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不同于一般常微分方程课程千篇一律地从分离变量和一阶线性方程讲起，MIT《微分方程》第一讲就以独特的视角从全局的角度诠释了微分方程的内涵。课程从方向场和积分曲线入手，深入透彻地剖析了微分方程的实质。一上来，撇开那些有解的特殊的微分方程不谈，却从几何方向通俗易懂，而又全面深入地告诉我们什么是微分方程，解微分方程其实是什么。
老头爽约了，他没有按之前说的，讲线性方程的解法，而是开始讲数值方法。按他自己的话说：“线性方程还是推迟到下一讲吧，多数微分方程都是通过数值方法解出来的，先讲这个更好”。他还说：“现在已经是二十一世纪了，计算机都能帮你搞定”。听了他的课才领略，数学不只是那几个臭公式，更重要的是应用。听了他的课，让人深刻地意识到，计算机和数学之间的联系如此紧密。
[第3课]一阶线性常微分方程解法
这一讲的主要内容是一阶线性ODE：y'+p(x)y=q(x)，及其解法积分因子法。这一讲通过两个实际问题——“热传导问题”和“溶液浓度扩散问题”，引出了ODE中“最重要”的一节线性微分方程，并透彻讲解。
这一讲介绍换元法（或译作代换法，substitution method），并以此为思想将某些特定形式的一阶方程转化为可分离变量方程或线性方程。本讲用换元法解决了两类特定的一阶方程，即伯努利方程和齐次方程。伯努利方程y'=p(x)y+q(x)yⁿ，通过换元化为可分离变量方程。齐次方程y'=F(y/x)，令z=y/x可化为线性方程。
这一讲的主题是一阶自治方程y'=f(y)。这一讲不涉及到此类方程的解法，转而考虑在不求解方程的前提下，进行定性分析，直观地获得方程的相关信息，从而避免了由于积分复杂造成不必要的无用功。这一讲还详细讲解了自治方程的一些实用模型：银行存款模型、人口增长模型。
复数在ODE中应用相当广泛。这一讲从复数的运算着手，落脚于复数的极坐标形式。围绕欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ展开，从各个方面详细介绍了这种美妙形式的由来。这一讲还利用复指数巧妙地解决了∫e^x(sinx)dx这种指数、三角函数混合型积分，方法效率远大于常规的分部积分法。
这一讲特别介绍了一阶常系数线性方程y'+ky=q(t)，并解释了k&0时稳态和暂态的内涵。特别地，这一讲强调了y'+ky=kq(t)形式的方程及在相应模型中的应用，并引入输入-响应的概念。最后以正弦波输入作为例子，讲解了分析和求解此类方程的复方法。
这一讲继续强调一阶常系数线性方程和复数思想。特别强调了正弦输入的情况，并巧妙地通过向量法和复数法给出了三角恒等式acosθ+bsinθ=Ccos(θ-φ)的证明。这一讲的最后，用温度、混合、RC电路、衰变和增长等多个模型为一阶常系数线性方程画上了完美的句号。
这一讲的主题是二阶常系数齐次线性ODE：y''+Ay'+By=0。这种方程在实际中对应弹簧-质量-阻尼系统，其一般性解法是代入e^(rt)，然后通过特征方程r²+Ar+B=0求出r。根据特征方程根的性质，分为两个不同实根、二重实根和复根三种情况，分别对应过阻尼、临界阻尼和欠阻尼三种情况。
这一讲首先深入讲解了二阶常系数齐次线性常微分方程y''+Ay'+By=0的解如何在实解和复解之间进行转换。然后将方程化为具有物理意义的形式的振动方程y''+2py'+ω²y=0，分别讨论了无阻尼情形（p=0）时解的性质和意义，以及阻尼情况下解的性质和振动的情况。
这一讲的讨论对象是二阶齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=0，讨论了其通解的性质，为何用两个线性独立的解就能表示所有解，而且所有解都在通解的集合内。并解释了叠加原理、唯一性定理、朗斯基行列式等概念。
这一讲的重点是二阶非齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)。首先是将f(x)看成输入或驱动，用弹簧和电路两个例子强调方程的重要性。然后用线性算子，描述了解的一般形式和结构。这一讲的另一个重点是暂态和稳态，在什么条件下对二阶线性方程成立，教授用一句精辟的结论总结了这个问题。
本讲用算子方法求解高阶非齐次线性方程p(D)y=e^(αx)，α为复数，p(D)为D的多项式。考虑p(α)≠0时，特解为e^(αx)/p(α)[用到了代换法则]；p(α)=0时，需要分情况讨论，其中单根时，特解xe^(αx)/p'(α)[用到指数位移法则]。
这一讲是关于共振的。为什么输入频率等于固有频率时，振幅会达到最大？教授从微分方程和数学的角度解释了这个问题。之后教授讲解了带阻尼情况下的&共振&，考虑了输入频率和阻尼伪频率之间什么关系时，才能实现这种&共振&。
傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。这一讲首先介绍以2π为周期的函数f(t)可以写作c0+∑(ancosnt+bnsinnt)的傅里叶无穷级数形式。教授通过三角函数正交关系的证明，给出了an和bn的表达式。
这一讲是上一讲的续集，首先考虑了奇函数和偶函数两种情况，讲解了傅里叶级数在这些情况下如何简化运算（以及如果将积分简化到半个周期内）。然后将2π周期延伸到了任意周期2L的情况。最后课程介绍了非周期函数的延伸，任意有限区间都可以用到傅里叶级数。特别地，教授还讲到了傅里叶级数和泰勒级数着眼点的异同。
这一讲主题是利用傅里叶级数求x''+ω0²x=f(t)的特解，其中f(t)化为傅里叶级数，通过sin和cos的可解性来求特解。这一讲采用了方波的例子，告诉我们方程的输入响应系统是如何自然选出与固有频率最接近的共振项的，并以此简单介绍了人耳识别乐音的机理。
记得幂级数吧，如1/(1-x)=Σ(x^n)、e^x=∑(x^n/n!)，考虑某种变换，让两个幂级数的系数1和1/n!分别对应于f(x)=1/(1-x)或f(x)=e^x，这很容易。其实拉普拉斯变换与这是对应的。教授用这种深入浅出的讲解，让我们了解了拉普拉斯变换的由来。然后分别计算了1、e^at、cos(at)等几种常见函数的变换，并讲解了指数位移的重要公式。大名鼎鼎的拉普拉斯变换，其实并不难。
这一讲的主要目标是用拉氏变换求解线性ODE，特别的，解y''+py'+qy=f(t)形式方程。为此，教授首先引入导数的拉氏变换公式，即已知y(t)经过拉氏变换得到Y(t)，那么y'及y''如何用Y(t)来表示。拉氏变换解法也就是方程两边同时进行拉氏变换，然后求解得到的代数方程，之后运用部分分式，最后用拉氏逆变换求出解y(t)。
这一讲引入了卷积公式f(t)*g(t)=∫f(u)g(t-u)du。教授从两个方面介绍了卷积的由来和用途：理论方面，卷积和拉氏变换密切相关，L(f)L(g)=L(f*g)，卷积由拉氏变换乘积关系的自然产生；实践方面，卷积最普遍的例子是用作放射物质倾泻的积累量问题。教授另外还举了三个实际例子。这一讲全面剖析了卷积公式，并做到了真正的深入浅出。
这一讲主要是讲跳跃式不连续函数u(t)=1(t&0); 0(t&0)的情况，重新定义拉普拉斯逆变换的唯一性，即L(u(t))=1/s。之后教授讲到了函数平移之后的拉普拉斯变换如何进行，之后推广到更一般的不连续输入问题。最后教授以几个实用的例题作结。
这是一阶方程组的第一讲，首先引入了形如x'=f(x,y,t);y'=g(x,y,t)的一阶方程组。教授讲了一些实际用到一阶方程组的例子，然后利用煮鸡蛋的例子，演示了如何用比较直观的消元法来求解。最后教授给出了速度场的几何解释。
这一讲继续以矩阵形式x'=Ax讨论常系数齐次线性方程组。课堂上引入了重复实特征值和复特征值两种特殊情况，即特征方程解出重根或复根的情况，两种情况教授分别举出一个实际例子进行讨论。一个是鱼缸温度传递的例子，一个是苏飞传中的爱情例子，引起满堂哄笑。
这一讲教授讲到了2x2常系数齐次线性方程组各种情况的图像，以此希望给学生一个比较直观的感受，此类方程组解是什么样子。为此，教授引入了两州旅游竞争模型，分别就特征方程中存在两负实根、一正一负实根、以及复根的三种情况给出了方程组解的草图。
这一讲过渡到非齐次方程组，还是以2x2常系数方程组为例，以矩阵形式x'=Ax+r进行讲解。首先，教授介绍了两个相关定理，为求解做了铺垫。然后介绍了x'=Ax的基本矩阵X。最后通过参数变分的方法，给出了非齐次方程组的特解xp=X∫X^(-1)rdt。
这一讲给出了齐次微分方程组x'=Ax的解的一般公式，即用矩阵指数e^(At)表示基本矩阵X。同单个微分方程x'=ax中，a可以看作是1x1矩阵，其解是e^at。这里就是方程组在nxn矩阵上的推广，以此引入矩阵指数及其在解方程组中的应用。
这一讲给出了齐次线性微分方程组x'=Ax的解耦解法，这是第三种方法。由于在自科和工程领域，方程组通常具有物理意义，解耦解法能偶提供对解更为本质的认识，因此教授将其作为这一讲的主题。首先是一个实际例子，然后是一般方程组的解法。
这一讲介绍非线性的情况，主要是通过轻微阻尼的非线性摆的例子，介绍了该情况下如何求临界点，并作轨迹草图。简谐振动中，摆使用的是小角近似为线性情况，这一讲是一个推广，摆使用的不一定是小角，不过仍然通过线性化得到解释。
这一讲的主题是极限环，首先教授给出了极限环的定义，它首先是方程组的解形成的一条闭合轨迹，另外它不同于一般闭合轨迹，它必须是附近轨迹在t趋于无穷时逼近的轨迹。然后教授介绍了极限环何时不存在的两个准则，分别是本迪克松准则和临界点准则，证明本迪克松准则时，证明过程中涉及了反证法，以及逆否命题逻辑。最后教授介绍了极限环的一些历史，并用他经历的一个有趣故事结束了本课，与某位中国教授有关。
本课的一开始，教授介绍了非线性自治方程组和一阶常微分方程之间的关系，指出一阶常微分方程只是方程组消去时间t的信息的结果，同时也让大家明白了速度场与方向场、轨迹与积分曲线之间的联系。然后教授通过建立捕食者-猎物模型的一个非线性方程组，引出一个问题：边界线情形，即当方程组参数处于特征方程两个区域的边界时，参数小的变动可能造成临界点的几何类型完全不同，所以在做方程组线性化时，近似就会带来方程类型无法确定的问题。所以使方程组退化的一个优势就体现出来：消去t使得有时方程变得可解，并避开边界线情形，教授用这个方法解出了方程组，并引出一个结论：沃尔泰拉法则，即人类对自然盲目的干预，很可能造成灾难或适得其反的结果。
学校：麻省理工学院
讲师：Prof. Arthur Mattuck
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：微分方程是一门表述自然法则的语言。理解微分方程解的性质，是许多当代科学和工程的基础。学习内容包括：利用解释、图形和数值方法求解一阶常微分方程，线性常微分方程，不定系数和参变数，正弦和指数信号，复数和幂，傅立叶级数，周期解，Delta函数、卷积和拉普拉斯变换方法，矩阵和一阶线性系统，非线性独立系统。
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本文转载自calculus
DSolve[y'[x] == Exp[2 x - y[x]], y[x], x]DSolve[{y'[x] == Exp[2 x - y[x]], y[0] == 0}, y[x], x]
&画出解曲线：& Jie = DSolve[{y'[x] == Exp[2 x - y[x]], y[0] == 0}, y[x], x]& Plot[y[x] /. Jie, {x, -2, 2}]
with(DEtools):
de:= (y(x)+1)^2*diff(y(x),x)+x^3=0;
dsolve(de,y(x),implicit);
&&&&&&&& DSolve[3*x*y[x]^2*y'[x] == x^3 + y[x]^3, y[x], x]
&& 太复杂！能否像Maple那样给出简单的隐式解（如下）？
&&&&&&&&&& DSolve[{(y[x]^2 - 3*x^2)*y'[x] + 2*x*y[x] == 0, y[0] == 1}, y[x], x]
&如何得到隐式解？
&画出解曲线：
Jie = DSolve[{(y[x]^2 - 3*x^2)*y'[x] + 2*x*y[x] == 0, y[0] == 1},&y[x], x];Plot[y[x] /. Jie, {x, -1, 1}]
一阶线性方程
&&& DSolve[y'[x] - 2*y[x]/(x + 1) == (x + 1)^(5/2), y[x], x]
&& DSolve[y'[x] - Tan[x]*y[x] == Sec[x], y[x], x]
&& DSolve[{y'[x] - Tan[x]*y[x] == Sec[x], y[0] == 0}, y[x], x]
&画出解曲线：
Jie = DSolve[{y'[x] - Tan[x]*y[x] == Sec[x], y[0] == 0}, y[x], x]
Plot[y[x] /. Jie, {x, -1, 1}]
参考资料：
返回《用Mathematica做微积分》
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可分离变量方程
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求解微分方程
一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
按照不同的分类标准，微分方程可以分为线性或非线性，齐次或非齐次。
一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解，含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）。
下面介绍微分方程的求解方法。
一、一阶微分方程
一阶微分方程具有如下一般形式：
<span style="color:#.可分离变量
这类方程可以化为如下形式：
设&&，可以通过下式求解
如果&&，则易知&&也是方程的解。
<span style="color:#.齐次方程
的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程。
通过变量替换，可以将这类方程化为可分离变量的方程来求解。
其中&&是新的未知函数，则有
将式代入原方程，得
分离变量，两边积分，有
求出积分后，再将&&回代，便得到方程的解。
<span style="color:#.可化为齐次方程的微分方程
有些问题本身虽然不是齐次的，但是通过适当变换，可以化为齐次方程。
例如，对于形如
的方程，先求出两条曲线
的交点&&，于是作平移变换
这时，原方程可以化为齐次方程
<span style="color:#.一阶线性微分方程
的方程称为一阶线性微分方程。
当&&时，上式变为
这个方程称为一阶齐次线性微分方程。
一阶齐次线性微分方程是可分离变量的方程，由上面的方法可以得到方程的通解为
其中&&是任意常数。
下面再讨论一阶齐次非线性方程的通解。
将方程变形为
两边积分，得
若记&&，则
与齐次方程的通解相比较，易见其表达形式一致，只需将&&换为函数&&。由此可以引出求解一阶非齐次线性微分方程的常数变异法。即在求出齐次方程通解后，将通解中的常数&&变异为待定函数&&，并设一阶非齐次方程的通解为
将&&和&&代入原方程，得
从而得到一阶非齐次线性微分方程的通解为
上述公式可以写成
从中可以看出，一阶非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次线性方程的通解与其本身的一个特解之和。这个结论对高阶非齐次线性方程亦成立。
<span style="color:#.伯努利方程
的方程称为伯努利方程。其中&&为常数，且&&。
伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它转化为线性方程。
方程两端同时除以&&，得
于是，令&&，就得到关于变量&&的一阶线性方程
利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程的通解
二、特殊二阶微分方程
本节介绍三种可以通过化简来求解的二阶微分方程形式。
<span style="color:#.&&型
这是最简单的二阶微分方程，求解方法是逐次积分，得到
这类方程的解法，可以推广到&&阶微分方程
只要连续积分&&次，就可以得到这个方程含有&&个任意常数的通解。
<span style="color:#.&&型
这类方程的特点是不显含未知函数&&，求解方法是：
令&&，则&&，原方程化为以&&为未知函数的一阶微分方程
设其通解为
然后回代变量，又可以得到一个一阶微分方程
对它进行积分，可以得到方程的通解
<span style="color:#.&&&型
这类方程的特点是不显含未知函数&&，求解方法是：
把&&暂时看成自变量，并作变换&&，于是，由符合函数求导法则，有
这样将原方程化为
这是一个关于变量&&的一阶微分方程，设它的通解为
这是可分离变量的方程，对其积分得到原方程的通解
三、二阶线性微分方程
二阶线性微分方程的一般形式是
函数&&成为方程的自由项。
当&&时，方程变为
后者称为二阶齐次线性微分方程，前者称为二阶非齐次线性微分方程。
下面介绍几个重要的定理。
定理一：如果函数&与&是方程
(2) 的两个解，则
也是方程 (2) 的解，其中&&是任意常数。
这个性质表明其次线性方程的解符合叠加定理。
补充一个定义：如果&&是定义在区间&&内的两个函数。如果存在两个不全为零的常数&&，使得在区间&&内恒有
则称这两个函数在区间&&内线性相关，否则称为线性无关。
定理二：如果函数&与&是方程
(2) 的两个线性无关的特解，则
也是方程 (2) 的通解，其中&&是任意常数。
定理三：设&&是方程
(1) 的一个特解，而&&是其对应的齐次方程 (2) 的通解，则
是二阶非齐次线性微分方程 (1) 的通解。
定理四：设&&分别是方程
的特解，则&&是方程&&的特解。
这个定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加定理。
定理五：设&&是方程&
的解，其中&&为实值函数，&为纯虚数，则&&分别是方程
在方程 (1) 中，系数是随&&变化的，这类方程求解比较困难，下面介绍处理这类方程的两种方法。
<span style="color:#.降阶法
考虑二阶齐次线性方程
设&&是方程的一个已知的非零特解，作变量替换
其中&&为待定系数，求&&的一阶导数和二阶导数，得
将他们代入方程，得
各项系数是&&的已知函数，因为&&是原方程的解，所以，其中&&的系数为
故上式可以化为
再做变量替换&&，得
两边积分，得其通解
其中&&为任意常数。
对&&积分，得
其中&&为任意常数。
代回原变量，就得到原方程的通解
这个公式称为二阶线性微分方程的刘维尔公式。
综上所述，对于二阶齐次线性方程，如果已知其一个非零特解，作变量替换 &就可将其姜维一阶齐次线性方程，从而求得通解。
对于二阶非齐次线性方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，作同样的变量替换（因为这种变换并不影响方程的右端），也能使非齐次方程降一阶。
2.常数变异法
设有二阶非齐次线性方程
其中&&在某区间上连续，如果其对应的齐次方程
的通解&&已经求得，可通过如下方法求得其通解。
设非齐次方程具有形如
的特解，对&&求导数，得
把特解代入原方程，可以得到确定&&的一个方程，因为这里有两个未知函数，所以还需要添加另一个条件，为计算发辫，我们补充如下条件：&&，这样
代入原方程，并注意到&&是齐次方程的解，经整理得
与补充条件联立，得方程组
因为&&线性无关，即&&常数，所以
设&&则有&&，所以上述方程有唯一解，解得
积分并取一个原函数，得
于是，所求特解为
所以，所求方程的通解为
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&&帮忙解个常微分方程组
帮忙解个常微分方程组
最近碰到一个常微分方程组，形式比较简单，但是就是不知道怎么下手。
请各位大虾帮帮忙，非常感谢！
如果还需要其他条件的，麻烦提出来。
能否给出具体的表达式？
通过对A的Jordan标准型可以精确计算出exp(At).
麻烦问一下：这一步怎么实现？特别是对于只有表达式的情况下，怎样求jordan标准型？谢谢。
我弱弱地问一句：为啥要算A的Jordan标准型？
能不能直接算出含有abcd等的代数表达式？
我想要一个形式解，应该是含有几个常数的表达式，这几个常数是我后面通过实验要获得的，然后比对计算值。
非常感谢您的回复。
我按照这个方法，结果是个循环。请明示？
非常感谢！
能不能帮人帮到底？我试了怎么是循环，求不出解来？
是不是方程有问题？
这个应该是个高阶的DAEs，初值给两个应该就够了，第三个可以从那个代数方程解出来
三个常微分方程外加三个初值求不出来吗？
具体我没算过，好久没用matlab了，楼主再试试吧
另外有些专门求解DAEs的软件，如Dymola（modelica语言）等，里面好像有DAEs自动减阶的功能，里面能自动提示是否给出条件过多或过少，楼主也可以找用过此软件的虫友求助下。
好的，这样的方程的解析解求解困不困难？我想最好得出解析解。
楼主，其实我也二了。。。。
三个未知数，原则上三个方程就能确定了。。。。
你给出的是四个方程，理论上来讲，其实方程解的自由度是-1了！
不过那个代数方程实际上跟整个方程组应该算是相容的，而且可以帮助得到整个方程的完整初值（初值实际上也由这个代数方程约束），如我上面的帖子的说明，已知其中两个未知数的初值就知道第三个了。。。。
三个未知数X、Y、Z的初始条件分别为
X(0)，Y(0)，A-X(0)-Y(0)
然后这个就是个线性常微分方程组，有解析解的！
带到matlab的符号计算函数算算吧，见附图例子，但这个matlab版本较早，你试试，不行查查help文档，找个最新的命令格式吧。。。。
天哪，咱脑子都秀逗了。。。。。。:D
并且让X(0)=5，Y(0)=5（则Z(0)=2）；
那么X、Y、Z的数值解的图线分别是：
非常感谢了。我尽量想办法弄出解析解。
另外，你的回帖不是应助，我没法给币币。我现在追加了30个币币。希望你能够把其中的一个帖子设置成应助贴。
如果我搞不定解析解，还是要请你帮忙，因为我没有Matlab，现在找也很困难。
为啥不能给你评分呢？
这个不用评了，咱就是无聊随便发点言罢了:D
我刚才无聊的安了个matlab2012b，然后试图求出那个方程的解析解，不知道是我的电脑内存小还是怎么着，直接求其解析解好像有点过于意外——算了很久都没出结果，我把字母换成数字算了下，发现命令语句应该没错。。。。。
楼主，你要是有功夫，可以自己按个matlab或者请别人算一下，把下面的直接贴进命令栏就行：
syms a b c d e f x y z x0 y0 x(t) y(t) z(t)
s = dsolve(diff(y) == -a*y + b*x, diff(x) ==a*y-(b+d)*x+c*z,diff(z)==-e*z+f*x,x(0) ==x0,y(0) ==y0,z(0)==a-x0-y0)
可能解析形式过于复杂了，算了好半天就是不出结果，最后强行关掉了。。。。
其实那个数字作为系数的表达式也挺长的。。。。甚至还出现虚数i了。。。。:D
咱直觉没那么复杂，可以试试maple或者 Mathematica ，这两个的符号计算功能应该都不会比matlab差。。。。。
那个倒是用过进行数值积分。我再找找。
还有那个评分，我金币都已经追加了，也不好收回了。你还是用个应助，我好把币币给你。
用数值解也验证了这个情况，应该没错了:D
我去，我实在有点二。。。
这个做个数值试验早就整明白了。。。。。
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