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2亿+学生的选择
（2011o普宁市模拟）已知数列{am}是首项为a，公差为b的等差数列，{bn}是首项为b，公比为a的等比数列，且满足a1＜b1＜a2＜b2＜a3，其中a、b、m、n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若数列{1+am}与数列{bn}有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的通项公式；（Ⅲ）记（Ⅱ）中数列{cn}的前项之和为Sn，求证：1S2+9S2S3+9S3S4+…+9SnSn+1＜1942(n≥3)．
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（Ⅰ）由题设am=a+（m-1）b，bn=boan-1．&&&…（1分）由已知a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，所以ab＜a+2b＜3b．又b＞0，所以a＜3．&&…（2分）因为ab＞a+b，b＞a，则ab＞2a．又a＞0，所以b＞2，从而有．&&&&…（3分）因为a∈N*，故a=2．&&&&&&&&&&&…（4分）（Ⅱ）设1+am=bn，即1+a+（m-1）b=boan-1．&&&&…（5分）因为a=2，则3+（m-1）b=bo2n-1，所以n-1-(m-1)．&&&…（6分）因为b＞a=2，且b∈N*，所以2n-1-（m-1）=1，即m=2n-1，且b=3．&…（7分）故cn=bn=3o2n-1．&&&&&&&&&…（8分）（Ⅲ）由题设，Sn=3（1+2+…+2n-1）=3（2n-1）．&&&…（9分）当n≥3时，2n-1=Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn-1≥Cn0+Cn1+Cnn-1+Cnn-1=2n+1，当且仅当n=3时等号成立，所以Sn≥3（2n+1）．&&&&…（11分）于是nsn+1＝1(2n-1)(2n+1-1)＜1(2n+1)(2n+3)＝12[12n+1-12n+3](n≥3)．（12分）因为S1=3，S2=9，S3=21，则1S2+9S2S3+9S3S4+…+9SnSn+1=
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（Ⅰ）由题设am=a+（m-1）b，知bn=boan-1．由a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，知ab＜a+2b＜3b．由此能求出a．（Ⅱ）设1+a+（m-1）b=boan-1．由a=2，知3+（m-1）b=bo2n-1，所以n-1-(m-1)．由此能求出cn．（Ⅲ）由Sn=3（1+2+…+2n-1）=3（2n-1）．知当n≥3时，2n-1=Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn-1≥Cn0+Cn1+Cnn-1+Cnn-1=2n+1，当且仅当n=3时等号成立，所以Sn≥3（2n+1）．由此能够证明1S2+9S2S3+9S3S4+…+9SnSn+1＜1942(n≥3)．
本题考点：
数列与不等式的综合．
考点点评：
本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用放缩法进行证明．注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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＞＞＞设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=..
设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=nSnn2+c，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0．
题型：解答题难度：中档来源：江苏
证明：（1）若c=0，则an=a1+（n-1）d，Sn=n[(n-1)d+2a]2，bn=nSnn2=(n-1)d+2a2．当b1，b2，b4成等比数列时，则b22=b1b4，即：(a+d2)2=a(a+3d2)，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．因此：Sn=n2a，Snk=(nk)2a=n2k2a，n2Sk=n2k2a．故：Snk=n2Sk（k，n∈N*）．（2）bn=nSnn2+c=n2(n-1)d+2a2n2+c=n2(n-1)d+2a2+c(n-1)d+2a2-c(n-1)d+2a2n2+c=(n-1)d+2a2-c(n-1)d+2a2n2+c．&&①若{bn}是等差数列，则{bn}的通项公式是bn=An+B型．观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：c(n-1)d+2a2n2+c=0，即c(n-1)d+2a2=0，而(n-1)d+2a2≠0，故c=0．经检验，当c=0时{bn}是等差数列．
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据魔方格专家权威分析，试题“设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质，等差数列的前n项和&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质等差数列的前n项和
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 等差数列的前n项和的公式：
（1），（2），（3），（4）当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。 等差数列的前n项和的有关性质：
（1），…成等差数列； （2）｛an｝有2k项时，＝kd； （3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平， S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a平； 解决等差数列问题常用技巧：
1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）； (2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q＝0，此时公差d＜0。&&
发现相似题
与“设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=..”考查相似的试题有：
871872871863764438825680864453872024当前位置：
＞＞＞已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公..
已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，n=1，2，…，其中a，b均为正整数，且a1＜b1＜a2＜b2＜a3．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对于{an}，{bn}，存在关系式am+1=bn，试求b的值；（Ⅲ）对于满足（Ⅱ）中关系式的am，试求a1+a2+…+am．
题型：解答题难度：中档来源：四川省模拟题
解：（I）由题设知，an=a+（n﹣1）b，由已知可得，a＜b＜a+b＜ab＜a+2b∴b＜ab，a＞1∴ab＜a+2b＜3b又∵b＞0∴a＜3∵a为正整数∴a=2（II）am+1=bn，可得a+（m﹣1）+1=ban﹣1∵a=2∴3+（m﹣1）b=b●2n﹣1则∴b＞a=2且b为正整数∴2n﹣1﹣（m﹣1）=1∴b=3（III）由（II）知，m=2n﹣1，an=3n﹣1∴a1+a2+…+am=（3●1﹣1）+（3●2﹣1）+…（3●2n﹣1﹣1）===3●22n-3+2n-2
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据魔方格专家权威分析，试题“已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公..”主要考查你对&&等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，等比数列的定义及性质，等差数列的前n项和&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的通项公式等差数列的通项公式等比数列的定义及性质等差数列的前n项和
等比数列的通项公式:
an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。等比数列的通项公式的理解：
①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{an}的通项公式，可以改写为．当q&o，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；④通项公式亦可用以下方法推导出来：将以上（n一1）个等式相乘，便可得到&⑤用方程的观点看通项公式．在an，q，a1，n中，知三求一。等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
&等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 等差数列的前n项和的公式：
（1），（2），（3），（4）当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。 等差数列的前n项和的有关性质：
（1），…成等差数列； （2）｛an｝有2k项时，＝kd； （3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平， S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a平； 解决等差数列问题常用技巧：
1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）； (2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q＝0，此时公差d＜0。&&
发现相似题
与“已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公..”考查相似的试题有：
472345248694448864472506521131446019知识点梳理
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知等差数列{an}的首项为a，公差为b；等比数列{bn}的...”，相似的试题还有：
已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am+3=bn成立，则an=()
已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a，b 都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，那么a=()；若对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得
bn=am+3成立，则an=()．
已知等差数列{an}的首项为a，公差为b；等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b∈N+，且a1＜b1＜a2＜b2＜a3．(1)求a的值；(2)若对于任意n∈N+，总存在m∈N+，使am+3=bn，求b的值；(3)在(2)中，记{cn}是所有{an}中满足am+3=bn，m∈N+的项从小到大依次组成的数列，又记Sn为{cn}的前n项和，tn和{an}的前n项和，求证：Sn≥Tn(n∈N)．