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如何确定单调区间的分界点
摘　要:教学实践表明：在我们学过函数的单调性之后，利用函数的图象与单词性的定义去判断或证明某函数在指定区间上的单调性是一件很容易的事情，可是当我们对一个函数的图象不太熟悉的时候，要想求得单调区间就普遍感到有点为难——难在寻找分界点．下面我们将通过两个具体的例子来说明如何确定函数单调区间的分界点，并期望它对同学们的学习有所帮助。
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＞＞＞设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图..
设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．（1）写出函数y=g（x）的解析式；（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围；（3）把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，函数F（x）=2a1-h（x）-a2-2h（x）+a-h（x），（a＞0，且a≠1）在[14，4]的最大值为54，求a的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（本小题满分12分）（1）设点Q的坐标为（x'，y'），则x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．∵点P（x，y）在函数y=loga（x-3a）图象上∴-y'=loga（x'+2a-3a），即y′=loga1x′-a∴g(x)=loga1x-a（2）由题意x∈[a+2，a+3]，则x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，1x-a=1(a+2)-a＞0．又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga1x-a|=|loga(x2-4ax+3a2)|∵|f（x）-g（x）|≤1∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1，r（x）=x2-4ax+3a2对称轴为x=2a∵0＜a＜1∴a+2＞2a，则r（x）=x2-4ax+3a2在[a+2，a+3]上为增函数，∴函数u(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2，a+3]上为减函数，从而[u（x）]max=u（a+2）=loga（4-4a）．[u（x）]min=u（a+3）=loga（9-6a），又0＜a＜1，则loga(9-6a)≥-1loga(4-4a)≤1∴0＜a≤9-5712（3）由（1）知g(x)=loga1x-a，而把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，则h(x)=loga1x=-logax，∴F(x)=2a1-h(x)-a2-2h(x)+a-h(x)=2a1+logax-a2+2logax+alogax=2ax-a2x2+x，即F（x）=-a2x2+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的对称轴为x=2a+12a2，又在[14，4]的最大值为54，①令2a+12a2＜14=>a2-4a-2＞0=>a＜2-6(舍去)或a＞2+6；此时F（x）在[14，4]上递减，∴F（x）的最大值为F(14)=54=>-116a2+14(2a+1)=54=>a2-8a+16=0=>a=4?(2+6，+∞)，此时无解；②令2a+12a2＞4=>8a2-2a-1＜0=>-14＜a＜12，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜12；此时F（x）在[14，4]上递增，∴F（x）的最大值为F(4)=54=>-16a2+8a+4=54=>a=1±424，又0＜a＜12，∴无解；③令14≤2a+12a2≤4=>a2-4a-2≤08a2-2a-1≥0=>2-6≤a≤2+6a≤-14或a≥12且a＞0，且a≠1∴12≤a≤2+6且a≠1，此时F（x）的最大值为F(2a+12a2)=54=>-a2(2a+1)24a4+(2a+1)22a2=54=>(2a+1)24a2=54=>a2-4a-1=0，解得：a=2±5，又12≤a≤2+6且a≠1，∴a=2+5；综上，a的值为2+5．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数图象，函数解析式的求解及其常用方法，绝对值不等式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性函数图象函数解析式的求解及其常用方法绝对值不等式
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|定义：
点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。 函数图像的画法：
（1）描点法： 一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。 （2）用函数的性质画图 一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。 （3）通过图像变换画图 （一）平移变化： Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到； Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到． （二）对称变换： Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到； Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到； Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到； Ⅳ函数y=f-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．
函数图像的判断：
这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。 常用结论：（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。&&函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 绝对值不等式：
当a&0时，有；或x＜-a 。绝对值不等式的解法：
&&&&&&&&&& (4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法去绝对值符号求解，也可以用图象法求解。
发现相似题
与“设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图..”考查相似的试题有：
839945471426408552781446827836553076文档分类：
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文档介绍：
?的图像可能为() 思路:观察 4 个选项的图像,其中 A,B 图像关于 y 轴对称, C,D 图像关于原点中心对称。所以先判断函数奇偶性, 可判断出?????? 1
x x x x f x x
??????????
? ??所以?? f
x 为奇函数, 排除 A,B, 再观察 C,D 的区别之一就是?? f?的符号, 经过计算可得?? 1
?, 所以排除 C 答案: D例6: 已知?? 21 sin
x 的导函数,则?? f
x ?的图像是() 思路: ?? 2
?,?? 1 '
?,可判断??' f
x 为奇函数,图像关于原点中心对称,排除, B D 。因为' 1
2 6 6 2 6 f ?
??? ??????
??,排除C 。故 A 正确。答案: A 小炼有话说:??'1 sin 2 f
?可优先判断出奇偶性,进而排除一些选项,对于, A C 选项而言, 其不同之处有两点, 一点是从 0x?处开始的??' f
x 符号, 解析的思路也源于此, 但需要代入特殊角进行判断,A 选项的图中发现在 x 轴正半轴中靠近 y 轴的函数值小于零, 从而选择最接近 0 的特殊角 6 ?,除此之外, , A C 图像的不同之处还在于从 0x?开始时??' f
x 的单调性, 所以也可对??' f
x 求导,??''1 cos 2 f
x ? ?,则 0,3 x ??
?时,??''0 f
x ?,即??' f
x 应先减再增。所以排除 C 例7: 下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像, 其中一定不正确..... 的序号是() A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④思路:如图所示:在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的,即单调增区间导数大于零, 单调减区间上导数小于零;在③中显示在区间?? 0,b 上导函数的值为负值,而该区间上的函数图象显示不单调,二者不一致,所以③不正确;在④图象显示在区间??, a b 上导函数的值总为正数,而相应区间上的函数图象却显示为减函数,二者相矛盾,所以不正确. 故选 B. 答案: B 小炼有话说:要注意导函数图像与原函数图像的联系:导函数的符号与原函数的单调性相对应,导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。例8 :已知 R 上可导函数?? f
x 的图象如图所示,则不等式???? 2
? ?的解集为()A.????,
1, ??? ??? B.????,
1, 2 ???? C.??????,
1, 0 2, ??? ????
? D.??????,
1,1 3, ??? ????
?思路: 由图像可得:????,
1 , 1, x ??????时,??'0 f
x ?,?? 1,1 x ??时,??'0 f
x ?, 所以所解不等式为: ?? 2' 2
???????或?? 2' 2
???????,可得: ??????,
1,1 3, ??? ????
?答案: D例9 :函数?? 3
x x bx cx d ?
???的大致图象如图所示,则 2
x ?等于() A.89 B.109 C.169 D.45 思路:由图像可得: 1
x 的极值点, 1,
x x ?? ??为函数的零点??'
x 是方程 2 3
??的两个根, 1
2 3 c x x ?,?? 22 2
2 1 2 1 2 4
x x x x x ? ??????, 由?????? 1
8 4 2 0 2 0
d f ? ??? ???????
2 1 2 1 2 4
x x x x x ? ???????答案: C 小炼有话说:在观察一个函数图像时,有几个地方值得关注: 极值点——单调区间的分界点,导函数的零点; 零点——函数符号的分界点; 单调性——决定导函数的符号。例 10:( 2015 安徽)函数???? 2 ax
c ???的图像如图所示, 则下列结论成立的是() A. 0,
内容来自淘豆网转载请标明出处.图像是
定义在[-5,5]上的函数y=f(x)
1.单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
同样是这图
但是有的答案是
2.单调区间有(-5,-2),(-2,1),(1,3),(3,5)
还有一题是没有限定定义域[-5,5]
3
图像是
定义在[-5,5]上的函数y=f(x)
1.单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
同样是这图
但是有的答案是
2.单调区间有(-5,-2),(-2,1),(1,3),(3,5)
还有一题是没有限定定义域[-5,5]
3.单调区间有(-∞,0],[0,2],[2,4],[4,-∞)
我的问题就是
比如第1，2两个答案区别就是开闭区间不同，那到底哪个对？
还有如答案3，无穷大取开区间我能理解，但是其他都是闭区间又不同于1，2两个答案，这是为什么?
如果是高考的话，我应该选择哪种写法？
<img onerror="imgDelByClass('comimg_box');" class="piczoom mpic" alt="图像是
定……" src="/fimg//97/33/1/7087358.jpg_240.jpg" data-artzoom-show="/fimg//97/33/1/7087358.jpg_516.jpg" data-artzoom-source="/fimg//97/33/1/7087358.jpg_516.jpg"/>
你所问的问题，归结起来说，单调区间是否包括端点。
由于函数的单调性存在于区间上，而不存在于点上，
所以我认为单调区间是否包括端点无所谓，
即：某函数“在(a,b)上单调递增”与“在[a,b]上单调递增”、“在[a,b)上单调递增”都具有相同意义。
其他答案（共1个回答）
在增减区间的分界点处，如果函数相关信息向量的发展起源是什么？双无限序列的定义是什么？希望能看得出来,钱不是问题希望能看得出来...信息的主要特点是什么？大家帮忙看看能算出闺女小子吗？孩子几斤会算的看下如题，帮忙算下有几个是猴妈妈我是92属猴，本身小时候超...俄罗斯方块的游戏规则有哪些呢？有16年产完的宝妈须产多少破多少费用。能...女儿三年级数学题，各宝妈试下做小倩和小茜....弦长公式函数左导数1光年=m初二数学题百分数%A有定义，则写开、闭都可以，否则只能写开，比如y=1/x的减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).考试时,1,2两题的写法都对.3.单调区间有(-∞,0],[0,2],[2,4],[4,+∞)也可以写成(-∞,0),(0,2),(2,4),(4,-∞),为了表明函数在0,2,4处有定义,也可以在这三处保留一个中括号,如[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],至于-5,5处写成闭闭,而不写成开,是为了表明函数上午定义域是[-5,5]不知(-1,4),(0,0),(1.3),(2,4),(4,0),(5,5)连接和(-5,2),(-2,-2),(-1,0),(0,2),(1,5/2),(3,3/2),(5,2)连接中的"连接"何意,但我想根据前面的阐述,你已经能正确写增减区间了.
用导数判断函数单调区间是以导数为根本依据的，只要该点导数存在，就可以由导数的正负判断单调属性，并且最终可以写成闭区间形式；如果该点函数有定义，导数没定义，则不能...
请你点击下面附件：
x不等于5就说明函数不能在直线x=5上取点，y不等于0说明函数不能在x轴上取点，把这俩合二为一就是函数不能取点（5,0），然后可以画点（-3，-1）到点（5,0...
f(5/2).3/2*f(5/2)=5/2*f(3/2).1/2*f(3/2)=3/2*f(1/2).-/2*f(1/2)=1/2*f(-1/2).函数f(x)...
答: 前段时候我15岁孩子后脑勺被一串钥匙击一下后觉翁下，现觉得他各科成绩直线下降和那一击有关吗 ，（因之前一直优秀，）麻烦知情人了谢谢！
答: 我可以给你提供个想法，仅供参考咯~！可以从培训人才和被培训人才的数据比例来说明拉，很有说服力哦~！祝你好运！
答: 小学科学教案|小学科学教案下载 21世纪教育网
答: 请说的明白点啊，你是要什么性质考试的啊，自考？成考？普通？
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