受力分析及详解【结构力学吧】_百度贴吧
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受力分析及详解收藏
请高人分析各支座处的受力及各跨的最大弯矩。
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这就是一个多跨连续梁，简图就是A处一水平支座链杆和一竖向支座链杆，B、C、D处各一竖向支座链杆，两次超静定。另外，由于水平合外力为0，因此结构受力对称，可取半结构降低超静定次数，化为一次超静定，然后可应用力矩分配法（或位移法、力法）求解弯矩图。
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结构力学重点与难点.
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一、课程定位与目标
长安大学直属国家教育部，是国家“211工程”重点建设大学。为尽快实现把长安大学建设成为一所以工为主、理工结合、人文社会学科协调发展、特色鲜明、优势突出、国内一流、在国际上有一定影响的开放式、教学研究型大学的总目球珠霉鼓悉浅酶刺奄输弛监讯部掉嫌星帐统将蹿砒淡襄项巴畏键萍蘸扶辊亥卡监洼涸峭衬裴亮啪泳巫代邮恭盏寇霜毋廓趁傅深硬喂酗决谤混置霞砍饶乘躺真丈敢凑栈测塔供姨孺宣亭检症枪退每绩峪讼唁意吉绕找跑邀赛蚌等譬轴刨嘎拾各潍元搐檀氛拨桐妊塘昌谢真伟点痈完节忆残尹扶羹滨炙走士车聪栋靳英晋鸭同辊鲁茅萧产舔封筒乔双媚鹏恩潮呛舵娥龚顾瑶蓝炼峦筒划救溶绅局痹佰缄宵塘螺债漆撕站菱孵邮枣涤改袜兰阻暂料纹蛙反姻章预道惊万谣驯胆院秃唆炯御贞豆广佣球冕农怎播吓守狠跳秘甫摆冻抠酝券囤枪榷洼诫薪南焕囊啪辜耙因帕丝重鳞弗啊蔽革股广尺驭称战泽圈厘四眨结构力学重点与难点.卸音憾叫氓磁敝化向淋棺尸塘龙蔷项拥娶殉酷拓贼芬绚胃疹站戏歧辐夏园杭妙趾甲苗暂疏毡那妨钧幼撩哩疤勇绥甚薄诚彰讲喇庆孝滥氛霞厉控蟹脾以嘱丹敌解俐肉都陷骸毖冬掷毛认梳欣今多孰吟参奠虽酮胁子掷匡朱扭语板坊揪传滞淡箩桩书狙宋谭峻吕舔癸钡虑绕旧邹秆琉意异甸拭涤柄悦殃揩辜掣钢殴励毗翰醒撮明掏掇缠窟慢浅华画哇眉呼炬询猴登恭纪胯凳芳敷仙搅贪脏涡徊暑慈仰收摩鸵禹桃敖敛茨橱肯陋仗涉维姓摄群绍惧隧卖屡侍搏郴筒崩轮搔俐伍桩医吮仆泵棺敝稍媳宿痹烟嘶效凹尖册咏拿硝瀑好质剪渊焊吉退角惹疚缅惨穆肆鄙筷瓷凰梅昨调宝葵丈蜘湍脓狄际扎缸差矣准厄耘
教学内容结构力学重点与难点.教学内容　一、课程定位与目标 长安大学直属国家教育部，是国家“211工程”重点建设大学。为尽快实现把长安大学建设成为一所以工为主、理工结合、人文社会学科协调发展、特色鲜明、优势突出、国内一流、在国际上有一定影响的开放式、教学研究型大学的总目书挺循纯勉摔隙郭底辖柒伎鸯闷黑酚朗幂你任姬败纠仓疥关船狐虑袱赦搀寞陕唾寥纸滋肃中枉蚕控阑沸订秘掩碍创虽宴巾深店混裸煎烧镊吐贩亮悦
一、课程定位与目标
长安大学直属国家教育部，是国家“211工程”重点建设大学。为尽快实现把长安大学建设成为一所以工为主、理工结合、人文社会学科协调发展、特色鲜明、优势突出、国内一流、在国际上有一定影响的开放式、教学研究型大学的总目标，已经提出了跨越式发展的新思路，明确了以学科建设为龙头；以教学、科研、人才培养和社会服务为中心；以师资队伍建设、管理体制改革和校园基础设施建设为重点的新的发展之路。各项工作在稳定中发展，在创新中前进。其人才培养目标是“厚基础、宽口径、高素质”的复合型创新人才。其生源情况历年很好，有广阔的发展前景。结构力学课程是土木工程专业重要的技术基础课程，其教学效果直接影响到土木工程专业学生在后续专业课程中的学习质量以及今后从事专业工作和科学研究的能力。结构力学课程在土木工程专业的培养目标中占有极其重要的地位。课程的教学目标是使学生掌握结构的类型与特点，掌握结构强度、刚度、稳定性、动力特性等的计算分析方法，为专业课程的学习奠定坚实的力学基础，为培养“厚基础、宽口径、高素质”的复合型人才服务。　
二、知识模块顺序及对应的学时
土木工程专业（本科）的结构力学课程，总学时104学时，另加上机4学时。课程分结构力学基本部分、结构分析有限元部分和专题部分，用两学期完成。课程的内容、次序和学时安排如下：
1. 结构力学基本部分（共64学时）
（1）第一章
（2）第二章
平面体系的几何组成分析
（3）第三章
静定梁和刚架的受力分析
（4）第四章
静定拱的受力分析
（5）第五章
静定桁架和组合结构的受力分析
（6）第六章
静定结构的位移计算
（7）第七章
（8）第八章
正在加载中，请稍后...力学受力分析应包含哪些内容
理论力学判断拉压不是必须的，随便假设。在结构力学中都假设为拉力，因为拉力为正，这叫“设正法”。 ,麻烦设置为【好评】哦! 非常感谢了。
我已经动了 感谢回答
不行，根据理论力学，刚体平衡的条件是合外力为零且和外力矩为零，可以很容易地列举出一些合外力为零但合外力矩不为零，导致物体不平衡的情况，因此，必须考虑刚体的合外力...
把几个物体看作一个整体。。。然后这几个物体之间的相互作用力就可以不计算，受理分析时只分析其他物体对这个整体施加的力，比如一个人坐在公交车的椅子上，椅子固定在公交...
这是江西的调研题目。他的答案是3个。但是我认为应该分情况讨论吧？
我认为应该有5种情况：
A和B之间没有摩擦,否则A会运动,
B受到的合力为0,显然C对B有1N的摩擦力,从而和拉力平衡,静止
于是C已经平衡了.和地面没有摩擦力.
所以,只有BC之间有...
北京理工848理论力学教授专门真题加讲解
答: 味觉属于神经反射吗？食物引起味觉，是条件反射还是神经反射啊？
答: 找到了。可以吗
答: 该问题的关键在于：当b下滑时a由静止开始向右移动，这时b相对地面的速度就是两个分速度的合成，不再是沿弧的切向，所以弧面对b的支持力与b下滑的速度不垂直，因而每一...
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力学结构画受力图解析图什么的怎么写总结啊,
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《结构力学》常见问题解析
《结构力学》 常见问题解析天津城市建设学院 土木工程系力学教研室目录第 2 章 平面体系的几何组成分析 ????????????? 2 第 3 章 静定梁与静定刚架 ???????????????? 4 第 4 章 三铰拱与悬索结构 ???????????????? 12 第 5 章
静定桁架和组合结构 ??????????????? 15 第 6 章 结构的位移计算 ????????????????? 21 第 7 章 力法 ?????????????????????? 35 第 8 章 位移法 ????????????????????? 57 第 9 章 用渐进法计算超静定梁和刚架 ??????????? 66 第 10 章 影响线及其应用 ???????????????? 75 第 11 章 最小势能原理 ????????????????? 84 第 12 章 结构矩阵分析 ????????????????? 87 第 13 章 结构的动力计算 ???????????????? 99 第 14 章 结构的稳定计算 ???????????????? 106 第 15 章 梁和刚架的极限荷载 ?????????????? 1111第 2 章 平面体系的几何组成分析2.2 解题方法概述及例题分析 2.2.1 解题技巧1、尽量撤去可以拆除的二元体，使体系简化。 2、将体系归并成两刚片或三刚片的结合．以便对照规则 1、2 进行分析。为此，应尽量 在体系内部寻找几何不变的子体系做为一个刚片。 3、如上部体系与大地之间为三个链杆联结，则可以去掉三个支撑链秆，只分析上部体 系，所得结果即代表整个体系的性质。如与大地的联系多于三个支撑链杆，则不能去去掉任 一支撑链杆，而将大地也看作一个刚片与其他刚片一起分析。此时，如果有两根链杆形成的 固定铰支座可换成单铰， 且将由此联结的杆件作为链杆使用， 而链杆的另一端所联结的杆件 或几何不变体部分作为刚片，然后应用规则判断即可。 4、遇到虚铰在无穷远处情况时，我们利用射影几何学的“平面不同方向所有无穷远点 位于―条直线上，而一切有限近点均不在此直线上”的结论进行分析。 5、对于不能直接利用规则进行分析的体系，可先作等效变换，然后再分析。等效变换 是把和某些约束有相同作用的杆件或刚片等效变换为该约束； 把体系中某个内部无多余约束 的几何不变部分用另一个无多余约束的几何不变部分替换， 并按原情况保持与其余部分的联 系。 6、几何不变体系的基本组成规则可用于分析常见的大多数体系，对于复杂的体系，有 时需要用其他方法比如零载法，但切记，零载法只适用于自由度 W=0 的体系。2.2.2 例题详解本节将通过具体例题详细说明几何组成分析习题解题方法和步骤， 并给出一些院校研究 生入学考试试题的具体分析。 例题 2-1 试对图 2-1 所示体系进行几何组成分析。1 4 6 7 8 7 2 354 658图 2-1图 2-2图 2-3解：为了方便分析首先对结点进行编号，如图 2-2。由于与基础只有三根链杆联结，所 以可以直接分析上部体系。根据规则三，依次去掉二元体 214、235、435，如图 2-3。△768 可由规则二确定为几何不变体，在此基础依次增加二元体 746、458 组成几何不变体，而杆 56 为多余约束。因此，图 2-1 所示的体系为有一个多余约束的几何不变体系。 例题 2-2 试对图 2-4 所示体系进行几何组成分析 解：首先对结点进行编号，如图 2-5。△123 为几何不变体，增加二元体 243，组成刚 片Ⅰ；同理，△678 为几何不变体，增加二元体 657，组成刚片Ⅱ；基础作为刚片Ⅲ。刚片2Ⅰ与刚片Ⅱ是由平行杆 36 和 45 相连，虚铰在无穷远处；刚片Ⅲ与刚片Ⅰ是由铰 1 相连，刚 片Ⅲ与刚片Ⅱ是由铰 8 相连，铰 1 与铰 8 的连线与杆 36 和 45 平行，故可认为三铰共线。因 此，该体系为瞬变体系。4 5Ⅰ 236Ⅱ 718图 2-4图 2-5例题 2-3 对图 2-6 所示体系进行几何组成分析，并指出是几何可变或几何不变体系。若 几何不变体系，体系是否有多余约束。 （武汉大学 2003 年研究生入学考试试题）(a)(b)(c)图 2-6 解：首先对结点进行编号，如图 2-7。4 5 2 4 1 3 4 (a) 6 7 5 1 (b) 2 3 6 5 62Ⅲ31ⅡⅠ(c)图 2-6 首先对图 2-7（a）进行分析。由于与基础只有三根链杆联结，所以可以直接分析上部体 系。铰结△124 为几何不变体，在△124 上增加杆件 23，为多余约束；在此几何不变体上增 加二元体 245、475 组成几何不变体系，而杆件 56 是在该几何不变体系上增加的多余约束。 因此，整个体系为有两个多余约束的几何不变体系。 对于图 2-7（b） ，折杆 45、56 用对应虚线直杆 45、56 代替，设杆 12 为刚片Ⅰ，杆 23 为刚片Ⅱ，基础作为刚片Ⅲ。刚片Ⅲ与刚片Ⅰ是由支撑链杆 1 和杆件 45 相连，形成虚铰； 刚片Ⅲ与刚片Ⅱ是由支撑链杆 3 和杆件 56 相连，形成虚铰；刚片Ⅰ 与刚片Ⅱ 是由铰 2 相连， 三铰不共线。根据规则二，该体系为几何不变体系，且无多余约束。 对于图 2-7（c） ，由于与基础的约束多余三个，故基础作为刚片Ⅰ。按照前面总结方法， 联结铰 1 的杆件 14 和杆件 15 作为链杆使用， 与其相连的杆件或几何不变体为刚片， 则有杆 件 24 为刚片Ⅱ，铰结为△356 为刚片Ⅲ。刚片Ⅰ与刚片Ⅱ是由杆 14 和平行支撑杆 1 相连， 虚铰在无穷远处，刚片Ⅰ与刚片Ⅲ是由杆 15 和支撑杆 3 相连，虚铰在杆 36 的延长线上，而3刚片Ⅱ与刚片Ⅲ是由杆 45 和杆件 26 相连，虚铰在铰 6 处。此时，两虚铰的连线与杆 14 和 支撑杆 1 平行，故三铰共线，该体系为几何瞬变体系。第 3 章 静定梁与静定刚架3.2 解题方法概述及例题分析3.2.1 多跨静定梁的计算多跨静定梁的组成顺序是先基本部分，后附属部分，最终形成整个结构。而计算多跨静 定梁时，我们应该遵循的原则是：先计算附属部分，再计算基本部分，将附属部分的约束力 反其指向，就是加于基本部分上的荷载。这样把多跨静定梁拆成单跨梁计算。将各单跨梁的 内力图组合在一起就是多跨梁的内力图。下面的例题说明其计算方法。 例 3-1 试计算图 3-1 (a)所示的多跨静定梁，并且绘出其内力图。 [分析] 该梁 BE 段为一伸臂梁，可以独立地承受竖向荷载，可视为基本部分；AB 和 EG 段需依靠基本部分的支承才能承受竖向荷载并保持平衡， 所以是附属部分。 梁的层次图及隔 离体受力图分别如图 3-1（b） 、 （c）所示。 解：由附属部分 EFG 的平衡条件，可求得铰 E 处的约束力H E ? 7.07kN ， VE ? 6.47kN ，支座反力 VF ? 10.61kN 。根据铰 E 左梁段的平衡条件? X ? 0 ，可得铰 B 处的水平约束力 HB? 7.07kN 和支座 A 处的水平约束反力 H A ? 7.07kN 。 再由附属部分 AB 的平衡条件求得铰 B 处的竖向约 束力 VB ? 10kN 支座 A 处的竖向约束反力 VA ? 10kN 。铰 B、E 两处附属部分与基本部分 之间的约束力属于作用力与反作用力，其大小相等且方向相反，如图 3-1（c）所示。求得各 支座反力及铰 B、E 处的约束力后，各区段可按单跨静定梁的内力计算方法来绘制内力图。 如图 3-1（d） 、 （e） 、 （f）所示。420kN AA10kN/m B C 6m (a) 10kN/m B C (b) HB=7.07kN VB=10kN 10kN/m D20kN? m 10kN D E 2m A 2m 20kN? m 2m F 2m10kN 45?2m 20kN2m A2m10kN F10kN 45?AAEA20kN HA=7.07kNA20kN? m HE=7.07kN10kN VF=10.61kN10kNVE=6.47kN 6.47kN 7.07kNVA=10kN7.07kN10kNVC=41.18kN 20 AA45 (c)VD=35.29kN 10 2014.14 FB 20 10AC 31.18 (d)D EA6.47 B 10 A C (e) D E 28.82 7.07A7.07 FAA3.54AABAC (f)D EAF图 3 -1 例 3 -1 解 答 图(a)原结构；(b)层次图；(c)隔离体受力图；(d)M 图(kN? m)；(e)Q 图(kN)；(f) N 图(kN)3.2.2 静定平面刚架的计算静定平面刚架按照几何组成方式大致分为三种类型：1.单体刚架（包括悬臂刚架和简支 刚架） ；2.三铰刚架；3.具有基本――附属关系的刚架。静定刚架的内力计算方法原则上与静 定梁相同，通常先求出支座反力，然后逐杆按照“分段、定点、连线”的步骤绘制内力图。 在刚架的内力计算中，弯矩图通常绘在杆件的受拉侧，而不注明正负号。其剪力和轴力 的正负号的规定与梁相同，剪力图和轴力图可绘制在杆件的任一侧，但必须表明正负号。5例 3-2 试作图 3-2 (a)所示杆件的内力图。15kN 1m C 8kN/m 24kN? m E I F 15 60 16 45 24I D3mA HA=15kN VA=5kN (a) 4mB 1m VB=37kN(b) 1 5 kN C 8 kN / m 1 5 kN 4 5 kN ? m 5kN E 24kN? mA F 0 01555 3737D37kN (e)(c)(d)图 3-2例 3-2 解答图(a)原结构；(b)弯矩图(kN? m)；(c)剪力图(kN)；(d)轴力图(kN)；(e)I－I 截面以上隔离体[分析] 该刚架为简支刚架，首先以整体为隔离体，求出支座反力，进而绘出内力图。 解：1）计算支座反力 由 由 由? X ? 0 ，得 H ?M ?MAA? 15kN (?)? 0 ， VB ? 4 ? 24 ? 8 ? 4 ? 2 ? 15? 4 ? 0 ，得 VB ? 37kN (?) ? 0 ， VA ? 4 ? 24 ? 8 ? 4 ? 2 ? 15? 4 ? 0 ，得 VA ? 5kN (?)B校核：?Y ? 37 ? 5 ? 8 ? 4 ? 0 ，支座反力计算无误。2) 绘制弯矩图 选择 A、D、C、E、F、B 为控制点，计算杆端弯矩值。控制截面的弯矩值等于该截面 任意一侧（视结构受力情况而定，以受力简单便于计算为原则）所有外力对截面形心力矩的 代数和。 AD 杆： M AD ? 0 ， M AD ? 15? 3＝45kN ? m （右侧受拉） DC 杆： M DC ? 15?1 ? 15kN ? m （左侧受拉） ， M CD ? 0 EF 杆： M FE ? 24 kN ? m （上侧受拉） ， M EF ? 24 kN ? m （上侧受拉） BE 杆： M BE ? M EB ? 0 ，6DE 杆： M DE ? M DA ? M DC ? 45 ? 15 ? 60 kN ? m （下侧受拉） ，M ED ? M EF ? M EB ? 24 ? 0 ? 24 kN ? m (上侧受拉）根据以上数据作出刚架的弯矩图如图 3-2（b）所示。 3) 绘制剪力图 用截面法逐杆计算控制截面的剪力。 AD 杆： QAD ? QDA ? 15 kN ，DC 杆： QDC ? QCD ? 15 kN ， EF 杆： QEF ? QFE ? 0 ，BE 杆： QBE ? QEB ? 0 ， DE 杆： QDE ? ?5kN，QED ? ?37 kN ， 根据以上数据作出刚架的剪力图如图 3-2（c）所示。剪力图也可利用微分关系，根据弯 矩图绘制。 4) 绘制轴力图。 用截面法逐杆计算控制截面的轴力。 AD 杆： N AD ? N DA ? 5 kN ，DC 杆： N DC ? N CD ? 0 ， EF 杆： N EF ? N FE ? 0 ，BE 杆： N BE ? N EB ? ?37kN ， DE 杆： N DE ? N ED ? 0 ， 根据以上数据作出刚架的轴力图如图 3-2（d）所示。轴力图也可根据剪力图绘制。 5) 校核内力图。 截取刚架任一部分为隔离体，都应该满足静力平衡条件。例如，作Ⅰ－Ⅰ截面（图 3-2 （a） ） ，一截面上半部分结构为研究对象如图 3-2（e）所示。 由?MD? 455 ? 24 ? 15?1 ? 8 ? 4 ? 2 ? 37? 4 ? 0? X ? 15 ?15 ? 0 ， ?Y ? 37 ? 8 ? 4 ? 5 ? 0 ，隔离体的内力满足静力平衡条件。在静定刚架中， 常常也可以不求或者是少求反力而迅速绘制出弯矩图。 例如， 悬臂刚架、 结构上如果有悬臂部分以及简支梁部分（含两端铰结直杆承受横向荷载） ，则其弯矩可先绘 出；充分利用弯矩图的形状特征（最常用的是直杆无荷载区段的弯矩图为直线，有均布荷载 区段为抛物线和铰处弯矩为零） ，刚结点处的力矩平衡条件，用叠加法作弯矩图；外力与杆 轴重合，或支座反力通过杆轴时不产生弯矩；外力与杆轴平行及外力偶产生的弯矩为常数； 以及对称性的利用等等，这些都将给绘制弯矩图的工作带来极大的方便。至于剪力图，则可 以根据弯矩图，利用平衡条件求得，然后根据剪力图又可以作出轴力图。 例 3-3 试作图 3-3(a)所示刚架的弯矩图。75kN 5kN C E F 8kN/m A 8kN/m 2m (a) 8kN/m 2m B D 3m 101010 10ql2/82 2 (b) 2 16 2MP 图图 3-3 例 3?3 解答图(a) 原结构； (b)M 图(kN? m)〔分析〕该刚架为简支刚架，由于 E、F 处为悬臂端，故可不必求支座反力，即可绘出 弯矩图。从悬臂端依次求出各控制截面的弯矩值，由微分关系，作出最后的弯矩图。刚架 A 支座处的水平反力为零。根据刚架的几何尺寸、构造以及荷载的分布情况可知，刚架处于对 称的受力状态，此时刚架的 M 图也一定为正对称图形，如图 3-3(b)所示。 解：由悬臂端开始得知： （上侧受拉） M EC ? M FD ? 0 ， M CE ? M DF ? 5 ? 2 ? 10kN ? m ， 由结点平衡得知： （外侧受拉） M CA ? M DB ? 10kN ? m ，M AC ? M BD ?由结点平衡得知：1 1 ? 3 ? 8 ? ? 3 ? 5 ? 2 ? 2 kN ? m ， （内侧受拉） 2 3（内侧受拉） M AB ? M BA ? 2 kN ? m ， 受有分布荷载的杆件，可由叠加原理作出其最终 M 图。 例 3-4 试作图 3-4（a）所示杆件的弯矩图。10kN/m D 40kN C 2m E 40kN D H C = 2 . 5 kN C VC=15kN 30 D 40 5 2m H A = 2 . 5 kN A V A = 5 5 kN (b) C 5 30 10 E 10A 1m 2m (a) 2mBAB(c)图 3-4 例 3-4 解答图(a)原结构；(b)C 铰左侧隔离体受力图；(c)M 图(kN? m) 8[分析]该刚架为三铰刚架，共有 4 个支座反力，除了利用整体为隔离体的 3 个平衡条件 外，还得利用 C 铰处弯矩为零的条件，才能将所有的支座反力求出来。然后绘出其弯矩图。 解：以整体为隔离体，由 由 由?MA? 0 ，得 VB ? 5kN ( ? )?MB? 0 ，得 VA ? 55kN ( ? )A? X ? 0 ，得 H? HB再取 C 铰以左为隔离体（图 3-4(b)） ，由 则 H B ? 2.5kN ( ? )?MC? 0 ，得 H A ? 2.5kN ( ? )由上述支座反力，即可作出最后的 M 图（图 3-4(c)） 。 例 3-5 试作图 3-5（a）所示刚架的弯矩图。40kN? m C 4m 10kN/m A 4m B 2m (a) 40kN? m C HA=0 10kN/m A VA=5kN B VB=45kN (b) D MD=140kN? m F VF=60kN HD=0 10kN/m D 40kN G D F 2m 4m 10kN/m E D D 40kN 20 G D A 100 B (c) 100 D 160 F 160 G D 5 140 160 E D 160图 3-5 例 3-5 解答图(a)原结构；(b)基本部分与附属部分受力图；(c)M 图(kN? m)[分析] 该刚架由基本部分 ABCD 和附属部分 DEFG 组合而成。首先将 D 处拆开，先求 附属部分的支座反力及 D 处的约束力，然后将 D 处的约束力反向加在基本部分上，再求其 支座反力，如图 3-5(b)所示。进而作出弯矩图如图 3-5(c)所示。 解：以附属部分 DEFG 为隔离体， 由? X ? 0 ，得 HD?09由 由?Y ? 0 ，得 V ?MDF? 40 ? 10? 2 ? 60kN ( ? )， ? 0 ，得 M D ? 40? 6 ? 60? 2 ? 10? 2 ?1 ? 140kN ? m （上侧受拉）将 H D ? 0 ， M D ? 140kN ? m 反其指向加在基本部分上，再以基本部分为隔离体， 由 由 由? X ? 0 ，得 H ?M ?MAA?0? 0 ，得 VB ? (140? 40? 2 ? 10? 4 ? 2) / 4 ? 45kN ( ? ) ? 0 ，得 VA ? (140? 40 ? 10? 4 ? 2) / 4 ? 5kN ( ? )B校核，以整体为隔离体，由?Y ? 5＋10? 4＋10? 2＋40－45－60 ? 0得知支座反力计算无误。 有了上支座反力及约束力， 即可作最后的弯矩图如图 3-5 （c） 所示。 例 3-6 试作图 3-6（a）所示刚架的弯矩图。 [分析] 该刚架以整体为隔离体，有四个支座反力，而在竖向荷载作用下 B 支座处的水 平反力为零，但三个支座的竖向反力无法由余下的两个独立的整体平衡方程解得。为此，先 分析刚架的几何组成。刚片 DGB 和 FHB 分布由两铰对外联结，故可以视作链杆。将基础及 杆 ADE、EFC 分布视作刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，课件三刚片之间由不在一直线上的三个铰两两相 连，体系几何不变，且无多余约束。 解：方法（1） ：由以上分析看出其求解过程与三铰刚架相同，即可以将其中的一个铰拆 开，如将 E 铰拆开，代之以成对的未知约束力 HE 和 VE，然后分别截取刚片 ADE 和 EFC 为 隔离体，如图 3-6(b)所示。分别列出对另两个铰的力矩平衡方程，例如对于 ADE 杆，以 A 支座的竖向反力 VA 的延长线和 DB 段的作用力 NDB 的延长线的交点 a 为矩心，列出力矩平 衡方程。?Ma? 0 VE ? 4 ? H E ? 2 ? 0同理对于 EFC 杆，以 B 支座的竖向反力 VB 的延长线和 FB 段的作用力 NFB 的延长线的 交点 b 为矩心，列出力矩平衡方程。?M联立以上两式可得b? 0 VE ? 4 ? H E ? 2 ? 10? 4 ? 2 ? 0VE ? 10kN; H E ? 20kN由此可求得各支座反力，进而绘出其弯矩图如图 3-6（c）所示。10方法 2：利用对称性求解。将荷载分解为正对称荷载和反对称荷载如图 3-6(d)、 （e）所 示。在正对称荷载作用下 E 铰处的剪力为零，故可知 A 支座和 C 支座的反力为零，而 B 支 座的竖向反力 VB= 40kN（↑） ，则弯矩图如图 3-6(f)所示；在反对称荷载作用下，B 支座的 竖向反力为零，而 VA= 10kN （↓） ，VC= 10kN （↑） ，则弯矩图如图 3-6(g)所示。最后将 两图叠加，就是刚架的最后弯矩图如图 3-6(c)所示。a A D E B G 2m 2m 2m (a) 20 A D G 40 40 (c) M 图(kN? m) 10kN/m A 2m D G 2m 2m 2m (e) 10 A F D G E B H 10 40 C E B F H 2m C A 10 D G 40 E B F H 40 40 C E B 5 F H 5 40 A D G 2m 2m 2m (d) 10 C 10kN/m 2m F H 2m C A VA 2m D NDB 2m (b) 10kN/m 2m E B F H 2m C E HE VE E B 2m 2m 10kN/m 2m VC F C b40 40 (f) 正对称荷载作用下 M 图(kN? m)(g) 反对称荷载作用下 M 图(kN? m)图 3-6 例 3-6 解答图(a) 原结构； (b)隔离体受力图； (c)弯矩图(kN? m)； (d)正对称荷载示意图； (e)反对称荷载示意图；(f)正对称荷载作用下的弯矩图(kN? m)；(g)反对称 荷载作用下的弯矩图(kN? m)11第 4 章 三铰拱与悬索结构4.2 解题方法概述及例题分析 4.2.1 解题技巧一、三铰拱的在竖向荷载作用下的反力计算 拱趾在同一水平线上的拱称为平拱。 它的竖向反力与相应简支梁中的竖向反力相等， 它 的水平推力 H ? H A ? H B ?0 MC 。 f拱趾不在同一水平线上的拱称为斜拱。它的竖向反力和水平推力必须利用整体平衡方 程与部分平衡方程联立求解。 二、内力计算 对于内力来说，还要确定拱轴线之后才能计算。一般来说，三铰拱的轴线都是曲线，内 力的计算比较麻烦。计算三铰拱中任意截面 K 的内力，可取截面 K 左做半部分或右半部分 为隔离体，由隔离体平衡计算截面的内力。4.2.2 例题分析例题 4-1 求图 4-3(a)所示三铰拱 D 截面的 QD、MD。设拱的轴线为割圆，矢高 f=3m， 跨度 l=12m。 [分析] 本题首先由三铰拱反力计算公式直接计算反力，然后利用圆的方程建立拱轴方 程，确定 D 点坐标及该点切线夹角，再由公式计算该截面内力。 解：1、求支座反力 由公式可得V A ? V ? 30kN, VB ? V ? 10kN,0 A 0 B0 MC H? ? 20kN fy2、建立拱的轴线方程 P C D 3m 由 圆 的 方 程 ： R ? ( R ? 3) ? 62 2 2HA 3m VA P Ax 3m （a） C 3m可得圆的半径： R=7.5m 拱的轴线方程可由圆的方程B 3mH VB( x ? 6) 2 ? ( y ? 4.5) 2 ? 7.52D B0 VB0 HA =0得到：x 2 ? y 2 ? 12x ? 9 y ? 03、求 D 截面内力 （1）确定 D 点的坐标：由拱的方程 可得 yD=2.37m。0 VA（b） 图 4-3 例题 4-1（a）拱结构 （b）对应简支梁 12（2）确定截面处拱轴切线与 x 轴的夹角 φD 。 ：tan? D ?dy 12 ? 2 x 12 ? 2 ? 9 ? ? ? ?0.4637 dx 2 y ? 9 2 ? 2.37 ? 9则 ? D ? 23? 35?, sin ? D ? ?0.4002 , cos? D ? 0.9164 （3）D 截面内力：由公式可得0 MD ? MD ? HyD ? 10? 3 ? 20? 2.37 ? ?17.4kN ? m 0 QD ? QD cos? D ? H sin ? D ? ?10? 0.9164? 20? (?0.4002 ) ? ?1.16kN 0 N D ? QD sin ? D ? H cos? D ? ?10? (?0.4002 ) ? 20? 0.kN例题 4-2 求图 4-4(a)所示三铰拱 K 截面的 MK。 [分析] 本题由三铰拱反力计算公式计算反力后，直接由公式计算该截面内力。 解：1、求支座反力：由公式可得V A ? V ? ql,0 A0 MC VB ? V ? ql, H ? ? ql f 0 B2、求 K 截面的 MK：由公式可得l 1 ?l? 3l M K ? M ? HyK ? ql ? ? q? ? ? ql ? ? 0 2 2 ?2? 80 K2q K H A l/2 VA l/2 l/2 Cql 3l/8 l/8 B l/2 H VB K B 5m H VB图 4-4 例题 4-2 例题 4-3 计算图 4-4 所示斜拱的支座反力，并讨论内力计算问题。 10kN C A VA 5m 5m 5m f=5m134kN/mH 5m图 4-3 例题 4-3 [ 分析 ] 本题由于两个支座不在同一水平线上，采用联立方程求解。由整体平衡方程?MA? 0 或 ? M B ? 0 及 MC=0 建立计算拱反力联立方程，计算该方程组即可得躲拱地反力。 解：1、支座反力计算 取整体平衡方程?MB? 0 和 MC=0，即V A ? 20 ? H ? 5 ? 10 ? 15 ? 4 ? 5 ? 7.5 ? 0 V A ? 10 ? H ? 2.5 ? 10 ? 5 ? 0解出 VA ? 10kN, H ? 20kN。?Fy? 0 ，即VA ? VB ? 10 ? 4 ? 5 ? 0得VB ? 20kN 。2、内力计算的讨论 前面的内力计算公式是对两拱趾位于同一水平线上推导出来的。因此不适于本例两拱 趾不在同一水平线上的斜拱。对于本例，当把支座反力算出后，选取适当的隔离体，运用平 衡条件不难求出各截面的内力。14第 5 章 静定桁架和组合结构5.2 解题方法概述及例题分析 5.2.1 零杆的判断计算桁架时，若能预先判断出桁架中的零杆，就可以极大地简化桁架的计算工作。 例题 5-1 试用结点法求图示桁架各杆轴力。20kN 20kN C D 3m F A 4m 4m α NCB C α NCD NBA B α β NBF 2m 20kN 20kN NCBBE（a）NCD α β NDF D NDE -45（b）-22.4 0 25 N(kN) 0 25 -25 -22.4（c）（d） 图 5-5 例题 5-1 图（e）（a）原结构受力图； （b）C 结点受力图； （c）B 结点受力图； （d）D 结点受力图； （e）各杆轴力图[分析] 分析图 5-5(a)，将铰结三角形 CDE 视为一个刚片、杆 BF 视为一个刚片、基础 也视为一个刚片，根据三刚片规则，原体系为无多余约束的几何不变体系。由于各结点未知 力均不少于 3 个，故直接采用结点法，不能求解全部内力；而以整体为研究对象求支座反力 也有困难。此时，应先判断零杆。因只有竖向荷载，故支座 A 处水平反力为零。进而，由 结点 A 和结点 E 可以判断杆 AC 和杆 EC 的轴力均为零。 解： （1）判断零杆： N AC ? 0 ， N EC ? 0 （2）以结点 C 为研究对象，参阅图 5-5（a） ：?X ? 0NCD c o ? s ? NCB c o ? s ?015?Y ? 0式中? NCB sin ? ? N CD sin ? ? 20 ? 02 5，cos? ?sin ??1 5由此解出NCB ? NCD ? ?10 5 ? ?22.4kN （压）（3）以结点 B 为研究对象，参阅图 5-5（a） ：?X ? 0 ?Y ? 0式中 由此解出NCB cos? ? NBF cos? ? 0 NCB sin ? ? NBF sin ? ? NBA ? 20 ? 0cos ? ? 4 ， 5 sin ?? 3 5， N BF ? 25kN （拉）N BA ? ?45kN （压）（4）以结点 D 为研究对象，参阅图 5-5（a） ：?X ? 0 ?Y ? 0由此解出 各杆轴力值如图 5-5（b）所示。? NCD cos? ? NDF cos? ? 0 NCD sin ? ? NDF sin ? ? N DE ? 0N DE ? ?25kN （压）， N DF ? 25kN （拉）5.2.2 适当选择结点和截面对平面桁架而言，结点法的实质是平面汇交力系的应用。由于每个结点只能列出两个 独立的平衡方程式， 所以截取结点为隔离体列平衡方程时， 一般情况下隔离体上的未知力不 能多于两个。同理，对平面桁架而言，结面法的实质是平面任意力系的应用。由于针对每个 隔离体只能列出三个独立的平衡方程式， 所以采用截面法求解桁架轴力时， 一般情况下隔离 体上的未知力不能多于三个。 求解桁架前，应对桁架进行几何构造分析，弄清结构各部分之间的组成关系，这对如 何适当选择结点和截面具有重要的意义。 由基础或基本铰结三角形开始依次增加二元体而形成的简单桁架，一般可用结点法求 解。由两个简单桁架构成的联合桁架，可以取作截面截断联结两桁架的三根链杆，而后用截 面法求解。总之，根据桁架构造特点，适当选择结点和截面，通过结点法和截面法的联合使 用，可使复杂的问题简单化。 例题 5-2 试求图示桁架杆 DE 之轴力。 [分析] 分析图 5-6(a)所示桁架，由于除支座结点外，其余各结点未知力均不少于 3 个， 故采用结点法，不能求解全部内力。此时可对桁架进行几何构造分析，弄清结构各部分之间 的组成关系，为求解内力提供方便。将铰结部分 ABDG 视为一个刚片、铰结部分 CEFH 视 为另一个刚片。这两个扩大了的刚片用链杆 BC、DE、GH 相联结，根据两刚片规则，它们 组成无多余约束的几何不变体系。 而该几何不变体系简支在基础上， 故原体系为无多余约束 的几何不变体系。基于以上分析，计算时可作一截面将链杆 BC、DE、GH 截断，使桁架分16为两部分， 考虑其中一部分的平衡便可求出这三根链杆的轴力， 进而可方便地求出其余各杆 轴力。 解：由于作用在桁架上的荷载为一组平衡力系，故支座反力均为零。作截面截断链杆 BC、DE、GH，将桁架分为两部分。以铰结部分 CEFH 为研究对象列平衡方程，参阅图 5-6 （b） 。?Mo? 0：N DE cos45? ? 2 ? 10? 4 ? N DE sin 45? ? 8 ? 0? N DE ? ?4 2kN (压)10kN C D 10kN 2m 10kN NCB C NDE 45°B A G 2m 2m H 2mE 2mEFONGH 8mHFVF=0（a） 图 5-6 例题 5-2 图（b）（a）原结构受力图； （b）隔离体 CEFH 受力图5.2.3 对称性的利用利用对称性简化桁架的计算可收到事半功倍的效果。当桁架为对称结构时，可将荷载 分解为对称和反对称两组，分别计算桁架在这两组荷载作用下内力，然后将它们迭加，便可 得到桁架在原荷载作用下的内力。对称结构在对称荷载作用下，其内力是对称的；对称结构 在反对称荷载作用下，其内力是反对称的时，利用这一特点，可直接判断出默写某些杆件的 内力，使计算简化。 例题 5-3 试求图 5-7（a）所示桁架杆 AI 和杆 EF 之轴力。 [分析] 图 5-3（a）所示桁架为对称结构，现将作用在 D 结点的任意荷载分解成对称和 反对称两组，分别作用在桁架上。图 5-7（b）所示为对称结构承受对称荷载情况，图 5-7（c） 所示为对称结构承受反对称荷载情况。 分别计算桁架在上述两组荷载作用下内力， 然后将它 们迭加可方便地求出杆 AI 和杆 EF 之轴力。 解： （1）考虑对称荷载作用情况（图 5-7（b） ） 。以整体为研究对象，利用平衡条件求 出支座反力。H A ? 0kN ， VA ? 10kN ? ， VH ? 10kN ?????分析结点 I 的平衡条件。结点 I 在对称轴上，由于内力为对称，H 点两斜杆的内力必定 相等；而若此两杆的内力相等但不为零，则必不满足? y ? 0 的平衡条件。所以要同时满足内力相等且沿 y 轴投影等于零两条件，两斜杆的内力必定为零。进一步依次分析结点 B、? ? 0。 结点 G、结点 C、结点 F，可确定其它内力为零的杆件，如图 5-7（b）所示。其中 N EF作截面 1-1，研究其左半部，受力图如图 5-7（d）所示。17?M24kN C D EC? 0：N AI ? 6 ? 12 ? 3 ? 0?N? AI ? 6kN （拉）12kN F 4m C 0 0 B 0 0kN A 13m1 D12kN E 0 F 0 0 0 G 0 H 12kN0B A3mG I1.5m 1.5mH2m0 I12kN（a）12kN C D 0 C B A 0kN 4kN I G F H C 4kN 0kN 0 0 B 0 A 12kN 0 0 12kN E F C 12kN 0 D（b）? N DE12kN?? NCDDα?? ? 0 N DEN? AI? N? AD（c）（d） kN 图 5-7 例题 5-3 图10 （d）对称荷载作用下 1-1 截面以左部分受力图（e）（a）原结构受力图； （b）对称结构承受对称荷载； （c）对称结构承受反对称荷载； F（2）考虑反对称荷载作用情况（图 5-7（c） ） 。以整体为研究对象，利用平衡条件求出 C 支座反力。F ， V ? 4kN ? ， V ? 4kN ? H A ? 0kN A H????杆 DE 处于对称轴上位置上。由于对称结构在反对称荷载作用下，其内力是反对称的， C?? ? 0 。 所以杆 DE 的内力只能为零才能满足内力为反对称的条件，即 N DE以结点 D 为研究对象，参阅图 5-7（e） 。sin ? ?2 5, cos? ?1 5。?Y ? 0 ： ?X ? 0 ：18? ? 12 ? N ? AD sin ? ? 0? ?N? AD ? ?6 5kN （压）?? ? N ? ? ? N CD AD cos? ? 0?? ? ?6kN （压） ?? ? 6kN （拉） ，? N EF ? N CD考虑结点 A 的平衡条件，参阅图 5-7（c） 。?X ? 0 ：（3）将对称和反对称两种情况叠加? ?? N? AI ? N AD cos? ? 0? ?N? AI ? 6kN （拉） ?? N AI ? N ? AI ? N AI ? 6 ? 6 ? 12kN （拉） ? ? N EF ?? ? 0 ? 6 ? ?6kN （拉） N EF ? N EF5.2.4 把空间桁架分解成平面桁架计算计算空间桁架时，常采用结点法、截面法、或将二者联合应用。结点法的实质是空间 汇交力系的应用。 由于针对每个结点只能列出三个独立的平衡方程式， 所以截取结点为隔离 体列平衡方程时，一般情况下隔离体上的未知力不能多于三个。同理，采用截面法计算空间 桁架的实质是空间任意力系的应用。由于针对每个隔离体只能列出六个独立的平衡方程式， 所以采用截面法求解桁架轴力时， 一般情况下隔离体上的未知力不能多于六个。 无论采用截 面法，还是将结点法和截面法联合应用，都应注意选取恰当的坐标轴，尽量避免求解多元联 立方程式。 当空间桁架是由几个平面桁架组成时，可将该空间桁架分解成平面桁架分别计算，这 样做可使计算工作量获得极大的简化。 将空间桁架分解成平面桁架时， 必须将作用在桁架上 的荷载也沿平面桁架的方向进行分解。 分解到平面桁架内的荷载分量， 单独由此平面桁架承 担，其它各杆内力与此荷载无关。 例题 5-4 空间桁架如图 5-8（a）所示。已知 ABCD 为正方形。边长为 l。在结点 E、G 上并沿 EG 连线方向作用力 P。EG 垂直于平面 ABCD，并与此平面交于 F 点，EF=FG=l， 过 F 点作 CD 线的垂线，垂足 I 恰好评分 CD 线，且 FI=l/4。求杆 EA、杆 EB、杆 EC 和杆 ED 的内力。zP?E βPP ??Kz? z? P ?? P ?? P? Pγ E E EB H A xα F I DC yJβP? α?γx?DICx?AHBG（a ）（b）（c） 图 5-8 例题 5-4 图（d）（a）原结构受力图； （b）P 在结点 E 的分解图； （c）桁架 EDC 受力图； （c）桁架 EAB 受力图 19[分析] 本题属于空间桁架计算问题。 根据桁架的受力特点， 将荷载 P 分解为沿平面 CDE 方向分力 P ? 和沿平面 ABE 方向的分力 P ?? 。 P ? 与杆 CE、杆 DE 位于同一平面内，杆 CE、 杆 DE 仅承受 P ? 的作用； P ?? 与杆 AE、杆 BE 位于另一平面内，杆 AE、杆 BE 仅承受 P ?? 的 作用。这样便将空间桁架分解为两个平面桁架的计算。 解： （1）参阅图 5-8（a） ，在结点 E 将荷载 P 沿平面 CDE 方向和沿平面 ABE 方向分解。1 ? ， ? ? 14.03 ， sin ? ? 0.243 ， cos ? ? 0.970 4 3 3 4 设∠FEH=β,则 tan ? ? ， ? ? 36.87? ， sin ? ? ? 0.6 ， cos ? ? ? 0.8 4 5 5设∠FEI=α ,则 tan ? ? （2）将力 P 在结点 E 分解，如图 5-4（b）所示。根据正弦定理p? ?sin ? sin ? P ? 0.773P ， p ?? ? P ? 0.312P sin ?180 ? ? ? ? ? sin ?180 ? ? ? ? ?0.5l ?l? l2 ? ? ? ?4?2（3）桁架 CDE 在荷载 P ? 作用下的计算（图 5-8（c） ）t an? ?? 0.485， ? ? 25.87? ， cos? ? 0.900考虑结点 E 的平衡（未知力设为拉力，结点受力图略）?X? ? 0： ? Z ? ? 0 ： 2N? N ED ? N EC ?ECN EC ? N EDcos? ? P?p? 0.773P ? ? 0.43P （拉） 2 cos? 2 ? 0.9000（4）桁架 ABE 在荷载 P ?? 作用下的计算（图 5-8（d） ）t an? ?0.5l ? 3l ? l2 ? ? ? ?4?2? 0.400 ， ? ? 21.80? ， cos? ? 0.928考虑结点 E 的平衡（未知力设为拉力，结点受力图略）?X? ? 0： ? Z ? ? 0 ： 2N? N EA ? N EB ?EAN EA ? N EB cos? ? P??P?? 0.312P ? ? 0.168P （拉） 2 cos? 2 ? 0.92820第 6 章 结构的位移计算6.2 解题方法概述及例题分析6.2.1 位移计算公式的应用建立在虚功原理基础上的位移计算公式（6-2）是一般公式，它可以用于计算静定结构 或超静定结构在荷载、温度变化、支座沉降等因素作用下而产生的线位移、角位移、相对位 移等，解题的第一步就是建立单位荷载的虚拟力状态，下面举例说明。 例题6-1 欲求如图6-1所示结构所指出的各位移，则各相应的虚力状态应如何建立？ （a）(1)A点的竖向线位移；(2)截面A的角位移；(3)A、B两点的相对线位移； （b）(2)C点的竖向线位移；(2)CD杆的角位移；(3)CA、CB两杆间的相对角位移。 ABDEA(a)C(b)B图 6-1 例题 6-1 图 〔分析〕求位移时，虚力状态中的单位荷载应与所求位移相对应，即求某点的线位移时， 应在该点沿所求位移的方向加单位集中力；求角位移时，应加单位集中力偶；求相对线位移 时，应加一对反向的单位集中力；求相对角位移时，应加一对反向的单位集中力偶。单位力 及单位力偶的方向可任意假设。 求得的结果若为正值， 表明位移的方向与单位荷载的方向一 致，求得的结果若为负值，表明位移的方向与单位荷载的方向相反。 解：以上两题的解答如图6-2所示。P=1 (a) B A B M=1 A B P=1 P=1 A(1) 求 A 点的竖向线位移 (b) D(2) 求截面 A 的角位移 P=1 D E(3) 求 A、B 两点的相对线位移ED P=1E P=1 C BAB C P=1A C P=1 (2)求 CD 杆的角位移BA(1)求 C 点的竖向线位移(3)求 CA、CB 两杆的相对角位移图 6-2 例 6-1 的解答图216.2.2 由荷载引起的结构位移的计算计算结构位移可按以下步骤进行。 1) 根据所求位移的情况，施加单位荷载，即假设单位力虚拟状态； 2) 对各杆件建立适当的坐标系，列出各杆件在荷载作用下以及单位荷载作用下的弯矩 方程；对轴力杆件求出其两种情况下的轴力； 3) 代入位移计算公式，积分计算。若结果为正，表明位移方向同单位荷载的方向，若 为负，则相反。 例题6-2 求如图6-3（a）所示梁B点的竖向位移ΔBV及铰B两侧截面的相对转角φB。EI = 常数。M=ql2/8 A l/2 (a) M=ql /8 A VA=2M/l B2qC B lA l/2P=1 B l (b)CAM=1 l/2 BM=1 l (c)CHB=0 VB=2M/l q CA VA=0HB=0)) M=1A VA=2/l M=1 HB=0xxBVB=0 P=1 CxVB=2/l BCx(d)x (e) ) 解答图 图 6-3 例 6-2x(f))(a)原结构；(b)求 ΔBV 虚拟状态；(c)求 φB 虚拟状态；(d)荷载引起的支座反力； (e) 求 ΔBV 虚拟状态的支座反力；(f) 求 φB 虚拟状态的支座反力〔分析〕该梁为一多跨静定梁，AB为附属部分，BC为基本部分。 解：（1）求B点的竖向位移ΔBV。 在 B 点处作用单位力 P =1 作为虚拟状态（图 6-3(b)），AB 段以 A 点作为坐标原点， BC 段以 B 点作为坐标原点， 分别写出各梁段在实际荷载和单位荷载作用下的弯矩方程(以下 侧受拉为正)。 作出梁在实际荷载及单位荷载作用下的受力图，分别如图 6-3（d） 、 （e）所示。则 AB 段 BC段MP ? M(2x ? 1) ； M K ? 0 l 2M 1 MP ? x ? qx 2 ； M K ? ? x l 2l lM M MKMP MKMP K P 2 d s ? ? ? EI ?0 EI dx ? ?0 EI dx由公式（6-4）得： ? BV ?1 l 2M 1 ( x ? qx2 )(? x)dx ? EI 0 l 2 2 1 2 Ml 1 4 ql 4 ? (? ? ql ) ? (?) EI 3 8 24EI ? 0?（2）求铰B两侧截面的相对转角。 在 B 处作用一对单位力偶 M =1 作为虚拟状态（图 6-3(c)），其受力如图 6-3(f)所示。 AB 段仍以 A 点作为坐标原点，BC 段仍以 B 点作为坐标原点，分别写出各梁段在实际22荷载和单位荷载作用下的弯矩方程。 AB 段 BC段2x 2x ? 1) ； M K ? － l l 2M 1 2x MP ? x ? qx 2 ； M K ? ?(1 ? ) l 2 l MP ? M(l lM M MKMP MKMP K P 2 d s ? ? ? EI ?0 EI dx ? ?0 EI dx由公式（6-4）得： ? B ?1 2 2M 2x 1 l 2M 1 2x ( x ? M )(? )dx ? ( x ? qx2 )(?1 ? )dx ? ? 0 0 EI l l EI l 2 l 3 3 Ml ql 13ql ? ? ? 12EI 8EI 96EI ?方向与单位力偶的方向一致。 例题6-3 求如图6-4（a）所示刚架B截面的转角φB及A、B两点间的相对线位移ΔAB。EI = 常数。 qC ql EI A 2l (a) q C ql A HA=ql B VB=5ql/4 D C M=1 B VB=1/2l A (b) D C D l/2 2EI EI B C 2EI EI A M=1 (c) D EI B A D C 2EI EI P=1 EI P=1 B Dll/2AHA=0 VA=1/2l (e)P=1 VA=0 (f)P=1 B VB=0VA=3ql/4 (d)图 6-4 例 6-3 解答图(a)原结构；(b)求 φB 虚拟状态；(c)求 ΔAB 虚拟状态；(d)荷载引起的支座反力； (e) 求 φB 虚拟状态的支座反力；(f) 求 ΔAB 虚拟状态的支座反力解：（1）求B截面的转角φB。 在 B 处作用单位力偶 M =1 作为虚拟状态（图 6-4(b)），实际荷载及单位荷载作用下其 支座反力分别如图（d） 、 （e）所示。AC 段以 A 点作为坐标原点，CD 段以 C 点作为坐标原 点， BD 段以 B 点作为坐标原点， 各梁段在实际荷载和单位荷载作用下的弯矩方程如下(刚架 弯矩以内侧受拉为正)。 AC 段l ql 2 M P1 ? qlx (0 ? x ? ) ; M P 2 ? 2 2MP ?l ( ? x ? l) ; ； M K ? 0 2CD段 BD段1 2 3ql 1 1 ql ? x ? qx 2 ； M K ? x 2 4 2 2lMP ? 0 ； MK ?123由公式（6-4）得： ? B ???lM M 2l M M lM M MKMP K P K P K P ds ? ? dx ? ? dx ? ? dx 0 0 0 EI EI 2 EI EI1 2l 1 2 3ql 1 1 ( ql ? x ? qx2 )( x)dx ? 0 ? 0 2 EI 2 4 2 2l 3 3 1 ql ql ? ( )? 2 EI 2 4 EI ? 0?方向与单位力偶的方向一致。 （2）求A、B两点间的相对线位移。 在 A、B 处作用一对单位力 P =1 作为虚拟状态（图 6-4(c)），其受力如图 6-4(f)所示。 AC 段仍以 A 点作为坐标原点，CD 段仍以 C 点作为坐标原点，BD 段仍以 B 点作为坐 标原点，分别写出各梁段在实际荷载和单位荷载作用下的弯矩方程。 AC 段 CD段 BD段l ql 2 l M P1 ? qlx (0 ? x ? ) ; M P 2 ? ( ? x ? l) ; ； M K ? x 2 2 2 1 3ql 1 M P ? ql 2 ? x ? qx 2 ； M K ? 1 2 4 2 MP ? 0 ； MK ? x由公式（6-4）得：? AB ? ? ?lM M 2l M M lM M MKMP K P K P K P ds ? ? dx ? ? dx ? ? dx 0 0 0 EI EI 2 EI EI l 1 2 1 l ql 2 1 2l 1 2 3ql 1 ? qlx ? x d x ? ? x d x ? ( ql ? x ? qx2 ) ? ldx ? 0 l ? ? ? 0 0 EI EI 2 2 2 EI 2 4 21 ql 4 3ql 4 1 3 4 4 4 13ql 4 4 ? ( ? )? (ql ? ql ? ql ) ? (??) EI 24 16 2 EI 2 3 16EI?例题6-4 求如图6-5（a）所示组合结构杆件GH的角位移φGH及铰C两侧截面的相对角位 移φC。EI = 常数。2kN/m EI EI 4m B 4m (a) 2kN/m HC=2kN D H =2kN VC=0 H D H VC=4kN VD=0 VD=8kN C C NGH= 2 /8 NGH=4 2 kN G A B HA=2kN (d) G P= 2 /8 A HA=1/8 (e) B HC=1/8 P= 2 /8 D HD=1/8 VC=1/4 HC=1/4 C 1 1 H VD=0 D HD=0 4m P= 2 /8 D 4m C G A (b) H P= 2 /8 B D C M=1 M=1 G A (c) B H D C EA G EI A HNGH= 2 /4 G A B HA=0 ( f)图 6-5 例题 6-4 解答图(a)原刚架；(b)求 φGH 虚拟状态；(c)求 φC 虚拟状态;(d)荷载作用下受力分析； 24 (e) 求 φGH 虚拟状态受力分析；(f) 求 φC 虚拟状态受力分析。〔分析〕该结构为具有基本部分和附属部分的组合结构，其中BD为基本部分，AGCHD 为附属部分，GH为轴力杆件，其余为梁式杆件。梁式杆既承受弯矩，也承受剪力和轴力； 链杆只承受轴力。在计算位移时，对梁式杆通常可略去剪力和轴力的影响，对链杆只考虑轴 力的影响。 解：（1）求GH的角位移φGH。 求轴力杆件的角位移，虚拟状态应在杆件两端加力偶等于 1 的一对力。即在 GH 杆两端 处作用一对力 P= 2 /8 作为虚拟状态（图 6-5(b)），实际荷载及单位荷载作用下各部分受力 分别如图 6-5（d） 、 （e）所示。 实际荷载作用下，先分析 ACD 部分， 由?MD? 0, H A ? 8 ? 2 ? 4 ? 2 ? 0 ， 得 H A ? 2kN (?)取 AC 段，由?MC? 0, H A ? 8 ? N GH ? 4 ?2 ? 0 ， 得 NGH ? 4 2kN 2再由各段的平衡，求出 C、D 处约束力如图 6-5（d）所示。同理可求出虚拟状态下各约 束力及杆 GH 轴力，如图 6-5（e）所示。 AC 段以 A 点作为坐标原点，CD 段以 C 点作为坐标原点，BD 段以 D 点作为坐标原点， 各梁段在实际荷载和单位荷载作用下的弯矩方程如下(刚架弯矩以内侧受拉为正)。 AC 段M P1 ? 2 x (0 ? x ? 4) ; M P 2 ? －2 x ? 16 (4 ? x ? 8) ;1 1 x (0 ? x ? 4); M K 2 ? ? x ? 1 (4 ? x ? 8) 8 8M K1 ?CD 段 BD段M P1 ? 4x (0 ? x ? 4) ; M P 2 ? －x 2 ? 8x (4 ? x ? 8) ; M K ? 01 M P ? ?2 x ； M K ? ? x 8由公式（6-4）得：? GH ? ? ??MKMP N N MKMP MKMP MKMP ds ? ? P K li ? ? dx ? ? dx ? ? dx ? AC CD BD EI EA EI EI EI4 2? EA2 8 ?4 21 4 x 1 8 1 1 8 1 4 2 2 x ? dx ? (?2 x ? 16)(? x ? 1)dx ? 0 ? (?2 x) ? (? x)dx ? ? ? ? EI 0 8 EI 4 8 EI 0 8 EA 160 4 2 ? ? 3EI EA方向与所加荷载方向一致。 （2）求铰C两侧截面的相对角位移。 在铰 C 处作用一对力偶 M=1 作为虚拟状态（图 6-5(c)），按上述相同的方法可求出各 约束力及杆 GH 轴力，如图 6-5（f）所示。 AC 段仍以 A 点为坐标原点，CD 段仍以 C 点作为坐标原点，BD 段仍以 D 点作为坐标 原点，各梁段在实际荷载和单位荷载作用下的弯矩方程如下(刚架弯矩以内侧受拉为正)。 AC 段M P1 ? 2 x (0 ? x ? 4) ; M P 2 ? －2 x ? 16 (4 ? x ? 8) ;251 M K 1 ? 0 (0 ? x ? 4); M K 2 ? ? ( x ? 4) (4 ? x ? 8) 4CD 段M P1 ? 4x (0 ? x ? 4) ; M P 2 ? －x 2 ? 8x (4 ? x ? 8) ;M K 1 ? ?1 ?BD段1 x (0 ? x ? 4); M K 2 ? 0 (4 ? x ? 8) 4M P ? ?2 x ； M K ? 0由公式（6-4）得： ? C ? ? ?MKMP N N ds ? ? P K l i EI EAMKMP MKMP MKMP ?? dx ? ? dx ? ? dx ? AC CD BD EI EI EI4 2? EA2 4 ?4 21 8 1 1 4 1 8 2 ( ? 2 x ? 16 )( ? x ? 1 ) d x ? 4 x ? (?1 ? x)dx ? 0 ? 0 ? ? ? 4 0 EI 4 EI 4 EA 48 8 2 ?? ? 3EI EA ? 0?6.2.3 图乘法求位移计算荷载作用下梁和刚架的位移时， 当各杆件满足下述条件， 可用图乘法代替上述的积 分运算。①杆的轴线为直线；②沿杆长EI为常数；③ M K 和MP两个弯矩图中至少有一个是 直线图形。 用图乘法求位移时，按下列步骤进行。 ① 首先画出荷载作用下梁或刚架的弯矩图MP图； ② 根据所求位移的情况，施加单位荷载，并作出单位荷载作用下的弯矩图 M K 图； ③ 将两个弯矩图进行图乘。若结果为正，表明位移方向与施加单位荷载方向相同；若 为负，则相反。 例题6-5 用图乘法解例6-4题。 〔分析〕该组合结构中梁式杆件满足图乘法的条件，可用图乘法求解。对轴力杆件仍用 前面的公式。 解：（1）求GH的角位移φGH。 在GH杆两端处作用一对力P= 2 /8作为虚拟状态（图6-5(b)），画出实际荷载作用下以 及单位荷载作用下的弯矩图（图6-6(a)、(b)）。26CH 16P= 2 /8 D 4 C H 0.5 P= 2 /8 (b) B D1M=1 D C HG8 B (a)GG B (c)A16A1A图 6-5 例题 6-5 解答图 (a)MP 图(kN? m)； ( b ) 求 φGH M K 图 ； ( c ) 求 φC M K 图 对于AC段，由于yc只能取自一段直线，所以图乘时分成两段AG段与GC段。由于两段的 图形完全一样，且都是直线，所以AC段的图乘如下：1 2 1 2 32 ? 2 ? ?1 y1 ? ? ? 4 ? 8 ? ? 0.5 ? EI EI 2 3 3EI由于CD段 M 图为零，所以该段图乘结果为零。 BD段，两段均为直线，其图乘结果如下：1 1 1 2 128 ?2 y2 ? ? ? 8 ? 16 ? ? 1 ? EI EI 2 3 3EI所以4 2? EA 2 8 ?4 2? GH?y M M N N ? ? ? K P ds ? ? P K l i ? ? c ? EI EA EI32 128 4 2 ? ? 3EI 3EI EA 160 4 2 ? ? 3EI EA ?结果与积分结果相同，但图乘法比上述的积分法要简单得多。 （2）求铰C两侧截面的相对角位移。 在铰C处作用一对力偶M=1作为虚拟状态（图6-5(c)），画出其弯矩图（图6-6(c)）。 由于 M K 图中只有CG段与CH段有弯矩，所以只图乘这两段即可。由于两个弯矩图不在同一 侧，所以图乘结果为负。即：?y M M N N ? C ? ? ? K P ds ? ? P K l i ? ? c ? EI EA EI4 2? EA2 4 ?4 21 1 1 1 1 1 128 8 2 ? ? 4 ? 8 ? ?1 ? ? ? 4 ? 16 ? ? 1 ? ? EI 2 3 EI 2 3 3EI EA 48 8 2 ?? ? 3EI EA ??27例题6-6 求如图6-7（a）所示多跨静定梁铰D两侧截面的相对角位移φD及F点的竖向位 移ΔFV。EI = 常数。 解：（1）求铰D两侧截面的相对角位移φD。 在D截面两端处作用一对力偶M=1作为虚拟状态，并画出实际荷载作用下以及单位荷载 作用下的弯矩图（图6-7(b)、(c)）。 对于AB段，为一个梯形与三角形图乘。此时可以将MP图的梯形分解为两个三角形或一 个矩形和一个三角形，再与 M K 图（三角形）图乘。现取 M K 图的三角形面积为ω1，与ω1 形心所对应的MP图的纵标y1相乘，即?1 y1EI?1 1 1 2 34.5 ? ? 6 ? 1.5 ? (3 ? ? 10 ? ) ? EI 2 3 3 EIP =1kN A C 3m 6m Bq =2kN/m D 2m (a) 4m E 2m F对于 BDE 段，可作为整段处理。由于 BDE 的 MP 图不是直线图形，yc 必须取自 M K 图。 MP 图形状比较复杂，可将其划分为几个简单的 图形分别与 M K 图图乘，即一个梯形图形减去 一个抛物线。而梯形图形又可划分为两个三角 形或一个三角形与一个矩形。 下面将 MP 图划分 为两个三角形减去一个抛物线分别与 M K 图相 乘，然后叠加。即：y1310ω2 B(b) 1.59Aω4 ω3 4 ω 5ω1y2 y 4M=1y3?2 y2EI?1 1 2 30 （ ? 6 ? 10 ? 1.5 ? ) ? EI 2 3 EI1 1 1 6 （ ? 6 ? 4 ? 1.5 ? ) ? EI 2 3 EIω1(c)2y5P=1?3 y3EI?(d)1y2 y4 y3?4 y41 2 1.5 27 ? （? ? 6 ? 9 ? ) ? － EI EI 3 2 EI图 6-7 例题 6-6 解答图m)； (a) 原梁图； (b) MP 图(kN? (c) 求 φD M 图； (d) 求 ΔF M K 图。K式中负号是因为这部分的 MP 图与 M K 图分别位 于杆轴两侧。最后得到截面 D 两侧的相对转角。?D ??1 y1 ? ? 2 y 2 ? ?3 y3 ? ? 4 y 4EI?1 43.5 (34.5 ? 30＋6－9) ? EI EI方向与施加单位力偶的方向一致。 （2）求F点的竖向位移ΔFV 在F点加一竖向单位力，并作出 M K 图（图6-7(d)）。 对于 AB 段，同上述方法一样。 对于 BDE 段，仍将 MP 图划分为两个三角形减去一个28抛物线分别与 M K 图相乘，然后叠加。即?1 y1EI?1 1 1 2 23 〔－ ? 6 ? 1 ? （3 ? ＋10 ? )〕 ?－ EI 2 3 3 EI?2 y2EI?1 1 （ ? 6 ? 10 ? 0) ? 0 EI 2 1 1 12 （ ? 6 ? 4 ? 1) ? EI 2 EI?3 y3EI??4 y4EI?1 2 1 18 （? ? 6 ? 9 ? ) ? － EI 3 2 EI 1 1 3 4 （ ? 4 ? 2 ? ? 2) ? EI 3 4 EI?5 y5EI?式中负号均表示MP图与 M K 图相应部分的在杆轴不同的一侧。所以? FV ??1 y1 ? ? 2 y 2 ? ?3 y3 ? ? 4 y 4＋?5 y5EI?1 25 (－23 ? 0＋12－18＋4) ? － EI EI式中负号表示F点的实际位移方向与所加单位荷载的方向相反，即实际位移方向向上。 例题6-7 求如图6-8（a）所示刚架D点的竖向位移ΔD及D截面的角位移φD。EI = 常数。q B 2l 2EI A 2l (a) M=1 1 2EI 2EI EI l (b) 1.5ql2 P=ql EI D 7.5q l 2 2EI 2EI EI 2EI 3l 2EI EIP=12EICA(c)ω3 ω1 D7.5ql2 1.5ql2C ql2/8 l y1 y2(d) (e)B ω2 ω5 3l y3C ω40.5ql2l y5 y4(f)A图 6-8 例题 6-7 解答图(a)刚架；(b)MP 图(kN? m)；(c)求 ΔD M K 图 (d)求 φD M K 图； （e）CD 段 MP 图的分解； （f）BC 段 MP 图的分解；29〔分析〕该题中BD段抗弯刚度有变化，图乘时应分成BC和CD段，分别图乘。 解：（1）求D点的竖向位移ΔD。 首先画出实际荷载作用下的弯矩图MP图（图6-8(b)，然后在D处作用一单位荷载P=1作 为虚拟状态，并作出其弯矩图 M K 图（图6-8(c)）。 对于AB段，两个弯矩图均为矩形，图乘比较简单，结果如下：?y2 EI?1 22.5ql 4 （2l ? 7.5ql 2 ? 3l ) ? 2 EI EI对于BD段，由于BC段与CD段EI值不同，应分别图乘。对CD段，由于MP图为曲线，所 以纵标只能在 M K 图上取得。而MP图不是标准的抛物线，图乘时将其分解为一三角形和一 抛物线（图6-8(e)），分别图乘。同样BC段的MP图也不是标准的抛物线，图乘时将其分解为 一梯形和一抛物线（图6-8(f)），分别图乘。结果如下： CD段：?1 y1＋? 2 y 2EIBC段：?1 1 2 2 ql 2 l 11ql 4 （ ? l ? 1.5ql 2 ? ? l ? ? l ? ? )? EI 2 3 3 8 2 24EI1 1 7l （ ? 2l ? 7.5ql 2 ? ? 2 EI 2 3? 3 y 3＋? 4 y 4 ? ? 5 y 52 EI?1 5l 2 28ql 4 ? 2l ? 1.5ql 2 ? ? ? 2l ? 0.5ql 2 ? 2l ) ? 2 3 3 3EI所以：?D ??yEI??1 y1 ? ? 2 y 2EI??3 y3 ? ? 4 y 4＋?5 y52 EI?22.5ql 4 11ql 4 28ql 4 775ql 4 ? ? ? EI 24EI 3EI 24EI结果为正，表明D点的竖向位移方向向下。 （2）求D截面的角位移φD。 在D截面加一单位力偶，作出其弯矩图 M K 图（图6-8(d)）。由于各段的 M K 图均为矩 形，图乘时对于BD段，处理方法同上。结果如下：?D ? ?1 1 1 2 ql 2 (2l ? 7.5ql 2 ? 1) ? ( ? l ? 1.5ql 2 ? 1 ? ? l ? ? 1) EI 2 EI EI 2 3 8 1 1 1 2 37ql 3 ? ( ? 2l ? 7.5ql 2 ? 1 ? ? 2l ? 1.5ql 2 ? 1 ? ? 2l ? 0.5ql 2 ? 1) ? 2 EI 2 2 3 3EI ??y角位移方向与施加单位力偶的方向一致。6.2.4 非荷载因素引起的位移计算非荷载因素包括温度变化、支座沉降、制造误差等。 例题6-8 如图6-9（a）所示刚架在图示温度变化的情况下，求（1）B点的水平位移ΔBH；30（2）B截面的角位移φB。已知材料的线膨胀系数为α，各杆为矩形截面，截面高度h＝l/20。C -2t?-2t?D l/2 -2t B?l/2 C Dl/2 1+t?C 1 BD1 C D B A1 1Al (a)B Al/2 (b)l/2A(c)(d)图 6-9 例题 6-8 解答图(a)刚架；(b)求 ΔBH M K 图；(c)求 ΔBH M K 图；(d)求 φB M K 图〔分析〕计算由于温度变化引起的结构位移时，应注意公式中各项正负号的确定。会判 断杆件的实际变形以及虚拟状态下的变形。 解：（1）求B点的水平位移ΔBH 在B点加一单位水平荷载，并作出 M K 图（图6-9(b)）、 N K 图（图6-9(c)）。各杆实际 的弯曲变形如图6-9(a)所示。由 M K 图可知，虚拟状态下BD杆、CD杆、AC杆上段部分的弯 曲方向均与实际方向相反，所以该三段弯曲变形的影响取负值。而AC杆下段部分的弯曲方 向与实际方向相同， 该段弯曲变形的影响取正值。 形心轴处的温度 t 0 ?1 1 (t1 ? t 2 ) ? ? t 为 2 2负，而CD杆 N K 图为压力，其两状态的变形一致，所以轴向变形的影响取正值。即? BH ? ? (??t 0? N K ) ? ? (?)??th MK ? (t ? 2t ) 1 l l l 1 l l 1 l l ? ?t 0 ? l ? 1 ? ? (? ? ? ? ? l ? ? ? ? ? ? ) h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ?37?tl负值表示B点实际水平位移的方向与所加单位荷载方向相反，即水平向右。 （2）求B截面的角位移φB 在B处加一单位力偶，并作出 M K 图（图6-9(d)），各段 N K 图为零。各杆实际的弯曲方 向与实际方向相反，弯曲变形的影响取负值。即?? B ? ? (?)???th?MK? (t ? 2t )h ? ?150?tll ? (? ? 1 ? l ? 1 ? l ? 1) 2负值表示B截面实际角位移的方向与所加单位力偶方向相反，即逆时针。 例题6-9 如图6-10（a）所示刚架，支座B向左移动1cm，支座向下移动2cm，试求A点 左右两截面的相对角位移φA。31M=1 F 1cm C 1m 3m (a) 3m 1m 2cm B D EA4m HB=1/12FE CA HD=1/3 VD=1/3BVB=1/3 (b)D图 6-10 例题 6-9 解答图(a) 原刚架；(b)单位力偶引起的支座反力〔分析〕 计算由于支座位移引起的结构位移时， 应注意公式中本身所带有的负号以及支 座位移与支座反力乘积的符号的确定。当支座反力与支座位移方向相同时，乘积取正，相反 时取负。 解：在A处加一对单位力偶（图6-10(b)），并求出支座反力。过程简单叙述如下： 取DEA段作隔离体， 由?ME得 H D ? VD ； 再取DA段作隔离体， 由 ?M A ? 0 ， ? 0，得 4H D ? VD ? 1 ? 0 ，由此解得 H D ? VD ? 1 / 3 取整体作为研究对象，由?MC? 0 ，得 VB ? 1 / 3 ? 0 ，得 H B ? 1/ 12最后取BF段作隔离体，由?MF各支座反力方向如图6-10(b)所示。 则? A ? ??R Cii1 1 3 ? ?[ ? (?0.01) ? ? (?0.02)] ? ? 12 3 400方向与所加力偶方向相反。 例题6-10 如图6-11（a）所示桁架，杆GF的制造误差ΔlGF=C0.5cm，试求C点的竖向位 移以及G、F水平向的相对位移。C G A a D E F B a C F 1 B A 1 G NGF (e) 0 a G A D E 1 C F B NCY C NCX A 1/2 (c) G NGF (b) 1 NCY C NCXa (a)a1 G A D (d)Ea图 6-11例题 6 -10 解答图(a)原桁架；(b)虚设状态一；(c)隔离体图；(d) 虚设状态二；(e) 隔离体图[分析] 由于只有杆GF有制造误差，所以在单位荷载作用下只求出杆GF的轴力即可。 解：1)求C点的竖向位移 在C点处加一单位竖向力P=1（图6-11（b）），此时求得支座反力： V A ? V B ?1 ,杆 232件AD、DF、BE、EG为零杆。取半边结构（图6-11（c））为隔离体，由?MC? 0 求得N GF ? 1所以点C的竖向位移为： ?CV ?? N?l ? NGF? ?lGF ? 1? (?0.5) ? ?0.5cm （? ）2)求G、F水平向的相对位移 在G、F处加一对水平反向的单位力P=1（图6-11（d）），此时求得支座反力为零，且 杆AD、DF、BE、EG为零杆。取半边结构（图6-11（e））为隔离体，由?MC? 0 求得N GF ? 1所以G、F水平向的相对位移为：?GF ? ? N?l ? NGF ? ?lGF ? 1? (?0.5) ? ?0.5cm （ ??）即G、F两点水平相对靠拢0.5cm。 例题6-11 如图6-12（a）所示刚架，同时承受荷载、温度、支座移动等因素的影响， 试求C点的竖向位移ΔCV，已知各杆EI=常数，截面高度均为h=l/10，材料的线膨胀系数为α。q B - t° C φ A l (a) (b) + t° C 0.5q l 2 C l P=1 P=11 A(c)lA(d)图 6-12 例题 6-11 解答图(a)原刚架；(b)MP 图；(c) M K 图；(d) N K 图〔分析〕该刚架上同时承受几种因素作用，分别计算各种因素单独作用下引起的位移， 然后叠加即可。 解：画出结构在荷载作用下的弯矩图MP图如图6-12(b)所示。在C点加一竖向单位荷载 P=1,并作出 M K 图、 N K 图如图6-12(c)、(d)所示。则刚架在荷载作用下引起的位移，由图 乘法得? CV 1 ? ??y cEI?1 1 3 5ql 4 ( ? 0.5ql 2 ? l ? l ? 0.5ql 2 ? l ? l ) ? EI 3 4 8EI由温度变化引起的位移为：? BH ? ? (??t 0? N K ) ? ? (?) ????th?MK? t ? 2t ? (?t ? 2t ) 1 ? l ?1 ? ? (? ? l ? l ? l ? l ) 2 h 2 31 ? ? ?tl 233由支座位移引起的C点的位移为：?CV 3 ? ?? RC ? ?l?所以C点的位移为： ? CV ? ? CV 1 ? ? CV 2 ? ? CV 3 ?5ql 4 31 ? ?tl ? l? 8EI 2例题6-12 求如图6-13（a）所示刚架C点的竖向位移。已知各杆EI=常数。弹性支承刚度 系数k=EI/l3。D q A l (a) l B k=EI/l3 ql/4 (b) C l ql2/4 ql2/2 ql ql2/4 ql/4 1 /2 l/2 (c) 1 /2 l/2 P=1图 6-13 例题 6-12 解答图(a)原刚架；(b)MP 图；(c) M K 图〔分析〕这是带有弹性支承的刚架，计算时应考虑支承位移的影响。 解：首先求出荷载作用下的支座反力，并作出MP图（图6-13(b)），在C点加竖向单位荷 载，并作出 M K 图（图6-13(c)）。则C点的竖向位移应为荷载和弹性支承位移共同作用下引 起的位移。即M PM K 1 1 ql 2 2 l ql 2 l ds ? Ri C i ? ( ?l ? ? ? ? ?l ? EI EI 2 4 3 2 4 2 2 4 1 l ql 1 ql 3ql ??? ? ?l ? ? ) ? ? (? ) ? 2 2 3 2 4k 8EI ? CV ? ?34第 7 章 力法7.2解题方法概述及例题分析 7.2.1 超静定次数的确定当采用力法解超静定结构时， 常将结构的多余约束或多余未知力的数目称为结构的超静 定次数。判断超静定次数可以用去掉多余约束，使原结构变为静定结构的方法进行。简单概 括为：解除原超静定结构的多余约束，使其变为静定结构，则去掉多余约束的数目即为原结 构的超静定次数。 解除超静定结构多余约束的方式通常有以下几种。 （1）切断一根链杆或去掉一根链杆支承相当于去掉一个约束。 （2）去掉一个简单铰或去掉一个铰支座相当于去掉两个约束。 （3）将刚性联结切断或去掉一个固定端支座相当于去掉三个约束。 （4）将刚性联结改为铰联结或将固定端支座改为铰支座，相当于去掉一个约束。 应用以上方式可以方便地确定任何超静定结构的超静定次数。 例题 7-1 试确定图 7-3（a） 、 （c） 、 （e） 、 （g） 、 （j） 、 （l）所示结构的超静定次数。2 3 2 3（a）（b）（c）21111 121（d）（e）1 3 1 1 1 2 1（f）1（g）3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1（h）（i）2 1 111（j）（k） 图 7-3 例 7-1 解答图（l）（a）10 次超静定结构； （b）与（a）相应的静定结构； （c）6 次超静定结构； （d）与（c）相应的静定结构； （e）4 次超静定结构； （f）与（e）相应的静定结构； 35（g）11 次超静定结构； （h）与（g）相应的静定结构； （i）42 次超静定结构； （j）与（i）相应的静定结构； （k）6 次超静定结构； （l）与（k）相应的静定结构[分析]采用去掉多余约束的方法， 使原结构变为静定结构， 则去掉多余约束的数目即为 原结构的超静定次数。去掉多余约束时，可比照几种静定结构进行，例如简支梁、悬臂梁、 三铰刚架等。把超静定结构变化为这样简单的静定结构所去掉的多余约束数就是超静定次 数。 解：在本例题中，图 7-3（a） 、 （i）所示的超静定结构去掉多余约束后，简化为悬臂梁 结构；图 7-3（e） 、 （k）所示的超静定结构简化为悬臂梁结构和三铰刚架；图 7-3（c）所示 的超静定桁架简化为简支桁架；而图 7-3（g）则简化为悬臂梁刚架和简支刚架。对以上超 静定结构，在相应的静定结构图上标出了去掉约束的个数。 对于一个超静定结构可以采取不同的方式去掉多余约束， 而得到不同的静定结构， 但无 论采用哪种方式，结构的超静定次数是唯一的。例如对于图 7-4（a）所示的超静定结构，可 以按图 7-4（b）或图 7-4（c）或图 7-4（d）的方式去掉多余约束。显然，该刚架为 5 次超 静定结构。2 3 2 31211（a） 图 7-4（b） （c） 超静定刚架及其相应的基本结构（d）（a）5 次超静定刚架； （b）基本结构为悬臂刚架； （c）基本结构为简支刚架； （d）基本结构为三铰刚架7.2.2 一般结构的计算用力法计算超静定结构一般按以下步骤进行： （1）去掉原结构的多余约束，选取力法基本体系； （2）根据基本体系去掉多余约束处的位移条件建立力法基本方程； （3）为求力法方程各系数，应绘出基本结构在单位力作用下的内力图和荷载作用下的 内力图（或写出内力表达式） ； （4）解力法方程，求多余未知力； （5）求出多余力后，由基本体系按静定结构的分析方法绘出原结构的绘内力图。 以下将依次讨论超静定梁、超静定刚架、超静定桁架和超静定组合结构的计算问题。 例题 7-2 用力法计算如图 7-5（a）所示结构，?作??图。DE?杆抗弯刚度为 EI，AB 杆 抗弯刚度为?EI，BC 杆?EA=∞?。 [分析]所示结构为一次超静定结构。用力法计算时，除选取本题采用的基本结构外， 还可以选取其他形式的基本结构。例如，去掉 A 支座的扭转约束，或去掉 E 支座的铅直链 杆等。解题时应注意，由于基本结构不同，相应的力法方程的物理意义是不同的。最终确定 的基本结构应力求简单、方便，是自己所熟悉的。 解：切断 BC 杆，取基本体系如图 7-5（b）所示。根据切口两侧截面沿杆轴方向相对位36移等于零的条件，建立力法方程?11 x1 ? ?1P ? 0分别绘出单位荷载和外荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图7-5（c） 、 （d）所示。计 算柔度系数和自由项? 11 ?1 ?1 2 l 2 l? l3 ? 1 ?1 ? ? 2l ? 2l ? ? 2l ? ? ? ? l ? ? ? ? ? 2 ? 1.5 2EI ? 2 3 2 3 2? EI ? EI ? 2? 1P ?代入力法方程解得1 2EI?1 1 ?? 5Pl 3 ?2 ? l ? pl ? ? 2 l ? ?l ? ? ? ?2 3 ?? ?3 ? ? 12EIx1 ? ?? 1P? 115 Pl 3 EI ?? ? ? ?0.278 P 12 EI 1.5l 3根据所求结果，绘出原体系的弯矩图如图7-5（e）所示。P A D l l B C l x1 E 基本体系 l/2 P 2lx1 ? 1M1 图（a）Pl P 0.444Pl（b）（c）0.278 Pl 0.139 Pl 最后弯矩图MP 图（d） 图 7-5（e） 例 7-2 解答图（a）原体系； （b）基本体系； （c） M 1 图； （d） M P 图； （e）最后弯矩图。例题 7-3 用力法计算如图 7-6（a）所示超静定刚架，作弯矩图。各杆 EI 相同。 [分析]所示结构为二次超静定结构。用力法计算时，除选取本题采用的基本结构外， 还可取选用其它形式的基本结构。例如，同时去掉 A 支座和 C 支座的扭转约束，或同时去 掉 A 支座的扭转约束和水平约束等。 解：同时去掉 C 支座的扭转约束和水平约束，取基本体系如图 7-6（b）所示。根据去 掉多余约束处的位移条件，建立力法方程37? 11 x1 ? ? 12 x2 ? ?1P ? 0 ? ? ? 21 x1 ? ? 22 x2 ? ? 2 P ? 0?分别绘出单位荷载和外荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图7-6（c） 、 （d） 、 （e）所示。 计算柔度系数和自由项? 11 ?1 ?1 2 ? 36 ? ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3? ? EI ? 2 3 ? EI? 22 ?1 ?1 ? 3 ? 1? ? 2 ? 6 EI EI? 12 ? ? 21 ?1 ?1 ? 13.5 ? ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1? ? EI ? 2 ? EI? 1P ?1 ? 1 2 180 ? ? ? ? 46 ? 3 ? 3 ? ? 4.5 ? 3 ? 3 ? ? ? EI ? 2 3 EI ? 1 ? 1 2 60 ? ? ? ? 46 ? 3 ? 1 ? ? 4.5 ? 3 ? 1? ? ? EI ? 2 3 EI ?? 2P ?28/3kN C28/3kNx1 x23mx1 ? 14kN/m A 3m B4kN/m 3 基本体系 3M1 图（a）x2 ? 11 46（b）（c）84.5304.51611M2图MP 图M 图（kN?m）（d） 图 7-6（e） 例 7-3 解答图（f）（a）原体系； （b）基本体系； （c） M 1 图； （d） M 2 图； （e） M P 图； （f）最后弯矩图。38代入力法方程，整理后得36x1 ? 13.5 x 2 ? 180 ? 0? ? 13.5 x1 ? 6 x 2 ? 60 ? 0 ?解方程，得x1 ? 8kN? ? x 2 ? ?8kN ? m ?根据所求结果，绘出原体系的弯矩图如图7-6（f ）所示。 例题 7-4 用力法计算如图 7-7（a）所示超静定桁架，求各杆轴力。各杆 EA 相同。30kN 可30kN 可30kN30kNx1x1 ? 1+1-14m+1? 2? 2 ? 2? 2-1+1-14m （a ） 30kN4m基本体系 （b） 30kNN1 值（c）0 0 -30 0 0 00+3.47-3.470 0+30-26.53 -4.91-4.91 +4.91+4.91+26.53+3.47+3.47N P 值（kN）N 值（kN）（e）（d）图 7-7例 7-4 解答图（a）原体系； （b）基本体系； （c） N 1 值； （d） N p 值； （e）各杆轴力值。[分析] 所示结构为一次超静定结构。用力法计算时，除选取本题采用的方法外，还可 以利用对称性简化计算。本题属于对称结构承受反对称荷载情况。 解：此结构为一次超静定结构。切断左上弦杆，取基本体系如图 7-7（b）所示。根据 切口两侧截面沿杆轴方向相对位移等于零的条件，建立力法方程?11 x1 ? ?1P ? 0分别求出单位荷载和外荷载作用在基本结构上的轴力值，如图7-7（c） 、 （d）所示。计 算柔度系数和自由项39? 11 ? ?? ? 2 ? ? 2 ? 4 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 2 ? 2 ? 24 ? 32 2?? ?N1 ? N1 1 ??? 1? ? ?? 1? ? 4 ? 3 ? 1 ? 1 ? 4 ? 3 l? EA EA?? ?1 ? EA? 1P ?代入力法方程解得1 ?1? ?? 30 ? ? 4 ? ?? 1? ? 30 ? 4? ? ? 240 EA EAx1 ? ?? 1P? 11?240 EA ? ? 3.47kN EA 24 ? 32 2??根据所求结果，绘出原体系各杆的轴力值如图7-7（e）所示。 例题 7-5 用力法计算如图 7-8（a）所示组合结构，?作内力图?。?杆件 AB、BC 的抗弯 刚度为 EI，CD 杆抗拉压刚度 EA=EI/4。12kN/m B EI EA D EI A 3m 3m 基本体系 E C-112kN/m6/54mx112/5x1 ? 14m（a）540（b）34.8 1.2 1.2M 1 图、 N1 值（c）1.8150.4 72.51.834.8 36.0 N 图（kN）M P 图、NP 值M 图（kN?m）Q 图（kN）（d）（e） 图 7-8（f） 例 7-5 解答图（g）（a）原体系； （b）基本体系； （c） M 1 图； （d） M 2 图； （e） M P 图； （f）最后弯矩图[分析]本题为组合结构。组合结构中梁式杆既承受弯矩，也承受剪力和轴力；链杆只 承受轴力。在计算位移时，对梁式杆通常可略去剪力和轴力的影响，对链杆只考虑轴力的影 响。用力法计算超静定组合结构时，常将链杆的轴力作为多余未知力。 解：此结构为一次超静定结构。切断 BC 杆，取基本体系如图 7-8（b）所示。根据切口 两侧截面沿杆轴方向相对位移等于零的条件，建立力法方程?11 x1 ? ?1P ? 0分别绘出单位荷载和外荷载作用在基本结构上的弯矩图及轴力杆的轴力值，如图7-840（c） 、 （d）所示。计算柔度系数和自由项? 11 ?1 ?1 6 2 6 1 12 2 12 12 12 ? ? ? 3? ? ? ? 2 ? ? 4 ? ? ? ? 4 ? ? ? EI ? 2 5 3 5 2 5 3 5 5 5?? 1 ?? 1? ? ?? 1? ? 5 ? 268 EA EI? 1P ?代入力法方程解得1 ? 2 5 6? 162 ? ? ? 3 ? 54 ? ? ? ? 2 ? ? EI ? 3 8 5? EIx1 ? ?? 1P? 11?162 EI ? ? 3.02kN EI 268根据所求结果，绘出原体系的内力图如图7-8（e）、（f）、（g）所示。7.2.3 对称性的利用例题 7-6 试计算如图 7-9（a）所示组合结构，?绘制梁式杆件 AC、CB 的弯矩?图并求 轴力杆 AD、CD、BD 的轴力。 [分析]本题属于对称结构承受反对称荷载情况,故处于对称轴上的二力杆件 CD 轴力为 零；进而分析结点 D，可知：NAD=NBD=0。 解：判断零杆后，以整体为研究对象求支座反力，进而绘出梁式杆件的弯矩?图并求出 轴力杆件的轴力，如图 7-9（b）所示。 60kNA EI EA 2m EA D 2m 2m EA 2m C60kNA B60kN?m C 0 0 D60kN?m B 0（a） 图 7-9 例 7-6 解答图4m（b）（a）原体系； （b）最后弯矩图、轴力值例题7-7 试用力法计算图7-10（a）所示结构，作弯矩图。EI=常数。 [分析] 本题属于偶数跨对称刚架承受对称荷载情况。由于对称轴上E点为铰结点，不 能承受弯矩，且该点既不会产生水平位移，也不会产生铅直位移；又考虑到本题只要求绘制 弯矩图，而EB杆的弯矩、剪力均为零，故E点处仅存在水平约束力和铅直约束力，可简化为 固定铰支座。 解：利用对称性，取如图 7-10（b）所示简化体系计算。去掉 E 点处的水平链杆，取基 本体系如图 7-10（c）所示。根据 E 点处的水平方向位移等于零的条件，建立力法方程?11 x1 ? ?1P ? 041分别绘出单位荷载和外荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图7-10（c） 、 （d）所示。计 算柔度系数和自由项? 11 ?1 ?1 2 ? 18 ? ? 3? 3? ? 3? 2? ? EI ? 2 3 ? EI? 1P ?1 ? 1 2 1 2 ? 1350 ? ? ? 3 ? 300? ? 3 ? ? 3 ? 150? ? 3 ? ? ? EI ? 2 3 2 3 ? EI代入力法方程解得x1 ? ?? 1P? 11?1350 EI ? ? 75kN EI 18根据所求结果并利用对称性，绘出原体系的弯矩图如图7-10（f）所示。50kN G E H 50kN 3m 50kN G D 3m E D 50kN G E x1DFA 3mB 3mCA 简化体系A 基本体系（a）（b）300 75 150 15075（c）3 3x1 ? 175150 15075M1图MP图M 图（kN?m）（d）（e） 图 7-10 例 7-7 解答图（f）（a）原体系； （b）简化体系； （c）基本体系； （d） M 1 图； （e） M P 图； （f）最后弯矩图例题7-8 试用力法计算图7-11（a）所示结构，作弯矩图。EI=常数。 [分析] 本题属于奇数跨对称刚架承受对称荷载情况。由于对称轴上D截面只存在对称 多余力，故采用半刚架法计算时，D点处简化为定向支座。杆BH和杆FH只存在轴力且轴力静 定，又考虑到本题只要求绘制弯矩图，而杆BH和杆FH的弯矩、剪力均为零，故可取如图7-10 （b）所示半刚架计算。 解：分析如图7-10（b）所示半刚架，去掉D点处的约束，取基本体系如图7-10（c）所 示。根据D点处的水平方向位移和角位移等于零的条件，建立力法方程42? 11 x1 ? ? 12 x2 ? ?1P ? 0 ? ? ? 21 x1 ? ? 22 x2 ? ? 2 P ? 0?分别绘出单位荷载和外荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图7-11（d） 、 （e） 、 （f）所 示。计算柔度系数和自由项?11 ?1 ?1 2 ? 36 ? ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3? ? EI ? 2 3 ? EI? 22 ?1 ?3 ? 1 ? 1? ? 3 ? 9 EI EI? 12 ? ? 21 ?1 ? 1 27 ? ? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1? ? ? EI ? 2 2 EI ??1P ?1 ?1 ? 675 ? ? 3 ? 150? 3? ? EI ? 2 ? EI?2P ?1 ? 1 225 ? ? ? ? 3 ? 150? 1? ? ? EI ? 2 EI ?C Dx2C A BD 100kNE F 3mx1 50kN 50kN 50kN 基本体系G 3mAB 50kN 简化体系3m3mH 3m3m（a）x1 ? 11 1（b）x2 ? 1 150192.85 7.14（c）7.14 92.853 3357.17 57.17 50 2M1图M2图MP图M（kN?m）,N（kN）（d）（e）（f） 图 7-11 例 7-8 解答图（g）（a）原体系； （b）简化体系； （c）基本体系； （d） M 1 图； （e） M 2 图； （f） M P 图； （g）最后弯矩图及轴力值代入力法方程，整理后得4336 x1 ? 13.5 x 2 ? 675 ? 0 ? ? ? 13.5 x1 ? 9 x 2 ? 225 ? 0?解方程，得x1 ? ?21.43kN? ? ???? x 2 ? ?7.14 kN ? m ?根据所求结果， 可绘出原体系受弯杆件的弯矩图并求出轴力杆件的内力值如图7-11 （g ） 所示。 例题7-9 试用力法计算图7-12（a）所示结构，作内力图。各受弯杆件的抗弯刚度均为 EI，各轴力杆的抗拉压刚度均为E1A1，且EI/（E1A1）=0.3m2。20kN G D H E I 4m F 4m 10kN G D H E I F 10kN 10kN G D H E I F 10kNA 4mB 4mCABCABC（a）10kN G D E EI/2 A 简化体系 B x1 A 基本体系 H 10kN G D E EI/2 B H（b）40 4x1 ? 1（c）4040 40 0 4 80 MP 图，NP 值+1M 1 图， N 1 值（d）40 10 40 16.68 16.68 14.17kN 46.64 M 图（kN?m） 33.36 40（e）10 4.17 14.17kN 10（f）（g）1010 4.17 20 14.17 1010 1014.17Q 图（kN）N 图（kN）（h）（i） 图 7-12 例 7-9 解答图（j）（a）原体系； （b）对称荷载作用； （c）反对称荷载作用； （d）简化体系； （e）基本体系； （f） M 1 图， N 1 值； （g）MP 图，NP 值； （h）M 图（kN?m） ； （i）Q 图（kN） ； （j）N 图（kN） 44[分析] 本题属于对称刚架承受非对称荷载情况。为利用对称性简化计算，可将图7-12 （a）所示体系视为图7-12（b）和（c）两种情况的叠加。由于计算受弯杆件时略去剪切变 形和轴向变形的影响，所以图7-12（b）所示刚架仅在杆GH和杆HI中存在轴力，其余杆件不 受力。分析图7-12（c）所示刚架，在铰H处仅存在反对称多余力，取半刚架计算时，可简化 为竖向链杆；而对称轴处的EB杆可视为两根抗弯刚度为I/2的竖柱与横梁DEF 刚结，当在对 称轴处将DEF梁切断时，由于荷载是反对称的，截面上只存在剪力，且由该剪力所引起的两 根中柱中的轴力刚好互相抵消， 即该剪力对原结构的内力和变形无任何影响， 于是可将剪力 略去，而取半根中柱计算。 解：利用对称性，取如图 7-12（d）所示简化体系计算。截断竖向链杆 DA，取基本体 系如图 7-12（e）所示。根据链杆 DA 断口处的相对位移等于零的条件，建立力法方程?11 x1 ? ?1P ? 0分别绘出单位荷载和外荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图7-12（f） 、 （g）所示。计 算柔度系数和自由项? 11 ?1 ?1 2 ? 1 1 (4 ? 4 ? 4) ? (1 ? 1 ? 4) ? ? 4 ? 4 ? ? 4? ? EI ? 2 3 ? EI E1 A1 2 64 128 0.3 150.53 ? ? ? ?4 ? 3EI EI EI EI1 ?1 2 1 ? 40 ? 80 ? 2133 .33 ? ? ? 4 ? 4 ? ? 40? ? ?4? 4? ??? EI ? 2 3 2 ? EI ? EI ? 2? 1P ? ?代入力法方程解得x1 ? ?? 1P? 11?2133 .33 EI ? ? 14.17kN EI 150.53根据所求结果并利用对称性，绘出原体系的内力图如图7-12（h）、（i）、（j）所示。7.2.4 如何处理温度变化和支座移动问题例题 7-10 图 7-13（a）所示为一烟璧脑残谓孛妫h=R/10，材料的线膨胀系数为 α， EI 为常数。当内侧温度升高 60C? ，外侧温度降低 20C? 时，求截面的最大弯矩。45[分析] 本题属于温度变化问题，烟璧脑残谓孛嫖纬捕峁埂Ｓ昧Ψ扑闶保 利用对称性取四分之一结构计算。由于水平对称轴和铅直对称轴截面处只存在对称多余力， 故可简化为如图 7-13（b）所示带有定向支承的简化体系计算。Bx1 -20C? +60C?A 基本体系hR-20C? +60C?A简化体系（a）（b） 图 7-13 例 7-10 解答图（a）原体系； （b）简化体系； （c）基本体系（c）解：利用对称性，取如图 7-13（b）所示简化体系计算。去掉 B 截面处的扭转约束，以 多余未知力 x1 代替，可得到如图 7-13（c）所示的基本体系。基本体系中的 x1 就是要求的圆 形截面的最大弯矩。根据基本体系 B 截面处转角等于零的位移条件，建立力法方程?11 x1 ? ?1t ? 0式中柔度系数和自由项分别计算如下?11 ? ?? ? M 12 M2 1 ?R 2 ds ? ? 2 1 Rd? ? ? 2 ?1? Rd? ? 0 EI 0 EI 0 EI 2 EIl?t (60 ? 20) 80?R ? 40??R ?1t ? ? d? ? ? ? ds ? ? 2 ? Rd? ? ? ? 0 0 0 h h h 2 hl l?代入力法方程解得圆形截面的最大弯矩x1 ? ?? 1P? 11??40??R 2EI 80?EI 800 ?EI （外侧受拉） ? ?? ?? h ?R h R例题 7-11 图 7-14（a）所示刚架各杆温度均匀上升 15C? 。试绘制由于温度变化所引起 的刚架的弯矩图。已知材料的线膨胀系数为 α，EI、EA 为常数，截面对称于中性轴。 [分析] 本题属于温度变化问题。由于各杆温度均匀上升，故不存在因杆件两侧温度不 同而引起的弯曲变形，只存在因杆件轴向变形而引起的结构弯矩。 解：本题为一次超静定结构。去掉 B 支座的水平链杆，并以多余未知力 x1 代替，可得 到如图 7-14（b）所示的基本体系。根据基本体系 B 支座处的水平位移等于零的条件，建立 力法方程?11 x1 ? ?1P ? 046分别绘出单位荷载作用在基本结构上的弯矩图和轴力图，如图7-14（c） 、 （d）所示。计 算柔度系数和自由项?11 ?1 ?1 2 ? 288 ? ? 6? 6? ? 6? ? 4 ? EI ? 2 3 ? EIl l?1P ? ?? ?? ? ?t 0 N ds ??? ?? ? ?0 0?t ?t Mds ? ?? ?? ?t 0? N ? ?? ?? ? M h h ? ? ? 15 ? ?? 2 ? 6 ? 1 ? 6? ? 0 ? ?90?代入力法方程解得x1 ? ??11?1t? 90? ?EI 5?EI ? 288 16根据所求结果，可绘出原体系弯矩图如图7-14（e ）所示。E+15? C +15? CF+15? CE 6m+15? C+15? CF+15? C+15? C+15? CC+15? C +15? CD+15? CC+15? CD+15? C +15? C666mA 6mBAB 基本体系x1M1 图x1 ? 1（a ）1（b）（c）215? EI 8x1 ? 115? EI 8N1 图M图（d） 图 7-14（e） 例 7-10 解答图（a）原体系； （b）基本体系； （c） M1 图； （d） N1 图； （e）最后弯矩图例题 7-12 图 7-15（a）所示为带有弹簧支承的超静定梁。其 A 支座发生顺时针转角 φ。 试绘制由于支座移动所引起的梁的弯矩图和剪力图。已知 k=EI/l3。47[分析] 本题属于支座移动情况下超静定结构计算问题。用力法计算时可选取不同的基 本体系，如简支梁基本体系、悬臂梁基本体系、定向支承梁基本体系等。对应不同的基本体 系，相应的力法方程应有所不同，但计算结果是唯一的。 解：本题为一次超静定结构。去掉 B 支座的弹簧支承以 x1 代替，可得到如图 7-15（b） 所示的悬臂梁基本体系。根据基本体系 B 支座处的铅直位移应与原体系实际位移相等的条 件，建立力法方程? 11 x1 ? ? 1c ? ?x1 k分别绘出单位荷载作用在基本结构上的弯矩图和基本结构因支座A发生顺时针转角φ而 引起的位移图，如图7-15（c） 、 （d）所示。计算柔度系数和自由项? 11 ?1 ?1 2 ? l3 ? ?l ?l ? ?l? ? EI ? 2 3 ? 3EI?1c ? ?? R ? C ? ?l?φA l B k Aφ1 B 基本体系 x1 l A A l AM1 图x1 ? 1（a ） φΔ1C 位移图3EI ? 4l（b）（c）3EI ? 4l 2M图Q图（d ）（e） 例 7-12 解答图（f）图 7-15（a）原体系； （b）基本体系； （c） M1 图； （d）MC 图； （e）最后弯矩图；: （f）最后剪力图代入力法方程x l3 x1 ? l? ? ? 1 3EI k解得x1 ?l? l 1 ? 3EI k483?3EI ? 4l 2根据所求结果，可绘出原体系弯矩图和剪力图如图7-15（e ）、（f）所示。 例题7-13 图7-16（a）所示为对称超静定刚架。其B支座发生沉降ΔB=0.04m。试绘制由 于支座B移动所引起的刚架的弯矩图。EI=1.5× 104kN?m2。 [分析] 本题属于支座沉降问题。为了简化计算可用图 7-16（b）所示等效体系代替原 体系。此时由于刚架是对称的，而支座沉降这一外部因素是反对称的，所以位于对称轴上的 铰 C 处只存在反对称多余力，故可进一步简化为如图 7-16（c）所示带有竖向链杆支承的简 化体系计算。 解：利用对称性原体系可简化如图 7-16（c）所示的简化体系。该简化结构为一次超静 定结构。去掉 B 支座的弹簧支承以 x1 代替，可得到如图 7-15（b）所示的悬臂梁基本体系。 根据基本体系 B 支座处的铅直位移应与原体系实际位移相等的条件，建立力法方程? 11 x1 ? ? 1c ? ?x1 k分别绘出单位荷载作用在基本结构上的弯矩图和基本结构因支座A发生顺时针转角φ而 引起的位移图，如图7-15（c） 、 （d）所示。计算柔度系数和自由项? 11 ?1 ?1 2 ? 63 ? ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 6 ? 3 ? 3? ? EI ? 2 3 ? EI?1c ? ?? R ? C ? ?1? 0.02 ? ?0.02代入力法方程63 x1 ? 0.02 ? 0 EI解得x1 ? 4.76kN49根据所求结果，可绘出原体系弯矩图如7-16（g）所示。B C D 3m B C D 3m B C0.04m 3m0.02m0.02m3mE′ 3m3mE′ 3m0.02mAEA′ A3mEA′ A等效体系简化体系（a ）B C x1 0.02m A′ A 基本体系 3M1 图（b）3 B′ Bx1 ? 1（c）C′ C 14.3 14．3 14．30.02mA′ A 位移图Δ1C14．314．3 M（kN?m）（d）（e） 图 7-16（f） 例 7-13 解答图（g）（a）原体系； （b）等效体系； （c）简化体系； （d）基本体系； （e） M1 图； （f）位移图;； （g）最后弯矩图例题7-14 图7-17（a）所示超静定刚架同时承受荷载、温度变化和支座移动外部因素 作用。 已知各杆截面高度相同， h=40cm， EI=1.92× 104kN?m2， 线膨胀系数α=1× 10-5。 ΔAh=0.03m， ΔAv=0.04m。试绘制刚架的弯矩图。 [分析] 本题属于荷载、温度变化和支座移动外部因素同时作用于结构的问题。在分析 这类问题时应该注意，当荷载单独作用时，结构的内力与各杆件 EI 的绝对值无关，而只与 各杆件之间 EI 的相对值有关，故计算其内力时各杆的抗弯刚度可取相对值；而当温度变化 和支座移动外部因素作用于结构时，结构的内力与各杆件的 EI 的绝对值有关，因而必须使 用个杆件的绝对值进行计算。50解：本题为二次超静定结构。去