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数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--4章
第四章习 题 4.1微分微分和导数⒈半径为 1cm 的铁球表面要镀一层厚度为 0.01cm 的铜，试用求微 分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为 8.9g/ cm3 。 ）解 球体积 V = πr 3 ，每只球镀铜所需要铜的质量为m = ρ
?V ≈ 4 ρπr 2 ?r ≈ 1.12 g。4 3⒉用定义证明，函数 y = 3 x 2 在它的整个定义域中，除了 x = 0 这一证 当 x = 0 时，?y = 3 ?x 2 是 ?x 的低阶无穷小，所以 y = 3 x 2 在 x = 0 不可 微。当 x ≠ 0 时，3 3=x + ?x + 3 x案 网?y = 3 ( x + ?x) 2 ? 3 x 2 = ( 3 x + ?x + 3 x )( 3 x + ?x ? 3 x ) ( x + ?x ) 2 + 3 x 3 x + ? x + 3 x 2 ?x = 2 33 x ?x + o(?x),所以 y = 3 x 2 在 x ≠ 0 是可微的。课后 答ww w57.khd点之外都是可微的。aw .c om习题4.2导数的意义和性质1． 设 f ′( x 0 ) 存在，求下列各式的值： ⑴ lim ?x → 0 ⑵ lim x→ x ⑶ lim h→ 0lim 解 (1) ? x →00f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ； ?xf ( x ) ? f ( x0 ) ； x ? x0 f ( x0 + h ) ? f ( x0 ? h ) 。 h⑵ lim x→ x ⑶ lim h →00f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x0 + ( x ? x0 )) ? f ( x0 ) = lim = f ' ( x0 ) 。 x ? x0 →0 x ? x0 x ? x0⑵ 求该抛物线上过点 ( ?1,?2) 处的切线方程； ⑶ 求该抛物线上过点 ( ?2,1) 处的法线方程；点的连线平行？ 解 (1)因为?y 2( x + ?x) 2 + 3( x + ?x) ? 1 ? (2 x 2 + 3 x ? 1) = = 4 x + 3 + 2?x ，所以 ?x ?xf ' ( x) = lim?x → 0课⑷ 问该抛物线上是否有 ( a, b) ，过该点的切线与抛物线顶点与焦后 答(2)由于 f ' (?1) = ?1 ，切线方程为 y = ?1 ? [ x ? (?1)] + (?2) = ? x ? 3 。 (3)由于 f ' (?2) = ?5 ，法线方程为 y = ?x+7 1 。 [ x ? (?2)] + 1 = 5 ?5(4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于 y 轴，即斜率为无穷大，由(1)可58案 网2． ⑴ 用定义求抛物线 y = 2 x 2 + 3x ? 1 的导函数；?y = 4x + 3 。 ?xww wf ( x0 + h ) ? f ( x0 ? h) h f ( x0 + h ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ) = lim ? lim = 2 f ' ( x0 ) 。 h →0 h→0 h h.khdaw .c omf ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 + (??x)) ? f ( x0 ) = ? lim = ? f ' ( x0 ) 。 0 ? x → ?x (??x)知不存在 x ，使得 f ' ( x) = ∞ ，所以这样的点 ( a, b) 不存在。 3．设 f ( x) 为 (?∞,+∞ ) 上的可导函数，且在 x = 0 的某个邻域上成立f (1 + sin x) ? 3 f (1 ? sin x) = 8 x + α ( x) ，其中 α ( x) 是当 x → 0 时比 x 高阶的无穷小。求曲线 y = f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程。 解 记 F ( x) = f (1 + sin x) ? 3 f (1 ? sin x) ，可得 lim F ( x) = ?2 f (1) = 0 ，即 f (1) = 0 。x →0由 lim x →0limx →0F ( x) 8 x + α ( x) = lim = 8与 x →0 x xF ( x) ? f (1 + sin x) ? f (1) sin x ? ? f (1 ? sin x ) ? f (1) sin x ? = 4 f '(1) ， = lim ? ? ? 3lim ? ? ? x → 0 x → 0 sin x sin x x x ? x ? ? ? ?得到 f ' (1) = 2 。于是曲线 y = f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y = 2( x ? 1) 。射光必定经过它的另一个焦点。 （见图 4.2.5）证 设椭圆方程为x2 y2 + = 1， a & b & 0 ，焦点坐标为 a2 b2 (± c,0), c = a 2 ? b 2 。 假设 ( x0 , y 0 ) 为椭圆上任意一点，当 y 0 = 0 时结论显然成立。现设 y 0 ≠ 0 ，则过此点的切线y b 2 x0 斜率为 tan θ = ? 2 ， ( x0 , y 0 ) 与焦点 (?c,0) 连线的斜率为 tan θ 1 = 0 ， x0 + c a y0课后 答案 网此连线与切线夹角的正切为 k =2 2 x0 y0 + = 1 代入计算，得到 a2 b2ww w59.k4． 证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反tan θ1 ? tan θ 。 利 用 c2 = a2 ? b2 和 1 + tan θ1 tan θhdaw .c omy0 b2 x + 2 0 2 2 x + c a y0 a 2 y0 a 2b 2 + cx0b 2 + b 2 x0 + cx0b 2 b2 。 = k= 0 = = y0 b 2 x0 (a 2 ? b 2 ) x0 y0 + a 2 cy0 c 2 x0 y0 + a 2 cy0 cy0 1? ? x0 + c a 2 y0( x 0 , y 0 ) 与另一焦点 (c,0) 连线的斜率为 tan θ 2 =y0 ，此连线与切线 x0 ? c夹角的正切为b 2 x0 y ? 0 2 2 2 ? b 2 x0 a y0 x0 ? c cx0b 2 ? a 2 y0 cx0b 2 ? a 2b 2 tan θ ? tan θ 2 b2 =k。 = = = = y0 b 2 x0 (a 2 ? b 2 ) x0 y0 ? a 2 cy0 c 2 x0 y0 ? a 2 cy0 cy0 1 + tan θ tan θ 2 ? 1? x0 ? c a 2 y0 ?由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。 5．证明：双曲线 xy = a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三0案 网率为 y ' x = ?a2 y = ? 0 ，切线方程为 2 x0 x0的直角三角形的面积为1 S = ( 2 y0 )( 2 x0 ) = 2 x0 y0 = 2a 2 。 26． 求函数在不可导点处的左导数和右导数。 ⑴ y = |sin x | ； ⑶ y = e ?|x | ； ⑵ y = 1 ? cos x ； ⑷ y = |ln( x + 1) | .解 （1）对 y = f ( x) =| sin x | ，当 x = 0 时，课易得切线与两坐标轴的交点为 (0, 2 y0 ) 和 (2 x0 ,0) 。切线与两坐标轴构成后 答y ? y0 = ?ww w60证 假设 ( x0 , y0 ) 为双曲线上任意一点，则 x0 y0 = a 2 ，过这一点的切线斜y0 ( x ? x0 ) ， x0.k角形的面积恒为 2a 2 。hdaw .c om| sin ?x | ? | sin 0 | sin ?x = lim = 1， ?x → 0 + ?x → 0 + ?x ?x | sin ?x | ? | sin 0 | ? sin ?x f ?' (0) = lim = lim = ?1 ， ?x → 0 ? ?x → 0 ? ?x ?x f +' (0) = lim所以 x = 0 是不可导点。又由于函数y是周期为 π 的函数，所有不可导 点为 x = kπ (k ∈ Z ) ，且 f ?′ (kπ ) = ?1 ， f +′ (kπ ) = 1 。 （2） y = f ( x ) = 1 ? cos x = 2 sin 2x x = 2 sin ，由（1）可知不可导点 2 2为 x = 2kπ (k ∈ Z ) ，且经计算得到 f ?′(2kπ ) = ?（3） y = f ( x) = e?|x | 不可导点只有 x = 0 ，且f +' (0) = lim2 2 ， f +′(2kπ ) = 。 2 2e ? ?x ? 1 e ?x ? 1 = ?1 ， f ?' (0) = lim = 1。 ?x →0 + ?x → 0 ? ?x ?x7．讨论下列函数在 x = 0 处的可导性：?| x |1+ a sin 1 x ≠ 0, x ,( a & 0) y = ? ⑴ x = 0; ? 0,案 网后 答? x e x , x & 0, y = ? 2 ⑶ ? ax , x ≤ 0;课?y lim = lim 解 （1） ? ?x → 0 x →0 ?x| ?x |1+ a sin ?x在 x = 0 可导。 （2） 如果函数在 x = 0 可导， 则必须在 x = 0 连续， 由 f ( 0 + ) = f ( 0) = b 可得 b = 0 。当 b = 0 时， f +' (0) = lim?x 2 ? 0 a ?x ? 0 = 0 ， f ?' (0) = lim =a， ?x → 0 + ? x → 0 ? ?x ?xww w61f +' (0) = lim| ln( ?x + 1) | ? ln1 ln(?x + 1) = lim = 1， ?x → 0 + ?x → 0 + ?x ?x | ln( ?x + 1) | ? ln1 ? ln(?x + 1) f ?' (0) = lim = lim = ?1 。 ?x → 0 ? ?x → 0 ? ?x ?x1 x = lim ? | ?x |a sgn(?x) sin 1 ? = 0 ，所以函数 ? ? ?x → 0 x? ?.k（4） y = f ( x) = ln( x + 1) 不可导点只有 x = 0 ，且x & 0, ? x2, ⑵ y = ? ax + b, x ≤ 0; ?a ? ? e x 2 , x ≠ 0, ⑷ y=? ? x = 0. ? 0,hdaw .c om故当 a = b = 0 时函数在 x = 0 可导，其他情况下函数在 x = 0 不可导。 （3）由于 f +' (0) = lim 故函数在 x = 0 不可导。 （4）当 a ≥ 0 时函数在 x = 0 不连续，所以不可导；当 a & 0 时，a?xe ?x ? 0 a?x 2 ? 0 = 1 ， f ?' (0) = lim = 0 ≠ f +' (0) ， x ?x →0 + ? → 0 ? ?x ?x?x → 0lim?y e ?0 = lim = 0 ，所以当 a & 0 时函数在 x = 0 可导。 x ? → 0 ?x ?x?x 28． 设 f ( x ) 在 x = 0 处可导，在什么情况下， | f ( x )| 在 x = 0 处也可导？ 解 当 f (0) ≠ 0 时，不妨设 f (0) & 0 ，则在 x = 0 的小邻域中有 f ( x) & 0 ，故 | f ( x)|= f ( x) ，所以 | f ( x )| 在 x = 0 处也可导。 当 f (0) = 0 时，由于? | f '(0) | ，右导数为 | f '(0) | ，所以 | f ( x )| 在 x = 0 处也可导的充分必要条件是 f '(0) = 0 。在 ( a , b ) 至少存在一个零点。 证 由题设知 f +′ (a) 和 f ?′ (b) 同号，不妨设两者都为正数。由于x→a +f ( x) ? f (a) f ( x) = lim & 0 ，可知存在 x1 (a & x1 & b) ， f ( x1 ) & 0 。 x a → + x?a x?a f ( x ) ? f (b ) f ( x) 同理由于 f ?' (b) = xlim = lim & 0 ，可知存在 x2 ( x1 & x2 & b) ， x b →b ? → ? x ?b x?b f +' (a ) = limf ( x2 ) & 0 。由连续函数的零点存在定理，函数 f ( x ) 在 x1 , x2 之间有零点。10．设 f ( x ) 在有限区间 ( a , b ) 内可导，课9．设 f ( x ) 在 [a, b] 上连续， f ( a ) = f ( b) = 0 ，且 f +′ (a) ? f ?′ (b) & 0 ，证明 f ( x )后 答案 网分别在 x = 0 处计算左、右极限，得到 | f ( x )| 在 x = 0 处的左导数为ww w62| f ( x) | ? | f (0) | f ( x) ? f (0) sgn x ， = x?0 x?0.khdaw .c om⑴ 若 lim f ( x) = ∞ ，那么能否断定也有 lim f ′( x) = ∞ ？ x→a + x→a + ⑵ 若 lim f ′( x) = ∞ ，那么能否断定也有 lim f ( x) = ∞ ？ x→a + x→a +f ( x) = +∞ ， 解（1）不一定。反例： f ( x) = + cos ， a = 0 ， xlim →0 +f ' ( x) = 1 1 (?1 + sin ) ， lim f ' ( x) = ∞ 不成立。 2 x→0+ x x1 2 x = +∞ ，而1 x 1 xf ′( x) = lim （2）不一定。反例： f ( x) = x ， a = 0 ， xlim →0 + x →0+lim f ( x) = 0 ≠ ∞ 。x →0+11．设函数 f ( x) 满足 f (0) = 0 。证明 f ( x) 在 x = 0 处可导的充分必要条件 是：存在在 x = 0 处连续的函数 g ( x ) ，使得 f ( x) = xg ( x) ，且此时成证x = 0 处可导，且成立 f ′(0) = g (0) 。lim g ( x) = limx →0 x →0f ( x) ? f (0) = f '(0) = g (0) ，即 g ( x ) 在 x = 0 处连续。 x课后 答? f ( x) , x≠0 必要性。令 g ( x) = ? ，则 f ( x) = xg ( x) ，且 ? x ? ? f ' (0), x = 0案 网ww w63充分性。 由 f ( x) = xg ( x) 可知 lim x →0f ( x) ? f (0) 故 f ( x) 在 = lim g ( x ) = g (0) ， x →0 x.khd立 f ′(0) = g (0) 。aw .c om习题4.3导数四则运算和反函数求导法则⒈ 用定义证明 (cos x )′ = ? sin x 。 证 由于cos( x + ?x) ? cos x = ?2 sin( x + ?x ?x ， ) sin 2 2根据 sin x 的连续性和 sin(?x ?x )? ( ?x → 0) ，可知 2 22. 证明： ⑴ (csc x)′ = ? cot x csc x ； ⑶ (arccos x )′ = ??1 ⑸ (ch x )′ =1 1? x2.k ww whd⑵ (cot x)′ = ? csc 2 x ； ⑷ (arc cot x)′ = ?1 ； 1+ x2 1 1? x2；1 x ?12课(tan x )' sec 2 x 1 ? 1 ? ′ （2） (cot x) = ? =? =? = ? 2 = ? csc 2 x 。 2 2 ? tan x tan x sin x ? tan x ?后 答1 ? (sin x )' cos x 解（1） (csc x)' = ? =? = ? 2 = ? cot x csc x 。 2 ? ? sin x sin x ? sin x ?'（3） (arccos x)′ = ( ? arcsin x)' = ?2π案 网；⑹ (th ?1 x ) ′ = (cth ?1 x ) ′ ='1 1? x2。（4） (arc cot x)′ = ( ? arctan x)' = ?2π1 。 1+ x2 1 x2 ? 1（5） (ch ?1 x)′ = （6） (th ?1 x)′ =1 1 1 = = = (ch y ) ' sh y ch 2 y ? 11 1 1 1 ， = = = 2 2 (th y ) ' sech y 1 ? th y 1 ? x 264aw .c om。?x sin cos( x + ?x) ? cos x ?x 2 = ? sin x 。 lim = ? lim sin( x + ) ? lim ?x → 0 ?x → 0 2 ?x→0 ?x ?x 2(cth ?1 x )′ =1 1 1 1 。 =? =? = 2 2 (cth y ) ' csch y cth y ? 1 1 ? x 23. 求下列函数的导函数： ⑴ f ( x) = 3 sin x + ln x ? x ； ⑶ f ( x ) = ( x 2 + 7 x ? 5) sin x ； ⑸ f ( x ) = e x sin x ? 4 cos x + ⑺ f (x) = ⑼ f ( x) =1 ； x + cos x⑵ f ( x) = x cos x + x 2 + 3 ； ⑷ f ( x) = x 2 (3 tan x + 2 sec x) ； ⑹ f (x) = ⑻ f (x) = ⑽ f (x) =2 sin x + x ? 2 x 3 x23 ； x；x 3 + cot x ； ln x⑾ f ( x ) = (e x + log 3 x ) arcsin x ； ⒀ f (x) =x + sec x ； x ? csc x⑿ f ( x) = (csc x ? 3 ln x) x 2 sh x ；.k ww w? 2 3hd1 x 3 x )'x⒁ f ( x) =解 （1） f ' ( x) = (3 sin x)'+(ln x)'?( x )' = 3 cos x + ?（2） f ' ( x) = x' cos x + x(cos x)'+( x 2 )'+(3)' = cos x ? x sin x + 2 x 。 （3） f ' ( x) = ( x 2 + 7 x ? 5)' sin x + ( x 2 + 7 x ? 5)(sin x)'（4） f ' ( x) = ( x 2 )' (3 tan x + 2 sec x) + x 2 (3 tan x + 2 sec x)'= 2 x(3 tan x + 2 sec x) + x 2 (3 sec 2 x + 2 tan x sec x) 。（5） f ' ( x) = (e x )' sin x + e x (sin x)'?(4 cos x)'+(= e x (sin x + cos x) + 4sin x ?课后 答= (2 x + 7) sin x + ( x 2 + 7 x ? 5) cos x 。案 网3 ?3 x 2。 2? 2 3（6） f ' ( x) = ( x + 2 sin x ? 2 )' xx+ ( x + 2 sin x ? 2 )( x )'65aw .c omx + sin x ； arc tan xx sin x ? 2 ln x ； x +1x sin x + cos x ； x sin x ? cos x1 2 x。= (1 + 2 cos x ? 2 ln 2) xx?2 3? 2 ? ( x + 2 sin x ? 2 x ) x 3 。 35（7） f ' ( x) = ? （8） f ' ( x) ==( x + cos x )' sin x ? 1 。 = 2 ( x + cos x ) ( x + cos x) 2( x sin x ? 2 ln x)' ( x + 1) ? ( x sin x ? 2 ln x)( x + 1)' ( x + 1) 2 2( x sin x + x 2 cos x ? 2)( x + 1) ? x ( x sin x ? 2 ln x) 2 x( x + 1) 2( x 3 + cot x) 'ln x ? ( x 3 + cot x)(ln x) ' ln 2 x (3 x 2 ? csc 2 x) x ln x ? x 3 ? cot x 。 x ln 2 x2 cos x )' x sin x ? cos x。（9） f '( x) ==（12） f '( x) = (csc x ? 3ln x) ' x 2shx + (csc x ? 3ln x)( x 2 )'shx+ (csc x ? 3ln x) x 2 (shx) '3 = ?(cot x csc x + ) x 2 shx + (csc x ? 3 ln x )(2 x)shx + (csc x ? 3 ln x) x 2 chx x课= ?( x 2 cot x csc x + 3x)shx + x(csc x ? 3 ln x)(2shx + xchx) 。（13） f ' ( x) ==后 答（11） f ' ( x) = (e x + log 3 x)' arcsin x + (e x + log 3 x)(arcsin x)'= (e x + 1 ln x 1 ) arcsin x + (e x + ) 。 x ln 3 ln 3 1 ? x 2( x + sec x)' ( x ? csc x) ? ( x + sec x )( x ? csc x)' ( x ? csc x) 2 (1 + tan x sec x)( x ? csc x) ? ( x + sec x)(1 + cot x csc x) 。 ( x ? csc x) 266案 网=? 2( x + sin x cos x) 。 ( x sin x ? cos x) 2ww w=(2 cos x )' ( x sin x ? cos x) ? 2 cos x( x sin x ? cos x)' ( x sin x ? cos x) 2.khd（10） f ' ( x) = (1 +aw .c om（14） f ' ( x) ==( x + sin x )' arctan x ? ( x + sin x)(arctan x)' arctan 2 x(1 + x 2 )(1 + cos x) arctan x ? ( x + sin x) 。 (1 + x 2 ) arctan 2 x4. 求曲线 y = ln x 在 (e,1) 处的切线方程和法线方程。 解 因为 y ' (e) =1 x =x =e1 ，切线方程为 e1 x y = ( x ? e) + 1 = , e e法线方程为y = ?e( x ? e) + 1 = ?ex + (e 2 + 1) 。5. 当 a 取何值时，直线 y = x 能与曲线 y = log a x 相切，切点在哪里？n 上过点 (1, 1) 的切线与 x 轴的交点的横坐标 x n ， 6． 求曲线 y = x （ n ∈ N+ ）并求出极限 lim y ( x n ) 。n→∞课解因为 y ' (1) = n x n?1 x =1 = n ，所以过点 (1, 1) 的切线为 y = n( x ? 1) + 1 ，它与n ?1 ，因此 n n ?1 n 1 lim y ( xn ) = lim( ) = 。 n →∞ n →∞ n ex 轴交点的横坐标为 xn =7. 对于抛物线 y = ax 2 + bx + c ，设集合S1 = {( x, y ) | 过( x, y )可以作该抛物线的两条切线} ；S 2 = {( x , y )| 过( x , y )只可以作该抛物线的一条切线} ； S3 = {( x , y )| 过( x , y )不能作该抛物线的切线} ，请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。67后 答案 网ln x0 = 1 ，即 x0 = e ，从而 a = e e ，切点为 (e, e) 。?1ww w所以 f ' ( x0 ) =ln x 1 1 。又由 f ( x0 ) = log a x0 = 0 = x0 ，得到 = 1 ，故 x 0 = ln a ln a x0 ln a.khd解 设切点为 ( x0 , x0 ) ，由于 y = x 是 y = f ( x) = log a x 的切线，其斜率为 1，aw .c om解a ≠ 0 ，不妨设 a & 0 ，抛物线开口向上。过 ( x, y ) 可以作该抛物线两条切线当且仅当 ( x, y ) 在该抛物线的下方，即 y & ax 2 + bx + c 。同理当a & 0 时, y & ax 2 + bx + c ，因此S1 = ( x, y ) | a (ax 2 + bx + c ? y ) & 0 。{}过 ( x, y ) 只可以作该抛物线一条切线当且仅当 ( x, y ) 在该抛物线上， 所以S 2 = ( x, y ) | ax 2 + bx + c ? y = 0 。{}由此得到S 3 = ( S1 ∪ S 2 ) C = {( x, y ) | a ( ax 2 + bx + c ? y ) & 0}。⑵ 设 f ( x ) 与 g( x ) 在 x = x 0 处都不可导 , 能否断定 c1 f ( x) + c2 g ( x) 在x = x 0 处一定可导或一定不可导？则 g ( x) = [h( x) ? c1 f ( x)] / c2 在 x = x 0 处也可导，从而产生矛盾。 当 c1 = ?c2 时，c1 f ( x) + c 2 g ( x) 在 x = 0 （2） 不能断定。 如 g ( x) = f ( x) = x ， 处是可导的；当 c1 ≠ ?c2 时， c1 f ( x) + c 2 g ( x) 在 x = 0 处不可导。 9. 在上题的条件下，讨论 f ( x ) g ( x ) 在 x = x 0 处的可导情况。 解 则 f ( x ) g( x ) 函数 f ( x) = c 在 x = 0 处可导，g ( x) =| x | 在 x = 0 处不可导，当 c = 0 时在 x = 0 处可导，当 c ≠ 0 时在 x = 0 处不可导。 函数 f ( x) = g ( x) =| x | 在 x = 0 处都不可导，但 f ( x) g ( x) = x 2 在 x = 0 处可 导。 函数 f ( x) = g ( x) = sgn | x | 在 x = 0 处都不可导，f ( x) g ( x) = sgn | x | 在 x = 068课后 答解 （1）记 h( x) = c1 f ( x) + c2 g ( x) ，当 c2 ≠ 0 时，如果 h( x) 在 x = x 0 处可导，案 网ww wc1 f ( x ) + c2 g ( x ) (c2 ≠ 0) 在 x = x 0 处也不可导。.khd8. ⑴ 设 f ( x ) 在 x = x 0 处 可 导 ， g( x ) 在 x = x 0 处 不 可 导 ， 证 明aw .c om处也不可导。 10．设 f ij ( x) （ i, j = 1,2, , n ）为同一区间上的可导函数，证明f11 ( x) d f 21 ( x) dx f n1 ( x) f12 ( x) f 22 ( x) f n 2 ( x) f1n ( x) f 2 n ( x) f nn ( x) f11 ( x) = ∑ f k′1 ( x)k =1 nf 12 ( x) f k′2 ( x) f n 2 ( x)f 1n ( x) ′ ( x) 。 f kn f nn ( x)f n1 ( x)证 根据行列式的定义f11 ( x) d f 21 ( x) dx f n1 ( x)=f n 2 ( x)kn )f nn ( x)f1k1 ( x) f 2 k2 ( x) f nkn ( x)+ f1k1 ( x) f 2 k2 ( x)′ n ( x)] f nk=案 网f '11 ( x) f 21 ( x) f n1 ( x)f '12 ( x) f 22 ( x) f n 2 ( x)f '1n ( x) f 2 n ( x) f nn ( x)ww w= ∑ (?1) N ( k1k2kn )[ f1′k1 ( x) f 2 k2 ( x)f nkn ( x) + f1k1 ( x) f 2′ k2 ( x ).khdf nkn ( x) + f12 ( x) f '22 ( x) f n 2 ( x) f1n ( x) f '2 n ( x) f nn ( x) +d (?1) N ( k1k2 ∑ dx+f11 ( x) f '21 ( x) f n1 ( x) f1n ( x) f 2 n ( x) f 'nn ( x)后 答课+f11 ( x) f 21 ( x)f12 ( x) f 22 ( x) f 'n 2 ( x) f1n ( x) ′ ( x) 。 f kn f nn ( x)f 'n1 ( x) f11 ( x) = ∑ f k′1 ( x)k =1 nf12 ( x) f k′2 ( x) f n 2 ( x)f n1 ( x)69aw .c omf12 ( x) f 22 ( x)f1n ( x) f 2 n ( x)习题4.4复合函数求导法则及其应用⒈求下列函数的导数： ⑴ y = (2 x 2 ? x + 1) 2 ； ⑶ y=1 ； 1 + x3⑵ y = e 2 x sin 3x ； ⑷ y=ln x ； x⑸ y = sin x 3 ； ⑺ y = x + 1 ? ln( x + x + 1 ) ；? 2 ⑼ y = ln? x ? ? 1 ? ?； x2 ?⑹ y = cos x ； ⑻ y = arcsin (e ? x ) ；2⑽ y = ( 2 x 2 + sin x ) 2 ；⒀ y=32 3 + ； 4 2x 2 ? 1 3x 3 + 1ww w。70.kx . a ? x223⑾ y=1 + ln 2 x ； x 1 ? x2hd3⑿ y=⒁ y = e ? sin x ；2⒂ y = x a2 ? x2 +解 （1） y ' = 2(2 x 2 ? x + 1)(2 x 2 ? x + 1)' = 2(2 x 2 ? x + 1)(4 x ? 1) 。 （2） y ' = e 2 x (sin 3x)'+(e 2 x )' sin 3x = e 2 x (3 cos 3x + 2 sin 3x) 。? ? 1 3 （3） y ' = ? (1 + x 3 ) 2 (1 + x 3 )' = ? x 2 (1 + x 3 ) 2 。 2 2课后 答1 x ? 2 ? ln x ? 1 ? ln x ? x ? 2 （4） y ' = ? ? 。 ? ? = ? ? ? 2 ? ln x ? ? x ? 2 x 2 ? ln x ?1案 网'1（5） y ' = cos x 3 ( x 3 )' = 3x 2 cos x 3 。 （6） y ' = ? sin x ( x )' = ?sin x 2 xaw .c om1x ； 1 + csc x 2（7） y ' = ? = （8） y ' =1 ( x + 1) ' ( x + x + 1) ' 1 1+ 2 1+ x = ? ? 2 x +1 2 x +1 2 1+ x (x + 1+ x ) x + x +1x ?1? 1+ x 。 2 1+ x (x + 1+ x )(e? x ) ' 1 ? (e? x ) 222=?2 x e? x21 ? e?2 x2=? 2x e2 x2。?1（9） y ' = [ln( x 4 ? 1) ? ln( x 2 ]' =( x 4 ? 1) ' 1 2x4 + 2 ? 2 = 。 x4 ?1 x x( x 4 ? 1)（11） y ' = =(1 + ln 2 x) ' x 1 ? x 2 ? (1 + ln 2 x)( x 1 ? x 2 ) ' x 2 (1 ? x 2 )3 2 2 x )x (1 ?2（12） y ' =x ' 1 + csc x 2 ? x( 1 + csc x 2 ) ' 1 + csc x 2后 答1 (? cot x 2 csc x 2 ) ? (2 x) 1 + csc x 2 ? x ? ? 2 1 + csc x 2 = 1 + csc x 2=1 + csc x 2 + x 2 csc x 2 cot x 2 (1 + csc x ) 2 2x ?123 2 2案 网课（13） y ' = ( 3) '+ (343x3 + 14 5 ? ? 1 1 = 2(? )(2 x 2 ? 1) 3 (4 x) + 3(? )(3x 3 + 1) 4 (9 x 2 ) 3 4 4 5 ? ? 8 27 2 3 2 3 = ? x(2 x ? 1) ? x (3 x + 1) 4 。 3 4（14） y ' = e? sin x (? sin 2 x) ' = ? sin 2 x ? e? sin x 。2ww w。)'271.khd。2(1 ? x 2 ) ln x ? (1 + ln 2 x)(1 ? 2 x 2 )aw .c om?2(2 x 2 + sin x) ' ? 2(4 x + cos x) （10） y ' = = 。 (2 x 2 + sin x)3 ( 2 x 2 + sin x) 3（15） y ' = (=x(a 2 ? x 2 ) + x a2 ? x2)' =a 2 ? 3x 2 + 1 a2 ? x21 x(a 2 ? x 2 + 1) ? (? ) ? (?2 x) 2 + 2 2 3 ( a ?x )2 x 4 ? 3a 2 x 2 + a 4 + a 2 (a ? x )2 3 2 2。⒉求下列函数的导数： ⑴ y = ln sin x ；? ? 2 2 2 ⑶ y = 2 ? x a ? x + a arcsin a ? ； ? ? 1 x⑵ y = ln(csc x ? cot x) ； ⑷y = ln( x + x 2 + a 2 ) ；⑸ y = ( x x 2 ? a 2 ? a 2 ln( x + x 2 ? a 2 ) . 解 （1） y ' = （2） y ' =1 (sin x) ' = cot x 。 sin x1 2x ? 2 2 2 2 2 （3） y ' = 1 ? ? x ' a ? x + x( a ? x ) '+ a (arcsin ) ' ?? 1 ? 1? 2 1 ( 2 x ) ? a = ? a ? x 2 + x( ) + a2 2 2 2 a2 ? x2 ?x? ? 1? ? ? ? ?a? ?案 网2?ww w2x(csc x ? cot x ) ' ? cot x csc x ? (? csc 2 x) = csc x 。 = csc x ? cot x csc x ? cot x课后 答（4） y ' =(x + x + a ) '2 21+ =x+ x +a222 x2 + a2 = x + x2 + a2.k12（5） y ' = 1 [ x '2x 2 ? a 2 + x( x 2 ? a 2 ) '? a 2( x + x2 ? a2 ) ' x + x2 ? a2x ? 1+ ? 2 ? ? 2 1 x x ? a2 = ? x2 ? a2 + x ? ?a ? ? 2 2 2? x + x2 ? a2 ? x ?a ? ? ?hda ?? 2 2 a & 0, ? ? a ?x , ? ?= 。 x2 ? ?? , a 0. & ? ? a2 ? x2 ? ? ?x + a2⒊设 f ( x ) 可导，求下列函数的导数：72aw .c om。]? ? 2 2 ?= x ?a ? ? ?。⑴ f (3 x 2 ) ； ⑶f (x) ；2? ⑵ f?1 ? ?； ? ln x ?⑷ arc tan f ( x) ； ⑹ sin ( f (sin x )) ； ⑻ f ( f ( x )) .1 23 2 3 2⑸ f ( f ( e x )) ； ⑺ f? ? f ( x) ? ?； ? ?3 2? 1 ?12 ? 解 （1） f ( x ) ' = f '( x )( x ) ' = x 3 f ' ( x 3 ) 。 3（2） f ? ?（3） [ f ( x)]' =（5） [ f ( f (e x ))]' = f '( f (e x ))[ f (e x )]' = f '( f (e x )) f '(e x )(e x ) ' = 2 xe x f ' (e x ) f ' ( f (e x )) 。2 222ww w2（4） [arctan f ( x)]' =1 f ' ( x) [ f ( x)]' = 。 2 1 + [ f ( x)] 1 + f 2 ( x)2 2 2? ? 1 ? ?′ ? 1 ?? 1 ?′ f ' ( x) ? 1 ? ? f ' = f '? （7） ? f ? ?? ? ?? ? =? 2 ?。 f ( x) ? ? f ( x) ?? f ( x) ? ? f ( x) ? ? ? f ( x) ? ?? ?′ f ' ( f ( x)) f ' ( x) 1 f '( f ( x)) （8） ? [ f ( x)]' = ? 。 ? =? 2 f ( f ( x)) ( f ( f ( x)))2 ? f ( f ( x)) ?⒋ 用对数求导法求下列函数的导数： ⑴ y = xx ； ⑶ y = cos x x ； ⑵ y = (x 3 + sin x ) x ；1课= cos( f (sin x)) f ' (sin x) cos x 。后 答（6） [sin ( f (sin x))]' = cos( f (sin x))( f (sin x)) ' = cos( f (sin x )) f '(sin x)(sin x) '案 网273.k⑷ y = ln x ( 2 x + 1) ；hd1 f ' ( x) [ f ( x)]' = 。 2 f ( x) 2 f ( x)aw .c om1 1 1 ?′ ? 1 ?? 1 ?′ f '( )。 ? = f '? ?? ? =? 2 ln x x ln x ? ln x ? ? ln x ?? ln x ?⑸ y=x1? x2 ； 1 + x3⑹ y = ∏ ( x ? xi ) ；i =1n⑺ y = sin x x . 解 由于 (ln y ) ' =y' ，所以 y ' = y (ln y ) ' 。 y（1） ln y = x ln x ,y ' = y (ln y ) ' = y[ x 'ln x + x(ln x) '] = (1 + ln x) x x 。? 1 ′ ? ? ? ?1? y ' = y (ln y ) ' = y ?? ? ln ( x 3 + sin x ) + ? ? ln ( x 3 + sin x ) '? ?? x ? ? ? x? ? ?= ( x + sin3y ' = y ( x ln cos x ) ' = y[ x 'ln cos x + x (ln cos x ) '] = (ln cos x ? x tan x )cos x x 。（4） ln y = x ln ln(2 x + 1) ，?（5） ln y = ln x + ln(1 ? x 2 ) ? ln(1 + x3 ) ，1 1 2 2 1 1 y ' = y[(ln x) '+ (ln(1 ? x 2 )) '? (ln(1 + x3 )) '] 2 2=x 3x 2 ? x 1? x2 ? 1 ? ? ? ?。 2 2(1 + x 3 ) ? 1 + x3 ? x 1 ? xn（6） ln y = ∑ ln( x ? xi ) ，i =1课= ?ln ln(2 x + 1) +?后 答y ' = y[ x 'ln ln(2 x + 1) + x(ln ln(2 x + 1)) ']案 网? x 2x ln (2 x + 1) 。 (2 x + 1) ln(2 x + 1) ? ?ww w74（3） ln y = x ln cos x ，.khd1 x) x? 3 x 2 + cos x ln( x 3 + sin x) ? ? ? ?。 3 x2 ? x ( x + sin x) ?aw .c om（2） ln y = ln ( x3 + sin x ) ，1 xy ' = y[∑ ln'( x ? xi )] = ∏ ( x ? xi ) ? ∑i =1nni =11 。 i =1 x ? xin（7）令 u = x x , ln u = x ln x ，则u ' = u[( x ) 'ln x + x (ln x) '] = u ( 2 + ln x x 2 xdy ： dxln x 1 2 + ln x ) = u( ) ，于是， + 2 x 2 x xxy ' = (sin u ) '(u ) ' =xcos x。⒌对下列隐函数求⑴ y = x + arc tan y ； ⑶x ? cos y = sin y ? x ；2⑵ y + x ey = 1；⑷ xy ? ln( y + 1) = 0 ；⑺ 2 y sin x + x ln y = 0 ；解 （1）在等式两边对 x 求导，得到y ' = x '+ (arctan y ) ' = 1 +后 答解得（2）在等式两边对 x 求导，得到y '+ x ' e y + xe y y ' = y '(1 + xe y ) + e y = 0 ，解得y'= ?课y'=（3）等式两边平方，再对 x 求导，得到案 网1+ y2 。 y2ey 。 1 + xe yww wy' ， 1+ y275.k⑻ x 3 + y 3 ? 3axy = 0 .hd⑸ e x + y ? xy 2 = 0 ；⑹ tan( x + y ) ? xy = 0 ；aw .c om1 + sin y ? ( y ) ' = 2(sin y ? x)(cos y ? ( y ) '? 1) ，解得y'=1 + 2(sin y ? x) 。 2(sin y ? x) cos y ? sin y（4）在等式两边对 x 求导，得到x ' y + xy '? [ln( y + 1)]' = y + xy '? 1 y' = 0， 1+ y解得y2 + y 。 y'= 1 ? x ? xy解得sec 2 ( x + y )( x + y ) '? ( xy ) ' = sec 2 ( x + y )(1 + y ') ? ( y + xy ') = 0 ，解得课（7）在等式两边对 x 求导，得到2 y 'sin x + 2 y (sin x) '+ ( x ln y ) ' = 2 y 'sin x + 2 y cos x + ln y + x ? y' =0， y解得后 答（6）在等式两边对 x 求导，得到y' =sec2 ( x + y ) ? y 。 x ? sec2 ( x + y )案 网y' = ?2 xe x ex22+y? y2+y? 2 xyww w。76.kex2+y( x 2 + y ) '? ( xy 2 ) ' = e x2+y(2 x + y ') ? ( y 2 + 2 xyy ') = 0 ，hd（5）在等式两边对 x 求导，得到aw .c omy' = ?2 y 2 cos x + y ln y 。 x + 2 y sin x（8）在等式两边对 x 求导，得到3x 2 + 3 y 2 y '? 3ax ' y ? 3axy ' = 3( x 2 + y 2 y '? ay ? axy ') = 0 ，解得y' = ay ? x 2 。 y 2 ? ax6． 设所给的函数可导，证明： ⑴ 奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； ⑵ 周期函数的导函数仍是周期函数。 证 ⑴设 f ( x) 为奇函数，则?x → 0= lim设 f ( x) 为偶函数，则f '(? x) = lim?x → 0= ? lim（2）设 f ( x) 是周期为 T 的函数，则f '( x + T ) = lim?x → 0课??x →07．求曲线 xy + ln y = 1 在 M (1,1) 点的切线和法线方程。 解 对方程两边求导，得到 y + xy '+1 2后 答f ( ? x + ?x ) ? f ( ? x ) f ( x ? ?x ) ? f ( x ) = lim ? x → 0 ?x ?xf ( x + (??x)) ? f ( x) = ? f '( x) 。 (??x)f (( x + T ) + ?x) ? f ( x + T ) f ( x + ?x ) ? f ( x ) = lim = f '( x) 。 ? x → 0 ?x ?x案 网??x → 0f ( x + (??x)) ? f ( x) = f '( x) ； (??x)ww w77f '(? x) = limf ( ? x + ?x ) ? f ( ? x ) [? f ( x ? ?x)] ? [? f ( x)] = lim ?x → 0 ?x ?x入得到 y '(1) = ? 。于是切线方程为 y ? 1 = ? ( x ? 1) ，即.ky2 y' = 0 ，解得 y ' = ? ，将 (1,1) 代 xy + 1 y1 2hdaw .c omx + 2y ?3 = 0，法线方程为 y ? 1 = 2( x ? 1) ，即2x ? y ?1 = 0 。8． 对下列参数形式的函数求? x = at 2 , ⑴ ? 3 ? y = ? x = t 2 sin t , ⑶ ? 2 ? y = ? x = a cos 3 t , ⑸ ? 3 ? y =t +1 ? ?x = t , ⑺ ? t ?1 ?y = ; t ?dy ： dx?x = 1? t2, ⑵ ? 3 ?y = t ? ? x = a e ?t , ⑷ ? t ?y =⑹ ?? x = sh at , ? y =解： （1） （2） （3） （4） （5） （6）dy y ' 2t cos t ? t 2 sin t 2 cos t ? t sin t 。 = = = dx x ' 2t sin t + t 2 cos t 2sin t + t cos tdy y ' bet b = = = ? e2t 。 ?t dx x ' (?ae ) a dy y ' 3a sin 2 t cos t = = = ? tan t 。 dx x ' 3a cos 2 t (? sin t )dy y ' bshbt 。 = = dx x ' achat课dy y ' 1 ? 3t 2 3t 2 ? 1 。 = = = dx x ' ?2t 2t后 答dy y ' 3bt 2 3bt 。 = = = dx x ' 2at 2a案 网? x = e ?2t cos 2 t , ⑼ ? ? 2t 2 ? y =ww w78.k⑻ ?? x = ln(1 + t 2 ), ⑽ ? ? y = t ? arc tan t.hd?x = 1+ t, ? y = 1?aw .c om（7）dy y ' (1 + t ?1 ) ' ?t ?2 = = = = ?1 。 dx x ' (1 ? t ?1 ) ' t ?2?1 1+ t dy y ' （8） = = 2 1 ? t = ? 。 1 dx x ' 1? t 2 1+ t（9）dy y ' ?2e?2t sin 2 t + e?2t 2sin t cos t (sin t ? cos t ) tan t = = = 。 2 ?2 t ?2 t dx x ' ?2e cos t + e 2 cos t (? sin t ) sin t + cos t1?9．求曲线 x = 程。2t + t 2 2t ? t 2 ， 上与 t = 1 对应的点处的切线和法线方 y = 1+ t3 1+ t3x '(t) =于是dy 2 ? 2t ? 4t 3 + t 4 。 = dx 2 + 2t ? 4t 3 ? t 4 3 ? dy 当 t = 1 时， = 4 = 3 ，所以切线方程为 dx ? 1 4课y '(t ) =(2t ? t 2 ) '(1 + t 3 ) ? (2t ? t 2 )(1 + t 3 ) ' (2 ? 2t )(1 + t 3 ) ? (2t ? t 2 )3t 2 = (1 + t 3 )2 (1 + t 3 ) 2 2 ? 2t ? 4t 3 + t 4 。 (1 + t 3 ) 2=后 答2 + 2t ? 4t 3 ? t 4 = ， (1 + t 3 ) 2案 网(2t + t 2 ) '(1 + t 3 ) ? (2t + t 2 )(1 + t 3 ) ' (2 + 2t )(1 + t 3 ) ? (2t + t 2 )3t 2 = (1 + t 3 ) 2 (1 + t 3 )2ww w79解将 t = 1 代入参数方程，有 x = , y = 。经计算，3 2.k1 2hdaw .c om1 2 dy y ' t （10） = = 1 + t = 。 2t dx x ' 2 2 1+ t3 1 y = 3( x ? ) + = 3 x ? 4 ， 2 2法线方程为1 3 1 x y = ? (x ? ) + = ? +1 。 3 2 2 3?e x = 3t 2 + 2t + 1, 10 ．设方程 ? 确定 y 为 x 的函数，其中 t 为参变量，求 ? π t y y sin ? + = 0 . ? 2 ?dy dx。t =02aw .c om解将 t = 0 代入参数方程，可得 e x = 1, ? y +π= 0 ，即 x = 0, y =π2。在两个方程的两端对 t 求导，得到?e x x ' = 6t + 2, ? ?sin y + t cos y ? y '? y ' = 0,11. 证明曲线后 答上任一点的法线到原点的距离等于 | a | 。 证 利用参数形式所表示的函数的求导公式，dy a(cos t ? cos t + t sin t ) = = tan t ， dx a(? sin t + sin t + t cos t )曲线在对应于参数 t 的点处的法线方程为y ? a (sin t ? t cos t ) = ? cot t ( x ? a (cos t + t sin t )) ，简化后为课案 网dy 2 = = 2。 dx t =0 1? x = a (cos t + t sin t ), ? ? y = a(sin t ? t cos t ).ww w80再将 t = 0 代入，解得 x '(0) = 2, y '(0) = 1 。所以.khdcos t ? x + sin t ? y ? a = 0 ，法线到原点的距离为d= a =| a | 。 cos t + sin 2 t212．设函数 u = g ( x ) 在 x = x 0 处连续， y = f (u ) 在 u = u0 = g ( x 0 ) 处连续。请 举例说明，在以下情况中，复合函数 y = f ( g( x )) 在 x = x 0 处并非一定 不可导：⑵ u = g ( x ) 在 x 0 处不可导，而 y = f ( u ) 在 u0 处可导；（2） u = g ( x) =| x |, f (u ) = u 2 , x0 = 0, u0 = 0, y = f ( g ( x)) =| x |2 = x 2 。y = f ( u ) 在 u0 = g (0) = 0 处也不可导，但 y = f ( g ( x)) ≡ 0 处处可导。13．设函数 f ( u ) ， g ( u ) 和 h( u) 可微，且 h( u ) & 1 ，u = ?( x ) 也是可微函数，课利用一阶微分的形式不变性求下列复合函数的微分： ⑴ f ( u ) g ( u ) h( u ) ； ⑶ h( u ) g ( u ) ； ⑸ arc tan ?? f (u ) ? ?； ? h(u ) ?后 答案 网（3） g ( x) = max{0, x}, f (u ) = min{0, u} ，则 u = g ( x ) 在 x0 = 0 处不可导，ww w81解 （1） d [ f (u ) g (u )h(u )] = [ f '(u ) g (u )h(u ) + f (u ) g '(u )h(u ) + f (u ) g (u )h '(u )]du= [ f '(u ) g (u ) h(u ) + f (u ) g '(u ) h(u ) + f (u ) g (u ) h '(u )]? '( x ) dx 。.k⑵ ⑹解 （1） u = g ( x) = x 2 , f (u ) =| u |, x0 = 0, u0 = 0, y = f ( g ( x)) =| x 2 |= x 2 。⑷ log h (u ) g (u ) ；1 . f 2 ( u) + h 2 ( u)hd⑶ u = g ( x ) 在 x 0 处不可导， y = f ( u ) 在 u0 处也不可导。f ( u) g( u) ； h( u)aw .c om⑴ u = g ( x ) 在 x 0 处可导，而 y = f ( u ) 在 u0 处不可导；（2） d ?? f (u ) g (u ) ? [ f '(u ) g (u ) + f (u ) g '(u )]h(u ) ? [ f (u ) g (u )]h '(u ) du ?= (h(u )) 2 ? h(u ) ? = f '(u ) g (u )h(u ) + f (u ) g '(u ) h(u ) ? f (u ) g (u ) h '(u ) ? '( x)dx 。 (h(u )) 2g ( u ) ln( h ( u )) ′ g ( u )ln( h ( u )) ? （3） d [h(u ) g (u ) ] = ? [ g (u ) ln(h(u ))]′ du ?e ? du = e? ? h '(u ) = h(u ) g (u ) ? g (u ) + g '(u ) ln h(u ) ? ? '( x)dx 。 h(u ) ? ?（4） d log h (u ) g (u ) = d=ln g (u ) [ln g (u )]'ln h(u ) ? ln g (u )[ln h(u )]' = du ln h(u ) ln 2 h(u )h(u ) g '(u ) ln h(u ) ? h '(u ) g (u ) ln g (u ) ? '( x)dx 。 h(u ) g (u ) ln 2 h(u )（6） d1课后 答案 网′ ? f 2 (u ) + h 2 (u ) ? f (u ) f '(u ) + h(u )h '(u ) ? ? =? du = ? ? '( x)dx 。 3 3 2 2 2 2 2 2 f (u ) + h (u ) 2 2 2( f (u ) + h (u )) ( f (u ) + h (u ))ww w82.k（5） d arctan ?? f (u ) ? ? ? h(u ) ?? f (u ) ? ′ ? h (u ) ? ? du = f '(u ) h(u ) ? f (u ) h '(u ) ? '( x)dx 。 = ? 2 f 2 (u ) + h 2 (u ) ? f (u ) ? 1+ ? ? ? h(u ) ?hdaw .c om习题4.5高阶导数和高阶微分⒈求下列函数的高阶导数： ⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼y = x 3 + 2 x 2 ? x + 1,求 y ′′′ ；⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽y = x 4 ln x ，求 y ′′ ；y= ln x ，求 y ′′ ； x2y=x2 1+ x，求 y ′′ ；y = sin x 3 ，求 y ′′ 、 y ′′′ ； y = x 2 e 3 x ，求 y ′′′ ； y = x 3 cos 2 x ，求 y ( 80 ) ；y = x 3 cos x，求 y ′′ 、 y ′′′ ；y = e ? x 2 arcsin x ，求 y ′′ ；y = ( 2 x 2 + 1) sh x ，求 y ( 99 ) .解 （1） y ' = 3x 2 + 4 x ? 1, y ' ' = 6 x + 4, y ' ' ' = 6 。（3） y ' =（4） y ' = x ?1 ? x ? 2 ? 2 ln x ? x ?3 =y& = ?2 x ?1 x ?3（5） y ' = cos x 3 ? (3x 2 ) = 3x 2 cos x 3 ，y& = 6 x cos x 3 + 3 x 2 (? sin x 3 )(3 x 2 ) = 6 x cos x 3 ? 9 x 4 sin x 3 ，y ''' = 6 cos x 3 ? 6 x sin x 3 ? (3 x 2 ) ? 36 x3 sin x3 ? 9 x 4 cos x3 ? (3x 2 ) = ?54 x 3 sin x 3 ? (27 x 6 ? 6) cos x 3 。课后 答3 1 3 (4 + 6 x)(1 + x) 2 ? (4 x + 3 x 2 )(1 + x) 2 3x 2 + 8x + 8 2 y& = = 。 5 2(1 + x)3 2 4(1 + x)1 ? 2 ln x ， x3 6 ln x ? 5 。 ? 3(1 ? 2 ln x ) x ? 4 = x4案 网ww w1 2 x832x 1 + x ? x21 2 2 1 + x = 4 x + 3x ， 3 1+ x 2(1 + x) 2.k1 2 x sin x ， 25（6） y ' = 3x 2 cos x + x 3 (? sin x )() = 3x 2 cos x ?hd（2） y ' = 4 x 3 ln x + x 3 ， y& = 12 x 2 ln x + 4 x 2 + 3x 2 = 12 x 2 ln x + 7 x 2 。aw .c omy & = 6 x cos x + 3x 2 (? sin x )5 3 1 5 1 ? x 2 sin x ? x 2 (cos x ) 2 2 x 4 2 x 11 11 3 = (6 x ? x 2 ) cos x ? x 2 sin x ， 4 4x x2 1 33 1 11 3 1 2 y ''' = (6 ? ) cos x + (6 x ? )(? sin x ) ? x sin x ? x 2 cos x 2 4 4 2 x 8 2 x15 1 3 57 1 2 = (6 ? x) cos x + ( x ? x 2 ) sin x 。 8 8 8（7） y ' = 2 xe3 x + x 2e3 x (3x)' = (2 x + 3x 2 )e3 x ，y ' ' = (2 + 6 x)e 3 x + (2 x + 3 x 2 )e 3 x (3 x)' = (9 x 2 + 12 x + 2)e 3 x ，y ' ' ' = (18 x + 12)e 3 x + (9 x 2 + 12 x + 2)e 3 x (3 x)' = (27 x 2 + 54 x + 18)e 3 x 。（8） y ' = (? x 2 )' e ? x arcsin x + e ? x (arcsin x)' = (?2 x arcsin x +22hdaw .c om1 1? x21 1? x2)e ? x ，2ww w2y& = (? x 2 )' (?2 x arcsin x + 11.k1? x2 )e)e ? x + (?2 x arcsin x +)' e ? x2案 网1? x2= (?2 x)(?2 x arcsin x +? x2? ? 2x 1 (?2 x) ? ? x 2 ? e + ? 2 arcsin x ? + (? ) 3 ? ? 2 2 1 x ? 2 2 ? ? (1 ? x ) ? ?1 2 3 （9） y (80) = x 3 cos (80) 2 x + C80 3 x 2 cos (79) 2 x + C80 6 x cos (78) 2 x + C80 6 cos (77) 2 x= 280 x 3 cos 2 x + 80 ? 279 ? 3 x 2 sin 2 x ? 3160 ? 278 ? 6 x cos 2 x ? 82160 ? 277 ? 6 sin 2 x2 2 = 280 ? ? x ( x ? 4740) cos 2 x + (120 x ? 61620) sin 2 x ? ?。1 2 （10） y (99) = (2 x 2 + 1)sh (99) x + C99 4 x sh (98) x + C99 4 sh (97) x= (2 x 2 + 1)ch x + 99 ? 4 x sh x + 4851? 4ch x = (2 x 2 + 19405)chx + 396 xshx 。⒉ 求下列函数的 n 阶导数 y ( n ) ：84课? ? x(4 x 2 ? 3) ? ? x 2 2 ? = 2(2 x ? 1) arcsin x + 3 ? ? 2 2 ? ? (1 ? x ) ? ?后 答⑴ ⑶ ⑸y = sin 2 ωx ； y= ex x⑵ ⑷ ⑹y = 2 x ln x ； y= 1 ； x ? 5x + 62；y = e αx cos β x ；y = sin 4 x + cos 4 x .解 （1） y ( n ) = (1 ? cos 2ωx) ( n ) = ?2 n ?1 ω n cos( 2ωx + π )= 2n ?1ω n sin(2ω x + n ?1 π)。 21 2n 2n n 1? （2） y ( n ) = ∑ Cnk (2 x )( n ? k ) (ln x)( k ) = ln n 2 ? 2 x ln x + ∑ Cnk 2 x ln n ? k 2 ? ? ? ? k =0( k ?1)k =1?x?（3） y(n)= ∑ C (e )k =0 k nnx ( n?k )? 1 ? y (n) = ? ? ? x ?3?n? 1 ? ?? ? ? x?2?k后 答n 1 n 。 = (?1) n n ! k = 0 = ( ? 1) n ! ∑ n +1 n +1 n ? k +1 ( x ? 3) ( x ? 2) ( x ? 3) k +1 k = 0 ( x ? 2)∑ ( x ? 2)案 网( x ? 3) n ? kww w(n)(n)? ? 1 1 = (?1) n n ! ? ? n +1 n +1 ? ( x ? 2) ? ? ( x ? 3).kn k =0（4）由于 y =1 1 ， ? x?3 x?2hdkπ )。 285?1? ? ? ? x?(k )k x e =∑ C n k =0nk n (?1) k k! x k ( ?1) k! = e C 。 ∑ n x k +1 x k +1 k =0（5） y ( n ) = ∑ C nk (eαx ) ( n ? k ) [cos( βx)]( k ) = eα x ∑ Cnkα n ? k β k cos( β x + （6） y = (sin 2 x + cos 2 x) 2 ? 2 sin 2 x cos 2 x1 1 3 cos 4 x ， = 1 ? sin 2 2 x = 1 ? (1 ? cos 4 x) = + 2 4 4 4n所以y ( n ) = 4n ?1 cos(4 x + nπ )。 2⒊ 研究函数2 ? x ≥ 0, ?x , f ( x) = ? 2 ? ?? x , x & 0课k =0aw .c omn ? (?1) k ?1 (k ? 1)!? k ln n ? k 2 ? = 2 x ?ln n 2 ? ln x + ∑ Cn ?。 xk k =1 ? ?的各阶导数。 解 当 x & 0 时， f ' ( x) = 2 x ；当 x & 0 时， f ' ( x) = ?2 x 。由f +′(0) = lim f ?′(0) = lim f (?x) ? f (0) ( ?x ) 2 ? 0 = lim = 0， ?x → 0 + ?x ?x f (?x) ? f (0) ? ( ?x ) 2 ? 0 = lim = 0， ?x →0 ? ?x ?x?x → 0 +?x →0 ?可知 f ' ( x) = 2 | x | 。2, ? ? 由此得到 f ''( x) = ? ? 2, ? ?不存在， x & 0, x & 0, x = 0。于是当 n & 2 时， f ( n ) ( x) = ? 4．设 f ( x ) 任意次可微，求 ⑴ ⑶ ⑸[ f (x2)]′′′ ；ww w 案 网'[ f (ln x )]′′ ； [ f ( e ? x )]′′′ ；解 （1） [ f ( x 2 )]' = f ' ( x 2 )( x 2 )' = 2 xf ' ( x 2 ) ，[ f ( x 2 )]' ' = 2 xf ' ' ( x 2 )( x 2 )'+(2 x)' f ' ( x 2 ) = 4 x 2 f ' ' ( x 2 ) + 2 f ' ( x 2 ) ， [ f ( x 2 )]''' = 4 x 2 f '''( x 2 )( x 2 ) '+ (4 x 2 ) ' f ''( x 2 ) + 2 f ''( x 2 )( x 2 ) ' = 8 x3 f '''( x 2 ) + 12 xf ''( x 2 )。1 ?1? ? 1 ? ?′ ? 1 ?? 1 ? （2） ? f ? ? ? ? = f ' ? ?? ? = ? 2 f ' ? ? ， x ? x ?? x ? ? x? ? ? x ?? ? ?f ?' ' ′′ 1 ? 1 ?? ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ?1? 2 ?1? ? ? ? = ? 2 f '' ? ?? ? ? ? 2 ? f ' ? ? = 4 f '' ? ? + 3 f ' ? ? ， x ? x ?? ? x ?? x ? ? x ? ? x ? x ? x? x ? x?1 ? ? 1 ? ?′′′ ?1? 4 ?1? 2 ?1? 6 ?1? ? f ? x ? ? = ? x 6 f ′′′ ? x ? ? x5 f ′′ ? x ? ? x5 f ′′ ? x ? ? x 4 f ′ ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??课后 答86.k⑷? 1 ? ?′′′ ⑵ ?f ? ? ?? ； ? ? x ??[ln f ( x )]′′ ；⑹ [ f (arc tan x )]′′ .hdx ≠ 0, ?0, ?不存在， x = 0 。aw .c om=?1 x6? ?1? ?1? ? 1 ?? 2 ? f ′′′ ? x ? + 6 xf ′′ ? x ? + 6 x f ′ ? x ? ? 。 ? ? ? ?? ? ? ?（3） [ f (ln x)]' = f ' (ln x )(ln x)' =f ' (ln x ) , x f ' ' (ln x )(ln x )'? x ? f ' (ln x )( x)' f ' ' (ln x ) ? f ' (ln x ) 。 [ f (ln x)]' ' = = x2 x2（4） [ln f ( x)]' =[ln f ( x)]' ' =f ' ( x) , f ( x)2f ' ' ( x) f ( x) ? ( f ' ( x) ) 。 f 2 ( x)[ f (e ? x )]'' = ?e? x f ''(e? x )(e? x ) '? (e ? x ) ' f '(e? x ) = e ?2 x f ''(e? x ) + e? x f '(e? x ) , [ f (e ? x )]''' = e?2 x f '''(e? x )(e ? x ) '+ (e?2 x ) ' f ''(e? x ) + e? x f ''(e? x )(e? x ) '+ (e? x ) ' f '(e? x )⑴ y = arc tan x ； ⑵y = arc sin x 。解（1）由 y ' =等式 y ' (1 + x 2 ) = 1 两边对 x 求 n 阶导数（ n & 1 ） ，得到课5．利用 Leibniz 公式计算 y ( n ) (0) ：后 答=f ''(arctan x) ? 2 xf '(arctan x) 。 (1 + x 2 ) 21 2x ，令 x = 0 ，可得 y ' (0) = 1, y ' ' (0) = 0 。在 , y' ' = ? 2 1+ x (1 + x 2 ) 2∑Ck =0注意到 (1 + x 2 )' ' ' = 0 ，上式简化为87案 网[ f (arctan x)]'' =(1 + x 2 ) f ''(arctan x)(arctan x) '? (1 + x 2 ) ' f '(arctan x) (1 + x 2 )2nk ny ( n ? k +1) (1 + x 2 ) ( k ) = 0 ，ww w（6） [ f (arctan x)]' = f '(arctan x)(arctan x) ' =.k= ?e ?3 x f '''(e? x ) ? 3e ?2 x f ''(e? x ) ? e? x f '(e? x ) 。f '(arctan x) , 1 + x2hdaw .c om（5） [ f (e ? x )]' = f ' (e ? x )(e ? x )' = ?e ? x f ' (e ? x )y ( n +1) (1 + x 2 ) + ny ( n ) ? 2 x +n(n ? 1) ( n ?1) y ?2 = 0， 2以 x = 0 代入，得到递推公式y ( n +1) (0) = ? n( n ? 1) y ( n ?1) (0) ，从而得到n ?1 ? ?(?1) 2 (n ? 1)!, y (0) = ? ? ?0, (n)n为奇数; n为偶数。?3（2）由 y ' = (1 ? x 2 ) 2 , y '' = (? )(1 ? x 2 ) 2 (1 ? x 2 ) ' = x(1 ? x 2 ) 2 =?11 2?3xy ' ，令 x = 0 ， 1 ? x2可得 y ' (0) = 1, y ' ' (0) = 0 ， 且 xy ' = (1 ? x 2 ) y ' ' 。 在等式 xy ' = (1 ? x 2 ) y ' ' 两边对 x 求 n 阶导数（ n ≥ 1 ） ，得到n n即xy ( n +1) + ny ( n ) = y ( n + 2 ) (1 ? x 2 ) ( k ) ? 2 xny ( n +1) ? n(n ? 1) y ( n )xy ( n +1) + ny ( n ) = y ( n + 2) (1 ? x 2 ) ? 2 xny ( n +1) ? n(n ? 1) y ( n ) ，以 x = 0 代入，得到递推公式从而得到课6． 对下列隐函数求 ⑴ ⑶e x2 + y ? x 2 y = 0 ;后 答案 网y ( n + 2) (0) = n 2 y ( n ) (0) ，?[(n ? 2)!!]2， n为奇数； y (0) = ? n为偶数。 ?0，(n)d2y ： dx 22 y sin x + x ln y = 0 ;解 （1）在等式两边对 x 求导，有88ww w.k∑ C nk y ( n?k +1) ( x) ( k ) =∑ C nk y ( n?k +2) (1 ? x 2 ) ( k ) ，k =0 k =0⑵ tan( x + y ) ? xy = 0 ; ⑷ x3 + y 3 ? 3axy = 0 .hdaw .c omex2+y( x 2 + y)'?( x 2 y)' = e x2+y(2 x + y ' ) ? 2 xy ? x 2 y' = 0 ，再对 x 求导，得到ex2+y( x 2 + y ) '(2 x + y ') + e x+y2+y(2 x + y ') '? (2 xy + x 2 y ') '= ex2(2 x + y ')2 + e x2+y(2 + y '') ? 2 y ? 4 xy '? x 2 y '' = 0 ，从而解出y' ' = 2 x( y ? e x ex2 24 xy '+2 y ? e x2+y[2 + 4 x 2 + 4 xy '+ ( y ' ) 2 ] ?x2ex2 + y，+y? x2（2）在等式两边对 x 求导，有再对 x 求导，得到2sec2 ( x + y ) tan( x + y )( x + y ) '(1 + y ') + sec 2 ( x + y )(1 + y ') '? y '? ( xy ') ' = 2sec2 ( x + y ) tan( x + y )(1 + y ') 2 + sec 2 ( x + y ) y ''? 2 y '? xy '' = 0 ，其中 y ' =sec 2 ( x + y ) ? y 。 x ? sec 2 ( x + y )（3）在等式两边对 x 求导，有2 y ' sin x + 2 y cos x + ln y + x ? y' = 0 ， y再对 x 求导，得到2 y ' ' sin x + 4 y ' cos x ? 2 y sin x + 2 y' x x ? 2 ? ( y' ) 2 + ? y' ' = 0 ， y y y课后 答从而解出y' ' =2 sec( x + y ) tan( x + y )(1 + y ' ) 2 ? 2 y ' ， x ? sec 2 ( x + y )案 网ww w89.khdsec 2 ( x + y )( x + y )'?( xy )' = sec 2 ( x + y )(1 + y ' ) ? y ? xy ' = 0 ，aw .c om其中 y' =+y)。从而解出y' ' = 2 y 3 sin x ? 4 y 2 y ' cos x ? 2 yy '+ x( y ' ) 2 ， xy + 2 y 2 sin x其中 y ' = ?2 y 2 cos x + y ln y 。 x + 2 y sin x（4）在等式两边对 x 求导，有3x 2 + 3 y 2 y '?3ay ? 3axy' = 0 ，再对 x 求导，得到6 x + 6 y ( y ' ) 2 + 3 y 2 y ' '?6ay '?3axy ' ' = 0 ，从而解出y' ' = ay ? x 2 。 y 2 ? ax 2 x + 2 y ( y ' ) 2 ? 2ay ' ， ax ? y 2其中 y ' =案 网7． 对下列参数形式的函数求 d⑸ ?? x = 1+ t, ? y = 1? t,课⑶? x = t (1 ? sin t ), ? ? y = t cos t ,后 答⑴? x = at 2 , ? 3 ? y = bt ,ww w2ydx 2： ⑵ ⑷? x = at cos t , ? ? y = at sin t , ? x = a e?t , ? t ? y = be ,d 2 y (bt 3 )' ' (at 2 )'?(bt 3 )' (at 2 )' ' (6bt )(2at ) ? (3bt 2 )(2a) 3b 解 （1） 2 = = = 2 。 2 3 3 dx [(at )' ] (2at ) 4a t（2）d 2 y (at sin t ) ''(at cos t ) '? (at sin t ) '( at cos t ) '' = dx 2 [(at cos t ) ']390.k⑹ ?? x = sin at , ? y = cos bt.hdaw .c om= =(2a cos t ? at sin t )(a cos t ? at sin t ) + ( a sin t + at cos t )(2a sin t + at cos t ) a 3 (cos t ? t sin t )3 (t 2 + 2)(sin 2 t + cos 2 t ) t2 + 2 = 。 a (cos t ? t sin t )3 a(cos t ? t sin t )3d 2 y (t cos t ) ''[(t (1 ? sin t )]'? (t cos t ) '[t (1 ? sin t )]'' = （3） dx 2 [t (1 ? sin t )]'3= (?2sin t ? t cos t )(1 ? sin t ? t cos t ) ? (cos t ? t sin t )(?2 cos t + t sin t ) (1 ? sin t ? t cos t )3t 2 + 2 ? 2sin t ? t cos t = 。 (1 ? sin t ? t cos t )3d 2 y ( 1 ? t ) ''( 1 + t ) '? ( 1 ? t ) '( 1 + t ) '' （5） 2 = dx [( 1 + t ) ']3（6）=b(? a sin at sin bt ? b cos at cos bt ) b(a sin at sin bt + b cos at cos bt ) 。 =? 2 3 a cos at a 2 cos3 at后 答8． 利用反函数的求导公式 dxdy案 网d 2 y (cos bt ) ''(sin at ) '? (cos bt ) '(sin at ) '' = dx 2 (sin at )'3证 （1）（2）d 3x d d 2x d y '' 1 dy '' y '' dy ' = ( 2 ) = [? ]=? +3 3 3 3 dy dy dy dy ( y ') ( y ') dy ( y ') 4 dy=?1 dy '' dx y '' dy ' dx y ''' 1 3( y '')2 1 3( y '') 2 ? y ' y ''' 。 3 + = ? ? + ? = ( y ')3 dx dy ( y ') 4 dx dy ( y ')3 y ' ( y ') 4 y ' ( y ')5课d 2x y' ' ; ⑴ 2 =? dy ( y' ) 3ww w=913 ? ? ? ?1 1 3 2 =? ? + = ? ? (2 1 t ) 2(1 t ) 。 3 3 ? ? 4( 1 ? t ) (2 1 + t ) 2( 1 ? t )[4( 1 + t ) ] ?1 ，证明 y′d 2 x d dx d 1 = ( )= ( ) 2 dy dy dy dy y '=? 1 dy ' 1 dy ' dx y '' 1 y '' 。 =? =? ? =? 2 2 2 ( y ') dy ( y ') dx dy ( y ') y ' ( y ')3.k⑵hdd 3 x 3( y ′′ ) 2 ? y ′y ′′′ . = dy 3 ( y ′ )5aw .c om（4）d 2 y (bet ) ''(ae? t ) '? (bet ) '(ae ? t ) '' ?bet e ? t ? bet e ?t 2b 3t = = = 2e 。 dx 2 [(ae? t ) ']3 ? a 2 e?3t a9． 求下列函数的高阶微分： ⑴ y = 3 x ? tan x , 求 d 2 y ； ⑶ ⑸ ⑺y=⑵ ⑷ ⑹ ⑻y = x 4 e ? x ，求 d 4 y ；1+ x2 x，求 d 2 y ；y=sec x ，求 d 2 y ； x2 ?1y = x sin 3x ，求 d 3 y ； y= ln x ，求 d n y ； xy = x x ，求 d 2 y ； y = x n cos 2 x ，求 d n y .解 （1） dy = ( x ? tan x) 3 (1 ? sec2 x)dx = ? ( x ? tan x) 3 tan 2 xdx ，5 2 ? ? 2 1 d 2 y = [? ( x ? tan x) 3 (1 ? sec 2 x) 2 ? ( x ? tan x) 3 (2 tan x sec 2 x)]dx 2 9 31 3?21 3?2=2 tan 4 x + 6sec 2 x tan x ( x ? tan x) 9(tan x ? x)4 5 3dx 2 。4k =0k =0= ( x 4 ? 16 x 3 + 72 x 2 ? 96 x + 24)e ? x dx 4 。（3） dy = 2 1 + xd2y =[ 22? (2 x) ? x ? 1 + x 2 ? 1 x2案 网1ww wdx = ? 1 x2.k（2） d 4 y = ∑ [C4k ( x 4 )( k ) (e ? x )(4? k ) ]dx 4 = ∑ C4k4! x 4? k (?1) 4? k e ? x dx 4 (4 ? k )!hd3 2 2后 答课x31+ x2+2x2 x 2 (1 + x 2 ) 2]dx 2 = 33x 2 + 2 x3 (1 + x )（4） dy = [tan x sec x ( x 2 ? 1) 211 sec x ? (2 x ) sec x[( x 2 ? 1) tan x ? x] ? ? ] dx = dx ， 3 3 2 2 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)? 2 2 2 ? sec x tan x[( x ? 1) tan x ? x] + sec x[2 x tan x + ( x ? 1) sec x ? 1] d y=? 3 2 2 ? ( x ? 1) ?2? 3 sec x[( x 2 ? 1) tan x ? x] ? (2 x) ? 2 ? ? ? dx 5 2 2 ? ( x ? 1) 2 ?92aw .c om1+ x2 dx ，dx 2 。=sec x[( x 2 ? 1) 2 (1 + 2 tan 2 x) ? 2 x( x 2 ? 1) tan x + 2 x 2 + 1] ( x 2 ? 1)5 2dx 2 。（5） d 3 y = [ x(sin 3 x) '''+ 3x '(sin 3x) '']dx3 = ?27(sin 3x + x cos 3x)dx3 。 （6） dy = de x ln x = e x ln x (1 + ln x)dx = x x (1 + ln x)dx ，1 d 2 y = [( x x ) '(1 + ln x) + x x (1 + ln x) ']dx = x x [(1 + ln x)2 + ]dx 2 。 x（7） d n y = ∑ C nk (ln x) ( k ) ( ) ( n ? k ) dx nk =0n1 xn (?1) n n ! ? 1? x = ln ? ∑ ? dx n 。 ? n +1 x k =1 k ? ? nnk =010．求 d 2 (e x ) ，其中后 答案 网= ( n !) 2 ∑k =0n2 k x k cos(2 x +kπ ) 2 dx n 。 ( k !) 2 ( n ? k )!⑴ x 是自变量;（2） d (e x ) = (e x )' dx = e x dx = e? (t )? ' (t )dt ，d 2 (e x ) = d (e? (t )? '(t )dt ) = [e? (t )? '(t )]' dt 2 = e? (t ) {[? '(t )]2 + ? ''(t )} dt 2 。11．设 f ( u ) ， g( u) 任意次可微，且 g( u) & 0 。 ⑴ 当 u = tan x 时，求 d 2 f ； ⑵ 当u =v 、 v = ln x 时，求 d 2 g ；课解 （1） d (e x ) = (e x )' dx = e x dx ，d 2 (e x ) = d (e x dx) = (e x )' dx 2 = e x dx 2 。ww w⑵ x = ? (t ) 是中间变量.93.k（8） d n y = ∑ C nk ( x n ) ( n ? k ) (cos 2 x) ( k ) dx n = ∑n! n! kπ ( x k )[2k cos(2 x + )]dx n 2 k = 0 k !( n ? k )! k !hdaw .c om=[n (?1) n n ! n! (k ? 1)! (n ? k )! x ln + (?1) k ?1 (?1) n ? k n ? k +1 ]dx n ∑ n +1 k x x x k =1 k !( n ? k )!⑶d 2 [ f ( u ) g ( u )] ；⑷d 2 [ln g ( u )] ；2 ⑸ d ? ?； ? g (u ) ?? f (u ) ?解 （1） df = f ' (u )u ' ( x)dx = f ' (tan x) sec 2 xdx ，d 2 f = f ''(u )[u '( x)]2 dx 2 + f '(u )u ''( x)dx 2 = [ f &(tan x) sec4 x + 2 f '(tan x) sec 2 x tan x]dx 2 。（2） u = v = ln x ，=g &( ln x ) ln x ? g '( ln x )(1 + 2 ln x)案 网1 1 ? ? g '(u )[2 ln x + 2 x ? ( )] ? ? ? g &(u ) 2 ln x x ? dx 2 =? ? ? 2 (2 x ln x ) 2 ? (2 x ln x ) ? ? ? ? ?3 2（3） d [ f (u ) g (u )] = [ f ' (u ) g (u ) + f (u ) g ' (u )]du ，d 2 [ f (u ) g (u )] = [ f ' (u ) g (u ) + f (u ) g ' (u )]d 2 u + [ f ' (u ) g (u ) + f (u ) g (u )]' du 2 = [ f '(u ) g (u ) + f (u ) g '(u )]d 2u + [ f &(u ) g (u ) + 2 f '(u ) g '(u ) + f (u ) g &(u )]du 2 。课（4） d [ln g (u )] =2g '(u ) 2 g '(u ) g '(u ) 2 g &(u ) g (u ) ? ( g '(u )) 2 2 2 d [ln g (u )] = d u +[ ]' du = d u+ du 。 g (u ) g (u ) g (u ) g 2 (u )（5） d ?? f (u ) ? f ' (u ) g (u ) ? f (u ) g ' (u ) du ， ?= g 2 (u ) ? g (u ) ?后 答4 x 2 ln xg ' (u ) du ， g (u )ww w94.kdx 2 。hddu dv dv dx ? g '(u )(2 x ln x ) ' ]dx 2 d 2g = [ 2 x ln x (2 x ln x )2 g &(u )aw .c omdg =dg du dv 1 1 1 dx = g '(u ) dx = g '( ln x ) dx ， du dv dx 2 ln x x 2 x ln x′ ? f ' (u ) g (u ) ? f (u ) g ' (u ) ? ? f (u ) ? f ' (u ) g (u ) ? f (u ) g ' (u ) 2 2 d ? = d u+? ? du ? 2 2 g (u ) g (u ) ? g (u ) ? ? ?2=f '(u ) g (u ) ? f (u ) g '(u ) 2 d u+ g 2 (u )f &(u ) g 2 (u ) ? f (u ) g (u ) g &(u ) ? 2 f '(u ) g '(u ) g (u ) + 2 f (u )( g '(u )) 2 2 du 。 g 3 (u )12.利用数学归纳法证明：? ? n ?1 1 ?x ex ? ? ? ? ?1 1(n)=1(?1) n x e 。 x n +11 x ?1 x e ，命题成立。假设 n ≤ k 时 x21证当 n = 1 时，( x n ?1e x ) ( n ) = (e x )' = e x ( )' =命题都成立。则当 n = k + 1 时，(x e )命题也成立。由数学归纳法，可知本命题对所有正整数都成立。课后 答? (?1)k 1 (?1) k 1 (?1)k ?1 1 1 ? (?1)k +1 1 x x x e (? 2 ) ? = k + 2 e x ， = k k +1 e ? ? k k +1 e + k x x x x ? x ?案 网? k ?1 1 ? = k ?x ex ? ? ?(k )′ ′ 1 k k ?1 1 ? ? k ?2 1 ? ? ? ? ( 1) ( 1) k ? ( 1) x ? ?( x e x ) ex ? ? = k k +1 e ? ? k x x ? ? ? ?ww w95.k1 n ?1 x ( n )? k 1 ? = ? ( x e x ) '? ? ?(k )1 ? k ?1 1 k x 1 ? x = ? kx e + x e ( ) '? x ? ?hdaw .c om1(k )
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