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2.3直线,平面垂直的判定及其性质
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。D A O D1 A1 B1 BC AD B O D1 A1 B1
C略解：Rt?B1 D1 D中 : B1 D ? 2 R，B1 D ? 2a 3 a 2C1C1(2 R) 2 ? a 2 ? ( 2a) 2 , 得：R ? ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2?a 2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=――。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=――。 2 ? a2关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系A D A D1 1 CBC 1B 1一、正四面体的的基本知识 正四面体就是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形。它有6条 棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。正四面体的重心,四 条高的交点,外接球内切球球心共点。 当其棱长为a时，其体积等于___________，表面积等_______。 二、正四面体，正方体，球之间的内在联系 1）、正四面体的六条棱是对应正方体六个面的面对角线。 2）、正四面体的外接球是对应正方体的外接球。 3）、正方体外接球的直径是它的体对角线，正方体内切球的直径 是它的棱长， 与正方体各棱相切的球的直径是它的面对角线。 4），与正四面体各棱都相切的球的直径是它对应正方体的棱长。 5）、正四面体的中心，正方体的中心，正四面体外接球球心、内 切球球心，正方体外接球球心、内切球球心，六心合一。三、正四面体的三个球 一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球，那么这三 个球的球心及半径与正四面体有何关系呢？为了研究这些关系，我们利用正四面 体的外接正方体较为方便。 正四面体的外接球即为正方体的外接球，与正四面体各棱都相切的球即是正方 体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心，设正四面体的棱长为a，则正方 体的棱长为_______，对角线长为________。设外接球半径为R，与棱相切的球的 半径为________.BC的中点为E，设球的半径为R，同时H是正△BCD的中心 ∴DE=√2.5 ， ∵ DH=2/3 DE 又AH2=AD2-DH2 ∵OA=OD=R， OH=OD-BH ∴（AH-R）2=R2-DH2 可得R= /2 故球的表面积为3∏∴选A例1、（2008全国1）一个四面体的所有棱长 都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表 面积为：( ) （A）3∏ （B）4∏ （C）∏ （D） 6∏ 基本解法：设球心为O，连AO交面BCD于H，则H是A的射影，2.3.直线、平面垂直的判定及其性质知识点一：直线与平面垂直的判定生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？旗杆与底面垂直实例引入生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？大桥的桥柱与水面垂直引入新课一条直线与一个平面垂直的意义是什么？A?B实例感受在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影 子．你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位 置关系吗？ 随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是 旗杆所在所在直线AB始终与影子所在直线BC垂直． 也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条过 点B的直线垂直． 事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过 点B的直线B’C’也是垂直的． A?C?C B B?引入新课一条直线与一个平面垂直的意义是什么？ 直线垂直于平面内的任意一条直 线．A?C?CB B?引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么？ 直线垂直于平面内的任意一条直 线．如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线，那么这 条直线是否与这个平面垂直？A?C?C B B?引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么？ 直线垂直于平面内的任意一条直 线．如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线，那么这 不一定 条直线是否与这个平面垂直？A?C?C B B?直线与平面垂直定义：如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直， 记作 l ? ? ．平面 ? 的垂线垂足lP直线 l 的垂面?直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成表 示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．直线与平面的 一条边垂直lP?直线与平面垂直除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？l?P直线与平面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．l?a l ?b a ?? b ?? a ?b ? A? ? ? ?? l ?? ? ? ?lb?Aa作用： 判定直线与平面垂直． 思想： 直线与平面垂直直线与直线垂直直线与平面垂直判定定理能否说成“一条直线与一个平面内的两条直线都 垂直，则该直线与此平面垂直．”ll?a l ?b a ?? b ?? a // b? ? ? ?? l ?? ? ? ?A?ab判定定理的重要推论：如果两条平行线中，有一条垂直于平 面，那么 另一条直线也垂直于这个平面。重要结论与方法结论1：过一点只有一条直线和一个平面垂直． 结论2：过一点只有一个平面和一条直线垂直．
典型例题例1 一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的 绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点 （与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆 脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？ 解：如图，旗杆PO=8 m，两绳长 P PA=PB=10 m，OA=OB=6 m.因为 A，O，B 三点不共线， 所以 A，O，B 三点确定平面． 所以 OP ? OA, OP ? OB.O A B又因为 PO2 ? OA2 ? PA2 , PO2 ? OB 2 ? PB2 又因为: OA ? OB ? O, 所以: OP ? ? . 因此，旗杆OP与地面垂直．典型例题例2 如图，已知 a // b, a ? ? ，求证b ? ?.bn证明：在平面 ? 内作 a 两条相交直线m，n． 因为直线 a ? ?， 根据直线与平面垂直的定义知a ? m, a ? n.?m又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线， 所以 b ? ?.例：如图，直四棱柱 A?B?C?D? ? ABCD（侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时，A?C ? B?D? ？A? D?C?底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．B?A D BC【典型例题】 例.如图9-10, 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=AB, D是CC1的中 点,F是A1B的中点.求证: (1) DF??平面ABC; (2) AF?BD【典型例题】 例.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是异面直线AC，A1D的 公垂线，则EF与BD1的关系为（ ） A.相交不垂直 B.相交垂直 C.异面直线 D.平行直线【典型例题】 例.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是异面直线AC，A1D的 公垂线，则EF与BD1的关系为（ ） A.相交不垂直 B.相交垂直 C.异面直线 D.平行直线
【典型例题】例4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中， ?ACB=90?,AC=1,CB= 2 ，侧棱AA1=1，侧面A A1 B1B的两条 对角线交于点D，B1C1的中点为M，求证：CD?平面BDMA A1D C M B B1 C1例.如图， AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O 上一点， AD⊥面 ABC ， AE⊥BD于E，AF⊥CD于F. 求证：BD⊥平面AEF.
知识点二、直线和平面所成的角1.射影p O自一点向平面引垂线，垂足叫做 这点在这个平面上的射影； 这个点与垂足间的线段叫做这点 到这个平面的垂线段。?2、斜线一条直线和一个平面 A 相交，但不和这个平面垂 直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的 B C 交点叫做斜足。 ? 斜线上任意一点在 斜线上一点与斜足间 平面上的射影，一定在 的线段叫做这点到这个平 斜线的射影上。 面的斜线段。 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影。3、直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线与平面内这条斜线的射影所成的 锐角叫做直线和平面所成的角。????一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 ?的角。直线和平面所成角的范围是[0?，90?]。斜线和平面所成的角的作法：作法的关键在于确定平面的垂线， （1）首先查看已知条件和题目所给的 图形中是否已有所需的垂线； （2）当已知条件和题目所给的图形没 有所需要的垂线时，应考虑能否利用两 平面垂直的性质定理进行补作； （3）若无法利用两平面垂直的性质定 理作出所需要的垂线，必须直接由点向 平面引垂线时，应考虑垂足的位置D1 A B1C11练 习CD1AB如图，正方体ABCD―A B C D 中，分别指 1 1 1 1 出对角线A C与六个面所成的角.1AlO??CB Dl是平面? 的斜线，A是l 上任意一点，AB是平面? 的垂线，B是垂足，OB是 斜线l的射影，θ是斜线l 与平面? 所成的角.θ与∠AOD的大小关系如何？Alθ与∠AOD的大小关系如何？在Rt△AOB中，O??C最小角原理∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD 角。∴θ＜∠AODAB sin? ? 斜线和平面所成 B AO 的角，是这条斜线和 D AC 平面内任意的直线所 在Rt △AOC中， sin ?AOD ? 成的一切角中最小的 AO斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面 内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。练习1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ？（不一定）2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗？（相等）3. AO与平面?斜交，O为斜足，AO与平面?成?角， B是A在?上的射影,OD是?内的直线，∠BOD=30?， ∠AOD=60?，则sin ? = 。 63A4.已知斜线段的长是它 在平面β上射影的2倍， 求斜线和平面β所成的 角。 （ 60? ）βBO如图，斜线段AB是其射影OB 的两倍，求AB与平面β所成的角。例题如图，在Rt△ ABC中，已知 ∠C=90?，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且PA=例1.2P，求PB与平面PAC所成的角.ACB解：PA ⊥平面ABC PA 平面ABC???BC ⊥平面PAC又AC ⊥BC???PAAC=ABC ⊥平面PAC PB与平面PAC所角为∠BPCAC=1, PA=PC=??2P323A 1 B 1 C又BC=1，tan ∠BPC= 3∠BPC=30?即BP与平面PAC所成的角为30? .N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的 N 余弦值。 ∠MOM'就是MN与β所成的角 N M 移出图 6 M 4 N' O 1 M' N' β O M' M M O N' 1 O M' N' 移出图 M' 6 β 4 N N例3 .线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，. 例4 如图，已知Rt△ ABC的斜边BC在平面?内，两直角边AB.AC和平面?所成的角分别为 45?和 30?，求斜边BC上的高AD和平面?所成的 角.AO?BD DC知识点三：三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直 P 线，如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直，那么，它就和这条 斜线垂直。 三垂线定理的逆定理 A a 在平面内的一条直线，若和这 ? O 个平面的一条斜线垂直，那么， 它也和这条斜线的射影垂直。 练习：正三角形ABC的边长为a，AD⊥BC于D，沿 AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，求折起后点B 到AC的距离．7 BE ? a 4知识点四：直线与平面垂直的性质定理1.直线与平面垂直的定义是什么？ 如何判定直线与平面垂直？2.直线与平面垂直的判定定理， 解决了直线与平面垂直的条件问题； 反之，在直线与平面垂直的条件下， 能得到哪些结论？思考1:如图，长方体ABCD―A1B1C1D1 中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线 与底面ABCD的位置关系如何？它们 彼此之间具有什么位置关系？C1 B1 C B A A1 D D1思考2:如果直线a，b都垂直于同一 条直线l，那么直线a，b的位置关系 如何？la b a blbla思考3:一个平面的垂线有多少条？ 这些直线彼此之间具有什么位置关 系？a bcαO思考4:如果直线a，b都垂直于平面 α ，由观察可知a//b，从理论上如 何证明这个结论？思考5：根据上述分析，得到一个什 么结论？定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行上述定理通常叫做直线与平面垂直 的性质定理.用符号语言可表述 为： ? ? , b ? ? ? a / / b .该定理有 a 什么功能作用？例1 如图，已知 ? ? ? ? l , CA ? ? , 于点A，CB ? ? 于点B， ? ? , a ? AB , a 求证：a // l .β B α l A aC例2 如图，已知 a ? b , b ? ? , a ? ? . 求证： // ? . aβblAaαB例3 如图，已知 PA ? 矩形ABCD所 在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证： （1） MN ? CD ; ? （2）若 ? PDA ? 45，求证：MN ? 面PCDP E N A M B DC两个重要结论1、垂直于同一条直线的两个平面平行。 2、如果两条平行线中有一条直线垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面。注：此结论可当定理使用知识点五：二面角及其平面角? ? ? ?? ?1（1）半平面及二面角的定义 1、半平面： 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。 2、二面角： 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。面?半 平 面l半 平 面面 棱?l（2)二面角的 画法与记法1、二面角的画法：（1）、平卧式（2）、直立式?(3)二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线l 为棱，以? , ? 为半平面的二面角记为： ? ?l ? ? （2）、以直线AB 为棱，以? , ? 为半平面的二面角记为： ? ? AB ? ??l?B?A?B∠AOB 二面角?－AB－ ?AO A F E BCA BD? ?l5B? A 二面角?－ l－ ?DC二面角C－AB－ D? ??l(4)二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别 引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角。 ?? ?AOB == A?O?B? ? 注:（1）二面角的平面角与点的位置 等角定理：如果一个角的两边和另 ? 无关，只与二面角的张角大小有关。 ? A 一个角的两边分别平行，并且方向相 O? （2）二面角是用它的平面角来度 B? 同，那么这两个角相等。） l 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 B O （3）平面角是直角的二面角叫做 A 直二面角。 （4）二面角平面角的取值范围一 般规定为（0,π）。2、二面角的平面角的作法： 1、定义法： 根据定义作出来。 2、作垂面： 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到。 3、应用三垂线： 应用三垂线定理或其逆定理作 出来。注意：二面角的平面角必须满足： （1）、角的顶点在棱上。 （2）、角的两边分别在两个面内。 （3）、角的边都要垂直于二面角的棱。?Alo B??Bo?AllA??olB(5)角与二面角的比较 角 二面角A图形 顶点边边 BA棱 a? 面 面?OB定义从一点出发的两条射线 从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做角。 半平面所组成的图形叫 做二面角。 边―点―边 （顶点） ∠AOB构成面―直线―面 （棱）二面角?―l―? 或二面角?―AB―?表示法练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：ABE 二面角A--BC--D O C C’ B’ O D A CDA, B ? l?CD’ Bl DAC ? ? BD ? ?AC⊥l BD ⊥l14?A’A O二面角?--l--?B 二面角B--B’C--A例1、已知二面角?－ l － ? ，A为面?内一点，A到? 的 距离为 2 3 ，到l 的距离为 4。求二面角 ?－ l － ? 的大小。l解： 过 A作 AO⊥?于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD， 分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个 角就是所求的平面角, 最后求出这个角的大小。 则由三垂线定理得 AD⊥ .? ?ADO 就是二面角 ?－ l － ? 的平面角.A.?? AO ? 2 3, AD ? 4在Rt△ADO中，DO∵sin∠ADO=lAO AD?2 3 ? 4∴ ∠ADO=60°.∴二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 °.例2、如图，山坡倾斜度是60度， 山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角. 沿这条路向上走100米,升高了多少?解:因为此例是一个实际应用题, 可先抽象出数学 分析: CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线 段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G, 即 模型, 如图所示. 本题要求 “升高了多少米？” 是求点D到水平面? 就是坡面和地平面所成 那么 DG⊥AB,∠DGH 的距离DH.已知二面角?-AB-? 是60度, 只要过D点在平面?内作 DG?AB , G是垂 60 的二面角的平面角,所以∠DGH= . HG?AB , 足, 再连结HG,则根据三垂线定理,可得 ? DH ? 就 是 该 则 ?DGH DG ? sin 60 二 面 角 的 平 面 角 , 即 ?DGHCD 60 . 再根据?DCH ? 30 及直角三角形 ? ? ? sin 30 ? sin 60 DGH和DCG的边角关系, 就可以求出DH . ? 100 sin 30 ? sin 600 00D HACGB000??A C G00DH? 25 3 ? 43.3(m)答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.B例、如图，将等腰直角三角形纸片沿 斜线BC上的高AD折成直二面角. 求证: BD?CD, ?BAC ? 600A分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , ?BDC 为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所 以 BD?CD . B 若设 AD ? a ,则 BD ? CD ? a ,即可求得: AB ? AC ? BC ? 2a ， 那么 ?BAC 为等边三角形, 所以 ?BAC ? 60 .0DC解:(略)小结 从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 1、二面角的定义： 面角。这条直线叫做二面 1、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 的大小与 其顶点 2、二面角的画法和记法：做二面角的面。 画法：直立式和平卧式 在棱上的位置无关 2、二面角的大小用 记法：二面角 ?－AB－ ? 3、二面角的平面角： 它的平面角的大－ ? 二面角 ?－ l 小来度量 1、根据定义作出来 4、二面角的平面角的作法：2、利用直线和平面垂 直作出来 3、应用三垂线定理或 其逆定理作出来二面角的计算步骤：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”16例、已知锐二面角?－ l－ ? ，A为面?内一点，A到? 的 距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 ?－ l－ ? 的 大小。 ① 解： 过 A作 AO⊥?于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连ADA则由三垂线定理得 AD⊥ l ② ∴∠ADO就是二面角 ?－ l－ ? 的平面角 ③ AO为 A到?的距离 ， AD为 A到 l 的距离 ∵? ∴AO=23，AD=4在Rt△ADO中，DOl17?AO ∵sin∠ADO= AD ∴ ∠ADO=60°2 3 3 ? ? 2 4∴二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 °例 如图，已知A、B是120?的二面角 ?―l―?棱l上的两点，线段AC，BD分别 在面?，?内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2， BD=1，AB=3，求线段CD的长。 ∠OAC ＝120?2 2?B Cl D?A OAO=BD=1, AC=22 ?CO ? AC ? AO ? 2 AO ? AC ? COS120 ? 7四边形ABDO为矩形, DO=AB=319例 如图，已知A、B是120?的二面角 E ? ?―l―?棱l上的两点，线段AC，BD分别 l B ? 在面?，?内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2， D C BD=1，AB=3，求线段CD的长。 O 解：在平面?内，过A作AO⊥l ，使 A AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是 二面角?―l―?的平面角，即 ∠OAC ＝120?， ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ， ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO ∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2， 2 2 2 ? ∴ CO ? AC ? AO ? 2 AO ? AC ? COS120 ? 7 在Rt △COD中，DO=AB=3? CD ? CO ? DO ? 7 ? 3 ? 42 2 219从一条直线出发的两个半 二 面 角 ?－AB－ ? 1、二面角的平面角 二 面 角 C－AB－ D 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 二 面 角 ?－ l－ ? 1、根据定义作出来 面角。这条直线叫做二面 2、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 2、利用直线和平面垂 的大小与 做二面角的面。 其顶点 直作出来 3、借助三垂线定理或 二、二面角的表示方法： 在棱上的位置无关 3、二面角的大小用 其逆定理作出来 1、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大 三、二面角的平面角： 2、证明 1中的角就是所求的 角 小来度量 3、计算所求的角一、二面角的定义：二 面 角四、二面角的平面角的作法： 五、二面角的计算：一“作”二“证”三“计算”22例 在正方体AC1中，E为BC中点，（1）求面B1BCC1与面 AB1C所成的二面角的正弦值；（2）求二面角E―B1D1―C1 的正切值。 D A B F D1 A1 B1 C1 A1 D1 C1 C A D CEB（1）H （2）GB1例、如图，△ABC在平面α上的射影为正△AB1 C1， 1 若BB1= ，CC1=AB1=1，求面ABC与面AB1C1所成 2 锐二面角的大小。 C1BA 11 2 B1C1?P例3 　在60 二面角? ? a ? ? 内有一点P ,0已知PA ? ? , PB ? ? , A , B为垂足 , 且PA ? 3 , PB ? 5 , 求( 1 ) AB的长( 2 )P到棱a距离5 P3 600 AB?a E?例4 已知Rt△ABC顶点A不在α内，斜边BC在α内，AB、AC 分别与平面α成300、450角，求△ABC所在平面与α所成角。 AA1 300 450 E C?B引申：若△ABC为一般△，设面ABC与底面α所成角为θ，则 S 射影 COS θ=S 原形例： 如图，G、E、F分别是正方体AC1中CD、BC、CC1中点， 求二面角F―GE―C的余弦值。 D1 A1 B1 C1FD AGCEB 设棱长为2a?GEF在平面ABCD上的射影为 GEC ?例 5 如图，已知A、B是120?的二面角?― l―?棱l上的两点，线段AC，BD分别在面?，? 内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3， 求线段CD的长。 C ∠OAC ＝120?2 2? Bl D?A O AO=BD=1, AC=22 ?CO ? AC ? AO ? 2 AO ? AC ? cos 120 ? 7四边形ABDO为矩形, DO=AB=319例 5 如图，已知A、B是120?的二面角?― E ? l―?棱l上的两点，线段AC，BD分别在面?，? l B 内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3， ? D 求线段CD的长。 C 解：在平面?内，过A作AO⊥l ，使 AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是 二面角?―l―?的平面角，即 ∠OAC ＝120?， ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ， ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DOAO∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2， ∴ CO2 ? AC 2 ? AO2 ? 2 AO ? AC ? COS120?在Rt △COD中，DO=AB=3?7? CD ? CO ? DO ? 7 ? 3 ? 42 2 219小结二面角的平面角的求法：（1）定义法（2）三垂线定理法（3）射影法 COSθ=S 射影 S 原形（4）垂面法已知直二面角 ??l??，A??,B??线段 例：AB=2a，AB与?成45?的角，与?成30?角，过A、 B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求面ABD与面 ABC所成角的大小。 ?A CF H?DB解法一：如图,由已知可得平面ABC?平面?,作DH?BC于H，则DH?平面ABC，作DF?AB于F，连HF，则据三垂线定理的逆定理知 ?DFH为所求二面角的平面角。 3 6 DF ? a, HF ? a, DH ? a, 又知?BAD=45?, ?ABC=30 ?，可解得 3 3 3 于是在?DFH中，由余弦定理，得 cos ?DFH ?所以?DFH ? arccos3 333 即面ABD与面ABC所成的二面角为 arccos 3（2）射影法：如图所示， AD?平面M，设 ?AHD= ?是二面角A-BC-D的平面角，由 cos ? =HD/AH可得，?ABC与它在过其底边 BC的平面M上的射影?DBC以及两者所成的 二面角?之间的关系： cos ? ? S ?DBC S ?ABC 用这个关系式求可锐二面角的平面角。（3）公式法：ABMHDC如图，?CBF= ?为二面角的平面角 ? ，在?CBF中，由余弦定理可求得CF CF 2 ? m 2 ? n2 ? 2mn cos? 再由Rt?ECF可得?Em A d mB n?dCEF ? d ? m ? n ? 2mn cos?2 2 2 2Fl 用此公式亦可求二面角的平面角；这实为异 于(0?,90?], 面直线上两点的距离公式，但这里?不局限??(0?,180?)。知识点六. 平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两 个平面垂直. β 符号:a?? a ? 面?a?? ? ?αA简记：线面垂直，则面面垂直线线垂直 直 线面垂直 面面垂例1 如图,AB是圆O的直径，PA垂直于圆 O所在的平面于A， C 是圆O上不同于A、B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC分析： 证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BC BC ? AC PA ? 平面ABC ? ? ? PA ? BC BC ? 平面ABC ? PA ? AC ? A? BC ? 平面PACP? 平面PAC⊥平面PBCBC ? 平面PBCCAOB例： 如图所示：在Rt△ABC中， ∠ABC=900 ,P为△ABC所在平面外一点， PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相垂 直，为什么？PPA ? 平面ABC PA ? 平面PAC?平面PAC⊥平面ABC同理：平面PAB⊥平面ABCA B C? 平面PAB⊥平面PBCBC ? 平面PAB BC ? 平面PBCAC ? AD ? 2, ?DAC ? ?BAC ? ?BAD ? 60 . 求证:平面 BCD ?平面 ADC. A?例空间四边形 ABCD ,已知 AB ? 3,分析：证明：设DC中点为O，连结AO,BO ∵AC=AD=2, ∠DAC=60 ∴AO⊥DC, AO ? 3 , DC=2 ? 又∠BAC= ∠BAD=60 , AB=3?DOC∴SABD≌SABC , DB=CB= 7 ∴BO⊥CD,BO= 6 , ? ∠AOB是二面角A-DC-B的平面角B∴AB2=AO2+BO2, ∠AOB=90 ∴平面BCD⊥平面ADC?小结 找二面角的平面角 1.定义法： 说明该平面角是直角.（一般通过计算完成证明.）2.证平面与平面垂直可用定义、判定定理. 3.求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角（2）证明其符合定义垂直于棱；（3）计算. 作或找证求答知识点七：平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直.符号表示：?bl??b ? ? ? ?? ?l ? 简述为： b?l ?? ? ?? b ????面面垂直线面垂直证明过程已知? ? ? , ? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD于B.求证 : AB ? ? .证明:在平面 ? 内作BE⊥CD,?A D垂足为B.则∠ABE就是二面角 ?-CD-? 的平面角 ∵??B CE??, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)又由题意知AB⊥CD,且BE ?CD=B∴AB⊥ ? (直线与平面垂直的判定定理)例1、已知：两个平面?与? 互相垂直，判断下列命题是否正确：（1）若b ? ? ,则b ? ?。 × （2）若? ? ? =l,b ? l则b ? ?。 ×（3）若b ? ? ,则b垂直于平面?内的无数条直线。√(4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线 必垂直于另一个平面。√??l例2、如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)求证：BC⊥平面PAC。 (2)判断平面PBC与平面PAC是否垂直，并证明。PCAOB例3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC ? 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC ? 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB BC例4，如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意 一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC. 证明: ∵AB是⊙O的直径∴AC⊥BC P∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC F .O ∴PA⊥BC ∵PA∩AC=A A ∴BC⊥平面PAC C ∵BC 平面PBC ∴平面PBC⊥平面PAC 又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC ∴AF⊥平面PBC∩B∩∩解题反思1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。面面垂直性质定理 判定定理线面垂直(09高考海南宁夏卷文科)如图，在三棱锥P―ABC中，?PAB是 等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 ?（Ⅰ）证明：AB⊥PC （ ⅠⅠ）若PC=4,且平面PAC ⊥平面PBC,求三棱锥P―ABC 的体积
绝密★启用前 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质总分:100 分;考试时间:100 分钟;命题人:陈绪亮 一、选择题(题型注释) 1.若直线 l , m 与平面 ? 、 ? ...2.3直线、平面垂直的判定及其性质_数学_高中教育_教育专区。2.3 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 直线、平面垂直的判定及其性质 ①定义法 ②利用...2(3)直线、平面垂直的判定定理及性质_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2(3)直线、平面垂直的判定定理及性质_数学_高中教育_教育专区...2.3直线、平面垂直的判定及其性质1_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2.3直线、平面垂直的判定及其性质1_数学_高中教育_教育专区。2...2.3 直线、平面垂直的判定及其性质知识要点 1。线线垂直:在空间,如果两条直线 为 ,则称这两条直线互相垂直。 或平移后 ,并且夹角 2。直线与平面垂直: 定义:...2.3直线、平面垂直的判定及其性质_数学_高中教育_教育专区。《2.3.1 直线与...线面角定义:当直线与平面斜交时:平面的一条斜线和它在平面上的___所成 的_...第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1:已知两个平面垂直,下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的...高中数学 《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》教学案_数学_高中教育_教育专区。《2.3.1直线与平面垂直的判定》教学案自主探究学习以立体几何的定义、公理和定理...§ 2.3.5 直线、平面垂直的判定及其性质(小结) 一、知识网络 判定定理 性质 判定定理 线线垂直 性质 定理 线面垂直 性质 线线平行 理定质理性定 性质定理 ...教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; (2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法; (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知...
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