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概率论精品课件―附加总复习资料--第七章参数估计
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自考-概率论与数理统计 第七章
参数估计创新.ppt 103页
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自考-概率论与数理统计 第七章
参数估计创新.ppt
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参数估计 § 7.1 点估计的几种方法 【练习143】 【练习144】 【练习146】 【练习147】 【练习149】 【练习150】 【练习152】 【练习153】 § 7.2
点估计的评价标准 【练习154】 设
是来自正态总体
的样本，其中
为样本均值，则
的无偏估计量为（
2 【练习156】 【练习157】 【练习158】 设总体
是来自X的样本.
的估计量，则其中较有效的是_______. 【练习160】 【练习162】 § 7.3
参数的区间估计 例13 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位：cm）
14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 （1）试求该天产品的平均直径EX的点估计； （2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信区间：?=0.05；?=0.01。
例14 假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布 N（?，?2），且标准差?=12元，今要对该地旅游者的平均消费额EX加以估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差小于2元，问至少要调查多少人？
例15 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）： 21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。 试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。
例16 假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（?=0.01），并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需求？
例17 已知某种果树产量服从Ｎ（218，?2），随机抽取6棵计算其产量为（单位：公斤） 221，191，202，205，256，236 试以95%的置信水平估计产量的方差。 例18 设某灯泡的寿命X~N（?，?2）， ?，?2未知，现从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据 10.5，11.0，11.2，12.5，12.8 （单位：千小时），求置信水平为90%的?2的区间估计。
【练习163】 设总体
x1,x2,…，xn
为来自总体X的样本，
为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是(
D. 【练习164】 由来自正态总体
、容量为15的简单随机样本，得样本均值为2.88，则
的置信度0.95的置信区间是______________ 【练习165】 设某行业的一项经济指标服从正态分布N（μ,σ2），其中μ,σ2均未知.今获取了该指标的9个数据作为样本，并算得样本均值=56.93，样本方差s2=(0.93)2.求的置信度为95%的置信区间.(附：t0.025(8)=2.306) 正态总体的方差
的置信度为
的置信区间为 小
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计
（4）均值未知，对方差的区间估计
假设置信水平为1-?
构造?2-统计量，查?2-分布临界值表， 确定?2的双侧分位数
得?2的区间估计为
（1）方差已知，对均值的区间估计，构造U统计量
（2）方差未知，对均值的区间估计，构造T统计量
总体服从正态分布的对均值的区间估计
（4）均值未知，对方差的区间估计，构造?2统计量
（3）均值已知，对方差的区间估计，构造?2统计量
总体服从正态分布的对方差的区间估计
C 【解】 [2.728, 3.032] 【解】 【解】 【练习161】 A 【解】 【解】 7.3.1置信区间的概念
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。 引例
设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（?，1002），现 随机
正在加载中，请稍后...第七章&&参数估计
内容提要：
一、&&&&&&&&点估计
1、设为总体的样本，总体的分布函数形式已知，为待估参数，&为对应的样本观测值。点估计问题就是构造一个适当的统计量，用其观测值来估计待估参数的取值。这里称为的估计量，称为的估计值，两者统称的估计。这种对未知参数的定点估计称为未知参数的点估计。
2、以样本的各阶原点矩作为总体的各阶原点矩得到的估计量，以样本的各阶原点矩的连续函数作为总体的各阶原点矩的连续函数的估计量的估计方法称为矩估计法。
3、设总体具有分布率（或概率密度），为未知参数向量，设为来自的样本，则（）的联合分布率（或联合概率密度）：
称为样本的似然函数。
对样本的任何观测值（），若
&&&&&&&&&&&
则称为参数的最大似然估计值，为参数的最大似然估计量。
若或关于可微，则参数的最大似然估计可以通过方程：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
得到。又为的单调函数，因此参数的最大似然估计亦可通过方程：
得到，后一方程的求解往往较前者方便得多。
二、&&&&&&&&估计量的评价标准
1、&&若估计量的数学期望存在，且对于任意，满足：
则称为参数的无偏估计量。
2、设与都是参数的无偏估计量，若对于任意，满足：&&&&&&
则称较有效。
2、&&&&若是参数的估计量,若对于任意，当时以概率收敛于，即，成立，则称为参数的相合估计量。
三、&&&&&&&&区间估计
1、设总体的分布函数形式已知，为未知参数，若对于给定，存在两个统计量与，对于任意，满足：
则称随机区间为参数的置信水平为的双侧置信区间，和分别称为对应置信区间的置信下限和置信上限，称为置信水平，称为显著性水平。
3、&&正态总体均值与方差的区间估计见下表
基本要求：
1、&&理解未知参数的估计量，估计值，点估计的概念；
2、&&掌握未知参数的矩估计法，最大似然估计法原理及求解方法；
3、&&理解估计量的无偏性，有效性，相合性的概念并会验证估计量的无偏性和有效性；
4、&&理解区间估计概念，会求解单个正态总体及两个正态总体均值与方差的相关置信区间。
本章难点：矩估计，最大似然估计的理论基础，区间估计中随机区间及相应概率的理解。
本章重点：矩估计，最大似然估计，区间估计的求解，估计量无偏性、有效性的验证。
难点解析：
1、&&&&&&&&&&&&&&矩估计的理论基础：辛钦大数定律
设总体的阶矩存在，样本阶矩记为，即，由辛钦大数定律：&&&&&&&&&&&&&&&
即无论总体分布如何（只要期望存在），样本阶矩随样本容量的增大将越来越趋近于总体对应的阶矩。
2、&&&&&&&&&&&&&&最大似然估计的理论基础：统计推断原理
在一次随机实验中，某一事件发生了，则该事件应不是小概率事件。
3、&&&&&&&&&&&&&&对置信区间的置信水平的理解：
大量重复抽样下，将子样观测值代入可求得许多确定的区间，其中大约100(1-)%的区间包含在内，而由样本值得到的一个具体区间，则可能包含，也可能不包含。
典型例题分析：
例1：设为总体的样本，为对应的样本观测值，设总体的分布律为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
为未知参数，求未知参数的矩估计及最大似然估计。
解析：按照离散型随机变量未知参数的矩估计及最大似然估计的计算过程逐步进行。
解：（1）由题设知总体的期望，从而，样本的均值为，令代替，得到未知参数的矩估计量和估计分别为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2）设为样本的一组观测值，从而似然函数
令&&&&&&&&&&&&&
得的最大似然估计值为：&==，
&的最大似然估计量为：=。
例2：设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求参数的最大似然估计及矩估计。
分析：按照连续型随机变量求解矩估计和最大似然估计的计算过程逐步进行。
解：1）由题设知总体的期望，样本的均值为，令代替，得到未知参数的矩估计量和估计值分别为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2）设为样本的一组观测值，从而似然函数
从而&&&&&&&&&&&&&
令&&&&&&&&&&&&&&&&&
得的最大似然估计值为：=，&的最大似然估计量为：=。
例3：设总体服从上的均匀分布，未知，设为总体的样本。
试求：（1）求参数的矩估计；
&&&&&（2）求参数的最大似然估计；
&&&&&（3）证明：，及均为的无偏估计；
&&&&&（4）证明：较、有效。
分析：要真正理解最大似然估计方法的理论基础，掌握参数估计量无偏性、有效性的证明过程。
(1)由题设知总体的期望，设为样本均值，令代替，得到未知参数的矩估计量和估计值分别为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2）设为样本的一组观测值，从而似然函数
要使达到最大，
，又当时，达到最大，因此的最大似然估计值为：，的最大似然估计量为：=。
（3）由题设，；
由的概率密度函数：&&&&
知&&&&&&&；
由的概率密度函数：&&&&&&&&&
故，及均为的无偏估计。
（4）由题设：；
&&&&，；，；
又&&，从而较、有效。
例4：设从均值为，方差为的总体中分别抽取样本容量为的两个独立样本，分别是两样本均值，证明：对任意常数，都是的无偏估计，并确定常数使达到最小。
解：由题设：&&&&&&&&&&；
从而对任意常数，都是的无偏估计。
由的独立性&&，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
令&&&&&&&&&&&&&&，
得，此时；
从而当，时，&达到最小
例5：设某种调味包的袋净重服从，今测得9袋的重量（单位；两）分别为
6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0
求：1）据以往经验知，求的置信水平为0.95的置信区间；
2）未知，求的置信水平为0.95的置信区间；
3）求的置信水平为0.95的置信区间。
解：1）由题设，总体，已知，
代入方差已知的的置信水平为的置信区间
&&&&&&&&&&&&&&
得的置信水平为0.95的置信区间为（）=（5.608，6.392）。
2）由题设，总体，未知，
且，，，，
代入方差未知的的置信水平为的置信区间
&&&&&&&&&&&&&&
得的置信水平为0.95的置信区间为（）=（5.558，6.442）。
3）由题设，总体，
且，，，，
代入的置信水平为的置信区间
&&&&&&&&&&&&&&
得的置信水平为0.95的置信区间为（0.）。
例6：为比较两种类型的灯泡的寿命，现随机随机抽取A型号灯泡10只，B型号灯泡10只，测得寿命（单位:小时）如下：
A型号：560，590，560，570，580，570，600，550，570，550；
B型号：620，570，650，600，630，580，570，600，600，580；
设A,B两种类型灯泡寿命分别服从正态分布。
求：1）设方差相同，求两种型号灯泡寿命期望之差的置信水平为0.95的置信区间；
2）求方差比值的置信水平为0.95的置信区间。
解：将两种类型灯泡寿命分别看作为总体，且，
1）由题设，
代入方差未知但相等的的置信水平为的置信区间
&&&&&&&&&&&&&&
得的置信水平为0.95的置信区间为（9，51）。
1）由题设知：，，
代入的置信水平为的置信区间
&&&&&&&&&&&&&&
得的置信水平为0.95的置信区间为（0.）。
一、填空题：
1、设总体服从上的均匀分布，未知，为总体的样本，则的矩估计为&&&&&&&&&&&&&&&&，的最大似然估计为&&&&&&&&&&&&&&&&。
2、设总体的均值为，方差为，为总体的样本，，则&&&&&&&&&&，&=&&&&&&&&&&&&&&&。
3、设总体服从指数分布，其概率密度，其中未知，为总体的样本，则当时，的估计量中比较有效的统计量为&&&&&&&&&&&&&&&。
4、设总体，从中抽取容量为9的随机样本，测得样本均值为5，则参数置信水平为0.95的置信区间为&&&&&&&&&&&&&&&。
二、解答题：
5、设是来自总体的一个样本，
（1）确定常数，使为的无偏估计；
（2）确定常数，使是的无偏估计，其中分别为样本均值，样本分差
6、设是来自总体x的样本，
试证：（1）是的无偏估计
（2）在u的一切形如的估计中，最有效
7、设总体的密度函数为&&是来自总体的样本,求参数的矩估计量与最大似然估计值
8、为比较甲、乙两种电子管寿命，从甲中随机抽取80只，测得样本均值=2000（小时），标准差=80（小时），从乙中随机抽取100只，测得样本均值=1900（小时），=100（小时），假定两种电子管寿命服从方差相等的正态分布且相互独立，试求置信水平为0.95的的置信区间。
1、，&&&&&&&2、，&&&&&&&3、&&&&&&&&&4、（4.412,5.588）&&&&5、(1)&&C=,(2)&&C=
7、&&&&&&&&&8、(64.5,135.5)
from:&http://lxy./gailvtongjidaoxue/chap7.htm
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