数学学习的心理过程基础与过程：算术问题的难度分析
大家好！我是第21组学员李建辉，任教于建德市乾潭第一小学。很高兴再次与您相遇。期待着能与您一起幸福的行走在小学数学教学研究的路上！
1.听一听：算术问题的难度分析
2.读一读：算术问题难度的因数和特征
数与运算的教学内容及小学阶段数与运算教学的学习理论研究的热点
数与运算教学的认知层次
3.做一做：学以致用
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一、影响算术问题难度的因数和特征有哪些？
算术问题的难度分析是数学问题解决研究的一个重要课，其中包括影响问题难度（内部和外部）的因素与特征；不同问题的难度比较与排序；问题解决的认知障碍等，这些研究对数学课程的设计及教学序列的安排都有着实际的意义，早期关于算术问题的研究大多集中在确定哪些问题儿童能够解决，哪些问题儿童不能解决，最大的一批早期研究是试图排列100以内的加减法算式的相对难度。这些研究的目的是为组织教学提供准则，将比较难的算式放在后面教，并且用更多的学时，尽管其中的一些研究有较高的相关性，但仍然存在许多相互矛盾的结果及不一致之处（莱什和兰多，1990）除了试图排列各种算式的难度等级外，有些石室学试图确定能解释各种算式相对难度的因素，上述早期的研究后来受最一些人的批评（Brownell，1941；Carper，1943），于是，关于算术问题的研究重点转移到问题的结构特征或问题提出的条件，并开始从内部的认知过程去分析学生在解题中遇到的困难与障碍。
已有的研究表明，影响算术问题难度的主要因素包括以下几类：
第1.未知数的位置
例如，鲍威尔斯（Pauwels，1987），利莱等人（Riley et al.，1981）和吕玉琴（1997）的研究一致发现：在“改变”类型中，不管是添加型或拿走型，未知数所在的位置越在前面，难度越高，难度增高的原因是由于语意结构与儿童解题的策略产生冲突（Willis & Fuson，1988；Riley，1981）。例如，“小华有一些弹珠，小明给小华3颗后，小华现在有8颗弹珠，小华最初有几颗弹珠”是一个最初量未知的“改变”类问题情境，从语意结构上，小明给小华3颗弹珠，使得小华的弹珠量增加了，儿童使用的对应策略是往上累加的策略，而实际在数学格式化的要求下，却反而需转换为最终量减去改变量，才能得到最初量，也就是说，需要将题意（ ）+3＝8转换成为8-3＝5的列式计算。
第2.语言的表述
例如，对于“比较”类型来说，其难度的增高主要是由于受到题目中的叙述语的不一致性的影响（Lewis & Mayer，1987；Verschaffel，et al.，1992；Versch affel，1994；Lin，1997），来看下面的两个问题：
问题1：小明的5颗弹珠，小华比小明多3颗弹珠，小华有多少颗弹珠？
问题2：小华有8颗弹珠，小华比小明多3颗弹珠，小明有多少颗弹珠？
其中，问题1是一个具有一致性方的比较型问题，小华的弹珠数量是未知数，小华是关系句子中的主词，而且“比多”与加法相对应，属于比较类型的比较量未知的情形；而问题2为一个具有不致性语言的比较型问题，小明的弹珠数量是未知数，是关系句中的受词，而且关系词“比多”对应的是减法，属于比较类型的参照量未知的情形，相比之下，参照量未知的情形要难于比较量未知的情形。
第3.数字形式
格瑞尔（Greer，1992）以及德考特和弗斯查夫（De Corte & Verschaffel，1996）的研究均发现，对于乘法应用题来说，问题类型坚学生的影响不大，数学形式才是关键，其中，特别昌当乘数是小的情况下，往往觉得困难，其原因主要是对乘除法意义的错误理解发，因为许多学生以为：“乘法总是变大，除法总是变小，”而在除法问题中，等分和包含除题型亦会受到数字形式的影响，其中，特别当被除数小于除数时对学生的影响较大（如Bell，Fischbein & Greer，1984；Davydov，1991；Fischbein，Deri，Nello & Marino，1985；Greer & Mangan，1984）。
第4.问题的结构
一些研究者认为，学生在解决除法问题时往往会形成“等分模式”的思维定势，例如，贝尔等人（Bell,et al.，1984）在其探究用算式发展文字题的研究中，发现当算式符合用等分除的问题时，有93%的五、六年级学生均可写出合适的问题，但当算式不合乎等分除的模式，而必须以包含除来解时，就只有大概1/2的学生能正确写出类问题，菲斯宾等（Fischbein et al.，1985）在分析五、七、九年级学生解决等分除与包含除算式时，也发现五年年级学生除法的直觉模式是等分除，他们同时指出通过学习经验能促使九年级学生发展出上两种想法，然而西蒙（Simon，1993）却指出甚至职前教师仍停留在等分除模式上，因此格瑞贝尔（Graeber,1993）在综合有关乘除法文献后指出，学生较易接受等分除的概念，但也因此产生许多错误概念，甚至妨碍包含除概念的理解。
第5.单位的变化
对于算术问题而言，由于涉及的数学概念不多，因此比较注重背景的变化，从而也就带来数量单位的变化，在数量单位的变化中，除了名称的变化外，还包括维度的变化，这也是造成乘除法问题比加减法问题困难的原因，因为后者只涉及一维空间，但前者则可能牵涉二维或三维的度量空间，甚至于涉及度量空间之间的关系（林碧珍，1991），依据施瓦兹（Schwartz，1998）的论点，乘除法而“合成变换”，甚至可能产生一个与原来二者不同的数量，即所谓的“内涵量（intensity）”，对儿童而言，内涵量的问题是比较困难的题目（刘秋木，1996）。正因为如此，一般儿童甚至于成人均避免使用乘除的方法，而比较喜欢以加减运算来解决问题（Hart，1981），西蒙（Simon，1993）甚至指出文字中除法的符合表示即使对职前教师也不总是有意义的表征，例如他们不能用“3/4除以1/4”去表达真实世界文字题的数学结构；或不能以“51除以4”分别去拟出实际生活中带有非整数商、四舍五入或无条件舍去的整数商的三种情境，西蒙的进一步研究表明，辨别适当单位的困难可能是引起对除法了解困难的主要原因。
第6.问题的表征
不仅在原来的问题呈现时，而且在后来的选择时，表征的形式都是非常重要的（莱什和兰多，1990），在解题过程中，学生常常需要将一种表征形式转化为另一种表征形式，或者在内部表征和外部表征之间相互转化，这需要较高的抽象能力。
在算术问题中，造成问题表征困难的主要原因是缺乏相应的符合，如未知数符号的使用，例如，在解决问题“一个数的5倍加4 等于24，求这个数”时，若将这个数用未知数符合x表示，则问题就转化为简单的计算；而若用算术的方法，则需要一个逆向思维的过程。
二、数与运算的教学内容有哪些？”“小学阶段数与运算教学的学习理论研究的热点有哪些？
有些数学内容从来都是被认为难教难学的，其中就包括分数、小数、比例和百分数（Barmett，Goldenstein & Jachson，1994），因此，有关这些数学内容的教学也就成为小学阶段学习理论研究的热点，在相关的研究中，比较著名的包括：莱蒙（Lamon，1999）对分数与比例的教学策略的研究；斯太克（Steinke，2001）对成人“部分一整体”概念的调查；布罗夫等人（Brover，Deagan & Farina，2001）对老师对分数概念的理解的考察；斯特里特兰（Streefland，1999）对现实数学背景下分数概念的形成的研究；麦克（Mack，1990）进行的直觉知识对数概念的影响的分析；等等。
三、数与运算教学的认知层次有哪些？
不同的学者对此认识有所不同。一般地，可以从两个方面讨论数学教学的认知层次，一是教的方面，对此，比较经典的是斯丹和斯密斯（Stein & Smith）在1998年的分类，他们把数学课堂认知水平划分为记忆型、无联系的程序型、有联系的程序型和做数学四个层次（见Stein等着，李忠如，陈静译，2001）；二是学的方面，侧重于对每个具体的数学概念、技能或者活动的认知水平的区分，便于安排相应的教学顺序。
有关数与运算的认知层次的研究还是比较丰富的，例如，基伦（Kieren，1992）认为传统的分数教学存在严重的间断性，这是造成学生理解分数概念的主要困难之一，他的研究表明，分数概念学习的五个连续层次是：
●层次１：把分数作为整体的一部分。
●层次２：对一个事先分成若干份的整体，通过数其中一部分的份数而得到分数。
●层次３：把一个整体平均分成若干份，对整体的份数和部分的份数分别进行计算。
●层次４：通过数“份数”对两个同分母的分数求和。
●层次５：根据分数加法原理，对两个异分母的分数求和。
按照基伦的观点，分数概念的教学应该按照上述五个层次进行，不同层次之间不能随意“串位”，否则容易造成理解上的混乱。
哈持等人（Hart et al.，1981）从位置概念的角度区分出小数的6个认知层次：
●层次１：千位数以内的位值概念。
●层次２：一位小数。
●层次３：二、三位小数。
●层次4：与左边的位置关系，例如：5.13×10的结果与5.13的差异。
●层次5：更复杂的位值关系，例如40个0.1相当于多少个0.01、将3.7分成100等份，每一等是多少。
●层次6：从除的结果（例如，59÷190接近于□0.03□0.3□3…）发展到小数之间的小数有无限多个（例如，写出价于0.41与0.42之间的小数）。
他们的研究指出，12岁的学生大多能达到层闪３，但不超过10%的学生能达到层次6。
德恩特蒙特（D’Entremont,1991）认为小数学习的认知过程包知以下五种不同的层次；
●具体物的层次（the concrete-objective layer），具体物的层次是小数学习的第一个步骤，教师必须通过真实世界可见的物体来引导学生进入小数的世界。
●操作说明的层次（the operative-interpretive layer），操作说明的层次所指的是教师从原先使用具体物进行教学的方式，转换成以小数的符号表征形式呈现的教学方式，其教学内容包括小数符号的介绍以及如何应用小数符号。
●程序的层次（the procedural layer），会使用运算法则进行运算的学生，并不代表就一定理解运算法则背后的意义，也不一定会去反省自己运算的程序。
●心智模式的层次（the mental model layer），大部分学生虽然在程序层次时的计算表现还算不错，错无法达到最后一个层次，可见应该还有一个介于这两者之间的层次，即是心智模式的层次，学生在心智的层次不但不会盲目地尊遵循计算算则的公式，而且还能清楚地知道他们解题时的理由。
●抽象的层次（hte abstract layer），此时学生对于小数已有不错的直觉，不再中见的笺体来帮助理解，他们对于“如何处理小数的问题”以及“为什么”都能给出合理的解释，学生只有达到这个阶段，才可获得小数知识的核心——小数概念的理解。
德恩特蒙特认为，在上述层次中，每一种层次是被外面的层次逐层所包围的，概念性知识是小数知识的核心，学生为了要获得小数的概念性知识，必须一层一层地把上层的表皮剥掉，不过，一般数学教师往往未能在具体物层次打下良好的基础，就转移到操作说明或程序的层次进行教学，这不仅造成学生小数学习上的困难，也无法获得小数的概念性知识，同时对数学态度与信念立生许多不良的影响。
弗申（Fuson，1992）将儿童加法应用题分成三种类型，这三种类型同时也表示了加法运算的三个层次：层次1是所谓的“改变型的添加”（change add to），即在一个集体之上添加东西，结果成为另一个集体；层次2是“物理操作的合并”（combine physically），这时学生能够将两个部分（两堆东西）通过动手操作合成一个全部，这种对两个集体的动手操作实际上就是二元运算；层次3是“概念操作的合并”（combine conceptually），在此层次上，学生可以在头礅中将两个部分合成全部，而不必动手将东西合并在一起，除此之外，弗申也对减法去处进行了相应层次的划分与认证（Fuson，1992）。
虽然我国学生对数学概念的认知层次的研究不是很多，但中小学教师却往往根据以往的经验将数学概念的教学划分为若干个阶段，例如，在分数概念的教学中，我国小学教师一般都经历以下两个阶段（金成梁，2005）。
第一阶段：教学“分数的初步认识”，主要是结合具体情境使学生对分数的意义有一个初步的认识，暂不给分数下定义，只是通过事例突出分数的实质是“平均分”，教学时可以出现一些均分的图形，用正面例证帮助学生初步感知分数的意义，也可以出现一些均分的图形，让学生判断；能否根据分的含义，断定图中的涂色部分可用某个分数表示？
第二阶段：在初步认识的基础上，进一步认识几分之几，通过实例，使学生理解，单位“１”不仅能表示一个的物体、一个计量单位，还可以表示由一些物体组成的整体，在此基础上，引导学生明确分数的意义和分子、分母的含义，并且着重理解分数单位的概念，明确不同分母的分数有着不同的分数单位，知识一个分数和“１”是由几个分数单位组成的，从而为分数四则运算的教学奠定基础。
可以看到，上述教学阶段与认知层次之间有一定的相似性，至于两者之间的到底有什么关系，我国教师的教学阶段是否在一定程度上反映了我国学生的认知水平，仍需要作进一步的研究。
1.影响算术问题难度的主要因素包括“未知数的位置”、“语言的表述”、“数字形式”、（ ）、（ ）、（ ）等六类。
2.数与运算的教学内容主要有分数、小数、（ ）和（ ）。
3.斯丹和斯密斯把数学课堂认知水平划分为记忆型、无联系的程序型、（ ）和（ ）四个层次。
参考答案：
1.问题的结构、单位的变化、问题的表征
2.比例、百分数
3.有联系的程序型、做数学
本期审核人：崔昌喜
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