_0(h)& eeimg=&1&&
(即是说在&img src=&///equation?tex=t%2Bh& alt=&t+h& eeimg=&1&& 时刻接待病人的数量为0的充要条件是：t时刻为止，接待0个病人，且从t时刻到&img src=&///equation?tex=t%2Bh& alt=&t+h& eeimg=&1&& 时刻之间，接待的病人也为0。）&/p&&p&根据假设2 和 假设3，我们有：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=1%3DP_0%28h%29%2BP_1%28h%29%2BP_%7B%3E1%7D%28h%29& alt=&1=P_0(h)+P_1(h)+P_{&1}(h)& eeimg=&1&& (从t时刻到t+h时刻之间，接待病人数只能是0，1，或者是大于1，没有其他可能）&/p&&p&有此可以得到：&/p&&img src=&///equation?tex=P_0%28h%29+%3D+1+-+%5Clambda+h+%2B+o%28h%29& alt=&P_0(h) = 1 - \lambda h + o(h)& eeimg=&1&&&p&即&img src=&///equation?tex=P_0%28t%2Bh%29%3DP_0%28t%29%281-%5Clambda+h+%2B+o%28h%29%29& alt=&P_0(t+h)=P_0(t)(1-\lambda h + o(h))& eeimg=&1&&&/p&&p&即&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7BP_0%28t%2Bh%29-P_0%28t%29%7D%7Bh%7D%3D-+%5Clambda+P_0%28t%29+%2B+%5Cfrac%7Bo%28h%29%7D%7Bh%7D& alt=&\frac{P_0(t+h)-P_0(t)}{h}=- \lambda P_0(t) + \frac{o(h)}{h}& eeimg=&1&&&/p&&p&根据导数的定义我们有:&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%28P_0%28t%29%29%7D%7Bdt%7D+%3D+%5Clim_%7Bh%3D0%7D+%5Cfrac%7BP_0%28t%2Bh%29-P_0%28t%29%7D%7Bh%7D%3D-%5Clambda+P_0%28t%29+%2B+0%3D-%5Clambda+P_0%28t%29+& alt=&\frac{d(P_0(t))}{dt} = \lim_{h=0} \frac{P_0(t+h)-P_0(t)}{h}=-\lambda P_0(t) + 0=-\lambda P_0(t) & eeimg=&1&&&p&即 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%28P_0%28t%29%29%7D%7BP_0%28t%29dt%7D%3D-+%5Clambda& alt=&\frac{d(P_0(t))}{P_0(t)dt}=- \lambda& eeimg=&1&&&/p&&p&等式两边求积分得到：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Clog+P_0%28t%29+%3D+-+%5Clambda+t+%2B+c& alt=&\log P_0(t) = - \lambda t + c& eeimg=&1&&&p&两边同时取指数：&/p&&img src=&///equation?tex=P_0%28t%29+%3D+Ke%5E%7B-%5Clambda+t%7D& alt=&P_0(t) = Ke^{-\lambda t}& eeimg=&1&&&p&因为&img src=&///equation?tex=P_0%280%29+%3D+1& alt=&P_0(0) = 1& eeimg=&1&& (即在0时刻接待病人数量一定是0）&/p&&p&可以推出&img src=&///equation?tex=K%3D1& alt=&K=1& eeimg=&1&& ，&/p&&p&故&img src=&///equation?tex=P_0%28t%29+%3D+e%5E%7B-%5Clambda+t%7D& alt=&P_0(t) = e^{-\lambda t}& eeimg=&1&& .&/p&&p&步骤一完成。&/p&&p&*************************************************************************************************&/p&&p&现写到这里，后面的再补充，知乎上面的公式编辑真是灭绝人性！&/p&
上面的答案并没有一个能说到点子上。
例如说一个医院中，每个病人来看病都是随机并独立的概率，则该医院一天（或者其他特定时间段，一小时，一周等等）接纳的病人总数可以看做是一个服从poisson分布的随机变量。但是为什么可以这样处理呢？我个人认为最好的…
我来说说我的经历。&br&&br&我从3年前开始玩&a href=&///?target=http%3A///& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&这个网站。它依靠“标志重捕法”来追踪美元的流向。你可以在美钞上盖一个专用印章，并把其序列号和你的地址输入网站，等到有心人收到你标记过的钞票后，他就会输入他的地址，这样就能够看到美元都经过了哪些地方（例如&a href=&///?target=http%3A//wg4.us/b%3AIvfX0k2kr& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&wg4.us/b:IvfX0k2kr&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。&br&&img src=&/ab3_b.png& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/ab3_r.png&&&br&到目前为止，我一共标记过3,303张钞票。其中后来又回到我手中的，只有1张。那是去年8月我在机场接新生的时候的事。因为机场到学校的巴士不找零，作为学生会的工作人员，我们准备了大量的零钱供新生兑换。这些零钱都被我做了标记。到了2周后迎新会的现场，我负责出售周边餐馆的打折卡，此时有一张被我标记过的钞票又回到了我手中。&br&&br&当然，这张钞票回流的周期太短了。而且新生把一张钞票放在钱包里2个星期没花，也不是什么稀奇的事。那些被我花在了餐馆、超市这些现金流动性高的地方的钞票，就再也没有回到过我手中。&br&&br&=========== 2016 年 11 月 3 日更新 ============&br&&br&我每周四晚上都跟几个朋友去打保龄球，输的请赢的吃饭。今天晚上，我从一个朋友那里「回收」到了三个星期之前做过标记的一张钞票。
我来说说我的经历。 我从3年前开始玩这个网站。它依靠“标志重捕法”来追踪美元的流向。你可以在美钞上盖一个专用印章，并把其序列号和你的地址输入网站，等到有心人收到你标记过的钞票后，他就会输入他的地址，这样就能够看到美元都经…
&img src=&/a09babb81a6849875ddd037b_b.jpg& data-rawheight=&378& data-rawwidth=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/a09babb81a6849875ddd037b_r.jpg&&&p&这是 pi 前1000万数字的分布图 &/p&&br&&p&==============================================&/p&&p&补充几句,每年的3月14号被称为 pi day, 很多数学,统计学背景的公司,机构都有庆祝活动,还有蛋糕,小甜饼什么的&/p&&br&&img src=&/9ad82161ba0dbb72f9fdcc_b.jpg& data-rawheight=&666& data-rawwidth=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/9ad82161ba0dbb72f9fdcc_r.jpg&&&br&&p&3个9.99是因为 都不足进位,比如9.992,9.993,9.994........&/p&
这是 pi 前1000万数字的分布图 ==============================================补充几句,每年的3月14号被称为 pi day, 很多数学,统计学背景的公司,机构都有庆祝活动,还有蛋糕,小甜饼什么的 3个9.99是因为 都不足进位,比如9.992,9.993,9.994........
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