高等数学函数极限中有关函数极限的问题！

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高等数学中常见求函数极限的方法探讨
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京网文[0号 京ICP证100780号高等数学中函数极限计算方法_中华文本库
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高等数学中函数极限计算方法
（ 无锡职业技术学院，江苏无锡 214000 ）
［ 摘 要 ］ 极限理论是微积分学的理论基础，极限思想贯穿于整个高等数学，而极限的计算是极限理论的重要组成部分。因此掌握计算极限 的方法是学好高等数学的前提条件。本文对函数极限常用的计算方法进行了总结。 ［ 关键词 ］ 极限；连续；导数；方法 极限理论是微积分学的理论基础, 极限思想贯穿于整个高等数学， 高等数学中大部分的主要概念都是建立在极限理论基础上的，例如导 数、定积分、级数等等。极限的计算是极限理论的重要组成部分。因此 掌握计算极限的方法是学好高等数学的前提条件。本文总结了函数极限 常用的计算方法以及在计算过程中要注意的问题。 一、利用左、右极限求极限 左、右极限常用来求分段函数在分段点处的极限，需要注意的是 左、右极限也可以用来求含有绝对值表达式的函数的极限。 lim tanx 2+2 例 1 求x→0 |x| + 1+2 2 x
解：原式 =lim
2s in 2 x 2s in 2 x 2 = lim 2 =1 。 x→0 x→0 3x2 6 2 · （x ） 12 2
例 5 lim 1- 3s inx ）x x→0 （
解：原式 =lim 1- 3s inx ）- 3s inx x→0 （
1 - 3s inx =lim [ 1- 3s inx ） ] x→0（
·- 6s inx x
- 6s inx x
四、利用无穷小求极限 定理 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小。
· 2 - x +2 lim tanx 2+2 x lim tanx 2 解：x→0+ |x| + 1+2 2 =x→0+ x + 2- 1 x x +1
定理 当 x→0 时，下列函数都是无穷小且相互等价，即有： x～s inx～tanx～arcs inx～arctanx～ln （ 1+x ） ～e x- 1 。 需要注意当上面每个函数中的自变量 x 换成 g （ x ） 时（ g（ x ）→ 0 ） ，上面的价关系成立。 f（ ） 1 x 定理 若 x→x0 时 f （ x ） ～f1 （ x ） ，g （ x ） ～g 1 （ x ） ，则当lim x→x g（ ） 1 x
lim- tanx + 2+2 2 x→0 |x| 1+2 x
lim- tanx 2 +2 =x→0 -x + 1+2 2 =- 1+2=1 x
lim tanx 2+2 x lim- tanx 2+2 x 所以x→0+ |x| + 1+2 2 =x→0 |x| + 1+2 2 =1 x x lim tanx 2+2 x 即x→0 |x| + 1+2 2 =1 x 二、利用极限运算法则求极限 定理 已知 lim f （ x ） ，lim g （ x ） 都存在，极限值分别为 A，B，则 1 ） lim[f （ x ） ±g （ x ） ]=A±B ） lim f （ x ）· g（ x ） =A · B 2 f x ）= A ， （ 3 ） lim （ 此时需 B≠0 成立 ） g （x ） B 注意极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件， 当条件不满足时，常常要对函数进行恒等变形或化简。常用的方法有分 式的约分或通分、分式有理化、三角函数的恒等变形等。 例 2 求lim x→4 x- 4 。 姨x+5 -3
（ f x ） =lim f（ ）。 1 x 存在时，有lim x→x x→x g （x ） g（ ） 1 x
1 。 2 例 6 求lim x→x x s in x
解：当 x→0 时，s in 1 的极限不存在，不能直接
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