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第三方登录：初中的时候学因式分解&br&&br&有道题目 卡不出来&br&去问我爷爷 因为我爷爷是我们家文化最高的人了 念过大学 留过学&br&&br&&br&爷爷说 这个套公式就能解出来&br&我说 这公式还没学呢 只学了前面几个简单的&br&爷爷说 交给爷爷吧 肯定能让你交上作业&br&&br&后来11点多了 爷爷叫我去睡觉&br&第二天醒来 当时6点半 我7点就要出门去赶巴士&br&爷爷卧室的门开了 爷爷拿了几张纸出来&br&上面工整写了推导过程&br&&br&具体的题目我忘了&br&但只记得过程中不停的出现+1 、-1，中括号、小括号&br&很朴素的方法 反复演算&br&为了用现有的基础公式，去靠近那一条我没学过的公式&br&用我能够的话来说 等于爷爷重新把公式推导了一遍&br&&br&我带去学校 抄了一遍 交了 &br&老师却说 昨天的作业 最后一题超纲了 我们今天学了新的公式才能做&br&我觉得很不值&br&&br&回家后问了爷爷 他昨晚几点睡&br&奶奶说是4点多吧&br&我说我学会新公式了&br&爷爷就笑 说 对啊 用那个公式一下子就能解出来 要推导 我一下还做不出来 花了好久呢&br&我还是觉得很不值 觉得数学老师不好 因为布置错了作业 令爷爷辛苦了一晚上&br&但爷爷说 以后你学更难的东西 爷爷不懂 就帮不上你了 你现在要多问爷爷呀&br&&br&在知乎 很久没有一道题 让我想要去答&br&我看到这道题目 想答 却觉得偏题&br&关掉了知乎客户端 结果又忍不住打开 打字写了下来 如果偏题了就折叠我&br&只是我很想念爷爷&br&&br&————&br&谢谢大家厚爱，同名值乎可以向我提问。（请允许我厚着脸皮做个广告）
初中的时候学因式分解 有道题目 卡不出来 去问我爷爷 因为我爷爷是我们家文化最高的人了 念过大学 留过学 爷爷说 这个套公式就能解出来 我说 这公式还没学呢 只学了前面几个简单的 爷爷说 交给爷爷吧 肯定能让你交上作业 后来11点多了 爷爷叫我去睡觉 第二…
&img src=&/0886d3dfe6fca5e4e524fbe6aede25b2_b.png& data-rawwidth=&1239& data-rawheight=&1440& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1239& data-original=&/0886d3dfe6fca5e4e524fbe6aede25b2_r.png&&&img src=&/a3d1c7c1f8cfa70b9f8e64d1_b.png& data-rawwidth=&1578& data-rawheight=&1429& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1578& data-original=&/a3d1c7c1f8cfa70b9f8e64d1_r.png&&&img src=&/cfed75af3c8499c_b.png& data-rawwidth=&1713& data-rawheight=&1412& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1713& data-original=&/cfed75af3c8499c_r.png&&&br&&img src=&/f9fefd0d2f_b.png& data-rawwidth=&1546& data-rawheight=&1423& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1546& data-original=&/f9fefd0d2f_r.png&&&br&&img src=&/cc10ace9dd7c8f1ca7c9c903fab6ee47_b.png& data-rawwidth=&1433& data-rawheight=&1424& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1433& data-original=&/cc10ace9dd7c8f1ca7c9c903fab6ee47_r.png&&&br&&img src=&/f2d2b12ec44de38078b7_b.png& data-rawwidth=&1444& data-rawheight=&1423& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1444& data-original=&/f2d2b12ec44de38078b7_r.png&&&br&&br&&br&&p&----------------------------------------为什么看不懂大学数学-------------------------------&/p&&p&
因为中国的教材太差。&/p&&br&&p&
一个国家的教学水平，整体反应在教材的水平上；一个大学的教学水平，也反应在教材水平上。全国除顶尖985学校之外，其余学校的数学水平都很不理想，绝大多数学校的数学课程都是直接从苏联数学继承过来的，三十年几乎没有任何改变，实在太差了。看了美国的教材，终于明白为什么国内学生考研数学平均分不及格，不是题目太难，而是教材太差，真的太差。可以说国内985比211好了一点点，但是常青藤系列比国内985好了一个几何量。同济版《高数》、浙大《概率统计》、同济《线代》这三套经典教材其实存在着巨大不足。他们表面听起来很高大，实际上继承了苏联空洞抽象的模式，以至于内容设置非常不合理，如果是属于应用型的《微积分》，国内的《高数》明显偏难，而且联系实际的题目太少；但是如果属于分析型的《微积分》，那内容又略显得简单和臃肿。以至于绝大部分学生毕业后基本完全忘记《高数》到底是什么，我不是说学生不认真学习或者老师差，而是教材，教材，教材，真的太差了。因为《微积分》是学习《概率统计》和《线性代数》的必备条件，因此直接导致整体考研数学成绩非常差，而实际上目前考研的数学题目都是非常基础的，是教材上例题的加强版，合理的学习安排下，应该能考到120分左右。但因为教材的巨大诱导性，让学生产生了严重的恐惧心理和不满情绪，这又反作用了对数学的害怕和反感，真是一件很悲哀的事情。&/p&&br&&p&--------------------------------------对《同济高数》的意见-------------------------------&/p&&p&
实际上，《同济高数》是非常抽象的，而且脱离实际的。从目录来看，似乎完整的覆盖了整个《CALCULUS》体系，但是在几乎所有的关键点上，同济的编者并没有用心处理，或者说，至少没有从学生的角度去思考。可以说一切知识都是：“点到为止，泛而不精”。全书语言都过于机械数字化，当然内容都是正确的，也没有明显错误，但正是这种”中庸精神“，少了一份灵气，少了一份让学生加深理解的辅助材料。要复制公式谁不会，我可以用几页A4纸把所有公式都写出来，难道这样就代表整个《微积分》了吗？往往是在公式之外的地方，在书本留白的边缘，在最细节的地方，最难的地方，最抽象的地方，最需要 descriptive statement 的地方才能看出一个作者的功力是否深厚，学问是否到家。“举重若轻”，是对一个学者的最高的赞誉和评价，可惜国内教材和教授们在这个方面，还有很长的路要走呢。&/p&&p&
《同济高数》用很准确的语言把极限“D-E”定义摆出来，但是没有说明这个定义的来龙去脉，因此很多学生都看不懂，甚至相当一部分学生都无法准确发音 delta - epislon，更别说理解到“为什么要用D-E来代表极限？不能用其他符号吗？”。而实际上 D-E 在古希腊字母中仅仅表示字母表的第四个和第五个字母，没有任何特殊的含义，主要是ABC 都被欧几里得霸占在几何学里，没办法用了，被迫无奈 采用了 D-E 。而在美国教材中，原作者用了一大段很简单的语言和几幅图片，将极限进行了解释“Limit is an active approaching process, it is not a still real-valued number nor variable, no matter how close you are, you will never reach that target ”。极限这个概念在牛顿---莱布尼茨的时代还没有出现，因为极限涉及到的数学原理其实很复杂，仅仅是“连续性”和“光滑性”这两个看起来很简单的名词，就让整整一个世纪的数学家废寝忘食，夜以继日，才得出结论。而至于我们今天看到的D-E定义，更是牛顿死后近两百年才被德国数学家威尔斯特拉斯提出，因此美版教材普遍都不要求“证明”，只要求“了解”极限的意识形态。《同济高数》对于一元微积分几乎完全没有实例，而对于极端重要的sinhx，coshx，更是只有寥寥几页纸，并且还带了一个星号，给人一种“欲练此功，必先自宫”的恐惧，sinhx, coshx 就是由 E^X 跟它的反函数E^(-X)进行线性组合得到的，简单吧？但是同济直接忽略了 y=e^x 的教学，实际上 y=e^x 是微积分中最简单，也是最重要的函数族。正因为这个特点，对它们的求导/求积就非常简单，特别是后期学习无穷级数，泰勒展开式，向量微积分，开普勒三大定理，概率的MGF，都时时刻刻体现出 y=e^x 的巨大威力。&/p&&p&更严重的问题是，同济和浙大的编者，都用了反人类的思维方法来开展教学。比如对y=x^n的求导教学，同济是直接拿定义出来，先把它证明了，再举例告诉学生这个定理可以直接使用。台下的学生一脸问好……难道大家不会觉得这是跟正常思维相反吗？美版教材就是先带领我们学会y=1的求导，然后y=x的求导，然后y=x^2的求导，然后y=x^3的求导，然后作者Stewart循循善诱地问同学说&now do you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe the derivative of y=x^5 ? And what about y=x^n?&最后他才会摆出严密的定义，并证明。此时，学生也在过程之中学会了&b&“由特殊到一般，再由一般到特殊”&/b&这样一个非常重要的数学思维。相对应的求积也一样，先计算y=1的积分，然后y=x的积分，然后y=x^2的积分，然后y=x^3的积分，最后再问学生&now do you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe the antiderivative of y=x^8, and what about y=x^n?&
Stewart从来不会直接甩出一堆晦涩的证明，而是先从几个简单的例子，引导学生去 GUESS 这样的结论是否具有一般性，并且证明自己的GUESS 是对的还是错的。Stewart 所用的例子都很简单，并没有太多的技巧和套路，但是这样的效果却非常好，由浅入深的帮助学生 &explore the unknown&，这才是一名优秀的老师所应有的态度和水平。多年后，或许你会忘记多元积分的公式，你也会忘记Laplace， Fourier，Taylor的公式，但只要你还记得推理的方法，你就很容易在几分钟内完成这一个过程。李开复曾经说到“&b&忘掉你所学的一切公式和定理，如果你还能利用自己的理解去推理出来，那就说明你的学问已经到家了&/b&。” 对这句话，本人无比赞同。&/p&&p&美版教材同时附带了大量的一元微积分习题，只列举简单的入门习题：&/p&&p&
（1）固定的鱼塘里放入一定数量的鱼苗，在足够营养下，鱼苗不会无限增长，而是指数增长，利用微积分知识，就可以求的相应的增长数量。
（2）博尔特在一次110米栏比赛中，总用时12秒，那么问你，他在4.5秒的时候，具体的瞬间速度是多少？同样前提条件下，博尔特在8.5秒的时候，已经总共跑了多少米？最后就会问，有什么方式把上面两个不相干的问题联系起来？
（3）某降血压的药物，给高血压病人吃了后，检测得血压下降的速度与药物浓度有直接关系，利用微积分就可以求得，吃多少的药物，才是有效的安全范围。
（4）化学反应中，某元素反应时间跟元素浓度呈正比关系，但是明显不是普通的线性关系，利用微积分，就可以求的某时间的浓度，或者完全反应所需的时间。
（5）发射地球同步卫星，需要多少做功，某瞬间需要多大的速度，如何确定速度跟做功之间的关系，在简易条件下如何检验相对论的正确性。
（6）水面的波浪从中心点向外扩张，呈 sinhx 的轨迹；而悬链线的受力情况，却是呈coshx的轨迹，试用微积分知识进行简单说明。
（7）流体通过某管道时，其靠近管壁的流体速度会因为阻力二减慢，中心部分由于阻力较小而速度加快，试用微积分知识来解释为什么。&/p&&p&
当然还有大量的变速的位移，变力做工，经济学的边际效应，价格弹性，资产定价模型（CAPM, WACC），旋转体的体积，等等都是《同济高数》所缺少的实际应用。正是因为这些栩栩如生的例子，学生才能深刻理解到微积分对于现代生活的巨大改变和意义。否则，假如仅仅是把纯粹的数字翻来翻去，求导/求积，学生都会了，那然后呢？难道学了微积分就是来做一个人工计算器吗？
国内教材总是直接叫学生套用某某公式解题目，而忽略了公式之外的逻辑理解和推到能力，美版教材就基本相反，很强调对基本公式的推到和归纳能力，而降低对公式本身的依耐性。这是两种截然不同教育理念的冲突。&/p&&p&
国内教材就像（&b&授人与鱼&/b&），给你一堆公式和定理，让你照着用。美版教材就像（&b&授人与渔&/b&）给你一种发现公式和定理的思维，让你学会自己归纳总结。它首先就会告诉我们：《微分学》研究“instantaneous, incremental and related changes” 的问题；而《积分学》研究“output from irregular input ”的问题。《微积分》的本质就是研究&active variable&的问题，教材特别多次强调“the significant difference between calculus and algebra and geometry is that calculus is dealing with ACTIVE/MOVING variable and algebra/geometry is working on still variable”.&/p&&br&&br&&br&&p&----------------------------对同济《线性代数》，浙大《概率统计》的意见-----------------&/p&&p&
这两套教材也是被国人视为瑰宝，敬而远之，但是相当大量的学生反映：“《概率统计》由于比较具体，还勉强看得懂。但是《现代》实在太抽象，所以很多学生反应无法理解”。因为这两套教材也十分抽象和理论化，缺少很重要的PREFACE，让学生在学习之前能对本学科有一个 FRAMEWORK 上的把握和掌控，基本上看完了也不知所云。美版教材无论如何都会有这些东西，并且开篇就告诉你《线代》研究的对象是“vector, especially COLUMN vector”，并不是所谓的“matrix”或者“determinant”或者“eigenvalue”，并在一开始就对向量进行了细致的教学，从加法、减法，二维图示，三维图示，到dot product，到cross product，到matrix，到determinant，最后才是水到渠成地引入matrix as linear transformation。非理工科的学生，学到这里就差不多了，后面vector space 和 orthogonallity ,比较抽象，难度也大，可以有选择地放弃。至于最重要的rank , nuliity , dimension ,同济并没有说清楚。如果是一维的，那就是两个向量共线；二维的，那就是两个向量形成一个四边形；三维的，那就是三个向量形成一个体积；四维以上的，照样是体积，但是一般不讨论。而所有的“行列式”、“矩阵”、“秩”、“通解”、“特解”、“特征向量”，“特征值”，等等名词，都是rref 后围绕COLUMN vector 展开的运算而已。但是由于《同济线代》根本没有这些基础知识做铺垫，导致学生基本看不懂教材的内容。就相当于：让学生去建造一栋摩天大楼，但是不让你打地基，直接就在平地施工建造第一层。实际上非理工类本科阶段的《线性代数》是非常简单的，是最基础的加减乘而已，但是（很多）学生却说不清楚 column space
和 row space 的区别，这就直接导致后期学习捉襟见肘，举步维艰。&/p&&p&
浙大的《概率统计》相对来说比同济优秀太多了，但还是存在非常致命的缺点。首先，是体系太混乱，竟然对于discrete/continuous RV 的最基础术语(pmf, pdf,cdf)都欠缺完整。其次，是教学太浅显，所有的实例都是一笔带过，对于大名鼎鼎的Poisson（&img src=&///equation?tex=%5Clambda+& alt=&\lambda & eeimg=&1&&），和 Exponential (&img src=&///equation?tex=%5Clambda+& alt=&\lambda & eeimg=&1&&) 甚至都没有说明白之间的微妙关系，简直不如维基百科。美版的《概率与统计》对一维的变量分布进行了非常细致的教学，五种discrete/continuous RV ，及其相关的mean，variance，median, skewness。每一种分布都配了至少五道例题，每到例题都有详细的解答思路和完整的mathmatical induction，几乎占据了一半的教材内容，并附带有非常丰富的课后练习。而对于更加复杂的二维变量，及其mean，cor-variance，co-relation, 教材反而用了较少的版面，因为二维不过是两个一维变量围成的一个面积而已，其他并无明显差异，只要先扎扎实实学好一维的，二维的问题就变得很简单。美版教材特别说明了几个问题“Poisson distribution looks very complicated at first, but it is actually the discrete version of Exponential distribution, which is very easy to calculate. But Exponential distribution, together with its brother Erlang distribution, is also a simplified version of Gamma distribution. But the most interesting finding is that the Chi-squared distribution is a special case of Gamma distribution as well as a special case of Norma distribution, which means to some extent, all the important distributions can be related to Normal distribution ! ” 其实越是学到后面，越会发现“向量”的重要性，它即出现在《线代》，也出现在《概率》，更出现在《高等微积分》中，可以说“向量”，是连接“可感知世界”与“不可感知世界”的桥梁，是数学的“核武器”。&/p&&br&&br&&br&&p&看完美国教材只有一个感受：&b&真正好的教育是将复杂的东西简化，强化基础概念和实际应用，弱化具体计算和逻辑证明，最终让普通学生也可掌握相对深奥的理论知识，并迅速转入实际应用。国内的教育正好相反：强化具体计算和逻辑证明，却弱化了基础概念和实际应用，最终生产了许多解题高手，但他们完全不懂这些数学“有什么用？”。&/b&&/p&&br&&br&&br&&p&----------------------------------------教材推荐------------------------------------------&/p&&p&
以下教材是全英文的，对英语有较高的要求。当然，优秀的教材有很多，我只列举自己看过，并且给予好评的三本基础教材。他们难度适中，编写合理，循循渐进，很适合基础较差的经管类、或者理工科的大学生。如果是初学者，请一定按照“微积分---概率论---线性代数”的流程来学习，因为“求导/求积”的运算是后期概率运算的基础。但是在《概率统计》和《线代》中，后面几章难度大，并且跟其他学科联系较少，所以一般学生看看即可，不需深入。由于《微积分》彻底催化了物理学和化学，因此顺带推荐三套优秀的理科教材。如果把《微积分》学好，再去学物理学或者化学，那几乎是摧枯拉朽、风卷残云一般的容易。我是人大毕业的，看到母校引进并且出版了如此优秀的数学基础教材，感到非常高兴和自豪。可见，不仅仅是我一个人，而是更多专家学者，都深深感到了中美高等教育的巨大差距。感谢母校提供的双语教材，高瞻远瞩，可谓居功至伟。（点击文字，打开京东连接。）&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《微积分&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&》&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
&/p&&p&&a href=&///?target=https%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《概率论与数理统计&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》 &/p&&p&&a href=&///?target=https%3A///.html%3Fdist%3Djd& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《线性代数&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《基础物理学》&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《大学物理》&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《基础化学》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《大学化学》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《基础生物学》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《大学生物学》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&br&&p&同时推荐一套相对来说比较“偏门的”书，是因为这些书虽然对考试没用，但是对于理解本学科，具有巨大的意义。对于特别重要的核心内容有深刻的解释，从时间轨迹来说明科学家是如何把生活中的“现象”，高度提炼成为具体的“公式”，并用这些公式来改变了整个世界。推荐给有志于深入学习的学生看一看，虽然数字论证比较晦涩，但是可以不看数学证明，仅看发展过程，当作小说读一遍也会受益匪浅。&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《数学史》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《化学简史》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《物理学史》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《科学史》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《科学发现者：物理原理与问题》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《科学发现者：化学概念与应用》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《科学发现者：生物生命的动力》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《科学发现者：地理环境与宇宙》&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&br&&br&&br&&p&----------------------------------------------结语--------------------------------------------&/p&&p&
这么多点赞，确实让我很感动，但更多的是压力。由于能力有限，小生不可能几句话就总结大学数学，不可能让你们短期内成为学霸，因为《大学数学》作为一门高度完整严谨的学科，终究要靠埋头苦读和日夜刷题才能学到真功夫。永远都不要指望看几篇文章，看几个小时的视频，报一个培训班，就可以提高数学能力。小生衷心地希望这篇短文能改变你们对数学的偏见和仇恨，为你们提供一个可以前进的方向，让高数不再那么高不可攀，让所有人都感受到数学之艺术和威力。倘若将学习比作练武的话，那么教材就是练功秘籍，老师就是练功师傅。优秀的秘籍和师傅能让你事半功倍、文武双全，而劣质的秘籍和师傅则让你走火入魔、身败名裂。好了，写到这也差不多了。秘籍已经给你们提供在上面，但路始终在自己脚下，最终修炼成为丐帮帮主，亦或星宿老仙，就看各位自己了。&/p&&br&&p&英雄们，再会。&/p&&br&&br&&br&&p&-------------------------------------------题外话--------------------------------------------&/p&&p&收到很多人的私信，表达感谢，问我工作，身份，微信号，评论权限。我这个人其实很懒，不喜欢解释太多关于自己的东西，更不喜欢开公众号做运营，现在网络太发达，我还是想做一个平凡人，有自己小小的世界，我害怕称为网红。至于关闭评论，是因为知乎风气很不好，太多废话和吵架，为了保证全文质量，所以关闭。&/p&&br&&p&其实呢，大学数学，在毕业后的工作里，并没有太多实际的用途。几乎所有的计算和设计，都交给了计算机处理。但是在学习数学的过程中所得到的“严密的推理”和“精确的结构”和“顽强的意志”，这三样东西将会在你们的职业生涯发挥巨大的无形价值，无论你的职业，专业，性别，年纪，当你以后遇到困难和挫折，静下来想一想，当年数学都可以掌握，难道还会惧怕眼前的苟且吗？&/p&&br&&p&说到底，数学给你带来的，其实是众神之上的“信心”。&/p&
----------------------------------------为什么看不懂大学数学------------------------------- 因为中国的教材太差。 一个国家的教学水平，整体反应在教材的水平上；一个大学的教学水平，也反应在教材水平上。全国除顶尖985学校之外，其余学校的数学水平…
（多图预警）&br&&br&很荣幸这篇回答被收入了知乎日报。感谢知乎日报：）&br&-----------------------------------------------------------------------&br&我想讲一个故事。这个故事我已经想讲很多年了。&br&故事的开头，先从几个（数学竞赛党们）耳熟能详的定理说起。&br&我们都知道，每个三角形都有&b&外接圆&/b&和&b&内切圆&/b&。它们的圆心，分别称为&b&外心&/b&和&b&内心&/b&。外心是三角形三条中垂线的交点，而内心是三条内角平分线的交点。这也许是平面几何中，最简单、也最广为人知的巧合。&br&&img src=&/b48ddddbba271b2b4c27f_b.png& data-rawheight=&363& data-rawwidth=&448& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&448& data-original=&/b48ddddbba271b2b4c27f_r.png&&（不要吐槽配色……随手画的）&br&然而，对于四边形来说，这个性质一般来说就不对了。&b&绝大多数四边形，既没有外接圆，也没有内切圆。&/b&&br&过三个顶点的圆可以不过第四个顶点，和三条边相切的圆也可以不和第四条边相切。&br&&img src=&/5c67d577fff00fa66780dd5_b.png& data-rawheight=&368& data-rawwidth=&384& class=&content_image& width=&384&&不过总有一些比较幸运的四边形，它们有的有外接圆，有的有内切圆。这些幸运儿们也有着一般的四边形所不具备的优良性质。&br&比如说，假如一个四边形有内切圆的话，那么&b&&i&它的对角线、对边上的切点的连线四线共点。&/i&&/b&&br&&img src=&/01bf0b04cd5ac5bc2fae3411_b.png& data-rawheight=&454& data-rawwidth=&553& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&/01bf0b04cd5ac5bc2fae3411_r.png&&这是一个漂亮的巧合。而这个定理的名字，叫做&b&牛顿定理&/b&。不错，就是那个发现了万有引力的牛顿。&br&&br&现在让我们的目光转向更为复杂的图形，六边形。&br&既然大多数四边形都没有外接圆和内切圆，那大多数的六边形就更没有了。不过，我们只关注那些幸运儿们。它们的身上，也有着不同寻常的巧合。&br&&br&比如说，对于有外接圆的六边形来说，&i&&b&将它的三组相对的边分别延长相交，所得的三个交点共线&/b&。&/i&&img src=&/35b46fda6fca62dc01f931_b.png& data-rawheight=&662& data-rawwidth=&711& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&711& data-original=&/35b46fda6fca62dc01f931_r.png&&这里，相对的边这样解释：将六条边顺时针编号为1,2,3,4,5,6，那么编号为1和4,2和5,3和6的三组边分别称作相对的边。严格地说，这里需要每组相对的边都不平行，这样才有交点。&br&这个定理也十分有名，被称作&b&帕斯卡定理。 &/b&这里的帕斯卡，也就是大家都认识的那个帕斯卡。&br&&br&对于有内切圆的六边形来说，有一个更为简洁优雅的巧合：&b&&i&三条主对角线一定相交于一点。&/i&&/b&&br&&img src=&/db5cbe4d11be4bd810daf2f398ab3362_b.png& data-rawheight=&465& data-rawwidth=&498& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&498& data-original=&/db5cbe4d11be4bd810daf2f398ab3362_r.png&&这个定理相对来说较为小众一些，它叫做&b&布里安桑(Brianchon)定理。&/b&&br&注意这个定理和牛顿定理不同，因为对边的切点连线一般不会共点。&br&&br&&br&&b&到这里为止，数竞党们大概都十分熟悉。下面的才是正题。&br&&/b&&br&如果说有内切圆或外接圆的多边形是幸运儿的话，那么下面所要提到的&b&双心多边形&/b&，则可以说是集万千宠爱于一身。&br&双心多边形，顾名思义，就是&b&既有外心，又有内心的多边形&/b&。换句话说，它们&b&既有外接圆，又有内切圆&/b&。&br&&img src=&/6ce7c500e8ffe173464ecb_b.png& data-rawheight=&566& data-rawwidth=&585& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&585& data-original=&/6ce7c500e8ffe173464ecb_r.png&&&br&在高中的时候，我做过一道竞赛题。它是1989年的IMO预选题，题目很简洁，也很漂亮。&br&还记得牛顿定理中四条线所交汇于的那个点吗？这道题要求证明，假如牛顿定理中的四边形是双心四边形，那么这个四线相汇的点也在内心和外心的连线上。&br&&img src=&/043cecf4cfd1_b.png& data-rawheight=&564& data-rawwidth=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&543& data-original=&/043cecf4cfd1_r.png&&换句话说，就是&b&双心四边形两条对角线、两条对边切点连线、两个圆心的连线这五条线相交于同一点&/b&。&br&这道题看似复杂，其实并不难。假如知道和配极相关的基本结论的话，证明几乎只要三行字。&br&&br&2011年10月初的一天，当时高三的我看到了上面这道题目。我很快就做了出来。然而，面对如此漂亮的结论，很难不让人浮想联翩：&b&如果把这道题中的四边形换成六边形，会怎么样呢？会不会从五线共点，变成七线共点？&/b&&br&&br&&b&我的直觉告诉我，这个结论对于六边形很可能是错的。&/b&因为对于有内切圆的四边形来说，牛顿定理就保证了四线共点，加上一个外接圆的条件，结论只是多一条线（圆心连线）经过这个点。&br&而对于有内切圆的六边形来说，Brianchon定理只能保证三线共点，而加上一个外接圆的条件，居然要证明七线共点，也就是多四条线经过这个点。这怎么看都不像是对的。&br&&br&然而我还是将信将疑地打开了几何画板。 &b&由于我不知道怎么用尺规作出双心六边形，所以只好近似作图，花了好久才画了一个相对精准的图。&/b&画完图的一刹那，我就惊呆了：&br&&img src=&/4f0abf8d6d2e0df5a7b96d_b.jpg& data-rawheight=&537& data-rawwidth=&549& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&549& data-original=&/4f0abf8d6d2e0df5a7b96d_r.jpg&&这特么居然是对的！面对如此漂亮，还是自己猜到的结论，我当即决定试着证证看。&br&事后看来，这大概是我十年竞赛生涯中做过的最难的两三个几何题之一。不过好在对于六边形来说，有帕斯卡和布里安桑先生们的保佑，问题还不算难得太夸张。尽管费了将近两小时，我还是把它证出来了。&br&&br&证完之后还没顾得上得意，又一个邪恶的念头从我脑子里冒了出来：&b&既然这个巧合对四边形六边形都成立，会不会对八边形也是成立的呢？&/b&&br&虽然我很希望它是对的，但是冷静下来一想，我还是觉得它怎么都不像对的。因为对于双心六边形来说，Brianchon保证一个三线共点，Pascal加上配极又保证一个三线共点，下面只要证明这两个点是同一个，还在圆心连线上就可以了（这也是我的证明思路）。但是到了八边形，Pascal和Brianchon都没法保佑我了，这鬼东西如果是对的谁能证得出来？&br&然而抱着将信将疑的态度，我还是决定画个图。&br&……&br&……&br&……&br&……&br&……&br&……&br&是的，和你们想的一样，我又被打脸了。这玩意还真特么就是对的！&br&&br&这时候我已经在风中凌乱了。我实在是没法想象这鬼东西能怎么证明…………然后又一个可怕的念头闪现了出来…………&b&这破玩意该不会对所有2n边形都成立吧？&/b&&br&我当即决定画个图。既然我都肯定证不出来了，干脆搞个大新闻，直接翻个倍，画16边形吧。&br&后来的事情你们应该也猜到了…………半小时之后画完图，我看到的画面是这样的：&br&&img src=&/d62b21a3c4cadb441b26c2b4f89562d0_b.jpg& data-rawheight=&698& data-rawwidth=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/d62b21a3c4cadb441b26c2b4f89562d0_r.jpg&&我感觉整个人都斯巴达了。&br&&br&我相信自己一定发现了一个不得了的东西，就拿着这东西去问竞赛圈一个有名的老师。他告诉我，以前在一个数学论坛上有人提到过这个结论，据说（未经证实，我猜很有可能不完全对）某个国家队的大神（不说具体是谁了）也发现过这个结论，还给了一个对于一般情况的物理（黑人问号脸）证明。具体是什么他也不清楚。&br&&br&尽管没法自己证明这个定理，但我还是深深地被这个结论的壮观与美丽震撼到了。我告诉自己，一定要拿到数学联赛的一等奖，然后保送去北大的数院继续学数学。&br&&br&然而我并没有如愿。&br&&br&一周之后的联赛，我只用了三分钟就做出了平面几何大题。尽管其他发挥不太理想，我还是顺利获得了保送。在保送生面试中，北大的招生老师问我，想学什么专业？我毫不犹豫地回答数学。&br&然后他问：还有别的吗？&br&我想，他大概是觉得我的联赛分数还不够高吧。所以最后我来到了北大，但没有去成数院，一年之后又阴差阳错地决定不转系，从此远离了真正的数学。&br&&br&故事还没有结束。一年多前一次偶然的机会，我从知友 &a class=&member_mention& href=&///people/3b1396fd6bdbfa0b6f0ce283d1402d95& data-editable=&true& data-title=&@rainbow zyop& data-hash=&3b1396fd6bdbfa0b6f0ce283d1402d95& data-hovercard=&p$b$3b1396fd6bdbfa0b6f0ce283d1402d95&&@rainbow zyop&/a& 那里知道了这个定理的来历。&br&这个定理被称为&b&彭赛列(Poncelet)定理&/b&，是数学家彭赛列在1813年法俄战争中，在俄国萨拉托夫的战俘营中发现的（这是有多么闲的蛋疼才能证出这么诡异的定理……）。在彭赛列发现这个定理的两百年后，&b&2014年9月的美国数学月刊上，两位来自苏黎世理工大学的数学家发表了一篇题为《彭赛列定理的一个简单证明》的论文，给出了这个定理的一个初等证明。 不过，这个“简单”的证明长达12页&/b&。（虽然我知道12页的初等证明对于这个问题来说应该已经算短了……）&br&有兴趣的读者可以参考&a href=&///?target=http%3A//user.math.uzh.ch/halbeisen/publications/pdf/poncelet.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&user.math.uzh.ch/halbei&/span&&span class=&invisible&&sen/publications/pdf/poncelet.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 。&br&&br&我想，这大概算是我见过的数学中最美丽的巧合吧。时隔五年后的今天，我还能想起那个十月的下午，发现这个神奇的结论时激动的心情。我真的很怀念当年参加数学竞赛的日子，那种单纯地喜欢数学之美的时光。&br&&br&最后我想用罗素的一句话结束这个回答。&br&&blockquote&欧氏几何如同初恋般美好。&/blockquote&
（多图预警）
很荣幸这篇回答被收入了知乎日报。感谢知乎日报：） ----------------------------------------------------------------------- 我想讲一个故事。这个故事我已经想讲很多年了。 故事的开头，先从几个（数学竞赛党们）耳熟能详的定…
16年理科全国卷149厚着脸皮答一波&br&仅针对全国卷，分享一下高考数学的点点经验。（更新时间：）&br&只收藏不点赞的别跑&br&&b&更多总结，关注专栏：&/b&&a href=&/Aftermath& class=&internal&&高考数学雕虫小技&/a&&br&–––––––––––––––––––––––––––&br&全国卷特点&br&1.全国卷出题具有一定周期性，关注前些年全国卷出题模式照大多知友选填基本不存在问题。&br&2.全国卷考察重心在与函数与导数，无论从选填，还是压轴题的设置都可看出。&br&打Boss&br&1.选填按全国卷尿性是没有压轴题出现的，所以更多侧重于对仔细程度熟练程度的考察。&br&2.重点讲讲解答&br&Boss1解析几何:&br&推荐两本书《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》（各种解几结论，既可以用于大题，又可以用来秒杀选填）《更高更妙的高中数学思想和方法》解几是需要背一定量的结论的，特别是对于存在性问题，求解点问题等，背得一些结论后不至于在多项式中观察或者猜根中迷茫，一定程度上也可以迅速检验所得是否对。另一方面，背得结论也一定要会熟练地证明。最后，解几最核心的还是计算，有很多竞赛党大神一张高考卷可以秒杀除解几外所有题目，但对于繁琐的计算一般大神们是拒绝的，所以能够保证每天一道有一定计算量的解几是有必要的。&br&&br&Boss2导数与函数:&br&同样这其实是大学内容的下放，所以与解几一样，有一定高数背景有很大帮助。&br&大概需要哪些背景呢？&br&列举一些，建议买本高数上册自学（ps:高中一般不讲极限所以极限部分可以忽略节约时间，另一方面不可过多时间用在这方面，最好能会初等证明）&br&洛必达法则（考过几次洛必达背景后全国卷尽量避免了这方面出题但出题是轮回的冷门考点指不定哪次就复活了）（可能有不严谨之处而且考试要到正常方法做不出来才用这种方法，因为可能扣分）&br&&img src=&/v2-236b902d20eac_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-236b902d20eac_r.jpg&&&img src=&/v2-3bbdc4244e_b.jpg& data-rawwidth=&1749& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1749& data-original=&/v2-3bbdc4244e_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-ed0f84f0425c4dacd96c47_b.jpg& data-rawwidth=&3000& data-rawheight=&736& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3000& data-original=&/v2-ed0f84f0425c4dacd96c47_r.jpg&&&br&拉格朗日中值定理（同样比较简单的一个定理，考的可能性也不是很大）&br&柯西中值定理（这个定理可以考得很隐含）&br&e的x次方 sinx cosx lnx的展开式对于一些数列不等式型导数题目放缩有一定帮助，对于求具体值也可用展开式求得近似值貌似14年全国卷就可以用这个求&br&积分式放缩（同样对数列不等式型导数题目有用）&br&利用二分法估计根（记住三个数ln2=0.693 ln3=1.099 sin1=0.841对二分法估值有很大帮助）&br&琴生不等式&br&同样，高考是富有变化的，所以能多练习近两年的各地名校的导数压轴题能对压轴题套路动向有个初步的了解。有底气应对，能有藐视的心态做压轴题很重要。&br&&br&学累了？做函数操吧&br&&img src=&/v2-5813c5dbcc9097abd02be4f855eb7844_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-5813c5dbcc9097abd02be4f855eb7844_r.jpg&&–––––––––––––––––––––––––––&br&更新看专栏&a href=&/Aftermath& class=&internal&&高考数学雕虫小技&/a&&br&衷心祝愿你们能够战胜高考数学。
16年理科全国卷149厚着脸皮答一波 仅针对全国卷，分享一下高考数学的点点经验。（更新时间：） 只收藏不点赞的别跑 更多总结，关注专栏： ––––––––––––––––––––––––––– 全国卷特点 1.全国卷出题具有一…
谢邀。&br&&br&这事要是发生在 5 年前，5 年前的我大概会毫不犹豫地把他们批判一番：&br&&ol&&li&这些欢呼的民众是愚蠢的，他们是典型的&b&反智主义&/b&者；&br&&/li&&li&他们不懂数学，不知道数学对人类发展多有用，运用数学工具可以大大提升工作效率和生活质量，他们在生活中用不上数学不是它们没用，而是他们意识不到数学有用的地方；他们更不懂奥数，不知道奥数对选拔优秀人才的意义，&b&如果没有奥数，以中国的高考制度，会埋没许多偏科的天才；&/b&&br&&/li&&li&&b&以 “中国近年来没有培养出出色的数学家” 为由来质疑奥数是没有道理的&/b&，因为奥数的作用是有时间延迟的。一方面中国的奥数是上世纪 90 年代才全面展开，&b&过去的金牌获得者很多还没到如日中天之时&/b&，另一方面数学家的培养更多的是大学数学系和研究所的责任，&b&归咎于高中奥数是不合适的&/b&；&br&&/li&&li&&b&以 “很多奥数金牌没有做数学，而是转行金融、IT等热门行业” 为由来质疑奥数也是没有道理的&/b&，因为他们没有控制变量。根据我的观察，事实正好相反：&b&正是奥数让一部分真正有天赋的人真正爱上了数学，从而从事基础数学研究，如果没有奥数，会有更多有天赋的人转行其他热门行业。&/b&&br&&/li&&/ol&&br&&br&但现在我不再固执地坚持这些了。&br&&br&倒不是我觉得自己之前的观点有错误（事实上，我依然觉得自己的论据是对的）；&br&而是我渐渐意识到，&b&在这个问题上，坚持和民众讲死道理是不合适的。&/b&&br&&br&因为，&b&这个世界不仅仅是胜者和强者的，同时也是不那么成功的普通人的。&/b&&br&事实上，一个社会的竞赛规则，无论多么精妙，都会在培养出一批成功者的同时，留下更多不那么成功乃至失败的人。&b&褒奖成功者固然是我们应该做的，但安抚没有成功的人，让他们认可自己的价值，也是同样重要的。&/b&&br&&br&很多时候，不成功的人就是不成功的人，即使换一套标准，他们依然不会过得更好 &br&—— 因为他们就是 “弱者”，他们既没有实力，也不占道理。&br&&br&但当优秀的人和普通人生活在同一个屋檐下时，前者理应照顾到后者感受。&br&&br&有时候，我们不能直白地告诉那些 “不太成功的人” 所谓的真相，&br&它会戳破很多人希望的泡沫，然后伤害到他们。&br&&br&所以有人才会去安慰他们：&br&&br&&ul&&li&“其实考上大学没什么了不起的，北大毕业生都有卖猪肉的呢！”&br&&/li&&li&“学数学其实没什么用，大部分工作只用到加减乘除。”&br&&/li&&li&“起点低算不上什么，你看看马云，高考考了三次，最后勉强进了一本，人家现在是首富！”&br&&/li&&/ul&……&br&&br&这些安慰的话语，显然很多是谎言。按照很多人的想法，必须驳之。&br&不过，你以为那些 “庸众” 真的不知道那些话是谎言吗？&br&不是的。他们中的大部分，根本不像你想象中的那样愚昧，他们只是用这些话安慰一下自己罢了。&br&&br&所以，在很多不太严肃的场合下，这些看起来好像有些反智的话是不该被追究的，因为它们既起到了安抚的作用，也不会真的带来什么恶劣的后果。&br&&br&&br&曾经有一个很有名的调查说， “70% 的网民支持数学滚出高考”，&br&有一个神回复是这样说的：“高考就是把这 70% 的人筛掉的”。&br&&br&当大家为这个回复的一针见血拍案叫绝时，我却感到了些许心酸。&br&&br&那些支持数学滚出高考的，固然有真心感受不到数学作用的人，&br&&b&但更多的人，他们其实知道数学很有用，值得考，取消数学是不合理的；&/b&&br&只是，自己能力实在有限，虽然努力了，但还是怎么都学不好。&br&是恨铁不成钢的&b&情绪&/b&（而不是“观点”）&b&，&/b&让他们点下了 “支持” 按钮。&br&&br&如果我们坚持支持“真理”，当然可以驳斥乃至嘲笑他们的“愚昧”。&br&&br&然而嘲笑有用吗？&br&&br&对嘲笑别人的人来说，他们中的很多人，并不是真心想让“庸众” 脱离思维泥潭，他们只是站在一个高点指责他们，来显示自己是多么正确，优越感油然而生；&br&而对被嘲笑的人来说，他们在明明深知自己能力有限、且不成功的情况下，又被人狠狠踩了一脚，本就飘渺的希望也因此变得更加虚空。&br&&br&我觉得&b&，在别人很难认同或接受“真相”的时候，带有安慰性质的谎言，如果是善意的，仅仅是“小恶”而已，而为了追求真相，去刻薄地打击弱者（尤其是当弱者知道真相时），才是“大恶”。&/b&&br&&br&&b&那么，人们应该知道“真相”吗？&/b&&br&&b&答案是肯定的。&/b&&br&&br&&b&但那是学校的事情，对孩子们来说，要树立正确的三观，真相知道得越早越好，而对已经过了求学年龄的成年人来说，告诉他们真相，有时却得不偿失。&/b&&br&&br&&br&你问我，如何看待中国数学竞赛落败引网民狂欢？&br&&br&我说，&b&让他们去吧，只要不要添薪加柴就好。&/b&&br&&br&&b&一方面，其实你并不了解他们，他们和你非亲非故，你不知道他们接受了什么样的教育，更不知道他们的狂欢出于什么原因。你&/b&&b&在网上&/b&&b&无法对症下药地和他们讲道理，说服他们的努力几乎一定会是徒劳的；&/b&&b&另一方面，反正他们的狂欢并不会过多地影响政策，只要政策制定者头脑清楚，事情会慢慢变好的。&/b&&b&而如果狂欢真能让那些民众释放一下压抑的情绪，心情好一些，那也是极好的。&/b&&br&&br&&b&毕竟，社会不是大学。在社会中，我们需要的，不仅仅是真相。&/b&
谢邀。 这事要是发生在 5 年前，5 年前的我大概会毫不犹豫地把他们批判一番： 这些欢呼的民众是愚蠢的，他们是典型的反智主义者； 他们不懂数学，不知道数学对人类发展多有用，运用数学工具可以大大提升工作效率和生活质量，他们在生活中用不上数学不是它们…
谢邀。&br&&br&下面要说的一个「现象」，展现起来非常浅显，连小学生都能看懂，却让人感到匪夷所思。&br&&br&我们来看两组数：&br&&ul&&li&&b&A：1，5，10，18，&b&23，&/b&27；&br&&/b&&/li&&li&&b&B：2，3，13，15，25，26。&/b&&br&&/li&&/ul&&br&这两组数有什么关系呢？&br&&br&它们满足一个「神奇」的性质：这两组数的和相等。&br&即：&img src=&///equation?tex=1%2B5%2B10%2B18%2B23%2B27%3D84%3D2%2B3%2B13%2B15%2B25%2B26& alt=&1+5+10+18+23+27=84=2+3+13+15+25+26& eeimg=&1&&&br&&br&看到这里，你也许会不屑一顾：这有什么稀奇，这样的数组要多少有多少！&br&&br&真的是这样吗？那我们做一个小小的变化：算算各自数组的平方和。&br&然后你可能发现了：&img src=&///equation?tex=1%5E%7B2%7D%2B5%5E%7B2%7D%2B10%5E%7B2%7D%2B18%5E%7B2%7D%2B23%5E%7B2%7D%2B27%5E%7B2%7D%3D%5E%7B2%7D%2B3%5E%7B2%7D%2B13%5E%7B2%7D%2B15%5E%7B2%7D%2B25%5E%7B2%7D%2B26%5E%7B2%7D& alt=&1^{2}+5^{2}+10^{2}+18^{2}+23^{2}+27^{2}=}+3^{2}+13^{2}+15^{2}+25^{2}+26^{2}& eeimg=&1&&&br&这两组数的平方和也相等！&br&&br&这个时候，有些人可能有点小惊讶，但也有人会很淡定：毕竟每组6个数呢，找两组和及平方和都相等的应该并不是什么难事啊。&br&&br&但是事情并没有结束，我们算算它们各自的立方和：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B3%7D%2B5%5E%7B3%7D%2B10%5E%7B3%7D%2B18%5E%7B3%7D%2B23%5E%7B3%7D%2B27%5E%7B3%7D%3D%5E%7B3%7D%2B3%5E%7B3%7D%2B13%5E%7B3%7D%2B15%5E%7B3%7D%2B25%5E%7B3%7D%2B26%5E%7B3%7D& alt=&1^{3}+5^{3}+10^{3}+18^{3}+23^{3}+27^{3}=}+3^{3}+13^{3}+15^{3}+25^{3}+26^{3}& eeimg=&1&&&br&&br&这就让人有点意外了，不过，这并不是终点，请看：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B4%7D%2B5%5E%7B4%7D%2B10%5E%7B4%7D%2B18%5E%7B4%7D%2B23%5E%7B4%7D%2B27%5E%7B4%7D%3DD2%5E%7B4%7D%2B3%5E%7B4%7D%2B13%5E%7B4%7D%2B15%5E%7B4%7D%2B25%5E%7B4%7D%2B26%5E%7B4%7D& alt=&1^{4}+5^{4}+10^{4}+18^{4}+23^{4}+27^{4}=^{4}+3^{4}+13^{4}+15^{4}+25^{4}+26^{4}& eeimg=&1&&&br&&br&请再看：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B5%7D%2B5%5E%7B5%7D%2B10%5E%7B5%7D%2B18%5E%7B5%7D%2B23%5E%7B5%7D%2B27%5E%7B5%7D%3DD2%5E%7B5%7D%2B3%5E%7B5%7D%2B13%5E%7B5%7D%2B15%5E%7B5%7D%2B25%5E%7B5%7D%2B26%5E%7B5%7D& alt=&1^{5}+5^{5}+10^{5}+18^{5}+23^{5}+27^{5}=^{5}+3^{5}+13^{5}+15^{5}+25^{5}+26^{5}& eeimg=&1&&&br&&br&神奇吧？难道有什么玄机吗？&br&&br&并没有，如果我们继续下去：&br&&img src=&///equation?tex=1%5E%7B6%7D%2B5%5E%7B6%7D%2B10%5E%7B6%7D%2B18%5E%7B6%7D%2B23%5E%7B6%7D%2B27%5E%7B6%7D%3D& alt=&1^{6}+5^{6}+10^{6}+18^{6}+23^{6}+27^{6}=& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=2%5E%7B6%7D%2B3%5E%7B6%7D%2B13%5E%7B6%7D%2B15%5E%7B6%7D%2B25%5E%7B6%7D%2B26%5E%7B6%7D%3D& alt=&2^{6}+3^{6}+13^{6}+15^{6}+25^{6}+26^{6}=& eeimg=&1&&&br&六次方和就不一样了。&br&&br&这两组数看上去真是匪夷所思，奇妙之极。那么，它们究竟是怎么来的呢？&br&&br&原来，这些数字源于前苏联数学家 &i&Gelfond&/i& 发现的恒等式：&br&&img src=&///equation?tex=a%5E%7Bn%7D%2B%28a%2Bb%2B4c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B2b%2Bc%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B4b%2B9c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B5b%2B6c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B6b%2B10c%29%5E%7Bn%7D& alt=&a^{n}+(a+b+4c)^{n}+(a+2b+c)^{n}+(a+4b+9c)^{n}+(a+5b+6c)^{n}+(a+6b+10c)^{n}& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D%28a%2Bb%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2Bc%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B2b%2B6c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B4b%2B4c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B5b%2B10c%29%5E%7Bn%7D%2B%28a%2B6b%2B9c%29%5E%7Bn%7D& alt=&=(a+b)^{n}+(a+c)^{n}+(a+2b+6c)^{n}+(a+4b+4c)^{n}+(a+5b+10c)^{n}+(a+6b+9c)^{n}& eeimg=&1&&&br&其中 &i&n&/i& = 1，2，3，4，5&br&&br&上面的例子，只是 &i&a &/i&= 1，&i&b &/i&= 1，&i&c &/i&= 2 的情形而已。如果改变 &i&a&/i&，&i&b&/i&，&i&c&/i& 的值，我们就可以得到其它满足要求的数组了。&br&&br&我们原以为这样的数组是「凤毛麟角」，不可多得的，现在看来，它们真的是「要多少有多少」的！&br&&br&这类问题，在数学上叫做「k 次乘方幂的等和问题」，或者「等幂和问题」。这个问题在表述上极为简洁，但是深究起来却有很多门道。比如，如果限定数组的个数（如每组 6 个数），我们能构造出多大的 &i&n&/i& 次幂等式？这个 &i&n&/i& 是不是有上界&b&？这依然是未解之谜。&/b&&br&&br&不过……&br&&br&我们知道，上文中 &i&Gelfond &/i&的构造的恒等式是「神来之笔」，要构造这样的等式，对普通人来说显然太难了。但是，如果我们放宽条件（比如：不对每个数组中数的个数作严格限制），那么，对普通人来说，这也是一件并不困难的事情哦！&br&&br&怎么做呢？请移步我的专栏文章：&a href=&/MathplusPlus/& class=&internal&&如何将一群人分成两组，使各自的总体实力「旗鼓相当」？- 看！你身边有一只数学&/a& ，这里不仅展现如何构造「等幂和」，更是挖掘了这个问题背后有趣的应用场景。&br&&br&#
谢邀。 下面要说的一个「现象」，展现起来非常浅显，连小学生都能看懂，却让人感到匪夷所思。 我们来看两组数： A：1，5，10，18，23，27； B：2，3，13，15，25，26。 这两组数有什么关系呢？ 它们满足一个「神奇」的性质：这两组数的和相等。 即：1+5+10+…
题主不必沮丧，因为像题主这种情况，我也有所感受。不仅你我有所感受，很多更优秀的人都有这种感受，不仅“TOP 5”的理工科学生有感受，“TOP 2”的理工科学生也有很多有这种感受，甚至我认识的一些&a href=&///?target=http%3A///view/2475217.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&HYP&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的同学，他们也有这种感受。 &br&&br&——————————&br&&br&先来讲一下我自己的故事吧。&br&&br&高中数学物理我学得很轻松，我高中的数学课本直到高考都没翻过，物理课本也就随便翻了一下，因为觉得课本内容实在太简单。整个高中的数学，可能只要自学几周就能学会了。&br&&br&但进入大学后，我突然发现，&b&高等数学的一些内容，我无法完全理解。&/b&&br&&br&这个发现曾经让我感到很恐慌，因为进大学以前，几乎没有能难住我的数学知识点，几乎每一个知识点，我都可以把它剥开，追溯其根源，然后顿时感到数学的知识框架是非常清晰的。即使是不会做的竞赛题，看了解答以后也基本能明白这道题的思路。&br&&br&但是高等数学并不是这样。&br&&br&在高等数学的课本里，经常会出现这样的字眼：&b&“容易验证” “易知” “证明略” “有直观的结论”&/b&。&br&在高中，看到这样的字眼，往往意味着这个证明真的很简单；&br&但是在高等数学的课本里，这样的字眼却有另一番含义——&b&证明有时很不简单，但是证明的过程并不影响后面的结论，所以你可以不知道。&/b&&br&&br&渐渐地，我接受了这样的结论：&br&&ul&&li&&b&高等数学的一些东西，课本上之所以不告诉你，是因为追根溯源太复杂；&/b&&br&&/li&&li&&b&一个非数学专业的理工科学生，要完全系统地理解高等数学，是极为困难的；&/b&&br&&/li&&li&&b&&u&有些结论，其实你真的不用知道为什么，拿来用就可以了；&/u&&/b&&br&&/li&&/ul&&br&当然，一开始这么想的时候，我很不甘心，见到自己无法完全理解的东西，总想追根溯源一下，但是自从学了&b&数理方程&/b&，我完全放弃了这个念头——因为太TM深奥和不直观了。&br&&br&——————————&br&&br&回到题主的问题。&br&&br&私以为，题主之所以会感到困惑，是因为&b&高等数学和初等数学在学习的模式上有很大的区别，但题主却没有完成这种思维上的转变。&/b&（而且，一个可能的情况是，高中数学学得越轻松，大学里就越难完成这样的转变。相反，一个高中数学学得有些迷糊的人，可能更早理解了这种新的学习模式，反而能更快地接受它）&br&&br&学习数学，其实就像建造高楼一样，初等数学和高等数学，就像一座大楼的地基和上层建筑。&br&&ul&&li&初等数学，内容不多，我们也有充足的时间学，因此我们学习的，是它的&b&体系&/b&，就像给高楼打地基一样，地基的每一部分都有一定的重要性，地基牢固了，上层建筑才能造得好。&br&&/li&&li&高等数学，内容很多，一般人也没有精力学完，因此我们学习的，是它的&b&架构&/b&，就像高楼的上层建筑，很多时候，只要承重墙的位置摆放得不离谱，建筑长得稀奇古怪也没关系。&br&&/li&&/ul&这么学习是合理的，因为，&b&几百年来人类在高等数学上贡献的智慧结晶，岂能被吾等小辈在几百课时的时间里完全理解！&/b&我们这些理工狗学习高数的真正目的，是在工作中使用它，用得好，用得溜就行，管它是怎么来的！&br&&br&所以啊，我的建议是：&br&&ul&&li&定理不会证明？没关系！只要知道定理的&b&出处&/b&和&b&用处&/b&就可以了（所谓的“框架”）。必要的话，死记硬背也无妨。不要有任何愧疚感，很多你眼里的学霸，他们也是这么做的。&br&&/li&&li&知识无法理解？没关系！不要放弃，假设自己已经看懂，把结论抄下来，&b&带着结论去学接下来的知识&/b&，你会发现，其实很多看起来很深奥的东西，其实并没有那么深奥，你也只不过在整个体系的一两处不太理解罢了。也许，当你学得更多时，你会发现，你无法理解的那个地方，根本就无足轻重。&br&&/li&&/ul&&br&&b&承认自己有不会的东西，会让自己会得更多呢。&/b&（笑）
题主不必沮丧，因为像题主这种情况，我也有所感受。不仅你我有所感受，很多更优秀的人都有这种感受，不仅“TOP 5”的理工科学生有感受，“TOP 2”的理工科学生也有很多有这种感受，甚至我认识的一些的同学，他们也有这种感受。 —————————— 先…
&p&可能很多人都知道这个...&/p&&img src=&///equation?tex=y+%3D+1.5%2Ax%2Alog%28x%29-1%2F36%2Aexp%28-%2836%2Ax-36%2F2.E4%29& alt=&y = 1.5*x*log(x)-1/36*exp(-(36*x-36/2.7183)^4)& eeimg=&1&&&p&看上去没什么特别的，但是让我们把它的图像画出来：&/p&&img src=&/v2-1a06b4ee14b020f53b95_b.png& data-rawwidth=&842& data-rawheight=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&842& data-original=&/v2-1a06b4ee14b020f53b95_r.png&&&p&？？？？？？？？？？？？？？&/p&&br&&p&调调参数就能变成你喜欢的大小和形状。&/p&&img src=&/v2-ed53b0a29062_b.png& data-rawwidth=&842& data-rawheight=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&842& data-original=&/v2-ed53b0a29062_r.png&&&p&果然还是平一点好（逃&/p&&p&------------------------------------------------&/p&&p&评论区说要有动图。。。这样是不是不太好&/p&&br&&img src=&/v2-20c5caf21f7e81f185cf_b.jpg& data-rawwidth=&655& data-rawheight=&511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&655& data-original=&/v2-20c5caf21f7e81f185cf_r.jpg&&&p&-----------------------------------------------------&/p&&p&评论有人说答主签名应景，\bra\bra明明是两个左矢，你们想到哪里去了← ←&/p&&p&-----------------------------------------------------&/p&&p&评论区有人说这个不是函数，其实是的，只不过plot的时候把横纵坐标换了一下而已，我发的图纵坐标是x，横坐标是y。&/p&
可能很多人都知道这个...y = 1.5*x*log(x)-1/36*exp(-(36*x-36/2.7183)^4)看上去没什么特别的，但是让我们把它的图像画出来：？？？？？？？？？？？？？？ 调调参数就能变成你喜欢的大小和形状。果然还是平一点好（逃------------------------------------…
谢邀。以下有大量图片，请珍惜流量。&br&&br&这个问题实在是太大了，展开讲三天也讲不完，因为数学+编程能做的有意思的事情实在是太多了。你随意找一个方向，左手捧一套高数右手捧一台电脑，一头扎下去，相信都能找到无数可以摆弄的事情。在此结合自己做过的项目给你讲讲高数的应用（省略全部数学细节）。&br&&br&&b&一、图形学&/b&&br&图形学的目标是创造一个真实的三维场景供你在里面漫游，它是所有三维游戏的基础。它的原理很简单，在一个空间里放上三角形、箱子、机器人或云，摆好摄像头，放置光源，然后计算摄像头应该看到什么，把结果显示在电脑屏幕上。不仅是静态的成像，动态的物理过程也可以实现，比如雾、碰撞、重力等等。&br&&br&辐射3截图&br&&img src=&/2d3bab880e51e4a2349f67a_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/2d3bab880e51e4a2349f67a_r.jpg&&&br&&b&1.1 三维漫游&/b&&br&你可以用OpenGL和C++轻松实现一个三维漫游程序（流畅性优先），然后不断往里面添加各种模型（球体、三角面片几何体、飞机）和属性（遮挡、抗锯齿、透明、玻璃、爆炸），最终把你的漫游程序变成一个精美的实时游戏。&br&&br&三维海战（图片来自百度图片）&br&&img src=&/26ae18ecc29f_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1054& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&/26ae18ecc29f_r.jpg&&&br&&b&1.2 光线追踪器&/b&&br&可以着重研究光线是如何照射和成像的（精美性优先），实现各种相机（双目、鱼眼、弱投影），材质（金属、玻璃），光源类型（点光源、方向光源、区域光源）以及光照模型（BRDF、路径追踪），最终你想画啥都能画得惟妙惟肖。光线追踪器的渲染速度很慢，程序要追踪海量光线的反射和折射分量，比如下方的钻石图案需要运行5分钟才能画完。虽然不能实时移动和旋转相机，但是渲染的结果极其逼真。&br&&br&用C++实现的玻璃材质&br&&img src=&/d000de4f3fff_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/d000de4f3fff_r.jpg&&&br&&br&用光线追踪器pov-ray画的钻石&br&&img src=&/82b5f5ac2b_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&405& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/82b5f5ac2b_r.jpg&&&br&&b&1.3 基于GPU的加速渲染&/b&&br&当然，你也可以兼顾渲染质量和动画帧速，这个时候就需要使用更强大的计算资源，可以并行计算的GPU是不二的选择。看看CUDA的代码，你可以做一个体渲染模块来实时观察CT图像，卖给医学图像处理公司（也许）能赚大钱。&br&&br&Volume rendering（图片来自网络）&br&&img src=&/004f7ece2beff2fed8377c_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/004f7ece2beff2fed8377c_r.jpg&&&br&&b&二、图像处理&/b&&br&很多图像应用都需要对图像进行必要地预处理，如去噪、融合、分割、去雾、去模糊、视频去抖动等等，这个领域非常广泛，有大量模型和理论支撑。各位常用的Photoshop和美图秀秀里面成百上千的滤镜，可以说每一个背后都有一个数学模型。下面举一个例子。&br&&b&2.1 分割&/b&&br&有一种简单的分割算法叫Superpixel，它可以把一幅图像分割成好多个小块，保证每一个小块中颜色都差不多。当然，还有其他许多分割算法，Superpixel的好处是简单，并且很容易推广到三维空间。&br&&br&Superpixel分割（图片来自&a href=&///?target=http%3A//ivrg.epfl.ch/supplementary_material/RK_SLICSuperpixels/index.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&这里&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&br&&img src=&/d2fd61d8d2c_b.jpg& data-rawwidth=&321& data-rawheight=&481& class=&content_image& width=&321&&&br&&br&&b&2.2 医学图像处理&/b&&br&经过分割后，图像被过度分割成了很多小块，这时就可以用模式识别的算法把属于同一类的小块们再合在一起。利用分割+分类的算法，可以把三维CT图像中的骨头全自动剔除。&br&&br&CT图像去骨的结果&br&&img src=&/0b9ff2b023c879c183ded_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&238& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/0b9ff2b023c879c183ded_r.jpg&&&br&&br&&b&三、计算机视觉&/b&&br&计算机视觉的目标是&b&理解&/b&摄像机拍摄的图像，它的研究范围极其广泛，比如人脸识别、文字识别、目标追踪等等。在此介绍这一领域几个重要的方向。&br&大家都知道图像是二维的，而真实世界是三维的，上面介绍的图形学的原理是预先建一个三维场景然后研究摄像头看到的图像是什么样子，计算机视觉的野心则大得多：给你几幅二维图像，还原三维场景是什么。&br&&b&3.1 一幅图像与测量&/b&&br&拿到一幅图像，可以获得平行关系，测量图像中不同物体的长度比值，在知乎也有不少朋友关心这个问题，感兴趣可以戳&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何根据一张 A 楼照 B 楼的照片判断出这张照片是 A 楼的几层？&/a&以及&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何测量一副图片中物体的实际尺寸？&/a&&br&&br&单目测量（图片来自文献&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3DaZeZDmCCoFstdo0m2-R_WlAm5yHFSSEjujoEmCFM_VaIJQpkdNcy3gXezlUxpUlb31wUZJWbWBh-ZcNs-YlTR4-UNRhEO4jQ4on2b29Zcpe& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Single view metrology&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&br&&img src=&/14b929d28065a6eda5a153e30ad1259e_b.jpg& data-rawwidth=&506& data-rawheight=&309& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&506& data-original=&/14b929d28065a6eda5a153e30ad1259e_r.jpg&&&br&&b&3.2 两幅图像与双目视觉&/b&&br&拿到两幅在不同位置拍摄的同一场景的图像，就可以恢复出场景，在知乎也有相关讨论：&a href=&/question//answer/& class=&internal&&使用两张角度不同的静态图像合成连贯的动画，难度有多大？&/a&&br&&br&&b&3.3 多幅图像与三维重建&/b&&br&计算机视觉在这二十年最激动人心的成果之一就是完成了从多幅图像序列重建三维场景的研究，从数学上和编程实现上解决了这一从二维重建三维的过程。试想你拿着摄像机在街上绕一圈，像CS地图那样的三维游戏场景就实时重建出来是多么激动人心啊。&br&&br&三维重建更具体的定义是：通过同一场景的多幅图像，恢复出每一幅图像拍摄时相机的位置和姿态，以及每一幅图像上的每一个点在三维空间中的位置。&br&&br&邻居家的一系列照片之一&br&&img src=&/06cbd89bbe6f2cbd6a7f9_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&400&&&br&恢复出的相机位姿和稀疏特征点位置&br&&img src=&/bef818cd22b_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/bef818cd22b_r.jpg&&&br&三维稠密重建（图片来自文献&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3D3QO48gipMX2C0-v0hl5OJq6V-PU9gpV8laxOczrXEaspkKWn1GWcJmxE0ALECjuN8q_2fcvO9P0P_NCfj5GNY1b90VHQ9OkQ0Xjy-6wpFD531urtrClQ8d3tBzQDnohGuF2FH1_5rxwh1I4DQMhHolViACwDRiY3j5dkZ4oT8H7& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Accurate, Dense, and Robust Multiview Stereopsis&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&br&&img src=&/0e5c0a34be457dc8f589e62e25b5b078_b.jpg& data-rawwidth=&1036& data-rawheight=&307& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1036& data-original=&/0e5c0a34be457dc8f589e62e25b5b078_r.jpg&&&br&&b&四、模式识别&/b&&br&模式识别研究输入和输出的关系，比如给你一系列病人的体征和谁有病谁没病，模式识别需要找一个模型建立体征和是否有病之间的函数关系。在图像处理、计算机视觉、医疗、生物、社会学中具有非常广泛的应用。在The Elements of Statistical Learning的第一章里提出了四个典型问题：&br&&ul&&li&垃圾邮件和正常邮件的区分&/li&&li&前列腺癌症确诊&/li&&li&数字手写字符识别&/li&&li&DNA序列和性状的关系&/li&&/ul&模式识别把这些具体问题背后共同的模式抽象出来，集中精力研究什么样的特征判别能力更强以及什么样的模型正确分类效率高。&br&&br&&b&五、综合应用&/b&&br&当你掌握的知识和技能足够多了，就可以做一些需要很多环节的大项目，随便举几个例子：&br&&ol&&li&在你家门口摆一台摄像机，自动识别和记录身高在1米7到1米8之间、身材姣好、长发、爱笑的女生的一举一动。一旦记录到一个符合要求的女生，将她加入数据库，以后单独更新，不同女生之间不能搞混。&/li&&li&买一个机器人（带轱辘能自由移动并且安有摄像头的电脑），让它自己漫游探测环境，建立三维地图，搞清楚自己在哪，这也是计算机视觉中的一个已经理论上完美解决的重要问题：即时定位与地图构建 (Simultaneous localization and mapping, SLAM)。&/li&&li&做一架飞机，它的功能是无论谁在追它都尽量甩掉；做一枚导弹，它的功能是尽量追上飞机，或者在附近爆炸；再做一个酷炫的供军区司令观赏的三维场景显示环境，把一些飞机和导弹放进去追着打去吧。&/li&&br&&/ol&&b&六、如何入手&/b&&br&&b&6.1 看优秀教材&/b&&br&首先，学好高等数学、概率统计和线性代数（矩阵论）足矣，其他数学知识可以在具体学习模型的过程中掌握。&br&然后，看一些优秀的外文教材译文版，比如：&br&&ul&&li&图形学：OpenGL超级宝典(第5版)、交互式计算机图形学:基于OpenGL着色器的自顶向下方法(第6版)&/li&&li&光线追踪器：光跟踪算法技术（Ray Tracing from the Ground Up）&/li&&li&图像处理：数字图像处理(第3版， 冈萨雷斯著)，图像处理、分析与机器视觉(第3版)&/li&&li&计算机视觉：计算机视觉中的多视图几何（Multiple View Geometry in Computer Vision），计算机视觉：算法与应用（Computer Vision: Algorithms and Applications）&/li&&li&模式识别与机器视觉：模式分类（第二版），模式识别（第四版），The Elements of Statistical Learning, Pattern Recognition and Machine Learning&/li&&/ul&&b&6.2 看文献&/b&&br&&b&6.3 看代码&/b&&br&OpenGL、OpenCV、CUDA都有相应的文档和代码实例，也可以在网上找附有代码的教材，研究代码，模仿先人的代码。首先练习基本的函数，然后依照兴趣实现几个非常简单的应用。自己找一个问题，实现一个最简单的解决方案，然后不断精进代码、尝试新的模型，最后就精通了这个领域。
谢邀。以下有大量图片，请珍惜流量。 这个问题实在是太大了，展开讲三天也讲不完，因为数学+编程能做的有意思的事情实在是太多了。你随意找一个方向，左手捧一套高数右手捧一台电脑，一头扎下去，相信都能找到无数可以摆弄的事情。在此结合自己做过的项目给…
菲尔兹奖是授予四十岁以下的的数学家的，而奥数金牌通常是十八岁以下。&br&如果我们假设菲尔兹奖获奖者平均37岁，而奥数金牌获奖者平均年龄17岁。则他们的年龄差别大概在20岁左右。这样通常情况下，1990年金牌获得者要在20年后的2010年才处在菲尔兹奖评选范围内。&br&&br&从&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/List_of_International_Mathematical_Olympiad_participants%23Notable_participants& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&List of International Mathematical Olympiad participants&i class=&icon-external&&&/i&&/a&上，我们可以看到，菲尔兹奖与20年前左右的IMO成绩的相关性是惊人的高的。从1990年开始算起，每届获奖者中都会有至少一位是20年前左右的IMO获奖者，一共26位获奖者中有13位是曾经的IMO获奖者。把他们的菲尔兹获奖年份和他们的最好成绩年份做差之后，得到平均值恰好是20，符合我们的猜测。&br&&img src=&/5b17a7aae9d8cf5f47d1e2_b.jpg& data-rawwidth=&732& data-rawheight=&316& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&732& data-original=&/5b17a7aae9d8cf5f47d1e2_r.jpg&&&br&&br&而从中国队IMO比赛历年成绩总结(&a href=&///?target=http%3A//www.imo-official.org/country_team_r.aspx%3Fcode%3DCHN& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&imo-official.org/countr&/span&&span class=&invisible&&y_team_r.aspx?code=CHN&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&):&br&&img src=&/bcde0ce5e46ff786d02b_b.jpg& data-rawwidth=&858& data-rawheight=&714& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&858& data-original=&/bcde0ce5e46ff786d02b_r.jpg&&&br&我们可以看出，中国队是从1997年开始从未低于第二名的，那么这批人要到菲奖评选，差不多在2017年。&br&&br&另外虽然中国总分老是第一，但个人赛中，只是从2000年开始才总是有选手获得个人的头名，而数学基本都是拼个人是否顶尖而不是团体。&br&&img src=&/6e051f521e9611fcfaf5aea2e2301811_b.jpg& data-rawwidth=&566& data-rawheight=&522& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&566& data-original=&/6e051f521e9611fcfaf5aea2e2301811_r.jpg&&&br&这样算起来差不多要在2020年才会菲尔兹。&br&&br&巧合的是，2000级北京大学数学系校友张伟(&a href=&///?target=http%3A//www.math.columbia.edu/%7Ewzhang/math/CV%.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&math.columbia.edu/~wzha&/span&&span class=&invisible&&ng/math/CV%202014.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)和恽之伟(&a href=&///?target=http%3A//stanford.edu/%7Ezwyun/CVcurrent.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&stanford.edu/~zwyun/CVc&/span&&span class=&invisible&&urrent.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)（后者是上图中2000年满分金牌)，分别在2010年和2012年获得拉马努金数学奖(&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/SASTRA_Ramanujan_Prize& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&SASTRA Ramanujan Prize&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)，这个奖项是只授于32岁以下的年轻数学家的。&br&&br&所以，只是时候未到。&br&&br&用伍鸿熙《黎曼几何初步》于北大1984年5月致读者的话(&a href=&///?target=http%3A////%25E4%25BC%258D%25E9%25B4%25BB%25E7%E3%E9%25BB%258E%25E6%259B%25BC%25E5%25B9%25BE%25E4%25BD%%E6%25AD%25A5%25E3%E8%%25E8%25AE%%E7%259A%%25A9%25B1/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&&/span&&span class=&invisible&&//%E4%BC%8D%E9%B4%BB%E7%86%99%E3%80%8A%E9%BB%8E%E6%9B%BC%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%88%9D%E6%AD%A5%E3%80%8B%E8%87%B4%E8%AE%80%E8%80%85%E7%9A%84%E8%A9%B1/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)中的一段作为结尾：&br&&blockquote&我講這個課的時候，剛好和奧運會重合。由於祖國在奧運會上的豐收，自然引起了“為什麼中國數學家不能拿數學界的金牌”的問題。於是“拿金牌”這個口號不脛而走，暑期中心的同志們人人面上都掛著一個問號：“中國再什麼時候才拿數學界的第一面金牌？”這個問題後來甚至在雜誌、報章上也被提出來了。這個想法實在很具有刺激性。若是真能把一門嚴肅的學問當作一種體育比賽，以後可以玩的花樣就多得不可想像。比方說，人民日報第一頁可能有如下的標題：“Poincare與高斯在拓樸場上激戰，Poincare大勝，五比零。”又或：“群論決賽，Abel苦戰Galois，不幸以二比三敗北”等等。不過我猜想提倡在數學上“拿金牌”，主要的用意也不過是作為一種鼓勵罷了。這個用意自然是很好的，但是，這個口號卻不幸被人誤解，以為學數學的最終目的，不外是拿一個什麼獎之類。這就和古代“十載寒窗，一舉成名”的封建思想，有太多重合之處了。你們一定很清楚地認識到，在你們自己這一代當中，這種功利主義的想法已是與日俱增，犯不著再用“金牌”作為鼓勵了。我覺得比較值得做的事，倒是鼓勵你們去培養一種“實事求是，為這門有悠久歷史的學問盡一己之力”的學者風度。&/blockquote&
菲尔兹奖是授予四十岁以下的的数学家的，而奥数金牌通常是十八岁以下。 如果我们假设菲尔兹奖获奖者平均37岁，而奥数金牌获奖者平均年龄17岁。则他们的年龄差别大概在20岁左右。这样通常情况下，1990年金牌获得者要在20年后的2010年才处在菲尔兹奖评选范围…
当年为了准备考研，把高数和概率论的所有知识点写成了一首诗&br&&br&高数&br&&br&未定极限太狡猾&br&分层使用洛必达&br&想打架，挑老大&br&可导可微互等价&br&他们都比连续大&br&&br&函数为零介值定&br&导数为零罗尔行&br&罗平理，罗歪理&br&歪歪自比是柯西&br&金柯拉证差差比&br&&br&正反函数连续上&br&最后只剩原变量&br&一步不行接着上&br&&br&函数分段左右算&br&数列极限洛必连&br&加先加，减先减&br&余加余弦减正弦&br&&br&最值看三点&br&端点驻点非导点&br&微分方程贱&br&变换求导函数反&br&单减趋零乘有界&br&单调有界乘收敛&br&&br&小二秃结婚&br&对象李宇春&br&第一换元凑微分&br&第二换元去掉根&br&&br&山单反，劳加役减&br&积分后，一减余弦&br&幂乘老A，对除老A&br&一加幂成积&br&高阶可略去&br&&br&&br&概率论&br&&br&期差比你大，小于方方下&br&期差比标差，小于等于叉&br&极限为正态，二项也正态&br&N分之爱
一小于概&br&伯努利
换概率&br&辛钦上
换期望&br&&br&正态方和卡方出&br&卡方相除变F&br&一正N卡t分布&br&&br&维数要减一，拒绝否定域&br&方差有卡方，均值用 U T&br&&br&&br&&br&不过我那专业学的不是高数，而是更可怕的《数学分析》
当年为了准备考研，把高数和概率论的所有知识点写成了一首诗 高数 未定极限太狡猾 分层使用洛必达 想打架，挑老大 可导可微互等价 他们都比连续大 函数为零介值定 导数为零罗尔行 罗平理，罗歪理 歪歪自比是柯西 金柯拉证差差比 正反函数连续上 最后只剩原…
这个我有些经验。&br&&br&作业里都是toy problem。&br&如果你试着解过&b&那种前人没有解过的方程，&/b&那么你就知道能一宿解出来已经是迅雷不及掩耳之势了。&br&&br&我本科时就求过一个&b&玻色爱因斯坦凝聚系统受拉盖尔高斯光场激发后产生的涡旋态的基态的波函数的解析通解&/b&。简单地说就是解了个薛定谔方程。&br&&br&过程是：第一周泛读文献，第二周抓着一篇PRL的理论文章精读，这篇文章解决过了一个相似系统的基态波函数问题。这是相关背景的准备期。&br&&br&第三周是重现那篇PRL。PRL的理论文章读过的都懂，篇幅控制在4页，细节推导根本放不上去。你要确认它的正确性学习它的研究方法就得自己重头一步步地推导。解决这个前人刚解过的方程就花了我一周的时间。草稿纸一摞，最后整理出来的数学推导，一共是14页A4纸。解这个方程的时候我还顺便证明了拉比振荡。我当时觉得这个振荡太神奇，还不知道30年前就有人发现这个现象了。电子轨道上的拉比振荡其实不奇怪，让我觉得神奇的是一堆原子在一起也能拉比振荡，像一个时钟一样，固定频率来回运动。&br&&br&第四周就利用这篇PRL学到的方法解一个前人没有解过的方程。又用了一周多的时间，一边计算一边验算，来来回回算了不知道多少次才敢说自己把它解出来了。整个推导占据了A4纸17页。&br&&br&这是我第一次体验到What is Science.&br&那感觉是我身在天地之中，而天地亦在我心中。&br&宇宙星辰，斗转星移，人生在世，韶华白首，红尘俗事，不过转瞬..&br&&br&海森堡一夜就解出了一个前人未解的重要方程。这就是大神与我等凡夫俗子的差别。我只是解了个不太重要的方程，感觉自己在玩泥巴..&br&&br&----------------------------&br&有点被评论区吓到了，补充一下，我的数理水平不算突出。现在做的东西是比较理论化的工作。以后路还长，希望能慢慢做些好的工作出来。
这个我有些经验。 作业里都是toy problem。 如果你试着解过那种前人没有解过的方程，那么你就知道能一宿解出来已经是迅雷不及掩耳之势了。 我本科时就求过一个玻色爱因斯坦凝聚系统受拉盖尔高斯光场激发后产生的涡旋态的基态的波函数的解析通解。简单地说就…
看了问题描述真是太心疼题主了TuT（如果我是老师的话，有学生问出这个问题我肯定非常激动！）&a data-hash=&5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& href=&///people/5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@Yuhang Liu& data-hovercard=&p$b$5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf&&@Yuhang Liu&/a&给出的是这个问题的『标准答案』，我想试着以高中生能理解的程度来解释一下这个标准答案。（与以前一样，为了可读性，会牺牲严谨性。想认真学还是应该看教材。）&br&&br&回答分为两部分：第一部分是分析如果定义一个『与0的乘积等于1』的数会导致怎样的后果（实数毁灭）；第二部分是解释虚数单位&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&是怎么出现的（使用『模法』）。&br&&br&===============第一部分开始了呦===============&br&&br&首先，对于题主问题的回答是：你当然可以定义一个『与0的乘积等于1』的数，但是这样会使得&b&所有的实数都等于零&/b&，于是我们什么有趣的事情都干不了啦。&br&&br&我们先来想一个问题：大家都知道&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D3%2F6& alt=&1/2=3/6& eeimg=&1&&，可是它们为什么相等呢？&br&&br&&blockquote&这还不简单？因为&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D0.5%3D3%2F6& alt=&1/2=0.5=3/6& eeimg=&1&&啊！&/blockquote&&br&这不是一个好答案，因为根据小数点的定义，&img src=&///equation?tex=0.5%3D5%5Ctimes10%5E%7B-1%7D%3D5%2F10& alt=&0.5=5\times10^{-1}=5/10& eeimg=&1&&，所以我们就需要进一步解释为什么&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D5%2F10& alt=&1/2=5/10& eeimg=&1&&以及为什么&img src=&///equation?tex=3%2F6%3D5%2F10& alt=&3/6=5/10& eeimg=&1&&，于是问题变得更复杂了。&br&&br&正确答案是：因为&img src=&///equation?tex=1%5Ctimes6%3D2%5Ctimes3& alt=&1\times6=2\times3& eeimg=&1&&，所以&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D3%2F6& alt=&1/2=3/6& eeimg=&1&&.&br&&br&&blockquote&切，那我也可以继续问啊！为什么&img src=&///equation?tex=1%5Ctimes6%3D2%5Ctimes3& alt=&1\times6=2\times3& eeimg=&1&&就意味着&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D3%2F6& alt=&1/2=3/6& eeimg=&1&&？&/blockquote&&br&因为我们就是这么定义两个分数相等的。&br&&br&不妨先想一想分数到底是怎么回事：&br&&br&一开始我们只有整数，然后我们把所有非零的整数召集起来，对它们说：『你们也可以当分母哟！』于是，我们就有了诸如&img src=&///equation?tex=1%2F2& alt=&1/2& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=3%2F6& alt=&3/6& eeimg=&1&&这样的分数。然而这个时候我们并没有对这些分数进行任何限制——没人说&img src=&///equation?tex=1%2F2& alt=&1/2& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=3%2F6& alt=&3/6& eeimg=&1&&就一定相等。&br&&br&但是光创造数没有用，我们想做&b&运算&/b&呀。现在什么规定都没有，那&img src=&///equation?tex=1%2F2%2B3%2F6& alt=&1/2+3/6& eeimg=&1&&是啥？？&br&&br&于是人们规定，&b&对于两个分数&img src=&///equation?tex=a%2Fb& alt=&a/b& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=c%2Fd& alt=&c/d& eeimg=&1&&，如果&img src=&///equation?tex=ad%3Dbc& alt=&ad=bc& eeimg=&1&&，那么它们就相等。&/b&接着我们就可以定义分数的加法：分母相同的两个分数相加，分母不变，把分子加起来就好了！&br&&br&这样一来，我们就有了可以做运算的分数（有理数）。更重要的是，&b&当我们把原来的每个整数&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&都当成&img src=&///equation?tex=n%2F1& alt=&n/1& eeimg=&1&&时，有理数的运算和整数的运算是一致的。&/b&&br&&br&这一点很重要。通常情况下，当我们说『整数集合包含1和2』时，不仅意味着1和2都是整数，&b&而且这个『2』必须得是『1+1=2』的那个『2』&/b&。也就是说，我们平时使用的『整数』一词，不仅是指那些数字，而且还蕴含了数字之间的关系（即&b&代数结构&/b&）。&br&&br&所以，为了保证有理数包含整数，他们的运算必须一致，否则这个『整数』就不是我们通常说的那个『整数』了。&br&&br&有了有理数之后，我们可以把它们扩充为实数。同样地，这里的『扩充』意味着有理数的代数结构不能改变。扩充为实数的方法我这里就不细说了