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工程断裂力学课件3弹塑性断裂力学(EPFM)简要
第三章 弹塑性断裂力学（EPFM）简要§ 3-1 Dugdale 方法（D－M模型） § 3-2 裂纹尖端张开位移CTOD（COD）定义及准则 § 3-3 COD 与K1的一致性 § 3-4 3 4 COD准则的应用 § 3-5 J 积分的定义及守恒性 § 3-5-1 J 积分的定义 § 3-5-2 J 积分的守恒性 § 3-6 线弹性条件下J 与K的关系 § 3-7 在弹塑性条件下J 与CTOD的关系§ 3-1 Dugdale 方法（D－M 模型 ）Dugdale观察了薄壁压力容器 的打压试验 开裂时裂纹尖端出现 的打压试验，开裂时裂纹尖端出现 了火焰状的塑性区。在一定的压力 下 塑性区已很大 但并不失稳扩 下，塑性区已很大，但并不失稳扩 展，要继续扩展还需加力。 Dugdale分析了这种实际上处于平面应力下的塑性区。对于压力容器，环向应力是主 要的。σ θ = pR ，这里 p 是压力，R是容器的内径。该容器的裂纹两端有塑性区，由于 周围有弹性应力作用在塑性区上，不让其扩展。Dugdale认为在塑性区里作用的应力是 －σ ys (σ s ) ，即在塑性区 ρ 的范围里，这个力在阻止裂纹的扩展，使裂尖奇异性消失。 据此，Dugdale利用Irwin提出的有效裂纹长度的概念，假设裂纹长度变为 2a + 2ρ , 在远程应力 在这个等效裂纹长度ρ 的部分作用－σ ，它产生的应力强度因子为Kρ 。stσ （即压力产生的 σθ ）作用下，其应力强度因子为 Kσ = σ π (a + ρ )。我们用权函数或用作用在裂纹边两对集中力叠加等方法，可以求得：K ρ = ?2σ sa+ρπcos?1 (a ) a+ρ........................(1)K ρ ＋ K σ＝0， 从而有： 由于 K ρ 和 K σ 的 的共同作用使裂尖的应力奇异性消失，即： 作 使裂尖的应力奇 性消失 有?2σ sa+ρπa cos ( ) + σ π (a + ρ ) = 0 a+ρ?1即有： 即有a πσ = a+ρ 2σ s对于小范围屈服，πσ ρ = a (sec ? 1) ; 2σ s...................(2) ( )ρ && a, σ && σa 1 = a + ρ 1+ ρ≈ 1? ρ aaρ = 1 ? 1 ( πσ ) 2 ; 从而： 1 ? a 2 2σ s这里， K1 = σπ 2 σ 2 a π K 12 ρ = = 2 8 σs 8 σ s2r0，但比........(3)πa，上式： ρ 相当于Irwin 的r0 大很多。D-M D M模型在工程上得到广泛的应用，它适应于平面应力。它不仅可以用于小范 围屈服，也可以用于大范围屈服。§ 3-2 裂纹尖端张开位移CTOD定义及准则非完全脆性材料裂纹受载后扩展并不失稳，在原裂纹顶端沿垂至于裂纹面的方向将 产生位移，称为CTOD或COD，当然裂尖由此产生钝化，使得CTOD定义模糊。 常见的定义有以下几种： （1）弹塑性交界线与裂纹表面的交界点处 的张开位移看作CTOD。 对D－M模型描述的裂纹，经Paris等人的工作， 推导出：δ = CTOD = 2V =该式推导利用了卡氏定理、能量关系和位移的计算，过程比较繁琐，这里不在介绍。 （2）对于弯曲试样，（例如TPB试样）观察到： 裂纹张开位移距裂纹顶端稍远处 裂纹两表面仍是平面 裂纹张开位移距裂纹顶端稍远处，裂纹两表面仍是平面。 将裂纹两表面延长线与裂纹端点的垂直切线相交，交点间的距离为CTOD （3）Rice建议在变形的裂纹顶端处，做一个等边直角 三角形，它与两裂纹面交点的位移用 表示，就是CTOD。8σ s a πσ ln(sec ) 2σ s πEWell 在1965年用大量试验得出，可以用裂纹尖端的CTOD（δ） 作为表征裂纹弹塑性应力应变场的单一参数，当此参数值达到材料的临界值，材料就会发生开裂。 即δ = δc为开裂准则。使用这一准则必须解决两个问题：（1）使用小试样能方便准确地测量出材料稳定 的开裂参数 δ c ；（ （2）建立裂纹尖端的 δ 与外载荷、裂纹尺寸及裂纹几何的关系（即 与外载荷 裂纹尺寸及裂纹几何的关系（即δ = f ( p, a, Y )的表达式）。试验表明 δ c 用TPB、CT等小试样可以实现，试验证明开裂点的 δ c 是材料常数， 但失稳扩展点的 δ c 不是常数！换句话说，CTOD只是开裂判据，不是破坏判据！ GB/T
对 δ c 的测试方法做了详尽的说明，本课不讲实验测试（大家要 用时，严格按标准的要求技术细节做即可，不用讲了就忘了）。 CTOD方法在中低强度钢压力容器和管道，即焊接结构等方面在工程上有广泛应 用 它的优点是方法简单 直观 易测 缺点是定义不明确 理论依据不足 用。它的优点是方法简单、直观，易测，缺点是定义不明确，理论依据不足。§ 3-3 CTOD 与K1的一致性（小范围屈服）首先说明 这个问题并没有很好解决 有 些人提出置疑 Irwin用有效裂纹长 首先说明，这个问题并没有很好解决。有一些人提出置疑。 度的概念推导了原裂纹尖端的张开位移。对于I型穿透裂纹的y方向位移V 在裂尖附近有：V=K1 2μr sin θ ( χ ? cos θ ) 2 2π将原裂纹尖端θ = π , r = r0代入：V=2K1μr0 4K1 r0 (χ +1) = ; 2π E1 2π8 CTOD = 2V = E1? 1 K12 ? 2 2 π σ ? s r0 = ? 2 K 1 ? 1 2 ? σ 4 2 π s ?r0 K1 （小范围屈服） 又将Irwin 塑性区的 r0 代入 2π? 4 K12 K12 1 27 平面应力 平面应力 ? π Eσ ≈ 1.27 Eσ s ? s ∴ CTOD = ? 2 2 K K 2 ? 1 1 平面应变 ≈0 0.45 45 平面应变 ? π Eσ Eσ s s ?2 2 可见，CTOD正比于 K1 ，（反比于 E , σ s ）。故 K1 可以反映裂纹张开的性质。K 12 又 G1 = E1∴ CTOD = δ = MσsG1? 4 ≈ 1.27 ? π M =? ? 2 π ≈ 0.45 ?M称为约束系数，约束系数不同作者得到的略有差别。 在小范围屈服时，用D－M模型：8σ s a πσ CTOD = δ = ln(sec ) πE 2σ s当πσ σ && σ s , 2σ s8σ s a 1 πσ 2 πσ 2 a K12 G1 很小时，δ ≈ . ( ) = = = π E 2 2σ s Eσ s Eσ s σ sx2 x4 x6 + ? + ......; co s x = 1 ? 2! 4! 6!sec x ≈ 1 x2 1? 2 ≈1+ x2 2这因为x,y 很小时：y 2 y3 y 4 ln(1 + y ) = y ? + ? + ...... 2 3 4x2 x2 1 x2 2 x2 ln(1 + ) ≈ ? ( ) ≈ 2 2 2 2 2∴ G1 = δσ s(M = 1)在平面应力，小范围屈服， COD作为开裂的判据。用D－M法 ? CTOD＝δ =σsG1；用Irwin法 ? CTOD＝π σs4 G1；两者相差27％。§ 3-4 CTOD准则的应用前面讲过CTOD在压力容器和管道方面有许多实际应用，逐渐完善，成为规范性 的东西。 对于压力容器和管道上的裂纹，在内压的作用下，由于曲率的影响，裂纹自由边 会向外膨胀，这种效应称为 鼓胀效应 ，并由此产生了 个附加弯距，它会增大裂 会向外膨胀，这种效应称为“鼓胀效应”，并由此产生了一个附加弯距，它会增大裂 纹尖端处的应力，通常用一个大于1的系数 M' 变为 M 'σ ，' M 来表示这种应力增加的倍数，即作用力 有称为“鼓胀效应”系数。对于球壳、圆柱壳容器的轴向或环向， M'不同的计算方法。对于穿透裂纹，深埋裂纹，表面裂纹值也不同。例：对于圆形和管a 2 12 M； ' = (1 + α ) 道裂纹 ，其中a 为半裂纹长，R为半径，t为壁厚； 这里： Rt 1 61 圆筒轴向穿透裂纹 ?1.61 ? α = ?0.31 圆筒环向穿透裂纹 考虑“鼓胀效应”后CTOD准则按Ｄ－Ｍ 模型可写 ?1.93 球形容器穿透裂纹 为： ?δ =8σ s a M ' πσ ln(sec ) = δc πE 2σ s........(1)利用这个式子，对应于开裂的临界值 δ c ，可以确定压力容器和管道的临界裂纹尺 寸 ac 和临界应力 σ c 。对于中低强度钢制造的薄壁压力容器和管道，在裂纹开裂后都 有一个载荷继续增加 裂纹不断扩展的阶段 称为亚临界裂纹扩展 达到最后失稳破 有一个载荷继续增加，裂纹不断扩展的阶段，称为亚临界裂纹扩展，达到最后失稳破 坏时的应力，对压力容器称为“爆破应力” σm比开裂应力 σ， σc m大许多。 σm在工程上也是关心的。可以用下面的方法进行估计。K 12 假设弹塑性小变形下 G1 = E和 G1 = δσ s 关系仍成立。考虑 关系仍成立。考虑“鼓胀效应”后 鼓胀效应 后有： .8σ s 2 a K 12 M ' πσ ln(sec ); = δσ s = E πE 2σ s2 π K 1 M 'σ = cos ? 1 [exp( ? )] 2 π 8σ s a2σ s........(2)K1 = K cσ0 在爆破时，用流变应力Kcσ = σmσs & σ0 & σb 是平面应力断裂韧度 )，），有： ，同时考虑到屈服硬化性质，,σ (s 代替 （M 'σm=2σπ0适当取 σ 0 值，可以得到与试验相当符合的结果。 σ 0 的确定有经验公式：2 π K c c o s ? 1 [e x p ( ? )] 2 8σ 0 a.......(3)2 K c 对于高韧性材料短裂纹，此时Kc 很大！a 很小， → 很大 2 σ0 aσs 1 σ 0 = σ s + (σb ?σ s ) 2 σbπ K c2 exp( ? )→ 0 2 8σ 0 a；π K c2 π cos exp( ? ) → 8σ 0 2 a 2?1从而，(3)式变为M 'σ m =2σ 0 π =σ0 π 2...........(4)此式也得到广泛的应用。例题1 某合金焊缝金属屈服强度为1000MPa，杨氏模量为200GPa , 泊松比ν＝0.3 ， 平面应变断裂韧度K1C为 95 MPa .m1/2 ; 测得的CTOD 值δ 为 40μm, 按小范围屈服δ与 K1 的关系，计算常数 M，并确定这个关系 。 解： 由 则δ = MσsG1K 12 = M σ sEK 1c 2 δ =M σ sE；用 MN 和 m 作单位计算M=δσ s EK1c 240 × 10?6 × 1000 × 200 × 103 0 89 = = 0.89 2 95从而，K12 δ = 0.89 σ s E1例题2 某压力容器内径1000mm，壁厚50mm，工作压力20 MPa，存在一个初始环向 焊接裂纹20mm 长，该材料的屈服强度为700MPa，断裂韧度为δc=0.1 mm，弹性 模量E＝2x105 MPa; 该容器在实验室打压试验 P水＝40 Mpa，求临界裂纹长度。 解：对压力容器，环向裂纹由 σ z 引起，σz =pR 2t这里： R=(内径＋壁厚）/2 , P为工作压力，t 为壁厚； 打压试验决定了临界应力，因此：σ c＝ σ z =p水 R =(40X525)/(2X50)=210 (40X525)/(2X50) 210 (MP (MPa) ) 2t利用平面应力下的Dugdale表达式：δ = δc =E＝2x105 MPa; 代入计算得：8σ s a c πσ c ln (sec ) ； σ s = 700 MPa ，δc = 0.1 mm， 2σ s πEac= 97.2 97 2 (mm) x2=194.4(mm) x2=194 4(mm)思考题： 考题1、如果该压力容器存在一个30mm的环向裂纹，未经打压实验，请问该压力 容器的临界工作压力多大？ （鼓胀效应系数M‘＝1.1） 2、如果该压力容器存在一个30mm的纵向裂纹，容器的工作应力安全系数设 为2，请问该压力容器的最大工作压力多大？ （未经打压实验，不考虑鼓胀效应）8σ s a c M ' πσ c ln(sec ) = δc δ = 2σ s πEpR σz = 2tδ =8σ s a c πσ c ln (sec ) = δc 2σ s πEpR 1 = σc; t 2 P=σθ =pR tσθ =σc t2R例题3 一个外径为0.5m, 壁厚2.5mm Cr－Mo 钢制造的圆筒形状的火箭发动机壳体承受 的最大压力为8 Mpa，材料的屈服强度为1200Mpa，杨氏模量为200Gpa， 小试样测 得材料的CTOD（δc）为 50 μm为保证发射安全，试计算该壳体可以容许的最大缺陷 尺寸（可视为小范围屈服）。 解：由于是薄壁壳体，为平面应力状态。最危险的缺陷是纵向裂纹，其方向垂直p pR 于环向应力 σ θ = 。该应力的大小为： 该应力的大小为 t pR 8 × （ 500－ 2.5) σθ = = = 796 ( M P a ) t 2 × 2.5 25 在平面应力下， K c 2 = EGc = Eσ sδ c ( M = 1)即 即：Kc2 = 200×103 ×1200× 50×10?6 = 12000ac =πσ 2Kc2=12000 = 0.0 2 π × 796（m）= 6.0 mm上题若考虑鼓胀效应，环向应力σθpR σ = M 'σ θ = M ' ； t当 a=6.0 mm时，用迭代法p 还会增大，即 pR = tM '=a2 1 + 1.61 Rta2 0 006 2 0.006 M ' = 1 + 1.61 = 1 + 1.61 = 1.024 0.5 × 0.0025 Rt则σ = M 'σ θ = 1.024 × 796 = 815( ( MPa) Kc2
ac = 2 = = = 0.0057 2 πσ π × 815 66.42π（ m）再迭代一次可得临界最大可容许尺寸为：ac = 0.0058（m）= 5.8 mm8σ s a c πσ c (sec ) ln ( 思考题;是否可用D－M模型得到的公式 δ = δ c = πE 2σ s计算a c ?§ 3-5 J 积分的定义及守恒性J 积分是 J.R .Rice 在1968年提出的，并由此建立了弹塑性断裂力学的另一 个方法。这个方法巧妙地通过线积分，利用远处的应力场，位移场来描述裂纹 尖端的力学特征，理论上严格，定义明确。这个方法表面上难以想象，实际上它 是建立在 Eshelby (1956), Sanders (1960), черпонов（1968） 以及Irwin等人工 作的基础上。 弹塑性断裂力学的主要问题是提出一个能定量的表征裂纹尖端应力应变场强 度的参量 它既能易于计算 又能通过试验测出来 且有明确的物理意义 J积 度的参量，它既能易于计算，又能通过试验测出来，且有明确的物理意义。 分就是这样一个理想的参量。
§ 3-5-1 J C integral 定义如右下图所示：一个线性或非线性弹性体平板，开有一个穿透性裂纹或切口， 围绕这个裂纹或切口顶端O点按照逆时针方向作一围线，沿此围线做下列积分：? ? ui ? ? ? ds 或： J = ∫ ? Wn 1 ? T i ? ?x1 ? Γ ?? ?ui ? J = ∫ ?Wdx2 ? Ti ds? ?x1 ? Γ?x2T2? nT T1Γx1ds 为应变能密度 T1，T2 为边界上的力分量；（斜截面公式） 为边界上的位移分量 为边界法线分量 分别为积分边界单元和边界 (逆时针为正)W =∫ε ij0σ ij d ε ijTi = σ i j n ju i (u1 , u 2 )n i ( n 1, n 2 )ds , Γ§ 3-5-1 J C integral 定义σ ijε ij G n为应力分量， 为应变分量， 为应变分σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 12 = τε 11 = ε x , ε 22 = ε y , ε 12 = εn1 = cos(n, x1 ) , n2 = cos(n, x2 ) ; 为弧线ds 外法线单位矢量，上面的积分可以展开为：? ? ? u1 ? u 2 ? u1 ? u2 ?1 ? J = ∫ ? ? σ 11 + σ 22 + σ 12 ? + Γ 2 ? x ? x ? x ? 2 ? x1 1 2 ? ? ? ?? ? ? n1 ??? ?? ? ? u1 ? u2 ? ? u1 ? u2 ? ? ? ? ? ? σ 11 + σ 12 + σ 22 ? n1 + ? σ 12 ? n 2 ? ? ds ? x ? x ? x ? x ? 1 1 ? 1 1 ? ?? ?? ?该积分对具有变形可逆性（即应力应变关系 该积分对具有变形可逆性（即应力应变关系一一对应）的线性或非线性弹性 对应）的线性或非线性弹性 体适用。一般对于简单加载的弹塑性体，（无卸载过程，载荷按比例增加），上 式关系成立。§ 3-5-2J积分的守恒性 （Path-independent)围绕原点O 再做任意一条围线Γ2 ，并与Γ ，Γ3，Γ4 共同组成一条封闭围线，即Γ ′ ＝ Γ ＋Γ2＋Γ3＋Γ4 （ Γ 与 Γ2是任取的) ；要证明J积分与路径无关，只需证明沿Γ的 积分与沿Γ2的积分值相等。即： 的积分值相等 即J =v ∫ [Wdx2 ? TiΓ'事实上， 因为 Γ3，Γ4为裂纹的自由表面，其上有 Ti＝0； 并且它们都沿X1轴方 向， dx 2 = 0。因而在Γ3，Γ4上的上述积分为0，又因为 Γ 与 Γ2是任意取的两条围线， 且方向相反，故证明了上述积分为零就证明了将Γ2反向后其值与在Γ上的积分相等，也 就 明了与路径无关 就证明了与路径无关。 为了证明（1）式，我们引用格林公式－线积分变面积分的关系：?ui ds ] = 0 ?x1............(1)v ∫ [ Pdx1 + Qdx2 ] =Γ∫∫ [D?Q ?P ? ]dx1 dx 2 ? x1 ? x2............(2)§ 3-5-2 J 积分的守恒性 （Path-independent)另外，根据围线上ds 处边界的平衡条件，我们有：T1 = σ 11n1 + σ 12 n2 Ti = σ i j n j ；即： ? ； 式中： ? T = σ n + σ n 21 1 22 2 ? 2 dx dx ( n, x1 ) = 2 ; n2 = cos( ( n , x2 ) = ? 1 n1 = cos( d ds d ds注意边界线逆时针为正，ds 增加的方向， dx 为负（增量）1将上述关系代入（2）式中的第二项： ）式中的第二项J =v ∫ΓTi'?ui ds = ? x1v ∫[ T1Γ'? u1 ?u2 ]d s + T2 ? x1 ? x1 ?u2 ]d s 2 1 n1 + σ 2 2 n 2 ) ? x122? u1 = v ∫' [(σ 1 1 n1 + σ 1 2 n 2 ) ? x1 + (σ Γ =v ∫[( σ 1 1Γ'? u1 +σ ? x121?u2 ? u1 +σ ) d x 2 ? (σ 1 2 ? x1 ? x1?u2 ) d x1 ] ? x1QP= ∫∫ [D?u ?u ?u ?u ? ? (σ 11 1 + σ 21 2 ) + (σ 12 1 + σ 22 2 )]dx1dx2 ?x1 ?x1 ?x1 ? x2 ?x1 ?x1? σ 11 ? u1 ? 2 u1 ? σ 21 ? u 2 ? 2u2 = ∫∫ [( + σ 11 + + σ 21 )+ 2 2 ? x1 ? x1 ? x1 ? x1 ? x1 ? x1 D ? σ 12 ? u1 ? 2 u1 ? σ 22 ? u 2 ? 2u2 + σ 12 + + σ 22 ( )]dx1 dx 2 ? x 2 ? x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 ? x1考虑无体积力的平衡方程（平面问题）：?σ 11 ?σ 12 + =0; ?x1 ? x2上式可以简化为：?σ 21 ?σ 22 + =0 ?x1 ?x2及σ 12 = σ 21?ui ? 2u1 ? 2 u2 ? 2u1 ? 2 u2 [σ 11 2 + +σ 21 2 + σ 12 + σ 22 )]dx1dx2 v ∫' Ti ?x1 ds = ∫∫ ?x1 ?x1 ?x2?x1 ?x2?x1 D Γ? 1 ?u i ?u j (3) = ∫∫ {[ σ ij [ ( + ) ]} dx d 1dx d 2 ...............(3) ?x1 2 ?x j ?xi D又考虑到小变形的几何条件下的几何方程，有：? ε ij ? W ? W ? ε ij ? ? 1 ?ui ?u j [ ∫ σ ij d ε ij ] [ ( )] = = = σ ij + ? x1 ? ε ijj ? x1 ? ε ijj ? x1 ? x1 2 ? x j ? xi考虑（2）式中的第一项，?W dx1 dx 2 v ∫' Wdx2 = ∫∫ ? x1 D Γ ? 1 ?ui ?u j [ ( ) ]} dx1 dx 2 = ∫∫ {[ σ ij + ? x1 2 ? x j ? xi D......(4)（3）式与（4）式相等，从而（1）式的积分值为零。这就证明了J积分与路径无关。 J 积分包含了裂纹尖端并只包含了裂纹尖端应力应变场的特性。实际上，当 积分包含了裂纹尖端并只包含了裂纹尖端应力应变场的特性 实际上 当Γ围线区 域足够小，其值就是裂尖的值，它是裂尖应力场强度的特征量。因而 J 积分的意义很 大。证明J积分的守恒性利用了几个条件： 1、小变形的几何条件，使用了：1 ?ui ?u j ) + ε ij = ( 2 ?x j ?xi?W σ ij = ?ε ij2、全量理论（要求一一对应的应力应变关系）：3、使用 无体积力的平衡方程，故在积分围线中不能有体积力。?σ 11 ?σ 12 + =0; ?x1 ?x2?σ 21 ?σ 22 + =0 ?x1 ?x2这也是J积分的局限性和存在条件。 积分的局限性和存在条件 J 积分式一种巧妙的方法。它利用远处的应力位移场来描述裂纹尖端的特性，从而避 开了复杂的裂尖应力、位移的计算。§ 3-6 线弹性条件下J 与K的关系既然J积分是一个表征裂尖应力场强度的特征量，那么在线弹性（包括小范围屈服） 条件下它与K1 有什么关系？在弹塑性变形情况下与COD有什么关系？ 设二维裂纹体在无限远处受拉应力的作用，取积分围线 г 为包含裂尖的半径为r 的小圆周（如图）。 将J积分J = ∫ [Wdx2 ? TiΓ?u i ds ] ?x1变换为极坐标形式： 代入上式有：x1 = r cos θ , x2 = r sin θ ; ds = rdθ ， dx2 = r cosθ dθ ；J = r∫+π?π?u i ( r , θ ) [W ( r , θ ) cos θ ? Ti ( r , θ ) ]dθ ?x11 σ ij d ε ij = σ ij ε ij 2.............(1) (1)下面讨论平面应变的情况（平面应力推导类似）。在线弹性条件下：W =∫ε ij0.............(2)利用应力应变关系，上式 W 可以完全用应力表示，平面应变下为：1 +ν W = [(1 ? ν )(σ 112 + σ 22 2 ) ? 2νσ 11σ 22 + 2σ 12 2 ] 2E又： 注意：.............(3)?T1 = σ 11n1 + σ 12 n2 = σ 11 cos θ + σ 12 sin θ ? ?T2 = σ 21n1 + σ 22 n2 = σ 21 cos θ + σ 22 sin θn1 = cos(n, x1 ) = cos θ ，n2 = cos(n, x2 ) = sin θσ 11 =K1 cos θ (1 ? sin θ sin 3θ ) 2 2 2 2π r K1 σ 22 = cos θ (1 + sin θ sin 3θ ) 2 2 2 2π r K1 σ 12 = cos θ sin θ cos 3θ 2 2 2 2π r.............(4)又根据I型裂纹裂尖的应力场：.............(5)代入（3）和（4）式有： ）式有K12 (1 + ν ) cos θ ( W= (1 ? 2ν + sin 2 θ ) 2 2 2π r E K1 θ 3 θ 1 T1 = cos ( cos ? ); 2 2 2 2 2π r K1 3 θ T2 = cos sin θ ; 2 2π r 2又前面讲过：.............(6) (6).............(7)?U ? ?u1 ? K1 ?V ? = ?u ? = 2 μ ? ? ? 2??u1 ? K1 ?u ? = ? 2 ? 2μ? ?u1 ? ? ?r ? ? ?= u ? ? 2? ? ? ?r ? ?r 2π?cos θ ( χ ? cos θ ) ? 2 ? ? ?sin θ ( χ ? cos θ ) ? 2 ? ?平面应变时：r 2π? cos θ (3 ? 4ν ? cos θ ) ? 2 ? ? ?sin θ (3 ? 4ν ? cos θ ) ? 2 ? ?对r求微分：? θ ? K1 1 ? cos 2 (3 ? 4ν ? cos θ ) ? 2π r 4 μ ? sin θ (3 ? 4ν ? cos θ ) ? ? 2 ?? ?u1 ? ? ?θ ? K ?= 1 对θ 求微分： ? ? ?u 2 ? 2 μ ? ?θ ? ? ?? θ ? 1 sin θ (3 ? 4ν ? cos θ ) ? sin θ cos ? 2 2 2 r ? ? ? 1 2π ? sin θ sin θ + cos θ (3 ? 4ν ? cos θ ) ? 2 2 2 ? ? ? ?根据复合函数 的微分法：? u1 ? u1 ? r ? u1 ? θ ?u ? u sin θ = + = 1 cos θ ? 1 ? x1 ? r ? x1 ? θ ? x1 ?r ?θ r?u 2 ?u 2 ?r ?u 2 ?θ ?u 2 ?u 2 sin θ = + = cos θ ? ?x1 ?r ?x1 ?θ ?x1 ?r ?θ rx1 ; x2（注意：这里应用了极坐标和直角坐标的转换： x12 + x2 2 = r 2 ； ctg θ =r 对 x1 求 偏 导 数 ;2 x1 = 2 r又? ctg θ ? ctg θ ? θ 1 = = x2 ； ? x1 ? θ ? x1?r ? ? x1?r x = 1 = cos θ ; ? x1 r）2 ? ctg θ = ? cos ec 2θ ? ? θ = ? sin θ = ? sin θ ?θ x2 r ? x1从而，?u1 ?u1 ?u sin θ K1 1 3 cos θ = = ? sin 2 θ ) cos θ ? 1 cos θ ( ? 2ν ? 2 2 ?x1 ?r ?θ r 2 2π r 2μ?u2 ?u2 ?u sin θ K 1 3 cosθ = = 1 ? sin 2 θ ) cosθ ? 2 sin θ (? + 2ν + 2 2 ?x1 ?r ?θ r 2 2π r 2μ代入J 积分：+π.........(8)J = r∫?π[W ( r , θ ) cos θ ? Ti ( r , θ )?ui ( r , θ ) ]d θ = J 1 + J 2 ?x1将（6）式代入整理得： 将 式代 得J1 = r ∫+π?π(1 + ν )(1 ? 2ν ) K12 W ( r , θ ) cos θ dθ = 4E将（8）和（9）代入式整理得：J2 = r ∫从而：+π?π?(1+ν )(? 3 +ν )K12 ?ui (r,θ ) 2 ?Ti (r,θ ) dθ = ?x1 2E2 13 +ν )K 2 2 2 (1 ( + ν )( ? (1+ν )(1? 2ν )K 1 (1 ? ν ) K 2 1 J = J1 + J2 = ? = = G1 E 4E 2E上式说明，至少在线弹性阶段，J 积分有明确的物理意义?能量释放率G。 在线弹性阶段J 积分与K1有对应的关系，因此J积分也是描述裂纹尖端附近应 力场强度的参量。当K1 达到临界值K1c时，J 积分达到临界值J1c。从而， J 准则在线弹性阶段与K 准则时等效的！ 由于 J＝G，由能量法可以推出： J = 非线性弹性体在给定载荷 非线性弹性体在给定载荷下：dU 1 = J = B da B?∏ B ?a= J1c在弹塑性情况下也可以用。∫p 0(?Δ ) p dp ?a非线性弹性体在给定位移下：J =? dU 1 =? Bda B∫Δ0(?p )Δ d Δ ?a以上成为J积分测量的基础。§ 2-4-2简单加载条件下的裂纹扩展力现讨论在简单拉伸时，恒位移与恒载荷两种情况下裂纹扩展力G的大小。考虑无限 大板 中 裂纹单位厚度的试样 大板、中心裂纹单位厚度的试样。 由Π = u ? w ，简单拉伸时，Π = u ? ∫ pd ΔdΔ = 0（1）恒位移d Π = du这时 u 只是 a 的函数。1 du = ( p2 ? p1 ) Δ = ? S ΔOAB d 2G=??Π ?u du =? =? B?a da ?a§2 2-4-2 4 2简单加载条件下的裂纹扩展力（2）恒载荷 恒载荷dp = 0d Π = du d ? pd dΔ = du ? p ( Δ 2 ? Δ1 )1 du = p ( Δ 2 ? Δ1 ) = S ΔOAB 2（为正值，应变能增加）O1 d Π = du ? p ( Δ 2 ? Δ1 ) = ? p ( Δ 2 ? Δ1 ) = ? du 2?Π ?u du = = G=? B?a ?a da d可以证明在恒位移和恒载荷两种情况下裂纹扩展力G相对。上述关系的证明是容易的 实际上，在第二章讲能量释放率时已经证明：在线 上述关系的证明是容易的。实际上，在第二章讲能量释放率时已经证明：在线 弹性的情况下： J=G = ??Π B ?a这个公式在弹塑性情况下仍然适用。在给定载荷下：du ?Π J =? ; = B ?a Bdadu = JBda = S ΔOAB1 p dΔ 1 p ?Δ ∴ J= ∫ dp = ∫ dp B 0 da B 0 ?a在给定位移下：JBda = S ΔOAB = ∫ d Δdp0pdu ?Π J =? ; =? B?a Bda? du = JBda = ? S ΔOAB1 Δ dp d 1 Δ ?p ∴ J =? ∫ dΔ = ? ∫ dΔ 0 0 B da B ?aJBda = ? S ΔOAB = ? ∫ dpd Δ0Δ我国科技 作 陈篪等在上世 70 年代就用能量法在理论分析和大量实验 我国科技工作者陈篪等在上世纪 年代就 能量法在 论分析 大量实验 研究的基础上，建立了J 积分与应变能U和裂纹长度的相当号的近似表达式。例 如对于三点弯曲试样给出：J=2U B(W ? a)这里W－a 为韧带宽度。对于紧凑拉伸试样给出 对于紧凑拉伸试样给出：J=2U 1 W ?a [1 + ( )] B(W ? a) 2 W +a这样，只要用一个试样，测出P－Δ曲线，量出曲线下的面积U = ∫ Pd Δ0Δ就可以计算出的J 的数值。从而使J 的计算和实验测定都大为简化。并切实可行。 这是一项值得称道的工作。§ 3-7 在弹塑性条件下J 与CTOD的关系在不满足线弹性和小范围屈服的情况下，因为 δ = m G ，故 J＝ G＝（δσs) /m; 实践证明在有较大塑性变形的情况下或弹塑性情况下 J 积分仍然可以用， 实践证明在有较大塑性变形的情况下或弹塑性情况下， 积分仍然可以用 J 积分应当 与CTOD有某种关系。 考虑一个Dugdale 穿透裂纹裂纹前沿有 一个明显的塑性区，裂纹钝化， δ = CTOD 。 围绕初始裂纹塑性区边界，做一路径为C的 J 积分，在积分路径C上，我们有： ，我们有σsdx1 π dx2 = 0 ；n1 = cos(n, x1 ) = cos = 0 ; n2 = ? ； 2 dsT1 = 0 ;T 2 = σ s .n 2 ;δ ?V ?u i ?u 2 ?V J = ∫ [Wdx2 ? Ti ds ] = ? ∫ T2 ds = ∫ σ s dx1 = 2σ s ∫ 2 dx1 = σ sδ 0 ?x1 ?x1 ?x1 ?x1 Γ C C这就是在Dugdale 裂纹下建立的J与CTOD的关系。 在一般情况， J = k δσ s , k 在1.1 ∽ 2.3 的范围内。 Rice 建立了弹塑性情况d J 下 C CTOD O =δ = nJ 积分在线弹性和小范围屈服下与K可互相转换;它们的测试都有相应的国家标准。σs; d n 在0.2 -1.0 的范围内。K1 = E1 J1（J1c测量 测量：ASTM E813－81；GB 2038－91） （ K1c测量：ASTM E399－83；GB4161－84）J 积分对试样的要求没有满足平面应变的要求，因此通过J1c可以换算 K1c， 从而可 以用小试样代替大试样得到 K1c，这在解决实际问题的取样和试验都非常有用。 J 积分在弹塑性阶段可以与CTOD等效。因而 J 积分产生的 J 判据有广泛的应用。? J = J i 启裂判据 J 判据＝? ? J = J1c 失稳判据J积分有什么缺点？ J 积分推导过程中的模型是平板，属平面问题。推导过程使用 了小变形 全量理论 无体积力平衡方程 使其应用受到小变形 不能卸载等限制 了小变形，全量理论，无体积力平衡方程。使其应用受到小变形、不能卸载等限制。★J 积分与裂纹尖端应力应变场围绕裂尖的J 积分的守恒性表明，J 积分是一个表征弹塑性材料裂纹尖端受力 状态的特征参量。那么它与裂尖应力应变场究竟是什么关系？ 在线弹性的情况下，Irwin 等给出裂纹尖端的应力应变场的渐近表达式为：σ ij ( r , θ ) = ε ij ( r , θ ) =K1 f1 (θ ) 2π r K1 f 2 (θ ) 2π r称为相应的角函数或角因子。 称为相应的角函数或角因子f1 (θ ) , f 2 (θ )在弹塑性的情况下， Huchinson, Rice, 和 Rosengren 对幂硬化材料，根据 塑性全量理论，证明 J 积分决定着裂纹尖端弹塑性应力应变场的强度，也具有奇 异性，它是描述裂纹尖端弹塑性应力应变场的有效参数。事实上，不做具体推导，当材料具有幂指数硬化率，简单分析就可以得出Ｊ积分 表达的应力应变应具有 r? 1 n +1, r?n n +1的奇异性。例如我们取以裂尖为圆心，半径为 r 则：的圆周为积分回路Γ，由于x2 = r sin θ , dx2 = r cos θ dθ ; ds = rdθ R ?u J 积分为： J = ∫? R [W r cos θ d θ ? Ti i rd θ ] ， 即： x1J = r∫R ?R[W co s θ d θ ? Ti?ui dθ ] x1由于J 积分的守恒性，当r→0, 上式左边有1/r 的奇异性， 因而上式的右边也应当有 1/r 的奇异性。但右边被积函数中的所有项都是 σ ij .ε kl 的齐次项，设 σ ij .ε k l = 令： σ ij = ? 1 (θ ) , ε kl = ? 2 (θ ) 则：由上式可见： p + q = 1 p q? (θ )r，rr....................(1) ........(2)n +1i = Aε  对幂指数硬化率材料有： σN +1N，将 σ ijj , ε kl 代入有： p = NqN +1由上面两式联立求解：得： p = N , q = 1 因此 因此：，令 N = 1 ，则： p = 1 , q = nnn +1σ ij ∞ r?1 1+ n,ε ij ∞ r?n 1+ n（n = 1时为线弹性）当材料服从纯幂指数关系其应力应变的表达式为：ε σ n =α ( ) ε0 σ0这里， ε 0 , σ 0 分别表示材料的屈服应变和屈服应力，n 为材料的应变硬化指数。 Huchinson Rice, Huchinson, Rice 和 Rosengren得出弹塑性应力应变场的 渐近表达式为：σij ( r , θ ) = σ0? ? J ? ? α σ ε I r 0 0 n ? ?01 n +1j (θ , n ) σ ij i (θ , n ) ε ijε ij ( r , θ ) = α σ? ? J ? ? α σ ε I r 0 0 n ? ?n n +1上述弹塑性应力应变场又称HRR场。这里In是 n 的函数。有文献提供近j (θ , n) , ε i (θ , n) 似值为： 。同样式角函数，不过 In = 10.3 0.13 + N ? 4.8N 。式中 σ ij ij它还与材料的应变硬化指数有关 上式表明，弹塑性应力应变场分别具有 它还与材料的应变硬化指数有关。 上式表明 弹塑性应力应变场分别具有r?1 n +1, r?n n +1的奇异性。奇异性与材料的硬化指数有关。公式的推导很繁。这里不介绍具体推导。★J 主导区 对于 K主导区， 主导区 K实用的范围为： 实用的范围为 最起码的条件为 rp & r & R K 。最起码的条件为rp & R K 。即，裂纹尖端的塑性区必须被周围弹性K场所控制（即小范围屈服）。当然，它是一 个渐近解，只有在裂尖附近才能满足精度要求。 类似于 K主导区，J 积分也有一定的实用范围。首先，欲使J作为裂纹尖端场的特 征参量有意义，必须要求裂尖的断裂过程区（材料实际发生分离的区域，不能用连续 介质力学描述）和有限应变区 （裂尖钝化区）RP 包含在J 主导区之内，即 主导区之内 即 R p & R J 。 Mcmeeking 研究表明 R p & 1.8Jσs 试样RJ 应近似满足： RJ = 0.07W ;。如果试样韧带尺寸 为 W-a，对TPB、CT和DEN 而对CCT、SEN等试样 RJ = 0.01W 。 考虑到RP 的大小， 对韧带宽度的要求为：TPB、CT和DEN弯曲型试样 W ? a & 25 J ; 而对 σs J CCT、SEN等拉伸型试样： 其次, J 积分的HRR场也是一个渐近解， W ? a & 180 。 只有在 r→ 0 时，才能保证有一定的精度，因此 R j 也不很大 。它应当限制在有限元 计算的值与HRR解相吻合的最大尺寸内。通常 R p & r & R Jσs
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