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设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,而η1,η2,...ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解,求证它的任一解可以表示为x=k1η1+k2η2+...+kn-r+1ηn-r+1(已知k1+k2+...+kn-r+1=1)
含情脉脉GPp5
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证明:记m=n-r+1(1)由 η1,η2,...,ηq线性无关可得 η1-ηq,η2-ηq,...,ηq-1-ηq 线性无关.(略)(2)因为 r(A)=r所以 η1-ηq,η2-ηq,...,ηq-1-ηq 是 AX=0 的基础解系.(3) 所以Ax=b的任一解都可表示为ηq + k1(η1-ηq)+k2(η2-ηq)+...+kq-1(ηq-1-ηq)= k1η1+k2η2+...kq-1ηq-1 + (1-k1-k2-...-kq-1)ηq令 kq = 1-k1-k2-...-kq-1则 k1+k2+...+kq=1 且 Ax=b的任一解都可表示为 k1η1+k2η2+...kq-1ηq-1+kqηq.
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扫描下载二维码导读：非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论，摘要：本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线，虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间，但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组，这个解向量组线性无关，并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示，给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件，?a11x1?a12x2????a1nxn?b1?ax?ax 非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论
摘要：本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题，虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组，这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后，给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件，并给出了相应例题。
关键字：非零解，基础解系，线性无关，初等变换 引言 ?a11x1?a12x2????a1nxn?b1?ax?ax????ax?b?
非其次线性方程组?
（Ⅰ） ?????am1x1?am2x2????amnxn?bn的矩阵形式为AX?B.取B?0,得到其次线性方程组AX?0称为非其次线性方程组AX?B的导出组。我们知道非其次线性方程组AX?B的解有以下的一些性质： （1） 若u1是非其次线性方程组AX?B的一个解，v1是其导出组AX?0的一个解，则u1?v1也是AX?0的一个解。 证明：因为u1是非其次线性方程组AX?B的一个解，所以有Au1?B，同理有Av1?0，则由A?u1?v1??Au1?Av1?B?0?B.所以u1?v1是非其次线性方程组AX?B的解。 （2） 若v1,v2是非其次线性方程组的两个解，则v1?v2是其导出组的解 证明：由Av1?B,Av2?B,所以有A?v1?v2??Av1?Av2?B?B?0,故v1?v2为其导出组的解。 2.定理
（非其次线性方程组解的结构定理）若v1是非其次线性方程组AX?B的一个解，v是其导出组的通解，则u1?v?v1是非其次线性方程组的通解。 证明：由性质（1）可知u1加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解，所以只需证明，非其次线性方程组的任意一个解v，一定是u1与其导出组某一个解v1的和，取*v1?v*?u1 由性质（2）可知，v1是导出组的一个解，于是得到v?u1?v1，即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。 由上面这个定理我们可以知道，一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表*
示。因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表示出一般方程组的一般解，如果v0是方程组（Ⅰ）的一个特解，?1,?2?,?n?r是其导出组的一个基础解系，那么（Ⅰ）的任一个解都可以表示成：u?u0?k1?1?k2?2???kn?r?n?r 3.由上面2的证明过程，我们可以知道其次线性方程组AX?0的全部解可由基础解系*?1,?2?,?n?r线性表示出（其基础解系含有n?r个解向量），即k1?1?k2?2???kn?r?n?r?k1,k2,?kn?r?为任意实数。那么，当非其次线性方程组则AX?B至多有多少个线性无关的解向量？AX?B的全部解又如何表AX?B有解时，示？
定理 若其次线性方程组AX?0的基础解系为?1,?2?,?n?r，当非其次线性方程组AX?B?0有解时，则它至多且一定有n?r?1个线性无关的解向量?1,?2,??n?r,?n?r?1，AX?B的通解可以表示为k1?1?k2?2???kn?r?n?r?kn?r?1?n?r?1为满足关系式k1?k2???kn?r?kn?r?1?1，的任意实数。 证明：（）若?是非其次线性方程组AX?B的解，则?为非零解向量，那么向量组?，?1,?2?,?n?r线性无关（否则?可由?1,?2?,?n?r线性表示，与?是AX?B的解矛盾）。那么，易证?1??,?2????1,?3????2,??n?r?1????n?r都是AX?B的解，并且?1,?2,??n?r,?n?r?1线性无关。这说明AX?B至少有n?r?1个线性无关的解向量。
下面再证AX?B至多有n?r?1个线性无关的解向量。 反证：若AX?B有n?r?2个线性无关的解向量?1,?2,??n?r?1,?n?r?2，那么易证?1??n?r?2,?2??n?r?2,??n?r?1??n?r?2均为AX?0的解，并且线性无关。这样AX?0具有n?r?1线性无关的解向量矛盾，所以，AX?B至多且一定有n?r?1个线性无关的解向量AX?B。 （）对于AX?B的任意一个解，一定可以表示成它的一个特解?与其导出组AX?0的基础解系的线性组合，即??k1?1?k2?2???kn?r?n?r?k1,k2,?kn?r?为任意常数 那么
??k1?1?k2?2???kn?r?n?r??1?k1?k2???kn?r????k1????1??k2????2????kn?r????n?r? ??1?k1?k2???kn?r??1?k1?2?k2?3???kn?r?n?r?1（k1,k2,?kn?r为任意实数，且组合系数?1?k1?k2???kn?r?,k1,k2,?kn?r之和等于1. 这说明，AX?B的任意解都可以表示成这样的形式。 另一方面，由于?1,?2,??n?r,?n?r?1都是AX?B的解，对于k1?1?k2?2???kn?r?n?r?kn?r?1?n?r?1，只要满足k1?k2???kn?r?kn?r?1?1仍然是所以，AX?B的解，AX?B的通解可以表示成k1?1?k2?2???kn?r?n?r?kn?r?1?n?r?1，且k1,k2,?kn?r,kn?r?1为满足关系式k1?k2???kn?r?kn?r?1?1，的任意实数。 例2 设?0是线性方程组的一个解，?1,?2,?3,??t是它导出组的一个基础解系，令r1??0,r2??0,?rt?1??t??0。证明：线性方程组的任一一个解??u1r1?u2r2???ut?1rt?1，其中u1?u2???ut?1?1。 证明： 由题可设方程组的任一解?可以表示成???0?u2?1???ut?1?t（u2,?ut?1为常数） 令u1?1?u2???ut?1，则 ??(u1??ut?1)?0?u2?1???ut?1?t?u1?0?u2(?1??0)???ut?1??t??0??u1r1?u2r2???ut?1rt?1
（1） 引理：设A为m?n矩阵，用初等行变换，把A化为阶梯形矩阵，并使该梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元素（从左算起）为1，且该元素所在列的其他元素为零，这样的阶梯形矩阵的为A的行简化阶梯形矩阵。 定理：非齐次线性方程组存在全非零解的充要条件是，它的增广矩阵A的秩r(A)与系数矩阵A的秩r?A?相等，且A的行简化阶梯型矩阵中每个非零行的非零元素个数大于或等于2. 证明：必要性
方程组有全非零解，则必须满足方程组的条件，因而，r(A)?r?A?.不妨设其秩为r且A的简化阶梯矩阵为：
?1?0?????0?0????0?00?0l1,r?1l1,r?2l2,r?1?l1,n?l2,nlrn,r?100?1lr1,r?1lr2,r?2?00?000?00000??d1?d2?????dr?
（2） 0????0??且其对应的方程组为 x1??l1,r?1xr?1?l1,r?2xr?2???l1nxn?d1x2??l2,r?1xr?1?l2,r?2xr?2???l2nxn?d2xr??lr,r?1xr?1?lr,r?2xr?2???lrnxn?dr若对某个r?i?i?r? 有li,r?1?li,r?2???li,n?di?0 则xi?0，这和方程组（2）有全非零全部解矛盾，故对每个i（r?1,2,?n），至少存在一个j（r?1?j?n）使lij?0或di?0，即（2）中第i（r?1,2,?r）行至少有两个非零元素。
充分性：设N是充分大的正数，令xr?1?N将其带入（2）得：xi??li.r?1Nn?rn?r ，xr?1?Nn?r，?xn?N ?li,r?2Nn?r?1???li,N?di（r?1,2,?r），当lij?0（r?1?j?n），di?0时，显然成立；当上式右端至少存在一个非零系数，设第一个非xi??li,r?kNn?r?k?1?li,r?k?1Nn?r?k???linN?di零系数为li,r?k?1?k?n?r?，则??li,r?kNn?r?k?1??li,r?k?1Nn?r?k???li,nN?di??1?? n?r?k?1?li,r?kN????因为lim?li,r?k?1Nn?k?r???li,nN?di?li,r?kNn?r?k?1N????0 所以iN???limx??，i?1,2,?r，故存在充分大的正数Ni，使xi??,li?rn?r?1k?kN?,?li?1rn?r?kNk???linN0?i（i?1,2,； ?r）d?取N?max?N1,N2,?Nr?，可使
xi??li,r?kNn?r?k?1?li,r?k?1Nn?r?k???linN?di?0（i?1,2,?r） n?rn?rn?r?1,?N 这样，就得到方程组的一个全非零解x?x1,x2,?xr,N,N,N??T 例1 方程组 ?x1?2x3?4x4?x5?1??x1?x2?2x3?6x4?x5?2?
有全非零解的充要条件？ ?x1?x2?x3?6x4?(c?1)x5?0?x?3x?4x?c?1x?3??524?1?2x?x?5x?10x??c?3?x?5345?12解:其增广矩阵A的简化阶梯形矩阵为 ?1?0??0??0????22?1??0c?32?
?000?000??41故由上述定理可知，该方程组有全非零解的充要条件是c为任意实数。 ?x1?x2?x3?x4??1?例2已知非齐次线性方程组?4x1?3x2?5x3?x4??1有三个线性五官的解， ?ax?x?3x?bx?134?12（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2, (Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解。 解：（Ⅰ）设?1,?2,?3是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，则?1??2,?1??3是导出组Ax?0的线性无关解，所以n?r?A??2，从而r?A??2，显然矩阵A中存在不为零的2阶子式，又有r?A??2，从而秩r?A??2。 （Ⅱ）对线性方程组的增广矩阵作为初等行变换，有
?1A???4??a?1???0?????1?5?1?1??1?53???3b1????01?a3?ab?aa?1?? 11?1??15?3??4?2bb?4a?54?2a??1于是r?A??rA?2故a?2,b??3，又因为????2,1,1,0?是Ax?b的解，且??T?1???2,1,1,0?,?2??4,?5,0,1?是Ax?0的基础解系，所以方程组的通解为TT??k1?1?k2?2（k1,k2为任意实数）
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设n阶方阵A的秩为n-1,a1,a2,是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解向量,则x=0的通解为什么是k（a1-a2）?
欧辰儿丶N0
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对!秩为n-1,说明方程组只有一个自由未知量,基础解系中应该只有一个向量（且是非0向量）.现在a1,a2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解向量,其中可能有一个为0向量,但这两个向量的差绝对不会是0向量,所以通解是k（a1-a2）.
那为什么不能是k（a1+a2）呢
如果a1与a2是互为负向量，它们相加就变成0向量了，0向量不能做基础解系的。
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这是因为1. a1-a2 是 Ax=0 的解2. a1-a2 ≠ 03. Ax=0 的基础解系含 n-r(A) = 1 个向量所以 a1-a2 是 Ax=0 的基础解系.
那为什么不能是k（a1+a2）呢
a1+a2 可能等于0
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单项选择题已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必是A．．B．．C．．D．．
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