《中学数学解题的理论与实践》第1章解题概述
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约59110字。
　　中学数学解题的理论与实践
　　罗增儒
　　广西教育出版社
　　1．数学离不开解题，数学研究的过程就是解决问题的过程，数学研究的成果也都是用问题及其解决的形式来记录的．但是，数学早已有系统完整的理论大厦，而解题却还没有成熟的理论框架，甚至连“什么叫解题”都莫衷一是．
　　数学教学有重视解题的悠久传统，人们相信，掌握数学的一个重要标志就是善于解题．但是这种重视主要表现在操作层面，如“模仿+练习”、勤学苦练、熟能生巧等，还缺少“解题理论”的科学指导．会解题的不知道怎么就会了，不会解题的更不知道怎么就老学不会．
　　本书的写作意在改变这种状况，为数学解题理论的建设摇旗呐喊．
　　2．中国是个解题大国、古国和强国，重视解题教学、擅于变式训练是中国数学教育的一项优势，并构成一个具有中国特色的文化现象．多少年来，解题研究一直是中国中学数学教师重点思考的两大问题（怎样教学？怎样解题？）之一，一直是中国数学教育研究的一个基本课题．古典名著《九章算术》以九卷、246道题目及其解答术构成篇章,可谓解题研究的开山之作；在权威的中学生国际数学奥林匹克竞赛（IMO）和相关国际比较测试（如IAEP）中，中国中学生曾获“双料冠军”，又可谓解题研究的现代辉煌．虽然，中国的数学解题理论尚待成熟，但自20世纪80年代以来，已经进行了理论构建的实践积累和构建理论的初步实践．我们有理由期望，“数学解题论”的研究工作首先在中国的大地上开花结果．
　　本书的写作意在整理中国的数学解题研究、为中国数学解题理论的建设添砖加瓦．
　　3．数学上回答“怎样解题”、“怎样学会解题”的学说，我们称为数学解题理论．本书的第1章，是为理论展开与实践探索作出开篇性的概述，分析了解题研究的现状和成功解题的基础，剖析了两个核心概念：“解题”与“解题分析”．“解题”把“题”作为认识的对象，把“解”作为认识的目标，重点在怎样获得题目的解；而“解题分析”则要继续把解题活动(包括题目与初步解法)作为认识的对象，不仅关注如何获得解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维”，重点在怎样学会解题．本书的基本观点是：“分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径”，而学会解题有四步骤基本程式：“简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析”．
　　对解题本质的不同解释、解题过程的不同描述，会形成百花齐放的解题理论．本书的第2章介绍了一些有代表性的解题观点，如解题推理论、解题化归论、解题化简论、解题信息论、解题系统论、解题差异论和解题坐标系．这一章，以理论叙述为主线，背后有大量的解题案例作支持．
　　本书的第3章则以解题案例为主线，自觉提炼解题的理论启示．在“分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径”的理念下，具体分析了7个解题案例，体现怎样进行解题分析、怎样从解题分析中获得理论认识．2003年数学教育高级研讨班纪要（数学教育学报，2004，1）认为：“这一研究的背后有大量的数学解题实践加以支持，这是一件扎根本土的有价值的数学教育研究”．
　　4．笔者自投身数学教育以来（1978年），一直是把数学解题活动作为自己对中国数学教育表态的一个讲台，本书所叙述的主要是个人学数学、教数学的实践与体验，是植根于中国30年解题岁月基础上,试图回答“怎样解题”、“怎样学会解题”的理论思考与实践尝试．毋容说，这是一个中国解题者的学习案例，或是一个中国学习者的解题案例．
　　需要强调指出的是，笔者个人对数学解题的认识与实践，虽然不无个案的支持，但还缺少广泛的实证，虽然能找到相关理论的一些说明，但主要还是有待提升的经验．我们更愿意将其看成实验假设，并期待广大教师去实证相关的分析．
　　本书在写作中参阅了很多同行的大量资料，基本上都在每一节的参考文献中作了注明，在此，我要向他们表达更为正规的敬意和谢意．同时，也趁此机会感谢广西教育出版社的精心策划与辛勤劳作．　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 罗增儒　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　第1章& 解题概论
　　第1节& 解题研究的现状分析
　　1．1．1& 解题研究的基本工作
　　1．1．2& 解题研究的存在问题
　　第2节& 解题概念的初步界定
　　1．2．1& 数学题
　　1．2．2& 数学解题
　　1．2．3& 数学解题理论
　　第3节& 成功解题的基本要素
　　1．3．1& 知识结构
　　1．3．2& 思维能力
　　1．3．3& 经验题感
　　1．3．4& 情感态度&&
　　第4节& 基于经验的解题分析
　　1．4．1 学会学解题的四步骤程式
　　1．4．2& 关于自觉分析的说明
　　1．4．3& 进行解题分析的操作
　　1．4．4 “自觉分析”的研究课题
　　第2章& 解题观点
　　第1节& 解题推理论
　　2．1．1　解题的实质
　　2．1．2& 解题过程的结构
　　2．1．3& 如何寻找解题方案
　　第2节& 解题化归论
　　2．2．1& 波利亚的怎样解题表
　　2．2．2& 解题表的化归思想
　　2．2．3& 实践解题表的示例
　　第3节& 解题化简论
　　2．3．1& 连续化简
　　2．3．2& 解题的基本方法
　　2．3．3& 连续化简的示例
　　2．3．4& 连续化简的基本原则
　　第4节& 解题信息论
　　2．4．1& 数学解题的信息论解释
　　2．4．2& 数学解题的信息过程
　　第5节& 解题系统论
　　2．5．1& 构建数学问题系统
　　2．5．2& 数学方法系统
　　第6节& 解题差异论
　　2．6．1& 解题差异论的理论基础
　　2．6．2& 解题中的反馈——差异分析法
　　2．6．3& 解题后的反馈——分析解题过程
　　第7节& 解题坐标系
　　2．7．1& 解题坐标系的建立　　
　　2．7．2& 解题思路的探求
　　第3章& 解题案例
　　第1节& 问题解决视角的解题分析&&
　　3．1．1 案例的呈现
　　3．1．2& 解题步骤的结构分析
　　3．1．3& 解题过程的自觉反思
　　3．1．3& 信息交合&&
　　3．1．4& 简要小结
　　第2节& 数学解题的思维过程
　　3．2．1　浮现数学表象
　　3．2．2　产生数学直感
　　3．2．4　给出逻辑证明
　　3．2．5　反思解题过程
　　3．2．6　展开动态想象
　　第3节& 特殊与一般的双向沟通
　　3．3．1& 数学活动的开展——解题思路的常规探求
　　3．3．2& 数学活动的深入——探求结果的反思分析
　　3．3．3& 基本活动经验——解题经验的自觉积累&
　　第4节& 高考数列题的解题反思&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　　3．4．1& 文科数列题的解题反思——怎样进行解法的改进
　　3．4．2& 理科数列题的解题反思——“冗余条件”的发现与处理
　　第5节& 一道高考题的完整求解与思维测试
　　3．5．1 “会而不对，对而不全”的纠正
　　3．5．2& 思维层次的测试
　　3．5．3&& 更一般性的思考
　　第6节& 数学教育的结论也是要证实的
　　3．6．1&& 案例的呈现—— 可疑的观点
　　3．6．2& 案例的分析——失效的论据&
　　3．6．3& 事实与启示
　　第7节& 明确知识的认识封闭现象&&&&&&&&&&&&&&&
　　3．7．1& 认识封闭现象的呈现
　　3．7．2& 封闭认识成因的探析
　　3．7．3& 简要小结
　　内容简介
　　本书环绕“怎样解题”、“怎样学会解题”这两个基本问题进行数学解题的理论分析与实践探索．就“怎样解题”介绍了解题推理论、解题化归论、解题化简论、解题信息论、解题系统论、解题差异论和解题坐标系等有代表性的解题观点；就“怎样学会解题”提出了学会解题的四步骤基本程式：“简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析”，并通过大量鲜活的案例说明：“分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径”．无论是在“解题思路的探求”上，还是在“解题过程的反思”中，都不乏陈题新解、难题简解、佳题巧解、名题多解．
　　第1章& 解题概论
　　作为理论展开与实践展示的基础，本章谈一些与数学解题相关的准备性问题，包括解题研究的现状分析，解题概念的初步界定，成功解题的必要基础，基于经验的解题分析．
　　第1节& 解题研究的现状分析
　　在“文革十年”期间，解题活动基本上是停顿的，1977年恢复全国高考使解题研究重新起步，1978年恢复数学竞赛又给方兴未艾的解题研究提供了新的动力 ，1980年前后翻译出版波利亚的著作更给中国的解题研究吹来一股春风．久旱逢甘雨，中国的数学解题活动如同沉积有时的火山重新喷发，如同沉睡方醒的大海重又咆哮．在现行考试制度与改革开放的双重背景中，中国的解题传统很快就重振雄风，形成特色．回顾中国数学解题研究30年，虽有不少功利性、应试性、重复性的工作，但依然表现出健康的主流．
　　1．1．1& 解题研究的基本工作
　　涉及数学解题的文章书籍是研究解题现状的原始素材，这方面的资料浩如烟海，对解题研究的贡献也有重有轻，理顺这些情况是解题研究的一项基础工程．我们通过对文章书籍的初步整理，粗略地将数学解题研究的相关工作分成14个方面，除理所当然的数学自身研究之外（如初等数学研究、教育数学研究），还广泛涉及解题的文献学研究、方法论研究、教学论研究、思维论研究、竞赛论研究、心理学研究、以及数学解题的理论建设等．&
　　1．1．1．1 资料性的分类汇编
　　这方面的工作一开始是资料奇缺情况下的应急之举，后来逐渐成长为记录解题成果的工具书，近年又发展为网络资料．
　　1．资料性的工具书．“文革”结束后出版了一批习题集，首先是重版的或国外的，随后是新编的、国内的，书中基本上是就题论题，一题一解．如日本的《几何学辞典》、《三角学辞典》、《代数学辞典（上、下）》，前苏联的《初等代数习题集》、《初等数学习题集》等；国内的有《中学数学习题》（杭州大学数学系，1978）、《中等数学习题集（四册）》（翟连林等，1980）、《中学数学习题汇编》（高希尧，1980）等．这些工作一开始是资料奇缺情况下的应急之举，后来则成长为记录解题成果的工具书，如上海辞书出版社出版、唐秀颖主编的《数学解题辞典•平面解析几何》（1983）、《数学解题辞典•代数》（1985）、《数学解题辞典•三角》（1988）、《数学解题辞典•立体几何》（1991）等，又如河南教育出版社的“中学数学专题丛书”，其宏伟的计划是按专题出50册，堪称“一套大型中学数学教学资料工具书”．
　　2．技巧性的解题指导资料．这从20世纪80年代开始盛行,也经历了“从重印到新编”的过程．结构上，有的按内容分类，有的按方法分类，主要是结合题目介绍具体的解题方法与解题技巧，其内容很多都可直接进入课堂；形式上，从一招一式的归类到注重一题多解、一题多变和一解多题等都有．如卢正勇的《数学解题思路》（1980），介绍了20种方法，
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[教师版]二轮数学课堂讲解答案
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&北京雪域西藏文化发展有限公司 版权所有 | 京ICP备号-1 | 京公网安备号 顺义区北务镇龙塘路南侧 010-更多相关文档谈谈变式训练的设题方法
综观近几年各地的中考试题,有不少教师会发现,很多题目都属于变式题.而这些变式题的原型大多又是教材中的例题或者习题.因此,在教学中,教师应注重对学生进行变式训练.笔者根据教学实践,就变式训练常用的设题方法做些简要说明.一、变换题目的条件从一道例(习)题出发,运用逆向或横向思维,通过改变题目的条件、变换题型、变数字、变字母、变符号、一般化、特殊化等手段,使原来的一道题变成一组变式题.通过研究这组变式题,可以促使学生形成完整的知识结构,既有利于培养学生的问题意识和创新意识,又可以提高学生的学习能力和综合素质.例1(对北师大版课标教材七年级下册第一章第8节“完全平方公式”教学时的变式处理)师生共同总结:(1)(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)(a-b)2=a2-2ab+b2.得出这2个完全平方公式以后,笔者便引导学生解答下面的问题.练习:(1)(a+2y)2是哪2个数的和的平方?(a+2y)2=()2+2()()+()2.(2)(...&
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数学变式教学是通过变更数学概念的非本质特征来暴露问题本质特征的教学方法.即在数学教学中用不同形式的直观材料或事例说明概念、定理、命题的本质属性,对数学的定理和命题的非本质特征进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化,以突出它们的本质特征,揭示不同知识点的内在联系的一种教学方法.包括知识形成过程中的问题设计,基本概念辨析型变式,定理、公式的深化变式,多证变式以及变式应用;例习题的一题多解、一题多用、一题多变、多题归一;还有作图变式等.本文立足自身的教学实践,试探索高中数学课堂上进行变式教学的作用和意义.1揭示规律,促进数学思想方法的内化教师的教法常常影响到学生的学法,灵活巧妙而又重视基础的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用.在二面角的复习课中,针对学生已知道作二面角的平面角但不能灵活处理的现状,笔者编制了下列题组,以帮助学生形成建模意识.在学生学习中,面对纷繁复杂的知识和方法,往往显得无从下手,这就需要平时在...&
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“变式理论”[1]是中国数学教学传统的一项重要内容,对此我们不仅应当很好地继承,而且也应从各个方面作出必要的发展,包括清楚地指明这一理论与其他相关理论的区别与联系、以及相互之间的互补关系.在前一文章[2]中笔者已通过变式理论本身的分析指明了进一步发展的必然性,以下则将围绕这一理论在数学教学中的应用对此作出进一步的论述.1变式理论与数学教学:案例一正如文[2]中所已指出的,这可以看成“变式理论”的核心所在:我们应当善于“通过变化以突出其中的不变因素”,从而帮助学生更好地掌握数学概念的本质,包括学会数学地解决问题.以下就是以变式理论、特别是所谓的“概念式变式”指导实际教学工作的一个实例,尽管相关的任课教师在当时可能并没有清楚地意识到这样一点.例1“认识分数”.具体地说,作为分数的引入,这位教师专门设计了“分蛋糕”这样一个情境,并通过简单讨论(事实上,有很多学生在正式学习分数前已经通过各种渠道对分数的概念有了一定了解)引出了如下结论:...&
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那么什么是变式教学在教学中,变式教学是指从一道题目出发,通过改变题目的条件、问题或改变题目设计的情景,重新进行讨论的一种教学方法.现在的教学资源很丰富,教学资料随处可得,该用哪些资料有时教师和学生很难定夺,我根据多年的教学经验认为,教师所选用的习题应“源于课本”,然后对它进行变式,使它“高于课本”,变式时要以“考纲为纲”.一、变式教学法在数学教学中的作用1.运用变式教学,确保学生参与教学活动的持续的热情课堂教学效果在很大程度上取决于学生的参与情况,加强学生的参与意识,使学生真正成为课堂教学的主人,是现代数学教学的趋势.变式教学是对教学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式,以暴露问题的本质,揭示不同知识点的内在联系的一种教学设计方法.通过变式教学,能使一题多用,多题重组,常给人以新鲜感,能够唤起学生的好奇心和求知欲,从而产生主动参与的动力,保持其参与教学活动的兴趣和热情.2.运用变式教学,培养学生思维的广...&
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变式教学不仅仅是教师设计变式，学生应付变式，教师应该让学生也加人到变式的行列，培养学生主动对问题进行变式思考，让学生充分认识变式的自然性，变式前后问题的关联性，从哪些方面去进行变式，只有这样，变式教学才更为有效和深人。变式就是不断变换问题呈现的方式，使事物的非本质特征时隐时现，而事物的本质特征保持不变。通过变式教学，有意识地引气导学生从变的现象中发现不变的本质，从不变的本质中探索变的规律。笔者谈谈实施变式教学的几个途径。一、引导学生对方法的知识峨体进行变式‘，题目:，已知Fl、凡分别为椭圆七答洽+，一一，一一，，一“’一”‘””一100其二】‘的左、右焦点，椭圆丙一点M(2，-64一”一’一‘…‘，’’”，，~’J‘…’~、一，6)，p为椭圆_七一动点，求}PM}+李IPF，}一”’.l---一“”””一’一‘’一”3’一‘’的最小值。教师引导学生分析得出解法，并强调定义.(第二)解题在解析几何中的重要地位。师:此方法还能解有关...&
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变式教学是指教师在引导学生解答数学问题时,变更概念非本质的特征,变更问题的条件或结论,转换问题的形式或内容,创设实际应用的各种环境,使概念或本质不变的一种教学方式.变式教学对培养学生的思维品质、提高学生的应变能力是大有益处的.下面通过对一道课本题四个方面的变式命题的构建,谈对学生思维品质的培养.引例已知sinx+siny=12,cosx-cosy=13,求cos(x+y)的值.解由(sinx+siny)2+(cosx-cosy)2=122+132,得(sin2x+cos2x)+(sin2y+cos2y)-2·(cosxcosy-sinxsiny)=1336,化简得2cos(x+y)=5936.故cos(x+y)=5972.本题选自苏教版高中数学必修4第100页练习第2题,解法巧在“平方项的和”是常数,“乘积项的和”利用两角和差正余弦公式化简成一个角的三角函数的形式,这是一道很好的三角例题.在教学中,浅尝辄止,甚为可惜.若通过貌似...&
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