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高数,证明基本初等函数其定义域里的极限值等于函数值.证明基本初等函数其定义域里的极限值等于函数值. 例如幂函数,指数函数.谢谢大家.帮忙证明一下.
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回答这个问题太花篇幅.要一一验证.x平方的连续性可以直接按定义验证.x的a次方连续性要根据其定义,由对数函数的连续性得证.对数函数的连续性要用到重要不等式,即那个极限为e的极限.指数函数的连续性可以借助反函数的连续性定理得到.建议提问者找一本《数学分析》书参考.
帮我写个大概的，谢谢
整数幂函数连续性由二项式展开定理可证，一般幂次函数由其定义-对数函数连续性可证，对数函数连续性要用到重要不等式，即那个极限为e的极限。指数函数的连续性可以借助反函数的连续性定理得到，三角函数的连续性由三角函数和差化积及一个重要极限（sinx/x 当x趋向0）可证，反三角函数的连续性可以借助反函数的连续性定理得到。
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扫描下载二维码第一章 函数极限与连续 高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。 第一节
函数的概念 一、几个基本概念 1
常量与变量
在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。通常用小写字母a、b、c ?? 等表示常量，用小写字母x、y、z、?? 表示变量。 例如：圆周率?是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。 注意： 1 常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。在不同的过程中常量和变量是可以转化的。如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了； 2 从几何意义上来表示，常量对应数轴上的定点，变量对应数轴上的动点。 2
集合、区间 集合是表示具有同一种属性的全体。 例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团05年度的所有产品组成一个集合；所有正有理数仍组成一个集合等等。 有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了 下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号： 开区间：?a,
1 闭区间：? a,
a?x?b ?； 左半开区间（或右半闭区间）( a,
a?x?b ?； 右半开区间（或左半闭区间）[ a,
a?x?b ?； 上述四个区间的长度都是有限长的，因此把它们统称为有限区间。 无穷区间有： ( ??,
?? )?R；( a,
x|x?b?；???,
x?b?。 如无特别声明，可用如下符号表示一些常用数集： R ―― 实数集；Q ―― 有理数集；Z ―― 整数集；N ―― 自然数集。 有时为了讨论数轴上某点附近的性质，为此引入邻域的概念。 定义1设a是一个实数，?是正数（通常是指很小的数），数轴上到点a的距离小于?的点的全体，称为点a的?―邻域，记为U?a,??。即： U?a,
?? ? ?数集 x
0? |x?a| ?? 称为点a的去心?―邻域。记为U?a,?? ??二、函数的概念 定义2 设x,
y是两个变量，D是R上的非空数集，对任意的x?D，通过某一个确定对应关系（或对应法则）f，在实数集R上有唯一的一个y与之对应，则称f是从D到R上的一个函数（也称为定义在D上的函数），记为： f：D?R，x?y 简记为：y?f?x? 通常把x称为自变量，y称为因变量（或x的函数），x的取值范围称为函数的定义域（就是本定义中的D）。一般情况下，用Df表示函数的定义域。当取x?x0时，按照对应法则f有y0?f?x0?与之相对应，并称其为函数在点x0处的函数值；当x在2
区域D上取遍时，所对应的函数值的全体称为函数的值域，记为Rf 。即 Rf?? y
x?Df ? 对于函数概念，以下几点是值得注意的： 1 以上函数定义基本上是按照初等数学中所描述的方式给出的，它指的是单值函数； 2 函数的实质是对应关系（或对应法则），只要两个变量之间能找到一种对应，我们就说它们之间确定了一个函数； 3 确定函数有两个要素，这就是：定义域与对应关系； 4 函数之间可以定义加、减、乘、除等运算，但是运算必须在所有函数都有意义的公共范围内进行。 有关函数的相等、函数的定义域、值域；函数的四则运算等概念在中学数学课本中已有介绍，这里就不再复述了。 下面我们来看几个具体的例子： 例1 由关系式 x?y?1 能确定两个变量x与y之间的一种对应关系，可以说是一个函数关系，但它不是我们所指的函数。比如x = 0时，相应的y可以等于1，也可以等于-1。其实它们是y??1?x,
y??1?x这样两段函数，这类函数我们称为多值函数。 例2 函数 2222?x,
x?0y? x ?? ??x,
x?0的定义区域为R，值区域为[0,
??)，它称为绝对值函数，其图像如图1-1。通常这类函数称为分段函数。 所谓分段函数是指：函数在定义域的不同范围内的函数表达式不同，它实质上是一个函数，不能理解为两个或多个函数。 例3 函数 ?1,
y?sgnx??0,
x?0? 称为符号函数，这也是分段函数，记为sgnx，它的定义区域Df =???,
???，值域 3 Rf =?
1?，它的图形如图1-2所示。对任何实数x都有下列关系式：x?sgnx?|x|成立，所以它起着一个符号的作用。 y 图 1-1
例4 狄立克莱函数（Dirchlet) 图 1-2
为有理数时 ?0,
为无理数时它的定义区域是Df =???,
???，值域是Rf =?
1?。 三、函数的表示法 1 解析法（公式法）：把两个变量之间的关系直接用数学式子表示出来，必要的时候还可以注明函数的定义域、值域，这种表示函数的方法称之为解析法。这在高等数学中是最常见的函数表示法，它便于我们进行的理论研究。如：例1，例2等。 2 表格法：就是把自变量和因变量的对应值用表格形式列出。这种表示法有较强的实用价值，比如三角函数表、常用对数表等等。 3 图示法：用某坐标系下的一条曲线反映自变量与因变量的对应关系的方法。比如，气象台自动温度计记录了某地区的一昼夜气温的变化情况，这条曲线在直角坐标系下反映出来的就是一个函数关系。这种方法，几何直观性强，函数的基本性态一目了然，看图就基本上都知道了，但它不利于理论研究。 四、函数的初等性质 微积分学的主要研究对象是函数，既然要对函数进行研究，自然要对函数有哪些4
?x ?0 -1 ?
y 1 x 基本几何性质有一定的了解，下面我们将逐一进行介绍。 定义3（函数的单调性） 设f ( x )在区间I上有定义，若对任意的x,
y?I，当，则称f ( x )在区间I上为单调增加函x?y时，有f(x)?f(y)（或f(x)?f(y)）数（或单调减少函数）； 若对任意的x,
y?I，当x?y时，有f(x)?f(y)（或f(x)?f(y)），则称 f ( x )在区间I上为严格单调增加函数（或严格单调减少函数）。 单调增加函数（或单调减少函数）、严格单调增加函数（或严格单调减少函数）统称为单调函数（也称函数具有单调性）。 在几何上，单调增加（减少）函数的图形是沿x轴的正向渐升的（或渐降的）。如下图所示。
y f(x2)f(x1)f(x1)y f(x2)x1 x2 x x1 x2 x 图 1-3 2图 1-4 例5 函数y?x在区间???,
0?上严格单调递减，而在区间?0,
???上却严格单调递增，这在考虑函数的单调性时，是要特别注意的问题。函数的单调性是函数在一个有定义区间内的特征性质，在不同的区间上可能有不同的单调性。即便在各个不同的区间内单调性相同，但在整个定义 y 域内仍有可能不单调。 比如，函数y?1 的定义域为 x???,
???，函数如图1-5 所示，它不是单调函数，但它在???,
??)上分别单调递减。
x 图 1-5 5【图文】高等数学课件1-2函数的极限_百度文库
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高等数学课件1-2函数的极限
&&高等数学课件
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你可能喜欢一种高等数学函数极限演示教具制造技术
一种高等数学函数极限演示教具。涉及一种高等数学函数演示教具。为解决现有高等数学函数极限演示教具，其展示面板固定放置，不能自由转动，绘制图像麻烦且教具挪动困难问题。演示面板的前表面粘贴有橡胶面板，固定柱的一端与演示面板后表面上部相连，另一端与第一转轴侧壁的中部垂直相连，第一转轴的两端与支撑架上部转动连接，第二转轴上端与支撑架下端的中部转动连接，下端与插销的上端相连，插销的下端内嵌于固定套中，所述固定套相对应的侧壁各设有一个同轴的固定套孔洞，所述插销沿长度方向设有多个插销孔洞，固定栓分别穿过固定套孔洞和插销孔洞，固定套下端连接于底盘上面板，底盘下面板安装有滚轮。本实用新型专利技术用于高等数学函数极限演示。
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技术实现步骤摘要
本技术涉及一种高等数学函数演示教具。技术介绍现有的高等数学函数极限演示教具，在绘制函数图像时十分麻烦，且展示面板为固定放置，不可随意转动，使得一些观看角度不好的同学难以看清，且教具沉重，移动困难，挪动吃力。技术实现思路本技术的目的是为解决现有的高等数学函数极限演示教具，其展示面板固定放置，不能自由转动，绘制图像麻烦且教具挪动困难的问题，提出了一种面板可自由调节方向，绘制函数容易，且挪动方便的高等数学函数极限演示教具。一种高等数学函数极限演示教具，包括演示面板、固定柱、第一转轴、支撑架、第二转轴、插销、固定栓、固定套、底盘、橡胶面板、四个滚轮，所述演示面板为长方形，演示面板立式放置，演示面板的前表面粘贴有一橡胶面板，固定柱垂直于演示面板板面设置，固定柱的一端与演示面板后表面上部相连，固定柱的另一端与第一转轴侧壁的中部垂直相连，第一转轴的两端与支撑架上部转动连接，第二转轴上端与支撑架下端的中部转动连接，第二转轴下端与插销的上端相连，插销的下端内嵌于固定套中，所述固定套相对应的侧壁各设有一个同轴的固定套孔洞，所述插销沿长度方向设有多个插销孔洞，多个插销孔洞的中心连线在同一竖直线上，固定栓分别穿过固定套孔洞和插销孔洞，固定套下端连接于底盘上面板，底盘下面板的四角处安装有四个滚轮。优选为，所述的四个滚轮均为限位万向轮。本技术的高·等数学函数极限演示教具具有使用简单，挪动和转动方便的特点，挪动整个教具只需推动即可，省时省力。附图说明图1是本技术的一种高等数学函数极限演示教具的主视图；图2是图1的左视图；图3是图1的俯视图。其中，演示面板1、固定栓2、固定套3、底盘4...【详细说明在详细技术资料中】
技术保护点
一种高等数学函数极限演示教具，包括演示面板(1)、固定柱(2)、第一转轴(9)、支撑架(10)、第二转轴(7)、插销(6)、固定栓(8)、固定套(3)、底盘(4)、橡胶面板(13)、四个滚轮(5)，其特征是：所述演示面板(1)为长方形，演示面板(1)立式放置，演示面板(1)的前表面粘贴有一橡胶面板(13)，固定柱(8)垂直于演示面板(1)板面设置，固定柱(8)的一端与演示面板(1)后表面上部相连，固定柱(8)的另一端与第一转轴(9)侧壁的中部垂直相连，第一转轴(9)的两端与支撑架(10)上部转动连接，第二转轴(7)上端与支撑架(10)下端的中部转动连接，第二转轴(7)下端与插销(6)的上端相连，插销(6)的下端内嵌于固定套(3)中，所述固定套(3)相对应的侧壁各设有一个同轴的固定套孔洞(12)，所述插销(6)沿长度方向设有多个插销孔洞(11)，多个插销孔洞(11)的中心连线在同一竖直线上，固定栓(2)分别穿过固定套孔洞(12)和插销孔洞(11)，固定套(3)下端连接于底盘(4)上面板，底盘(4)下面板的四角处安装有四个滚轮(5)。
技术保护范围摘要
专利技术属性
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申请(专利权)人：，
专利类型：实用新型
国别省市：
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