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平面一般力系
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平面一般力系
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引 言力系―平面内作用在物体上力的总称（力的集合） 平面力系 根据力的作用线是否共面可分为： 空间力系 汇交力系 根据力的作用线是否汇交可分为： 平行力系 任意力系 平衡力系―作用在物体上使物体保持平衡的力系合成 研究问题平衡几何法研究方法解析法第二章 平面力系§2-1 平面汇交力系 §2-2 平面力对点之矩?平面力偶 §2-3 平面任意力系简化 §2-4 平面任意力系平衡条件和平衡方程 §2-5 物体系的平衡? 静定和超静定问题§2-6 平面简单桁架的内力计算结论与讨论§2-1 平面汇交力系一.合成的几何法F1 F2FRF3F3F2 FR1 F R2 F1 A FR A F3 F4 F2 F4 FR F1AF4两个共点力的合成―力的平行四边形法则（三角形法则）任意个共点力的合成―力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。 FR= F1 + F2 + ┄+ Fn = ∑Fi几点讨论：合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关； 各分力矢必须首尾相接；F3F2F1 A FRF4合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。二.平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。F3 F2 F4?Fi ?1n?i?0结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是，该力系的力多边F1 FR形自行封闭。 先画主动力，再画约束反力A3.解题步骤（1）选研究对象；（2）画受力图；（3）选比例尺作力多边形。例题1已知：P，a ，求：A、B处约束反力。2aP aC D解：（1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）按比例作图求解 由图中的几何关系得5 FA ? P ? F ? P 22 2 BABFAFBFA?FBFB ? P tan ? ? 0.5 PP例题2运输用的架空索道。钢索的两端分别固结在支架的A端和B端，设钢索ACB长为2l，最大柔度为h，如略去钢索的重量及滑轮C 解：（1）取滑车为研究对象 （2）画受力图 （3）作力三角形MN / 2 h sin ? ? ? KM lA h C B沿钢索的摩擦。试求当重为P的载荷停留在跨度中心时钢索的张力。F1 F2 ααCαP PM P F1 α α KPl P F1 ? F2 ? ? 2h 2 sin ?由此式可知，柔度h越大，绳的张力越小；h ? 0, F ??N F2如果要求绳张力不超过一定值，则α应满足什么条件？三.平面汇交力系合成解析法 1.力的投影与分解Fy y FyA B力在坐标轴上的投影?F?Fx ? F cos ? Fy ? F cos ? ? F sin ?力沿坐标轴的分解jOFx Fx xi? ? ? ? Fx ? Fx i , Fy ? Fy j ? ? ? ? ? F ? Fx ? Fy ? Fx i ? Fy j注：投影是代数量，分力是矢量；仅在直角坐标系中力在坐标轴上 投影的绝对值和力沿该轴分量的大小相等。? Fx2 ? Fy2 ? ? ? ? cos( F , i ) ? Fx / F ? ? ? ? cos( F , j ) ? Fy / F ? ? F ?2.合力投影定理（合矢量投影定理） 合力FR与各分力矢在x轴和y轴上投影y d2 c2 b2 e2 a2 a1 b1 c1 F3 F2 F1 FR F4的关系为a1e1= a1b1+b1c1+c1d1+d1e1 a2e2= a2b2+b2c2+c2d2-d2e2 故 FRx= Fx1 + Fx2 + Fx3 + Fx4FRy= Fy1 + Fy2 + Fy3 + Fy4d1 e1x推广到n个力 FRx= Fx1 + Fx2 + Fx3 +… +Fxn=∑Fxi FRy= Fy1 + Fy2 + Fy3 +…+Fyn=∑Fyi 合力（合矢量）投影定理：合力（合矢量）在任一轴上的投影 等于各分力（分矢量）在同一轴上投影的代数和。3.合成的解析法（投影法）FR= F1 + F2 + … + Fn =∑Fi 根据合力投影定理：y F2F1FRF3FRx ? Fx1 ? Fx 2 ? ? ? Fxn ? ? Fxi ? ? FRy ? Fy1 ? Fy 2 ? ? ? Fyn ? ? Fyi ?2 2 FR ? FRx ? FRy ? (? Fxi ) 2 ? (? Fyi ) 2 ? ? ? ? FRx ? ? FRy ? cos( FR , i ) ? , cos( FR , j ) ? ? FR FR ?AxF44.平面汇交力系的平衡方程 平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。FR ? F ? F ? ( ? Fxi ) ? ( ? Fyi ) ? 02 Rx 2 Ry 2 2? Fxi ? 0? ? ? F yi ? 0?标轴上投影的代数和等于零。两个独立方程 可求解两个未知量平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个任选的坐只要不平行即可解析法解题步骤：（1）选取研究对象； （2）画出研究对象的受力图； （3）合理选取坐标系，列平衡方程求解； （4）对结果进行必要的分析和讨论。 几点说明： （1）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数； （2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相 反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。例题3 已知：P，a ，求：A、B处约束反力。 解： （1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）建立坐标系，列方程求解2aPaCD? Fx ? 0, P ? FA cos ? ? 0 ? Fy ? 0, FB ? FA sin ? ? 0解上述方程，得5 1 FA ? P , FB ? P 2 2yABFBx例题4 已知：F，a ，求：物块M的压力。 解：（1）取销钉B为研究对象?A? Fx ? 0, F ? ( FBA ? FBC ) sin ? ? 0 ? Fy ? 0, FBC cos ? ? FBA cos ? ? 0解得FBABF B FBC?FFBC ? FBAF ? 2 sin ?? ? FBCMC（2）取挡板C为研究对象? Fy ? 0, FM ? FCB cos ? ? 0解得FCBCF FM ? FCB cos ? ? cot ? 2FNC FM? ? FCB§2-2 平面力对点之矩?平面力偶一.力对点之矩? m） M O (F ) ? ? F ? h ? ? 2 A?OAB（N?几点说明：BF（1）MO(F)是影响转动的独立因素；（2）MO(F)是代数量，使物体逆时针 转时为正；反之为负； （3）互成平衡的两个力对同一点之矩 的代数和为0； （4）力F对任一点之矩，不因该力的作 用点沿其作用线移动而改变。AhO ―― 矩心 h ―― 力臂二.合力之矩定理 ―适用于有合力的力系 平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于 该点之矩的代数和。? ? ? ? ? M O (FR ) ? M O (F1 ) ? M O (F2 ) ? ? ? M O (Fn ) ? ? M O (Fi )力矩与合力矩的解析表达式yFyxA y?F? ? ? M O (F ) ? M O (Fx ) ? M O (Fy ) ? xFy ? yFxM O ( FR ) ? ?( xi Fyi ? y i Fxi )Fxxx，y为力作用点的坐标 Fx，Fy为力的投影O例题5 已知：Fn，?，r求：力 Fn 对轮心O的力矩。解：（1）直接计算Or h F Fn?? M O (Fn ) ? Fn h ? Fn r cos ?（2）利用合力之矩定理计算Fr? ? ? M O ( Fn ) ? M O ( Fr ) ? M O ( F ) ? ? M O (F ) ? Fn r cos ?三、力偶与力偶矩（1）力偶（1）力偶力偶―两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。 力偶臂―力偶的两力之间的垂直距离。 力偶的作用面―力偶所在的平面。 （2）力偶矩 ―度量力偶对物体的转动效应? F?d B x? F?Ad? FB? ? ? ? M o ( F , F ?) ? M o ( F ) ? M o ( F ?) ? F ( x ? d ) ? F ?x ? Fd力偶矩与力矩具有相同的性质。A? FO力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的作用面。（3）平面力偶的性质性质1：力偶中两个力在任意方向上的投影等于零，故力偶对物 体不产生移动效应； 性质2：力偶不能合成为一个力（没有合力），也不能用一个力 来平衡。力和力偶是两个基本的力学量。性质3：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，力偶矩是度量力偶对刚体的转动效果，它有两 个要素：力偶矩的大小和力偶矩的转向。四、平面力偶的等效定理 ★ 在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相 等，则两力偶彼此等效。 推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作 用面内的位置无关； 推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的F d F1F0F 0?F0 C F2 D?A? F2?转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的 作用。 力偶表示方法B ? F F0?? F?MMMFF?FF?F F?只要保持力偶矩不变，力偶可 在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。FF?F/2F?/ 2保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不 变。 补充:力偶可以在与其作用面平行的平面内任意移动，其作 用效果不变。自由矢量五、平面力偶系的合成和平衡条件F1 F2 d2M1 ? ? F1d1 ? ? F3dM 2 ? F2 d 2 ? F4 dF ? F4 ? F3 , F ? ? F4? ? F3?d1 ? F2?? F1?M ? Fd ? ( F4 ? F3 )d ? M1 ? M 2任意个力偶的情况F3 A F4? F4?d B ? F3?M ? M1 ? M 2 ? ? ? M n ? ? M i结论：平面力偶系合成结果还是一个力偶,其 力偶矩为各力偶矩的代数和。 平衡条件：? F?A Fd? Mi ? 0B例题6 已知：a, M，求：A、 C 处约束反力。aMB解：（1）取AB为研究对象? M ? 0, M ? FA 2a ? 02 FA ? FB? ? M 2a（2）取BC为研究对象 FAAACaaMFBB B若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在 此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之 矩是否还等于力偶矩。2 FC ? FB ? FB? ? M 2a? ? FBC？FC例题7 已知： AB=CD=a, ∠BCD=30°，求：平衡时M1、M2之间 的关系。 解: (1) 取AB为研究对象B C D? M ? 0, FB a cos 30? ? M1 ? 0解得3 M1 ? FB a 2?AM1M2 FBB(2) 取CD为研究对象? M ? 0, M 2 ? FC a sin 30 ? 0解得FCC D AM1FA1 M 2 ? FC a 2M1 ? 3 M2FDM2因为 FB = FC例题8 求：A、B、C、D、E处的约束反力。 解: (1) 取整体为研究对象DME? M ? 0, M ? FAa ? 0M FA ? FB ? a(2) 取BCD为研究对象 确定 D 处约束反力的方向aCBFB a FAAaa? ? FDDCB? ? FCFB(3) 取DE为研究对象DME? M ? 0, FD a sin 45? ? M ? 02M FD ? FE ? a(4) 取ACE为研究对象FDDaC EBaAMFEEaa? cos 45? ? 0 ? F y ? 0, FC sin ? ? FE 1 sin ? ? 5? ? FECFC5M FC ? aFAA?注意！（1）明确研究对象（2）正确作出受力图（3）列方程求解文字不宜过多，但也不能过少。 力不允许多画，但也不能少画。思考题？D? F2 ? F1?Co ARB? F1 ? F2?BMMCMAP问刚体在四个力的作用 当 M=PR 时，系统处 下是否平衡，若改变F1 于平衡，因此力偶也图示系统平衡否， 若平衡，A、B处约和F1′的方向，则结果又如何？可以与一个力平衡， 这种说法对吗？束反力的方向应如何确定？§2-3 平面任意力系的简化平面任意力系：各力的作用线在同一 平面内,既不汇交为一点又不相互平行 的力系。 研究方法： （平面任意力系）未知力系 力系向一点简化已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）一、力线平移定理F′ F′FB d A F′′ B d AFM BAM=F. d=MB(F)定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必 须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。力线平移的讨论：为什么钉子有时会折弯？ M F′ F两圆盘运动形式是否一样？ F (a) F(b) MF′单 手 攻 丝二、平面任意力系向作用面内一点的简化? 主矢和主矩F2F1F2′M2F1′M1FR′ MO OOOF3F3′M3F1 =F1 ′ M1=MO(F1)O简化中心F2 =F2 ′ M2=MO(F2) F3 =F3 ′ M3=MO(F3) ′ ′ ′ F′ R=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)平面汇交力系平面力偶系yFR′MOn ? ? ? ? ? Fi FR i ?1原力系的主矢 力系对于简化中心O的主矩? M O ? ? M O ( Fi )nOxi ?1结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个 力偶的矩等于力系对于点O的主矩。? ? (? Fxi ) ? (? Fyi ) FR2 2? ? ? Fxi ? ? ? Fyi ?, i ) ? ?, j) ? cos( FR , cos( FR ? ? FR FR与简化中心选择无关n ? M O ? ? M O ( Fi ) ? ? ( xi Fyi ? yi Fxi ) n i ?1 i ?1与简化中心有关三、平面任意力系的简化结果分析● ●? ? ?0 FR ? ? ?0 FRMO ? 0 MO ? 0● ●? ? ?0 FR ? ? ?0 FRMO ? 0 MO ? 0（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形? ? ?0 FR●MO ? 0? M O ? ? M O ( Fi )n i ?1★ 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意 一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简 化中心的选择无关。（2）平面任意力系简化为一个合力的情形? 合力矩定理●? ? ?0 FRMO ? 0? 就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心，与简 FR 化中心有关。 ? ● F? ? 0 MO ? 0 RFR ′ MoO O′ O d′ FR FRO′ OFRdO′′′ FRFR为原力系的合力MO d? FRFR ′MoO O′ O′ FRFRO′O O′FRddMO(FR) =FRd = MO = ∑MO(Fi)′′ FR合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩 等于力系中各力对同一点矩的代数和。定理的应用： （1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；（2）求分布力的合力作用线位置。（3）平面任意力系平衡的情形●? ? ?0 FRMO ? 0原力系平衡（1）固定端支座既不能移动，又不能转动的约束― 固定端（插入端）约束固定端约束简图≠≠固定端约束反力 固定端铰支座反力固定端支座约束实例（2）分布载荷的合力及作用位置集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。 几种分布载荷： 体分布载荷：载荷（力）分布在整个构件内部各点上。例如构件的自重等。面分布载荷：分布在构件表面上的载荷（力）。 例如风压力、水压力等。 线分布载荷：载荷分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。dP=q(x)dxq(x)PdP合力大小：P ? ? dP ? ? q( x)dxl 0Axhdx lBx由合力矩定理：Ph ? ? dP ? x ? ? q( x) xdxl 0q(x) P载荷集度 合力合力作用线位置： h ?? q( x) xdx ? q( x)dx0 l 0l★ 两个特例(a) 均布载荷Ph l q(b)三角形分布载荷 P q0q0 q ( x) ? x lxxhllP ? ? q( x)dx ? ql0lq0 1 P ? ? q( x)dx ? ? xdx ? q0l 0 0 l 2lq ( x) xdx l ? h? ? 2 q ( x ) dx ?0 l 0lq( x) xdx 2l ? h? ? 3 q ( x ) dx ?0 l 0l§2-4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任 意一点的主矩都为零。即? ? ?0 FRn nMO ? 0n故平面任意力系平衡的解析条件为：? ? Fxi ? 0, ? Fyi ? 0, ? M O (Fi ) ? 0i ?1 i ?1 i ?1平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。解析条件可简写为：? ? ? Fy ? 0 ? 平面任意力系平衡方程的基本式 ? ? ? M o ( F ) ? 0? ? Fx ? 0●几点说明： （1）三个方程只能求解三个未知量； （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直； （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。例题1 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重G =2 200 N，吊车 D，E连同吊起重物各重F1= F2=4 000 N。有关尺寸为：l = 4.3 m，a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m，α=25°。试求铰链A对臂AB的水平和铅直约束力，以及拉索BF 的拉力。解：1.取伸臂AB为研究对象。2.受力分析如图。 y FAy FAx A D F1 C FB α E GFc AB x F1 aCαBF2F2lb3.选如图坐标系，列平衡方程。y FAy FAxA D? Fx ? 0,FAx ? FB cos ? ? 0FBCαEBx?Fy? 0,aF1FAy ? F1 ? G ? F2 ? FB sin ? ? 0 ? ? M A F ? 0,G lF2 b? ?l ? F1 ? a ? G ? ? F2 ? ?l ? b ? ? FB cos ? ? c ? FB sin ? ? l ? 0 2 4.联立求解。 FB = 12 456 N， FAx = 11 290 N，FAy = 4 936 N例题 2 外伸梁的尺寸及载荷如图所示， F1=2kN ， F2=1.5kN ， M =1.2kN? m，l1=1.5m，l2=2.5m，试求铰支座A及支座B的约束力。1. 取梁为研究对象，受力分析如图。 解： 2. 列平衡方程。ll?F1MF260?? ? M A (F ) ? 0? Fx ? 0, FAx ? F2 cos 60 ? 0FBl2 ? M ? F1l1 ? F2 (l1 ? l2 ) sin 60? ? 0ABl2yAl1 F1 MB FB? F ? 0 , F ? F ? F ? F sin 60 ?0 ? y Ay B 1 2F260?xFAx3. 解方程。FAyFAx ? 0.75 kNFB ? 3.56 kNFAy ? ?0.261 kN例题3 如图所示水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一活动铰链支座。 梁的长为4a，梁重G，作用在梁的中点 C。在梁的AC段上受均布载荷 q作用， 在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M =Ga。试求A和B处的支座约束力。 解：1. 以水平横梁AB为研究对象。 2. 受力分析如图所示。 3. 列写平衡方程。y q A2a?Fx? 0,FAx ? 0AyCG 4aM B x? F ? 0, F ? ? M ?F ? ? 0,y A? q ? 2a ? G ? FB ? 0FB ? 4a ? G ? 2a ? q ? 2a ? a ? M ? 0FAyAq4. 联立求解。FAx ? 0, FB ? FAy G 3 ? ? qa, 4 2CMFBBFAx2a3 1 G ? qa 4 2G4a例题4 已知：M=Pa，求：A、B处约束反力。 解：（1）取刚架为研究对象2a M（2）画受力图（3）建立坐标系，列方程求解PaCFAyD FB FAx? Fx ? 0, ? Fy ? 0, ? ? M A ( F ) ? 0,解上述方程，得FAx ? P ? 0 FAy ? FB ? 0 FB ? 2a ? P ? a ? M ? 0AyBxFAx ? ? P, FAy ? ? P, FB ? P.其他解法？解法2：? Fx ? 0, ? ? M A (F ) ? 0 ? ? M B (F ) ? 0 FAx ? P ? 0 FB ? 2a ? M ? P ? a ? 0 FAy ? 2a ? P ? a ? M ? 0a P C FAy A2a M D FB解上述方程，得FAxBFAx ? ? P FAy ? ? P FB ? P解法3：? ? M A ( F ) ? 0, ? ? M B ( F ) ? 0, ? ? M C ( F ) ? 0,FB 2a ? M ? Pa ?0 FAy 2a ? Pa ? M ? 0 FAx a ? FB 2a ? M ? 0解上述方程，得 FAx ? ? P FAy ? ? P FB ? P2、平面任意力系平衡方程的形式 （1）基本形式B AFR? Fx ? 0,（2）二力矩式? ? Fy ? 0, ? M A (F ) ? 0x? ? ? Fx ? 0, ? M A (F ) ? 0, ? M B (F ) ? 0（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线） （3）三力矩式? ? ? ? M A (F ) ? 0, ? M B (F ) ? 0, ? M C (F ) ? 0（A、B、C 三点不得共线）例题5 求：三杆对三角平板ABC的约束反力。 解：取三角平板为研究对象，受力如图 ? 3 ? M A (F ) ? 0, 2 a ? FC ? M ? 0 ? 3 a ? M B (F ) ? 0, 2 a ? FA ? M ? P ? 2 ? 0 ? 3 a ? M C (F ) ? 0, 2 a ? FB ? M ? P ? 2 ? 0解上述方程，得2 3M P 2 3M P FA ? ? , FB ? ? 3a 3a 3 3 2 3M FC ? 3aFBDAa BMaa F CPEFAA a M B a aFCCP3、平面平行力系的平衡方程yF3（1）基本形式? Fx ? 0（2）二力矩式? 0 ?F ?? ? ? ? M (F ) ? 0 ? ?y oF1oF2 Fnx? )?0 ? ? M A (F ? ? （A、B两点的连线不得与各力平行） ? ? M B (F ) ? 0 ? ?二个方程只能求解二个未知量例题6 已知：F = 2N，q = 1N/m，求：A、B支座反力。 解：取梁ABCD为研究对象? ? M B ( F ) ? 0, ? Fy ? 0,P ?1 ? FNA ? 2 ? F ?1 ? 0 FNA ? FNB ? F ? P ? 0C 1m A 2mPFB 1m D1 其中 P ? q ? 3 2解得：FNA ? ?250 N, FNB ? 3750 NFNAFNB例题7 求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。 解：取起重机为研究对象。P2 （1）满载时，其限制条件是：FNA≥0 a ? ? M B (F ) ? 0, P2 (a ? b) ? FNAb ? Pe ? P1l ? 0l e解得：Pe ? P 1l P2 ? a?bPP1（2）空载时，其限制条件是：FNB≥0 ? ? M A (F ) ? 0, P2a ? FNBb ? P(e ? b) ? 0P (e ? b ) 解得： P2 ? FNA a Pe ? P P (e ? b ) 1l 因此，P2必须满足： ? P2 ? a?b aABbFNB§2-5 物体系的平衡 ? 静定和静不定问题1、物体系的平衡问题 （1）物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。（2）物系平衡的特点：①仅仅考虑系统整体不能求解全部约束反力； ②物系平衡,则系统中每个单体或局部系统也是平衡的。 （3）解物系问题的一般方法（一题多解） 整体 局部 局部 整体 局部 局部 整体2、静定与静不定问题的概念 ●静定问题：未知量数目等于独立平衡方程数目 ●静不定（超静定问题）：未知量数目多于独立平衡方程数目ABACFCFB PBFA PFBFA超静定次数=未知量数-独立平衡方程数(a) (b)例题8 已知：P=0.4kN, Q=1.5kN, sin?=4/5,求：支座A、C的反力。解：(1)取整体为研究对象PB? l l ? M A ( F ) ? 0, FCy 2l cos ? ? P cos ? ? Q sin ? ? 0 (1) 2 2 FAy ? 3l l ? ? M C ( F ) ? 0, ? FAy 2l cos ? ? P cos ? ? Q sin ? ? 0 (2) A 2 2 FAx ? Fx ? 0, FAx ? FCx ? Q ? 0 (3)Q?FCyCFCxFBy PB解上述方程，得 FAy ? ?0.2kN, FCy ? 0.6kNFBxFAy (2)取AB为研究对象 ? l A ? M B (F ) ? 0, FAxl sin ? ? P 2 cos? ? FAy cos? ? 0 FAx 解得: FAx ? ?0.3kN 代入（3）式得 FCx ? ?1.2kN例题20 如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径 为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l, θ=45° 。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。解： 1. 选取整体研究对象，受力分析如FAAD KC B Ⅰ图所示。??M ? ?E? F ? 0,5 FA ? 2 ? 2l ? G ? l ? 0 2EFEyFEx Ⅱ? Fx ? 0, ?FyFA cos 45? ? FEx ? 0 FA sin 45? ? FEy ? G ? 0? 0,解得：?5 2 FA ? G 8 13G FEy ? G ? FA sin 45 ? 8?G2. 选取DEC研究对象，受力分析如图所示。? ? M C F ? 0, FDB cos 45 ? 2l ? FK ? l ? FEy ? 2l ? 0?? ?D A?K C B Ⅰ解得：G FK ? 2 5G FEx ? 8 3 2G FDB ? 8E D KⅡ? FDB? FCx? C FCyFEyEFKGFEx例题21 重为G = 980 N的重物悬挂在滑轮支架系统上，如图所示。设滑轮的中心B与支架ABC相连接，AB为直杆，BC为曲杆，B为销钉。若不计滑轮与支架的自重，求销钉B作用在与它相连接的 每一构件上的约束力。 解： 1. 取滑轮B为研究对象，受力分 析如图。FBy0.6 mC H0.8 m?G Fx ? 0, FBx ? cos 45? ? 0 2G 2 G 245?G 2B FG 2FBx A45?H B F? Fy ? 0, FBy ? sin 45? ? ? 0解得 FBx ?G cos 45? ? 347 N 2 G G ? FBy ? sin 45 ? ? 847 N 2 2IEDG2. 再取销钉B为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程3 ? ? Fx ? 0, ? FBx ? FAB ? FCB ? 5 ? 0 G 4 ? ? F ? ? F ? ?0 By CB ? Fy ? 0, 2 5IC0.6 m0.8 mA45?H B FED解得FAB ? 1 340 NFCB ? 1 660 N? ? FBC? ? FBA? ? FByB? G 2? ? FBxG§2-6 平面简单桁架的内力计算1、桁架的由来―大跨度梁的发展 2、桁架的应用―桥梁、屋架、塔架 3、桁架的概念 桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在 受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。 理想桁架的 ● 桁架的杆件都是直杆； 几点假设： ● 杆件两端用光滑的铰链连接； ● 载荷及支座反力均作用在节点上； ● 杆件重量不计或平均分配在杆件两端的节点上。 二力杆----组成桁架的基本构件。 平面桁架――所有杆件都在同一平面内的桁架。节点构造有 榫接（图a）焊接（图b）铆接（图c） 整浇（图d）均可抽象简化为光滑铰链4、桁架杆件内力的计算方法 （1）节点法―应用汇交力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点的平衡，每个节点可列2个独立平衡方程。适于求解全部杆件的内力； （2）截面法―应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面切出的某部分的平衡。适于求解部分杆件的内力。例题10 求：图示桁架各杆的力。 解：(1)取整体为研究对象 1 3 ? Fx ? 0, FAx ? 20 ? 0 A 4 ? Fy ? 0, FAy ? FBy ? 40 ? 0 FAx ? ? M A ( F ) ? 0, FBy ? 5 ? 120 ? 0 F Ay FAx ? ?20kN, FAy ? 16kN, FBy ? 24kN (2)取节点C为研究对象? Fx ? 0, F2 ? 20 ? 0 ? Fy ? 0, F1 ? 0 F1? 0, F2 ? ?20kN20kNC 2 6 5 7 8 91011 12 131418 21 B15 17 19 16 2010kN10kN10kN10kNFBy20kNCF2 FAx? F1?AF3F4 FAyF1? Fx ? 0, FAx ? F4 ? F3 cos 45? ? 0 ? Fy ? 0, FAy ? F1? ? F3 sin 45? ? 0(3)取节点 A为研究对象F3 ? ?16 2kN, F4 ? 36kN依此类推，可求得其余各杆内力。例题11 求：桁架6、7、8各杆的力。20kNC 2 1 A 3 4 5m6 7 8 n 10kN 91011 12 131418 21 B解：(1)取整体为研究对象15 17 19 16 20计算支座反力。FAx10kN 10kN 10kNAyFAx ? ?20kN, FAy ? 16kN, FBy ? 24kN F(2) (3)FBy根据解题的需要，假想用一截面截断体系。 取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。?? Fy ? 0, FAy ? F7 sin 45 ? 10 ? 0 ? ? M D ( F ) ? 0, F6?1 ? FAy?1 ? 20 ?1 ? 0, ? ? M C ( F ) ? 0, F8?1 ? F7? 2 ? FAx?1 ? 10 ?1 ? 020kN 1 AC 2 3 4 5 DF6 F7 F8FAx FAyF6 ? ?36kN, F7 ? ?6 2kN, F8 ? ?42kN.10kN例题12 求：桁架1、2杆的力。 解：(1) 取整体为研究对象? Fx ? 0, FAx ? 0 ? Fy ? 0, FAy ? FNB ? P ? 0 ? ? M A ( F ) ? 0, FNB ? 3a ? P ? a ? 0FAxCD aPAE?2aB a aFAx ? 0, FAy ? 2 P / 3, FNB ? P / 3(2)取内部三角形为研究对象 ? ? M E ( F ) ? 0, P ? 0.5a ? F2 cos? ? 0.5a ? F2 sin ? ? 0.5a ? 0FAyF5FNBF1F4 FAx F3 FAyaa E1PA? F2?F6F2 ? 5P / 3 (3)取节点A为研究对象 ? Fy ? 0, FAy ? F1 ? F2? sin ? ? 0F2F1 ? ? P物体系平衡习题课① 适当地选择方程可使问题的求解简便； ② 组合静定梁往往可以先求辅助结构，再求基本结构；③ 注意铰点作用集中载荷的情况；④ 对于拆分结构中没有基本结构的情况往往先分析整体结构再按受力情况（简单优先）分析拆分结构。例题13 求：A、E的约束反力和BC杆 内力。 解：(1) 取整体为研究对象? Fx ? 0, FAx ? 0 ? ? M A ( F ) ? 0, ? FE ? a ? qa ? 2.5a ? 0 ? ? M B ( F ) ? 0, FAy ? a ? qa ?1.5a ? 0qa C a aFAyB E A aD aFAx解得： FAx ? 0 FAy ? ?1.5qa FE ? 2.5qa (2) 取曲杆CD为研究对象 ? ? M D (F ) ? 0, qa ? 0.5a ? FC ? a sin 45? ? 0q FEC解得：FC ?2 qa 2FDxDFDyFC例题14 已知：M = 10kN? m, q=2kN/m求：A、B、C的反力。 解：(1) 取BC为研究对象FAyAqM FAx1m 1m C 1m 1mFBBMA ? Fx ? 0, FCx ? 0 ? ? M C ( F ) ? 0, FB ? 2 ? q ?1? 0.5 ? 0? Fy ? 0, FCy ? FB ? q ?1 ? 0解得: FB ? 0.5kN, FCx ? 0, FCy ? 1.5kN (2) 取AC为研究对象FCyqCqFBB? ?0 ? Fx ? 0, FAx ? FCx A MA FAx ? ? q ?1 ? 0 ? Fy ? 0, FAy ? FCy ? ? ?2 ? 0 ? M A ( F ) ? 0, M A ? M ? q ?1?1.5 ? FCy解得: FAx ? 0, FAy ? 3.5kN, M A? ?4kN ? mFAyFCxM? C ? ? FCx ? FCy若不求C处的力则可 选整体为研究对象例题15 求：D、E的约束反力。FAyAC D E? Fx ? 0, FDx ? FEx ? 0? (3)2m2mG2m2m500N解得: FDy ? 1000 N, FEy ? ?500 N (2)取整体为研究对象 ? ? M A ( F ) ? 0, FB ? 4 ? 500 ? 2 ? 500 ? 6 ? 0 解得:H500NFDyC DFEyEFB ?1000N500NFDx2m解：(1)取CDE为研究对象 ? ? M E ( F ) ? 0, FDy? 2 ? 500 ? 4 ? 0? (1) ? ? M D ( F ) ? 0, FEy? 2 ? 500 ? 2 ? 0? (2)FB2mFAxBFExFAy(3) 取BEG为研究对象 ? ? ? 2 ? FEy ? ?2 ? 0 ? M G (F ) ? 0, FB? 4 ? FExAC DEFB2m? ?1500N 解得: FEx500N2mG2m代入（3）式得:FDx ? ?1500 NH BFDx ? ?1500 N FDy ? 1000 N FEx ? 1500 N FEy ? ?500 NG500N? ? FExFGyFGxFBE?FDyC DFEyE? FEyFDxFEx500N2m2m2mFAxB例题16 求：A、D、B的约束反力。 解:(1) 取整体为研究对象 ? ? M C ( F ) ? 0, FBy? 2a ? 0 ? FBy ? 0 (2) 取DEF杆为研究对象 ? ? ?a ? P?a ? 0 ? M E ( F ) ? 0, FDy ? ? ? a ? P ? 2a ? 0 ? M B ( F ) ? 0, FDxaAPE DaFBFByaFCyCaFBxFCx FAy FAx FDx FByB解得：? ? P, FDx ? ? 2P FDy(3) 取ADB杆为研究对象 ? ? M A ( F ) ? 0, FBx? 2a ? FDx ? a ? 0? Fx ? 0, FAx ? FDx ? FBx ? 0 ? Fy ? 0, FAy ? FDy ? FBy ? 0? ? FDxD ? BFNEEPFAFDyD? FDy解得：FBxFBx ? ? P, FAx ? ? P, FAy ? ? PAAPa aE DF DaEMFaBa aCBa aCAAPE DaF DaEMaaFBa aCBa aC例题17 求：A、D的约束反力。 解：(1)取BC杆为研究对象? Fy ? 0, FBy ? FCy ? P ? 0 ? Fx ? 0, FBx ? FCx ? 0 (2) (3)2aPB a a aPC a 2a? ? M C ( F ) ? 0, Pa ? FBy 2a ? 0(1)AD解得： FBy ? FCy ? 0.5P (2)取AB杆为研究对象 ? ?P?0 ? Fy ? 0, FAy ? FBy ? ? M B ( F ) ? 0, FAx 2a ? FAy 2a ? Pa ? 0? ?0 ? Fx ? 0, FAx ? FBx 解得： ? ? ?P FAx ? P, FAy ? 1.5P, FBxP? B ? ? F? FBx ByFAyAFByBP FBxFCyCFCxFAx代入（3）式解得：FCx ? ? P(3)取CD杆为研究对象aPB a aPC a 2a? ?0 FDx ? FCx ? ?0 ? Fy ? 0, FDy ? FCy ? ? 2a ? FCy ? 2a ? 0 ? M D ( F ) ? 0, M D ? FCx ? Fx ? 0,2aADP解得：FDx ? ? P FDy ? 0.5 P M D ? Pa? B ? ? F? FBx ByFAyAFByBP FBxFCyCFCxFAx? ? FCxC? ? FCyMDDFDy FDx例题18 已知：q=50kN/m, M=80kN? m,求:A、B的约束反力。解：(1) 取DE杆为研究对象? ? M H (F ) ? 0, M ?FDx? 2?q? 2?3 ? 0, FDX ? ?110kNFNB2mBMD E C Hq(2) 取BDC杆为研究对象 (3) 取整体为研究对象? Fx ? 0, FAx ? FNB ? 0 ? Fy ? 0, FAy ? q ? 2 ? 0 ? ? M A ( F ) ? 0, M A ? M ?FNB ?6 ? q? 2 ? 3 ? 0 FDy 110 M 解得： FAx ? kN, 3 D FAy ?100kN, M A ? 0 FDxFNEH 1m? 110 ? ?1?FNB ?3 ? 0, FNB ? ? ? M C ( F ) ? 0, FDx kN 31mFNBB2mMA F AyA? ? ? FDy ? FDxD C 2mFCx FCyqFAx2mE例题19 图示结构为钢结构拱架，拱架由两个相同的刚架AC和BC用铰链C连接， 拱脚 A， B用铰链固结于地基，吊车梁支承在刚架的突出部分 D， E上。设两 刚架各重为 G=60 kN ，吊车梁重为 G1=20 kN ，其作用线通过点 C ；载荷为 G2=10 N；风力F=10 kN。尺寸如图所示。D，E两点在力G的作用线上。求固 定铰支座A和B的约束力。 解： 1.选整个拱架为研究对象，受力分析 如图所示。列平衡方程y C?Fx? 0,F ? FAx ? FBx ? 0Ay? F ? 0, F ? ? M ?F ? ? 0,y? FBy ? G1 ? G2 ? 2G ? 0FGD 2mGG1 E10 mAFBy (2 ? 8 ? 2 ) ? F ? 5 ? G ? 2 5 m? G (2 ? 8) ? G2 (2 ? 2 ) ? G1 (2 ? 4 ) ? 0FAy A FAx2mG2FBx B8m 2mFBy x2. 选右边刚架为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程FCy C FCx? ? M C F ? 0, FBy (4 m ? 2 m) ? FBx ?10 m ? ?G ? FE ?? 4 m ? 03. 选吊车梁为研究对象，受力分析如图所示。 列平衡方程? ?4mGE FE10 mFByFBx? ? M D F ? 0, ? ? 8 m ? G1 ? 4 m ? G2 ? 2 m ? 0 FE解方程可得? ?D? ? FDE? G2B2m? ? FEG1? ? 12.5 kN, FBy ? ? 77.5 kN, FBx ? 17.5 kN, FAx ? 7.5 kN FE结论与讨论1.力在坐标轴上的投影为：Fx ? F cos ?? ? ?2.平面内力的解析表达式为： F ? F i ? F j x y 3.求平面汇交力系的合力 （1）几何法根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为：? ? FR ? ? Fi合力的作用线通过各力的汇交点。（2）解析法2 2 FR ? FRx ? FRy ? (? Fxi ) 2 ? (? Fyi ) 2 ? ? 根据合力投影定理： ? ? FRx ? ? FRy ? cos( FR , i ) ? , cos( FR , j ) ? ? FR FR ?4.平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件： （2）平衡的几何条件： （3）平衡的解析条件：? ? FR ? ? Fi ? 0力多边形自行封闭? Fxi ? 0 ? Fyi ? 05.平面力对点之矩? M O (F ) ? ? F ? d ? ?2?OAB6.合力矩定理：? ? ? ? ? M O (FR ) ? M O (F1 ) ? M O (F2 ) ? ? ? M O (Fn ) ? ? M O (Fi )7.力偶和力偶矩力偶―两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。M ? ? Fd ? 力偶矩力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于 力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等， 则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。8.平面力偶系的合成与平衡合成结果： 平衡条件：M ? ? Mi? Mi ? 01.力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。 2.平面任意力系向平面内任选一点O 简化，一般情况下，可得一 个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即n n n? ? ? Fi ? ? Fx i ? ? Fy j FRi ?1 i ?1 i ?1作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩， 即n nM O ? ? M O ( Fi ) ? ? ( xi Fyi ? yi Fxi )i ?1 i ?13.平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。 主 矢 主 矩 MO = 0 MO≠0 MO ≠0 MO = 0 合成结果 合 合 力 平 力 力 偶 衡 说 明′≠ 0 FR ′= 0 FR此力为原力系的合力，合力的作用线 通过简化中心。 合力作用线离简化中心的距离 d ?MO ? FR此力偶为原力系的合力偶，在这种情 况下主矩与简化中心的位置无关。4.平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一 点的主矩都等于零，即：? ? ? Fi ? 0 FR M O ? ? M O (F ) ? 05、平面任意力系平衡方程的形式基本形式? Fx ? 0, ? Fy ? 0, ? M A ( F ) ? 0二力矩式? Fx ? 0, ? M A (F ) ? 0, ? M B (F ) ? 0（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）三力矩式? M A (F ) ? 0, ? M B (F ) ? 0, ? M C (F ) ? 0（A、B、C 三点不得共线）6.其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：力 系 名 称 共线力系 平面力偶系 平面汇交力系 平面平行力系 平 衡 方 程 独立方程的数目 1 1 2 2? Fi ? 0 ? Mi ? 0? Fxi ? 0 ? Fyi ? 0? Fi ? 0 ? M O ( Fi ) ? 07.桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法： ★ 节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力 系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力 的数目不宜多于2个。 ★ 截面法 ：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其 中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截 割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多 于3。
例题9 无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个 球重 P、半径 r ，圆桶半径 R 。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至 翻倒的最小重量 G min 。 分析：考虑翻倒的临界情况，GminB P D此时 G = Gmin 。圆桶除了与光滑 面的接触点外，都不受力。 C A P解法1：分别以两个球和圆桶 为研究对象。 （1）以两球为对象，? FCCBP DA PN? FDGmin C? ? FCR? ? FDD OaE设 BE = a ，AE = b = 2 ( R - r )bR∑M A ( F ) = 0,FD a － P b = 0DO = BE = a （2）以桶为对象，→ FD = P b／a∑ MO ( F ) = 0， FD′a － Gmin R = 0 Gmin = FD′a ／ R = P b ／ R G min = 2P ( 1 － r／R )? FCCBP D? FDGminA PNBP D PC AP P N O R解法2：（1）以两个球为研究对象 ∑Y = 0， N － P － P = 0 （2）以整体为研究对象 ∑MO ( F ) = 0， (N －P)(2R － r) － Gmin R －Pr = 0 → N = 2PGmin1 ? (2 P ? P)( 2 R ? r ) ? P r RGminr ? 2 P(1 ? ) R解法3：临界状态时，显然作用在桶上的 Gmin 和 R 组成一力偶，以整体为 研究对象可以知道作用在球上的 P 和 P、N 组成另一个力偶。Gmin BC A P P N P P D? M ? 0,GminGmin R ? P ? 2( R ? r ) ? 0O Rr ? 2 P(1 ? ) R
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