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人教版高中数学(理科)选修复合函数的导数.doc 7页
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人教版高中数学(理科)选修复合函数的导数
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复合函数的导数(一)
●教学目标
(一)教学知识点
复合函数的求导法则.
(二)能力训练要求
1.理解掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用上述公式，并结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．
(三)德育渗透目标
1.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．
2.培养学生归纳、猜想的数学方法．
3.加深学生对一般和特殊的理解，培养学生用联系的观点看问题.
4.培养学生的创新能力，提高学生的数学素质.
●教学重点
复合函数的求导法则的概念与应用，复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.
●教学难点
复合函数的求导法则的导入与理解.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解.
●教学方法
建构主义式
由几个具体的实例，通过学生自己动手计算，比较结果，进行观察、总结，能够自己发现规律，得到结论.让学生主动地进行学习，而不是被动地接受知识.培养学生的创新意识.
●教具准备
实物投影仪
先由几个例子，引出复合函数的求导法则.几个例子可以先写在纸上，用表格的形式写出，分别让学生求y′，y′u，u′x和y′u·u′x，答案写入表格中，让学生将y′与y′u·
u′x的结果进行比较.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］我们已经学习一些基本初等函数的导数.基本初等函数一共有六种：①常量函数y=C(C是常数)，②幂函数y=xα(α∈R)，③指数函数y=ax(a&0，a≠1)，④对数函数，y=logax(a&0，a≠1，x&0)，⑤三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，⑥反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx.其中常量函数、幂函数、三角函数的导数，已经学过了，指数函数和对数函数，下几节课学.这节课我们来学习由基本初等函数复合而成的复合函数的导数.
Ⅱ.讲授新课
(一)复合函数的导数
［师］我们来看几个函数.(由实物投影仪投影出来)
［师］这五个函数都是由一些一次函数、二次函数、三次函数和三角函数复合而成的.像这种形式的函数，即由几个函数复合而成的函数，就叫做复合函数，下面来求一下y′x，y′u，u′x和y′u·u′x，并且y′u·u′x用x表示.
(给学生时间做题，做好了，让学生回答，说出答案，老师用笔，写在纸上，让投影仪投影出来，再让学生观察表格中的数据有什么关系.虚框内的是后来填上去的)
［生］这几个函数y′x与yx′·u′x的值是相同的.
［师］我们把u称为中间变量，那对于一般的复合函数是不是有相同的结论呢？要求
y′x，只要求y′u与u′x的乘积，也就是说y′x=y′u·u′x，我们来证明一下下面的一个命题.
1.设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且y′x=y′u·u′x或f′x( (x))=
f′(u) ′(x).
证明：设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以u= (x)在点x处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.
(为了证明起来比较方便，而且不影响结论的情况下，我们只考虑)当Δu≠0时，由.
即y′x=y′u·u′x.
［师］所以对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.上述证明的命题就是复合函数的求导法则.
2.复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.
(二)课本例题
［例1］求y=(2x+1)5的导数(让学生设中间变量).
解：设y=u5，u=2x+1
∴y′x=y′u·u′x=(u5)′u·(2x+1)′x
=5u4·2=5(2x+1)4·2=10(2x+1)4
注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.
［师］有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.
(三)精选例题
［例1］求f(x)=sinx2的导数(让学生设中间变量)
解：令y=f(x)=u=x2
∴y′x=y′u·u′x=(sinu)′u·(x2)x′
=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2
∴f′(x)=2xcosx2
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180页234页332页210页507页346页181页168页180页166页《志鸿全优设计》数学人教A选修22第一章1.2　导数的计算&&人教版
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1.2 导数的计算问题导学一、利用公式求导数活动与探究1求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝log3x；(3)y＝；(4)y＝－2sin；(5)y＝3lnx＋ln．迁移与应用1．(2013福建厦门模拟)已知f(x)＝，则f′(1)等于( )A．1B．－1C．3D．－32．给出下列命题：①y＝ln2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2x?ln2；④y＝log2x，则y′＝．其中正确命题的数目为( )A．1B．2C．3D．4(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．二、导数运算法则的应用活动与探究2求下列函数的导数：(1)y＝cosx＋x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝；(4)y＝4＋4；(5)y＝；(6)y＝xln．迁移与应用1．函数y＝sinx?cosx的导数是( )[来源:学科网]A．cos2x＋sin2xB．cos2xC．sin2xD．cosx?sinx2．求下列函数的导数：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋sincos；(3)f(x)＝(＋2)．(1)运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y＝f(x)的结构和特征，若直接求导很繁琐，一定要先进行合理的化简变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导．(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简，整理，然后再套用公式求导．三、求复合函数的导数活动与探究3求下列函数的导数：(1)f(x)＝(－2x＋1)2；(2)f(x)＝ln(4x－1)；(3)f(x)＝23x＋2；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝sin；(6)f(x)＝cos2x．迁移与应用1．若f(x)＝cos2，则f′＝__________．2．求下列函数的导数：(1)y＝ln；(2)y＝．求复合函数的导数时要注意以下三点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x；(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin的导数，设y＝sinu，u＝2x＋，则y′x＝y′u?u′x＝2cosu＝2cos．四、导数运算的应用活动与探究4已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．迁移与应用1．曲线y＝ex在(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A．e2B．2e2C．e2D．2．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过点P的切线与直线y＝4x－7平行．(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程．在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，点P不一定是切点．(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为(x0，y0)，然后写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，最后代入点P的坐标，求出(x0，y0)．答案：课前?预习导学【预习导引】1．(1)0 (2)1 (3)2x (4)－ (5)2．(1)0 (2)αxα－1 (3)cosx (4)－sinx (5)axlna (6)ex (7) (8)预习交流1 (1)提示：这两个求导结果皆错．①中函数y＝3x是指数函数，其导数应为(3x)′＝3xln3；②中函数y＝x4是幂函数，其导数为(x4)′＝4x3．(2)提示：①f′(x)＝；②f′(x)＝0；③f′(x)＝0．3．(1)f′(x)±g′(x) (2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(3)(g(x)≠0)预习交流2 提示：能推广．容易证明：[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)．4．(1)f(g(x)) (2)y′u?u′x预习交流2 提示：复合函数求导的主要步骤是：(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；(2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．课堂?合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：利用导数公式，必要时进行合理变形、化简，再求导．解：(1)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－．(2)y′＝(log3x)′＝log3e＝．(3)y′＝()′＝()′＝．(4)∵y＝－2sin＝2sin＝2sincos＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx．(5)∵y＝3lnx＋ln＝lnx3＋ln＝lnx，∴y′＝(lnx)′＝．迁移与应用 1．D 解析：∵f(x)＝＝x－3，∴f′(x)＝－3x－4．∴f′(1)＝－3．2．C 解析：①中y＝ln2为常数，故y′＝0，因此①错，其余均正确．活动与探究2 思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导．解：(1)y′＝′＝－sinx＋xln．(2)方法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)?(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；[来源:Z+]方法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)?(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11．(3)方法1：y′＝′＝＝＝；方法2：∵y＝＝＝1－，∴y′＝′＝′＝－＝．(4)y＝2－2sin2cos2＝1－sin2＝1－?＝＋cosx，∴y′＝′＝－sinx．[来源:学*科*网](5)y＝＝＝cosx－sinx，∴y′＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx．(6)y＝xln＝xlnx，∴y′＝(x)′?lnx＋x?(lnx)′＝lnx＋．迁移与应用 1．B 解析：y′＝(sinx)′?cosx＋sinx?(cosx)′＝cos2x－sin2x＝cos2x．2．解：(1)f′(x)＝′＝＝；(2)f′(x)＝′＝′＝2x＋cosx；(3)f′(x)＝′＝′＝′＝－－＝－－．活动与探究3 思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．解：(1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则y′＝y′u?u′x＝2u?(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4．(2)设y＝lnu，u＝4x－1，则y′＝y′u?u′x＝?4＝．(3)设y＝2u，u＝3x＋2，则y′＝y′u?u′x＝2uln2?3＝3ln2?23x＋2．(4)设y＝，u＝5x＋4，[来源:学科网]则y′＝y′u?u′x＝?5＝．(5)设y＝sinu，u＝3x＋，则y′＝y′u?u′x＝cosu?3＝3cos．(6)方法1：设y＝u2，u＝cosx，则y′＝y′u?u′x＝2u?(－sinx)＝－2cosx?sinx＝－s...
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