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解直角三角形
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作为三角函数的入门知识，本章课程的难度不容小视。同学们将学习到三种新的三角函数名称：正弦、余弦和正切，并且要非常熟悉它们所代表的边长比例关系。此外，还有一些特殊角度的三角函数值和各种三角函数关系式都需要牢记和灵活运用。本章考察的内容综合性很强，会和三角形，四边形，圆等内容有紧密的联系。还会涉及大量的代数变形运算，并延伸出俯仰角，方向角，坡角等一系列的应用型大题，难度系数可想而知。不过超级课堂依旧会通过细腻的动画和深入浅出的讲解，结合典型例题，帮助超级学员们攻克难关，玩转三角函数！
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1、正弦就是对边比斜边，余弦就是邻边比斜边，正切就是对边比邻边
三角函数就是一种以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。三角函数值就是一个比例
三角函数值的求法，知道直角三角形中的任意两边，或者任意两边的比例，或者任意一个三角函数值，都能利用勾股定理，把每种三角函数值都求出来
给定图形中求某个角的三角函数值。必须在直角三角形里求，如果所求的角并不在直角三角形里，可以采取构造法或角度替换法来解决
1、记住三种特殊角的三角函数值
角度和三角函数值的“一一对应”关系。在锐角范围内，一个角对一个值，一个值也对一个角。所以可以通过特殊角得到特殊值，也可以通过特殊值得到特殊角
利用构造法，求$15$度和$75$度的三角函数值
这节课最重要的还是在于记忆，对三大奇葩特殊角，和他们对应的三组函数值，有充分的熟悉，这点对于你以后快速解题，找到边长角度关系，有着决定性意义
1、包括平方关系：$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$和商数关系： $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$
利用平方关系，可以实现正弦与余弦的互化，关于解题蕴藏着一大技巧，那就是正弦、余弦的和、差、积，知一求二
利用商数关系，可以实现“弦化切”
对已知式子进行变形，采用整体思想代入求解。含有三角函数的式子，对1要灵活处理，经常利用平方关系，化身为$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha $
1、要记住三个基本公式$sin(90^{\circ}-\alpha )=cos\alpha ^{2}$ $cos(90^{\circ}-\alpha )=sin\alpha ^{3}$ &nbsp
$ tan(90^{\circ}-\alpha )=\frac{1}{tan\alpha } $
和平方关系联系在一起起又推出了两个新的公式$sin^{2}(90^{\circ}-\alpha )+sin^{2}\alpha =1cos^{2}(90^{\circ}-\alpha )+cos^{2}\alpha =1$，记为互余两角正弦或余弦的平方和都是$1$
通过几道例题向你展示了分组思想的巧妙，你要对和为$90^{\circ}$的一对角度特别敏感，顺利的完成配对
1、有界性确定了三角函数值整体的范围：$0＜ sin\alpha ＜ 1,0＜ cos\alpha ＜ 1,tan\alpha ＞0$。我们通过它来验证所求值是否可能成为三角函数值
增减性确定了在锐角范围内，$sin\alpha $和$tan\alpha $会随着$\alpha $的增大而增大，而$cos\alpha $会随着$\alpha $的增大而减小
应用有三点：应用(1)：同一种三角函数不同角之间的大小比较。对$sin\alpha $和 $tan\alpha $角越大则值越大，值越大则角越大；对于$cos\alpha $，角越大则值越小，值越大则角越小
应用(2)：同一个角度，不同三角函数之间的大小比较（1）比较$sin\alpha $和$cos\alpha $：当$\alpha ＜45^{\circ}$时，$sin\alpha＜ cos\alpha $；当$\alpha＞ 45^{\circ}$时$sin\alpha ＞cos\alpha $；当$\alpha= 45^{\circ}$时，$sin\alpha =cos\alpha $。（2）比较$sin\alpha $和$tan\alpha $：在锐角范围内$sin\alpha $始终小于$tan\alpha $。
应用(3)：确定范围，根据角的范围确定三角函数值的范围，或根据三角函数值的范围确定角的范围
1、解直角三角形的概念，“在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程”。它遵循知二求三的原则，包含两种情况：已知两边或已知一边一角。由边求边用勾股，由角求角用互余，边角互求用三角函数。这就是解直角三角形的依据
三组关系，一组是$a=csinA$和$b=csinB$，简记为“直角边等于斜边乘以对角的正弦”。第二组是$a=ccosB$和$b=ccosA$，简记为“直角边等于斜边乘以邻角的余弦”。第三组是$a=btanA$和$b=atanB$，简记为“直角边等于另一直角边乘以对角的正切”
1、主要认识了三角函数的两种题型，一种是三角形嵌套模型，在利用三角函数求复杂图形的边长时，要注意将条件凑到一个直角三角形中
第二种是在圆上解直角三角形，要学会利用直径构造直角三角形，利用圆周角定理进行角的转化
1、要确定一个一般三角形的形状，至少要知道三个元素，而且至少要知道一条边的长度
常见题型有两大类：已知两角一边和已知两边一角。其中两角一边可分为两角+对边和两角+夹边，两边一角可分为两边+夹角和两边+对角
“作高”的技巧，过未知角的顶角作高，在作高时要保留已知角。而且除了已知两边+夹角的情况，尽量保留已知边，充分利用所给的边、角条件。唯一需要注意的是两边+对角的题型，有两种情况，要分类讨论。
一道较难的题目，提醒我们注意画图，当无法直接求出边长时，可以选择尝试用勾股定理列方程
1、三角形的面积公式$S=\frac{1}{2absin\alpha }$，即任意两边的乘积乘以它们夹角的正弦除以$2$。当$\angle C$为直角时，$sinC$取$1$；当$\angle C$为钝角时，$C$取$\angle C$的补角。除了计算面积，在证明题当中，面积公式也有妙用
平行四边形的面积公式$S=absin\alpha $。即任意两边的乘积乘以它们夹角的正弦。若$\alpha $是直角，则$sin\alpha $取$1$；若$\alpha $是钝角，则$sin\alpha $取$sin(180^{\circ}-\alpha )$
四边形的面积公式为$S=\frac{1}{2absin\theta } $。即四边形的面积等于对角线乘积乘以它们夹角的正弦除以$2$。当对角线垂直时，$sin\theta $取$1$
几个面积公式，都有正弦函数。变身华丽后的公式，让我们求面积，用面积法，都变得更加自如
1、在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角
关于解决实际测量应用题，超级课堂总结了两种基本图形，与各自旋转$90^{\circ}$后的变形
如果当测量点不在地面时，不要忘记把人或仪器的高度加上去
一种基本图形的变相应用，通过辅助线来构造基本图形
1、坡面的铅直高度$h$和水平宽度l的比叫做坡面的坡度，也叫坡比，一般用$i$来表示，坡面与水平面的夹角$\alpha $叫做坡角。坡度是坡角的正切，即$i=tan\alpha $
坡度也可以用任意两点垂直距离与水平距离的比来表示。坡面距离，垂直距离和水平距离三者会构成此类应用题中的直角三角形，直接运用三角函数解决
坡面上的影长问题，光线、物体和影子构成三角形，如果物体在平坡上则构成四边形，就要作辅助线将四边形拆分为两个特殊三角形，再来求相关边长
1、方向角的定义：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向线旋转到目标的方向线所成的角
要熟悉正北、正南、正东、正西，以及东北、东南、西北和西南所代表的方向角
方向角问题实质依然是解直角三角形，“作高”是最常用的手段，测得的方向角都可以直接或间接地转化到所解的三角形内
没有直接给出边长，这时可以选择设元法列方程，利用勾股定理解出需要的长度
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移动客户端& 分式的基本性质知识点 & “我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如...”习题详情
177位同学学习过此题，做题成功率64.9%
我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如&x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1．（1）下列分式中，属于真分式的是C&A、x2x-1&&& B、x-1x+1&&&& C、-32x-1&& D、x2+1x2-1（2）将假分式m2+3m+1，化成整式和真分式的和的形式．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于...”的分析与解答如下所示：
（1）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式得到只有-32x-1是真分式；（2）先把m2+3化为m2-1+4得到m2+3m+1=m2-1+4m+1，然后分成两个分式m&2-1m+1+4m+1，其中前面一个分式约分后化为整式m-1，后面一个是真分式．
解：（1）根据题意得-32x-1是真分式．故选C．（2）m2+3m+1=m2-1+4m+1=m&2-1m+1+4m+1=m-1+4m+1．
本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
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我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假...
错误类型：
习题内容残缺不全
习题有文字标点错误
习题内容结构混乱
习题对应知识点不正确
分析解答残缺不全
分析解答有文字标点错误
分析解答结构混乱
习题类型错误
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经过分析，习题“我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于...”主要考察你对“分式的基本性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
分式的基本性质
（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
与“我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于...”相似的题目：
[2014o无锡o中考]分式22-x可变形为（　　） 22+x
[2013o淄博o中考]下列运算错误的是（　　）(a-b)2(b-a)2=1-a-ba+b=-10.5a+b0.2a-0.3b=5a+10b2a-3ba-ba+b=b-ab+a
[2012o义乌o中考]下列计算错误的是（　　）0.2a+b0.7a-b=2a+b7a-bx3y2x2y3=xya-bb-a=-&11c+2c=3c
“我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如...”的最新评论
该知识点好题
1如果正数x、y同时扩大10倍，那么下列分式中值保持不变的是（　　）
2如果把5xx+y的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　）
该知识点易错题
1若把分式x+y2xy中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如x+1/x-1=x-1+2/x-1=x-1/x-1+2/x-1=1+2/x-1．（1）下列分式中，属于真分式的是____A、x2/x-1 B、x-1/x+1 C、-3/2x-1 D、x2+1/x2-1（2）将假分式m2+3/m+1，化成整式和真分式的和的形式．”的答案、考点梳理，并查找与习题“我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如x+1/x-1=x-1+2/x-1=x-1/x-1+2/x-1=1+2/x-1．（1）下列分式中，属于真分式的是____A、x2/x-1 B、x-1/x+1 C、-3/2x-1 D、x2+1/x2-1（2）将假分式m2+3/m+1，化成整式和真分式的和的形式．”相似的习题。分式_学习资料共享网
§分式（1）1.创设情景，导出问题:面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固 沙造林， 一期工程计划在一定期限内固沙造林 2400 公顷， 实际每月固沙造林的 面积比原计划多 30 公顷， 结果提前 4 个月完成原计划任务， 原计划每月固沙造 林多少公顷？（1）这一问题中有哪些等量关系？ （2）如果设原计划每月固沙造林 x 公顷，那么原计划完成一期工程需要 ____________个月，实际完成一期工程用了____________个月； 根据题意，可得方程 ； 做一做：1.正 n 边形的每个内角为 度； 答： 2.一箱苹果售价 a 元，箱子与苹果 的总质量为 mkg，箱子的质量为 nkg，则 每千克苹果售价是多少元？整式 A 除以整式 B，可以表示成 的形式。 如果除式 B 中含有字母，那么称为分式，其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。3.巩固应用，拓展研究：例 1（1）当 a=1,2 时，求分式的值；（2）当 a 取何值时，分式有意义？4.练习巩固，促进迁移： （1）下列各式，哪些是整式，哪些是分式？1（2）分别求出使下列式子有意义的 x 的值。（3） x 取何时， 当 下列分式的值为零。 (①分子值等于零； ②分母值不等于零． )反馈练习：1、下列各式中，1 m 3x 1 2 x2 ? 4 ；整式有 , ,? , (a ? b), , 3x 2 2 ? y 3 ? x?2x ?3 3x ? 9，分式 3、 若分式2、如果分式的值为零，那么 x 等于x?3 有意义，则 x x?2 4 4、若分式 表示一个整数时， m 可取的值共有 个 m ?1 5、写出一个关于 x 的分式，使此分式当 x ? 3 时，它的值为 2（）6、若分式的值为零，那么 x 的值为（ C、x＝2）A、x＝－1 或 x＝2 B、x＝0D、x＝－12§ 分式（2） 1.创设情景，导出问题探索交流，概括概念分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的 整式，分式的值不变。 注意： 在分式有意义的情况下， （本题实际隐含了 m≠0， n≠0 的条件， 故成立） 。 3.巩固应用，拓展研究:例 2把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。练习：化简下列分式：3议一议：在化简时，小颖和小明出现了分歧。在小明的化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分 式。化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。 练习： 分式 A、1 个 B、2 个 ， ， C、3 个 D、4 个 ， 中， 最简分式有 （ ）4.练习巩固，促进迁移： 1、将分式 当 x≠ 时，式子 约分后得 ＝ 成立2.下列分式的恒等变形是否正确，为什么？3.分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。4.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。45.不改变分式的值，使分子和分母中最高次项的系数是正数，并把分子和 分母中的多项式按 x 的降幂排列。7．约分： （1）? 12a 2 b 3 c 3b 2 c 2（2）a2 ?1 a 2 ? 2a ? 12x 8、如果把分式 x ? y 中的 和xy 都扩大 3 倍，那么分式的值（）A、扩大 3 倍 B、缩小 3 倍 C、缩小 6 倍 D、不变 9、下列各式从左到右的变形正确的是（ ） 1 x? y 2 ? 2x ? y 0.2a ? b 2a ? b 1 ? x ? y x ? 2y a ? 0.2b a ? 2b 2 A． B．x ? 1 x ?1 ? x? y x? y C． ?a ?b a ?b ? a ?b a ?b D．10、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以） A A? M A?M ? 整式，分式的值 ，用式子表示为： ? B B?M B ?M （其中 M 是 的整式） ，应特别注意“都”与“同”的含义，分式的 基本性质是分式进行恒等变形、分式变号的根据5§ 分式的乘除法 1. 创设情景，导出问题 观察下列运算：2.探索交流，概括概念 概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是： 两个分式相乘， 把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。经观察、类比不难发现 3.巩固应用，拓展研究 例 1 计算下列各题：(分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去 分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分)反馈练习： 2、计算：1、计算63. 计算：(当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据 分式的基本性质进行约分．)4. 先化简，再求值。6a 2 y 2 5、计算（1） ? 8 y 3a 2a?2 1 6y2 ? 2 3xy 2 ? （2） （3） a ? 2 a ? 2a x6、通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希 望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜 4 瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都 d，已知球的体积公式为 v ? ?R 3 （其 3 中 R 为球的半径， ）那么(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？（2）西瓜瓤与 整个西瓜的体积的比是多少？（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？ §分式的加减法7创设情景，导出问题 从甲地到乙地有两条路，每条路都是 3km，其中第一条是平路，第二条有 1km 的上坡路、2km 的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为 vkm/h，在平路上 的骑车速度为 2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为 3vkm/h，那么 （1） 当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？ （2） 她走哪条路花费时间少？少用多长时间？（1）同分母的分数如何加减？（2）你认为应等于什么？（3）猜一猜，同分母的分式应该如何加减？ 归 纳：与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 3.练习巩固，促进迁移4.练习巩固，促进迁移尝试一 计算下列各式5 (1) 15 ? m my (2) 2xy ? 3xy ? x尝试二 计算下列各题8(1)x ? 3y x ? 2 y 2x ? 3y ? 2 ? x2 ? y2 x ? y 2 x2 ? y 2x ? 2 x ?1 x ? 3 ? ? x ?1 x ?1 x ?1(2)3a ? 6b 4a ? 5b ? a?b a?b(3)(4)x2 x ?24 ? x ?2自我检测 1、计算：:4a 3 bc ＝ 2ab；2、计算? 15xy ＝ 20x 3 y。3、计算b?a ＝ ( a ? b) 24、计算x 2 ? 2x ＝ x 2 ? 4x ? 4★ 计算下列各式1 2 3 (1) ? ? x x x 2a a?b (2) ? a?b a?b 2 4 (3) ? b 3ba2 4 (4) ? a?2 a?2(5)x2 y2 ? x? y y?x第二课时9想一想： 异分母的分数如何加减？ （1） （2） 你认为异分母的分式应该如何加减？ 比如 应该怎样计算？根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分 式的通分。为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称 最简公分母）作为它们的共同分母。 例 计算 3 a ? 15 2 x ?1 ? （1） ? ； （2） a 5a x ?1 1? x做一做：尝试完成下列各题：与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式 的加减法法则进行计算。1 1 1 a?b a 2x y?x ? (3) ? (2) ? ★ 尝试三 （1） ? x 2 x 3x a ?b b?a x? y y?x (4) a a ? a?b b?a巩固应用，拓展研究:10例2练习： （1）x2 ? 2 1 ? 2 x ? 4x ? 4 x ? 2（2）1 x 1 ? 2 ? 2x ? 2 x ?1 x ?1★ 挑战极限(1)1 ? x ?1 x计算下列各式(2)2 ? x x ? x? y y?x3.课堂练习，促进迁移1112§分式方程1.创设情景，探索交流 情景一：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用 新品种，分别收获小麦 9000kg 和 15000kg。已知第一块试验田每公倾的产量比 第二块少 3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。 你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ 如果设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，那第二块试验田每公顷的产量 是 kg. 根据题意，可行方程。 。 答案：等量关系包括： 第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量。第一块试验田的面积=第二块试验田的面积 第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg情景二：从甲地到乙地有两条公路：一条是全长 600km 的普通公路，另一条是 全长 480km 的高速公路。某客车在高速公路上的行驶的平均速度比在普通公路 上快 45km/h， 由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地 所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间。 这一问题中有哪些等量关系？ 如果设客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间为 xh， 那么它由普通公路 从甲地到乙地所需的时间为 h。 根据题意，可得方程 。 答案：等量关系包括： 600km=客车在普通公路上行驶的平均速度×客车由普通公路从甲地到乙地 的时间。 480km=客车在高速公路上行驶的平均速度×客车由高速公路从甲地到乙地 的时间。 客车在高速公路上行驶的平均速度-客车在普通公路上行驶的平均速度 =45km/h 由高速公路从甲地到乙地所需的时间=1/2×由普通公路从甲地到乙地所需 的时间13通过几个实际问题，让学生经历从实际问题抽象、概括分式这一“数学化” 的过程。在教学过程中，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生 分析问题、解决问题的能力。 ） 2.深入探讨，概括概念 做一做： 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐灾。已 知第一次捐款的总额为 4800 元，第二次捐款的总额为 5000 元，第二次捐款的 人数比第一次多 20 人， 而且两次人均捐款额刚好相等。 如果设第一次捐款的人 数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？ （注意让学生努力寻找等量关系，加强学生的思维能力。 ） 答案：等量关系为议一议：上面所得到的方程有什么共同的特点？ （鼓励学生认真观察、独立思考，并用自己的语言描述，然后再与同 拌讨论、交流自己的结果。通过这一过程加强学生的观察能力、语言概括 能力。 ） 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 3. 练习巩固，促进迁移 见课本 P78“随堂练习” 4. 巩固应用，拓展研究 练习 1： 甲 6 小时完成的工作改由甲、乙合作 4 小时可以完成，问乙单独做多少小 时可以完成？设乙单独做 x 小时可以完成，那么 x 应满足怎样的方程？ 练习 2： 王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的 人数估计共需费用 300 元， 后因人数增加到原定人数的 2 倍， 费用享受了优惠， 一共只需要 480 元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少 4 元，原 定的人数是多少？ 这一问题中有哪些等量关系？ 如果设原定是 x 人，那么每人平均分摊 元。 人数增加到原定人数的 2 倍，每个平均分摊 元。 根据题意，可行方 程。 ： 等量关系包括：14方 为：实际参加培训的人数=2×原定参加培训的人数。 原计划每人平均分摊的费用-实际每人平均分摊的费用=4 元；方程为：第二课时 1.创设情景，引出问题 解方程： 你能设法求出上节课中的分式方程 的解吗2.探索交流，发现规律 回顾： 解方程 时，我们一般是先去分母，两边同时乘以最小的公分母 3×7，得，即 7x=9x+21，这种形式相对就容易计算。通过移项，合并同类项求得 x=-10.5。 联系：15对于分式方程，如果两边同时乘以分母最小的公因式，是不是也能像上面的方程一样的解决呢？ 请你试试看！ （通过一元一次方程的解法的展示后让学生探索交流，发现解分式方程的 一般步骤。 ） 解：方程的两边都乘以 x(x+3000),得 9000(x+x 解这个方程，得 x=0.5 思考：如何检验 x=0.5 是方程的解？ 检验：将 x=0.5 代入原方程，如果得到的左边的值等于右边的值，则它 就是原方程的解。 请你检验一下 x=0.5 是不是方程的解？ （同过检验， 体验方程解的意义， 同时为分式方程的增根的研究作好准备。 ） 3.例题讲解，加深印象 例 1：解方程： 解：方法一：方程两边都乘以 2x，得 960-600=90x 解这个方程，得 x=4 检验：将 x=4 代入原方程，得 左边=45=右边， 所以，x=4 是原方程的根。 方法二：先化简得方程两边都乘以 x，得 32-20=3x 解这个方程，得 x=4 检验：将 x=4 代入原方程，得 左边=45=右边， 所以，x=4 是原方程的根。 4.应用拓展，深化研究 议一议：在解方程 时，小亮的解法如下：16你认为 x=2 是原方程的根吗？与同伴交流。 （让学生充分进行讨论、交流。寻找增根产生的原因。 ） 在这里，x=2 不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们 称之为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的两边同时乘了一个可 能使分母为零的整式。 事实上，对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分 式方程不允许未知数取那些分母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母 不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了。换 言之，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根 恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。因为解分式 方程可能会出现增根，所以解分式方程时，验根是必要步骤。 验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这 种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误；另一种是把求得未知 数的值代入分式的分母，看分母的值只否为零，这种方法不能检查解方程过程 中出现的计算错误。 5.练习巩固，课内深化.（3）已知关于 x 的方程的解是负数，求 a 的取值范围。17（6.回顾联系，形成结构 想一想：解分式方程一般需要经历哪几个步骤？ （让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统 化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 7.课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P35－P37第三课时 1.创设情景，探索交流 做一做： （课本问题） 某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金 第二年比第一年多 500 元，所有的房屋出租的租金第一 年为 9.6 万元，第二年为 10.2 万元。 （1） 你能找出这一情景中的等量关系吗？ （2） 根据这一情景你能提出哪些问题？18（3） 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？ （引导学生从不同角度寻求等量关系，让学生明白解决此类问题的关键是 找出等量关系。 ） 答案： （1） 第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500 元 第一年出租的房屋的间数=第二年出租的房屋的间数（2） （3）求出租的房屋总间数；分别求出两年每间房屋的租金 设第一年每间房屋的租金为 x 元，则第二年每间房屋的租金为 （x+500）元，根据题意，得2.例题讲解，分析应用 例 3 （课本例题） 某市从今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 1/3。小丽 家去年 12 月份的水费是 15 元， 而今年 7 月份的水费则是 30 元。 已知小丽家今 3 年 7 月份的用水量比去年 12 月份的用水量多 5m ， 求该市今年居民用水的价格。 此题的主要等量关系是什么？请大家找找看 主要的等量关系是： 小丽家今年 7 月份的用水量― 小丽家去年 12 月份的用水量=5m3 所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以 水的单价得出。 解：设该市去年居民用水的价格 x 元/ m3 ，则今年的水价为（1+1/3）x 元/ m3， 根据题意，得解这个方程，得 x=1.5 经检验，x=1.5 是所列方程的根。 1.5×（1+1/3）=2（元） 所以，该市今年居民用水的价格 2 元/ m3。 （本例密切联系学生生活实际，又关注社会热点――水资源问题。让学 生将实际问题转化为数学模型，并进行解答、解释解的合理性，通过本例 对学生进行节约用水的教育。 ）19则1 ， 超 m3 的 为 .55） 超 m3 水练习 （1）某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过 5m3，则每 立方米收费 1.5 元， 若每户每月水超过 5m3， 则超出部分每立方米收取较高的定 额费用，1 月份，张家用水量是李家用水量的 ）李 出 部 水 为 .55） 超 m3 水3.练习巩固，促进迁移 （1）为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会” ，铁道部临时增开了一列南 宁――昆明的直达快车，已知南宁――昆明两地相距 828km，一列普通列车与 一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍，直达快车比普通快车晚出发 2h，比普通快车早 4h 到达昆明，求两车的 平均速度？ 解：设普通快车的平均速度为 xhm/h，则直达快车的平均速度为 1.5km/h，依题 意，得 解得：x=46 经检验，x=46，是方程的根，且符合题意。 ∴x=46,1.5x=69 （2）编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求：① 要联系实际生活，其解符合实际；②根据题意列出的分式方程中含两项分式， 不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；③题目完 整，题意清楚。 （此题让学生去发现显示生活中的素材，可创编电费、卫生费等问题， 发展学生提出、分析、解决问题的能力，增强他们的应用意识。 ） 解 所编应用题为： 甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做 2 个，甲做 10 个所用 时间与乙做 6 个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？ 解 设甲每小时做 x 个，那么乙每小时做（x-2）个，根据题意，有根 题 得解 方 得∴x=5,x-2=5-2=3 答：甲每小时做 5 个，乙每小时做 3 个。 （3） 甲、 乙两地相距 500 千米， 两车都从甲地开往乙地， 大汽车早出发 2 小时， 小汽车比大汽车晚到 20 分钟，已知小汽车和大汽车速度比是 5：3，求两车的 速度。 4.回顾联系，形成结构 想一想：用分式方程解应用题一般需要经历哪几个步骤？20经 ， 是 方（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统 化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 5.课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P37－P38回顾与思考 教学目标 （一）知识与技能目标 ．使学生系统了解本章的知识体系及知识内容．使学生在掌握通分、约分 的基础上进一步掌握分式的四则运算法则及它们之间的内在联系．在熟练掌握 分式四则运算的基础上，进一步熟悉掌握分式方程的解法及其应用．21（二）过程与方法目标 在学生掌握基本概念、 基本方法的基础上将知识融汇贯通， 进行一些提高训练． （三）情感与价值目标 培养学生对知识综合掌握、 综合运用的能力,提高学生的运算能力． 培养学 生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数 学的应用价值。 教学重点和难点 1．教学重点：(1)熟练而准确地掌握分式四则运算．(2)熟练掌握分式方程 的解法及应用． 2．教学难点：分式、分式方程的模型思想的建立，以及分式和分式方程的 应用。教学方法 查缺补漏，引导法． 教学过程 (一)总结知识体系 要求学生读教材 P．86 的回顾与思考，在读书时思考讨论： 1．这一章学习中要掌握哪些内容，有哪些知识点？ 2．这一章中每一节学习的内容间有什么内在联系？ 在学生讨论后，教师归纳总结出： 1)分式的定义、性质、运算：22(二)例题x ?3 x ?3在分式中，当 x 为何值时，分式有意义？分式的值为零？分析：提问．23(2)分式的分子、分母满足什么条件时，分式有意义？(分母≠0) (3)分式的分子、分母满足什么条件时，分式的值为正？(分子、分母同号) 2、化简? 8ab2 c （1） ? 12a 2b a 2 ? 4a ? 4 （2） 2 ? 4 ?a(三)练习 教材 P．86 中 1―4． (四)小结 分式这一章最关键的也是最重要的是要求我们熟练掌握分式的运算，这也 是我们以后学习的基础．我们要不断提高自己的计算能力． 六、作业 教材 P．87 中 5―8． 教学反思4.1 线段的比 一、教学目标 1. 结合现实情景了解线段的比和成比例线段。 2. 理解并掌握比例的性质及其简单应用。 3. 通过现实情景，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题 和解决问题的的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会24的密切联系。 二、教学重难点 教学重点：理解并掌握比例的性质及其简单应用。 教学难点：利用引入比值 k 的方法研究比例的主要性质。 三、教学过程设计 第一课时 1.创设情景，导出问题 （展示图片）色彩斑斓的世界中有许多形状相同的图形，你知道相似图形 友什么特征吗？ （通过章前导图的阅读，力求以一段简短的文字和几幅典型的图案，反映 图形相似的基本特征和文化价值，并引出本章的学习知识，激发学生的学习兴 趣。 ）观察课本 P90 图 4-1，回答下面问题 （1）如果吧大树和小颖的高分别看成如图 4-1 所示的两条虚线段 AB，CD， 那么着两条线段的长度比是多少？ （2）已知小颖的身高是 1.6m，大树的实际高度是多少？ （创设一个恰当的问题情景，促进学生自觉地认识现实中的比例的模型， 在解决问题的氛围中了解线段的比。 ） 2.探索交流，概括概念 学生动手操作，测量 AB，CD 的长度，容易得出比值约为 4.7：1。问：图 形上两者有这种比例关系，那么实际高度上是否也是满足这个关系呢？学生容 易得出正确的结论，通过比值关系得出大树的实际高度约为 7.52m 议一议：两条线段长度的比与所采用的单位有没有关系？ （通过思考、交流，引导学生得出：线段的长度比与所采用的长度单位无 关。 ） 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB，CD 的长度分别是 m,n，那么就 说这两条线段的比 AB：CD=m:n，或写成（或 a：b=c：d） ，那么，这四条线段叫 做成比例线段，简称比例线段. 练习：25（1） （课本练习） 已知 a、 c、 是成比例线段， b、 d 其中 a=3cm,b=2cm,c=6cm, 求线段 d 的长。 （2）下列四组线段中，a、b、c、d 能成比例线段的是（ ）议一议： 两条线段的比实际上就是两个数的比。如果 a、 b、c、d 四个数满足 ，那么 ac=bd 吗？反过来，如果 ac=bd，大门 吗？与同伴交流。 （学生相互间讨论，从数取值的情况来讨论，经过交流后得出正确的结 论。 ） 在引出进成比例线段的概念后，研究比例的一些性质，比例的性质不 仅适用于有关线段的比例，而且也适用于有关数的比例。 第一个问题可以通过引入比值 k 的方法， 借助代数推理得到解决： 设 =k，那么 a=kb,c=kd,ad=kb?d=b?kd=bc；对于第二个问题，要注意：由 ac=bd 得出 如果 是有条件的。 ，那么 ac=bd （比例的基本性质） （注意指出这个结论与如果 ac=bd（a、b、c、d 都不等于 0） ，那么 基本性质是互逆关系。 ） 3.应用巩固，拓展问题 例326想一想： （让学生通过引入比值 k 的方法，借助代数推理得到解决。 ） 结论： （1）成立。其推导方法与例 3 类似。 （2）当 b+d+f≠0 时，结论成立，其推导方法与例 3 类似。 通过以上研究后，给出下列性质：4.课堂练习，促进迁移 （1）分别计算本课始图“变化的鱼”中 BC 与 GH 的比、CD 与 HL 的比、BD 与 GL 的比，并计算△BCD 与△GHL 的周长比。 （课本练习） （提示学生，计算两个三角形的周长比时可应用比例的等比性质。 ）（2）已知，且 2a+b+3c=21，求 a,b,c 的值。5.回顾联系，形成结构 今天我们学习了哪些知识？它们有什么性质？ （让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统 化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 6.课外作业与拓展 课外作业：课本第 92 页“习题 4.1”27第二课时 1.创设情景，导出问题 你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将各点的横坐标和纵坐标都 乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如 何变化？ 图（1）中的鱼是将各点（0，0）（5，4）（3，0）（5，1）（5，-1）（3， ， ， ， ， ， 0）（4，-2）（0，0）用线段顺次连接而成的；图（2）中的鱼是将图（1）中 ， ， 鱼上的每一个点的横坐标、纵坐标都乘以 2 得到的。（1） （2）线段 CD 与 HL，OA 与 OF，BE 与 GM 的长度各是多少？ 线段 CD 与 HL 的比，OA 与 OF 的比，BE 与 GM 的比各是多少？它 们相等吗？ （3） 在图中，你还能找到比相等的其他线段吗？ （利用学生已学习过的“变化的鱼”为问题情景，一方面可以比较自 然地引入成比例线段，另一方面还涉及图形的相似，既能够体现研究成比 例线段的必要性，又为后面的研究埋下伏笔。 ） 2.探索交流，发现规律 对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的 长度的比相等，即（或 a：b=c：d） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称 比例线段. 练习： （1） （课本练习） 已知 a、 c、 是成比例线段， b、 d 其中 a=3cm,b=2cm,c=6cm, 求线段 d 的长。 （2）下列四组线段中，a、b、c、d 能成比例线段的是（ ）28议一议： 两条线段的比实际上就是两个数的比。如果 a、 b、c、d 四个数满足 ，那么 ac=bd 吗？反过来，如果 ac=bd，大门 吗？与同伴交流。 （学生相互间讨论，从数取值的情况来讨论，经过交流后得出正确的结 论。 ） 在引出进成比例线段的概念后，研究比例的一些性质，比例的性质不 仅适用于有关线段的比例，而且也适用于有关数的比例。 第一个问题可以通过引入比值 k 的方法， 借助代数推理得到解决： 设 =k，那么 a=kb,c=kd,ad=kb?d=b?kd=bc；对于第二个问题，要注意：由 ac=bd 得出 如果 是有条件的。 ，那么 ac=bd （比例的基本性质） （注意指出这个结论与如果 ac=bd（a、b、c、d 都不等于 0） ，那么 基本性质是互逆关系。 ） 3.应用巩固，拓展问题 例329想一想： （让学生通过引入比值 k 的方法，借助代数推理得到解决。 ） 结论： （1）成立。其推导方法与例 3 类似。 （2）当 b+d+f≠0 时，结论成立，其推导方法与例 3 类似。 通过以上研究后，给出下列性质：4.课堂练习，促进迁移 （1）分别计算本课始图“变化的鱼”中 BC 与 GH 的比、CD 与 HL 的比、BD 与 GL 的比，并计算△BCD 与△GHL 的周长比。 （课本练习） （提示学生，计算两个三角形的周长比时可应用比例的等比性质。 ）30（2）已知，且 2a+b+3c=21，求 a,b,c 的值。5.回顾联系，形成结构 今天我们学习了哪些知识？它们友什么性质？ （让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统 化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 6.课外作业与拓展 课外作业：课本第 92 页“习题 4.1”314.2 黄金分割 一、教学目标 1、通过学生的上网搜集，从不同形式的艺术作品、摄影作品及优秀建筑上 认识黄金分割的重要意义。体会到“黄金分割”及“勾股定理”是几何中的两 大宝藏。 2、 “宇宙万物，凡符合黄金分割总是最美的。 ”对学生进行美育教育。 3、通过以学生搜集信息、发布信息、处理和整合信息、应用信息为主线， 培养学生获取知识的能力，分析问题解决问题的能力。 4、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作中 增强学生的时间意识和自信心。 二、教学重难点 认识黄金分割, 在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容。 三、教学过程设计 1、创设情境，设疑激趣 （多媒体演示） 自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、五角星图以及古 希腊的雅典帕德嫩神庙、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的 视觉，为什么它们能令人有如此的感觉呢？（欣赏完图片，学生讨论并引入课题） 2.探索交流，概括概念 如图，五角星是我们常见的图形． 请度量点Ｃ到点Ａ、 Ｂ的距离， 并求你发现了什 解：用刻度尺量得： AC=2.41cm AB=3.90cm么？BC=1.49cm32故即线段 AB、AC、AC、BC 成比例线段．如图，点Ｃ把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点．,那么称线段学习了二元一次方程后，我们可以求得 这一神奇的比例关系由古希腊数学家，哲学家毕达哥拉斯发现，后来被古 希腊著名哲学家、 美学家柏拉图誉为 “黄金分割律”简称 ， “黄金律” 黄金比”冠 “ 、 ． 以&黄金&二字，足见人们对它的珍视。中世纪数学家开普勒(Kepler)将黄金分 割律和勾股定理并称为“几何学中的两大宝藏” 。19 世纪威尼斯数学家帕乔里 将黄金分割律誉为“神赐的比例” ． 3.寻求实例，感受美 我们以黄金分割在人体、摄影、艺术、建筑、乐器、健康? ?方面的应 用来了解黄金分割的魅力所在。 （同学们以小组为单位，上网查找资料） 。 （1）人体：人体本身就是黄金分割律的杰出样本。文艺复兴时期，著名画家、 解剖学家达．芬奇通过人体解剖的测量和研究，发现人体结构中许多比例关系 接近 o．618。如古希腊神话中的太阳神阿波罗的形象、女神维纳斯的塑像，分 别代表男女形体美的典型，并完全符合黄金分割律，美妙绝伦。有人曾断言： “宇宙万物， 凡符合黄金分割律的总是最美的。 下面让我们用我们找到的资料 ” 来证明这些美的存在。 （2） 摄影： 在照片中要表现的主要部分应安排在什么位置才好看呢？摄影中最 常用的办法是黄金分割法，即在整个画面的 0.618 位置确定照片的趣味中心。 （3）艺术： （4）建筑：科学家和艺术家普遍认为，黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。在 建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调 的塔身变得丰富多彩；而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使 整个楼群显得雄伟雅致。古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加 拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原 则来建造的。 （5）乐器：古希腊数学家，哲学家毕达哥拉斯(PInthagoras)有一天路过一铁 匠铺， 被清脆悦耳的打铁声吸引住了， 驻足细听， 凭直觉认定这声音有 “秘密” ！ 他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于 1：330.618．这一发现至今是各种乐器制造的科学依据。 （6）健康： （7）其它： 4.动手操纵，创造美 如图，已知线段 AB，按照如下的方法作图： （1） 经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD=1/2AB （2） 连接 AD，在 DA 上 DE=DB 在 AB 上截取 AC=AE根据上述作图回答下列问题： （1） 如果设 AB=1，那么 BD，AD，AC，BC 分别等于多少？ （2） 点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗？ （先独立思考，再与同伴交流。 ） 想一想：小名同学这样画了一个矩形 AEFD： ①作正方形 ABCD； ②取 AB、CD 中点 M、N，连接 MN； ③连 NC； ④延长 AB 至 E，使 NE=NC； ⑤过 E 作 AE 的垂线，交 DC 延长线于 F 小名说这个矩形就是黄金矩形，你能帮助他说出其中的道理吗？5.回顾联系，形成结构 在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、 门窗等，其短边与长边之比为 0.618，你会因此比例协调而赏心悦目。甚至连 火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守 0.618 比值。在音乐会上，报幕员在舞 台上的最佳位置，是舞台宽度的 0.618 之处。 黄金分割冠以&黄金&二字，足见人们对它的珍视。艺术家们发现，遵循黄 金分割来设计人体形象，人体就会呈现最优美的身段，音乐家们发现，将手指 放在琴弦的黄金分割点处，乐声就益发宏亮，音色就更加和谐；建筑师们发现，34遵循黄金分割去设计殿堂，殿堂就更加雄伟庄重，去设计别墅，别墅将更使人 感到舒适；科学家们发现，将黄金分割运用到生产实践和科学实验中，能够取 得显著的经济效益??。 黄金分割的应用极其广泛， 不愧为几何学的一大宝藏。 4.3 形状相同的图形一、教学目标 1.结合具体实例认识形状相同的图形，体会相似图形在现实中的广泛应用; 2.进一步增强学生的数学应用意识。 二、教学重难点 教学重点：体会现实生活中的形状相同的图形。 教学难点：通过自己的动手制作形状相同的图形，感受数学的实用性及数学图 形的美。 三、教学过程设计 1、引入新课 多媒体展示现实生活中我们会见到如下的图片，把学生的注意力引到图形 的欣赏与感受上来，有利于切于课题：形状相同的图形同一张底片洗出的不同尺过的照片； 两个足球； 两个不同色彩的正方体块； 复印机按一定的缩放比例复印出的图形。通过学生的观察：教师提出问题：以上的每一组图片有什么共同的特点？ 分小组进行讨论 （设计说明：学生很容易观察出每一组图片中的图形的形状都是相同的， 在这里安排学生进行讨论意在如何表达两个图形之间的关系：形状相同，大小 不一定相同。） 学生此时可自由发言，考虑学生的认知水平和认知能力，教师可再加以点 评：形状相同的图形可以是平面二维的，也可以是立体三维的。每一组图形形 状相同，大小不一定相同。 2、强化认识 通过一组图形的观察，让学生直观地判断哪些图形的形状相同？教师将事 先仿课本 P103 页制作好的一组图形用投影显示：35说明：这一组图形只要求学生能直观地判断出形状相同的图形，无需也无 法证明，意在感受形状相同的图形，强化学生的认识。学生分小组讨论举出身 边见到的形状相同的实例，让学生体会到生活中的数学，用以强化学生热爱数 学的思想和意识。 做一做 完成课本 P104 页的“做一做”画两个形状相同的图形说明：这一环节的安 排意在培养学生动手实践的能力， 及动脑的能力， 将准备好的橡皮筋分给学生， 学生按小组共同合作完成，用以培养学生的自主、合作、探究的能力。 （1） 将 2 根长短一样的橡皮筋系在一起，联结出形成一个结点。 （2） 选取一个图形，在图形外取一个定点。 （3） 将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔固定在橡皮 筋的另一端。 （4） 拉动铅笔，使 2 个橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点 在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形。 这个新的图形与已知图形形状相同3.深入探究，挖掘素材 想一想：放大镜下的图形与原来的图形相似吗？ 我们先来看一个简单的图形――角。请大家拿出手头的放大镜，研究一下 这个问题。 （让学生动手操作动手实验，然后讨论后得出结论。 ） 下图所示的是一些相似的图形．36观察上图中的三组图形，看起来每组中的两个图形具有一些相像的成分， 其实形状是不相同的，这样的图形就不是相似形.（让学生通过比较，体会相似图形与不相似图形的“形状”特点。 ） 4、随堂练习 完成课本 P105 页的第 1 题练习。说明：这一环节的设计，意在让学生了解 利用坐标变换也能制作出形状相同的图形， 了解图形的放大与缩小的实际应用。 5.回顾联系，形成结构 （1）在现实生活中有许许多多的形状相同的图形（平面的、立体的） ； （2）感受研究形状相同的的图形具有现实意义。 （3）了解了两种制作形状相同的图形的方法（位似作图、坐标变换） 。 6.课外作业 课外作业：课本：P106 页的习题 4.4 的第 1、2、3 题374.4相似多边形一、教学目标 （一）教学知识点 经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形 的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形. （二）能力训练要求 经历探索图形的边、角关系，培养学生的观察能力，分析判断能力. （三）情感与价值观要求 通过观察、 推断可以获得教学猜想， 体验数学活动充满着探索性和创造性. 二、教学重难点 教学重点:探索相似多边形的定义，以及用定义去判断两个多边形是否相 似. 教学难点:探索相似多边形的定义的过程. 三、教学过程设计 1.创设情景，导出问题 ［师］大家从语文的角度来分析一下“相似”一词的意思. ［生］ “相似”就是差不多，但也不是完全相同，既有相同部分也有不同部 分. ［师］很好，那“相似多边形”应怎么理解呢？ ［生］ “相似多边形”即为两个边数相同的多边形，并且形状一样、大小可 能不同. ［师］大家的分析能力非常棒，究竟“两个相似多边形”需满足什么条件 呢？本节课我们将进行探索. 2.探索交流，概括概念 下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形 ABCDEF 和银幕上的多边形 A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？38（1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测. （2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？ ［师］请大家动手验证一下. ［生］在上图中，六边形 ABCDEF 与六边形 A1B1C1D1E1F1 是形状相同的图形， 其中 ∠A 与∠A1，∠B 与∠B1，∠C 与∠C1，∠D 与∠D1，∠E 与∠E1，∠F 与∠ F1 分别对应相等，AB 与 A1B1，BC 与 B1C1，CD 与 C1D1，DE 与 D1E1，EF 与 E1F1，FA 与 F1A1 的比都相等. ［师］从上可知，幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大 小不同，它们的对应角相等、对应边成比例.那么，形状相同的多边形是都有这 种关系呢，还是只有六边形才有呢？下面我们继续进行探讨. 例 下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？ （1）正三角形 ABC 与正三角形 DEF； （2）正方形 ABCD 与正方形 EFGH. ［师］请大家互相交流. ［生］解： （1）由于正三角形每个角都等于 60°，所以 ∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60° 由于正三角形三边相等，所以（2）由于正方形的每个角都是直角，所以 ∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°， ∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°. 由于正方形四边相等，所以［师］从上面的讨论结果来看，大家能否猜测出相似多边形的定义呢？ ［生］可以. 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做 相似多边形 （ similar polygons）.39相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）. [师]相似应该怎样表示呢？请认真看书. ［生］六边形 ABCDEF 与六边形 A1B1C1D1E1F1 相似.记作六边形 ABCDEF ∽六 边形 A1B1C1D1E1F1，其中 AB∶A1B1 等于相似比. ［师］在记两个多边形相似时，要注意什么？ ［生］要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 3.巩固应用，拓展研究 想一想（1） 如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？ 若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例. 议一议 (1)观察下面两组图形， （1）中的两个图形相似吗？为什么？（2）中 的两个图形呢？与同伴交流.(2)如果两个多边形不相似， 那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边 可能对应成比例吗？ ［生］1.（1）中的两个图形不相似. 因为相似形需要满足两个条件， 一个是对应角相等， 一个是对应边成比例， 虽然（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等,所以两个图形不相似. （2）中的两个图形也不相似. 因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似. 2.如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如（2）中的 两个图形； 如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如（1）中的两 个图形对应边成比例，但对应角不相等. 4.练习巩固，促进迁移 做一做40一块长 3 m，宽 1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽 7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？请大家交流后回答.［生］答：不相似. 内边缘的矩形长为 300 cm，宽为 150 cm，外边缘的矩形长为 315 cm，宽 为 165 cm，因为，所以内外边缘所成的矩形不相似. 想一想（2） 所有的边数相同的正多边形都相似吗？ ［师］正多边形是指各边都相等，各角都相等的多边形，请大家根据定义 进行判断. ［生］相似，因为各角都相等，各边都相等，所以在两个图形中满足对应 角相等、对应边成比例，因此这两个正多边形肯定相似.比如：两个正三角形相 似. 课堂练习 判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由. （1）两个大小不等的矩形； （2）两个大小不等的正五边形； （3）一个正方形与一个平行四边形； （4）两个大小不等的菱形. 解： （1）两个大小不等的矩形不一定相似，虽然它们的对应角相等，都是 直角，但它们的对应边不一定成比例. （2）两个大小不等的正五边形是相似多边形，因为它们的对应角相等，对 应边成比例. （3） 一个正方形与一个平行四边形不相似， 因为平行四边形的四个角不相 等，四条边也不相等，所以对应角不相等，对应边也不成比例. （4）两个大小不等的菱形不一定相似.因为菱形的边长相等，两个菱形满 足对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似. 5.回顾联系，形成结构 本节课通过探究相似多边形满足的条件，从而推导出相似多边形的定义， 并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形. 6.课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P45－P47414.5相似三角形一、教学目标 （一）教学知识点 1.掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相 似. 2.能根据相似比进行计算. （二）能力训练要求 1.能根据定义判断两个三角形是否相似，训练学生的判断能力. 2.能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力. （三）情感与价值观要求 通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般 的关系. 二、教学重难点 教学重点:相似三角形的定义及运用. 教学难点:根据定义求线段长或角的度数. 三、教学过程设计 (一)创设情景，引入新课 ［师］上节课我们学习了相似多边形的定义及记法.现在请大家回忆一下. ［生］对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比. ［师］很好.请问相似多边形指的是哪些多边形呢？ ［生］只要边数相同，满足对应角相等、对应边成比例的多边形都包括. 比如相似三角形，相似五边形等.42［师］由此看来，相似三角形是相似多边形的一种.今天，我们就来研究相 似三角形. （二）探索交流，概括概念 1.相似三角形的定义及记法 ［师］因为相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义 可仿照相似多边形的定义给出，大家可以吗？ ［生］可以. 三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles）.如△ABC 与△DEF 相似，记作 △ABC ∽△DEF 其中对应顶点要写在对应位置，如 A 与 D，B 与 E，C 与 F 相对应.AB∶DE 等于相似比. ［师］知道了相似三角形的定义，下面我们根据定义来做一些判断. 2.想一想 如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什 么关系？对应边呢？ ［生］由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例. 所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.（使学生认识定义所揭示的相似三角形的本质属性，即对应边成比例、对 应角相等。 ） 3.议一议 投影片 （1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？ （2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？ （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？ ［师］请大家互相讨论. ［生］解： （1）两个全等三角形一定相似. 因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应 边一定成比例，且相似比为 1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全 等三角形一定相似. （2）两个直角三角形不一定相似. 因为虽然都是直角三角形，但也只能确定有一对角即直角相等，其他的两 对角可能相等，也可能不相等，对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似. 两个等腰直角三角形一定相似. 因为两个等腰直角三角形 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，则∠A= ∠B=∠D=∠E=45°，所以有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.43再设△ABC 中 AC=b，△DEF 中 DF=a，则AC=BC=b，AB= DF=EF=a，DE=所以两个等腰直角三角形一定相似. （3）两个等腰三角形不一定相似. 因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，但另一边不固定，因此这两 个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此 不用再去讨论对应角满足什么条件， 就可以确定这两个等腰三角形不一定相似. 两个等边三角形一定相似. 因为等边三角形的各边都相等， 各角都等于 60 度， 因此这两个等边三角形 一定有对应角相等、对应边成比例，所以它们一定相似. ［师］由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似. 两个全等三角形一定相似. 两个等腰直角三角形一定相似. 两个等边三角形一定相似. 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似. （通过练习，使学生直接对相似三角形概念的应用。 ） （三）巩固应用，拓展研究 投影片 1.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是 20 m，在这个草坪 的图纸上，这条边长 5 cm，其他两边的长都是 3.5 cm，求该草坪其他两边的实 际长度.解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，它们的相似比是 2000∶ 5=400∶1 如果设其他两边的实际长度都是 x cm，则 所以 x=32 在（2）中，由两三角形相似可知：对应角相等，对应边成比例.所以， n=55，m=80442.等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 A′B′C′相似， 相似比为 3∶1， 已知斜边 AB=5 cm，求△A′B′C′斜边 A′B′上的高.解：如图所示：CD、C′D′分别是△ABC 与△A′B′C′斜边 AB 与 A′B′ 边上的高.3.△DEF ∽△MNH，∠D=50°,∠E=105°,则∠H=____________； 4.如图，△ADB∽△ABC,若∠A=75°,∠D=45°,则∠CBD=____________.5.△ABC∽△A1B1C1，相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为 5:4，则△ABC ∽ △A2B2C2，其相似比为____________. （五）活动与探究 引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角 形的三边与原三角形三边对应成比例. 如图45已知：DE∥BC，交 AB 于 D、AC 于 E. 则有： 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所 构成的三角形与原三角形相似. 已知：如图，如果 DE∥BC，DE 交 AB、AC 于 D、E求证：△ADE∽△ABC. 证明：∵DE∥BC. 由引理得 且∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 又∵∠A=∠A. ∴由相似三角形的定义可知 △ADE∽△ABC. （六）回顾联系，形成结构 .相似三角形的判定方法――定义法. （七）课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P47－P48464.6探索三角形相似的条件 第一课时一、教学目标 （一）教学知识点 1.掌握三角形相似的判定方法 1. 2.会用相似三角形的判定方法 1 来证明及计算. （二）能力训练要求 1.通过亲身体会得出相似三角形的判定方法，培养学生的动手能力； 2.利用相似三角形的判定方法 1 进行有关计算及证明，训练学生的灵活运 用能力. （三）情感与价值观要求 1.经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力， 并能有条理地、清晰地阐述自己的观点.472.通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，进一步 领悟类比的思想方法. 二、教学重难点 教学重点：相似三角形的判定方法以及推导过程，并会用判定方法来证明 和计算. 教学难点：判定方法的运用 三、教学过程设计 （一）创设情景，引入新课 ［师］上节课我们学习了相似三角形的定义，即三角对应相等、三边对应 成比例的两个三角形是相似三角形，同时这也是相似三角形的一种判定方法， 即定义法.那么， 除此之外， 还有没有其他方法呢？本节课开始我们将进行这方 面的探索. （二）新课 ［师］在三角形中有六个元素，即三个角和三条边，要进行相似的判断， 就是要看在这两个三角形中角或边需满足什么条件，两个三角形就相似，而在 判断两个三角形全等时， 也是讨论边、 角关系的.下面我们先回忆一下全等三角 形的判定方法，然后进行类比，好吗？ ［生］好 全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再 加 HL. ［师］那么，相似三角形应该如何判断呢？ 1.做一做. 投影片 （1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°，与同伴交流，你们所画的三角形相 似吗？ （2）与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′,使得∠A 和∠A′ 都等于给定的∠α ， B 和∠B′都等于给定的∠β ， ∠ 比较你们画的两个三角形， ∠C 与∠C′相等吗？对应边的比都等于给定的值 k. （1）设法比较∠A 与∠A′的大小、∠B 与∠B′的大小、∠C 与∠C′的大 小. （2）△ABC 与△A′B′C′相似吗？说说你的理由.改变 k 值的大小，再试 一试. ［师］大家可以按照上面的步骤进行，这里的 k 由自己定，为了节约时间， 请大家一个组取一个相同的 k 值，不同的组取不同的 k 值，好吗？ ［生］好. ［师］经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？ ［生］结论为∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′ △ABC∽△A′B′C′,理由是： ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′48根据相似三角形的定义可知：△ABC∽△A′B′C′. ［师］其他组的同学的结论相同吗？ ［生］相同. ［师］经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法，即三 边对应成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的判定方法 3. ［师］前面两种判定方法我们都是只从角或只从边的方面去考虑的，下面 我们要从两方面来考虑.还是要类比全等三角形的判定方法， 在全等的判定方法 中有 ASA，SAS，AAS，其中 ASA、AAS 我们就不用考虑了，因为我们已经有判定 方法 1、3，下面来验证 SAS，大家还是先猜想，然后再验证. ［生］两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. ［师］好，下面我们还是由大家自己推导吧.请看投影片 画△ABC 与△A′B′C′，使∠A=∠A′， 都等于给定的值 k.设法比较 ∠B 与∠B′的大小（或∠C 与∠C′的大小） ABC 与△A′B′C′ 、△ 相似吗？ （2）改变 k 值的大小，再试一试. ［师］请大家按照上面的步骤进行，同时还要采取不同的组取不同的 k 值 法. ［生］ 按照要求作出的△ABC 与△A′B′C′中， 有∠B=∠B′， C=∠C′， ∠ 因此根据判定方法 1 可知，△ABC∽△A′B′C′. ［师］大家同意吗？ ［生］同意. ［师］好，我们又探索出一个相似三角形的判定方法，即两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形相似. 3.想一想 ［师］下面验证 SSA，即两边对应成比例，其中一边的对角对应相等，这 两个三角形相似吗？ 在全等三角形的判定中 SSA 就不成立.大家还可以仿照上面的验证过程来 进行推导，下面是小明和小颖分别画出的一个满足条件的三角形，由此你能得 到什么结论？49［生］从上面的图中可以得出结论：有两边对应成比例，其中一边的对角 相等的三角形不相似. 4.做一做 ［师］在这两节课中我们已经学完了一般相似三角形的判定方法，下面请 大家总结一下有几种方法. ［生］一共有四种方法. 第一种：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.即定义法. 第二种：即判定方法 1 两角对应相等的两个三角形相似. 第三种：即判定方法 2 三边对应成比例的两个三角形相似. 第四种：即判定方法 3 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. ［师］从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，需要研 究三对角、三对边，而后面的几种方法最多只需要研究三对边或角，因此定义 法一般不利用.如果已知条件只涉及角， 就用第二种判定方法； 如果已知条件只 涉及边，就用第三种判定方法；如果既有角又有边，则可考虑用第四种方法判 断. 5.议一议 如图，△ABC 与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？［生］解：△ABC∽△A′B′C′. 判断方法有. 1.三边对应成比例的两个三角形相似. 2.两角对应相等的两个三角形相似.503.两边对应成比例且夹角相等. 4.定义法. （三）巩固应用，拓展研究 下面每组的两个三角形是否相似？为什么？生］解： （1）△ABC∽△DEF ∵ ∴△ABC∽△DEF （2）在△ABC 中 AB=2，AC=6∵∠A=∠A ∴△ABC∽△AEF （四）练习巩固，促进迁移 依据下列各组条件， 判定△ABC 与△A′B′C′是不是相似， 并说明为什么. （1）∠A=120°,AB=7 cm,AC=14 cm, ∠A′=120°,A′B′=3 cm,A′C′=6 cm, （2）AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm, A′B′=12 cm,B′C′=18 cm,A′C′=24 cm. 解： 又∵∠A=∠A′ ∴△ABC∽△A′B′C′（两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似） （2）∴△ABC∽△A′B′C′（三边对应成比例，两三角形相似） （五）回顾联系，形成结构 本节课主要探讨了相似三角形的另两种判定方法，即三边对应成比例与两51边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.培养了大家的探索精神， 同时让学 生懂得了数学活动充满着探索与创新，学习的目的是能运用学过的知识去解决 问题，在这里就是能利用判定方法进行有关证明. （六）活动与探究 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为 4、5、6，另一个三角形框架的一边长为 2，怎样选料可使这两个三角形相似？ 你选的木料唯一吗？ 解：选法不唯一. 因为另一个三角形的一边长 2 究竟对应哪一条边，在已知条件中并没有规 定，因此 2 有可能对应每一条边，即 2 对应 4，2 对应 5，2 对应 6，所以有三 种情况. 设另一个三角形中两边长为 x、y. 当 2 对应 4 时，有 2∶4=x∶5=y∶6 解，得当 2 对应 5 时，有 2∶5=x∶4=y∶6 解，得当 2 对应 6 时,有 2∶6=x∶4=y∶5 解,得 （七）课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P50-P5152第二课时 一、教学目标 （一）教学知识点 1.掌握三角形相似的判定方法 2、3. 2.会用相似三角形的判定方法 2、3 来判断、证明及计算. （二）能力训练要求 1.通过自己动手并总结推出相似三角形的判定方法 2、3，培养学生的动手 操作能力，总结概括能力. 2.利用相似三角形的判定方法 2、3 进行判断，训练学生的灵活运用能力. （三）情感与价值观要求 1.通过探索相似三角形的判定方法 2、3,体现数学活动充满着探索性和创 造性. 2.通过对判定方法的探索， 发展学生思维的灵活性， 进一步培养逻辑推理能力， 领会分类思想. 二、教学重难点 教学重点：相似三角形判定方法 2、3 的推导过程，掌握判定方法 2、3 并 能灵活运用. 教学难点：判定方法的推导及运用 三、教学过程设计 （一）创设情境，引入新课 投影片 如图， ∥CD,∠1=∠2,∠B=∠D,你能找出图中几对相似三角形？并逐一说 AF 明相似的理由.［师］请大家观察图形，运用我们学过的判定方法，讨论得出结果. ［生］有四对相似三角形，它们是△AEF∽△DEC，△AFB∽△ACD，△AEB ∽△CED，△AEF∽△EBA. 他们相似的理由都是用相似三角形的判定方法 1. ［师］现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义， 一种是判定方法 1，除此之外，是否还有其他的办法来判定两个三角形相似？ 这一问题就是本节课我们需要研究的问题.53（二）新课讲授 ［师］相似三角形的判定方法 1 是只从角的方面考虑的，下面我们只从边 的方面去考虑.我们在学习全等三角形的判定方法中，也有只用边来进行判断 的， SSS 公理.大家能不能用类比的方法， 即 猜想只用边来判定三角形相似的方 法呢？ ［生］三边对应成比例的两个三角形相似. ［师］下面我们就来验证一下. 1.相似三角形的判定方法 2：三边对应成比例的两个三角形相似. 投影片 画△ABC 与△A′B′C′，使都等于给定的值 k. （1）设法比较∠A 与∠A′的大小、∠B 与∠B′的大小、∠C 与∠C′的大 小. （2）△ABC 与△A′B′C′相似吗？说说你的理由.改变 k 值的大小，再试 一试. ［师］大家可以按照上面的步骤进行，这里的 k 由自己定，为了节约时间， 请大家一个组取一个相同的 k 值，不同的组取不同的 k 值，好吗？ ［生］好. ［师］经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？ ［生］结论为∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′ △ABC∽△A′B′C′,理由是： ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′根据相似三角形的定义可知：△ABC∽△A′B′C′. ［师］其他组的同学的结论相同吗？ ［生］相同. ［师］经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法，即三 边对应成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的判定方法 3. ［师］前面两种判定方法我们都是只从角或只从边的方面去考虑的，下面 我们要从两方面来考虑.还是要类比全等三角形的判定方法， 在全等的判定方法 中有 ASA，SAS，AAS，其中 ASA、AAS 我们就不用考虑了，因为我们已经有判定 方法 1、3，下面来验证 SAS，大家还是先猜想，然后再验证. ［生］两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. ［师］好，下面我们还是由大家自己推导吧.请看投影片 画△ABC 与△A′B′C′，使∠A=∠A′，54都等于给定的值 k.设法比较 ∠B 与∠B′的大小（或∠C 与∠C′的大小） ABC 与△A′B′C′ 、△ 相似吗？ （2）改变 k 值的大小，再试一试. ［师］请大家按照上面的步骤进行，同时还要采取不同的组取不同的 k 值 法. ［生］ 按照要求作出的△ABC 与△A′B′C′中， 有∠B=∠B′， C=∠C′， ∠ 因此根据判定方法 1 可知，△ABC∽△A′B′C′. ［师］大家同意吗？ ［生］同意. ［师］好，我们又探索出一个相似三角形的判定方法，即两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形相似. 3.想一想 ［师］下面验证 SSA，即两边对应成比例，其中一边的对角对应相等，这 两个三角形相似吗？ 在全等三角形的判定中 SSA 就不成立.大家还可以仿照上面的验证过程来 进行推导，下面是小明和小颖分别画出的一个满足条件的三角形，由此你能得 到什么结论？［生］从上面的图中可以得出结论：有两边对应成比例，其中一边的对角 相等的三角形不相似. 4.做一做 ［师］在这两节课中我们已经学完了一般相似三角形的判定方法，下面请 大家总结一下有几种方法. ［生］一共有四种方法. 第一种：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.即定义法. 第二种：即判定方法 1 两角对应相等的两个三角形相似. 第三种：即判定方法 2 三边对应成比例的两个三角形相似. 第四种：即判定方法 3 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. ［师］从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，需要研55究三对角、三对边，而后面的几种方法最多只需要研究三对边或角，因此定义 法一般不利用.如果已知条件只涉及角， 就用第二种判定方法； 如果已知条件只 涉及边，就用第三种判定方法；如果既有角又有边，则可考虑用第四种方法判 断. 5.议一议 如图，△ABC 与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？［生］解：△ABC∽△A′B′C′. 判断方法有. 1.三边对应成比例的两个三角形相似. 2.两角对应相等的两个三角形相似. 3.两边对应成比例且夹角相等. 4.定义法. （三）巩固应用，拓展研究 下面每组的两个三角形是否相似？为什么？生］解： （1）△ABC∽△DEF ∵ ∴△ABC∽△DEF （2）在△ABC 中 AB=2，AC=656∵∠A=∠A ∴△ABC∽△AEF （四）练习巩固，促进迁移 依据下列各组条件， 判定△ABC 与△A′B′C′是不是相似， 并说明为什么. （1）∠A=120°,AB=7 cm,AC=14 cm, ∠A′=120°,A′B′=3 cm,A′C′=6 cm, （2）AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm, A′B′=12 cm,B′C′=18 cm,A′C′=24 cm. 解： 又∵∠A=∠A′ ∴△ABC∽△A′B′C′（两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似） （2）∴△ABC∽△A′B′C′（三边对应成比例，两三角形相似） （五）回顾联系，形成结构 本节课主要探讨了相似三角形的另两种判定方法，即三边对应成比例与两 边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.培养了大家的探索精神， 同时让学 生懂得了数学活动充满着探索与创新，学习的目的是能运用学过的知识去解决 问题，在这里就是能利用判定方法进行有关证明. （六）活动与探究 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为 4、5、6，另一个三角形框架的一边长为 2，怎样选料可使这两个三角形相似？ 你选的木料唯一吗？ 解：选法不唯一. 因为另一个三角形的一边长 2 究竟对应哪一条边，在已知条件中并没有规 定，因此 2 有可能对应每一条边，即 2 对应 4，2 对应 5，2 对应 6，所以有三 种情况. 设另一个三角形中两边长为 x、y. 当 2 对应 4 时，有 2∶4=x∶5=y∶6 解，得当 2 对应 5 时，有 2∶5=x∶4=y∶657解，得当 2 对应 6 时,有 2∶6=x∶4=y∶5 解,得（七）课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P50-P51§4.7 测量旗杆的高度 一、教学目标 1．通过测量旗杆的高度，提高综合运用三角形相似的判定条件和性质解决 问题的能力，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识。 2．在分组合作活动以及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验和成 功的体验，增强学习数学的自信心。 二、教学和活动过程 (一)教学准确阶段 本节课的主要任务是通过测量某些不能直接度量的物体的高度，培养学生 学数学的兴趣和用数学的意识。这就需要明确测量方法。 （1） 活动课题： 利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度。 （2）活动方式：分组活动、全班交流研讨。 （3）学生准备：有关用具（小镜子、标杆、皮尺、计算器等） ；预习课本； 通过咨询家长、老师或上网、查阅资料等方式获得书本以外的测量方法。 （4）教师准备：由于课内需要可将学生提前分组（确定好观测者，提前量 好观测者的身高以及观测者的眼睛离地面的高度等） 。 (二)教学活动过程 第一阶段：介绍具体的测量方法和要求。 方法 1：利用阳光下的影子（原理：这是直接运用相似三角形的方法） 。 具体操作：每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他同学分为 两组，一组测量该同学的影长，另一组测量同一时刻旗杆的影长。根据测量数 据，你能求出旗杆的高度吗？说说你的理由。58（注意问题：在说明两个直角三角形相似的理由时，要用到“太阳光是 平行光线”的知识。对此，教师可以向学生做些解释。事实上，由于太阳 离我们非常遥远，而且太阳的体积比地球大得多，因此可以把太阳光近似 地看成平行光线。另外在计算时还要用到站立者的身高。 ） （需测量的数据――观测者的身高、 观测者的影长、 同一时刻旗杆的影长。 ） 方法 2：利用标杆（原理：这是间接运用相似三角形的方法。 ） 具体操作：每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面 上直立一根高度适当的标杆。观测者适当调整自己所处的位置，当旗杆的 顶部、标杆的顶端、观测者的眼睛恰好在一条直线上时，其他同学立即测 出观测者的脚到旗杆底部的距离以及观测者的脚到标杆底部的距离，然后 测出标杆的高。根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说说你的理由。 （注意问题：使用这种方法时，观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆 的顶端“三点共线” ，标杆与地面要垂直。另外计算时还要用到观测者的眼 睛离地面的距离。 ） （需测量的数据――观测者的脚到旗杆底部的距离、观测者的脚到标杆 底部的距离、标杆的高等，知道观测者的眼睛离地面的高度。 ） 方法 3：利用镜子的反射（原理：这是直接运用相似三角形的方法） 。 具体操作：每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面 上平放一面镜子，在镜子上做一个标记。观测者看着镜子来回移动，直至看到 旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。测量所需的数据，根据所测的结 果你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由。59（注意问题：在说明两个直角三角形相似的理由时，要用到光线的“入 射角等于反射角”的知识，这是物理学中“反射定律”的知识，若有必要， 可向学生作些解释和说明。 ） （需测量的数据――观测者到镜子的距离、镜子到旗杆底部的距离、观 测者的身高。 ） 其他：鼓励学生以小组为单位利用相似的知识研讨新的测量方法。 第二阶段：根据第一阶段的研究，到户外分组实际测量。 每小组 5 名学生，5 名学生分工如下：一名观测者，两名测量者，一名扶 标杆和移动小镜子者，一名记录者。每组至少分别采用三种方法进行测量（如 果学生有其他的测量方法，可以实地测量） 。全部测量完后，利用计算器分别计 算出旗杆的高度，检查数据是否一样。分析讨论并比较这几种方案的优劣，形 成优化意识。 （三）课外作业与拓展 北师大版八年级（下）P51－P53 4.8 相似多边形的性质 第一课时 一、教学目标 1.经历探索相似多边形的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态 度、价值观，体验解决问题策略的多样性。 2.理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、以及对应中线 的比都等于相似比。 3.培养学生的分析能力和数形结合的能力 4.理解并初步掌握相似多边形周长的比等于相似比、面积的比的等于相似 比的平方，并能用来解决简单的问题。 二、教学重难点60理解并初步掌握相似多边形周长的比等于相似比、面积的比的等于相似比 的平方，并能用来解决简单的问题。 三、教学过程设计 1.创设情景 若正方形 ABCD 边长为 1 周长为 4,面积为 1 若边长增大一倍,变为 2.周长为 8,面积为 4 若边长,变为 3.周长为 12,面积为 9 若边长,变为 N.周长为 4N,面积为 NN 2.探索交流 钳工小王准备按照比例尺 3:4 的图纸制作三角形零件,该零件的横截面为 Δ ABC 画在图纸上是Δ DEF, CH,FG 分别是它们的高. （在通过△ABC 与△DEF 相似， 且相似比为具体的数值 3： 的问题的研究后， 4 再研究相似比为 k 的情况，便于学生的掌握。 ） 3.发现规律 已知△ABC∽△DEF，那么他们的相似比为 k （1）如果 CH 和 FG 是他们的对应高，那么 等于多少。（2）如果 CH 和 FG 是他们的对应角平分线，那么等于多少。如果 CH 和FG 是他们的对应中线呢？那么等于多少。（把问题推广到一般的情况，解决的方法与上面的方法一样，让学生经历 一个由特殊到一般的过程，体会解决数学问题的常用方法。 ） 性质：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于 相似比。4.巩固应用，拓展研究 如图，在等腰三角形 ABC 中，底边 BC=60cm，高 AD=40cm，四边形 PQRS 是 正方形， （1） △ASR 与△ABC 相似吗？为什么？ （2） 求正方形 PQRS 的边长。 解略61（通过此例既复习了相似三角形的相关知识，又是本节结论的直接应用。 ） 5.练习巩固，促进迁移 （1）如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下一个宽为 DE 的亮区，已 知亮区一边到窗口下墙角的距离 EC=8.7m， 窗口底边距地面的高度 BC=4m， 窗口 的高度 AB=1.8m，假设阳光光线是平行的，求亮区 DE 有多宽？（2）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EAB 上一点，EF∥BC，并且 EF 将梯形分 成两个梯形 AEFD 与 EBCF 相似，若 AD=4，BC=9，求 AE：BE6.回顾联系，形成结构 谈谈本节后你的收获与疑惑。 （让学生总结，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成 知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 7.课外作业与拓展 P53－P55 第二课时 一、教学目标 1.掌握相似多边形周长,面积的比. 2.培养学生的分析能力和数形结合的能力. 3.体验解决问题策略的多样性. 4.发展学生积极的情感,态度,价值观. 二、教学重难点 掌握相似多边形周长,面积的比62三、教学过程设计 1.创设情景 若正方形 ABCD 边长为 1 周长为 4,面积为 1 若边长增大一倍,变为 2.周长为 8,面积为 4 若边长,变为 3.周长为 12,面积为 9 若边长,变为 N.周长为 4N,面积为 NN 2.探索交流 钳工小王准备按照比例尺 3:4 的图纸制作三角形零件,该零件的横截面为 Δ ABC 画在图纸上是Δ DEF, CH,FG 分别是它们的高.（1）找出图中的相似三角形,并简述理由. Δ ABC∽Δ DEF, Δ AHC∽Δ GFE Δ HCBΔ DGFΔ ABC∽Δ DEF, （2）CH 与 FG 的比是多少? 3:4 （3）Δ ABC 与 DEF,的周长比和面积比分别是多少? 你是怎么想的?与同伴交流. 分析： (AB+AC+BC)/(EF+ED+FD)=4:3 所以周长之比是 4:3 面积:0.5AB×HC/0.5EDGF=16/9 所以面积之比是 16/9 3.发现规律 想一想：如果Δ ABC∽Δ DEF，相似比为 k，那么Δ ABC∽Δ DEF 的周长比和 面积比分别是什么？ （由学生讨论得出结论，由上节课的研究方法学生不难得出结论。 ） 4.巩固应用，拓展研究 议一议： 如下图，四边形 A1B1C1D1 和 A2B2C2D2 相似，相似比为 k （1）四边形 A1B1C1D1 和 A2B2C2D2 相似.连接对角线 A1C1 和 A2C2 所得的Δ A1B1C1 与 Δ A2B2C2 相似吗? （2）Δ A1C1D1 与Δ A2C2D2 呢？如果相似，它们相似比是否相等?为什么? （3）四边形 A1B1C1D1 和 A2B2C2D2 的周长比,面积比与相似比有什么关系?63相似多边形的周长等于相似比,面积比等于相似比的平方. 5.练习巩固，促进迁移 （1） 左图是某城市地图的一部分,比例尺 1:6000 ①设法求出图上环形快速路的总长度,并由此求出环形快速路的实际长度. ②估计环形快速路所围成的区域的面积,你怎么想的?与同伴交流. （考虑周长时可以用一根弹性可以忽略不计的线绳沿图中的环形路围成一 圈，去掉多余的部分，此时线绳的长就是环形快速路的图上距离。考虑面积时 可以将环形路近似地看作一个矩形， 估计其面积； 也可以用透明的方格纸覆盖， 通过数方格纸格子的方法得到近似值。 ） ③有人认为,两个相似三角对应角平分线的比等于周长的比,你认为对吗? ④若比例尺是 1:10000.图上图形与实际图形相似吗?求相似比?周长比,面 积比. （2）如图所示，矩形 ABCD∽矩形 AEFG，且其相似比为 5：2 ① RtΔ AEF 与 RtΔ DCB 相似吗？请说明理由。 ② EF 与 BD 平行吗？为什么？ ③ 如果矩形 ABCD 的面积 300cm2，求矩形 AEFG 的面积。P55 第 1 题） 6.回顾联系，形成结构 本节课你最成功的是什么? （让学生总结，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成 知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． ） 7.课外作业与拓展 P55－P56 4.9 图形的放大与缩小 第一课时教学目标 1、知识与技能：了解位似图形及其有关概念，能够利用作位似图形等方法 将一个图形放大或缩小。642、过程与方法：学生经历将一个图形放大或缩小的方法，并且在学习和运 用过程中发展数学应用意识。 3、情感态度与价值观：培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想 探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。 教学重难点 教学重点：能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。 教学难点：位似图形的画法。 教学过程 一、 创设情境 操作引入 1、展示课件：两组图片，一是万里长城