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The owner of this website () has banned your access based on your browser's signature (3a4cc4-ua98).2.4逻辑函数的化简_教师吧
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您的位置&&&&<font color="#FF逻辑函数的化简
责任编辑：刘昆山
　　一个逻辑函数的表示形式由多种。表达式越简单，对应的电路越简单，电路也更可靠、经济，所以我们要对函数化简。常用方法有代数化简法和卡诺图化简法。
一、逻辑函数的表示形式
color=#.与或式和或与式
　　一个由若干个与项相或构成的函数表达式称与或式。
　　　例：Ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝Ａ＋ＢＣ＋Ａ
　　一个由若干个或项相与构成的函数表达式称或与式。
　　　例：Ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）?（Ａ＋）
color=#.最小项和标准与或式
　　一个由n变量构成的与项中，如果每个变量都以原变量或反变量形式在与项中出现且仅出现一次，这种与项称最小项。
　　一个n变量的逻辑函数与或式中，如果每个与项都是最小项，这样的与或式称标准与或式。
　　n＝3 时，最小项的个数是 8，即、Ｃ、……ＡＢＣ
　　　　　　　用下标法表示为ｍ0、ｍ1、……ｍ7
　　n＝4 时，最小项的个数是 16，即、Ｄ、……ＡＢＣＤ　　　　　
　　　　　　　用下标法表示为ｍ0、ｍ1、……ｍ15
　　最小项的性质：
任意最小项，仅有一组变量的取值使之为1；
　　　　　　　　　　任何两个最小项之积恒为0，即mｊ?mｋ≡0（ｊ≠ｋ）；
　　　　　　　　　 　　　　　　
　　如Ｆ（Ａ、Ｂ、Ｃ）＝＋ＢＣ＋Ａ＝ｍ0＋ｍ3＋ｍ4
　　　　　　　　　　　＝ ∑ｍ（0，3，4） 是标准与或式。
　　它的真值表如下：
　　由真值表也可推导出逻辑函数的标准与或式。　
color=#.最大项和标准或与式
　　一个由n变量构成的或项中，如果每个变量都以原变量、反变量形式在或项中出现且仅出现一次，这种或项称最大项。
　　一个n变量的逻辑函数或与式中，如果每个或项都由最大项构成，这样的或与式称标准或与式。
　　n＝3时，最大项的个数是8，即Ａ＋Ｂ＋Ｃ，Ａ＋Ｂ＋，…，＋＋
　　 　　　　用下标法表示为　Ｍ0、Ｍ1、……、Ｍ7
　　n＝4时，最大项有16个，即Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋，…，＋＋＋
　 　　　　　用下标法表示为　Ｍ0、Ｍ1、……、Ｍ15
　　最大项的性质：　对于某一最大项Ｍｉ，仅有一组变量的取值使之为０；
　　　　　　　　 　任何两个最大项之和恒为1，即Ｍｉ＋Ｍｊ≡1（ｉ≠ｊ）；
　　　　　　 　 　　n个变量的函数的全体最大项之与恒为０。
　　如Ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）?（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）?（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
　　　　　　　　　　　＝Ｍ0?Ｍ4?Ｍ3＝∏Ｍ（0，3，4）是标准或与式。
　　由真值表可以推出标准或与式。
color=#.标准与或式和标准或与式间的关系：
　　任一函数的标准与或式可以得到对应的标准或与式：
　　如Ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝∑ｍ（1，3，5，7）＝∏Ｍ（0，2，4，6），反之亦然。
　　最大项和最小项之间的关系：
　　Ｍ０＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝＝
　　　　　　　?
　　　　　　　?
　　　　　　　?
　　Ｍ７＝＋＋＝＝
　5.最简表达式的基本形式：
　　最简的含义是所含项数最少，且每项中所含变量最少。
　　最简表达式的基本形式有五种：与或式、与非－与非式、与或非式、或与式、
或非－或非式。它们间的相互转换方法：
　①与或式→与非－与非式：
　　可以对与或式两次求反，再用反演律展开。
　②与或式→或与式：
　　先对Ｆ的与或式求反，得到的最简与或式，再对求反，展开后化简。　
　③或与式→或非－或非式：
　　对或与式两次求反，再用反演律展开。
　④与或式→与或非式：
　　先对Ｆ的与或式求反，得到的最简与或式，再对Ｆ求反。
二、逻辑函数的代数化简法
　　对逻辑代数的基本定律、公式掌握的基础上可以将复杂的逻辑函数转化为最简式。常用的代数化简法如下：
　1.并项法：利用公式　ＡＢ＋Ａ＝Ａ　
　2.吸收法：利用公式　Ａ＋ＡＢ＝Ａ　　
　3.消去法：利用公式　Ａ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ　　
　4.取消法：利用公式　ＡＢ＋Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ｃ　　
　5.配项法：利用公式　Ａ＋＝１　或加上多余项。　
三、逻辑函数的卡诺图化简法
　　利用代数法化简逻辑函数，需要一定的技巧，难度较大。为此我们介绍卡诺图化简法，较容易得到最简式。
　1.卡诺图的构成：
　　一个ｎ变量的逻辑函数，全部最小项的个数应该有2ｎ个。卡诺图实质上是将代表全部最小项的2ｎ个小方格，按排列构成的方块图。
　　对于ｎ＝3，最小项有8个，对应8个小方块，排成二行四列的长方形。小方块所在的行和列上所标的“0”和“1”确定了对应变量的取值，它们均按循环码排列。行、列交叉点的小方块对应了一个最小项。
　　　对于ｎ＝4，最小项有16个，对应16个小方块，排列成四行四列的正方形。如下图：
　　如四行一列的小方块对应的最小项是Ａ，即ｍ8。
　2.逻辑函数在卡诺图中的表示
　　前面介绍了ｎ＝3、4变量卡诺图的构成，它们是空的，并不代表任何逻辑函数。
　　要将逻辑函数在卡诺图中表示出来，可先将该函数转换成标准与或式，然后画出相应变量数的空卡诺图，再向表达式中含有的最小项所对应的小方格中填入1，其余填上0，即可得到该函数所对应的卡诺图。
　　可以直接从真值表得到函数的卡诺图，因为由真值表可以表示成标准与或式。
　　任一与或式可以直接在卡诺图中表示：如Ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝Ａ＋ＢＣ
只需将Ａ＝１且Ｃ＝０对应的小方块填入１，再将Ｂ＝Ｃ＝１对应的小方块填入１，其余填０，即可。
　3.卡诺图化简逻辑函数的原理
　　卡诺图化简逻辑函数的依据是并项公式ＡＢ＋Ａ＝Ａ。
　　在卡诺图中有许多相邻小方块，它们对应的最小项可以合并。
　　在三变量的卡诺图中，可以有二个、四个、八个“1”方块相邻，它们合并分别可以消去一个、二个、三个变量，从而达到化简的目的。
　　在四变量的卡诺图中，可以有二个、四个、八个、十六个“1”方块相邻，它们合并分别可以消去一个、二个、三个、四个变量，从而达到化简的目的。
　　总之，卡诺图中的2m个“1”方块构成的矩形区域，可以消去ｍ个互反变量，从而合并成一项。
　4.用卡诺图化简逻辑函数的步骤
　①将原始函数或真值表表示在卡诺图上，使卡诺图中对应函数最小项的所有小方块填入"１"，其余可不填。　
　②对卡诺图中的"１"方块画圈。画圈时注意规则
　③将每个圈中互反变量消去，保留共同变量，得到对应的与项，最后将所有与项相或即可。
　 注意:　为了防止圈住多余的圈，可将只有一种圈法的“1”方块先圈住，再将剩下的
“1”方块按上述原则画圈。
　5.包含无关项的逻辑函数的化简：
　　实际中，有些函数只与一部分最小项有关，而与另一部分最小项无关，这一部分与函数值无关的最小项称为无关项或约束项。这样的函数称包含无关项的逻辑函数。
　　如在8421ＢＣＤ码中有６种编码是不允许出现的：，它们是8421ＢＣＤ码的无关项。
　　无关项用ｄi表示。它们不可能使函数值为１，所以∑di＝０。在逻辑函数中加上无关项不影响函数值，利用这点可以帮助逻辑函数化简。　
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1．卡诺图的结构 （1）二变量卡诺图。 Am0ABm1ABB(a)m3ABm4ABAB(b) （2）三变量卡诺图。 Bm0ABCAm4ABCm1ABCm5ABCC(a)m3ABCm7ABCm2ABCm6ABCABC(b) （3）四变量卡诺图。 Cm0m1m3m2ABCDABCDABCDABCDm4m5m7m6ABCDABCDABCDABCDm12m13m15m14ABCDABCDABCDABCDm8m9m11m10ABCDABCDABCDABCDD(a)(b)BAB371026A
2．从真值表到卡诺图
例3.2.3 某逻辑函数的真值表如表3.2.3所示，用卡诺图表示该逻辑函数。 解： 该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表3.2.3将8个最小项L的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可，如图3.2.4所示。
1 L 0 0 0 1 0 1 1 1
LBC00 A 00
例3.2.3的卡诺图
3．从逻辑表达式到卡诺图
（1）如果逻辑表达式为最小项表达式，则只要将函数式中出现的最小项在卡诺图对应的小方格中填入1，没出现的最小项则在卡诺图对应的小方格中填入0。
例3.2.4 用卡诺图表示逻辑函数F?ABC?ABC?ABC?ABC
解： 该函数为三变量，且为最小项表达式，写成简化形式F?m0?m3?m6?m7然后画出三变量卡诺图，将卡诺图中m0、m3、m6、m7对应的小方格填1，其他小方格填0。
（2）如果逻辑表达式不是最小项表达式，但是“与―或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入，直接填入的具体方法是：分别找出每一个与项所包含的所有小方格，全部填入1。
例3.2.5 用卡诺图表示逻辑函数G?AB?BCD
GFABCA10001B
例3.2.4的卡诺图
例3.2.5的卡诺图
（3）如果逻辑表达式不是“与―或表达式”，可先将其化成“与―或表达式”再填入卡诺图。 3.2.5
逻辑函数的卡诺图化简法 1．卡诺图化简逻辑函数的原理
（1）2相邻项结合（用一个包围圈表示），可消去1个变量。如图3.2.7所示。
（2）4相邻项结合（用一个包围圈表示），可以消去2个变量，如图3.2.8所示。 （3）8相邻项结合（用一个包围圈表示），可以消去3个变量，如图3.2.9所示。 - 2 - C1BCDA1ABDD1ABC11B1A1BD（四角）D11ABD11C11B11BCCD 图3.2.7
2个相邻的最小项合并
4个相邻的最小项合并 C1C11A111B11D11B11 图3.2.9
8个相邻的最小项合并 总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为l项。
2．用卡诺图合并最小项的原则
用卡诺图化简逻辑函数，就是在卡诺图中找相邻的最小项，即画圈。为了保证将逻辑函数化到最简，画圈时必须遵循以下原则： （1）圈要尽可能大，这样消去的变量就多。但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3??）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 （2）圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的与项就少。 （3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。
（4）取值为1的方格可以被重复圈在不同的包围圈中，但在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
3．用卡诺图化简逻辑函数的步骤 （1）画出逻辑函数的卡诺图。 （2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。 （3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与―或表达式。
例3.2.7 用卡诺图化简逻辑函数：F?AD?ABD?ABCD?ABCD 解：（1）由表达式画出卡诺图如图3.2.11所示。 （2）画包围圈合并最小项，得简化的与―或表达式: - 3 -
L110A00DB1A11DC100B 图3.2.10 例3.2.6卡诺图
图3.2.11 例3.2.7卡诺图 注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉；图中的包围圈BD是利用了四角相邻性。 例3.2.8 某逻辑函数的真值表如表3.2.4所示，用卡诺图化简该逻辑函数。 解法1：（1）由真值表画出卡诺图，
例3.2.8真值表 如图3.2.12所示 A
C L （2）画包围圈合并最小项，如图3.2.12（a）所示，得简化的与―或表达0
0 0 式： 0
L?BC?AB?AC 解法2：（1）由表达式画出卡诺图，如图3.2.12所示
（2）画包围圈合并最小项，如图3.2.12（b）所示，得简化的与―或表达式：
L?AB?BC?AC
1 1 1 1 1 1 0 L0A111C¨a￡￡?10B11
L0A111C¨b￡￡?10B11图3.2.12 例3.2.8卡诺图
（a）解法1
（b）解法2 通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。
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单项选择题组合逻辑电路的分析步骤是（）。1、根据最简输出函数表达式画出逻辑图2、列出真值表3、写出逻辑表达式并化简4、电路功能描述逻辑抽象A.1、2、3、4
B.4、3、2、1
C.4、2、3、1
D.4、1、2、3
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C.仅一输入是0
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