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数列极限定义教学的认识与实践_王书臣
数学教育学报
J O U R N A L O F M A T H E州认J IC S E D U C A I,IO N
V o l.2 1, N o.6
2012年 12月
数列极限定义教学的认识与实践
王书臣,王立冬,张友,周文书
116600 ) (大连民族学院理学院,辽宁大连
摘要:数列极限定义是微积分学习的起点,也是一个难点.高等数学教育不仅是数学知识的教育,同时也是数学语言的
教育和数学文化的教育.数列极限定义的教学可分 4个阶段,教师与学生可共同观察归纳抽象概括,让学生参与到知识的发生过程中来,主动建构知识,并学会用数学语言刻画某一现象,体验由自然语言到数学语言的转化过程,增强他们学习
和使用数学语言的信心.关键词:数列极限;数学语言;自然语言;直观描述
中图分类号: G 2 4 0
文献标识码: A
文章编号: 1 0今 989 0 4
20 2 ) 06刁08刁 3 1 5自然语言的冗长歧义等缺点,它是自然语言的精微化,形式化 .所以,通过气~刀,,语言教学还可以渗透人类文明的进步,描述人类文化前进的轨迹,从而使他们感受到数学的力量,培养学习数学和使用数学的信心.数列极限的刻画是本着从己知到未知,从简单到复杂的
思想而得到的.对学生来说,虽然数列极限的概念是新的,但用来刻画它的绝对值不等式却并非是陌生的,也不是很复
极限是贯穿整个微积分的思想方法,它是通过简单事物
变化趋势考察复杂事物变化趋势的模型.因此,极限是微积
中的最基本的也是最主要的概念 .数列极限是所有极限概念的起点,然而数列的极限的定义在教学上却是一个难点.学
生对该定义的理解直接影响到后面的几种函数的极限定义以及连续导数等定义的学习.进一步可以说,它是微积分
学习的起点.对学习有障碍的学生来说,也许这就是当头
一棍,这个打击可能使他们一跃不振,会对以后数学学习丧失信心.所以,这个问题也是所有高等数学教师最关注的问题 .然而,仁者见仁,智者见智 .细究起来,无非分为两派观点,一派的观点认为另一派别主张仍旧使用 N .刃语言太抽象,太形式化,语言,但需要教师做教学法所以,干脆把它扔了,代之以通俗直观的语言叙述就可以了:
杂的,而数列极限语言中的关键就是两个不等式,尤其是绝
对值不等式的表示与变形.也可以说,数列极限概念是初等数学绝对值不等式的成功应用 .通过对数列极限和气.万
语言的历史发展的认识以及对学生学习困难的分析,在进行
数列极限定义教学时,可将其分成 4个阶段,拆成几个小步
骤进行教学.教师不是先将定义合
盘托出,然后再逐条解释,
而是教师与学生共同观察归纳抽象概括,共同学习,共同体验从自然语言到数学语言的转化过程 .第一阶段:观察若干数列的特点,如:
的处理.研究者是在支持后者观点的前提下来谈的 .
高等数学教育也是数学语言教育
数学语言是科学的语言川,它具有高度的抽象性准确
性和形式化等特点.数学有两大功能,一是使描述与刻画自
然现象和社会现象的语言变得简洁准确而又形式化;二是使解决自然与社会问题的方法变得更简捷 .前者是后者的前提和保障,后者是前者的应用和发展 .微积分的学习,不仅是知识的学习,更重要的是让学生能够接受数学语言教育,学会使用数学语言,从而学会数学地思考问题,提高数学素
l,一 l, l,
, (一, l)肚
一一 2 3 3 4
n+ (一 l)月
并指出,中学时曾研究过数列,但是那时的关注点是它的首项项数前 n项和以及它们之间的关系 (如己知首项和项
一语言是高度抽象的,又是极为准确的,它所使用
的符号是高度形式化的,这正是进行语言教育的好契机,是
从初等数学进入高等数学必经的一个门槛,每个学生必须过这一关,这关过去,以后的学习就顺畅了.
数求某一项 ),现在更关注的是每一个数列的发展趋势,引导他们发现规律,很多学生们马上就会指出有的数列越来
越大,有的数列是摆动的,而有的数列则是越来越接近某一个数 .教师可以在数轴上把每个数列表示出来,以便能从直观形象的角度来看,教师要进行及时总结:许多
高等数学教育同时也是数学文化教育
微积分是人类宝贵的文化遗产,它的产生发展对整个
数列 (可再举两个例子 )都有一个共同的现象,就是它们的
人类文明的进步起着重大的作用 .微积分由起初不严格到高度的严格化,经历了漫长的时间.其间有许多的故事,其中极限的气~刀,,定义就是微积分严格化过程中最主要的成果
和标志之一它由柯西和魏尔斯特拉斯等数学家经过几代人
项来接某个 .如列醉},当越越时越越近一数数,来大,
它越来越接近 1.并启发学生:有的学生回答,
应把这一现象用数学语言
刻画出来,在中学曾经学过用数学语言刻画某个现象吗?有,函数的单调性奇偶性周期性都是,
的努力而形成的,是人类思维的伟大成就.这种定义克服了
收稿日期: 20 2e0 6- 7 1 e (作者简介:王书臣 ( 1% 3一 )男,黑龙江齐齐哈尔人,副教授,主要从事教学教育研究 .,
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已知数列An的极限是a,求证“数列An的绝对值” 的极限是“a的绝对值”大一的高等数学的题目
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用数列极限定义来作,证明如下：由“已知数列An的极限是a”,可得：对任意给定的正数e(无论他多么小),总存在正整数N,只要n>N,不等式：|An-a|
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假设AN的极限a是负的，数列An的绝对值的极限就是-a，也就是|a|，如果是正的，同理
扫描下载二维码数列的极限中各数学符号的意思 我的理解是1、ε为给定的无限接近于0或者无穷小?2、Xn表示N项的值?、3.Xn-A绝对值＜ε,表示n项的值-A＜ε4、n＞N这个怎么理解呢?常数A就是极限 但是如果不知道极限 那么3的式子怎么求出来?
1、ε为给定的无限接近于0或者无穷小? 你还处于高中的常量或者单纯的自变量到因变量的思维惯性.其实你换种心态去看这个东西.每次用这个语言的时候开头是怎么说的, 对于任给的正数ε ,如何如何.就是这个意思.其实对于任意这个是数理逻辑里的一个逻辑量词.用ε这个符号是历史原因,你用别的符号都没啥问题.主要是它必须表示的是任给的一个正数.我举个例子. 你要说明 -1比所有的正整数都小.你只要证明,对于任给的正整数N, N+1>0所以N>-1.根据N的任意性就可以知道-1比任意的N都小.欧氏空间最常规情况下的序列的极限是用ε这种方式来给出的,是为了给出极限的一种严格的定义.不要去把ε当作什么所谓的无穷小或者什么,它就是任意给定的一个正数,没有别的.2. Xn表示N项的值?我没看懂你问题的意思. Xn 一般是表示指标n对应的项Xn.3.Xn-A绝对值＜ε,表示n项的值-A＜ε...同2. 式子字面是什么意思,它就是什么意思.数学不允许模糊不清的内容存在,所以它的每条的意思就是它自身.并没有任何潜台词.你不必想太多.它的意思就是 第n项的值到常数A的绝对值距离比ε小,其实关键的地方不在于此,在于你没打出来的更重要的前提条件,这里的n是任给的大于N的正整数,而N是在任意的ε给定前提下写的存在.你姑且可以这么理不管你给的是什么ε,我都能找到个N,使得从第N+1项开始之后所有的项都满足到A的绝对值距离小于你给的ε.【极限的意义在于这个ε控制了无穷多项到固定点A的距离,而ε是任意给定的正数,你想想,你随便给的正数,我都能把无穷多个点塞进去.这不就是说这个数列无限地聚集在这个这个中心附近吗?】4. 见上所述.初学一时半会儿没搞明白很正常,十几年在没有严格的微积分的世界里呆习惯了、一下出现这种很不一样的思维模式不习惯很正常.下面我给你个小故事,希望对你悟性有帮助.小学一年级,老师教刚幼儿园毕业的小朋友1+1=2. 老师说：“一个苹果+一个苹果是两个苹果...所以是1+1=2”.小朋友大喜,说“原来1是苹果”老师急了,“不对,你看 你把苹果换成香蕉, 一个香蕉+一个香蕉是两个香蕉”小朋友困惑了“1到底是苹果还是香蕉呢”老师回答说“1可以表示苹果,也可以表示香蕉,可以表示任何可以数出来,相加不会产生别的变换的东西”小朋友这下完全窘了：“一开始还听得懂,现在我完全不知道1是什么了.老师,1到底是什么阿”高中一年级,学集合.刚初中毕业的小朋友问老师：“老师,集合的元素到底是什么阿”老师：“擦,问那么多作鸟.题目会做就好,滚一边去.高考考好点.别钻牛脚尖”依次类推.小朋友,现在你读大学了
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?i?i?1,2,?,n?，作和式，当??0时，(?属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间?a,b?的定积分。 1.3.2 积分中值定理实例分析 aa??例. 求limn2?arctan?arctan?，?a?0? n??nn?1???aa?
解：设f?x??arctanx，在?,?应用拉格朗日中值定理，得 ?n?1n??a?
f????n?1?aa??a??aa?f???,??,?， ??2??n?11??nn?1n?1n??????故当n??时，??0，可知
原式=limn2?n??an??a。 1??2n?11p?2p?3p???np(p?0) 例. 求limp?1n???n1p?2p?3p???np1nip(p?0)?lim?() 解: limp?1n???n???nni?1n设f(x)?xp，则f(x)在?0,1?内连续， 1ii?1i,取?i??[,] nnnni所以， f(?i)?()p n?xi?所以原式??xpdx?011 p?11.4 本章小结 以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。
从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。
2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处
数列极限与函数极限在解题过程中虽然存在有很多相似之处，但也有着很多的不同之处，下面本章主要针对数列极限与函数极限的存在条件不同以及一些特殊的极限解题方式的不同进行分析与研究。 2.1 存在条件不同 2.1.1 数列极限存在条件 定理一（单调有界定理）：在实数系中，有界且单调数列必有极限。 证明：不妨设?an?单调递增有上界，由确界原理?an?有上确界a?sup?an?，下面证明liman?a。???0， n??
一方面，由上确界定义?aN??an?，使得a???aN，又由?an?的递增性得，当n?N时a???aN?an； 另一方面，由于a是?an?的一个上界，故对一切an，都有an?a?a??； 所以当n?N时有a???an?a??，即an?a??，这就证得liman?a。 n??同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且为它的下确界。 例 设an?1?111????,n?1,2,?其中??2，证明数列?an?收敛。 2?3?n?证明：显然数列?an?是单调递增的，以下证明它有上界。事实上，
an?1??1?111???? ??1??11??1?????1??1???????????? 1?22?3(n?1)n?2??23??n?1n?1?2，n?1,2,? n?2?
于是由单调有界定理便知数列?an?收敛。 定量二（柯西收敛准则）：
单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件――柯西收敛准则。
Cauchy收敛准则：数列?an?收敛的充分必要条件是：对任给的??0，存在正整数N，使得当n,m?N时有|an?am|??；或对任给的??0，存在正整数Ｎ，使得当n?N，及任一p?N?，有an?p?an??。
(1)Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。
(2)Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。
(3)Cauchy准则把??N定义中an与a的之差换成an与am之差。其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。
(4) 数列?an?发散的充分必要条件是：存在?0?0，对任意的N?N?，都可以找到n,m?N，使得an?am??0；存在?0?0，对任意的N?N?，都可以找到n?N，及p?N?，使得an?p?an??0。 例
设an?111?2???n，证明数列?an?收敛。 101010证明：不妨设n?m，则 an?am?111?????m?1m?2nm?1??1?n?m??1???????10????1?1?1??1?1m?n?m?19?10?10?10mm1?10
对任给的??0，存在N?准则知数列?an?收敛。 2.1.2 函数极限存在条件
定理一（单调有界定理）：相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类?单侧极限也有相应的定理。现以x?x0这种类型为例叙述如下：设f为定义在1?，对一切n?m?N有|an?am|??，由柯西收敛0U?(x0)上的单调有界函数，则右极限limf(x)存在。 ?x?x00注：(1)设f为定义在U?(x0)上的有界函数。若f递增，则f(x0?0)?inf0x?U?(x0)f(x);若f递减，则f(x0?0)?supf(x)。(2) 设f为定义在0x?U?(x0)0x?U?(x0)U0(x0)上的递增函数，则f(x0?0)?supf(x)， f(x0?0)?inff(x)。 0x?U?(x0)
定理二（函数极限的柯西收敛准则）：设函数f在U?(x0;?')内有定义。x?x0limf(x)存在的充要条件是：任给??0，存在正数?(??')，使得对任何x',x???U?(x0;?)有f(x')?f(x??)??。
注：可以利用柯西准则证明函数极限limf(x)的不存在: x?x0设函数f在U?(x0;?')内有定义。limf(x) 不存在的充要条件是：存在 x?x0?0?0，对任意正数?(??')，存在x',x???U?(x0;?)， 有f(x')?f(x??)??0。 2.2 特殊形式的极限 2.2.1 数列极限的特殊解法研究 （1）利用矩阵求解一类数列的极限
若数列的递推公式形如xn?pxn?1?qxn?2且x0,x1已知，（p,q为常数且p?0，q?0，n?2,3,???） 解法：将递推公式写成矩阵形式，则有 ?xn??pq??xn?1??pq???????????x???x1010????n?1n?2????n?1?x1???，n?2,3,??? ?x0?n??从而可利用线性代数知识求出xn的表达式，并进一步求出limxn.
若数列的递推公式形如xn?axn?1?bn?1,2,???）且x0已知，（c?0且ad?bc， cxn?1?d??yn?21?yn?11?yn解法1.令cxn?1?d?，则xn?1???d?， xn???d?，从而有 yn?1c?yn?2cy??n?1??yn?2??a?yn?1?1?yn?d??? ??c?y?d??b???y， c?yn?1???n?2??n?1整理得yn??a?d?yn?1??bc?ad?yn?2，再由（1）可以求解. 解法2.设与关系式x1?axn?1?b cxn?1?d?ab?ax0?b对应的矩阵为A???，由关系式cx0?d?cb?xn?逐次递推，有xn??aanx0?bn，其对应的矩阵为B??ncnx0?dn?cnbn??，利用数学归纳法dn?n??易证得B?An，通过计算An可求出xn的表达式，并进一步求出limxn. 三亿文库包含各类专业文献、高等教育、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、专业论文、文学作品欣赏、各类资格考试、中学教育、浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系41等内容。　
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《数列极限》说课稿
作者：佚名 资料来源：网络 点击数：
《数列极限》说课稿
文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
《数列极限》稿
北大附中&&&& 李宁
各位评委、老师们：你们好！
我是北大附中的数学教师李宁。北大附中是北京市重点中学。有机会能参加这次教学研讨活动，向全国各省的数学老师们学习，我深感荣幸。
这次我的内容是高中代数课本（下册）第六章第二部分6.4节数列极限的起始课。这部分内容在课本第60页至65页。
下面由我根据自己编写的，把我对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。希望专家们、老师们对我说课的内容多提宝贵意见。
一、关于教学目的的确定：
众所周知，对数列极限这个概念的理解可为今后高等数学的学习奠定基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
&1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；
&2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。体验“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程；
&3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
二、关于教学过程的设计：
为了达到以上教学目的，根据北大附中教学传统把这次课连排两节。在具体教学中，根据“循序渐进原则”，我把这次课分为三个阶段：“概念探索阶段” ；“概念建立阶段” ；“概念巩固阶段”。下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
（一）&&&&&&&& “概念探索阶段”
1. 这一阶段要解决的主要问题
在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：
&①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；
&②使学生形成对数列极限的初步认识；
& &&③使学生了解学习数列极限概念的必要性。
&&& 2．本阶段教学安排
&我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
①&&&&&&&&&&&& 温故知新
由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n为自变量的、定义域为自然数集的函数 的解析式。再引导学生回忆研究函数，实际上研究的就是自变量变化过程中，函数值变化的情况和变化的趋势，并以第[2]的数列 为例说明：当n=2、3、4、5 时，对应的 、 、 、 &就说明自变量由2增加到5时，对应的函数值就由 减小到 这种变化情况。若问自然数n一直增加下去，函数 应怎样变化下去，这就是研究变化的趋势。
&&& 这样利用通项公式就可把数列变化趋势问题与函数值变化趋势问题有机地结合起来，引导学生从函数值变化趋势的角度来看待例题中五个数列的变换趋势。通过这种讨论，在对变化趋势这个概念的理解上发挥心理学上所提“无意注意”的作用，使学生对进一步讨论的数列变换趋势问题不至于太陌生。
②&&&&&&&&&&&& 推陈出新
在对5个数列变化趋势的分析过程中，通过引导，由学生讨论得到数列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向学生说明：“具有类似于数列（2）、（3）、（5）共性的数列称为有极限的数列，共性中的“趋近于一个确定的常数”称它为有极限数列的极限”。并进一步和学生讨论如何给数列的极限下定义，此时我根据学生情况给予提示，给出数列极限概念的描述性说明：当项数无限增加时，数列的项无限趋近于某一个确定的常数的数列称为有极限的数列，这个确定的常数称为数列极限。
③&&&&&&&&&&&& 刘徽及其《割圆术》的介绍
学生对数列极限概念有了一定的认识，为了使学生认识到这个概念并不是突然产生的，是和他们已有的知识结构密切相关的，为此在第一阶段我设计了这一部分教学。
&&& 我一方面介绍了我国古代数学家对数列极限思想所做的贡献，如“在世界数学史上，刘徽是最早运用这种数列极限的思想解决数学问题的大数学家。用这种指导思想计算圆面积的方法，就称为刘徽割圆术.用类似刘徽割圆术的方法求出圆周率的近似值，虽然在公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德也算出过，但所用的方法却比刘徽所用的方法繁杂的多。”
&&& 在另一方面重点结合计算机模拟刘徽割圆术，介绍这种算法的指导思想：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。通过动态演示，进一步在“无意注意”作用的发挥上下文章，加深学生对“变化趋势”、“趋近于”、“极限”等概念的认识，为下一阶段极限概念的教学提供对这个概念感性认识的基础。
（二）&&&&&&&& “概念建立阶段”
1．&&&& 这一阶段要解决的任务
由于数列极限概念及其定义的数学语言表述具有高度的概括性、抽象性，学生初次接触很困难。具体讲，在 -N语言中，学生搞不清 的两重性――绝对的任意性、相对的确定性；学生搞不清“N”，不太理解N的实质是表示项数n无限增大过程中的某一时刻，从这一时刻起，所有an(n&N)，都聚集在以极限值A为中心， 为半径的邻域中，N是否存在是证明数列极限存在的关键。
因此在这一阶段的教学中，我采取“启发式谈话法”与“启发式讲解法”， 注意不“一次到位”，这样在本阶段我设计解决的几个主要问题是：
①建立、理解数列极限的定义；
②认识定义中反映出的静与动的辨证关系；
③初步学习论证数列极限的方法。
2．&&&& 本阶段教学安排
本阶段教学安排分三个步骤进行。
①&&&&&&&&&& 问题的提出
在教学安排上，我根据学生形成对数列极限的初步认识，以数列
为例，提出一个学生形成极限概念时不好回答的问题：根据数列极限定义直观描述，这个数列的极限是1，即当项数n无限增大时，这个数列的项无限地趋近于1，问题是为什么不说这个数列的项无限地趋近于1.1，从而使学生发现问题在于自己已获得的数列极限概念中“无限趋近于”这一描述，这种描述比较含混，感到有必要对极限定义做进一步精确描述。
②&&&&&&&&&& 问题的解决
具体讲，由于数轴上两点的距离及其解析表示对学生来说是很熟悉的，故我在教学中利用数轴引导学生先得出结论：“趋近于”是距离概念，距离的解析表示是绝对值，“无限趋近于”就可用距离要多小有多小来表示。即数列项与确定常数差的绝对值要多小有多小。
&然后让学生通过具体计算如：“思考已知数列中是否有到1.1的距离为0.01的项？”使学生知道已知数列的项不能与1.1的距离要多小有多小，即1.1不是已知数列的极限，从而使学生对“要多小有多小”这一概念有了进一步认识，并为量化|an-1|当项数无限增加时要多小有多小打下基础。
&③数列极限定义的得出
&在“检验‘1’是否满足：已知数列的项与1的差的绝对值是否要多小有多小”的教学过程中，我采取“给距离找项数”的方法。
具体讲让学生考虑已知数列中有哪些项与1的差的绝对值小于0.1、0.05、0.1，让学生把用计算器计算的结果在黑板上列表写出并解释所得的结果，如提示学生得出结论：“已知数列中第908项以后各项与1的差的绝对值小于0.0011。”这种讨论的目的是使学生感受到“N”是项数n 无限增大的过程中的一个标志，进而说明对于给定的每一个正数，可找到N，当n&N时，|an-1|小于这个正数。进而让学生注意无论表示距离的正数取的多么小，也不能说成“要多小有多小”，而把具体值改为 后即可解决这个问题。
&&&& 这样通过讨论，在我的引导下，使学生得到结论：“数列：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
当项数无限增大时，它的项越来越趋近于1”，也就是数列：
&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&
的极限为1，并进一步让学生总结出一般数列的极限的准确定义。
&& （三）“概念巩固阶段”&&
1．&&&&&& 本阶段的
在这一阶段的教学中我计划做两件事情：
①说明N、 、|an-A |& 在讨论数列极限时所起的作用;
②是习题训练。
2．&&&&&& 本阶段的教学过程
根据上述说明，这一阶段分为两个步骤。
①&&&&&&&&&&& 定义说明
除了对极限概念予以说明外为了加深学生对数列极限概念中N、 、|an-A |& 的认识，我让学生讨论问题“任意有极限的无穷数列能否使极限值为数列中的项”及“常数列是否有极限”，当学生有困难时，可通过举数列
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& “ ”
并提示其根据定义考虑问题。这样使学生进一步体会由特殊到一般再到特殊的认识规律。
②&&&&&&&&&&& 习题训练
在学生对数列极限定义的初步掌握的基础上，为巩固学生所学，我让学生作课本例1，练习这道题目的在于总结上一阶段得到数列极限的过程，同时让学生熟悉数列极限定义的应用步骤；在此基础上结合北大附中学生的特点我安排了例2，让学生作这道题目的在于通过对这道题的证明与讨论可让学生对等比数列{1，q，q2，…qn，…}收敛、发散性有一个清楚的了解。在例2的处理手法上我让学生先各抒己见，然后采用几何画板演示，验证同学猜想，从而激发学生的求知欲望。由于{1，q，q2，…qn，…}和{ }是今后学习过程中的常用数列，因此我觉得学生对例1、例2的掌握的好坏将对后面的学习产生直接影响。
③&&&&&&&&&& 补充说明
对于较好的班级，还可考虑用直角坐标系来代替数轴。由于数列是以自然数集子集为定义域的特殊函数，其图象是离散的点.这使得数列的项与点(n,f(n))，即点(n,an)对应起来.当数列{an}有极限A时，在直角坐标平面内的几何意义为：任给正数 ，存在一个以直线y=A+ 和y=A- 为边界的条形区域，存在一个N，当n&N时，所有的点（n, an）都落在这个条形区域内。换句话说数列的项在坐标平面内对应的点，只有有限个点落在条形区域外。利用这种方式教授这节课，形象直观，并为今后函数极限的教学打下基础。
三、关于教学用具的说明：
&&& 这节课的教学目的之一是使学生通过对极限概念形成过程的了解，较为自然地接受极限的定义，以利于加深对概念的理解和掌握。因此在本节课中主要使用的是计算器和计算机演示。计算器的作用在于使学生理解 “ ”和“N”内在关系；
计算机课件演示目的有三：其一是通过史料的简单介绍对学生进行爱国主义教育；其二是在概念形成阶段，为学生提供感性认识的基础；其三可对学生所得的结论验证、完善，加深对问题的理解，巩固所学的概念。总之“恰当使用现代化教学手段，充分发挥其快捷、生动、形象的辅助作用，最大限度地使学生获得并掌握所学的知识，”是我选择和使用教学用具的根据。
&&& 四、结束语：
总之，作为极限概念这部分的教学，应使学生初步体会到极限思想是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想。充分发挥学生主体意识，在老师引导下自主地获得知识。体验数学概念形成的过程。
以上是我作为一名年轻教师对本节课的设想，一定有很多不足之处，请在座的专家、老师们多多批评、指正，谢谢。
文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
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