设函数f x ax2 a lnx（x）= lnx＋ax2＋(2a+1)(1)讨论f(x)的单调性

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已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)设a＜-1，如果对任意x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，求a的取值范围。
题型：解答题难度：偏难来源：辽宁省高考真题
解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0，+∞)，，当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)单调增加；当a≤-1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，+∞)单调减少；当-1＜a＜0时，令f′(x)=0，解得，则当x∈时，f′(x)＞0；x∈时，f′(x)＜0，故f(x)在单调增加，在单调减少． (Ⅱ)不妨假设x1≥x2，而a＜-1，由(Ⅰ)知f(x)在(0，+∞)单调减少，从而，等价于，① 令g(x)=f(x)+4x，则， ①等价于g(x)在(0，+∞)单调减少，即，从而；故a的取值范围为（-∞，-2]。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)设a..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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已知函数f(x)=lnx-ax+1/2x?，a属于R，讨论函数f(x)单调性
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求导数：f'=1/x-a+xf'=0时，1/x-a+x=0x^2-ax+1=0x=[a±√(a^2-4)]/2(1)a&=2或a&=2时，x&=[a+√(a^2-4)]/2，f'&0,此时单调增& 0&x&=[a-√(a^2-4)]/2，f'&0,此时单调减(2)-2&a&2时，x&0时，增&& zwbf'(x)=1/x-a+x(x&0)&&&& =(x^2-ax+1)/x不多说，然后对a分类讨论，解二次方程x^2-ax+1=0即可先求导得导函数为(X+1/X)-a，先讨论导函数的单调性以及由a所决定的正负区域就知道原函数的单调性了，这样你就会了吧。
||||点击排行已知函数f(x)=lnx-1/2a^2+2x存在单调减区间,则实数a的取值范围、
分类：数学
f(x)=lnx-1/2ax^2+2xf'(x)=1/x-ax+2
(x>0)f(x)存在单调减区间即存在x>0使得f'(x)1/x^2+2/x成立 设1/x=t>01/x^2+2/x=t^2+2t=(t+1)?-1∈(0,+∞) ∴a>0
已知函数f(x)=sinx/2+根号3+cosx/2,x∈R求函数f(x)的最小正周期,并求函数f(x)在x∈[-2π,2π]上的单调递减区间函数f(x)=sinx（x∈R ）的图像经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f(x)的图像
f(x)=sinx/2+√3+cosx/2=sinx/2+cosx/2+√3=√2(√2/2sinx/2+√2/2cosx/2)+√3=√2(sin45°sinx/2+cos45°cosx/2)+√3=√2sin(x/2+45°)+√3它的周期为2kpi*2=4kpi这个图象是sinx先把x轴扩大2倍,然后向左平移45°/2单位,再把y轴扩大√2倍,然后向上平移√3.
y=-(sinx+1)/(sinx-2)=-(sinx-2+3)/(sinx-2)=-[(sinx-2)/(sinx-2)+3/(sinx-2)]=-1-3/(sinx-2)-1
已知函数f(x)=log2(1+x/1-x)求函数的定义域1.求函数的定义域2.判断函数的奇偶性3.根据函数单调性的定义,证明函数f(x)是增函数
0(x+1)/(x-1)">1、(1+x)/(1-x)>0(x+1)/(x-1)
利用取对数求导法求函数的导数y = (sinx)^cosx
y=(sinx)^(cosx)两边取对数:lny=cosxln(sinx)两边分别求导:y'/y=(-sinx)ln(sinx)+cosx*cosx/sinx所以y'=[cosx^2/sinx-sinxln(sinx)]*y=[cosx^2/sinx-sinxln(sinx)]*sinx^(cosx)
点A（a2，2a-3）在第二、第四象限坐标轴夹角平分线上，那么a=______．
根据题意得：a2+2a-3=0，解得：a=1或-3．
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