因式分解出现的问题
关于因式分解，乐乐已经学了三遍了，早在上学期快期末的时候，我们在学校就学了一遍因式分解，那个时候我们班进度较快，数学老师把因式分解讲完了，而其它班级却还未讲，当时乐乐做的是学探诊练习册，感觉不是特别好，总是出现很多错误，因为考试在即，因式分解不在考试范围内，所以我就没有特别关注。
而后，在假期的学而思数学课上，乐乐又学了一遍因式分解，学而思讲的当然是很快，一两节课就把因式分解所有的内容都讲完了，做的题也明显比学校的难度要加大一些，因为我没有跟着上课，并不知道上课的具体内容，只知道乐乐的考试成绩不算好，基本上都80多分，但当时我忙着写新疆的游记，也基本没有时间去关心她的学习。
如今开学了，所有事情都排在了后面，学习为大，只是我没想到，学校竟然又先学上了因式分解，算上这次，乐乐已经整整学了三遍了！我想，再笨的孩子学三遍应该也会了吧？虽然乐乐说老师讲的还是飞快，基本上一节课一个内容，但是我告诉她你已经学习三遍了，就当是复习吧，同时也要适应老师的节奏，后面的课程可能也会如此的速度。
开学了，我开始关心乐乐的学习，这两天晚上检查作业，发现虽然学习了三遍，可是因式分解这个知识乐乐依旧还是存在一些问题，发现我不得不上了，利用了两个晚上时间，我把因式分解又仔细的给乐乐讲了讲，尤其是她出现的问题：
1.首先是因式分解的概念，乐乐就不是很清晰，有的判断题里出现哪些属于因式分解的选择，她选不对，所以我再次给她强调因式分解的概念，是把一个多项式——划成——几个整式的乘积的形式。这里就包括了三部分内容，左边一定是个多项式，不能是单项式，有些题只是把单项式拆开，那不能叫因式分解，其次是右边，一定是乘积的形式，不能出现加减，而且是几个整式的乘积，也就是说可以单项式也可以多项式乘积，再次就是“划成”，划成的意思其实就是等号，也就是说左右两边一定是相等的，不相等的也不能叫因式分解，这样一分解开来逐一去分析，因式分解的概念就比较清晰了。
2.分解不到底。这可能是初学因式分解的人经常容易犯的一个错误，就是没有分到最彻底，我给乐乐比喻了一下，因式分解有点象小学时求最小公倍数的那个分解，需要把一个数分解成全部是质数相乘的形式，因式分解也一样，一定要分到再也分不下去了才行，分解的时候不能只使用一种方法，比如平方差或者十字相乘，只分解一次是绝对不行的，乐乐做题就经常只采用一种方法分解一次，然后就不再往下想了，其实分解时需要多种方法综合运用，多次分解才能到位的。
3.整式乘积里出现分数的情况。这个我也不知道到底该如何处理，分解出来的整式里出现了分数，有的题里就把这个分数给提出来放在了前面，然后整式里就全部变成整数，可是这样教了乐乐后，乐乐说她们老师差点误以为她分解错了，说可以不用放在前面，今晚她做的因式分解题的答案给的就是整式分解后可以带分数的，也不知道到底哪个对，暂时让乐乐先不提出来，再试试看老师的反应。
4.幂的问题。因式分解题里经常会出现x的2m+1次幂的情况，对于这样的题，乐乐很容易出错，现在看来原因在于当初的同底数幂的运算就学的不是很扎实，她有时会犯晕，不知道x的2m次幂应该等于x的m次幂的平方，写成了2x的m次幂，我又把这部分内容给她做了提示，希望她能有此提醒。
5.综合分析。经过两天的讲解和练习，一些简单因式分解题乐乐基本都能做对了，但是遇到难题还是不行，比如说遇到需要将一个单项式拆成两部分的，一部分给前面，一部分给后面，这样就能分别凑成两个因式分解，然后再凑成一个大的因式分解，这样的题她就不会做，不过难题向来不是她的强项，我也只能见一到给她讲一道吧。
总之，因式分解还是存在一些小问题的，比如运算过程中的错误，正负号的问题等等，有待进一步改进。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。& 因式分解-分组分解法知识点 & “常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式...”习题详情
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常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2-4y2-2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2-4y2-2x+4y=（x+2y）（x-2y）-2（x-2y）=（x-2y）（x+2y-2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2-2xy+y2-16；（2）△ABC三边a，b，c&满足a2-ab-ac+bc=0，判断△ABC的形状．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2-4y2-2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别...”的分析与解答如下所示：
（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
解：（1）x2-2xy+y2-16=（x-y）2-42=（x-y+4）（x-y-4）；（2）∵a2-ab-ac+bc=0∴a（a-b）-c（a-b）=0，∴（a-b）（a-c）=0，∴a=b或a=c，∴△ABC的形状是等腰三角形．
此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
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等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by=x（a+b）+y（a+b） =（a+b）（x+y）②2xy-x2+1-y2=-（x2-2xy+y2）+1=1-（x-y）2=（1+x-y）（1-x+y）
与“常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2-4y2-2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别...”相似的题目：
[2011o遂宁o中考]阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2-y2-2y-1=x2-（y2+2y+1）=x2-（y+1）2=（x+y+1）（x-y-1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2=&&&&．（a+c）（a+b+1）（a+b）（a+b+c）（a+b+1）（a+b+c）（a+b+1）（a+b+c-1）
[2010o自贡o中考]把x2-y2-2y-1分解因式结果正确的是（　　） （x+y+1）（x-y-1）
（x+y-1）（x-y-1）
（x+y-1）（x+y+1）
（x-y+1）（x+y+1）
[2007o中山o模拟]因式分解：1-4x2-4y2+8xy，正确的分组是（　　）（1-4x2）+（8xy-4y2）（1-4x2-4y2）+8xy（1+8xy）-（4x2+4y2）1-（4x2+4y2-8xy）
“常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式...”的最新评论
该知识点好题
1因式分解：1-4x2-4y2+8xy，正确的分组是（　　）
该知识点易错题
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因式分解专题复习
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你可能喜欢概述/因式分解
因式分解是中学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．
方法/因式分解
十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公因式分解没有普遍适用
的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。注意四原则：1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2．最后结果只有小括号3．最后结果中多项式首项为正（例如：-3x2+x=x（-3x+1））不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x（2+3y+4z）归纳方法：1．提公因式法。2．运用公式法。3．拼凑法。提取公因式法因式分解各项都含有的的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)ma(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。注意：把变成不叫提公因式公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。分解公式：1、平方差公式： 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。2、完全平方公式： 、即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。同号加、异号减，符号添在异号前。推广：（1） 即三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。（2） 即四数和的平方，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。即几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。（3）（4）3、立方和公式：即两数之和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。推广：三项立方和公式即三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍变形：4、立方差公式：即两数之差，乘它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差。变形：5、完全立方公式：即两数之和（差）的立方等于这两个数的立方和（差）与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和（和与差）。6、两根式：例：a2+4ab+4b2=（a+2b）2解方程法通过解方程来进行因式分解，如：X2+2X+1=0&,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）十字相乘法对于x2+px+q型的式子如果q能分解为分解为数a,b的积，且有a + b = p时（即a与b和是一次项的系数），那么x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）；或对于kx2+mx+n型的式子如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）。这种分解因式的方法叫做十字相乘法。注：与十字相乘法对应的还有双十字相乘法具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。（拆两头，凑中间）特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。基本步骤：（1）把二次项系数和常数项分别分解因数;（2）尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;（3）确定合适的十字图并写出因式分解的结果;（4）检验。例1：把6x2 +13x + 6分解因式解：∴原式=（2x+3）（3x+2）例2：把3m3 -3m2 -60m分解因式解：∴原式=3m（m2-m-20）=3m（m-5Xm+4）双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道来说明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：图如下，把所有的数字交叉相连即可x2y&　2x3y　&6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)③再按另一个字母（如x）的一次系数进行，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。④纵向相乘，横向相加。分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）几道例题：1． 5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x（a+b）+3y（a+b）=（5x+3y）（a+b）说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2． x2-x-y2-y解法：=（x2-y2）-（x+y）=（x+y）（x-y）-（x+y）=（x+y）（x-y-1）利用二二分法，再利用公式法a2-b2=（a+b）（a-b），然后相合解决。三一分法，例：a^2-b^2-2bc-c^2=a^2-（b+c）^2=（a-b-c）（a+b+c）拆添项法&这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)．配方法&对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)2-(6.5)2=(x+8)(x-5)换元法&有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)综合除法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……，xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)&．例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4&+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5&，-3，-2，1．所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn&，则多项式可因式分解为f(x)=&f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。主元法&例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法&将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7&．注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法&首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．
分解公式/因式分解
平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2立方和（差）两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)证明如下：（&a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3所以a3-b3=(a-b)3-[-3(a2)b+3ab2]=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)同理&a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)十字相乘公式十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab因式定理&
对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数二次多项式&
（根与系数关系二次多项式因式分解）例：对于二次多项式&aX2+bX+c(a≠0)当△=b2-4ac≥0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)=a(X-X1)(X-X2).
四个注意/因式分解
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。例1&把-a2-b2+2ab+4分解因式。解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误，因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。考试时应注意：在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。
应用/因式分解
1．&应用于多项式除法。：a(b-1)(ab+2b+a)说明：(ab+b)2-(a+b)2&=&(ab+b+a+b)(ab+b-a-b)&=&(ab+2b+a)(ab-a)&=&a(b-1)(ab+2b+a)．2．&应用于高次方程的求根。3．&应用于分式的通分与约分顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）例如：23|(211-1);；11=4×2+347|(223-1);；23=4×5+3167|(283-1);,,,.83=4×20+32,p=2n×32+1,，则（6p+1）|(2P-1)，例如：223|(237-1)；37=2×2×3×3+1439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+1-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+13，p=2n×3m×5s-1,则（8p+1）|（2P-1）例如；233|(229-1)；29=2×3×5-1-1)；179=2×2×3×3×5-11913|（2239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1
练习题/因式分解
1.&5ax+5bx+3ay+3by=2.&x^3-x^2+x-1=3.&x2-x-y2-y=
参考答案/因式分解
1.(5x+3y)(a+b)2.(x-1)(x^2+1)3,(x+y)(x-y-1)
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