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希尔伯特问题
导读：在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念，数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷，希尔伯特第十问题是不可解的，Hilbert(希尔伯特)把这个问题列入了著名问题的名单中，D．希尔伯特(Hilbert)表彰了他在集合论基础方面的成果，并运用它解决了康托尔的良序问题，1900年前后人们发现了集合论还存在严重的基础问题，这正是策梅罗所面临斗。
“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼()观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
“千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
“千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
“千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
注1、关于连续统假设 continuum hypothesis 集合论的创建者Cantor(康托尔，)惊人的创造了超限基数与超限序数。对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。对于无穷的集合，要引进新的基数。自然数集合的基数用(阿列夫0)表示。
集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴度。可列集的基数通常记作(阿列夫0)，用a表示。与实数集R1对等的集的基数又称为连续基数或连续势，用c表示。Cantor还定义了两个基数的和、乘积和乘幂，其中a^a=c，c^a=c。诸无限集所具有的基数远非仅仅a与c。
下一个便是序数的概念。Cantor抽象地来引进这个概念。一个集合叫做全序的(simply ordered)，假如它的任何两个元素都有一个确定的顺序；即若给定m1与m2，则或者是m1前于m2，或者是m2前于m1；记号表示：m1〈m2或m2〈m1。再则，若m1〈m2与m2〈m3，则m1〈m3，即这顺序关系有传递性。一个全序集M的序数是这个集合的顺序的序型。两个全序集称为是相似的，假如它们是一一对应而且保留顺序，即若m1对应于n1，m2对应于n2，而m1〈m2，则必n1〈n2。两个相似的集合叫做有相同的序型或序数。作为全序集的例子，我们可用任一有限数集合并按任何给定的顺序排列。对于有限集，不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。正整数集合按它们的自然顺序，其序数用w表示。另一方面，按递减顺序的正整数集合 ……，4，3，2，1 的序数用*w表示。正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为 *w+w。
接着Cantor定义序数的加与乘。两个序数的和是第一个全序集的序数加第二个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个最初的正整数所构成的集合，即1，2，3，……，1，2，3，4，5，其序数为w+5。序数的相等与不相等，也可以很显然地给出定义。
现在他引进超限序数的整个集合，这在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。为了引进这些新的序数，他把全序集限制在良序集(well-ordered)的范围之内。一个全序集叫做良序集，假如它有为首的元素，并且它的每一个子集也有为首的元素。序数与基数都存在着级别。第一级是所有的有限序数：1，2，3，…… 我们用Z1表示上述第一级序数。在第二级的序数是：w，w+1，w+2，……，2w，2w+1，……，3w，3w+1，……，w^2，……，w^3，……，w^n,…… 我们用Z2表示，其中每一个都是基数为(阿列夫0)的集合的序数。Z2，作为上述序数构成的集合，应有一个基数。这个集合是不可列的，从而Cantor引进一个新的基数(阿列夫1)作为集合Z2的基数。接着证明(阿列夫1)为(阿列夫0)的后继的基数。第三级的序数用Z3表示，它们是：Q，Q+1，Q+2，……，Q+Q，…… 这些是良序集中基数为(阿列夫1)的集合的序数。而Z3这个序数的集合的基数大于(阿列夫1)，Cantor用(阿列夫2)来表示它的基数。这个序数与基数的级别可以无穷无尽的这样继续下去。
1883年，Cantor已经证明，对于给定的任一集合，总可以构造一个新的集合，即所给集合的所有子集构成的集合，使其基数大于所给集合的基数。如果给定集合的基数是(阿列夫0)，则其全部子集构成的集合具有基数2^(阿列夫0)。Cantor已经证明2^(阿列夫0)=c，这个c就是连续统的基数。另一方面，他通过序数引进了(阿列夫1)，并证明(阿列夫1)是(阿列夫0)的后继者。于是(阿列夫1)<=c。至于(阿列夫1)=c是否成立，即连续统假设(continuum hypothesis)是否成立，Cantor不管怎样刻苦努力，也不能回答。
在1900年的国际数学学会上，Hilbert(希尔伯特)把这个问题列入了著名问题的名单中。
这个假设事实上相对于集合论的公理系[即Zermelo-Fraenkel(策梅洛-弗伦克尔ZF)公理系]是独立的，要从后者推出前者是不可能的。 1940年，在《选择公理和广义连续统假设二者与集合论公理的相容性》(The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory)中，Godel(哥德尔)证明了，连续统假设与ZFC系统(除去选择公理，即Zermelo(注2)公理：对于给定的非空且不相交的集合的任何一个总体，总可以在每一集合中选取一个元素，从而构成一个新的集合。)合在一起也是相容的。1963年，斯坦福(Stanford)大学的数学教授Paul J.Cohen证明了，连续统假设对于ZFC系统是独立的；就是说，它是不能以这个系统为基础去证明的。还有，即使把选择公理保留在ZFC系统中，连续统假设也还是不能证明的。这些结果意味着，我们可以随意去构造数学的新系统，在其中这条有争议的公理被否定了。
注2 策梅罗Zermelo 策梅罗，E．F．F．(Zermelo，Ernst Friedrich Fer-dinand)1871 年7 月27 日生于德国柏林；1953 年5 月21 日卒于德国弗赖堡。
策梅罗的父亲是一位大学教授。策梅罗从小在柏林读书。1889 年大学毕业后，在柏林、哈雷、弗赖堡等地钻研数学、物理和哲学，1894 年策梅罗在柏林获得了博士学位，其博士论文为“变分演算的探索”(Untersuchungen zur variationsrechnung)。此后，他去格丁根，向格丁根大学提交的授课的资格论文为：“关于球面上旋转运动的流体力学研究”(Hydrodynamische Untersuchungen überdie Wirbetbewegungen in einer kugelfl?che，1902)。
1899 年策梅罗执教于格丁根大学，讲授集合论课程，并深入地研究了G．康托尔(Cantor)的集合论，1904 年发表了论文“每一集合都能够被良序地证明”(Beweis，dass jede Menge Wohlgeordnet WerdenKann)。1905 年12 月，他被格丁根大学任命为教授。1908 年他发表了“集合论基础I”(Untersuchungen über die Grundlagen derMengenlehre I)的论文。1910 年他在苏黎世任教授职位，1916 年他因健康不佳辞职了。策梅罗离开格丁根一年之后，D．希尔伯特(Hilbert)表彰了他在集合论基础方面的成果，并从他创办的沃尔夫斯可尔(Wolfskehl)基金的利息中奖给策梅罗5000 马克，这也促使他的健康得到了恢复。
从1916 年至1926 年，策梅罗一直住在黑林山。1926 年他被聘为弗赖堡大学荣誉教授。1935 年他因驳斥希特勒的统治制度，与学校失去了联系。第二次世界大战后，他要求复职，1946 年被该校确认。
策梅罗对物理和数学应用一直有浓厚的兴趣，在变分法、气体运动学等方面他都有研究结果。策梅罗在关于变分演算的论文中，他扩充了K．W．T．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的关于在一类曲线上积分值的方法，其中被积函数具有任意的高阶导数。同时，他还给出了一种在曲面空间中邻域概念的精确定义。他长期致力于变分演算的研究和教学。1904 年他与H．霍恩(Hahn)一起为《数学百科全书》(Encyklop?die der mathematischen Wissenscha-ften)写了一篇有关变分演算进展的报告。1929 年他还撰写了关于航空方面的研究论文。1929 年策梅罗撰写了关于体育锦标赛各方力量计算方法的文章，这种方法曾被用于国际象棋比赛。1933 年他撰写了“关于椭圆截面的中心”(Uber die Bruchlimienzentrierter Ovale)的论文。
然而，策梅罗的主要贡献在集合论基础，他首先提出了选择公理，并运用它解决了康托尔的良序问题，证明了良序定理。他还是公理集合论的主要开创者之一。
集合论是康托尔于19 世纪后30 年内创立的一门研究无穷对象的数学理论。康托尔对这一领域的主要概念与定理都作了正确的表述与证明。他采用了新的推理方法，成功地使用了无穷推理。集合论不仅为实数系与微积分奠定坚实的基础，而且对整个数学的发展起了推动作用，形成了现代数学的起点。然而，1900 年前后人们发现了集合论还存在严重的基础问题，这正是策梅罗所面临的问题。
1899 年，策梅罗在格丁根大学任教，他深受希尔伯特及其学派的影响，他从数学物理和统计力学转向了数学基础。正如30 年后，他在他的履历表中所说：“30 年前，当时我是格丁根大学的一名无薪水的讲师(privatdozent)，我深受希尔伯特的影响。他对我的数学发展的影响，我怀有最大的谢意。作为一个结果，我开始去研究数学基础，特别是康托尔集合论的基础。我通过在格丁根的数学家们的丰富的合作的成果懂得了它的真正的意义”。
1899 年，希尔伯特研究欧几里得空间的纯粹的形式公理化，并出版了《几何基础》(Grundlagen der Geometrie，1899)一书，接着，希尔伯特又在研究实数系统的协调性。与此同时，策梅罗发现了一个悖论，这就是后来的罗素悖论。其实他比B．罗素(Russel)早两年就发现了它，并且告诉了希尔伯特。1903 年希尔伯特曾写信给G．弗雷格(Frege)，说在三、四年前策梅罗已经发现了这个悖论。虽然策梅罗并未发表这一悖论，但他曾同哲学家E．胡塞尔(Husserl)讨论过它，并指出：含有它的所有子集合所组合的集合作为元素的集合(例如所有集合所组合的集合)这本身就是一个矛盾。对于这一悖论表示沉默，不去发表它，而不是由它恐吓集合论，这标志着策梅罗对集合论的基本态度与罗素有着重要的区别。
在 年的冬季学期，策梅罗第一次讲授集合论课程。他的讲义的第7 节是关于集合的比较。这一节的部分内容是关于无穷基数的加法，他很快就发表了它，并且于1901 年3 月9 日由希尔伯特在格丁根科学院作了介绍。策梅罗的这篇论文已经直接与间接地使用了任意的选择。这种使用使他获得了可数多基数的和集合是良定义的。
1904 年8 月，策梅罗在发现了J．柯尼希(K?nig)试图反证连续统假设中的一个疵瑕，他把注意力转向了良序问题。当策梅罗与E．施密特(Schmidt)交谈时，他的思路变得具体化了。9 月24 日他完成了他的证明，并送给了希尔伯特。很快他的题为“每一集合都能够被良序地证明”的论文就发表了。策梅罗的这一论文解决了当时人们期待已久的一个重大问题。因为，任意两个无穷集合能否比较大小，这是集合论的一个根本问题。为了回答这一问题，康托尔建立了良序集合的概念，它不仅是一全序(任意两个元素都可以比较大小)，而且这一集合的任一子集合都有关于这一全序的首元素(最小元素)。一切良序集合都是可比较的。因之，如果每一集合都能够被良序，那么一切集合都是可比较的了。康托尔1883 年在“关于无穷线性点集合(5)”(über unendliche，li-neare Punktmannigfaltigkeiten 5)中指出：“良序集合这一概念对于全部集合论是根本的。每一确定的集合总可以作成一个良序集合，我认为这是一个带有根本性的，内容丰富的，由于其普遍有效而特别值得注意的思维规律。我将在以后的一篇论文里讲到它。”康托尔没有能履行他的诺言，他一直没有给出这一问题的数学证明。
1900 年希尔伯特在巴黎国际数学家大会上的讲演“数学问题”(Mathematiche probleme)中所提出的23 个未解决的问题，第一个就是康托尔的连续统猜想和良序问题，他称每一集合都能被良序为康托尔的另一个值得重视的命题。他说：“我感到迫切需要的是，对康托尔这一值得注意的命题作出直接的证明。”4 年之后，策梅罗作出了这一证明，建立了良序定理：每一集合都是能被良序的。从而解决了康托尔的关于任意两个无穷集合都是可以比较的这一集合论的根本问题。这就是前边已经提到的策梅罗1904 年的那篇论文的主要结果。
在这一论文中，为了证明良序定理，他陈述了一条重要原则，并称之为选择公理(文献中人们也称之为策梅罗公理)。关于这一公理，虽然在19 世纪人们已开始注意到它了，但是，对它并没有一个清晰的概念，也未能发现它的重大价值。比如，1890 年G．皮亚诺(Peano)在证明常微分方程解的存在性定理时，曾用到了它。他给出了不够清晰的陈述，还对它提出了怀疑。而策梅罗的陈述是清晰的、严谨的、合乎现代术语的，尤其用它解决了康托尔提出又经希尔伯特所强调的良序问题，显示了它的重大价值。一方面引起了人们对选择公理的广泛注意，同时也引起一些著名数学家比如E．波莱尔(Borel)，H．勒贝格(Lebegue)，R．贝尔(Baire)关于无穷特别是关于不可数无穷的任意选择的可接受性的争论。这种争论一直延续到现在还在学者中激烈地进行着。
从数学发展史来看，选择公理是平行公理之外，最引人注意的一条数学公理。赞成它的，怀疑它的，反对它的论点都有市场，而且各方面都开展了研究，获得了许多重要的结果，发现了一系列等价形式，其中一些结果在数学的论证中几乎是不可缺少的。虽然如此，至今选择公理是否具备了充当数学公理的资格，仍无定论。选择公理是怎样一个数学命题呢？它的产生和影响如何呢？
策梅罗对于良序定理的证明是从任一不空集合M 出发，建立M 的一良序，令S 是M 的所有非空子集合M'所组成的集合，他第一次明确地陈述了后来称之为选择公理的原则：“对于每一子集合M'，人们伴随一个在M'中出现的元素m'，并且可以称之为M'的特征元素”。换句话说，策梅罗假定了存在一个函数r：S→M，使得对于S 中的每一M'都有r(M')∈M'。对于函数的上述记法在康托尔1895 年的《超穷数理论基础文集I》(Beitrüge zurBegründndung der transfintenMengenlehre I)中已经有了。策梅罗采用它描述一函数r：S→M，作为一特殊种类的覆盖而由公理给出。接着，他指出：“这些覆盖r 的数目等于积Πm(上述所有非空子集合M'，其势为m')，所以在任何情况下都不等于0。对于其中任一覆盖都是可以考虑的，并且，从它就能得到M 的元素的一个确定的良序”。作为1904 年论文的结束语，策梅罗又详细地讨论了这一公理。他指出：“前边的证明基于覆盖r 总是存在的，所以，根据这个原则，对于不空集合的无穷总体总存在一映射，根据它每一集合都对应于它的元素之一，或者，形式地说，集合的无穷总体(其中任一个都含有至少一个元素)的积不等于空集合。的确，这一逻辑的原则不能够归约到更简单的原则，但是在数学的推演中到处都是毫不踌躇地运用它。”
策梅罗1904 年论文中的函数r，现在统称为选择函数，他的公理就可以归结为不空集合的选择函数总是存在的。当M 为无穷集合并可以具有任意给定的基数时，它的元素也是一些无穷集合(它们也可具有任意基数)，选择函数就是对M 的元素按统一的方法在其中分别再选择出“特征”元素。这样，策梅罗的论述本身就产生了一些方法论问题。
第一，怎样借助于M 的总体去定义一个合法的集合(即选择函数)呢？ 第二，它是一条逻辑原则吗？ 第三，最重要的，选择公理是否有效呢？
对于这些问题，很快就在法国、德国、英国，意大利展开了广泛的争论，人们发表了不同的见解。策梅罗本人在他的书信与论文中又作了进一步的论证。1907 年夏季，策梅罗清理人们对他的公理与良序定理证明的批评意见，认识到了人们对它们的误解，为了避免主观性和错误的解释，他又写了在多方面相互联系的两篇论文，每篇都是在16 天之内完成的。第一篇论文回答人们对他的批评，并给出了良序定理的一个新的证明。第二篇论文给出了集合论的第一个公理系统，人们称之为策梅罗系统，并记做系统Z。
策梅罗在文献[4]中给出7 条公理，他相信它们是相互独立的，而且他承认他自己不能证明它的协调性。这7 条公理是：
Ⅰ、决定性公理(外延公理)：每一集合都是由它的元素所决定的。 Ⅱ、初等集合公理(空集公理、单元素公理、对集公理)：存在一个没有元素的集合，并称它为空集合；对于对象域中的任意元素a 与b，存在集合{a}和{a，b}。 包含总结汇报、计划方案、出国留学、农林牧渔、外语学习、IT计算机、求职职场、表格模板、初中教育以及希尔伯特问题等内容。本文共3页
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2亿+学生的选择
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证明任何势少于自然数的集合称为有限集合.假设选择公理成立,三分法就会成立于所有的势中,所以可以有以下的定义.任何势少于自然数的集合称为有限集合.任何势和自然数一样的集合称为可数无限集合.任何势大于自然数的集合称为不可数集合.哪位大神可以证明一下啊.这三个定义为什么成立
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这是无限集合比较大小,需要用到势的概念.\r\n整数集A与自然数集B的元素之间存在一一对应的关系,如下:\r\n0 对应 1\r\n1 对应 2\r\n-1 对应 3\r\n2 对应 4\r\n-2 对应 5\r\n...\r\nn 对应 2n\r\n-n 对应 2n+1\r\n...\r\n \r\n因此,A和B等势.\r\n所以两个集合的元素个数相同.
利用势来比较无限集合的大小我知道。可是怎么证明为什么势少于自然数的集合称为有限集合呢？
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时间: September 21, 2017
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根据中华人民共和国教育部官网消息，教育部、财政部、国家发展改革委联合发布了《教育部 财政部 国家发展改革委关于公布世界一流大学和一流学科建设高校及建设学科名单的通知》，该通知附件中公布了世界一流大学和一流学科（简称&双一流&）建设高校及建设学科名单。
&双一流&建设学科名单中，数学作为建设学科的学校一共有14所，均没有添加&自定&标示。按文件中的说法，说明所有以数学学科为&双一流&建设学科的学校均为&根据&双一流&建设专家委员会确定的标准而认定的学科&。（注，有&自定&标示的学科为&&双一流&建设专家委员会建议由高校自主确定的学科&）
这14所以数学学科为&双一流&建设学科的学校是（以学校编码为序）：北京大学、清华大学、北京师范大学、首都师范大学、南开大学、吉林大学、东北师范大学、复旦大学、上海交通大学、中国科学技术大学、山东大学、中南大学、中山大学、四川大学。
我们哆嗒数学网的小编注意到，一般人们认为的数学强校没有出现在这14所大学的名单中，比如浙江大学、南京大学、武汉大学、华东师范大学等。
同时，也应该注意到进入&双一流&的名单不意味着这些学校的学科已经成为&一流&。是否成为&世界一流&取决于未来该学校的建设和努力。
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时间: September 8, 2017
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下面的笑话可能会引起部分读者的不适，不喜勿入。
先来几个复变函数的笑话。
你好，您拨打的电话号码是imaginary的，请将您手机旋转90度再拨。
如果J表示一个笑话，那么P+iJ就是一个非常非常冷的complex笑话。
&&你没觉得好笑，是因为笑话J在imaginary part .
&和i是一对恋人，&总对i说：&你现实点吧！&，i总是回应：&你怎么就不讲道理！&
为什么数学家都把他家的狗取名叫柯西？
&&因为它们总会在每个pole周围留下residue.
再来几个是关于log(对数？木头？)的故事，注意国外一些书中的log和中文教科书的ln是一个意思。
1/carbin 求不定积分是什么？
log carbin !
&&不，你忘了加一个常数C！
一位数学家落水了，会怎么呼救？
他会说： log log log log log...&
这才是真正的Jordan标准型，其他的都是冒牌货！
是的，没有什么比2n+1更odd了。
为什么数学家会把万圣节和圣诞节搞混？
因为 OCT 31 = DEC 25.
你是说polar bear？就是经过坐标变换会变成直角的熊？
&Thare are five mistukes im this centence&&真的，还是假的？&
一根绳子看见了一位漂亮的小姐姐，上前搭讪。
&嗨，美女我们能加个微信吗？&
绳子觉得是自己的颜值问题，于是认真打扮了一番。他将自己打了一个结，并且磨破绳子的一端。
绳子又找到那位小姐姐。
&你好！......&
&怎么又是你，又来干嘛！&
&不不不，I&m a frayed knot! (I&m afraid not!)...&
耶稣为担我们的sin而死，那么有人会为了我们的cos和tan而死吗？
好吧！最后大家算算体积，就是你喜欢的Pizza！
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时间: August 24, 2017
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数学世界里有很多著名的难题，比如歌德巴赫猜想。歌德巴赫猜想作为一个世界难题之所以著名，是因为问题本身太容易表达了，表达出来后，一个小学生都能看懂。如果，把这个样的问题放在教材课后的习题部分，不知道能坑掉多少脑细胞。
然而，数学就是这么神奇，一些数学问题的表述非常简单，简单得就像课后的习题一样。但要解决他们非常困难。就像他们故意伪装成课后习题似的。下面的10个问题大概就是这样的问题。他们的表述非常简单，普通大二的理工科学生都能看懂，但至今无人能解决。
第十名&&数一数，素数和合数到底有多少的问题
习题伪装指数：☆
如果学过初等数论，我们由素数定理可以简单的认为素数在自然数中的密度为零。那么我乱扔一个其他形式的一堆自然数，其中素数的密度也是零吗？
问题：形如2^n+5的自然数几乎都是合数。( 2^n表示2的n次方，几乎的意思是指密度为1 )
好吧，看懂这个似乎要至少学过初等数论。但是不是所有理工科的朋友都学过这门课。但这个问题真的很难，至今不知道怎么解决。
第九名&&看上去是线性代数中找几组基的问题
习题伪装指数：★
线性代数相信大多数理工科的朋友都会学习。我相信，对线性空间这个名词并不陌生。对于n维线性空间，任意n个线性无关的向量都能组成该空间的一个基。现在，我们有B1,B2,...,Bi,...,Bn这n个向量组（wiki上要求两两不交，其实不要求也可以），每个向量组有n个向量，这些向量组都构成n维线性空间的一个基。于是这里，有n&n个向量。现在，把这个n&n个向量排成一个n&n矩阵，矩阵的第i行的n个元素，正好是Bi中的n个元素（这一行的顺序无所谓）。
问题：对任意给定的n个基，有没有一种排列办法，满足上述条件，而且矩阵中的每一列的n个向量都构成线性空间的一个基。
这个叫做罗塔基猜想，由罗塔在1989年提出。这其实是一个披着线性代数外衣的组合问题。这里只是提到它的线性代数版本，还有别的版本，比如流形版本。
第八名 &一个忧伤故事引发的数学难题
习题伪装指数：★☆
一个忧伤的故事，有n个人(n&1)在半径为1千米的圆形跑道上匀速的跑圈，没有人静止不动（即速度大于0）。他们出发点相同，行走的方向相同，但没有任何两个人速度是相同的（就是说，n个人的速度两两不同）。跑道上的人感情很脆弱，当一个人和其他每个人的距离都大于等于1/n千米的时候，这个人会觉得自己很孤独。
问题：请证明对任意n，跑道上的人每一个人，都有孤独的时候！
这叫做孤独的跑者问题。这个问题非常难，目前的情况是，有人证明了n&7的时候，命题成立。另外，陶哲轩证明了，对任意的n，只需要验证有限多种情况就可以判定命题是否成立。但就仅n=8的时候，那个分类的带来的计算量，已经不是地球上的计算机能处理的了。
第七名 &集合求并集，找元素的&小问题&
习题伪装指数：★★
关于集合的知识，我们在高中就学了不少了。一个集合也可以是另外一个集合的元素，比如集合{{2,3,4},{1,4,6,9},{1,2,3,4,6,9}},{2,3,4}就是它的一个元素。一个由集合为元素组成的集合我们称为集族。如果一个集族里面任意两个元素并起来，还是这个集族里的元素，我们就说这个集族对并集运算封闭(因为集族里的元素都是集合，于是可以做并集运算)。
问题：一个有限的集族，集族的每个元素也都是有限集合。如果它对并集运算封闭，且不是{&}，那么是否一定有个元素，这个元素属于集族里至少一半的集合。比如，前面举的集合例子，它是一个3个集合组成的集族，而元素2是第一个和第三个集合的元素，超过3的一半。
此问题由彼得&弗兰克尔在1979年提出，叫做并集封闭集族猜想。快40年了，没人解决。目前的情况是，人们解决了集合数量不超过46个的集族的情况，以及集族中最少元素不超过两个的情况，这些时候答案都是肯定的。
第六名 &&一个求极限的问题，判定出来的极限值是什么
习题伪装指数：★★☆
我们的很多读者一定做过这样的习题，就是证明 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...+ 1/n - ln(n) 在n&&的时候，极限是存在的。用的办法是单调有界原理。我们把这个极限用符号&表示，称作欧拉常数。
问题：判断欧拉常数&是有理数还是无理数。
我们知道他的近似值，0.53... ，2003年有人用从对它的连分数研究中得到结果是：如果欧拉常数是有理数，那么它的分母将超过10的242080次方。但是依然离判断出结果很远。
第五名 &貌似小学生都&知道&的有理数无理数问题
习题伪装指数：★★★
自然对数底e，圆周率&都是我们在中学里最常见的无理数。上了大学学习了高等数学或者数学分析后，我们有能力证明他们是无理数这件事情当然可能需要一些课外阅读)。但是我们对这两个数做四则运算后的结果，是有理数还是无理数却并不知道。
问题：判断e＋&和e&是有理数还是无理数。
这个问题似乎没看到希望。不过，你可以用韦达定理和e、&是超越数的事实，轻易的判断e＋&和e&不可能都是有理数。
第四名 &&好&简单&的级数敛散性判断&作业题&
习题伪装指数：★★★☆
我们在高等数学里学了很多种级数敛散性的方法。给一个看上去形式简单的级数，判断它收敛怎么看都是课后习题级别难度的问题。那么我们看看下面一个级数。
问题：上面的级数是否收敛？
这个问题其实是一个和&有关的数论问题。实际上很多看上去带sin的极限问题都是伪装成高等数学的超越数论问题，都和&有关系。
第三名&& 关于正整数乘乘除除的游戏
习题伪装指数：★★★★
我们来做一个游戏。给你一个正整数，如果它是偶数，我们把它除以2得到一个新的自然数，如果新的自然数还是偶数，继续除以2。这样一直除到他是奇数为止。对于这个奇数，我们把它乘以3再加上1，这样又得到一个偶数。我们再继续前面的操作&&只要是偶数就除以2，奇数就乘以3加上1。这样一直操作下去，我们会得到一个无穷长度的正整数序列。
问题： 对任意给定的初始正整数，按上面操作的得到序列最终会归于4,2,1,4,2,1,4,2,1,... 的循环？
这叫做考拉兹猜想，也叫3n+1猜想。有人把这个问题作出了推广，有了这个猜想的推广版本。已经证明推广版本的猜想是一个算法不可判定问题&&简单的说，不可能用计算机程序来证明推广版本的猜想。
第二名 & 把分数拆成分数单位的&小学奥数&题目
习题伪装指数：★★★★☆
我们小学就学习分数了。记得小学的奥数题目里，经常干一件事情，就是把一个分数拆成几个分数单位的和。下面的问题也和这个有关系。
问题：问题：对任意大于1的正整数n， 关于x,y,z的方程 4/n = 1/x + 1/y + 1/z , 是否都有正整数解？即4/n都能正好拆成三个分数单位的和。&
这个问题叫做埃尔德什-施特劳斯猜想，1948年提出，已经快70年了。注意到 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20 = 1/2 + 1/5 + 1/10，有两种写法。于是有人转而研究满足方程解的个数的规律（注意，如果有个n对应的解的个数是0，就否定了这个猜想）。2013年的结果是，解的个数相对于n的增长速度是不超过关于ln(n)的多项式级别的。
第一名 &非常简单&的不等式，但结果令人意外
习题伪装指数：★★★★★
诉说这个问题前，我们来看看这样两个函数。对于一个正整数n，我们把它所有的约数加起来，得到的正整数记为&(n)。比如24的约数为1,2,3,4,6,8,12,24，那么&(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60。 同样是正整数n，我们把不大于它的所有正整数的倒数加起来，记为H(n), 就是说H(n)=1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n . 比如H(3)= 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6 。 通过&(n)和H(n)我们构建如下的不等式：
问题：对所有正整数n，是否都有上面的不等式成立。
如果我告诉你这个不等式问题是很多数学家心目中在整个数学界最重要的猜想，你信吗？2002年，一位数学家证明了此不等式与大名鼎鼎的黎曼猜想等价。也就是说，证明了这个不等式，也就证明了黎曼猜想。而黎曼猜想在数学界的地位，大家自行百度吧，至今还有人悬赏100万美元征解。黎曼猜想的原始版本，需要有复变函数的学习背景才能看懂，但这个版本，估计中学生都能看懂了。
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时间: August 15, 2017
原文作者：Rebecca Hills-Duty。&
译文作者：Jessie仪，哆嗒数学网翻译组成员，就读于布里斯托大学。
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俄克拉荷马州立大学和佐治亚理工学院的数学家们正在尝试为生活带来一个不同的世界：通过创造一个虚拟现实空间来探索那些我们所熟知的规则无法实现的&另类几何学&
在我们平时所学的一般几何学中， 两条平行线永远以相同的距离延续，从来不可能靠近或者远离对方。然而在非欧几里得几何中，同样的平行线最终会相交，或者改变方向渐渐远离。
佐治亚理工学院的Eilsabetta Matsumato与俄克拉荷马州立大学的Henry Segerman日前正在研究一个叫做&双曲VR&的项目，该项目旨在共同努力来向大众科普双曲几何学&&一种两条平行线可以渐渐发散的非欧空间。Elisabetta Matsumato说：&你当然可以想象出这种现象，但是你很难切身感知它，直到你真正体验到了这种情况。&
在现在已经创造出的双曲世界中，使用者们除了四处走动以外，并没有太多可做的事。但是该团队正在计划在虚拟现实世界中创造双曲房屋以及街道，甚至建造一个非欧几里得版本的篮球。
在非欧空间中做体育运动并非一个新生事物，先前已经有一位伊利诺伊大学芝加哥分校的拓扑学家David Dumas在学生的帮助下制造了一个虚拟现实(VR) 壁球游戏。在此游戏中，在撞向不同的方向后球可以返回起始点。
Dumas说：&解决如何使用虚拟现实(VR) 作为一种研究工具现在才刚刚起步。&运用数学原理的可视化一直帮助良多，比如使用分形的视觉实现使人更好地理解潜在的数学世界。
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原文作者：Rebecca Hills-Duty。&
译文作者：Jessie仪，哆嗒数学网翻译组成员，就读于布里斯托大学。
时间: August 13, 2017
原文作者：Atheeta Ching，伦敦大学学院数理生态学博士。&
译文作者：radium，哆嗒数学网翻译组成员。
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编者按： 有一个故事，说下雨天，大家都拼命的在雨中跑。有一个人却慢慢的走，别人问他为何不跑，他说，你没看见前面也在下雨吗，跑有用吗？很多人都是把这人当笑话来看的，但是这篇文章告诉你，问题没那么简单！
很多事情都影响着我们的生活，其中一件事便是天气，特别是下雨天未带伞（或者我们懒于将伞从包里拿出来）时的窘迫。凭直觉就知道似乎奔跑就是最好的选择，或者至少我们走快一点，就可以少淋一些雨。但是这也意味着雨点会以更快的频率从正面打在我们身上。
所以，如何才能让雨点在我们衣服上画的地图的面积少一点呢？这个问题实际上在过去的几十年里被众多的专家或爱好者们讨论过，无论是数学杂志还是像《流言终结者》这样的科普电视节目（事实上他们关于这个问题做了两期节目，第二期是对它的更正）。
让我们从最简单的模型开始，想象雨点匀速竖直落下。在图中，你就是那个灰色的长方形（因为下雨让你的心情不好，灰色可以表达这点心情）。
同时我们也要假设雨点均匀降落，其次第二个假设是假设雨点只从人的头上落下，而不考虑打在身上的情况。在这种情况下，无论雨点下落的速度有多快，你最好的选择便是&跑&。跑的越快你在雨中所淋到的雨越少。
好了，现在我们考虑，如果雨点因为风的缘故以一个角度降落在你身上又会如何呢？对于这个问题我们将会介绍一些真正的数学。和前面一样，我们将假设雨速度为定值Vr均匀下落。
雨域是这个问题的一个很重要的概念。这个区域包含了所有将会淋到你身上的雨点的初始位置。假设你以s的速度运动，因此在二维图上你的速度可以表示为向量Vu=(s,0)，这使得你在雨中花费的时间为1/s。
在你身上取一个点P，在雨域取一点Q，在t时刻后在这一点上的雨点会淋到你身上。然后我们就可以得出出雨点会在Q + Vr&t这一点上淋在你身上。而你的原始位置P可以表示成为 P=Q + Vr&t & Vt&t。从而对于每一个你暴露在外可以淋到雨的位置P,对任意时间t&[0,1/s]，点P+(Vr&Vt)&t在雨域内.&
完整的下雨的区域由这些斜线勾勒出来了。每一条斜线的长度为 ||Vr&Vt||/s。这样就十分清晰了：如果雨以一定的角度下落，你应该跑的越快越好，缩短雨域的水平长度（下雨区域内的&宽&是定值，而和人的身高成比例）。
要是雨从你背后方来，又会怎样呢？这样一来，事情变得有一点复杂。雨点速度的分解为Vr=(V1,V2)，因为雨点有向前方的速度，因此 V1&0。于是一些不同事情将会发生（假设雨以一定的速度均匀下落）。之前我们提到，你以速度s移动。如果s&V1你就不会被你背后的雨淋到，但是你的头部和你身体的正前方会被淋到。
如果 s=V1，也就是说，你的速度和雨在你前进方向的速度一样，那么仅仅只有你的头部会被淋到雨。最后，如果s&V1显然你的背部和头部会被淋到雨，但是你的身体的正面会保持干燥。令Af为你身体正面或背面的暴露在雨中的面积，而At为你头部暴露在雨中的面积。
在我们之前的二维案例中，这些只是表示你所代表的长方形的高度和宽度。雨点淋湿的这些部分的总量分别正比于Rf =|V1&s|&Af &以及 Rt=|V2|&At。
上述中在雨中的时间为1/s，被雨淋湿的函数为R，正比于：
R1(s) = [(V1 - s)&Af + |V2|&At]/s 若 s&V1
R2(s) = [(s- V1)&Af + |V2|&At]/s 若 s&V1
其中比例的乘子是雨的密度。注意这个函数可以被应用到之前的例子。即雨点向后方下落，V1&0。我们发现我们总会有R=R2，因此让R最小化的方法便是尽可能地增加s。
雨点向前落下的例子中我们有V1&0. 让C = -V1&Af + |V2|&At 然后注意到R是连续的R1是一个关于s的减函数，而R2的变化依赖于C的正负。
如果C&0，R2也是关于s的减函数，要取R的最小值，那么s应该增加到最大值。
如果C=0，R2是一个常值。我们可以通过取任意的s&V1来最小化R
如果 C&0，R2是一个关于s的增函数，那么我们仅仅只能通过让s=V1来最小化R。例如：你精确地于雨水平分量相同的速度奔跑。
C依赖于你的体格和在雨中的速度。如果雨向前方的速度很小，那么你最佳的选择任然是尽可能快的跑。但是，如果雨向前的速度很大，使得C&0，那么你最好精确地于雨水平分量相同的速度奔跑。同时也意味着雨点会打湿你的头部，但这些都是理论上讲的情况。
关于这个问题还有很多复杂的模型，考虑不同的形状（不是正方形的情况下）或者突然来阵一阵大风，都会影响最终的结论。最后，我们将以Matthew Wright（很遗憾不是之前Chalkdust的成员）写的五行打油诗来结束。
固执的青春
暴露在雨中的执拗
若雨从背后拥抱
我我便与雨同行
但若迎风而行
最华丽的步调
便是与雨赛跑
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时间: August 10, 2017
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号日本发生9.0大地震发生，这次大地震震中位于日本的一个港口，它也让整个世界包括很多地震专家们感到震惊。它猛力地提醒着我们对断层以及它们突发的和灾难性的行为是多么的无知。如何找到断层清晰准确的几何描述并测绘出周围区域存在的拉紧形变区，这依然是一个悬而未决具有挑战性的问题。如果我们能克服这个挑战，我们就能进行地震活动的模拟仿真，进而更好的评估它对指定区域所带来的的风险。
我的合作者是约内斯库（他在巴黎大学），根据切向位错原理，我们已经开发出了一套行之有效的方法来定位和描述活跃的断层。这套方法是基于如下的假设：只有表面观察结果可以获取并且无牵引的情况可以应用于该表面。
我们也根据GPS的观察结果探索了探测慢滑移事件（比如无声地震或者地震成核阶段）的可能性。我们的研究依赖于对于已观察到的表面位移的渐进估计。这种估计在导出我们称之为矩重建方法的过程中被首次使用。之后它也用于寻找地表面移场必要的条件。这些条件就导致了以下两个参数的引入：活化因子和置信指标。根据表面观察结果，这两个参数可以用有效的方法计算出来。它们表明了一个标准変位场的产生是否是归因于活跃的断层。
结合最小二乘最小化和矩方法，我们之后发展了一个综合的断层轮廓重建技术。我们仔细研究者我们的重建工作是如何受到观测仪器敏感性和地表观测点坐标方格的步长的影响得。计算这样坐标方格最大的允许步长是为了应用于不同的断层深度和方向。最后我们得到了基于虚拟数据的数值重建法。
对于这种准静态断层滑动问题的正逆性的数学分析现在已经完备了。我们当前在应用这种理论来记录在太平洋海岸的墨西哥附近的大型区域测量的移位数据。这的确是一项很有挑战性的工作，因为我们不得不应对有噪声且有错误的数据，有时用那种花费极高的仪器一个月才解决几毫米的位移测量，这样只能得到极其稀疏的数据。在墨西哥沉没地区，一个可靠的活跃断层的重建只有通过各种数学模型的结合才能实现，这些数学模型要合理地反映压力，地壳移位以及待恢复参数的指定物理界限。幸亏有两个世纪的观察调查工作，地球物理学家们可以知道这些界限。
所以有没有那么一天地球物理学家能够预测地震事件呢？不幸的是，地震预测可能永远不会像天气预测那样靠谱。最多可能有一天我们能更好地评估一下一个地区在接下来100年内会发生地震的可能性。那就是说，知晓断层和给定区域应力剖面的精确几何形状可能会对于我们预测地震事件的强度和震波形式有所帮助。
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时间: August 3, 2017
原文作者：RICHARD SANDOMIR，纽约时报记者。&
译文作者：mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。
校对：donkeycn
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雷蒙德&斯穆里安(Raymond Smullyan)，他的快乐，敏捷的头脑使他成为一个音乐家，魔术师，数学家，最妙的是，他还是一个创作谜题的逻辑学家（哆嗒小编注：实际上他的头衔里还有哲学家和道教学家），日（星期一）在纽约州哈德逊市去世，享年97岁。
他的亲人黛博拉&斯穆里安（Deborah Smullyan）确认了他的死讯。
斯穆里安教授是一名正儿八经的数学家，他的出版物和博士学位证明了这一点。但他最伟大的遗产可能是他设计的极其烧脑的逻辑谜题，它们或呈现在许多书籍中，或者只是出现在休闲的谈话中。
有时他们是一次性的，有时他们被嵌入更长的叙述中来解释数学概念，例如布尔逻辑，就像2015年他在《乔治&B的魔法花园和其他逻辑谜题》（The Magic Garden of George B and Other Logic Puzzles）中所做的那样；或者回溯分析，1981年他在《阿拉伯骑士的象棋奥秘》（he Chess Mysteries of the Arabian Knights）中进行了探讨。
他也是一个有趣的人。斯穆里安教授有着长长的白头发和胡子，长得像《指环王》系列电影中伊恩&麦凯伦（Ian McKellen）饰演的法师甘道夫（Gandalf）。他身材瘦长，讨厌健身，酷爱牛排和鸡蛋。他研究东方宗教。他讲老套的笑话，对身边的人表演近距离魔术。直到90多岁他仍带着激情和才华弹钢琴。 （尽管他年轻时因肌腱炎而脱离音乐事业。）
他对他自己的哲学、谚语情有独钟，例如，&我为什么要担心死亡？这不可能在我活着的时候发生！&
纽约城市大学研究生中心（Graduate Center of the City University of New York）的数学、哲学与计算机科学退休教授梅尔文&费廷（Melvin Fitting）回忆了斯穆里安教授的风采，在20世纪60年代，斯穆里安教授在叶史瓦大学（Yeshiva University）是费廷的老师，而费廷当时正在攻读博士学位。
教授在一次采访中说道：&他会微笑着期待他将要展示的许多美丽的东西。&
几十年来，斯穆里安教授似乎不停地创作的谜题，从中看到数学之美，并将其视为传播数学福音的工具。在他1982年的书《&女士还是老虎？&以及其他逻辑谜题》（The Lady or the Tiger? And Other Logic Puzzles）中，他写道，如果希腊数学家将其作为一本谜题书，欧几里德的《几何原本》将会获得更大的普及。
他写道：&问题：给定一个等腰三角形，对应的两个角是否必然相等？为什么相等或者为什么不相等？&
他的谜题几乎是他本身的一部分，他与后来成为的妻子布兰奇（Blanche de Grab）第一次约会的时候就提出了一个谜题。
他向她提出的命题，就像他所描述的那样，一定能得到她的吻。回想起这件事，他写道，这是一个&赢得一个吻的相当狡猾的方式，不是吗？&
哆嗒小编插播：这是一个在数学圈流传很广的美谈。斯穆里安第一次见到女神时，达成一个约定&&斯穆里安说一句话，如果这句话是对的，女神要给斯穆里安一张女神的照片，如果是错的则不给照片。斯穆里安说的话是：&你既不会给我你的照片，也不会亲我一下&。于是斯穆里安成功的获得女神的一个吻。
詹姆斯&麦迪逊大学（James Madison University）的数学教授杰森&罗森豪斯（Jason Rosenhouse），他在2015年编辑了一本书，书中赞美斯穆里安先生，对于那些以前不了解数学的人，他的谜题可以清晰地揭示数学之美。
&就像哄小孩子吃蔬菜，&&罗森豪斯教授在接受电话采访时补充说：&雷蒙德用一串逻辑谜题作为工具来展现诸如哥德尔不完备定理。&
马丁&加德纳（Martin Gardner），一位著名的数学谜题作者，把斯穆里安教授与牛津大学逻辑学家查尔斯&道奇森（Charles Dodgson）相提并论，道奇森也是以笔名路易斯&卡罗（Lewis Carroll）而更广为人知的作家。斯穆里安教授在1982年的书《爱丽丝漫游谜题王国：一个给八十岁以下儿童的卡罗式的故事》（Alice in Puzzle-Land: A Carrollian Tale for Children Under Eighty）中向卡罗致敬。
在其中一章，斯穆里安教授写道：爱丽丝心中思忖这个蛋人（Humpty Dumpty）是多么的混乱，但又相当合乎逻辑。
&我想知道，&她说，&他怎么做到既混乱又合乎逻辑的？&
在斯穆里安先生曲折的人生道路上，似乎有过一些令人困惑的逻辑。
雷蒙德&梅里尔&斯穆里安于日在皇后区法洛克威（Far Rockaway，Queens）出生，他的父亲伊西多尔（Isidore）是一名商人；他的母亲露西娜&弗里曼（Rosina Freeman）是一位家庭主妇。
他的求学经历是到处游学和不拘一格的。他曾就读于俄勒冈州的太平洋大学（Pacific University）和里德学院（Reed College），然后自己研究数学和逻辑。他还学习魔术。他创作了一些国际象棋谜题，这些谜题更为关注已经走出的棋步而不是将要走的棋步。
他以艺名Five-Ace Merrill在夜总会表演魔术，比如芝加哥Pump Room夜总会，他在那里工作获取报酬。他继续攻读并取得芝加哥大学的数学学士学位和普林斯顿大学的博士学位。他分别在普林斯顿大学、叶史瓦大学、纽约市立大学莱曼学院和印第安纳大学任教。
他的教学理念有点令人困惑。&我的原则是教给学生尽可能多的东西，并尽可能少地要求他们&，他对2008年的《Mathematical People: Profiles and Interviews》一书的作者Donald Albers和Gerald Alexanderson如是说。
但是，他补充说，明显的宽容所造成的影响是许多学生在他的课程中比在任何其他课程更努力。
斯穆里安教授身后遗下了继子杰克&科蒂克（Jack Kotik）、六位继孙子女和16位继曾孙子女。他的妻子布兰奇，比利时出生的钢琴家和音乐教育家，2006年去世。他的第一次婚姻以离婚结束。
科蒂克先生回忆说，他和妻子在纽约Elka Park的斯穆里安的房子里，听了有关职业运动员高薪的广播报道。他的母亲布兰奇说，他们的薪水过多了。
斯穆里安教授说，拿这么高薪水是不公平的。
&我说，&雷蒙德，你比大多数人更聪明，不是吗？&&科蒂克先生在接受电话采访时说。 &&是的，&他说。所以我说，'我认为这是不公平的。我们应该把你的大脑分出一部分分发给可以使用它的人。&&
&他沉默了一分钟，最后他说，&我无法给出任何理由，但我不会这样做。&&
谜题是斯穆里安先生的一个重要组成部分 && 逻辑学家打招呼和考验他人的方式。
当他遇到他最近的编辑罗歇尔&克伦泽克（Rochelle Kronzek）时，他要求她解答一些问题。
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&一开始吓到我了，但我想出了创造性的答案，&世界科学出版社执行编辑克伦泽克女士在接受采访时说，&他不止一次地笑了，因为他喜欢我的思考方式。看到别人如何思考，他从中得到很大的乐趣。&
时间: July 31, 2017
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在经济、政治科学和心理学等社会科学领域中，人们普遍认为R&= 0.7在线性回归的结果中是值得庆贺的。
R2 反映了因变量的全部变化能通过回归关系被自变量充分解释的比例，然而对于R&= 0.7，这个比例大约是50%。
在物理学中，因变量和自变量需要更高的线性拟合度，所以在物理学期刊中，如果R2的值如果小于0.95则认为研究结果是十分不可靠的。
如果我们线性回归中的r2 =0.99说明总体结果良好，对吗？我们可以确定一定以及肯定，因为在因变量的变化中只有1%不能由自变量的变化来解释的。
其实那可不一定，可以用如下简单的例子来解释。
生物学的一个案例
支原体细菌有一个包含580076个核苷酸的基因组。在该基因组中，起始密码子ATG出现了9,020次，并且这些ATG密码子开始和结束的位置为214, 263, 355, 452, 467, 547, 568, 686, 734, 822, 831, 850, 930, 1023, && ,&, , , , 0042。我们可能会问的一个问题是:这些ATG密码子的位置是否均匀分布在基因组上?
解决这个问题的一个非常简单的方法是，在1到580,076的范围内，产生9020个均匀分布的随机整数，并以这些随机整数为自变量绘制出ATG密码子位置的散点图。换句话说，通过线性回归，我们来看ATG位置的变化有多少是可以由均匀随机整数变量的变化来解释的。
（熟悉线性回归的读者可能会认为这并不是一个好主意，因为这里的自变量是服从均匀分布的，而不是正态分布&&这是线性回归的基本假设之一。）
下面这幅图描绘的是ATG密码子的位置比照从小到大排列的9020个均匀分布随机整数的散点图：
数据点的位置&&ATG比照有序的随机整数&是蓝色的线表示，而回归线由红色的线表示。
对于这个回归得到r2 = 0.9912，这表明ATG密码子位置的变化只有小于1%的比例不能由自变量，即这里的随机整数的变化所反映。
然而，这幅图还告诉了我们一些别的东西:数据点先是在回归线的上方，然后落到回归线以下，接着又回到了回归线上方。
更为仔细的观察
我们可以更清楚地了解数据点和回归线之间的差异&残差&通过观察残差图：
也许这只是一个从1到9020的特定随机选择的产物?
为了测试这个问题，我们可以多次重复我们的随机选择。当我们这样做的时候，发现这种模式仍然存在:在支原体基因组中，ATG密码子的位置和1至9020的有序随机整数之间存在很小但真实存在的差异。
基因组中的ATG密码子位置和随机位置是一个很小的但也可能很显著的差异。
作为一个生物学家，你不想深入研究一下吗?
得到的启示？
警惕&高&的R2 值：仔细地观察回归中的残差图，并试图理解这个图背后的含义。
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时间: July 25, 2017
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作者：王浩，牛津大学教育学硕士，香港城市大学英语博士，现于香港浸会大学从事英语教学工作。
从牛顿在苹果树下被砸出灵感的传说可见，长期以来，科学研究都是以个体为单位的科学家以及由个体科学家所领导的团队所从事的工作。而近年来，互联网技术的兴起却有可能改变这一数百年所形成的传统，为科研合作提供新的范式与平台。笔者试图从一个英语写作老师和应用语言学研究者的视角，通过介绍数学家陶哲轩等人倡导的开放存取式(open access)数学研究项目Polymath，讨论互联网时代新型的科研合作模式在数学界的发展，并思考科学2.0与论文写作2.0在未来发展中面临的机遇与挑战。
1. 开放存取：数学家陶哲轩教授倡导和参与的数学科研新范式&
当代数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩教授在2009年当选美国人文与科学院院士的演讲上介绍了近年来数学研究界出现的一种新型合作模式Polymath。他在演讲中指出，互联网是古腾堡印刷术以来对人类科研与交流影响最大的技术。通过利用互联网建立一个开放的数学研究平台，数学家和对数学感兴趣的人士可以针对某个数学问题的研究共同努力，获得比个体数学家或研究团队更有效的科研成果。陶教授还指出，自己曾将撰写的这篇演讲稿放在博客上收集网友的评论，并根据意见作出修改，这也体现了他的知行合一。&
& & & & & 最早提出这种互联网开放存取式数学研究模式的Tim Gowers教授在其博文《群体合作数学是否可能？》（Is massively collaborative mathematics possible?）指出，这种群体合作模式有以下三个优势：
1）很多时候解决问题是需要运气的，仅从概率的角度来看，更多人的参与也会提升好运气的机会；
2）通过交流互动集思广益能让具有不同知识和背景的合作者碰撞出火花与洞见；
3）有的人善于提出新的想法，有的人更专注于对想法具体实现，合作有利于参与者取长补短共同进步。&
2. 专门用途英语视角下的开放式数学论文写作与修改&
2016年应用语言学界著名的学术期刊《专门用途英语》(English for Specific Purposes) 发表了英国Sheffield Hallam University大学教育学院英语老师Lisa McGrath博士的论文《开放存取式写作：针对一篇纯数学研究论文的在线初稿写作与修改的研究》(Open-access writing: An investigation into the online drafting and revision of a research article in pure mathematics)。这是应用语言学界和专门用途英语研究领域第一篇关注开放存取式数学论文写作的论文。
McGrath博士通过收集和分析Polymath 8博客下的659条评论（共计57,105词），利用前人工作总结出的框架，对相关评论进行编码后分作6大类：
1）数学论证（mathematical argument）：相关的编码包括检查或修改现有的数字内容；设置数学符号；编写定义、定理和论证；
2）元数学论证（meta-mathematical argument）:相关编码包括调整或建议添加说明文字、例子或者对选取研究方法动机的解释；讨论引用文献；在导论中讨论研究的语境与框架
3）说明性结构（expositional structure）：相关编码包括论文分节、图表和图形的排位；信息呈现流程的控制
4）命题式展开（propositional development）产出新的数学知识；报告和讨论新的结果
5）格式讨论（formal）：调整或报告句子层面的问题（如数学代码或文本的笔误）
6）运营讨论（operational）：组织调配工作与合作；处理技术相关问题；分配工作量；报告作出的修改；讨论与出版相关的问题；选择期刊；决定作者身份 &&
元数学论证
说明性结构
命题式展开
McGrath博士对开放式论文写作与修改过程的研究所使用的框架对于需要用英语写作数学论文的朋友也有一定的启发。从上表可见，数学论文的作者不仅要在数学论证上动心思，还要在所谓元数学论证上下功夫，也就是要对自己的工作本身进行思考和讨论，不仅让读者知道自己做了什么和如何做的，还要让读者明白自己为什么这么做。与此同时，在数学论文写作的格式与运营方面，多些和导师、同学讨论获取他们的帮助也很重要。
正如McGrath博士在论文中所说，由于本研究的数据主要来源于博客中的讨论，并没有触及具体论文不同版本的修改或写论文前Polymath参与者就数学问题本身的讨论。因此，Polymath这种新型数学研究模式所涉及的内容和对数学研究者的启发远远不止这篇论文讨论的范围。然而，McGrath博士作为第一位关注Polymath的英语老师和研究者所展示出的宽广的研究视野和具开拓性的研究精神却值得我们学习。 &
3. 从科学2.0到论文写作2.0&
McGrath博士的论文可以放在科学2.0和论文写作2.0这两个较大的语境下解读，或许能为广大的科学研究者和从事论文写作的作者、老师提供新的启发。
2008年马里兰大学计算机系Ben Shneiderman教授在顶级期刊Science上发表短文Science 2.0具有前瞻性的指出互联网技术在为新一代的科研范式的产生和发展提供机遇的同时也需要 &新一代科学Science 2.0来研究社会科技系统中的综合性跨学科问题& 。作者认为，科学1.0时代的英雄像伽利略、牛顿和爱因斯坦提供了关键的方程来描述重力、电、磁和光之间的关系。相反的，Science2.0的领袖们研究重点在信任、同理心、责任与隐私。作者预言，未来400年的伟大科学探险将在于界定、量度和预测上述这些变量从而加速科学发现、工程创新、电子商务和教育。由此可见，新型的科研范式和合作模式也为科学界提出了新的课题和新的挑战，甚至会带来一场新的科学革命。
新的科学革命对英语论文写作与修改也提出新的挑战和机遇。笔者作为一名英语写作老师，也曾协助不少的博士生、青年教师修改英语论文。因此在这里，我想思考一下互联网时代新型科研合作与交流对英语论文写作可能产生的影响。
长期以来，论文的写作、审稿都是一个相对封闭的过程。为了确保公平、公正，大多数期刊都采用了双盲的审稿模式，即作者和审稿人都是匿名的。然而，这种模式也带来了不少问题，其中最显著的一点是审稿周期太长。笔者2016年在Journal of Second Language Writing上发表的一篇关于论文修改的文章从2015年6月底初次投稿到10月底获得审稿人的首次意见再到2016年3月最终见刊，前后耗时长达9个月，据说还是比较幸运和顺利的。
然而，学界在审稿方面的改革尝试并不成功。顶级学术期刊Nature曾于2006年推出开放式同行评阅的实验。研究人员向1369篇通过Nature编辑初审的论文稿作者发出邀请参加这次实验，仅有71篇的作者同意参与实验，将论文稿放在网上接受开放式评议。
开放式审稿遭到冷遇或许说明科学界对于在工作方式上的革新并不热衷，而在论文写作方面，想推行这方面的改革就更困难了。除了像Polymath这种没有特定作者的项目可以实现互联网上的开放式写作与修改，绝大多数的作者仍然只能在小范围内获得导师或朋友的帮助。然而，我们不难想象在互联网时代协作式论文写作对于提升写作效率、改进论文稿质量的潜力。如果作者能将自己的论文稿放在网络上如同维基百科或者开源软件的代码那样供大家讨论和修改，整个论文创作和修改的过程都会发生根本性的改变。 &
4. 结语 &&
科学的发展，和人类文明的进步一样，是在传统与创新这两种力量的博弈与平衡间进行的。一方面，科学家必须不断利用传统的资源和制度来工作；另一方面，创新又是科学不断发展和进步的动力源泉。本文所讨论的开放存取式的数学研究与论文创作模式是互联网时代研究工作方式上的创新，和历史上各种创新一样，都会遇到很大的阻力和困难。陶哲轩教授曾在一次演讲中提到，当他提交署名为Polymath的论文给加州大学洛杉矶分校数学系时，工作人员拒绝接收这份论文作为他的成果。对于享誉世界的陶哲轩教授，这当然不足挂齿。但是对于众多还在为职称而劳碌、为三餐而奔波的大学青年教师来说，Polymath这类的开放式协作模式在贡献认可机制上的缺陷却是致命的。 爱因斯坦早就说过：科学是很棒的工作，只要不靠它谋生(Science is a wonderful thing if one does not have to earn one's living at it.)。笔者相信，随着科技的发展、人类文明的进步，我们会在不久的将来摆脱生存所带来的焦虑和个人名利的束缚，摸索出一套更能发挥个人和集体合作潜能的科研工作与论文写作模式。&
Greaves, S., Scott, J., Clarke, M., Miller, L., Hannay, T., Thomas, A., & Campbell, P. (2006). Nature&s trial of open peer review. Nature, 444(971), 10-1038.&
McGrath, L. (2016). Open-access writing: An investigation into the online drafting and revision of a research article in pure mathematics. English for Specific Purposes, 43, 25&36. &
Shneiderman, B. (2008). Science 2.0. Science, 319(5868), . &
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时间: July 22, 2017
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根据国际数学奥林匹克竞赛（IMO）官网最新消息（http://www.imo-official.org/），在巴西举办2017年第58届国际数学奥林匹克竞赛成绩揭晓。韩国队以170分的成绩获得团体第一，中国对159分夺得第二，越南155分获得第三。此前连续两年夺得第一，此次比赛志在三连冠的美国队，仅获得第四名。第五到第十名依次是，伊朗、日本、泰国、新加坡、中国台湾、英国、俄罗斯。
此次是韩国是第二次获得国际数学奥林匹克竞赛团体第一。2014年当韩国举办世界数学家大会（四年一届的数学界最高规格会议）时，第2012年韩国夺得的IMO团体第一被作为韩国当代的数学教育成绩被做入大会举办方的宣传视频。
此前，我们哆嗒数学网的小编介绍过此次比赛的一道题目（见）。从结果来看，这道和游戏有关的题目成为了此次比赛的最难的一道题目。来自111个国家的615名参赛选手，只有来自6个国家的7名选手有得分。其中，完全作对的只有来自俄罗斯和奥地利的两名选手。
近年来，国内在为&奥数&降温的同时，似乎部分舆论又在走向另外一个打压&奥数&的极端。相反，其他国家对&奥数&开始重视，比如美国的启动的集训模式，以及韩国的国家理科班模式。
尽管没有夺得第一名，第二名也是一个非常优异的成绩，我们向中国队表示祝贺！
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时间: July 20, 2017
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柔弱可怜的兔子提莫与攻击力爆棚的猎手艾希在一个无阻挡物件、大小无限的召唤师峡谷相遇了。艾希以为见到了软柿子，一定要击杀提莫！
但他们交手时发现，它们的技能不知道被谁修改了，再也不是《英雄联盟》游戏中的那些了。
提莫有一个强力的被动隐身技能，让艾希在任何时候无法看到他。还有一个更加恐怖的免疫任何伤害的技能，施放后10亿秒内免疫一切伤害。另外，还有一个逃跑技能，冷却时间1秒，作用是跑向离自己当前位置1米的地方。
艾希也不是吃素的，她有个大杀招可以把周围100米范围内的任何猎物秒杀，而且可以任意时间使用。还有一个用来搜索猎物位置的技能，但是这个技能不能给出猎物的准确位置，可能与猎物的实际位置有不超过1米的误差，即是说她只能探测出猎物存在的一个圆形范围，冷却时间1秒。当然，她有个追击技能，作用是自己向自己想要的方向追出一米，冷却时间是1秒。
假设，游戏时间可以无限，提莫和艾希现在处于相同位置，那么艾希是否有办法一定能击杀提莫？
好吧，如果我告诉你，上面的游戏描述的是2017年第58届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）第3题的内容，你会惊讶吗？
但事实上就是如此。当然，IMO比赛会用非常严谨的数学语言表达，原题表述如下：
不知道参赛的同学们在考场上会不会想到自己在娱乐游戏中的场景。
按往年的经验，IMO竞赛的第3题和第6题会是最难的两道题目。我们这里不提供答案，实际上现在答案已经能从网上搜到。从网上提供的答案来看，提莫10亿秒的免疫时间还是太长了，兔子提莫完全有机会逃脱。
于是我们排开竞赛的因素，想问几个更加有趣的问题：
1、 把免疫时间减少到多少秒时，艾希能有办法一定能击杀提莫？
2、 把艾希大招范围增加到多大时，艾希能有办法一定能击杀提莫？
3、 考虑艾希搜索技能的概率因素，怎么样设置提莫免疫时间和艾希大招范围，使得游戏的平衡的？
另外，我们总希望把一些数学题目变好玩，可以从身边的题目玩起呀！
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时间: July 16, 2017
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伊朗天才数学家，世界首位女性菲尔兹奖得主，玛利亚姆&米尔扎哈妮，因乳腺癌医治无效，于当地时间7月15日在其所在医院去世，享年40岁。
&世上的一盏明灯就此熄灭了，我的心都碎了&&她走得太快了，&美国宇航局的伊朗裔科学家，Firouz Naderi，在他的Instagram（注：国外著名图片社交平台）上的最新消息中写到。后来他发推补充到：天才？没错。当然她还是一位女儿，一位母亲以及一位妻子。
米尔扎哈妮从2013年起，已与癌症斗争了四年，最近因癌症已经扩散到骨髓而住院。
米尔扎哈妮1977年出生于伊朗德黑兰，儿时的梦想是成为一名作家。后来在其哥哥的激发下进入了数学学习。她为代数几何做出了开创性贡献，于2014年获得菲尔兹奖。
米尔扎哈妮于1994年和1995年两次获得国际数学奥林匹克竞赛(IMO)金牌，于1999年获伊朗谢里夫理工大学数学学士学位并于2004年获哈佛大学数学博士学位。
在年间，她是普林斯顿大学克雷数学研究所的研究员和助理教授。后来她在斯坦福大学担任教授。她获得的荣誉包括2009年因在纯数学领域研究中所做的贡献而获得的布卢门撒尔奖，以及2013年美国数学学会颁发的萨特数学奖。2013年获得萨特的获奖感言中，米尔扎哈妮隆重感谢的自己在伊朗接受教育的两所学校的老师&&德黑兰Farzanegan女子高中（为女子天才设立的专门学校）以及谢里夫大学&&称赞他们是&伟大的教师们&。
米尔扎哈妮是世界上获得被称为数学最高荣誉菲尔兹奖的第一位女性（也是目前唯一一位女性），也是第一个获得此奖伊朗人。当2014年米尔扎哈妮的获奖消息传回伊朗，伊朗舆论当时有截然相反的态度。当时伊朗总统哈桑&鲁哈尼在推文上发出了米尔扎哈尼没有带头巾的照片。回帖立刻分为两派，强硬派对此照片强烈抗议并拒绝对米尔扎哈尼获得的成就表示祝贺，而另外一派认为鲁哈尼此行为具有进步意义并点赞。伊朗国内还有人向国家施压，认为应该按照伊朗的伊斯兰刑法典处罚米尔扎哈妮。
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时间: July 10, 2017
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数学家过生日你要给他送什么呢？嗯，如果是一个大生日，比如100大寿，你可以举办一个以他命名的会议为他庆生。前几天就发生了这样一件事：数学家们聚集到了匈牙利，庆祝保罗&埃尔德什（Paul Erdos）诞辰100周年。
会议期间，他们讨论了埃尔德什的工作和他留下的宝贵遗产。不论埃尔德什的数学能力还是他的工作风格都使他成为了一个传奇人物。下面让我们看看他是如何影响数学这一学科的：
他是一个&问题解决者&
一般来讲，数学家分两种：一种是&解决问题者(Problem Solver)&，一种是&理论建立者(Theory Developer)&。人们首先听说的通常是解决问题的那类数学家，他们常常出现在新闻中。但是关注度最高的数学研究往往是关于高深理论的。就像在物理里，不论是资金还是关注点，通常都和大一统理论相关。
埃尔德什对解决问题更感兴趣。处理&疑难杂症&是他的强项。他会去攻克数学中各个领域的难题，并且他不介意用什么工具去解决：比如他就很擅长用高中知识去解决一些艰深问题。 他用行动证明了数学中并不是所有东西都能被宏大理论所囊括。
他发表了很多论文
埃尔德什四处狩猎有意思的问题，这使它的足迹遍布了整个世界。他是数学界的牧羊人，不带支票，不带信用卡, 拎着装了半箱的手提箱走遍了世界。&财产就是累赘&&&他如是说。
他经常会出现在同事的家中，以咖啡和苯丙胺（译者注：一种兴奋剂）为燃料轰击谜题。他不断旅行造就了他惊人的产出：埃尔德什一生发表了1525篇论文，历史上只有欧拉比他发表的论文多。
尽管数学常常是独行侠的天下，但埃尔德什却将它视为社交工具。最近兴起的polymath项目其实就是埃尔德什哲学的成功推广。
（译者注：Polymath项目由英国数学家蒂莫西&高尔斯[Timothy Gowers]发起。在该项目中，多个数学家协作交流，合力解决数学问题。目前为止，已有多个艰深并且重要的问题在polymath中被解决。）
他的人际圈很广
由于他大量合作并发表论文，埃尔德什最终有了500多个共同作者。他的数学家小伙伴们发明了&埃尔德什数&来衡量一个人与埃尔德什的&连接程度&。如果你与埃尔德什一起发表过论文，那么你的埃尔德什数是1。如果你没和埃尔德什发表过论文，但与一个和埃尔德什合作过的人发表过论文，那么你的埃尔德什数就是2，以此类推。这其实就是数学版的&贝肯六度空间理论&。（译者注：凯文&贝肯 [Kevin Bacon] 是美国著名演员。电影爱好者间曾流行找到任何一个演员到凯文&贝肯的最短路径。）
如果把你的贝肯数和埃尔德什数相加，得到的就是埃尔德什-贝肯数。比如费曼的埃尔德什-贝肯数是6，娜塔莉&波特曼(Natalie Portma)的埃尔德什-贝肯数是7。
埃尔德什除了有着复杂的合作网络，他还发明了一种生成随机网络的方法。以他和匈牙利数学家阿尔弗雷德&伦伊(Alfred Renyi)命名的埃尔德什-伦伊(Erdos-Renyi)模型是首个生成随机图的算法。该模型中，我们选定若干节点，然后以相同的概率在任意两点之间连线。由于它数学上的简洁性，埃尔德什-伦伊模型至今还被广泛应用在传染病模型以及金融系统稳定性研究中。
他喜欢素数
尽管埃尔德什喜欢探索数学的各个领域，他对素数尤其感兴趣。20世纪40年代末，埃尔德什开始研究素数定理。素数定理说的是假如你有一个非常大的数x，那么差不多存在x/log(x)个素数小于x。此前素数定理的证明冗长而繁琐。埃尔德什与挪威数学家阿特勒&塞尔伯格(Atle Selberg)找到了一个非常简洁的证明。然而即使是埃尔德什也并不总是能解决他感兴趣的问题。比如他曾苦苦思索孪生素数猜想，但他只证明了一个很弱的结论。事实上，直到最近张益唐的工作才使孪生素数猜想有了突破性的进展。
他为解决难题提供奖金
为了鼓励人们去解决难题，埃尔德什会为一些问题设立奖金。对于他认为比较简单的问题，他会设立10到25美元不等，对于他认为很难的问题，他则会设立上千美元作为奖金。一个数学家想通过这种方式挣钱并不简单，如果埃尔德什不喜欢某个证明，他还会克扣奖金。
他没有获得数学界的最高荣誉
一般认为数学界的最高荣誉是菲尔茨奖，但埃尔德什并没有获得过这个最高荣誉。塞尔伯格与埃尔德什发现素数定理的简洁证明后，他迅速就这个证明方法写了一篇论文。这也成为了塞尔伯格获菲尔茨奖一大助力。然而这并不是埃尔德什喜闻乐见的（译者注：塞尔伯格和埃尔德什曾就是否该联合发表素数定理的论文争得不可开交）。在与塞尔伯格的争吵过后，埃尔德什再一次提起了他的行囊，去寻找更多有意思的难题。沿着他的足迹我们可以发现一连串新奇的问题和方法。 伦伊曾经说过&一个数学家就是一台将咖啡转化为定理的机器&。在这一点上，没有人像埃尔德什做得这么好。
1.一般外界认为数学界的最高荣誉是菲尔茨奖（Fields Medal），但由于菲尔茨奖仅颁给年龄小于40岁的数学家，它并非终身成就奖。与之相比，沃尔夫奖(Wolf prize)与阿贝尔奖(Abel prize)则更能说明问题。埃尔德什获得过沃尔夫奖。塞尔伯格则是菲尔茨奖、沃尔夫奖以及阿贝尔奖的大满贯得主。
2. 埃尔德什不仅在数学上造诣极高，他的生活方式也很令人感动。更多关于埃尔德什的故事请见：http://www.brunel.ac.uk/~csstzzw/Erdos.html
3. 埃尔德什与塞尔伯格对素数定理证明中两人各占多少功劳存在分歧，在发表论文时，两人就闹翻了。这段有意思的故事可以参考：Goldfeld, Dorian. &The elementary proof of the prime number theorem: An historical perspective.& Number Theory. Springer New York, 2 (英文).
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时间: July 2, 2017
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AlphaGo和世界排名第一的中国棋手柯洁的比赛结束了。不出所料，即便柯洁这样的围棋大师，也已经完全不是我们人类发明的围棋程序的对手。但是，熟悉人工智能的人都知道，无论人工智能有多么强大，他能做出能让现在的人们多么惊奇的事情，它的本质并不是黑魔法，而仅仅是数学。
数学里有一个分支叫做博弈论，英语叫做Game Theory，直译过来就是&游戏理论&的意思。围棋是一种游戏，这个游戏的很多理论也符合博弈论的一些经典结论。博弈论里有一种游戏叫做完全信息博弈，意思是无论是自己还是你的对手，和游戏有关的所有信息都是知道的。自己能走哪里，对手能走哪里，自己之前做过什么，对手之前做过什么，都是相互知晓，没有隐藏。相反，现在最火的电脑网络游戏之一的《英雄联盟》则不是完全信息博弈，因为迷雾的影响，你在某个时刻并不知道对手是在打野还是回城升级装备。
我们的故事现在开始。
用一种数学表示围棋
诗人歌德曾经调侃：数学家就像法国人一样,无论你说什么,他们都能把它翻译成自己语言,然后完全不是你刚才说的那样。我不知道这是在膜还是在黑，我保证读完这一小节后，有很多读者都会有这样的感觉。
当执黑先行，棋盘上有19&19=361个交叉点，加上Pass（即是说不走，让对方走），黑棋有362种下法可以选择，当黑棋下完第一步，那么因为之前黑棋下过的位置不能再下，白棋还剩360个位置可以行棋。当棋局进行到某个局面，考虑到按围棋规则不能落子的点，黑棋和白棋能下位置数量会有所不同，但可选择的下法有仅仅是有限个&&不超过362个。
我们把每个局面下起手可以选择下法编号，0号下法是Pass，1号下法、2号下法、&&n号下法。那么不嫌麻烦，我们下棋的时候，完全可以不用摆子，叫出下法编号就可以。
比如黑棋叫出1号下法，白棋叫出8号下法，然后黑棋再叫出下完1号、8号下法局面下的5号下法，再来给白棋叫出他的下法。实际上，这个时候，黑白双方已经不是在玩一个落子的游戏，而是在玩一个叫号的游戏，叫出的都是自然数。
黑方叫号：& 1 & 5 &8 &9 &&& & & &11 & 12
白方叫号：& &8 &3 & 6 &11 &&&& & & 55 & 4
围棋会在有限步后终止游戏，判定胜负。终止的那一刻，我们记录下了一个序列，比如上面对局的序列就是&1,8,5,3,8,&,12,4&，这是一个记录比赛进程的行棋序列，我们把这个序列一个符号x表示，特别的上面行棋序列的x(0)=1,x(1)=8,x(2)=5用它也可以来判定胜负。
按中国规则，黑棋要要还三又四分之三字给白棋。
我们制造一个集合 A = { x : x为行棋序列，x使得 黑棋子数-3.75 大于 白棋子数+3.75 }， 那么黑棋赢的表述就成了，行棋序列x&A 。白棋赢的表述就是 x & A 。
我们可以改变集合A，从而改变游戏的规则。比如比较温和的改动是改变还子个数，比如以前的围棋是不还子的。激进的改动是，如果行棋序列中使得围棋棋盘上首先出现五连珠的一方算赢，那么这游戏变成了一个可以吃子的五子棋，而不再是围棋。
但无论怎么改变集合A，有一点始终没变，游戏始终是一个完全信息的有限游戏（就是说每次能选择下法有限，游戏也会在有限步内终止）。
博弈论经典结论：完全信息的有限游戏，必有一方有必胜策略。意思是说，围棋在双方都有能力最强招的情况下，其实胜负已定。这种有一方有必胜策略的游戏，叫做决定的游戏。
穿越到未来的围棋
好吧，如果一个职业棋手对我说，&你说胜负已定，你说是黑棋赢还是白棋赢？我们来下下？&，我只能报以微笑，并认输回应，虽然最强招在数学上被证明存在，存在性并不能保证我能知道它具体是什么。就算棋力远远超过人类AlphaGo现在他也不能保证他知晓这个其实已经存在最强招法。
然而，我们可以试想一下，到某个遥远的未来。人类的智能水平发展到一个让现在的看来人匪夷所思的高度。每个人都知道围棋的最强招法，于是围棋变得无趣，因为还没有落子我们就知道了结果。
未来的人不再满足只有361个交叉点，他们设计横竖都无穷个行列（确切的讲是可数无穷），以满足每一次轮到他落子的时候，自己可以有无穷个可以落子位置。他们也不再满足在有限步结束的游戏，而把游戏规定成需要无限的进行下去。
他们还是叫号地玩游戏。这样，黑棋第一步，在0号下法，1号下法，..., n号下法，&选择出一种下法落子，然后白棋在对应局面的，0号下法，1号下法，..., n号下法，& 中选择一种应对。
棋局的出牌会变成这样：
黑方叫号：&1 &&&&&3 &&&&&&6 &&&&&&81 &&&&&&&4 &&&&&&&
白方叫号：&&&&3 &&&&&&6 &&&&&33 &&&&&&45 &&&&&&99&&&&
这样，行棋序列会变得无限长，成为&1,3,3,6,6,33,81,45,4,99,&&
这是一个在有限步之内无法完成的游戏。在当前的现实中，是无法完成这个游戏的。但是在数学中，无限是一个可以达到完成的实体。也许智能高度发达在未来，我们能在大脑的意念中，玩耍这个游戏。
那么如何判定输赢呢？和前面一样，事先设定一个集合A，A由一些无限长的自然数序列组成，如果最后得双方的行棋序列x是A里的元素，则黑棋赢。否则，x & A 白棋赢。
新的游戏，似乎只是把有限的情况改成无限。它仍然的完全信息的游戏。那么无论我们怎么改变A，是不是黑白双方，必有赢的策略呢。
现在，我可以告诉你，之前的都是铺垫，真正的内容才刚刚开始。
这是什么游戏？
这不是小编杜撰的游戏，数学家，尤其是集合论学家们早已经研究了很多。这个游戏带来的相关论题，却和公理体系和实数结构有关系。
为了标记方便，我们把前面无限游戏下选定集合A为胜负判定集合的游戏叫做Game(A)。
为了阐述和实数的联系我们先做一个铺垫。如果你有拓扑学的基础知识的话，会很容易看懂下面再说什么。
取集合NS = { x： x为自然数的无穷序列}
对于两个自然数的无穷序列：
x = &x(0), x(1), x(2), &, x(n), &&&NS
y = &y(0), y(1), y(2), &, y(n), &&&NS
定义距离d( x, y) 如下：
你还能验证距离函数d( x,y )在NS中还是一个完备的距离。而这个距离诱导的拓扑竟然和无理数同胚（你试试用连分数验证一下）&&虽然我们知道无理数在通常的距离下，无理数并不是完备距离空间&&而无理数在很多数学意义下，占有了实数的大多数。研究NS这个自然无穷序列的空间就和实数的研究联系起来了（实际上，集合论学家更关心的是Borel同构，实数和无理数是Borel同构的）。
实际上，如你可以想到的，集合论里，把一个自然数的无穷序列称为实数。实际上，集合论学家把他看成实数的一种形态。下面的部分，当我们说到实数的时候将不区分这样的具体形态。
是不是我们无论怎样改变集合A， Game(A)的黑棋和白棋中都有一方有必胜的策略呢？
在现行使用最多，也最被人接受的数学公理体系ZFC中，你是可以用选择公理构造一个集合，使得黑白双方都没有必胜策略。
有很多办法，从不同角度去构造这样的集合。但我们不会在这里去表述这种集合的构造细节。这里只是提示一下其中的一个办法：无论黑棋的策略或者白棋的策略，都只有连续统基数c那么多个，而实数的子集实在是比这个多得多。用这个实数，超限的归纳和用一些对角线方法，就能造出这样的集合。
有一个集合A，使得游戏Game(A)的对局双方都没有必胜策略。但是，只要有人愿意开一把，行棋的序列总能判定胜负&&这样的游戏是不是变得好玩了呢。
一些人的吐槽：选择公理是真的吗？
&什么？居然有一个集合A，让Game(A)不能被确定，我完全不能接受！&好吧，熟悉选择公理的人一定会说，选择公理做出来的东西不具有构造性，那意味着样的集合是看不清也摸不着的。的确，有的人更愿意相信所有的Game(A)应该有一方有必胜的策略，有就是说，游戏是决定的，这就是决定性公理。
决定性公理（Axiom of Determinacy，简称AD）：对所有NS中的子集，所有的Game(A)都是决定的。
按照一般的要求，一个命题要成为公理，它应该至少要和常用的策梅洛-弗兰克尔公理体系(ZF公理体系)不矛盾，集合论中叫做协调。但是，这里有个很奇怪的结论，因为AD能推出ZF体系是协调的，于是根据哥德尔的第二不完备定理，ZF + AD这个体系是否相对于ZF协调，不能被证明。
另外，虽然ZF+AD中对普遍的选择公理（即任意多的集合簇有选择函数）不成立了，但是它对选择公理的的否定没有完全彻底，对可数选择公理还是成立的&&ZF+AD能将可数个集合有选择函数变成定理(Countable Choice)。
于是，实分析中一些常用的定理，在ZF+AD还是成立的（至少在实数范围内是成立的），比如
可数个可数实数子集的并还是可数的。
海涅归结原理：当x&a时，实函数f(x)&b，当且仅当，对任意序列x(n)&a，n&&，f(x(n))&b。
贝尔纲定理：实数这个完备度量空间中，可数个稠密开集的交稠密。
历史上，波莱尔曾经旗帜鲜明地反对选择公理，但他认为可数的选择公理是可以的，并且可数选择公理就够了。也许决定性公理可以成为他的一个选项。
& & & & 实际上，决定性公理会牵涉到实数的一些底层性质。而这些联系，是通过设计一些新的游戏来展示的。
& & & & 新游戏一：关于第一纲集和贝尔性质
& & &如果一个集合的闭包没有内点，那么这样的集合被称为无处稠密集合。而第一纲集就是可数个无处稠密集合的并。
& & &一个集合如果它和某个波莱尔集的对称差是第一纲集，我们说具有贝尔性质。
& & &我们现在来看一个新的游戏。在之前的Game(A)中，黑白双方叫出的是一个数字，而这个新游戏中，黑白双方叫出是一串数字，一个有限长度的自然数序列。
黑方叫号：&&0,3,5,6& & &2,1& & &&8, 9,7,9,5,9& &&4,12,5,7,8,0& ...
白方叫号：& & &&0,5& & &2,1,34,5& & & & &&9& & & &4,12,5,7,8,0&&&...
&&同样，我们把这些序列拼接起来，能得到一个无限长的自然数列，比如上面的拼接起来就是&&0,3,5,6,0,5,2,1,2,134,5,8, 9,7,9,5,9,9,4,12,5,7,8,0,4,12,5,7,8,0,&...&
我们还是设定一个集合A，规定得到的序列x&A，黑方赢，否定白方赢。
这个游戏叫做Banach-Mazur游戏，在设定的集合A下，我们把它名字叫做Game1(A)。
如果你理解了前面的编号思想，你很容易想清楚，如果所有的Game(A)是决定的，那么所有的Game1(A)也是决定的。
你可以试试证明这样一个事情：Game1(A)中，白方有必胜策略，当且仅当，A是第一纲集。
于是，有人能利用上面的结果，得到：
如果决定性公理成立，则任何实数子集都具有贝尔性质。
因为，贝尔性质是一种拓扑性质，所有决定性公理其实能说明实数在拓扑性质上的一些确定性。
新游戏二： 完备集性质和连续统假设
如果一个实数子集是没有孤立点的闭集，我们说这个集合是完备集。如果一个实数子集是有限的或可数，再或包含一个完备集，那么我们说这个集合具有完备集性质。
我们新游戏二的规则发生重大改变。黑方能叫的号还是一串数字，不过数字只能在0和1中选择，而白方只能叫出一个数字，同样只能在0,1中选择。
黑方叫号：&&0,1,1,0& & &0,1& & &0, 1,1,1,1,1& &&0,0,1,1,0,0& & &...
白方叫号：& & &&&0 & & &0 & & & & & 1 & & & & &0 &&&&&...
同样，我们把这些序列拼接起来，能得到一个无限长的0-1列，比如上面的拼接起来就是,&0,1,1,0,0,0,1,0,0, 1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,...&。
这里，我们其实已经只是在0-1序列组成的空间里叫号了。
取集合TS
