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拉普拉斯变换在积分和微分方程理论中的应用
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拉氏变换常用公式
常用拉普拉斯变换总结1、指数函数 、? 0 f (t ) = ? ?αt ? Ae∞ 0t&0 t≥0，其中，A 和 a 为常数。∞L[ Ae ?αt ] = ∫ Ae ?αt e ? st dt = A∫ e ?(α + s )t dt =<
br />0A s +α2、阶跃函数 、?0 f (t ) = ? ?A∞ 0t&0 t &0 A s，其中，A 为常数。L[ A] = ∫ Ae ? st dt =3、单位阶跃函数 、?0 u(t) = ? ?1L [ u ( t )] =t &0 t &0∫∞ 0e? std t =1 s4、斜坡函数 、? 0 f (t ) = ? ? Att & 0 t ≥ 0 ，其中，A 为常数。∞L[ At ] = ∫∞0e ? st Ate dt = At ?s? st?∫0∞0Ae ? st dt ?s=A s∫∞0e ? st d t =A s2A＝1 时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在 t=t0 时刻的单位斜坡函数写成 r（t-t0）5、单位斜坡函数 、?0 f (t ) = ? ?tt&0 t≥0L[t ] = ∫∞0e ? st te dt = t ?s? st∞?∫0∞0e ? st dt ?s=1 ∞ ? st 1 ∫0 e dt = s 2 st&0 ，其中 A 为常数。 t≥0f (t )6、正弦函数 、? 0 f (t ) = ? ? A sin ωtf (t )0t(a )0t(b )图 2 .3 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 根据欧拉公式： 拉式变换为：sin ω t =1 ( e jω t ? e ? jω t ) 2jL[ Asinωt] =A ∞ jωt ? jωt ?st (e ? e )e dt 2 j ∫0 A 1 A 1 Aω = ? = 2 2 j s ? jω 2 j s + jω s + ω2As s +ω22同理余弦函数的拉式变换为： L[ A cos ωt ] =7、脉动函数?A ? f (t ) = ? t0 ?0 ?0 & t & t0 t & 0, t0 & t，其中，A 和 t0 为常数。脉动函数可以看做是一个从 t＝0 开始的高度为 A/t0 的阶跃函数， 与另一个从 t＝t0 开始 的高度为 A/t0 的负阶跃函数叠加而成。f (t ) =A A u (t ) ? u (t ? t0 ) t0 t0?A ? ?A ? L[ f (t )] = L ? u (t )? ? L ? u (t ? t0 )? ? t0 ? ? t0 ? A A ? st0 A = ? e = (1 ? e ? st0 ) t0 s t0 s t0 s8、脉冲函数 、 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。A ? ?lim g (t ) = ? ? →0 ? ? 0 ?0&t &? t & 0, ? & t?A ? L[ g (t )] = lim ? (1 ? e ? s? )? ? →0 ?s ? ? d A(1 ? e ? s? ) As = lim d? = =A ? →0 d s (?s ) d?[]9、单位脉冲函数 、 当面积 A=1 的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数，δ (t ? t0 ) = ??0 ?∞t ≠ t0 t = t0∫∞-∞δ (t ? t0 )dt = 1量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设， 而不可能在物理系统 中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小 时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。 当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。 脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。 单位脉冲函数 δ (t ?t 0 ) 可以看作是单位阶跃函数 u（t-t0）在间断点 t=t0 上的导数，即δ (t ? t 0 ) =d u (t ? t 0 ) dt相反，如若对单位脉冲函数 δ (t ?t 0 ) 积分：∫ δ (t ? t )dt =u (t ? t )t0 0 0t积分的结果就是单位阶跃函数 u（t-t0） 利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲， 这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。 10、加速度函数 、? At 2 f (t ) = ? ? 0拉氏变化为：t≥0 ，其中，A 为常数。 t&0A ? 2 ? st t e ? s ?∞ 0L[ At 2 ] =∫∞0At 2 e ? st d t = 1 s3? 2 ∫ te ? st d t ? ? 0 ?∞= 2A当 A=1 时称之为单位加速度函数，用 a（t）表示，发生在 t=t0 时刻的加速度函数通常 2写成 a (t ? t 0 ) ，图像如下：a (t )8 6 4 20a (t ? t 0 )1 2 3 4(a)t0t0(b)t图2.6 单位加速度函数11、单位加速度函数： 、单位加速度函数：? 0 ? a(t ) = ? 1 2 ?2 t ?t&0 t≥0?1 ? L ? t 2 ? u (t ) ? = ?2 ? 1 = s =∫∞ 01 2 ? st t e dt 2∞? 1 2 ? st ? t e ?2 ??0∫∞ 0te? st? dt? ? ?1 s3在法汉-汉法词典中发现10个解释错误，并通过审核，将获赠《法语助手》授权一个
添加笔记：
<div id="correct" title="在法汉-汉法词典中发现10个解释错误，并通过审核，将获赠《法语助手》授权一个">有奖纠错
性质和定理
函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)：
下面的表格是一系列单边拉普拉斯变换的性质：
单边拉普拉斯变换的性质
可以用积分的基本规则证明。
s域一阶微分
F′是F的一阶。
s域一般微分
更一般的形式是F(s)的n阶导数。
f是一个，并且其导数为指数类型。这条性质可以通过得到。
f为二阶可微且二阶导数是指数型的。通过对f′(t)应用微分性质可得。
f为n阶可微，其n阶导数是指数型的。通过证明。
这是由s域微分和条件收敛推导出来的。
u(t)是，注意到 (u * f)(t) 是u(t)和f(t)的。
0 \ " src="https://wiki-gateway.eudic.net/wikipedia_zh/I/m/4de5a94eadb472e.png" id="mw7Q">
积分沿完全处在F收敛域内的竖直线Re(σ) = c。
f(t)是一个为T的周期函数，于是对所有t ≥ 0，有'f(t) = f(t + T)。这条性质是时域平移和几何级数的结果。
，要求为真分式，即分子的最高次小于分母的最高次，否则使用将分解
，要求sF(s)的所有极点都在左半或原点为单极点。
由于终值定理无需经过分解或其他困难的代数就能给出长期的行为，它就很有用。如果在右侧面或虚轴上有极点，（例如或）这个公式的行为就是未定义的。
与幂级数的关系
拉普拉斯变换可以看成是幂级数的一个模拟。如果 a(n) 是正整数 n 的一个离散函数，那幺与 a(n) 相关的幂级数为
其中 x 是实变量（参见）。将对 n 的加和替换成对 t 的积分，则此幂级数的连续形式为
其中离散型函数 a(n) 被替换成连续型的 f(t)。（参见下文。）改变幂的基底 x 为 e 得
要使这个积分对任何有界函数 f 都收敛，就需要满足<img class="mwe-math-fallback-image-inline tex" alt="\log{x} 。使用-s = log x代换就能得到拉普拉斯变换：
换句话说，拉普拉斯变换是幂级数的一个连续模拟，只是把离散参数 n 换成了连续变量 t ， x 换成了 e。
与矩的关系
函数 f 的矩为
如果 f 的前 n 阶矩绝对收敛，则通过反复在，就得到。这在概率论里是有特别重要的意义的，其中随机变量 X 的矩是。下面的关系成立：
证明函数导数的拉普拉斯变换
很方便用拉普拉斯变换的微分性质来求函数导数的变换。从拉普拉斯变换的基本表达式就可以推导如下：
而在双边的情形下，
一般化的结果是
其中 f 表示 f 的 n阶导数，可以由假设得出。
计算广义积分
令，则（参见上面的表格）
令 s → 0，假定可以改变取极限顺序，就得到性质
即便在不可以交换，此计算依然有暗示性。例如，形式上按此计算得到
这个性质的正确性可以用其他方法证明。它是傅汝兰尼积分（Frullani integral）的一个例子。
例子还有狄利克雷积分。
与其他变换的联系
与傅里叶变换关系
连续傅里叶变换相当于计算令 s = iω 或 s = 2πfi 的双边拉普拉斯变换：
与z变换的联系
z 变换表达式为：
比较两者表达式有：
拉普拉斯变换简表
下表提供了许多常用单变量函数的拉普拉斯变换。
对于定义和解释，请参见表末的注释 。
由于拉普拉斯变换是一个线性算子：
和的拉普拉斯变换等于各项的拉普拉斯变换的总和。
一个函数的倍数的拉普拉斯变换等于该函数的拉普拉斯变换的倍数。
使用这个线性性质 ，以及各种、、和 （等）的性质，可以从其他拉普拉斯变换得到一些拉普拉斯变换，这会比直接通过使用定义更快。
单边拉普拉斯变换取时域为非负实数的函数作为输入，这就是下表中所有时域函数都乘以
u(t) 的原因。表中涉及时间延迟 τ 的条目必须是的 （即 τ & 0）。因果系统是 t = 0 之前的 h(t) 都为零的一个系统。在一般情况下，因果系统的收敛区域和反因果系统是不相同的。
拉普拉斯s域
延迟脉冲函数
单位脉冲函数的时移
对单位冲激函数积分
延迟单位阶跃函数
单位阶跃函数的时移
两次积分单位脉冲函数
n次幂（n 为整数）
n次积分单位阶跃函数
q次幂（q 为复数）
Re(q) & -1
由前一条性质中令 q = 1/n 得到。
频移的 n 次方
Re(s) & -α
对单位阶跃函数积分，应用频移
延迟的频移的 n 次方
Re(s) & -α
对单位阶跃函数积分，应用频移，应用时移
Re(s) & -α
单位阶跃函数的频移
双侧指数衰减（仅对于双边变换）
-α & Re(s) & α
单位阶跃函数的频移
单位阶跃函数减去指数衰减
Re(s) & |α|
Re(s) & |α|
指数衰减正弦波
Re(s) & -α
指数衰减余弦波
Re(s) & -α
n 阶第一类
u(t) 表示 。
Γ(z) 表示 。
t 为实数，通常表示时间，尽管它可以表示任意独立空间。
s 为，而 Re(s) 是它的实部。
α, β, τ 和 ω 是。
变换及其性质的应用实例
拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的；线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算，而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决，由于它的代数形式。
拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程，这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程，这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师第一次提出了一个类似的计划，虽然没有使用拉普拉斯变换；以及由此产生的演算被誉为黑维塞演算。
在工程学上的应用
应用变换解常变量齐次，可以将微分方程化为，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在，上都有广泛的应用。
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拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的 时域的 微分方程变换成复数域的代数方程。并且在变换的同时，即将初始条件引入，避 微分方程变换成复数域的代数方程 免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。因此，对于那些以 时间 t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。
在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上 的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控 制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介 绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反 变换的方法。最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。在学习中应注重该数学 方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。2.1 拉氏变换2.1.1 拉氏变换的定义若 f (t ) 为实变量时间 t 的函数,且 t & 0 时，函数 f (t ) = 0 ，则函数 f (t ) 的拉氏变换记作L [ f (t )] 或 F (s ) ，并定义为：L [ f (t )] = F ( s ) = ∫+∞ 0f (t ) e ? st d t（2.1）式中 s = σ + jω 为复变量， F ( s ) 称为 f (t ) 的象函数，称 f (t ) 为 F ( s ) 的原函数。原函 数是实变量 t 的函数，象函数是复变量 s 的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数 f (t ) 转化为复变量函数 F ( s ) 的一种积分运算。在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母 所代表的函数的拉氏变换。 若式（2.1）的积分收敛于一确定的函数值，则 f (t ) 的拉氏变换 F ( s ) 存在。这里 f (t ) 必 须满足狄里赫里条件。这些条件在工程上常常是可以满足的。2.1.2 典型时间函数的拉氏变换⑴单位阶跃函数1单位阶跃函数如图 2.1 所示。 其定义为0?0 f (t ) = 1(t ) = ? ?1由式（2.1）可得图 2.1 单位阶跃函数(t & 0) (t ≥ 0)第 1 页拉普拉斯变换L [1(t )] = ∫+∞ 01? e? ste? st dt = ? s+∞=01 s(2.2)在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开） ， 加（减）负载等。 ⑵单位脉冲函数 单位脉冲函数如图 2.2 所示。 其定义为δ (t ) = ??∞ ?0t=0 t≠0同时，∫+∞ 0δ (t )dt = 1 ，即脉冲面积为 1。而且有如下特性：∫+∞ ?∞δ (t ) ? f (t )dt = f (0)f (0) 为 f (t ) 在 t = 0 时刻的函数值。 由式（2.1）求 δ (t ) 的拉氏变换：L [δ (t )] = ∫+∞ 0δ (t ) ? e? st d t = e ? stt =0=1(2.3)045°0△ →00单位脉冲函数 图 2.2 单位脉冲函数图 2.3 单位斜坡函数⑶ 单位斜坡函数 单位斜坡函数如图 2.3 所示。 其定义为?0 f (t ) = ? ?t由式（2.1）有(t & 0) (t ≥ 0)第 2 页拉普拉斯变换L [t ] = ∫ =∫⑷指数函数 eat+∞ 0 +∞ 0t ?e e? ste ? st dt = ?t s 1 ? st e s2+∞?∫0 +∞+∞ 0e ? st (? )dt s（2.4)? stsdt = ?=01 s2L [eat ] = ∫同理 ⑸正弦函数 sin ωt 由欧拉公式 sin ωt =+∞ 0e at ? e? st d t = ∫ 1 s+a+∞ 0e ? ( s ?a )t d t =1 s?a(2.5) (2.6)L [e? at ] =1 jωt ? jωt (e ? e ) ，可得 2j+∞ 0L [sin ωt ] = ∫ = =⑹余弦函数 cos ωt 由欧拉公式 cos ωt =sin ωt ? e? st d t =1 +∞ jωt ? jωt ? st (e ? e ) e d t 2j ∫0(2.7)1 1 1 ( ? ) 2 j s ? jω s + jωω s + ω221 jωt ? jωt (e + e ) ，可得 2+∞ 0L [cos ωt ] = ∫cos ωt ? e ? st d t =1 +∞ jωt ? jωt ? st (e + e ) e d t 2∫0(2.8)1 1 1 = ( + ) 2 s ? jω s + jω s = 2 s + ω2⑺幂函数 tnL [t n ] = ∫令 u = st ，则 t =+∞ 0t n ? e ? st d tu 1 ,dt = du s sn +∞则有L [t ] = ∫0t ?en? stdt = ∫+∞0u n ?u 1 1 +∞ ? e ? d u = n +1 ∫ u n ? e? u d u 0 sn s s第 3 页拉普拉斯变换式中 而 故∫+∞ 0u n e? u d u = Γ(n + 1) 为 Γ 函数，Γ(n + 1) = n! n! L[t n ] = n +1 s上面求取了几个简单函数的拉氏变换式。 用类似的方法可求出其他时间函数的拉氏变换 式。实际上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知 道原函数的象函数，或象函数的原函数。常用函数的拉氏变换对照表见表 2.1。表 2.1 常用函数拉氏变换对照表 原函数 1 2f (t ) δ (t ) 1(t )象函数 F ( s ) 13te? at45te ? atsin ω t cos ω t t n (n = 1, 2, 3,L) t n e ? at (n = 1, 2, 3L) 1 (e ? at ? e? bt ) b?a 1 (be? bt ? ae ? at ) b?a 1 1 [1 + (be ? at ? ae? bt )] ab a?b e? at sin ω t e? at cos ω t 1 ? at (e + at ? 1) a21 s 1 s2 1 s+a 1 ( s + a)26ω s +ω22789101112s s +ω2 n! s n +1 n! ( s + a ) n +1 1 ( s + a )( s + b) s ( s + a )( s + b) 1 s ( s + a )( s + b)213ω( s + a)2 + ω 2 s+a ( s + a)2 + ω 2 1 s ( s + a)21415第 4 页拉普拉斯变换16ωn1?ξ 2?1 1?ξ2e?ξω n tsin(ω n 1 ? ξ t )2ω n2 2 s 2 + 2ξω n s + ω n (0 & ξ & 1)s2 s + 2ξω n s + ω n 2e ?ξωn t sin(ω n 1 ? ξ 2 t ? ? ) 1?ξ 217? = arctanξ(0 & ξ & 1)续表1?18?1 1?ξ2e ?ξωnt sin(ω n 1 ? ξ 2t ? ? ) 1?ξ 2? = arctanξ2 ωn 2 s ( s 2 + 2ξω n s + ω n ) (0 & ξ & 1)2.2 拉氏变换的性质下面介绍几个以后本书中将直接用到的拉氏变换的重要性质。2.2.1 线性性质拉氏变换是一个线性变换，若有常数 K 1 、 K 2 ，函数 f 1 (t ) 、 f 2 (t ) ，则L [ K1 f1 (t ) + K 2 f 2 (t )] = K1 L [ f1 (t )] + K 2 L [ f 2 (t )]= K1 F1 ( s ) + K 2 F2 ( s )上式可由拉氏变换的定义式直接得证。(2.10)线性性质表明， 时间函数和的拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换之和； 原函数乘以常 数 K 的拉氏变换就等于原函数拉氏变换的 K 倍。 例 2.1 已知 f (t ) = 1 ? 2 cos ωt ，求 F ( s )F ( s ) = L [ f (t )] = L [1 ? 2 cos ωt ]解：1 2s ?s 2 + ω 2 = ? 2 = s s + ω 2 s( s 2 + ω 2 )2.2.2 实数域的位移定理（延时定理） 实数域的位移定理（延时定理）若有一函数 f1 (t ) 相当于 f (t ) 从坐标轴右移一段时间 τ ,即 f1 (t ) = f (t ? τ ) ,称函数第 5 页拉普拉斯变换f1 (t ) 为 f (t ) 的延迟函数，如图 2.4 所示。那么， f1 (t ) 和 f (t ) 的象函数之间具有下列关系：L [ f1 (t )] = L [ f (t ? τ )] = e ? sτ F ( s )证明： 证明：（2.11）L [ f (t ? τ )] = ∫+∞ 0f (t ? τ ) e ? st d t令 u = t ? τ ，则 t = u + τ , d t = d u 代入上式有+∞ 0 +∞ 0L [ f (t ? τ )] = ∫ =∫f (t ? τ ) e ? st d t f (u ) e? s (u +τ ) d u= e ? sτ∫+∞ 0f (u ) e ? su d u= e ? sτ F ( s )1/100图 2.4 延迟函数图 2.5 方波 图4.5 方方? sτ可见，比 f (t ) 延迟 τ 的 f1 (t ) 的象函数只要把 f (t ) 的象函数 F (s ) 乘以 e 例 2.2 求图 2.5 所示方波的拉氏变换。 解：方波可表达为即可求得。1 1 × 1(t ) ? × 1(t ? τ ) T T 1 1 1 L [ f (t )] = ? e ? sT = (1 ? e ? sT ) Ts Ts Ts f (t ) =2.2.3 复数域的位移性质 平移定理 复数域的位移性质(平移定理 平移定理)若 L [ f (t )] = F ( s ) ，对任一常数 a ，有L [e? at f (t )] = F ( s + a )证明：由定义出发 证明：（2.12）第 6 页拉普拉斯变换L [e? at f (t )] = ∫ =∫+∞ 0 +∞ 0e? at f (t ) ? e ? st d t f (t ) ? e ? ( s + a ) t d t= F (s + a)可见，原函数 f (t ) 乘以 e? at ? at时，它的象函数只需将 F ( s ) 中的 s 用 ( s + a ) 代替即可。例 2.3 求 e sin ω t 的拉氏变换。 解：直接运用复数域的位移定理可得L [e? at sin ωt ] =同理，可求得ω( s + a)2 + ω 2L [e? at cos ωt ] =s+a ( s + a)2 + ω 2 (n = 1, 2,3, L , )L [e? at ? t n ] =n! ( s + a )n +12.2.4 相似性质 若 L [ f (t )] = F ( s ) ，如将 f (t ) 波形相对于时间轴 t 进行压缩（或伸长） a 倍，成为f (t a) ，则 证明： 证明：L [ f (t a)] = aF (as )+∞ 0（2.13）L [ f (t a )] = ∫令tf (t a ) e ? st d ta= τ ,则 t = aτ , d t = a d τ L [ f (t a )] = ∫+∞ 0f (t a ) e ? st d t f (τ ) e ? saτ d τ= a∫+∞ 0= aF (as )上式表明，当原函数 f (t ) 的自变量 t 变化 1 a 时，则它对应的象函数 F ( s ) 及变量 s 按 比例变化 a 倍。2.2.5 原函数导数的象函数 微分定理 原函数导数的象函数(微分定理 微分定理) d f (t ) 的象函数为： 若 L [ f (t )] = F ( s ) ，则导数 dt第 7 页拉普拉斯变换L[式中 f (0) 是当 t = 0 时函数 f (t ) 的值，即原函数的初始条件。 证明： 证明：d f (t )] = sF ( s ) ? f (0) dt（2.14）L[+∞ d f (t ) d f (t )] = ∫ e? st d t 0 dt dt利用分部积分公式 udv = uv ? vdu 令 u = e ? st , v = f (t ), 有∞ +∞ d f (t )] = e? st f (t ) + s ∫ e ? st f (t ) d t 0 0 dt = sF ( s ) ? f (0)∫∫L[同理可得：L[d2 f (t )] = s 2 F ( s ) ? sf (0) ? f (1) (0) 2 dtL[d3 f (t )] = s 3 F ( s ) ? s 2 f (0) ? sf (1) (0) ? f (2) (0) d t3L[dn f (t )] = s n F ( s ) ? s n ?1 f (0) ? s n ? 2 f (1) (0) ? L ? f ( n ?1) (0) n dt（2.15）式中 f (0), f (1) (0), f (2) (0),L , f ( n ?1) (0) 分别为函数 f (t ) 及其各阶导数在 t = 0 时的值。 (2.14)和式 2.15)可知，在求导数的拉氏变换中，已引入了各个初始条件。如果这些初始条件 均为零，则有L[dn f (t )] = s n F ( s ) n dt(n = 1, 2,L)（2.16）上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数 n 阶导数的拉氏变换就等于其象函数乘以s 。n2.2.6 原函数积分的象函数（积分定理） 原函数积分的象函数（积分定理）若 L [ f (t )] = F ( s ) ，则 f (t ) 的积分∫ f (t )dt 的象函数为(2.17)F ( s ) f ( ?1) (0) L [ ∫ f (t ) d t ] = + s s式中 f( ?1)(0) = ∫ f (t )dtt =0第 8 页拉普拉斯变换证明： 证明：L [ ∫ f (t ) d t ] = ∫+∞ 0[ ∫ f (t ) d t ]e? st d tdt利用分部积分法，取 u =∫ f (t )dt , dv = e? st则有 du = f (t )dt , v = 因此e? st ?sL [ ∫ f (t )dt ] = ∫ =+∞ 0[ ∫ f (t ) d t ]e? st d t +t =01 f (t ) d t s∫1 +∞ ? st ∫ 0 f (t ) e d t sf ( ?1) (0) 1 = F (s) + s s同理可得 n 重积分的拉氏变换：L [ ∫ L∫ f (t )(d t ) n ] =式中 f ( ?1) (0) ， f ( ?2) (0),L , 的初始值均为零，则有：F ( s ) f ( ?1) (0) f ( ?2) (0) f ( ? n ) (0) + + +L+ sn sn s n ?1 s（2.18）f ( ? n ) (0) 分别为 f (t ) 的各重积分在 t = 0 的值。如果这些积分F (s) ? ? s ? F ( s) ? 2 L [ ∫ ∫ f (t )(d t ) ] = 2 ? s ? F ( s) ? n L [ ∫ L∫ f (t )(d t ) ] = n ? s ? L [ ∫ f (t ) d t ] =（2.19）上式表明，在零初始条件下，原函数的 n 重积分的拉氏变换等于其象函数除以 s 。n2.2.7 终值定理若 L [ f (t )] = F ( s ) ，则原函数 f (t ) 的终值为t →+∞lim f (t ) = lim sF ( s )s →0（2.20）证明： 证明：由式(2.14) L [ 当 s → 0 ，则 e? st+∞ d f (t ) d f (t )] = ∫ e ? st d t =sF ( s ) ? f (0) 0 dt dt→ 1 ，于是由上式左边得? +∞ df (t ) ? st ? lim ? ∫ e dt ? = f (t ) s →0 ? 0 dt ?+∞ 0= lim f (t ) ? f (0)t →+∞第 9 页拉普拉斯变换由上式右边得lim[ sF ( s ) ? f (0)] = lim sF ( s ) ? f (0)s →0 s →0因此得t →+∞lim f (t ) = lim sF ( s )s →0上式表明， 原函数 f (t ) 在 t → +∞ 的数值 （稳态值） 可以通过将象函数 F ( s ) 乘以 s 后， ， 再求 s → 0 的极限来求得。条件是当 t → +∞ 和 s → 0 时，等式两边各个极限存在。2.2.8 初值定理若 L [ f (t )] = F ( s ) ，则原函数 f (t ) 的初值为t →0lim f (t ) = lim sF ( s )s →+∞（2.21）证明： 证明： 由式(2.14)L[当 s → ∞ ，则 e? st+∞ d f (t ) d f (t )] = ∫ e ? st d t =sF ( s ) ? f (0) 0 dt dt→ 0 ，因此? +∞ df (t ) ? st ? lim ? ∫ e dt ? = lim [ sF ( s ) ? f (0)] f (t ) ? f (0) = lim sF ( s ) ? f (0) = 0 s →+∞ s →+∞ ? 0 dt ? s →+∞即 lim f (t ) = lim sF ( s )t →0 s →+∞上式表明，原函数 f (t ) 在 t = 0 时的数值（初始值） ，可以通过将象函数 F ( s ) 乘以 s 后， 再求 s → +∞ 的极限来求得。条件是在 t → 0 和 s → +∞ 时等式两边各有极限存在。2.2.9 卷积定理若 L [ f (t )] = F ( s ) ， L [ g (t )] = G ( s ) ，则有L [ ∫ f (t ? τ ) g (τ ) d τ ] = F ( s ) ? G ( s )0t（2.22）式中积分∫t 0f (t ? τ ) g (τ ) d(τ ) = f (t ) ? g (t ) ，称作 f (t ) 和 g (t ) 的卷积。证明： 证明： 在式（2.22）中，当 τ & t ， f (t ? τ ) ?1(t ? τ ) = 0 ，因此∫tt 0f (t ? τ )g (τ )dτ = ∫+∞ 0+∞ 0f (t ? τ ) ?1(t ? τ ) ? g (τ ) d τ于是L [ ∫ f (t ? τ ) g (τ ) d τ ] = ∫0[ f (t ? τ ) ?1(t ? τ ) g (τ ) d τ ]e? st d t令 t ? τ = λ ，代入上式，又由于 f (t ) 和 g (t ) 是可进行拉氏变换的，所以可改变上式的积分 次序，可得：第 10 页拉普拉斯变换L [ ∫ f (t ? τ ) g (τ ) d τ ] = ∫0t+∞ 0 +∞ 0[ f (λ ) e? s ( λ +τ ) d λ ? ∫ [ f ( λ ) e ? sλ d λ ? ∫+∞ 0+∞ 0g (τ ) d τ=∫g (τ ) e ? sτ d τ= F ( s )G ( s )上式表明，两个时间函数 f (t ) 和 g (t ) 卷积的拉氏变换等于两个时间函数拉氏变换的乘 积。这个关系式在拉氏反变换中可简化计算。2.3 拉氏反变换2.3.1 拉氏反变换的概念拉氏反变换是指将象函数 F ( s ) 变换成与其对应的原函数 f (t ) 的过程。采用拉氏反变换 符号 L ?1 ，可以表示为：L ?1[ F ( s )] = f (t )的 f (t ) ，及部分分式展开法。 如果把 f (t ) 的拉氏变换 F ( s ) 分成若干分量的和，即（2.23）拉氏反变换的求算有多种方法，其中比较简单的方法是由 F ( s ) 查拉氏变换表得出相应F ( s ) = F1 ( s ) + F2 ( s ) + L + Fn ( s )并且 F1 ( s ), F2 ( s ),L , Fn ( s ) 的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么即得：f (t ) = L ?1[ F ( s )] = L ?1[ F1 ( s ) + F2 ( s ) + L Fn ( s )] = f1 (t ) + f 2 (t ) + L f n (t ) （2.24）可见，应用迭加原理即可求得原函数 f (t ) 。 但是 F ( s ) 有时比较复杂，当不能很简便地分成若干分量之和时，可采用部分分式展开 法对 F ( s ) 进行分解，也就是说，部分分式展开法是一种将较复杂的象函数分解成若干简单 的很容易从拉氏变换表中查到其原函数的求算方法。2.3.2 部分分式展开法在控制理论中，常遇到的象函数 F ( s ) 具有如下形式：F ( s) =B( s) A( s )式中 A( s ) 和 B ( s ) 均为变量 s 的多项式， A( s ) 的阶次 n 较 B ( s ) 的阶次 m 要高， n ≥ m 。 且 即 在应用部分分式展开法来求 F ( s ) = B ( s ) A( s ) 的拉氏反变换时， 必须预先知道分母多 项式 A( s ) 等于零时的根。换句话说，这个方法在分母多项式被分解成因式后才能应用。 将 F ( s ) 分母 A( s ) 进行因子分解，可写成第 11 页拉普拉斯变换F ( s) =B( s) B( s) = A( s ) ( s + p1 )( s + p2 )L ( s + pn )式中， p1 , p2 , L , pn 称为 A( s ) = 0 的根，或 F ( s ) 的极点，它们可以是实数，也可能为复数。 如果是复数，则一定是成对共轭的。 如果 B ( s ) 的阶次高于 A( s ) 的阶次，则应首先用分母 A( s ) 去除分子 B ( s ) ，由此得到一 个 s 的多项式， 再加上一项具有分式形式的余项， 其分子 s 多项式的阶次就化为低于分母 s 多 项式的阶次了。 下面分两种情况分别介绍部分分式展开法。 ⑴分母 A( s ) = 0 无重根 在这种情况下， F ( s ) 总是可以展开成下面的简单的部分分式之和。即F ( s) = =B( s) B( s) = A( s ) ( s + p1 )( s + p2 )L ( s + pn ) an a1 a2 + +L+ s + p1 s + p2 s + pn ak k =1 s + pkn（2.25）=∑式中， ak 为常值。 ak 称为在极点 s = ? pk 处的留数。 ak 的值可用 ( s + pk ) 乘以式（2.25） 的两边，并令 s = ? pk 的方法求出。即：[B ( s )( s + pk ) a ( s + pk ) a2 ( s + pk ) a ( s + pk ) ] =[ 1 + + L + ak + L + n ] = ak A( s ) s + p1 s + p2 s + pn s =? pk s =? pk可以看出，在所有展开项中除 ak 项外，其余各项全为零了，因此留数 ak 可由下式求出。ak = [ 1 ] = e ? pk t s + pkB(s ) ( s + pk )] A( s ) s =? pk(k = 1, 2 L , n)（2.26）因为 L [?1，从而可求得 F (s ) 的原函数为f (t ) = L ?1[ F ( s )] = ∑ ak e ? pk tk =1n（2.27）需要指出， 因为 f (t ) 是一个时间的实函数， 如果 p1 和 p2 是一对共轭复数时， 则留数 a1 和 a2 也必然是共轭复数。这种情况下，式（2.26）照样可应用，且只需对复留数 a1 和 a2 中 的任意一个求值，另一个自然也就知道了。第 12 页拉普拉斯变换例 2.4 求 F ( s ) =s+3 的拉氏反变换。 s + 3s + 22解：F ( s) =s+3 s+3 a a = = 1 + 2 s + 3s + 2 ( s + 1)( s + 2) s + 1 s + 22由式(2.26)可得a1 = a2 =因此s+3 =2 ( s + 1) ( s + 1)( s + 2) s =?1 s+3 ( s + 2) = ?1 ( s + 1)( s + 2) s =?2 2 ?1 ] + L ?1[ ] = 2 e? t ? e ?2t s +1 s+2f (t ) = L ?1[ F ( s )] = L ?1[例 2.5 求 F ( s ) =2（ t ≥0）2 s + 12 的拉氏反变换。 s + 2s + 5 s 2 + 2 s + 5 = ( s + 1 + 2 j )( s + 1 ? 2 j )解：分母多项式可以因式分解为F ( s ) 可展开如下 F ( s) =由式（2.26）可得2 s + 12 a1 a2 = + s + 2s + 5 s + 1 + 2 j s + 1 ? 2 j2a1 =由于 a1 与 a2 共轭，由此2 s + 12 5 = 1+ j (s + 1 + 2 j ) s + 2s + 5 2 s =?1? 2 j2a2 = 1 ?所以5 j 2⑵分母 A( s ) = 0 有重根5 5 j 1? j 2 + 2 ] f (t ) = L ?1[ F ( s )] = L ?1[ s +1+ 2 j s +1? 2 j 5 5 = (1 + j )e? (1+ 2 j )t + (1 ? j ) e ? (1? 2 j )t 2 2 5 = e ? t (e? j 2t + e j 2t ) + j e ? t (e? j 2t ? e j 2 t ) 2 ?t ?t = 2 e cos 2t + 5e sin 2t 1+假设 F ( s ) 有 r 个重极点 ? p1 ，其余极点均不相同，则第 13 页拉普拉斯变换F ( s) = =B( s) B(s ) = r A( s ) ( s + p1 ) ( s + pr +1 ) L ( s + pn ) a11 a12 a a a + + L + 1r + r +1 + L + n r r ?1 ( s + p1 ) ( s + p1 ) s + p1 s + pr +1 s + pn式中 a11 , a12 , L , a1r 的求法如下：a11 = F ( s )( s + p1 ) r a12 = a13 =Ms =? p1d [ F ( s )( s + p1 ) r ] ds s =? p1 1 d2 [ F ( s )( s + p1 )r ] 2 2! d s s =? p（2.28）1a1r =1 d ( r ?1) [ F ( s )( s + p1 ) r ] (r ? 1)! d s ( r ?1) s =? p1其余留数 ar +1 , ar + 2 ,L , an 的求法与第一种情况所述的方法相同，即ak = F ( s )( s + pk ) s =? p求得所有的留数后， F ( s ) 的反变换为：k(k = r + 1, r + 2,L , n)f (t ) = L ?1[ F ( s )] =[ a11 r ?1 a12 r ? 2 t + t + L + a1r ]e? p1t + ar +1e? pr+1t + ar + 2 e? pr+2t + L + an e ? pnt (r ? 1)! (r ? 2)!（2.29） 例 2.6 求 F ( s ) =1 的拉氏反变换。 s ( s + 2)3 ( s + 3)解：F ( s) =a a a11 a12 a + + 13 + 4 + 5 3 2 ( s + 2) ( s + 2) s+2 s+3 sa11 = F ( s )( s + 2)3s =?2=1 1 =? s ( s + 3) s =?2 2 =s =?2a12 =d ?(2 s + 3) [ F ( s )( s + 2)3 ] = 2 ds s ( s + 3) 2 s =?21 4第 14 页拉普拉斯变换a13 =1 d2 1 d2 1 3 [ F ( s )( s + 2)3 ] = [ ] =? 2 2 2! d s 2 d s s ( s + 3) s =?2 8 s =?21 s ( s + 2)3 =s =?3a4 = F ( s )( s + 3) s =?3 =1 3a5 = F ( s ) ? s s =0 =1 1 = 3 ( s + 2) ( s + 3) s = 0 24所以F ( s) =?1 1 3 1 1 + ? + + 3 2 2( s + 2) 4( s + 2) 8( s + 2) 3( s + 3) 24 sf (t ) = L ?1[ F ( s )] 1 t2 1 3 1 1 = ? × e?2t + t e ?2t ? e ?2t + e ?3t + 2 2 4 8 3 24 1 1 1 = (?2t 2 + 2t ? 3) e?2t + e ?3t + 8 3 242.4 用拉氏变换解线性定常微分方程在 2.1 至 2.3 节中我们已经介绍了拉氏变换的一些有关概念和方法。本节将介绍应用拉 氏变换解线性定常微分方程的方法。 应用拉氏变换法得到的解是线性定常微分方程的全解（特解加上补解） 。求线性定常微 分方程的经典方法需要利用初始条件求积分常数的值。然而，在应用拉氏变换法的情况下， 由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中， 就不需要根据初始条件求积分常数 的值了。 用拉氏变换法解线性定常微分方程， 首先通过拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方 程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得线性定常微分方程的解。以下面的例子说明求 解过程。 在不计阻尼情况下， 求质量块 m 在外施作用力 f (t ) 作用下 例 2.7 图 2.6 所示机械系统， 的运动规律。 解：若不计阻尼，系统的运动微分方程为&& mx(t ) + kx(t ) = f (t )（2.30）对式（2.30）中的每一项进行拉氏变换，可得：&& & L [mx(t )] = m[ s 2 X ( s ) ? sx(0) ? x(0)] L [kx(t )] = kX ( s ) L [ f (t )] = F ( s )图 2.6 机械系统方程式（2.30）的拉氏变换可写成如下形式第 15 页拉普拉斯变换& (ms 2 + k ) X ( s ) ? msx(0) ? mx(0) = F ( s )解出方程(2.31)中的 X (s ) ，可得(2.31)X ( s) =& F (s) msx(0) + mx(0) + 2 2 ms + k ms + k(2.32)式(2.32)右边的第一项表示当初始条件全部为零时由外施作用所产生的微分方程的解 （特解） 的象函数，式（2.32）右边的第二项表示初始条件的影响所产生的解（补解）的象函数。微 分方程的时间解是由 X ( s ) 进行拉氏反变换求得：x(t ) = L?1[ X ( s )] = L ? 1[ & F ( s) msx(0) + mx(0) ] + L?1[ ] 2 2 ms + k ms + k（2.33）假若 f (t ) 是一个单位阶跃函数，那么 F ( s ) = 1 s ，式（2.33）变为x(t ) = L?1[& 1 msx(0) + mx(0) ] + L ?1[ ] 2 2 s (ms + k ) ms + k1 1 k k m k & t ) + [ x(0) cos t + x(0) sin t] = ( ? cos k k m m k m& 假若 f (t ) 是一个单位脉冲函数，那么 F ( s ) = 1 ，又若初始条件 x (0) = x (0) = 0 ，则有x(t ) = L ?1[ =1 ms + k2] = L ?1[k m 1 ? 2 ] mk s + ( k m ) 21 k sin t m mk质量块 m 的运动是一个幅值为k 1 ，角频率为 的简谐运动。 m mk2.5习 题1.求下列函数的拉氏变换。假设当 t & 0 时， f (t ) = 0 。 ⑴ f (t ) = 5(1 ? cos 3t ) ⑵ f (t ) = e ?0.4t cos12t ⑶ f (t ) = sin( 5t + ⑷ f (t ) = t n e at 2. F ( s ) =π ) 310 s ( s + 1)第 16 页拉普拉斯变换⑴利用终值定理，求 t → +∞ 时的 f (t ) 的值。 ⑵通过取 F ( s ) 的拉氏反变换，求 t → +∞ 时的 f (t ) 的值。 3.已知 F ( s ) =1 + & + ，应用初值定理求 f (0 ) 和 f (0 ) 的值。 2 ( s + 2)4.试求下列象函数的拉氏反变换： ⑴ F ( s) =1 s ( s + 1) s +1 ( s + 2)( s + 3)⑵ F ( s) =e? s ⑶ F ( s) = s ?1⑷ F ( s) =4( s + 3) ( s + 2)2 ( s + 1)⑸ F ( s) =s 2 + 5s + 2 ( s + 2)( s 2 + 2 s + 2)5.应用拉氏变换法解下列微分方程： & & ⑴ && + 2 x + 2 x = 0, x (0) = 0, x(0) = 1 x& & x ⑵ 2 && + 7 x + 3 x = 0, x (0) = x0 , x (0) = 0第 17 页