五年级思维引导综合训练答案1-13_甜梦文库
五年级思维引导综合训练答案1-13
循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要 利用运算定律进行简算的问题．1． 真分数a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 7 1 2 3 & & & & & 4 & & & =0. 142857 ， =0. 285714 ， =0. 428571 ， =0. 571428 ， 7 7 7 71992，那么 a 是多少? 【分析与解 分析与解】 分析与解5 6 & & & & =0. 714285 ， =0. 857142 ． 7 7 a 因此，真分数 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是 71+4+2+8+5+7=27， 又因为 ……21,27-21=6，而 6=2+4，所以 评注： 化．. a & =0. 85714 2 ，即 a =6． 7a 的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变 7& & 某学生将 1.23 乘以一个数 a 时， 1.23 误看成 1.23， 把 使乘积比正确结果减少 0.3． 则 2．正确结果该是多少? 【分析与解】& & 由 题 意 得 ： 1.23 a -1.23 a =0.3 ， 即 ： 0.003 a =0.3 ， 所 以 有 ：3 3 23 ? 2 111 & & a = ．解得 a = 90，所以 1.23 a = 1.23 × 90=1 ×90= × 90=111． 900 10 90 90& & & 3．计算： 0.1+0.125+0.3+0.16 ，结果保留三位小数． & & 【分析与解 方法一 0.1+0.125+0.3+0.16 分析与解】 方法一： & 分析与解≈-0.0+0.6 = 0.7359 ≈0.736& & 方法二： & 方法二 0.1+0.125+0.3+0.161 1 3 15 + + + 9 8 9 90 11 1 = + 18 8 53 = 72 & = 0.7361 =≈0.736& & & & & & 4．计算： 0.01 + 0.12 + 0.23 + 0.34 + 0.78 + 0.89 & & & & & & 【分析与解 分析与解】 方法一 0.01 + 0.12 + 0.23 + 0.34 + 0.78 + 0.89 方法一： 分析与解1 12 ? 1 23 ? 2 34 ? 3 78 ? 7 89 ? 8 + + + + + 90 90 90 90 90 90 1 11 21 31 71 81 = + + + + + 90 90 90 90 90 90 216 = 90= =2.4& & & & & & 方法二： 方法二： 0.01 + 0.12 + 0.23 + 0.34 + 0.78 + 0.89 & & & & & & = 0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+ ( 0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.04 + 0.08 + 0.09 ) & =2.1+ 0.01 ×(1+2+3+4+8+9)=2.1+1 ×27 90=2.1+0.3=2.4 方法三： 方法三：如下式， 0.011111… 0.122222．． ． 0.233333．． ． 0.344444．．(1+2+3+4+8+9=27) ． 0.788888．． ． + 0.899999．． ． 2.399997．． ．& 注意到， 百万分位的 7 是因为没有进位造成， 而实际情况应该是 2.399999…= 2.39 =2.4．评注： & 评注 0.9 =9 & 9 = 1 ． =1 , 0.09 = 9 90 10& & & & 5．将循环小数 0.027 与 0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少? 【 分 析 与 解 】& & & & 27 × 179672 = 1 × 179672 = 4856 = 0.004856 & & 0.027 × 0.179672 = 999
999循环节有 6 位，100÷6=16……4，因此第 100 位小数是循环节中的第 4 位 8，第 10l 位 是 5．这样四舍五入后第 100 位为 9．6. 将下列分数约成最简分数： 【分析与解】
16 1 166 1 66 1 找规律： = , = , = , = ,… 所 以 64 4 664 4 64 4 1 =
4评注： 评注：类似问题还有385
+ 2× + 3× + 4× + ... + ． 297
7. 将下列算式的计算结果写成带分数：0.5 × 236 × 59 119【分析与解 分析与解】 分析与解0.5 × 236 × 59 118 × 59 1 59 60 = = (1 ? ) ×59=59=58 119 119 119 119 119 18556 ÷ ÷1
÷ ÷1 【分析与解 7 分析与解】 分析与解
53811 3 × 7 × 3 × 997 13 × 1993 5 × 641× 11 × × = 13 × 641 2 × 11× 997 3 × 3 × 3 ×
= 2×3 5 =5 68．计算:71 1 1 1 1 1 1 + + + + + +
1 1 1 1 1 【分析与解 + + + + + + 分析与解】原式 = 64 8 254 2 1 1 1 1 1 = + + + + + 32
1 1 1 1 1 1 = + + + + + 32
1 1 1 1 1 = + + + + 16 508 254 1 1 1 1 = + + + 8 254 1 1 1 = + + 508 508 254 1 1 = + 254 254 1 = 1279．计算：10． 10．计算：1 5 3 ? 2 19 ? × (4.85 ÷ ? 3.6 + 6.15 × 3 ) + ?5.5 ? 1.75 × (1 + ) ? 4 18 5 ? 3 21 ?【分析与解 原式= 分析与解】 分析与解1 7 5 7 19 × 3.6 × (4.85 ? 1 + 6.15) + 5.5 ? × ? × 4 4 3 4 21 1 35 + 19 = × 3.6 × 10 + 5.5 ? 4 12=9+5.5-4.5 =1011． 11．计算: 41.2×8.1+11× 91 +537×0.19 4【分析与解 分析与解】 原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125) 分析与解 =412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125 =412+11×8+11×1.25+19×1.25 =412+88+1.25×30 =500+37.5 =537.52 2 5 5 +7 )÷( + ) 7 9 7 9 65 65 5 5 【分析与解 分析与解】原式= ( + ) ÷ ( + ) 分析与解 7 9 7 9 5 5 5 5 = [13 × ( + ) ] ÷ ( + ) = 13 7 9 7 912． 12．计算： (913． 13．计算:1× 2 × 3 + 2 × 4 × 6 + 4 × 8 × 12 + 7 × 14 × 21 1× 3 × 5 + 2 × 6 ×10 + 4 × 12 × 20 + 7 × 21× 35【分析与解 分析与解】 原式= 分析与解1× 2 × 3 × (13 + 23 + 43 + 73 ) 1× 2 × 3 2 = = 1× 3 × 5 × (13 + 23 + 43 + 73 ) 1× 3 × 5 53 3 ×□-6 ÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? 5 10 (2)设上题答案为 a ．在算式（1993.81+ a )×○的○内，填入一个适当的一位自然数，14. 14. (1)已知等式 0.126×79+12 使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少?【分析与解 分析与解】 (1)设口所代表的数是 x ，0.126×79+12 分析与解3 3 x -6 ÷25=10.08，解得： 5 10x =0.03，即口所代表的数是 0.03． (2) 设 ○ 内 所 填 的 数 字 是 y ， (1993.81+O.03)× y =1993.84× y ， 有 当 y 为 8 时 1993.84× y =1993.84×8=15050.94，所以○内所填的数字是 8．1 1 1 1 1 1 + + + + ) × 385 2 3 5 7 11 13 1 1 1 1 1 1 【分析与解 分析与解】原式= ( × 385 + × 385 + × 385 + × 385 + × 385 + × 385 分析与解 2 3 5 7 11 1315． 15．求下述算式计算结果的整数部分： ( + ≈192.5+128.3+77+55+35+29.6 =517.4 所以原式的整数部分是 517．各种具有和差倍分关系的综合应用题， 重点是包含分数的问题． 基本的解题方法是将已 知条件用恰当形式写出或变形， 并结合起来进行比较而求出相关的量， 其中要注意单位 “1” 的恰当选取．1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的 多少倍? 【分析与解】 分析与解】1 ，那么甲数是乙数的 8 1 ，设这时的甲 100甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的数为“1”，则乙数为 1×8=8，那么原来的甲数=l×100=100，则甲数是乙数的 100÷8=12.5 倍．2. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和 第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的 那么白子占全部棋子的几分之几? 分析与解】 【分析与解】 如下表所示：2 ．如果把这三堆棋子集中在一起， 5设全部黑子为“5”份， 则第三堆里的黑子为“2”份， 那么剩下的黑子占 5-2= “3”份， 而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多， 将第一堆黑子和第二堆白子调换， 则第二堆全 部为黑子． 所以第二堆棋子总数为“3”份，三堆棋子总数为 3×3=“9”份，其中黑子占“5”份， 则白子占剩下的 9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的 4÷9=4 ． 93．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产 8 台机床，并且甲厂 的生产量是乙厂的12 ，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台? 13 12 分析与解】 ，也就是甲厂为 12 份，乙厂为 13 份，那 【分析与解】 因为甲厂生产的是乙厂的 13么甲厂比乙厂少 1 份=8 台．总共=8×(12+13)=200 台．4．足球赛门票 15 元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降 价多少元? 分析与解】 【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有 1+0.5=1.5． 原来收入为 l×15=15， 降价后收人为 15×(1+ 元，则一张门票降价 15-12=3 元．1 )=18 元， 那么降价后门票为 18÷1.5=12 55．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的 的恰好是没运来的3 ，第二次运了 50 块．这时，已运来 85 ．问还有多少块蜂窝煤没有运来? 7 5 分析与解】 【分析与解】 已经运来的是没有运来的 ，则运来的是 5 份，没有运来的是 7 份， 7 5 5 3 7 也就是运来的占总数的 ．则共有 50÷( - )=1200 块，还剩下 1200× =700 块． 12 12 8 126．有两条纸带，一条长 21 厘米，一条长 13 厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后， 发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的8 ．问剪下的一段长多少厘米? 13【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为 21－13=8 厘米． 分析与解】方法一： 因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变． 设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为 13-8=5 份，则每 份为 8÷5=1．6(厘米)． 所以，剪后短纸带长为 1.6×8=12.8(厘米)，于是剪去 13-12.8=O.2(厘米)． 方法二： 方法二：设剪下 x 厘米， 则13 ? x 8 = ，交叉相乘得：13×(13- x )=8×(21- x )，解得 x =0.2， 21 ? x 13即剪下的一段长 0.2 厘米．7．为挖通 300 米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、 乙两队各掘进了 10 米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的 2 倍，乙队每天的 工作效率总是前一天的 l1 倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天? 2【分析与解】 如下表所示： 分析与解】 天数 工作量 甲 乙 当天工作量 已完成工作量1 10 10 20 202 20 15 35 553 40 22.5 62.5 117.54 80 33.75 113.75 231.255 160 50.625 210.625 441.375说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75 米， 那么共用时间为 4+68.75÷210.625=4110 天． 3378．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是 13 公顷．麦地的一半 和菜地的三分之一放在一起是 12 公顷．那么菜地是多少公顷? 分析与解】 【分析与解】如下表所示：菜地1 2麦地1 3? 13 公顷 ? 78 公顷 ? 72 公顷 ? 12 公顷菜地 3 菜地 2 菜地麦地 2 麦地 3 麦地1 31 2即 5 倍菜地公顷数+5 倍麦地公顷数=78+72=150，所以菜地与麦地共有 150÷5=30(公 顷)． 而菜地减去麦地，为 78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共 1500 棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的3 5和 30 棵柳树以后，又临时运来 15 棵槐树，这时剩下的 3 种树的棵数恰好相等．问原计划要 栽植这三种树各多少棵? 分析与解】 【分析与解】将杨树分为 5 份，以这样的一份为一个单位，则： 杨树=5 份；柳树=2 份+30 棵；槐树=2 份-15 棵， 则一份为()÷(2+2+5)=165 棵， 有：杨树=5×165=825 棵；柳树=165×2+30=360 棵；槐树=165×2-15=315 棵．10. 10. 师徒二人共同加工 170 个零件，师傅加工零件个数的1 1 比徒弟加工零件个数的 还多 3 410 个．那么，徒弟一共加工了多少个零件? 分析与解】 “徒”表示徒弟加工的零件个 【分析与解】 我们用“师”表示师傅加工的零件个数， 数，有：1 1 “师”“徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而 4“师”+4“徒”=170×4=680． 3 4那么有 7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了 80 个零件．11. 11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的 1 倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 3 倍，下午这批工人中有1 27 的人去甲工地，其 12他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需 4 名工人再做 1 天．那 么这批工人共有多少名? 分析与解】 【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”．甲 上午 下午乙3 3 = 1+ 3 4 7 121 1 = 1+ 3 4 7 5 1= 12 12于是甲工地一整天平均用了这批工人的 ( + 工人的 1-3 7 2 ) ÷ 2 = ，乙工地一整天平均用了这批 4 12 32 1 = ． 3 3 2 1 这批工人的 完成了“1.5”的工作量，那么 的这批工人完成 1.5÷2=“0.75”的工 3 3作量，于是乙工地还剩下 1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要 4 人工作 1 天． 而甲、乙工地的工作量为 1.5+1=2.5，那么需 2.5÷0.25× 4=40 人工作 1 天． 所以原来这批工人共有 40-4=36 人．12． 这个分数就等于 12．有一个分数，如果分子加 1， 原来的分数是多少? 【分析与解】 如果分子加 1，则分数为 分析与解】1 1 ；如果分母加 1，这个分数就等于 ．问 2 3x ?1 x ?1 1 ，分母加 1 后为： = ，交叉相乘得：3( x -1)=2 x +1，解得 x =4，则原分数为 2x 2x +1 3 3 ． 81 x ，设这时的分数为： ，则原来的分数为 2 2x13． 13．图 2-1 是某市的园林规划图，其中草地占正方形的3 6 ，竹林占圆形的 ，正方形和圆 4 7形的公共部分是水池． 已知竹林的面积比草地的面积大 450 平方米． 问水池的面积是多少平 方米?【分析与解】 因为水池是正方形的 分析与解】1 1 ，是圆的 ，则正方形是水池的 4 倍，圆是水 4 7池的 7 倍，相差 7-4=3 倍，差 450 平方米，则水池=450÷3=150 平方米．14． 14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的 的1 ，唐僧和沙僧共吃了总数 21 1 ，唐僧和孙悟空共吃了总数的 ．那么唐僧吃了总数的几分之几? 3 4 1 1 1 分析与解】 【分析与解】 唐+猪= 、唐+沙= 、唐+孙= ．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+ 2 3 4 1 1 1 1 1 1 孙=2 唐+(唐+猪+沙+孙)=2 唐+1= + + =1 ．则：2 唐= ，唐= ． 2 3 4 12 12 24 1 唐僧吃了总数的 ． 2415． 15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作 1 个零件，但小李每制作 3 个零件要休息 1 分钟，小张每制作 4 个零件要休息 1.5 分钟．现在他们要共同完成制作 300 个零件的任务，需要多少分钟? 分析与解】方法一： 【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整． 因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成 300÷2=150 个零件左右； 小李完成 150 个零件需要 150÷3×4=200 分钟； 在 200 分钟左右，198 分钟是 5.5 的整数倍，此时乙生产 198÷5.5×4=144 个零件，并 且刚休息完，所以在 2 分钟后，即 200 分钟时完成 144+2=146 个零件； 那么在 200 分钟时，小李、小张共生产 150+146=296 个零件，还剩下 4 个零件未完成，所以再需 2 分钟，小李生产 2 个零件，小张生产 2 个零件，正好完成． 所以共需 202 分钟才能完成． 方法二： 方法二：把休息时间包括进去，小李每 4 分钟做 3 个，小张每 5.5 分钟做 4 个． 则在 44 分钟内小李做了：44÷4×3=33 个，小张做了：44÷5.5×4=32 个，他们一共做 了：33+32=65 个． 300÷65=4……40，也就是他们共同做了 4 个 44 分钟即：44×4=176 分钟后，还剩下 40 个零件没有做完． 而 22=4+4+4+4+4+2=5.5×4，所以 22 分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2=17 个，小张做了： 4×2=16 个，那么还剩下：40-17-16=7 个，4 分钟内小李做 3 个，小张做 4 个，共做 4+3=7 个，即这 40 个零件还需要 26 分钟． 所以共用时间：44×4+26=202 分钟．涉及分数的行程问题.顺水速度、 逆水速度与流速的关系， 以及与此相关的问题.环形道 路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点 分段加以考虑．1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时 60 千米的速度行驶,正好可以按 1. 时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时 55 千米.如果他想 按时返回甲地,他应以多大的速度往回开? 【分析与解】 分析与解】 设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间2 ,现 60在从甲到乙花费了时间 1÷55＝1 千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是 552 1 1 ? = . 60 55 66即如果他想按时返回甲地,他应以每小时 66 千米的速度往回开．2. 甲、乙两地相距 100 千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1 小时后小李驾驶汽车从甲地出 发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时 50 千米,中途减速后为每小时 40 千米.汽车 速度是每小时 80 千米,汽车曾在途中停驶 1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后 的多少小时? 分析与解】 【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为 100÷80=1.25 小时=1 小时 15 分钟,加 上中途停驶的 10 分钟,共用时 1 小时 25 分钟． 而小张先小李 1 小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了 2 小时 25 分钟，即 2 最小时． 以下给出两种解法： 方 法 一 : 设 小 张 驾 驶 的 摩 托 车 减 速 是 在 他 出 发 后 x 小 时 , 有 50× x +40× ? 21 ? 5 ? ? x ? = 100 ,解得 x = . 3 ? 12 ? 1 小时. 3所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后方法二: 方法二:如果全程以每小时 50 千米的速度行驶,需 100÷50=2 小时的时间,全程以每小时 40 千米的速度行驶,需 100÷40=2.5 小时.5 12 = 1 的路程,即 依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时 50 千米的速度行驶了 2.5 ? 2 6 1 50 50 1 行驶了 100 ×100 = 千米的路程,距出发 ÷ 50 = 小时. 6 3 3 3 2.5 ? 23. 一位少年短跑选手,顺风跑 90 米用了 10 秒钟.在同样的风速下,逆风跑 70 米,也用了 10 秒钟.问:在无风的时候,他跑 100 米要用多少秒? 分析与解】 【分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速. 有顺风时速度为 90÷10=9 米/秒,逆风速度为 70÷10=7 米/秒． 则无风速度=顺风速度＋逆风速度 9＋7 = ＝8 米/秒 2 2所以无风的时候跑 100 米，需 100÷8=12.5 秒.1 24. 一条小河流过 A，B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时 11 千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时 3.5 千米.已知 A,C 两镇水路 相距 50 千米,水流速度为每小时 1.5 千米.某人从 A 镇上船顺流而下到 B 镇,吃午饭用去 1 小时,接着乘木船又顺流而下到 C 镇,共用 8 小时.那么 A,B 两镇间的距离是多少千米?【分析与解】 如下画出示意图， 分析与解】有 A → B 段顺水的速度为 11+1.5=12.5 千米/小时, 有 B → C 段顺水的速度为 3.5+1.5=5 千米/小时． 而从 A → C 全程的行驶时间为 8-1=7 小时． 设 AB 长 x 千米,有x 50 ? x + = 7 ,解得 x =25． 12.5 5所以 A,B 两镇间的距离是 25 千米.5.一条大河有 A,B 两个港口,水由 A 流向 B,水流速度是每小时 4 千米.甲、乙两船同时由 A 向 B 行驶,各自不停地在 A,B 之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时 28 千米,乙船在静 水中的速度是每小时 20 千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算 甲、乙在 A 处同时开始出发的那一次)的地点相距 40 千米,求 A,B 两个港口之间的距离. 【分析与解】 设 AB 两地的路程为单位“1”,则： 甲、乙两人在 A、B 往返航行，均从 A 点同时同向出发,则第 n 次同向相遇时,甲、乙两 人的路程差为 2 n ； 甲、乙两人在 A、B 往返航行,均从 A 点同时同向出发,则第 n 次相向相遇时,甲、乙两人 的路程和为 2 n ； 甲、乙两人在 A、B 往返航行,分别从 A、B 两点相向出发,则第 n 次同向相遇时,甲、乙 两人的路程差为(2 n -1)； 甲、乙两人在 A、B 往返航行,分别从 A、B 两点相向出发,则第 n 次相向相遇时,甲、乙 两人的路程和为(2 n -1)． 有甲船的顺水速度为 32 千米/小时,逆水速度为 24 千米/小时， 乙船的顺水速度为 24 千米/小时，逆水速度为 16 千米/小时. 两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”； 甲船第二次追上乙船时， 它们的路程差 为“4”. (一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了 2～3 个 AB 长度，乙走了 2～1 个 AB 长度，设甲 走了 2＋ x 个 AB 的长度,则乙走了 2- x 个 AB 的长度,有1 1 x 1 1? x 1 1 + + ＝ + ，解得 x = ，即第二次迎面相遇的地点距 A 点 AB 的距 32 24 32 24 16 3 3离. (二)①第二次甲追上乙时，有甲行走 2 y + z ( y 为整数， z ≤1)个 AB 的长度，则乙行 走了 2 y ? 4 + z 个 AB 的长度，有y y z y?2 y?2 z + + ＝ + + ，化简得 3 y + z = 20 ，显然无法满足 y 为整数， 32 24 32 24 16 24 z ≤1；②第二次甲追上乙时，有甲行走 2 y + 1 + z (y 为整数， z ≤1)个 AB 的长度，则乙行走 了 2 y ? 3 + z 个 AB 的长度，有y +1 y z y ?1 y ? 2 z + + ＝ + + ，化简有 3 y + 2 z = 13 ，有 z = 0.5 ， y = 4 . 32 24 24 24 16 16 1 1 即第二次甲追上乙时的地点距 B 点 AB 的距离，那么距 A 也是 AB 的距离． 2 2所以，题中两次相遇点的距离为( ? 米.?1 1? 1 ? ? = AB，为 40 千米，所以 AB 全长为 240 千 ? 2 3? 66.甲、乙两船分别在一条河的 A，B 两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲 乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达 B 地、乙到达 A 地后,都立即按原来路线返 航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行 1000 米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为 1 小时 20 分,那么河水的流速为每小时多少千米? 分析与解】 【分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到 达 B、A 两地.接着两船再分别从 B、A 两地往 AB 中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船 逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和. 有:甲静水速度+水速=乙静水速度－水速. 还有从开始到甲第一次到达 B 地，乙第一次到达 A 地之前,两船在河流中的速度相等. 所以甲船比乙船少行驶的 1000 米是在甲、乙各自返航时产生的． 甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静 水速度+水速.它们的速度差为 4 倍水速． 从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了 2AB 的路程,而从返航到第二次相遇两船共 行驶了 AB 的路程,需时间 80÷2=40 分钟． 有 4 倍水速= 1000 ÷ ?? 40 ? ? = 1500 ,有水速=375 米/小时=0.375 千米/小时． ? 60 ?即河水的流速为每小时 0.375 千米．7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时 间是 70 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 分析与解】 【分析与解】 甲行走 45 分钟，再行走 70－45=25 分钟即可走完一圈.而甲行走 45 分 钟，乙行走 45 分钟也能走完一圈.所以甲行走 25 分钟的路程相当于乙行走 45 分钟的路程． 甲行走一圈需 70 分钟，所以乙需 70÷25×45=126 分钟． 即乙走一圈的时间是 126 分钟．8.如图 3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的 方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【分析与解】 分析与解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完1 圈的 2路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完 1+1 3 ＝ 圈的路程． 2 2所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路 程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 100×3=300 米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1 圈－60)+300，为 480 米．3 圈，所以此圆形场地的周长为 2乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练： 他们同时从同一地点出发， 沿相反方向跑， 9.甲、 每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈， 跑第一圈时， 乙的速度是甲速度的 甲跑第二圈时速度比第一圈提高了2 . 31 1 ；乙跑第二圈时速度提高了 ．已知沿跑道看从甲、 3 5乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 分析与解】 【分析与解】设甲跑第一圈的速度为 3，那么乙跑第一圈的速度为 2，甲跑第二圈的速 度为 4，乙跑第二圈的速度为12 . 5 3 的跑道长度． 5如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点 有甲回到出发点时，乙才跑了 “4”的速度跑了2 1 的跑道长度.在乙接下来跑了 跑道的距离时，甲以 3 31 2 ÷ 2 × 4 = 圈． 3 3 1 12 所以还剩下 的跑道长度，甲以 4 的速度，乙以 的速度相对而跑，所以乙跑了 3 51 ?12 ? 12 ? ? 1 1 × ? ÷ ? 4 + ? ? = 圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点 圈． 3 ?5 ? 5 ?? 8 8即第一次相遇点与第二次相遇点相差3 1 19 ? = 圈， 5 8 40 19 所以，这条椭圆形跑道的长度为 190 ÷ = 400 米． 4010. 10.如图 3-2，在 400 米的环形跑道上，A,B 两点相距 100 米.甲、乙两人分别从 A，B 两点同 时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?【分析与解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为 100÷(5-4)=100 秒． 分析与解】 此时甲跑了 100×5=500 米，乙跑了 100×4=400 米． 而实际上甲跑 500 米，所需的时间为 100+4×10=140 秒，所以 140～150 秒时甲都在逆 时针距 A 点 500 处． 而乙跑 400 米所需的时间为 100+3×10=130 秒，所以 130～140 秒时乙走在逆时针距 B 点 400 处． 显然从开始计算 140 秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是 140 秒．11. 11.周长为 400 米的圆形跑道上，有相距 100 米的 A，B 两点．甲、乙两人分别从 A，B 两点 同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到 A 时，乙恰好跑到 B．如果 以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 分析与解】 【分析与解】 如下图,记甲乙相遇点为 C.当甲跑了 AC 的路程时，乙跑了 BC 的路程；而当甲跑了 400 米时，乙跑了 2BC 的路程． 由乙的速度保持不变， 所以甲、 乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达 A 点所需时 间的1 . 2 1 ×400=200(米)，也就是甲跑了 200 米时，乙跑了 100 米，所以甲的速度是乙 2即 AC=速度的 2 倍． 那么甲到达 A，乙到达 B 时，甲追上乙时需比乙多跑 400-100=300 米的路程，所以此后 甲还需跑 300÷(2-1)×2=600 米，加上开始跑的 l 圈 400 米． 所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了 600+400=1000 米．12. 12.如图 3-3，一个长方形的房屋长 13 米，宽 8 米．甲、乙两人分别从房屋的两个 墙角出发，甲每秒钟行 3 米，乙每秒钟行 2 米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【分析与解】 开始时，甲在顺时针方向距乙 8+13+8=29 米．因为一边最长为 分析与解】 13、所以最少要追至只相差 13，即至少要追上 29-13=16 米． 甲追上乙 16 米所需时间为 16÷(3-2)=16 秒， 此时甲行了 3×16=48 米， 乙行了 2×16=32米． 甲、乙的位置如右图所示： 显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边，从而看见乙． 而甲要到达上面的边，需再跑 2 米，所需时间为 2÷3= 所以经过 16+2 秒． 32 2 =16 秒后甲第一次看见乙. 3 313. 13.如图 3-4,学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道,大跑道与小跑道有 200 米路程相 重．甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向 跑,两人同时从两跑道的交点 A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?【分析与解】 如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在 AB 顺时针的半跑道 分析与解】 上． 易知小跑道 AB 逆时针路程为 100,顺时针路程为 200,大跑道上 AB 的顺、 逆 时针路程均是 200 米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚． 当甲第一次到达 B 时,乙还没有到达 B 点,所以第一次相遇一定在逆时针的 BA 某处． 而当乙第一次到达 B 点时，所需时间为 200÷4=50 秒,此时甲跑了 50×6=300 米,在 B 点 300-200=100 米处． 乙 跑出 小跑 道到达 A 需 100÷4=25 秒, 则甲 又跑 了 25×6=150 米, 在 A 点左 边 (100+150)-200=50 米处． 所以当甲到达 B 处时,乙还未到 B 处,那么甲必定能在 B 点右边某处与乙第二次相遇． 从乙再次到达 A 处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35 秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共 跑了 50+25+35=110 秒． 所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了 110×6=660 米．14． 14．如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路．已知汽车在 AB 上时速是 90 千米，在 BC 上的时速是 120 千米，在 CD 上的时速是 60 千米,在 DA 上的时速是 80 千米．从 CD 上 一点 P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB 中点相遇． 如果从 PC 的中点 M,同时反 向各发出一辆汽车,它们将在 AB 上一点 N 相遇． A 至 N 的距离除以 N 至 B 的距离所 问 得到的商是多少?【分析与解】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形 ABCD 的边 分析与解】 长为单位“1”. 有甲从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为PD DA AO PD 1 0.5 = + + + + . 60 80 90 60 80 90乙从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为PC BC BO PD 1 0.5 = + + + + . 60 120 90 60 120 90有甲、乙同时从 P 点出发,则在 AB 的中点 O 相遇,所以有：PD 1 PC 1 + + = 60 80 60 120且有 PD=DC-PC=1-PC,代入有 所以 PM=MC=1 ? PC 1 PC 1 5 = + + ,解得 PC= . 60 80 60 120 85 3 ,DP= . 16 8现在甲、乙同时从 PC 的中点出发,相遇在 N 点,设 AN 的距离为 x .3 5 + MD DA AN 8 16 1 x 有甲从 M 到达 N 点所需时间为 + + ； = + + 60 80 90 60 80 90 5 MC CB BN 16 1 1? x 乙从 M 到达 N 点所需时间为 + + = + + . 60 120 90 60 120 90 3 5 5 + 1 x 16 1 1? x 1 1 有 8 16 + + = + + ，解得 x = .即 AN= . 60 80 90 60 120 90 32 32 1 31 1 所以 AN÷BN = ÷ = 32 32 3115. 15.如图 3-6，8 时 10 分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距 60 米的 A，B 两地顺时针方 向沿长方形 ABCD 的边走向 D 点.甲 8 时 20 分到 D 点后,丙、 丁两人立即以相同速度从 D 点出 发.丙由 D 向 A 走去,8 时 24 分与乙在 E 点相遇；丁由 D 向 C 走去，8 时 30 分在 F 点被乙追 上.问三角形 BEF 的面积为多少平方米?【分析与解】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置． 分析与解】先分析甲的情况，甲 10 分钟，行走了 AD 的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速 度，乙 14 分钟行走了 60+AE 的路程，乙 20 分钟走了 60+AD+DF 的路程．所以乙 10 分钟走了 (60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程． 有? AD = 60 + DF AD 60 + AE 60 + DF ? = = ，有 ? 10 14 10 ?7 ( AE ? ED ) = 5 ( 60 + AE ) ?然后分析丙的情况,丙 4 分钟,行了走 ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度, 丁 10 分钟行走了 DF 的距离． 有ED DF = ，即 5ED＝2DF． 4 10? AD = AE + ED = 60 + DF ? AE = 87 ? ? 联立 ?7 ( AE + ED ) = 5 ( 60 + AE ) ，解得 ? ED = 18 ?5 ED = 2 DF ? DF = 45 ? ?于是,得到如下的位置关系：S×87－BEF= S四边形ABCD - SABE?SEDF?SFCB= 60 × ( 87 + 18 ) ?1 × 60 21 1 ×18 × 45 ? ×15 × ( 87 + 18) = 2497.5 (平方米) 2 2【内容概述】 内容概述】能被 2，3，4，5，8，9，11 整除的数的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补填 问题，乘积末尾零的个数的计算． 1.整数 a 除以整数 b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除(也 可以说 b 能整除 a)，记作 ba．如:15÷5=3，所以 15 能被 5 整除(5 能整除 15)，记作 5 15． 反之，则称为不能整除，用“ ”表示，如 7 15.如果整数 a 能被整数 b(b≠0)整除，则称 a 是 b 的倍数，b 是 a 的约数．如 15 是 5 的倍 数，5 是 15 的约数． 特别的，注意 0÷b=0(b≠0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数 的倍数． 还有 0÷1=0，所以说 1 能整除任何整数，1 是任何整数的约数． 因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数． 2．整除的性质： 性质 1.如果 ca，cb，那么 c(a±b)． 如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 C 整除． 性质 2.如果 bca，那么 ba，ca． 如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a． 性质 3.如果 ba，ca，且 b、c 互质，那么 bca． 如果 b、c 都能整除，且 b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a． 性质 4.如果 cb，ba，那么 ca． 如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a． 3.一些质数整除的数字特征(约数只有 1 和它本身的数，称为质数)： 3. (1)能被 2 整除的数，其末位数字只能是 0，2，4，6，8； (2)能被 3 整除的数，其各位的数字和能被 3 整除； (3)能被 5 整除的数，其末位数字只能是 0，5； (4)能被 7 整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与 前面隔出数 的差(大减小)能被 7 整除(即 qponm L cba 能被 7 整除，7 cba - qponmL 或 7 qponmL - cba )；(5)能被 11 整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与 前面隔出数 的差(大减小)能被 11 整除(即 qponm L cba 能被 11 整除 11 cba - qponmL 或 11 qponmL cba )或者， 其 奇数位数字之和 偶数位数字之和 所得的差能被 11 整除；qponm L cba 表示这是一个多位数，而不是 q 与 p、o、c、b、a 等数的乘积，下同．4．对于合数，先把合数分解质因数，再一个一个的考察．这样就化归为质数整除问题，对 于分解质因数，详见《质数、合数与分解质因数》 ． 5．对于一些特殊的合数的判断方法．能被 4 整除的数，末两位数能被 4 整除； 能被 8 整除的数，末三位数能被 8 整除； 能被 25 整除的数，末两位数能被 25 整除； 能被 125 整除的数，末三位能被 125 整除； 能被 9 整除的数，其数字和一定是 9 的倍数． ，他 范例 1 在公元 9 世纪，有个印度数学家――花拉子米写有一本《花拉子米算术》 们计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行， 由于害怕以前的计算过程丢失而经常检验加 法运算是否正确．所以后来人把这种算法称为“土盘算法” ．如：922+902=889923．他们看 1234 的数字和为，10 除以 9 余 1， 1898 的数字和除以 9 余 8， 18922 的数字和除以 9 余 4， 678967 的数字和除以 9 余 7， 178902 的数字和除以 9 余 0，余数的和除以 9 余 2；而等式的右边 889923 除以 9 的余数为 3．所以 上面的加法算式一定是错误的． 为什么呢? 6．若干个数相乘，求其末尾有多少个连续的 0，只要把这个乘积中的因数 2 与 5 的个数分 别找出来，其中较少的因数个数就是积的末尾连续的 0 的个数． 积的末尾有 范例 2 试求 ××1985×…×2005 这 25 个数相乘， 多少个连续的“0”?【分析与解】其中 ，，2005 含有因数 5 分别有 1，1，1，3， 分析与解】1 个，所以共有 l+1+1+3+1=7 个因数 5； 其中 ，，，，， 含有因数 2， 分别有 1， 1， 1， 1， 1， 1， 个， 6， 2， 3， 2， 4， 2 所以共有 1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25 个因数 2． 其中因数 5 较少，含有 7 个，所以题中 25 个数的乘积末尾连续的 0 的个数为 7． 评注： 评注 多数情况下，若干个连续的数相乘，需求其末尾连续 0 的个数．因为因数 2 的个数远多于因数 5 的个数，所以只考虑因数 5 的个数即可．7.还有一种很重要的方法：试除法．如【典型问题】1、2、3、5、6 等类问题都可以使用试 除法．如果一个数能同时被多个整数整除， 那么一定能被这些数的最小公倍数整除， 而求多个 数的最小公倍数，则可以采用如下两种方法： ①短除法 求两个或以上数的最小公倍数，可以使用短除法． 范例 3 试求 120、180、300 的最小公倍数．【分析与解】 分析与解】于是(120，180，300)=30×2×2×3×5=1800． ②分解质因数 将一组数的每个数严格分解质因数， 然后提出每个质因数的最高次所对应的数， 将这些 提出的数相乘，求出积就是最小公倍数． 8．有时也可以将问题视为数字谜问题，如【典型问题】5、6 类问题．1．173 口是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入 3 个数字，所得到 的 3 个四位数：依次可被 9，11，6 整除．”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少? 【分析与解】方法一：利用整除特征 分析与解】方法一 注意能被 9，11，6 整除的数的特征： 能被 9 整除的数，其数字和是 9 的倍数； 能被 11 整除的数，其 奇数位数字和 和与 偶数位数字和 的差为 11 的倍数；或将其 后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是 11 的倍数； 能被 6 整除的数，其数字和是 3 的倍数，且末位为 0，2，4，6，8 的其中之一. 1+7+3=ll，当口内填入 7 时，1735 的数字和为 18，为 9 的倍数，所以当口内填 7 所组 成的数为 9 的倍数； 173 口的奇数位数字和为 7+口，偶位数数字和为 1+3=4，所以当口内填 11+4-7=8 时，奇数位数字和 22 和与 偶数位数字和 的差为 11，所组成的数为 11 的倍数；1+7+3=11，当口内填入 l，4，7 时，为 3 的倍数，但只有 4 为偶数，所以当口内填入 4 组成的数为 6 的倍数． 所以，这三种情况下填人口内的数字的和为 7+8+4=19． 方法二： 方法二：采用试除法 用 1730 试除，……2，7……3，……2． 所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4 后得到的 、1734 依次能被 9、 11、6 整除． 所以，这三种情况下填入口内的数字的和为 7+8+4=19．2．如果六位数 1992 口口能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少? 【分析与解】 因为 105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被 3、7、5 整除的数的 分析与解】 与解 特征即可． 而能被 7 整数的数，将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是 7 的倍数； 能被 5 整数的数，其末位只能是 0 或 5． 方法一：利用整除特征 方法一 末位只能为 0 或 5． ① 如果末位填入 0，那么数字和为 1+9+9+2+口+0=21+口，要求数字和是 3 的倍数，所 以口可以为 0， 6， 验证均不是 200-199=1， 3， 9， 230-199=31， 260-199=61， 290-199=91， 有 9l 是 7 的倍数，即 199290 是 7 的倍数，所以题中数字的末两位为 90． ②如果末位填入 5，同上解法，验证没有数同时满足能被 3、7、5 整除的特征． 所以，题中数的末两位只能是 90． 方法二： 方法二：采用试除法 用 199200 试除，5=1897……15，余 15 可以看成不足(105-15=)90．所以补 上 90，即在末两位的方格内填人 90 即可．3．某个七位数 1993 口口口能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，那么它的最后三位 数字依次是多少? 【分析与解】 方法一 分析与解】 方法一：利用整除特征 因为这个数能被 5 整除，所以末位只能是 0 或 5，又能被 2 整除，所以其末位为偶数， 所以只能是 0． 在满足以上条件的情况下，还能被 4 整除，那么末两位只能是 20、40、60 或 80．又因为还能同时被 9 整除，所以这个数的数字和也应该是 9 的倍数， 1993A20 ，1993B40 ，1993C60 ，1993D80 的数字和分别为 24+A，26+B，28+C，30+D，对应的 A、B、C、D 只能是 3，1，8，6．即末三位可能是 320，140，860，680． 而只有 320，680 是 8 的倍数，再验证只有 93680 中只有 1993320 是 7 的倍 数． 因为有同时能被 2，4，5，7，8，9 整除的数，一定能同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 这几个数整除，所以 1993320 为所求的这个数． 显然，其末三位依次为 3，2，0． 方法二： 方法二：采用试除法 一个数能同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被 23 × 3 ×5×7=8×9×5×7=2520 整除． 用 1993000 试除， 20=790……2200， 2200 可以看成不足 0， 余 所以在末三位的方格内填入 320 即可．24．从 0，l，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字中选出 5 个不同的数字组成一个五位数，使它能被 3，5，7，13 整除，这个数最大是多少? 分析与解】 【 分析与解 】 因为[3，5，7，13]=1365，在 100000 之内最大的 1365 的倍数为 ÷1365=73……355 ， =99645) ， 有 =98280 ， =9-．=94185． 所以，满足题意的 5 位数最大为 94185．5．修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数．问修改后的这个数是多少? 【分析与解】 方法一 分析与解】 方法一：采用试除法 823 是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，3……469，于是 31743 除以 823 可以看成余 469 也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得 到的新数比原来大 354 或 354+823n 也是满足题意的改动． 有 n=1 时，354+823：1177， n=2 时，354+823×2=2000，所以当千位增加 2，即改为 3 时，有修改后的五位数 33743 为 823 的倍数． 方法二： 方法二：视作数字谜 假设改动数位不是首位与末位，那么我们考虑 3 口口口 3 除以 823 的商： 3……375；3……489． 所以商在 37～48 之间，而 823 的个位 3 只有与 1 相乘所得的积才是 3，所以这个商的 尾数为 1，这样的数字在 37～48 之问，只有 41． 有 823×41=33743．所以改动 31743 的千位为 3 即可．6．在六位数 11 口口 11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除，那么 方框中的两位数是多少? 【分析与解】方法一：采用试除法 分析与解】方法一：如果一个数能同时被 17 和 19 整除，那么一定能被 323 整除． 3=340……191，余 191 也可以看成不足(323-191=)132． 所以当 132+323n 是 100 的倍数时，才能保证在只改动 110011 的千位、百位数字，而得 到 323 的倍数． 所以有 323n 的末位只能是 10-2=8，所以 n 只能是 6，16，26，… 验证有 n=16 时，132+323×16=5300，所以原题的方框中填入 5，3 得到的 115311 满足 题意． 方法二： 方法二：视为数字谜 因为[17，19]=323，所以有：注意， 3 行的个位数字为 1， 第 于是乘数的个位数字只能为 7， 所以第 3 行为 323×7=2261；于是有所以第 4 行的末位为 10+1-6=5，所以乘数的十位数字只能为 5，于是第 4 行为 323×5=1615；于是有， 所以第 5 行在(50-～ (50- 之间，又是 323×100 的倍数，所以只能为 300；于是最终有 所以题中的方框内应填入 5，3 这两个数字．.7．已知四十一位数 55…5 口 99…9(其中 5 和 9 各有 20 个)能被 7 整除，那么中间方格内的 数字是多少?【分析与解】 我们知道 abcabc 这样的六位数一定能整除 7、11、13； 分析与解】 下面就可用这个性质来试着求解： 由上知 555 L 51424320个 5999 L 9 的末 6 位数 999999 必定整除 7； 1424320个 9有 555 L 51424320个 5999 L 9 = 555 L 5 20个 9 20个 5999 L 9 ×999；于是 1424314个 9只用考察：555 L 5 1424320个 5999 L 9 ×1000000，又因为
互质，所以 1000000 对整 1424314个 9除 7 没有影响，所以要求 555 L 51424320个 5999 L 9 一定是 7 的倍数． 1424314个 9注意到，实际上我们已经将末尾的 6 个 9 除去；这样，我们将数字 9、5 均 6 个一组除去，最后剩下的数为 5 L 5 口 9 L 9 ，即1 24 4 3(20 ? 3×6) 个 51 24 4 3(20 ?3×6) 个 955 口 99． 我们只用计算 55 口 99 当“口”取何值时能被 7 整除，有口为 6 时满足.评注： 评注：对于含有类似 L abcabc L abcabcL 的多位数，考察其整除 7、11、13 情况时，可 4 3n个abcabc以将 abcabc 一组一组的除去，直接考察剩下的数．8．用数字 6，7，8 各两个，组成一个六位数，使它能被 168 整除．这个六位数是多少? 【分析与解】 因为 168=20×3×7，所以组成的六位数可以被 8、3、7 整除． 分析与解】 能够被 8 整除的数的特征是末三位组成的数一定是 8 的倍数，末两位组成的数一定是 4 的倍数，末位为偶数． 在题中条件下，验证只有 688、768 是 8 的倍数，所以末三位只能是 688 或 768，而又 要求是 7 的倍数，由上题知 abcabc 形式的数一定是 7、11、13 的倍数，所以 768768 一定是 7 的倍数，口口口 688 的口不管怎么填都得不到 7 的倍数． 至于能否被 3 整除可以不验证， 因为整除 3 的数的规律是数字和为 3 的倍数， 在题中给 定的条件下，不管怎么填数字和都是定值，必须满足，不然本题无解． 当然验证的确满足． 所以 768768 能被 168 整除，且验证没有其他满足条件的六位数．9．将自然数 1，2，3，…依次写下去组成一个数：11213…．如果写到某个自 然数时，所组成的数恰好第一次能被 72 整除，那么这个自然数是多少?3 【分析与解】 因为 72= 2 × 3 ，所以这个数必须是 8 的倍数，即后三位必须是 8 的 分析与解】2倍数(也一定有后二位为 4 的倍数，末位为偶数)，且数字和是 9 的倍数. 有 456，312，516，920，324，728，132，536…均是 4 的倍数，但是只有 456，920， 728，536 是 8 的倍数． 验证这些数对应的自然数的数字和： 456 对应 123456，数字和为 2l， 920 对应 123…9，数字和为 102， 728 对应 123…9…28，数字和为 154，536 对应 123…9…，数字和为 207， 所以在上面这些数中，只有 536 对应的 123…9… 既是 8 的倍 数，又是 9 的倍数． 所以，满足题意的自然数为 36．10． 10．1 至 9 这 9 个数字，按图 4-1 所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开， 分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在 l 和 7 之间剪开，得到两个数是
和 )． 如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除， 那么剪 开处左右两个数字的乘积是多少?【分析与解】 在解这道题之前我们先看一个规律： 分析与解】?99的倍数 n为奇数时 n位原序数与n位反序数 的差一定是 ? ? 9的倍数 n为偶数时(如： 12365 为原序数， 那么它对应的反序数为 56321， 它们的差 43956 是 99 的倍数． 对 于上面的规律想想为什么?) 那么互为反序的两个九位数的差，一定能被 99 整除． 而 396=99×4，所以我们只用考察它能否能被 4 整除． 于是只用观察原序数、 反序数的末两位数字的差能否被 4 整除， 显然只有当剪开处两个 数的奇偶性相同时才有可能． 注意图中的具体数字，有(3，4)处、(8，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不 满足． 而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足． 进一步验证，有(9，3)处剪开的末两位数字之差为 43-19=24，(4，2)，(2，6)，(6， 8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪开的末两位数字之差为 62-3=28．86-42=44，58-26=32， 85-17=68，91-57=34，71-39=32．所以从(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反 序的九位数的差才是 396 的倍数． (9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右两个数的乘积为 27，8，12， 48，35，9．11． 11．有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 l 号到 15 号．1 号同学写了一个自然数，2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说：“这个数能被 3 整除”，……，依次下去，每位同 学都说，这个数能被他的编号数整除．1 号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不 对，其余同学都对．问： (1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数? (2)如果告诉你，1 号写的数是五位数，请求出这个数． 【分析与解】 (1)列出这 14 个除数： 分析与解】 2、3、4、5 、6、7、 8、9 、 10、11 、12 、 13 、 14 、 15. 注意到如果这个数不能被 2 整除，那么一定不能被 4、6、8、10…等整除，显然超过两 个自然数；类。似这种情况的还有 3～6、9…；4～8、12…；5～10、15…；6～12…； 若不能被 7 整除，那么一定不能被 14 整除，而这两个自然数不连续； 若不能被 12 整除，那么 4 和 3 中至少有一个不能整除 1 号所说的自然数，而 12 与 3、 4 均不连续；类似这种情况的还有 10(对应 2 和 5)；14(对应 2 和 7)；15(对应 3 和 5)； 这样只剩下 8、9、11、13，而连续的只有 8、9． 所以说的不对的两位同学的编号为 8、9 这两个连续的自然数． (2)由(1)知，这个五位数能被 2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15 整除．所以[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]= 22 ×3×5×7×11×13=60060．所以 1 号写出的五位数为 60060．12． 找出 4 个不同的自然数， 使得对于其中任何两个数， 它们的和总可以被它们的差整除． 如 12． 果要求这 4 个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小， 那么这 4 个数里中间两个数的和是 多少? 分析与解】 【分析与解】 我们设这四个数中最小的一个数为 a，要求 4 个最大的数与最小的数的 和尽可能小，则先尽量让 a 最小．当 a=1， 4 个数中另外三个数中某个数为 b， 设 有b +1 b +1 2 等必须为整数， 而 =1+ ， b ?1 b ?1 b ?1则 2 能被(b-1)整除，显然(b-1)只能为 2 或 1，对应 b 只能是 3 或 2，但是题中要求 a 至少 能与三个数存在差能被和整除的关系，所以不满足．当 a=2，设 4 个数中另外三个数中某个数为 c，有c+2 c+2 4 必须为整数，而 =l+ ， c-2 c-2 c-2则 4 能被(c-2)整除，有(c-2)可以为 4、2、1，对应 c 可以为 6、4 或 3． 验证 6、4、3、2 是满足条件的数组，它们的中间两个数的和为 4+3=7 即为题中条件下 的和．试求 6 个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除． 【试题分析】 取六个数 1，2，3，4，5，6，并把它们两两相加得到 15 个和： 试题分析】 1+2，l+3，…，5+6． 这 15 个和的最小公倍数是：23 × 32 ××5×7×11=27720．把它依次乘所取的六个数得：2，8，138600 及 166320.这六 个数就满足题目的要求．13． 13．把若干个自然数 1，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少? 【分析与解】 方法一：要求乘积的末十三位均是 0，那么这个乘积至少含有 13 个质 分析与解】 方法一 因数 2，13 个质因数 5． 连续的自然数中 2 的倍数的个数远大于 5 的倍数的个数． 所以只用考虑质因数 5 的个数， 有：13×5=65，而 1～65 中，25、50 均含有 2 个质因数 5． 所以只需连乘到(13-2)×5=55 即可．也就是说 1×2×3×…的积的末十三位均是 0，那 么最后出现的自然数最小应是 55． 方法二： 方法二：我们分段考虑质因数 5 的出现的情况： 在 1 至 9 中，有 5 本身，出现 1 次因数 5； 在 10 至 19 中，有 10、15，出现 2 次因数 5； 在 20 至 29 中，有 20、25，由于 25=5×5，5 出现了 2 次，所以共出现 3 次因数 5； 在 30 至 39、40 至 49 中，各出现 2 次 5 的因子，至此共出现了 l+2+3+2+2=10 次 5 的因 子． 在 50 至 59 中，有 50、55、50=2×5×5 出现了两次 5 的次因子，所以这里共有 3 个 5 的因子． 所以到 55 为止，共出现 13 次 5 的因子，55 为出现的最小自然数，使得 2 乘到它的结 果中末尾有 13 个 0．14.975×935×972×口，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什 14 么数? 935 972 而 【分析与解】 975 含有 2 个质因数 5， 含有 1 个质因数 5， 含有 2 个质因数 2． 分析与解】 975×935×972×口的乘积最后 4 个数都是 0． 那么，至少需要 4 个质因数 5，4 个质因数 2． 所以，口至少含有 1 个质因数 5，2 个质因数 2，即最小为 5×2×2=20．15． 15．如图 4-2，依次排列的 5 个数是 13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得 4 个数．这 4 个数每相邻的两个数相乘得 3 个数．这 3 个数每相邻的两个数相乘得 2 个数．这 2 个数相乘得 1 个数．请问：最后这个数从个位起向左数．可以连续地数出几个零?【分析与解】 如下图，我们在图中标出每个数含有质因数 2、5 的个数，除第一行外， 分析与解】 每个数都是上一行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数 2、5 的个数也都是上一 行左、右上方两数含有质因数 2、5 个数的和．所以，最后一行的一个数含有 10 个质因数 2，15 个质因数 5． 而一个数末尾含有连续 0 的个数决定于质因数 2、 个数的最小值， 5 所以最后一行的一 个数末尾含有 10 个连续的 0． 习题 1 1～9 九个数字按图 4-3 所示的次序排成一个圆圈，请在某两个数之间剪开， 分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数． 如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么应在何处剪开?习题 2 有 20 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 20 号．1 号同学写了一个 自然数，2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说：“这个数能被 3 整除”，……，依次下 去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1 号作了一一验证：只有编号连续的两位 同学说得不对，其余同学都对．问： (1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1 号写的数是七位数，请求出这个数． 习题 1 【分析与解】 在解这道题之前我们先看一个规律： 分析与解】→→→ n位原序数 与 n位反序数 的差一定是?99的倍数 n为奇数时 ? ? 9的倍数 n为偶数时(如： 12365 为原序数， 那么它对应的反序数为 56321， 它们的差 43956 是 99 的倍数． 对 于上面的规律想想为什么?) 那么互为反序的两个九位数的差，一定能被 99 整除． 而 396=99×4，所以我们只用考察它能否能被 4 整除． 于是只用观察原序数、 反序数的末两位数字的差能否被 4 整除， 显然只有当剪开处两个 数的奇偶性相同时才有可能．注意图中的具体数字，有(3，8)处、(8，1)处、(1，6)处、(4，9)处、(9，2)处、(2， 5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足． 而(6，4)处、(5，7)处、(7，3)处奇偶性相同，有可能满足． 进一步验证，有(6，4)处剪开的末两位数字之差为 94-16=78，不是 4 的倍数，不满足． (5，7)处剪开则有末两位数字之差为 37-25=12，是 4 的倍数，满足． (7，3)处剪开则有末两位数字之差为 83-57=26，不是 4 的倍数，不满足． 所以只能从 5、7 处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是 396 的倍数． 习题 2 【分析与解】(1)列出这 19 个除数： 分析与解】 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20．2 →→→ 4、6、8、10、12、14、16、18、20，所以一定能被 2 整除； 3 →→→ 6、9、12、15、18，所以一定能被 3 整除： 4 →→→ 8、12、16、20，所以一定能被 4 整除； 5 →→→ 10、15、20，所以一定能被 5 整除； 6 →→→ 12、18，所以一定能被 6 整除； 7 →→→ 14，但是 7、14 不连续，所以一定能被 7 整除； 8 →→→ 16，但是 8、16 不连续，所以一定能被 8 整除； 9 →→→ 18，但是 9、18 不连续，所以一定能被 9 整除； 10 →→→ 20，但是 10、20 不连续，所以一定能被 20 整除： 11，保留； 12 →→→ 不能被 3 或 4 整除，它们又不连续，所以一定能被 12 整除； 13，保留； 14 →→→ 不能被 2 或 7 整除，它们又不连续，所以一定能被 14 整除； 15 →→→ 不能被 3 或 5 整除，它们又不连续，所以一定能被 15 整除； 16，保留； 17，保留； 18 →→→ 不能被 2 或 9 整除，它们又不连续，所以一定能被 18 整除； 19，保留； 20 →→→ 不能被 4 或 5 整除，它们又不连续，所以一定能被 20 整除． 其中，保留的数有 11，13，16，17，19，但是只有 16、17 两个数连续，所以说得不对 的两个同学的编号为 16、17． (2)由(1)知，这个七位数能被 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18， 19，20 整除．如下所示：[2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， 12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 18 ， 19 ， 20]= 23 × 3 ×5×7×11×13×19=6846840． 所以 1 号写出的七位数为 6846840．2与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．1、有人说：“任何 7 个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句 话是错的． 【分析与解】 例如连续的 7 个整数：842、843、844、845、846、847、848 分析与解】 分别能被 2、3、4、5、6、7、8 整除，电就是说它们都不是质数． 评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意 到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这 n 个数分别能被 2、3、 4、…、(n+1)整除，它们是连续的 n 个合数． 其中 n!表示从 1 一直乘到 n 的积，即 1×2×3×…×n．2、从小到大写出 5 个质数，使后面的数都比前面的数大 12． 【分析与解】 我们知道 12 是 2、3 的倍数，如果开始的质数是 2 或 3，那么 后一个数 即 2或3 与 12 的和一定也是 2 或 3 的倍数，将是合数，所以从 5 开始 尝试． 有 5、17、29、41、53 是满足条件的 5 个质数．3．9 个连续的自然数，它们都大于 80，那么其中质数最多有多少个? 分析与解】 【分析与解】 大于 80 的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越 多越好，9 个连续的自然数中最多只有 5 个奇数，它们的个位应该为 1，3，5，7， 9．但是大于 80 且个位为 5 的数一定不是质数，所以最多只有 4 个数． 验证 101，102，103，104，105，106，107，108，109 这 9 个连续的自然数 中 101、103、107、109 这 4 个数均是质数． 也就是大于 80 的 9 个连续自然数，其中质数最多能有 4 个．4. 用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用 到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数? 分析与解】 【分析与解】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有 2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下 1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用． 有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与 7 组合成质数 67． 所以这 9 个数字最多组成了 2、3、5、41、67、89 这 6 个质数．5．3 个质数的倒数之和是1661 ，则这 3 个质数之和为多少? 19861 1 【分析与解】设这 3 个质数从小到大为 a、b、c，它们的倒数分别为 、 、 分析与解】 a b 1 F ， 计算它们的和时需通分， 且通分后的分母为 a×b×c， 求和得到的分数为 , c abc 如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为 a、b、c 或它们之间的积．现在和为 验满足．1661 ，分母 ×331，所以一定是 a=2，b=3，c=331，检 1986所以这 3 个质数的和为 2+3+331=336．6．已知一个两位数除 1477，余数是 49．求满足这样条件的所有两位数． 【分析与解】 有 1477÷除数=商……49，那么 1477-49：除数×商，所以， 分析与解】 除数×商=×3×7×17． 一般情况下有除数大于余数．即除数大于 49 且整除 1428，有 84、51、68 满足． 所以满足题意的两位数有 51、68、84．7．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 140．如果把所有这样的 分数从小到大排列，那么第三个分数是多少? 【分析与解】 有 140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均 分析与解】 为 140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小． 有分母从大到小依次为 140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 对应分子从小到大依次为 1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 1 2 4 5 7 10 14 对应分数从小到大依次为而 、 、 、 、 、 、 、… 140 70 35 28 20 14 10 其中第三个最简真分数为．某校师生为贫困地区捐款 1995 元． 这个学校共有 35 名教师， 个教学班． 14 各 8． 班学生人数相同且多于 30 人不超过 45 人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那 么平均每人捐款多少元? 这 个 学 校 最 少 有 35+14×30=455 名 师 生 ， 最 多 有 【分析与解】 35+14×45=665 名师生，并且师生总人数能整除 1995． ×133，在 455～665 之间的约数只有 5×133=665，所以师生总数 为 665 人，则平均每人捐款
元．9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字 5 看成 8， 由此得乘积为 1872．那么原来的乘积是多少? 【分析与解】 ×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为 8， 分析与解】 一一验证只有：， 满足． 当为
时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 45 看成 48，所以 正确的乘积应该是 45×39=1755． 当为
时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 75 看成 78，所以 正确的乘积应该是 75×24=1800． 所以原来的积为 1755 或 1800．10. 10.已知两个数的和被 5 除余 1，它们的积是 2924，那么它们的差等于多少? 【分析与解】 ×17×43=A×B，且有 A+B 被 5 除余 l，则和的个位 分析与解】 为 1 或 6． 有 4×17+43=68+43=11l，也就是说 68、43 为满足题意的两个数． 它们的差为 68-43=25．11． 11．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过 10 的自然数．甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764， 但是甲的总环数比乙少 4 环．求甲、乙的总环数各是多少? 分析与解】 【分析与解】 ×3×3×7×7，1764 对应为 5 个小于 10 的自然数 乘积． 只能是 ×3×7×7 =2×6×3×7×7=2×2×9×7×7 =1×6×6×7×7 =1×4×9×7×7 对 应 的 和 依 次 为 4+3+3+7+7=24 ， 2+6+3+7+7=25 ， 2+2+9+7+7=27 ， 1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28． 对应的和中只有 24，28 相差 4，所以甲的 5 箭环数为 4、3、3、7、7，乙的 5 箭环数为 1、4、9、7、7． 所以甲的总环数为 24，乙的总环数为 28．12．在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、 12 高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【分析与解】 如下图，设长、宽、高依次为 a、b、c，有正面和上面的和 分析与解】 为 ac+ab=209．ac+ab=a×(c+b)=209，而 209=11×19． 当 a=11 时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质 数 2，则 c+b=2+17; 当 a=19 时，c+b=11，则 c+b=2+9，b 为 9 不是质数，所以不满足题意． 所以它们的乘积为 11×2×17=374．13. 13.一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然数，它的体积是 39270 立方厘米， 那么这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘 分析与解 方法一 积，而 34×34×34 即 343 最接近 3 的约数中接近或等于 34 的有 35、 34、33，有 33×34×35=39270． 所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高． 则 长 方 体 的 表 面 积 为 ： 2×( 长 × 宽 + 宽 × 高 + 高 ×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)． 方法二：×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因 数 17，如果 17 作为长、宽或高显然不满足． 当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7，与 34 接近的数 32～36 中，只有 35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的 一条边的长度． 而 39270 的质因数中只剩下了 3 和 1l， 所以这个长方体的大小为 33×34×35． 长 方 体 的 表 面 积 为
39270 2×( + + )=2×(22)=2×(平方厘米)． 33 34 3514． 14．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么 它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米? 【分析与解】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越 分析与解】 接近，和越小．如 3 个数的积为 18，则三个数为 2、3、3 时和最小，为 8． ×3×3×37，37 是质数，不能再分解，所以 2×3×3×3 对应的两 个数应越接近越好．有 2×3×3×3=6×9 时，即 ×37 时，这三个自然 数最接近． 它们的和为 6+9+37=52(厘米)．15．如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少? 15 【分析与解】×5×5×13， 分析与解】 有 a×b 为 4875 的约数，且这两个数的和为 64．发现 39=3×13、25=5×5 这两个数的和为 64，所以 39、25 为满足题意的两个数． 那么它们的差为 39-25=14． 评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所 以两个和为 64 的数的乘积最大为 32×32=1024，而积最小为 1×63=63． 而 4875 在 64～1024 之间的约数有 65，195，325，375，975 等．我们再对 65，195，325，375，975 等一一验证． 严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的 只有 39、25 这组数．正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线 形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进 行计算的面积问题．1．如图 6-1，每一个小方格的面积都是 l 平方厘米，那么用粗线围成的图 形的面积是多少平方厘米?（N+ 【分析与解】 方法一 分析与解】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式： 正方形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数． 有 N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为： （4+L -1)×单位 27 -1)×1=6.5(平方厘米) 2方法二： 方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小 正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点 阵所围成的图形的面积为 16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5 平方 厘米．2．如图 6-2，如果每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米?分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 【分析与解】方法一 单位正三角形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数． 有 N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘 米)． 方法二： 方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有 10 个，而将不 完整的小正三角形分成 4 部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为 4，所 以①部分的面积为 2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为 2，8，6， 所以②、③、④部分的面积分别为 1，4，3．所以粗实线内图形的面积为 lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．图 3.如果图 6-3 是常见的一副七巧板的图， 6-4 是用这副七巧板的 7 块板拼 成的小房子图，那么，第 2 块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第 4 块板 与第 7 块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】 分析与解】如下图，我们在图 6-3 中标出图 6-4 中各块图形的位置．设整个七巧板组成的正方形的边长为 1，显然整幅图形的面积为 1，且有第 1 1 1 1 2 块的面积为 × × = ． 2 2 2 8 有 S3 = S4 ， S2 = S5 = S7 =2 S3 ，有 2、3、4、5、7 五块图形的面积之和为1 所以 S4 = S长方形IGFB ， S7 = ． 81 ， 21 所以第 2 块板的面积等于整幅图面积的 ，第 4 块板与第 7 块板面积和为整 8幅图面积的1 1 3 + = ． 16 8 164．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得 到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又 以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图 6-5 所示的图形．如果这 个图形面积是 1，那么原来的正三角形面积是多少?【分析与解】 方法一 分析与解】 方法一：如右图，我们将图 6-5 分成若干个大小、形状完全 相同的小正三角形，由 40 块小正三角形组成图 6-5，而由 27 块小正三角形组成 了图中最大的正三角形． 120 块小正三角形的面积为 1，所以每块为 块小正三角形组成，其面积显然为27 ． 40 1 ，那么原来的正三角形由 81 120方法二：如下图，我们把图 6-5 中的三角形分成 A、B、C 三种，设 A 形正三 方法二 1 1 角形面积为“1”，则 B、C 两种正三角形的面积依次为“ ”、“ ”． 9 81在图 6-5 中，A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为 1，3，12，所以图 6-5 1 1 40 27 中图形的面积为 1+3× +12× = ．所以有“1”对应 ，而原来的正三角 9 81 27 40形即为三角形 A，所以原来的正三角形的面积为27 . 405．如图 6-6，正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米，M 是 AB 中点，N 是 CD 中点，P 是 EF 中点．问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将图 6-6 分成大小、形状相同的三角形，有正 分析与解】 六边形 ABCDEF 包含有 24 个小正三角形， 而阴影部分 MNP 包含有 9 个小正三角形．正六边形 ABCDEF 的面积为 6，所以每个小正三角形的面积为 6÷24= 以三角形 MNP 的面积为 9×1 =2.25(平方厘米)． 41 ，所 46．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便 得到了若干个面积相等的小三角形． 已知图 6-7 中阴影部分的面积是 294 平方分 米，那么图 6-8 中的阴影部分的面积是多少平方分米?【分析与解】 在图 6-7 中，原正三角形被分成 25 个小正三角形，而阴影 分析与解】 部分含有 12 个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为 294÷12=24.5，所以 原正三角形的面积为 24.5×25=612.5(平方分米)． 而在图 6-8 中，原正三角形被分成 49 块，而阴影部分含有 16 块，所以阴影 部分的面积为 612.5÷49×16=200(平方分米)．7．图 6-9 是 5×5 的方格纸，小方格的面积是 1 平方厘米，小方格的顶点称 为格点． 请你在图上选 7 个格点， 要求选出的点中任意 3 点都不在同一条直线上， 并且使这 7 个点用直线连接后所围成的面积尽可能大． 那么所围图形的面积是多 少平方厘米?【分析与解】 我们知道满足题意的 7 个点可以组成一个七边形，适当的切 分析与解】 去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出 2 个角可以得到一个六边形，切去 3 个角可以得到七边形. 为了使最后留下的七边形的面积尽可能大， 那么切去的 3 个角面积应尽可能 的小．如下切法得到的七边形的面积最大，为 25-3×0.5=23.5(平方厘米)．8.在图 6-10 中，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其 中 DF 长 9 厘米，CF 长 3 厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 方法一：如图(a)，将原题中图形分为 12 个完全一样的小等 分析与解】 方法一： 腰三角形． △ABC 占有 9 个小等腰三角形，其中阴影部分占有 6 个小等腰三角形， SABC=9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为 40.5÷9×6=27(平方厘米)． 方法二： 如图(b)， 连接 IG， 有四边形 ADGI 为正方形， 易知 FG=FC=3(厘米)， 方法二： 1 1 所以 DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是 S HIG = × S正方形AIGD = × 6 2 =9. 4 4 而 四 边 形 IGFB 为 长 方 形 ， 有 BF=AD=DG=6( 厘 米 ) ， GF=3( 厘 米 ) ， 所 以S长方形IGFB =6×3=18．阴影部分面积为 A HIG 与长方形 IGFB 的面积和，即为 9+18=27(平方厘米)．方法三： 方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图 6-10 中某些交点标上字母． 易知三角形 BIE、CGF、AIH、DGH 均为等腰直角三角形． 先求出等腰直角三角形 AHI、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形 ABC 的面 积与其作差，即为需求阴影部分的面积． 有S =S =1 81 ×EF×DF= ， S 2 2ABCDEFCGF=1 9 ×CF×FG= ． 2 2因为 CF=FG=3，所以 DG=DF-FG=6． 如图(d)，可以将 4 个三角形 DGH 拼成一个边长为 DG 的正方形．1 ×DG×DG=9 ， 而 S 4 81 9 S ABC - S CGF - S AIH = - -9=27(平方厘米)． 2 2所以， SACDSDGH=AIH=SDGH=9 ， 所 以 S阴影BFGHI =即阴影部分的面积为 27 平方厘米．9．如图 6-11，在长方形 ABCD 中，O 是长方形的中心，BC 长 20 厘米，AB 长 12 厘米，DE=4AE，CF=3DF，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 我们只用先求出四边形 ADFO 的面积，再将其减去两个三角 分析与解】 形 AEO、EFD 的面积和，即为所求阴影部分的面积． 而四边形 ADFO 的面积等于两个三角形 AOD、ODF 的面积和． 由题意知 AE=4，ED=16，DF=3，FC=9． 有S =1 1 S矩形ABCD = ×20×12=60， 4 4AODSODF=1 1 1 1 ×DF×( AD)= ×3× ×20=15． 2 4 2 2 1 1 1 1 ×AE×( AB)= ×4× ×12=12， 2 2 2 2 1 1 ×ED×DF= ×16×3=24． 2 2SAEO=SEFD=有 S阴影 =( SAOD+SODF)- SAEO-SEFD=60+15-12-24=39(平方厘米)．即阴影部分的面积为 39 平方厘米．10．如图 6-12，大正方形的边长为 10 厘米．连接大正方形的各边中点得小 10 正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相 连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成 A、B 两种三角 分析与解】 形． 其中含有 A 形三角形 8 个，B 形三角形 16 个，其中阴影部分含有 A 形三角 形 4 个，B 形三角形 8 个． 所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的 米)．1 1 ，即为 ×10×10=50(平方厘 2 211．如图 6-13，ABCD 是边长为 8 厘米的正方形，梯形 AEBD 的对角线相交于 11 0，三角形 AOE 的面积比三角形 BOD 的面积小 16 平方厘米，则梯形 AEBD 的面积 是多少平方厘米?【分析与解】如下图，将梯形 AEBD 内 4 个三角形的面积分别记为①、②、 分析与解】 ③、④．在梯形 AEBD 中，有△EBD、△ABD 同底等高，所以有 S =①+②．显然有①=③． 由题意知 S ①+②= SABD BODEBD=SABD，即③+②-SAOE=16，即②-④=16，于是有(①+②)-(③+④)=16．已知=1 ×8×8=32，所以③+④=(①+②)-16=16． 2所以有 S梯形AEBD =(①+②)+(③+④)=32+16=48(平方厘米)．评注：在任意梯形 ABCD 中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积 为“上”、“下”、“左”、“右”，有： 左=右；左×右=上×下；上：下=A D 2 ：B C2 ．12．如图 6-14，ABCD 是长方形，长 AD 等于 7.2 厘米，宽 AB 等于 5 厘米， 12 CDEF 是平行四边形．如果 BH 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平 方厘米?【分析与解】 分析与解】 HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以 1 1 S CDH = ×CD×HC= ×5×4.2=10.5． 2 2S阴影 = S平行四边形CDEF - SS平行四边形CDEF =DC×BC=5×7.2=36，CDH=36-10.5=25.5(平方厘米).13．如图 6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边 13 形的面积是多少?BC 有∠EDC=45°， ∠ECD=90°， 所以△CDE 【分析与解】 将 AD、 延长交于 E， 分析与解】 为等腰直角三角形，有 EC=DC． 而∠ECD =45°，∠EAB=90°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有 EA=AB． 有S =1 49 ×AB×EA= ，S 2 2ABEEDC=1 9 ×EC×DC= ． 2 2有 S四边形ABCD = SABE-SEDC=49 9 - =20． 2 214．图 6-16 是边长为 1 的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底 14 长 1.5 米，A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段 AB 恰好是梯形的高，长为 0.5 米，CD 长为丢米．那么图中阴影部分的面积是多少平方米?分析与解】 方法一： 将 【分析与解】 方法一 为了方便叙述． 标上字母．延长 AB 交正方形边 EF 于 H 点， 我们先求出梯形 JICK 与正方形 IFEC 的面积下图中一些点和，再求出三角形 AFH 与梯形 AHED 的面积和，将前者与后者做差所得到的值即 为所求阴影部分的面积．S梯形JICK =1 ×(1.5+1)×0.5=0.625， 2S正方形IFEC =1×1=1． SAFH=1 1 1 1 1 ×AH×FH= ×（AB+BH）×( FE)= ×(0.5+1)-（ ×1）=0.375， 2 2 2 2 21 1 1 1 ×(AH+DE)×HE= ×(AB+BH+CE-CD)×( FE)= × 2 2 2 2 1 1 13 ． (0.5+1+1- )×( ×1)= 3 2 24 S梯形AHED = 有 S阴影 = S梯形JICK + S正方形IFEC - S 米)． 即阴影部分的面积为 17 平方米． 24 - S梯形AHED =0.625+l-0.37513 17 = (平方 24 24AFH方法二：如下图，连接 AI、AC，将阴影部分分成四个部分． 方法二 △AJI 可以看作以 AJ 为底，AB 的长为高的三角形；△AKC 可以看作以 AK 为 底，AB 的长为高的三角形；△AJF 可以看作以 IF 为底，IB 的长为高的三角形； △ACD 可以看作 CD 为底．CB 的长为高的三角形．阴影部分面积为 SAJI+SAKC+SAIF+SACD1 =0.75×0.5÷2+O.75×O.5÷2+l×O.5÷2+ ×0.5÷2 3 1 =0.1875+O.+ 12 17 = （平方米) 241 65 米的一个木条以后，剩下的面积是 平 2 18 方米．问锯下的木条面积是多少平方米?15．从一块正方形木板锯下宽为 15【分析与解】 我们画出示意图(a)，则剩下的木块为图(b)，将 4 块剩下的 分析与解】 木块如下拼成一个正方形得到图(c)．1 ，所以图(c)中心的小正方形边 2 1 65 1 1 529 23 23 长为 ，于是大正方形 AEHK 的面积为 ×4+ × = = × ，所以 AK 2 18 2 2 36 6 6 23 长为 ． 6我们称 AB 为长，AD 为宽，有长与宽的差为23 1 13 ，已知：长-宽= ，得长= ，于是锯去部分的木条的面积 6 2 6 13 1 13 1 为 × = =1 (平方米)． 6 2 12 2即，长+宽=涉及分数与小数的各种类型的数字谜问题，包括竖式的补填、算式的构造、 小数的舍人与变化等． 较为复杂的数字问题， 以及其他略有综合性的数字谜问题．1． 有一个四位整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再与这个四位 数相加，得数是 2000．81．求这个四位数是多少? 【分析与解】 设四位整数 4 的某位数字前加上一个小数点得到一个新的数 分析与解】 B，A 与 B 的和为 2000．81，而小数只能由 B 得到，且 0.81 为 B 的小数部分，所 以小数点加在 A 的百位与十位之间，即缩小了 100 倍． 有 A+0.01A=2000.81，所以 A=1981．2． 老师在黑板上写了 13 个自然数，让小明计算平均数(保留两位小数)，小 明计算出的答数是 12． 老师说最后一位数字错了， 43． 其他的数字都对． 正 确答案应该是什么? 【分析与解】 老师说最后一位数字错了，那么前 3 位数字是正确的，所以 分析与解】 正确的平均数在 12.40～12.5(不能取 12.5)之间， 那么这 13 个数的和在 161.2～ 162.5(不能取 162.5)，因为这 13 个数都是自然数，所以它们的和也应该是自然 数． 那么这 13 个数的和只能是 162，它们的平均数应该是 162÷13≈12.46．所以正确的平均数应该是 12.46．乘积四舍五人以后是 22.5． 这两个数都只有一位小数， 3． 两个带小数相乘， 且个位数字都是 4．这两个数的乘积四舍五入前是多少? 【分析与解】 因为这两个带小数均只有一位小数，那么给它们均乘以 10， 分析与解】 则这两个数均是整数． 开始它们的乘积在 22.45～22.55(不能取 22.55)之间，所以在这两个数在均 乘以 10 以后再相乘而得到的乘积应该在 (不能取 2255)之间． 一 一 验 证 ， 9 ， 23 ， ×107 ， ×2×281，3，×3×5×5×5，2251 为质数， ×563，1，×7×23． 其中只有 2254 可以表达为(2×23)×(7×7)=46×49，两个十位数字均为 4 的数的乘积． 所以，四舍五人前的乘积应为 =22.54． 即两个数的乘积四舍五人前是 22.54．4．[4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷O.04=100 改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被 改动的数变为多少? 【分析与解】 我们先把题中左边算式计算一遍，在计算过程中发现问题． 分析与解】 [4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷0.04 =[21-(0.4+13) ]÷0.04 =[21-13.4]÷0.04 =7.6÷0.04 =190 注意到在“[21-(0.4+13)]÷O.04”这一步中如果(0.4+13)是(4+13)，那么 最终的结果为 100．所以只需将 1÷2.5 改为 1÷0.25，即将 2.5 改为 O.25 即可．5.在算式 2÷3÷4÷5÷6 中添上若干个括号，使算式的结果是整数，并且尽 可能小．试写出添加完括号后的算式． 【分析与解】 注意到将除号前加一个括号，可以使括号内的除号在脱括号 分析与解】 之后变为乘号． 又注意到 2、3、4、5、6 只有 5 含有质因数 5，就是说其他的质因数可能经 过变换运算法则除去，而质因数只能保留，且只能作为乘数，也就是说题中算式 变化后是最终的结果最小为 5． 有 2÷3÷4÷5÷6=EF 1 ，现在要得到 5，扩大了 5÷ =900，所以必须将 180 CD原来作为除数的 30 变为乘数 30，有 5×6=30，所以将 5、6 由除数变为乘数． 有 2÷3÷(4÷5÷6)=5，此式即为所求．6．用 1，4，5，6 四个数，并适当选择加号、减号、乘号、除号以及括号， 组成一个结果等于 24 的正确算式． 【分析与解】 有 24=2×2×2×3，常规的方法，无法使 1，4，5，6 通过运 分析与解】 1 1 算得到 24，但是注意到可利用分数：有 4÷ =24，6÷ =24 等． 6 4于是有下面两个算式满足： 4÷(1-5÷6)=24，6÷(5÷4-1)=24． 评注：此类题是常说的“24 点”游戏：从一副扑克牌中除去大王、小王，A 评注 表示 1，J 表示 11，Q 表示 12，K 表示 13，其他的牌表示的数等于牌面数字．从 剩下的 52 张牌中任意抽取 4 张，通过选择运算使它们最终的计算结果为 24．1 1 1 7． + + ≈0.658上式是经过四舍五入得到的等式，其中每个△代表一个一位数．那么这 3 个 △所代表的 3 个数分别是多少? 【分析与解】设△代表的三个数从小到大为 a、b、c． 分析与解】 当 a 取最小值 2 时，1+1+1最小为11 1 1 + + ≈0.736，所以 a 最小取 3． 2 8 9当 a=3， 最小取 4 时, b1 1 11+1+1 1 1 最小为 + + ≈0.694， 所以 b 最小取 5． 3 4 9当 a=3，b=5 时,++1 1 1 最小为 + + ≈0.644，有可能． 3 5 91 1 1 验证当，a=3，b=5，c=8 时有 + + ≈0.658．满足． 3 5 8所以这三个数分别为 3、5、8． 评注：此题从极端情况开始一一枚举而得. 评注8．用 0，1，2，…，9 这 10 个数字组成 5 个两位数，每个数字只用一次， 要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大．那么这 5 个两位数的和是多少? 【分析与解】要求 5 个数的和是奇数，所以这 5 个数中有奇数个奇数，如果 分析与解】 用 9、8、7、6、5 作十位数字，那么个位数字为 0、1、2、3、4，这样组成的 5 个数中有 2 个数是奇数． 所以调整，将 9、8、7、6、4 作为十位数字，0、1、2、3、5 作为个位数字， 那么组成的 5 个两位数的和是(9+8+7+6+4)×10+(0+1+2+3+5)=351． 因为已经使十位数字尽可能的大，所以所得的和为最大值． 即在满足题意下，得到的 5 个两位数的和为 351．9．将 I，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数分成 3 组，分别计算各组数的和．已知这 3 个和互不相等，且最大的和是最小的和的 2 倍，那么最小的和是多少? 【分析与解】 设分成的 3 组数的和从大到小依次为 a、b、c，a=2c，并且 分析与解】 有 a+b+c=b+3c=1+2+3+…+8=36.3c 为 3 的倍数，36 为 3 的倍数.所以 b 为 3 的 倍数．? b=3 ? b=6 ? b=9 ? b = 12 ? b = 15 ? ? ? ? ? 解得 ? c = 11 ， ? c = 10 ， ? c = 9 ， ? c = 8 ， ? c = 7 ， ? ? ? ? ? ?a = 2c = 22 ?a = 2c = 20 ?a = 2c = 18 ?a = 2c = 16 ?a = 2c = 14不难看出随着 b 的增大，a 在减小，所以其他情况不用再讨论． 满足条件的解只有 b=12，c=8，a=16． 1，2，3，4，5，6，7，8 可以分成{1，2，3，4，6}、{5，7}、{8}这三组． 所以满足题意的最小一组数的和为 8．10． 10．用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成 3 个三位数(每个数字 只用一次)，使其中最大的三位数被 3 除余 2，并且尽可能的小；次大的三位数 被 3 除余 1；最小的三位数能被 3 整除．那么，最大的三位数是多少? 【分析与解】 被 3 除余 2、1、0 的数，其数字和除以 3 也分别余 2、1、0． 分析与解】 为了使最大的三位数尽可能的小，所以其百位最小取 3，因为如果取 1 或 2， 那么剩下两个三位中的某一个其百位数字大于 3，显然不满足． 当最大三位数的百位取 3 时，1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成的三个三位 数只能是 3 口口、2 口口、l 口口，而 3 口口的十位最小取 4，百位与十位的数 字和为 7，则个位只能取 7． 所以满足条件的最大三位数是 347．11．红、黄、蓝和白色卡片各一张，每张上写有一个数字．小明将这 4 张卡 11 片如图 7-l 放置，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数与它的数字之和的 10 倍的差． 结果小明发现， 无论白色卡片上是什么数字， 计算结果都是 1998． 问 红、黄、蓝 3 张卡片上各是什么数字?红黄白蓝图 7―1 【分析与解】 设这个四位数为 abcd ，其中 a、b、c、d 依次代表红、黄、 分析与解】 白、蓝． 有 abcd =1000a+lOOb+10c+d，而 abcd 的数字和为 a+b+c+d，所求的