【问题】已知3阶矩阵A的3个特征值和对应的特征向量，如何求矩阵A?【线性代数吧】_百度贴吧
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【问题】已知3阶矩阵A的3个特征值和对应的特征向量，如何求矩阵A?收藏
特征值分别是2，-2，1
对应的特征向量是【0，1，1】【1，1，1】【1，1，0】
如何求矩阵A啊。。
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【提示】设与A相似的对角矩阵是B=diag(2,-2,1),于是
&B=p^(-1)AP
则&A=PBP^(-1),
其中P由3个特征向量作为列向量构成。
谢谢了，已经做出来了。
登录百度帐号推荐应用线性代数总结；第一章行列式；1、二阶行列式和三阶行列式计算方法；①二阶行列式主对角线两数乘机减去次对角线两数乘机；②三阶行列式a11a22a33+a12a23a3；①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行；n(n?1)2；③、上、下三角行列式（?????）：主对角元；n(n?1)2；3、（※）行列式的性质；性质1行列式与它的转置行列式相等D=DT
线性代数总结
第一章 行列式
1、二阶行列式和三阶行列式计算方法
①二阶行列式 主对角线两数乘机减去次对角线两数乘机
②三阶行列式 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21-a33-a11a23a32
(主对角线为“+” 次对角线为“-”) 注意：对角线法则只适用于二、三阶行列式 2、n阶行列式的计算
①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)
③、上、下三角行列式（?????）：主对角元素的乘积； ④、??和??：副对角元素的乘积??(?1)
3、（※）行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等 D=DT。
性质2 行列式中交换任意两行或两列，行列式改变符号。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质4 把行列式的某一列（行）的各个元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素
上去，行列式不变。
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和，则
D等于两个行列式之和。
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 推论2 行列式D当中有一行（列）元素全为零，则D=0。 推论3 行列式D中有两行（列）对应元素成比例，则D=0。 4、（※）行列式按行（列）展开
①代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAij
Aij?(?1)i?jMij
②范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ③克拉默法则
a11X1+a12X2+??+a1nXn=b1 a21X1+a22X2+??+a2nXn=b2 ???
an1X1+an2X2+??+annXn=bn
结论1 m=n，若D≠0 → 方程组有唯一解 X1=D1\D,??，Xn=Dn\D 结论2 m=n，若方程组无解或有两个以上的解 → D=0 非齐次线性方程组：b1,b2,??,不全为0。 齐次线性方程组：b1=b2=??=bn=0。
X1=X2=??=Xn=0,称为齐次线性方程组的零解；
X1、X2、??、Xn不全为0，称为齐次线性方程组的非零解。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1、线性方程组的定义
结论1 若R(A)=R(A)=n → 线性方程组有唯一解 结论2 若R(A)=R(A)&n → 有无穷多个解 结论3 若R(A)&R(A) → 无解
对于n元线性方程组AX=b，A=(A|b),则 ① R(A)&R(A) ?无解；
② R(A)=R(A)=n?有唯一解； ③ R(A)=R(A)&n?有无穷多解。（注：需化成行最简；其自由未知量的个数为n- R(A)） 2、齐次线性方程组
定理 对于n元齐次线性方程组，AX=0
① 只有零解?R(A)=n； ② 有非零解?R(A)&n。
推论 1、当m&n时，AX=0，一定有非零解；
m&n，则R(Am*n)≤min｛m、n｝=m&n
2、当m=n时，AX=0，有非零解?|A|=0?R(A)&n
3、|A|=0?R(A)&n
|A|≠0?R(A)=n
第二章 矩阵及其运算 1、A是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）；
?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关；
?齐次方程组Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b总有唯一解； ?A与E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0； ?ATA是正定矩阵；
?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
2、对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3、 (A?1)*?(A*)?1
(AB)T?BTAT
(A?1)T?(AT)?1(AB)*?B*A*
(A*)T?(AT)* (AB)?1?B?1A?1
4、矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5、 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
?，则： ??
Ⅰ、A?A1A2?As； ?A1?1?
?；（主对角分块） B?1?
?；（副对角分块） O?
OB???O?O?OA?③、????1?
6、一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：
等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简
单的矩阵；
对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 7、行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
8、初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
a) 若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；
②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即： (A,B)???(E,A?1B)；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x?A?1b；
9、 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列
矩阵； ??1?
?，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元
③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)
?1，例如：?1 ???；
??1?1?????
)且E(i(k?)④、倍乘某行或某列，符号E(i(k)，?)?1?1
?1?????k?????1????
i(，)例)如：k
?(k?0)； ?1??
),)且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：⑤、倍加某行或某列，符号E(i(jk
?????1???1?(k?0)； ??1?1?????
10 矩阵秩的基本性质：
①、0?r(Am?n)?min(m,n)；
②、r(AT)?r(A)；
③、若A?B，则r(A)?r(B)；
④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、（※）max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；
⑥、（※）r(A?B)?r(A)?r(B)；
⑦、（※）r(AB)?min(r(A),r(B))；
⑧、（※）如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、r(A)?r(B)?n
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；
11 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用
②、型如?01b?的矩阵：利用二项展开式；
二项展开式：(a?b)?Ca?Cab???Ca注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；
n(n?1)??(n?m?1)n!
1?2?3???mm!(n?m)!
?Cb??Cnab； nn
Ⅲ、组合的性质：C?CC
； rCn?nCn?1
③、利用特征值和相似对角化： 12伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：r(A*)??1
r(A)?n?????r(A)?n?1； r(A)?n?1
②、伴随矩阵的特征值：③、A*?AA?1、A*?A
(AX??X,A*?AA?1???A*X?
13 关于A矩阵秩的描述：
①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）
②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；
14 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程； 15 线性方程组Ax?b的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
16 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????ax?ax???ax?b????2nn2
①、?211222；
??????????????am1x1?am2x2???anmxn?bn
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