&p&本科初涉泛函分析，硕士搞的运筹与控制，博士宏观经济学，跟泛函分析打了10年交道，嗯。&/p&&p&本科的线性泛函分析，最重要的应用是给线性积分方程和线性偏微分方程打下理论基础的。&/p&&p&非线性泛函分析，最重要的应用，就是非线性动力系统、非线性偏微分方程（PDE）、变分法（工科或者经济学里叫：最优控制）。事实上，&u&&b&PDE和变分法两者之间有着十分深刻的关系&/b&&/u&。（后文细表）&/p&&p&在工程技术或者经济学领域，与泛函分析最密切的应用课题就是&b&最优控制理论（在无限维赋范线性空间中选择最优点，即&极值函数&）&/b&了。一般的最优化理论、运筹学或称数学规划理论，其求解特征以及最优解都具有静态特征（在有限维赋范线性空间中选择最优点）。而最优控制求解的问题本质上都是动态的，直观上看，最优控制问题是在系统的动力学方程约束（微分/差分方程约束、随机微分/差分方程约束）条件下去最优化一个泛函（而非函数）,众所周知，&b&泛函的取值是与系统状态变量的整个路径直接相关的。&/b&&/p&&p&在最优控制理论的研究中，线性泛函分析中闻名遐迩的&b&Riesz-Frechet表示定理、Banach fixed point Theorem、Hahn-Banach定理及等价的所谓分离超平面定理、共轭算子理论；&/b&非线性泛函分析中的&b&Banach空间的微分理论、拓扑度理论&/b&都发挥了重要作用（比如现代变分学中著名的&山路引理&）。其他的泛函分析课题，如谱理论等与最优控制关系不太大，我也了解不深，不加介绍。下面列举几个最优化理论和最优控制理论的经典例子。&/p&&br&&p&&b&【1】&/b&.对偶空间、共轭算子理论在Hilbert空间最优化理论中是十分重要的。Linear Manifold（线性流形）下的&b&投影定理&/b&个人认为是最优化理论中最为精巧的定理之一。它特别适合求解如下最优化问题：（绝对值符号代表范数）&/p&&img src=&///equation?tex=min%5Cleft%7C+u+%5Cright%7C+& alt=&min\left| u \right| & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=s.t.%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+y_%7B1%7D+%28t%29u%28t%29dt%3Dc_%7B1%7D+& alt=&s.t.\int_{a}^{b} y_{1} (t)u(t)dt=c_{1} & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+y_%7B2%7D+%28t%29u%28t%29dt%3Dc_%7B2%7D+& alt=&\int_{a}^{b} y_{2} (t)u(t)dt=c_{2} & eeimg=&1&&&p&细心的同学已经发现了&b&，&/b&约束条件就是两个内积！是一个线性算子的等值面，故而是一个线性流形。线性泛函课程中的投影定理&u&直接&/u&告诉我们，上述最优化问题的解为：&/p&&img src=&///equation?tex=u%28t%29%3D%5Calpha+y_%7B1%7D+%28t%29%2B%5Cbeta+y_%7B2%7D+%28t%29& alt=&u(t)=\alpha y_{1} (t)+\beta y_{2} (t)& eeimg=&1&&&p&厉害吧？&/p&&p&线性流形，就是仿射集:affine set。我喜欢叫它线性流形，是因为它听起来更有腔调。嗯。&/p&&p&事实上呢，从初等的&b&微分流形&/b&理论就可以知道，光滑映射的等值面是一个流形（这就是&b&隐函数定理&/b&的&b&拓扑学&/b&意义！）。线性流形就是线性映射的等值面&/p&&p&&b&【2】&/b&.不动点定理，如&b&压缩映射原理&/b&在讨论&b&最优控制&/b&的Bellman方程中具有重要作用。当然还有其他许多不动点定理，有关这一方面的应用很多很多很多。&/p&&p&例：约束条件（s.t.）为随机动力学系统（一般为一个伊藤过程），最大化系统的性能泛函（用初等微积分语言说，就是约束极值问题，只不过这里的约束为微分方程或随机微分方程，目标函数升格为泛函）&/p&&img src=&///equation?tex=maxE%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+e%5E%7B-%5Crho+t%7D+c%28t%29%5E%7B%5Calpha+%7D+dt+& alt=&maxE\int_{0}^{\infty } e^{-\rho t} c(t)^{\alpha } dt & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=s.t.dX%28t%29%3D%5BrX%28t%29-c%28t%29%5Ddt%2B%5Cmu+X%28t%29dW%28t%29& alt=&s.t.dX(t)=[rX(t)-c(t)]dt+\mu X(t)dW(t)& eeimg=&1&&&p&注意：E为期望算子，W(t)为标准布朗运动。
对于这个问题，写出它的HJB方程，然后尝试压缩映射迭代！当然不一定总成功！&/p&&p&压缩映射原理，就是所谓的Banach不动点定理。&b&在最优控制问题的研究中，我们经常要运用此定理，还有Brouwer不动点定理、Lery-Schaulder不动点定理论证方程的可解性。&/b&当这些定理都失效时，作为终极手段，我们还有最后的大招：&b&拓扑度理论&/b&（拓扑学里喜欢叫映射度理论）此处不细展开了。&/p&&p&当然，这里既然提到了随机微分方程，那我顺便说下，有的时候我们求解随机微分方程的过程中，会遇到偏微分方程的问题。在物理学、经济学中，偏微分方程也很常见。微分方程的求解也可以通过其等价的算子形式，运用&b&无限维空间的Newton迭代法求解。&/b&这也是建立在泛函分析的赋范线性空间的微分理论基础之上的。
&b&【3】&/b&.Banach空间微分学（变分法的理论基石）对于可微泛函的&b&严格&/b&讨论，需要Lebesgue控制收敛定理等实变函数的内容。
PS：不过可以认为，&b&不严格&/b&的讨论（只是应用的话），实分析倒不必要。这也是为什么实分析是判断一个人数学素养的关键课程&b&之一&/b&。
&b&【4】&/b&.将最优化理论中最重要（没有之一）的&b&Kuhn-Tucker定理&/b&推广到无穷维空间，需要有对偶空间和&b&Hahn-Banach定理&/b&的深刻认识，比如&b&拉格朗日乘子就是属于共轭空间的一个元素&/b&等等。&b&为什么要把Kuhn-Tucker定理推广到无穷维空间？拜托，最优控制问题就是无穷维空间的非线性规划！&/b&&/p&&br&&img src=&/v2-853aeb950afd694e4dafa_b.png& data-rawwidth=&787& data-rawheight=&316& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&787& data-original=&/v2-853aeb950afd694e4dafa_r.png&&&p&对于拉格朗日乘子与共轭空间的关系，并不是那么显然的。这个问题在普通的非线性规划问题中体现不出来，原因是古典的非线性规划问题局限于R^n空间，而R^n空间的共轭空间是他自身(等距同构)&b&.但是在泛函优化问题中，拉格朗日乘子在哪个空间是非常重要的，这直接影响Lagrange泛函的构造！&/b&
测度论，在&b&高等概率论、高等随机过程（随机微分方程）&/b&里有大量应用。（同样的，想要&b&不严格&/b&地掌握诸如&b&Ito&/b&公式这样的随机分析内容，其实也不用测度论或者实变函数）
&b&【5】Hilbert空间的最优化问题
&/b&许多统计学中的优化问题可以使用共轭空间理论简洁地解决。&/p&&p&说到统计学，我的一个数理统计学博士朋友在做&b&机器学习&/b&做&b&变分贝叶斯推断，&/b&我虽然不懂机器学习，但我看过他的文章，用的也是最基础的泛函优化问题。&/p&&p&泛函分析的应用太多了，以上只是最优化理论部分，还有讨论某些&b&复杂数值算法&/b&的发散性问题、&b&积分方程、偏微分方程、随机微分方程&/b&、&b&非线性控制论&/b&部分（这部分对&b&拓扑学&/b&的要求非常高），以后有空再补充吧，希望能激发一下后生们学习泛函分析的兴趣。&/p&&p&最后我再对上文划线的那句话做出一个简短解释。&/p&&p&我们想要求&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Dlnx-x& alt=&f(x)=lnx-x& eeimg=&1&&的极值，一阶条件是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+-1%3D0& alt=&\frac{1}{x} -1=0& eeimg=&1&&。&/p&&p&在初涉微分学的时候，我们几乎没有人会意识到这个操作具有什么深刻含义。&b&事实上，这个步骤反映了方程和优化之间的某种对应关系&/b&。我们想要求一个&b&函数&/b&的极值，一阶条件就&b&等价于&/b&求解一个&b&代数方程&/b&。推广到无穷维空间，就是说，我们想要求一个&b&泛函&/b&的极值，一阶条件就等价于求解一个&b&微分方程（ODE或者PDE）&/b&。&/p&&p&&b&一个非线性微分方程是非常难解的&/b&，我们可以绕过这道坎，转而去求解一个泛函极值问题，让泛函取到极值的那个函数，就是对应非线性微分方程的解，而泛函极值的数值迭代方法可以通过计算机Matlab等软件来完成。&/p&&p&这里面蕴藏的智慧，不可谓不精妙！如果在此基础上，你依然保留着非常强大的求知欲……那么恭喜你，你已经和一般的工科生或者数理经济学者（譬如我）拉开了差距。这后面的内容，涉及到更为高深的数学（比如微分拓扑），你也由此进入了&b&现代数学&/b&的殿堂。&/p&
本科初涉泛函分析，硕士搞的运筹与控制，博士宏观经济学，跟泛函分析打了10年交道，嗯。本科的线性泛函分析，最重要的应用是给线性积分方程和线性偏微分方程打下理论基础的。非线性泛函分析，最重要的应用，就是非线性动力系统、非线性偏微分方程（PDE）、…
&p&作为一只理工狗，我们不仅可能需要熬夜编程，更需要在很多时候画图来展示自己的结果。&/p&&br&&p&如果不能用漂亮的图片来展示结果，别人对你的工作评价也许会大打折扣，这样熬夜编的程基本上算是白熬了。&/p&&br&&p&下面隆重向大家推荐十款主流画图软件，美好的生活从作出高品(bi)格的图片开始。(以下示例图片均来自网络，版权归原作者所有)&/p&&br&&br&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&p&&strong&第10&/strong&&strong&名：&/strong&&strong&锯齿风Matlab &/strong&&/p&&p&Matlab只排在第十位是因为本来它就不是一个用来做画图的软件。人家的主要功能是矩阵操作、统筹优化、数学实验、仿真模拟（此处省略一万字）等等好吗？用matlab画图简直就是高射炮打蚊子——大材小用。如果非要只比较它的画图能力，只能说呵呵了，下面是Matlab的画风，淡淡的锯齿风一直被网友所吐槽。&/p&&br&&p&曲线图：&br&&/p&&img src=&/be5ca4bb274_b.jpg& data-rawwidth=&680& data-rawheight=&594& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&680& data-original=&/be5ca4bb274_r.jpg&&&br&&p&散点图:&br&&/p&&img src=&/6a2d989cee890929ecc76809cce1e009_b.jpg& data-rawwidth=&553& data-rawheight=&416& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&/6a2d989cee890929ecc76809cce1e009_r.jpg&&&br&&p&多图：&br&&/p&&img src=&/c55df98eebce645db7cb85dffa5fbdad_b.jpg& data-rawwidth=&650& data-rawheight=&536& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&650& data-original=&/c55df98eebce645db7cb85dffa5fbdad_r.jpg&&&br&&p&曲面图：&/p&&img src=&/e561a3a53c1b058cfe8466_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&901& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&/e561a3a53c1b058cfe8466_r.jpg&&&br&&br&&p&三维图：&/p&&img src=&/88c82427cea2fbbf_b.jpg& data-rawwidth=&456& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&456& data-original=&/88c82427cea2fbbf_r.jpg&&&br&&p&Matlab画图虽然锯齿严重，但这并不能掩盖它是一款极其优秀的科学计算软件的事实。每个人只有在适合自己的岗位上才能充分发挥自己的优势，每个软件也是一样。所以使用matlab画图功能时，最合适的用途是用来实施检查编程结果是否正确，并不做最后报告或论文输出。 &/p&&br&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&strong&第9&/strong&&strong&名：清爽风Gnuplot&/strong&&br&&p&Gnuplot是一个命令行的交互式绘图工具。用户通过输入命令，逐步设置或修改绘图环境，并以图形描述数据或函数。优点是画图速度快、画风清爽，软件开源且免费，图片质量相当专业。缺点是：需要写代码。下面是几个例子：&/p&&br&&p&曲线图：&/p&&img src=&/fdfef56baf977e923bf8_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/fdfef56baf977e923bf8_r.jpg&&&br&&p&曲面图：&/p&&img src=&/b9cd08c2558770bcc7cc3_b.jpg& data-rawwidth=&540& data-rawheight=&384& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&540& data-original=&/b9cd08c2558770bcc7cc3_r.jpg&&&br&&p&三维图：&/p&&img src=&/9e3f0e465d874ed042b6a19e6f8a18eb_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/9e3f0e465d874ed042b6a19e6f8a18eb_r.jpg&&&br&&p&场图：&/p&&img src=&/1d2a3e5ea9a_b.jpg& data-rawwidth=&475& data-rawheight=&417& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&475& data-original=&/1d2a3e5ea9a_r.jpg&&&br&&p&统计图：&/p&&img src=&/a43d0024270baed71e8053_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/a43d0024270baed71e8053_r.jpg&&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&p&&strong&第8&/strong&&strong&名：高冷风Matplotlib&/strong&&/p&&p&Matplotlib是著名Python的标配画图包，其绘图函数的名字基本上与 Matlab 的绘图函数差不多。优点是曲线精致，软件开源免费，支持Latex公式插入，且许多时候只需要一行或几行代码就能搞定。缺点是需要Python编程基础。几个例子：&/p&&br&&p&曲线图：&/p&&img src=&/b9ae242e9ac99acd937e_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&/b9ae242e9ac99acd937e_r.jpg&&&br&&p&频数图：&/p&&img src=&/4abe0cce21_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&/4abe0cce21_r.jpg&&&br&&p&矢量分布图：&/p&&img src=&/65b63f1dd8ecfb22f5a80_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&/65b63f1dd8ecfb22f5a80_r.jpg&&&br&&p&统计图：&/p&&img src=&/295f27091cbbc4a64d6a_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&/295f27091cbbc4a64d6a_r.jpg&&&br&&p&极坐标：&/p&&img src=&/a48e0d0ea251f10f9b55c_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&/a48e0d0ea251f10f9b55c_r.jpg&&&br&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&p&&strong&第7&/strong&&strong&名：简易风visio&/strong&&/p&&p&Microsoft Visio是Windows 操作系统下运行的流程图软件，它现在是Microsoft Office软件的一个部分。Visio可以制作的图表范围十分广泛，利用Visio的强大绘图功能绘制地图、企业标志等。最主要还是用来画流程图、示意图。&/p&&br&&p&流程图：&/p&&img src=&/accee971c0ee_b.jpg& data-rawwidth=&713& data-rawheight=&405& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&713& data-original=&/accee971c0ee_r.jpg&&&br&&p&电路图：&/p&&img src=&/247fe21be5b86be9af7ce_b.jpg& data-rawwidth=&866& data-rawheight=&529& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&866& data-original=&/247fe21be5b86be9af7ce_r.jpg&&&br&&p&电路图：&/p&&img src=&/99eb07cadf215e8fc4be1d_b.jpg& data-rawwidth=&1022& data-rawheight=&625& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1022& data-original=&/99eb07cadf215e8fc4be1d_r.jpg&&&br&&br&&p&从matlab、gnuplot和matplotlib中选一个画曲线图的软件，并和画示意图的visio搭配，是画图初级阶段的标配。&/p&&br&&br&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&p&&strong&第6&/strong&&strong&名：SCI&/strong&&strong&风Origin&/strong&&/p&&p&Origin是简单易学、操作灵活、功能丰富全面的画图软件，既可以满足一般用户的制图需要，也可以满足高级用户数据分析、函数拟合的需要。目前，它似乎已成为专业论文SCI的标配绘图软件。缺点是操作系统不太友好、易崩溃，只支持Windows系统。几个示例图：&/p&&br&&p&曲线图：&/p&&img src=&/745b00af6efc0_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&389& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/745b00af6efc0_r.jpg&&&br&&p&混沌图：&/p&&img src=&/a0f430eaed9c262f981fafe0e5878571_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&437& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/a0f430eaed9c262f981fafe0e5878571_r.jpg&&&br&&br&&p&等高线：&/p&&img src=&/e0bdaa5f1d58bd427e52d10c_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&382& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/e0bdaa5f1d58bd427e52d10c_r.jpg&&&br&&p&地形图：&/p&&img src=&/a8b6b7ff20d5bf91c57974_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&488& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/a8b6b7ff20d5bf91c57974_r.jpg&&&br&&br&&p&三维场图：&/p&&br&&img src=&/2565b80fad1bd57c72cb58_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&368& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/2565b80fad1bd57c72cb58_r.jpg&&&br&&br&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&p&&strong&第5&/strong&&strong&名：统计风R-ggplot2&/strong&&/p&&p&ggplot2是R语言的一个包，最擅长统计数据可视化。ggplot2按图层作图，其核心理念是将绘图与数据分离。缺点是ggplot2功能没有Python或者Matlab全面，不过人家就是在统计方面做的最好最专业，其它的功能忽略掉好像也无所谓。&/p&&img src=&/d2a729f4e1_b.jpg& data-rawwidth=&1508& data-rawheight=&1179& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1508& data-original=&/d2a729f4e1_r.jpg&&&br&&img src=&/4a8915bdf7bb91c004ae2_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&350& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/4a8915bdf7bb91c004ae2_r.jpg&&&img src=&/dea4ee4207c54fcdc1bbd8_b.jpg& data-rawwidth=&867& data-rawheight=&839& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&867& data-original=&/dea4ee4207c54fcdc1bbd8_r.jpg&&&img src=&/b0fcbf88aa_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&/b0fcbf88aa_r.jpg&&&br&&br&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&p&&strong&第4&/strong&&strong&名：流场风Tecplot&/strong&&/p&&p&Tecplot从简单的二维曲线曲面图，到复杂的三维动态图都可以实现。它的特色在于可快捷的将大量数据资料转化为容易理解的图片，例如等高线、向量图、网格图、剖面图、流线图等等。它提供和CAD、CFD软件的接口，可以用于其它分析软件(如有限元、计算流体动力学等)的后处理工作。&/p&&br&&p&飞机表面应力云图：&/p&&img src=&/e2e07fcbadb1d6ecc7f39_b.jpg& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&341& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/e2e07fcbadb1d6ecc7f39_r.jpg&&&br&&p&机翼附近流场：&/p&&img src=&/ebec71e7ed0a2_b.jpg& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&361& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/ebec71e7ed0a2_r.jpg&&&br&&p&螺旋桨网格图：&/p&&img src=&/bcf5d8cbbbdce56b9a6b21f44290bab5_b.jpg& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&463& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/bcf5d8cbbbdce56b9a6b21f44290bab5_r.jpg&&&br&&p&女性内衣设计：&/p&&img src=&/a2c4cf7994ebfa73e2e50db6_b.jpg& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&357& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/a2c4cf7994ebfa73e2e50db6_r.jpg&&&br&&p&海上钻井平台：&/p&&img src=&/a6ea4110eea4d8c19578cdf4c8970d55_b.jpg& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&390& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/a6ea4110eea4d8c19578cdf4c8970d55_r.jpg&&&br&&br&&br&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&p&&strong&第3&/strong&&strong&名：矢量风Illustrator&/strong&&/p&&p&Adobe illustrator是一种应用于出版、多媒体和在线图像的工业标准矢量插画的软件，作为一款非常好的图片处理工具，Adobe Illustrator广泛应用于印刷出版、海报书籍排版、专业插画、多媒体图像处理和互联网页面的制作等，也可以为线稿提供较高的精度和控制，适合生产任何小型设计到大型的复杂项目。&/p&&br&&p& 简单的示意图：&/p&&img src=&/d1ae4b0baed217b0d67b7fc5_b.jpg& data-rawwidth=&332& data-rawheight=&304& class=&content_image& width=&332&&&br&&p&绚丽的原理图：&/p&&img src=&/d77dbe8a13aa5f3ed5d37f7a84963f9c_b.jpg& data-rawwidth=&612& data-rawheight=&473& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&612& data-original=&/d77dbe8a13aa5f3ed5d37f7a84963f9c_r.jpg&&&br&&p&复杂的人像图：&/p&&img src=&/8f30f0f871af3b9bf6d7_b.jpg& data-rawwidth=&898& data-rawheight=&898& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&898& data-original=&/8f30f0f871af3b9bf6d7_r.jpg&&&br&&p&复杂的人像图：&/p&&img src=&/09bc4cf35f869_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/09bc4cf35f869_r.jpg&&&br&&p&从Origin、ggplot2和Tecplot中选一个画图的软件，并和画示意图的illustrator搭配，是画图中级阶段的配置。&/p&&br&&br&&br&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&p&&strong&第2&/strong&&strong&名：专业风Paraview&/strong&&/p&&p&Paraview除了可以画最基本的曲线曲面图等，也提供和CAD、CFD软件的接口，可以用于其它分析软件的后处理工作。Paraview支持多种数据格式和显示方式，目前包括网格绘制，面绘制，体绘制等方法。可视化包含：数据读取，数据过滤和数据渲染三个基本的步骤。Paraview提供开源可编程。缺点是难度较高，入门需花时间。&/p&&br&&p&赛车附近流场图：&/p&&img src=&/13d55b4e4e3f17f0ee2c_b.jpg& data-rawwidth=&764& data-rawheight=&414& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&764& data-original=&/13d55b4e4e3f17f0ee2c_r.jpg&&&br&&p&正常红细胞和变异红细胞分布图：&/p&&img src=&/ac8d0aa3cf034_b.jpg& data-rawwidth=&806& data-rawheight=&442& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&806& data-original=&/ac8d0aa3cf034_r.jpg&&&br&&p&全球气温分布：&/p&&img src=&/d6bfa59b2a_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&/d6bfa59b2a_r.jpg&&&br&&br&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&p&&strong&第1&/strong&&strong&名：LaTex &/strong&&strong&风Tikz&/strong&&/p&&p&Word是很目前很流行的排版软件。然而还有另外一种和它相媲美只是没那么流行的排版软件——LaTeX，它是一种基于TEX的排版系统。利用它能在短时间内生成很多具有书籍质量的印刷品，尤其是生成复杂表格和数学公式。因此它非常适用于生成高印刷质量的科技和数学类文档。Tikz是LaTex原生支持的图包来，可以画论文中的插图。用TikZ画可以做到完美，特别是与LaTeX文档的整体交互，比用一般绘图软件好得多。二维图、三维图、流程图、示意图都能实现。同样的，缺点也是难度较高，入门需花时间。&/p&&br&&p&散点图： &/p&&img src=&/15adfdc440ce71_b.jpg& data-rawwidth=&443& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&443& data-original=&/15adfdc440ce71_r.jpg&&&br&&p&曲线图：&/p&&img src=&/89986dcf30e8e28a57f944b39e534189_b.jpg& data-rawwidth=&383& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&383&&&br&&p&磁场分布图：&/p&&img src=&/71fe5d0b71b47e96a407df7dab024302_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&413& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/71fe5d0b71b47e96a407df7dab024302_r.jpg&&&br&&p&逻辑图：&br&&/p&&img src=&/7fccad5b0bb04ea0aeb48592add43b1f_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/7fccad5b0bb04ea0aeb48592add43b1f_r.jpg&&&br&&p&结构图：&/p&&br&&img src=&/23f5bdadf28_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&459& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/23f5bdadf28_r.jpg&&&br&&br&&img src=&/aa76fbaa33bd8cb_b.jpg& data-rawwidth=&4281& data-rawheight=&225& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4281& data-original=&/aa76fbaa33bd8cb_r.jpg&&&br&&p&&strong&第0&/strong&&strong&名：自己&/strong&&/p&&p&其实，想画出精美的图片，最重要的是在于想好怎么画，以及理清他们之间的逻辑关系。&/p&&br&&p&然后，就是用好颜色搭配，并布置好布局，调整好看的字体。&/p&&br&&p&如果你把上面任何一款软件用的非常熟练，再加上多尝试，无论用哪款软件都能画出精彩的图片。&/p&&br&&br&&p&ps, 如果对科学计算（尤其是Matlab使用中）的经验、教训或者好玩的东西感兴趣，可以关注公号“科研充电宝（kexuebc）”哦。每天推送一条实用小技巧。&/p&&p&比如：&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D668ab9b4cdca2scene%3D19%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何把别人论文中的曲线图，自动转化为数据点？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D4e62d3d4b7%26scene%3D19%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&最常用的10个Matlab快捷键，助你编程更高效&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1NTI4OTIxMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dbdbfb25fd1dcf4fbe7e0efea%26scene%3D19%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&写论文和报告容易犯的低级错误，别再像外行一样写论文了&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
作为一只理工狗，我们不仅可能需要熬夜编程，更需要在很多时候画图来展示自己的结果。 如果不能用漂亮的图片来展示结果，别人对你的工作评价也许会大打折扣，这样熬夜编的程基本上算是白熬了。 下面隆重向大家推荐十款主流画图软件，美好的生活从作出高品(b…
&p&Automatica 2014年 Golden anniversary系列&/p&&br&&p&K.J. ?strom and P.R. Kumar, &Control: A Perspective,& Automatica, 50(1), January 2014, pp. 3-43.&br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS5037& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S5037&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&H.J. Kushner, &A partial history of the early development of continuous-time nonlinear stochastic systems theory,& Automatica, 50(2), February 2014, pp. 303-334. &br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS5049& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S5049&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&G. Pillonetto, F. Dinuzzo, T. Chen, G. De Nicolao, L. Ljung, &Kernel methods in system identification, machine learning and function estimation: A survey,& Automatica, 50(3), March 2014, pp. 657-682.&br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS020X& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S020X&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&N. Kottenstette, M.J. McCourt, M. Xia, V. Gupta, P.J. Antsaklis, &On relationships among passivity, positive realness, and dissipativity in linear systems,& Automatica, 50(4), April 2014, pp. .&br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS051X& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S051X&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&I.R. Petersen, R. Tempo, &Robust control of uncertain systems: Classical results and recent developments,& Automatica, 50(5), May 2014, pp. .&br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS0806& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S0806&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&F. D?rfler, F. Bullo, &Synchronization in complex networks of phase oscillators: A survey,& Automatica, 50(6), June 2014, pp. .&br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS1423& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S1423&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&M. Tucsnak, G. Weiss, &Well-posed systems—The LTI case and beyond,& Automatica, 50(7), July 2014, pp. . &br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS1460& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S1460&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&J.W. Grizzle, C. Chevallereau, R.W. Sinnet, A.D. Ames, &Models, feedback control, and open problems of 3D bipedal robotic walking,& Automatica, 50(8), August 2014, pp. . &br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS1654& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S1654&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&R. Brockett, &The early days of geometric nonlinear control,& Automatica, 50(9), September 2014, pp. . &br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS2386& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S2386&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&A.R. Teel, A. Subbaraman, A. Sferlazza, &Stability analysis for stochastic hybrid systems: A survey,& Automatica, 50(10), October 2014, pp. .
&br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS3070& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S3070&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&G. Tao, &Multivariable adaptive control: A survey,&
Automatica, 50(11), November 2014, pp. .
&br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS3963& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S3963&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&D.Q. Mayne, &Model predictive control: Recent developments and future promise,& Automatica, 50(12), December 2014, pp. .&br&&a href=&///?target=https%3A//www.researchgate.net/deref/http%253A%252F%%252Fscience%252Farticle%252Fpii%252FS5160& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/science/article/pii/S5160&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
Automatica 2014年 Golden anniversary系列 K.J. ?strom and P.R. Kumar, "Control: A Perspective," Automatica, 50(1), January 2014, pp. 3-43. H.J. Kushner, "A partial histor…
&p&机器人领域必读的书籍还是不是那么多的，我只能说说自2007年以来，我看过的一部分机器人书籍或者paper，&b&只能局限在机器人操作与抓取领域，并且偏学术领域&/b&。&/p&&p&按照时间先后顺序：&/p&&p&（1）《&b&机器人技术基础&/b&》， 熊有伦 主编；&/p&&p&推荐指数： *** &/p&&p&特点：短小精悍&/p&&p&使用方法：配合使用Craig的《机器人学》， Paul的《机器人操作手：数学、编程与控制》，蔡自兴的《机器人学》。这些书都有些历史了，简单的看一下，可以了解那个年代机器人的知识是怎么回事。&/p&&img src=&/6a085f9ba5a1d6fe4b86_b.png& data-rawwidth=&451& data-rawheight=&520& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&451& data-original=&/6a085f9ba5a1d6fe4b86_r.png&&&img src=&/f2a3d19788a3afccd2e529_b.png& data-rawwidth=&323& data-rawheight=&479& class=&content_image& width=&323&&&p&（2） Jorge Angeles的《&a href=&///?target=https%3A//scholar.google.ch/citations%3Fview_op%3Dview_citation%26hl%3Den%26user%3DOJRwcv8AAAAJ%26citation_for_view%3DOJRwcv8AAAAJ%3Au-x6o8ySG0sC& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Fundamentals of robotic mechanical systems&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》，这个有对应的中文版，东北大学翻译的，如果没有记错。&/p&&p&推荐指数：***&/p&&p&特点：推理详实&/p&&p&使用方法：配合使用黄真的《高等空间机构学》，Selig的《Geometric Fundamentals of Robotics》。&/p&&img src=&/f6cabdbeb84b_b.png& data-rawwidth=&233& data-rawheight=&347& class=&content_image& width=&233&&&br&&p&（3）Matt Mason的《&b&Mechanics of Robotic Manipulation&/b&》&/p&&p&推荐指数：****&/p&&p&特点：大巧不工&/p&&p&使用方法：配合使用Matt Mason早期paper以及他和Salisbury合作的《Robot hands and the mechanics of manipulation》，以及Mark Cutkosky的博士论文《Robotic grasping and fine manipulation》&/p&&img src=&/c915a9d8ae7594cdc68c39cf0f8d6bdb_b.png& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&905& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&/c915a9d8ae7594cdc68c39cf0f8d6bdb_r.png&&&br&&br&&p&（4）Richard M. Murray等人的《&b&A Mathematical Introduction to&/b&&/p&&p&&b&Robotic Manipulation&/b&》(&a href=&///?target=http%3A//www.cds.caltech.edu/%7Emurray/books/MLS/pdf/mls94-complete.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&cds.caltech.edu/~murray&/span&&span class=&invisible&&/books/MLS/pdf/mls94-complete.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)，这本书前后看了不少于10遍。初看比较晦涩难懂，语言不是很流畅的感觉，特别是中文版本。&/p&&p&推荐指数：*****&/p&&p&特点：优美&/p&&p&使用方法：此书是整个80年代，90年代早期机器人操作与抓取领域集大成之作。数学优美，论证严谨。反复阅读此书及&b&书中的所有参考文献&/b&，这本书的参考文献很大一部分是作者的paper，其他的文献也基本是各个领域的经典之作，参考文献一共就100多个。我当时着重补习了基本的动力学《&b&Analytical Dynamics of Discrete Systems&/b&》。&/p&&img src=&/bb861c0c9e18badacf92b00_b.png& data-rawwidth=&365& data-rawheight=&573& class=&content_image& width=&365&&&p&（5）Mark Spong 的《&b&robot modeling and control&/b&》，这本书也反复看了很多遍。
推荐指数：*****
特点：简单直接
使用特点：旅行长途飞行的必备读物，当小说看。看了前面的所有文献，再反过来看这本书，就相当的简单明了。但是这本书也会在很多细节上处理很好，比如关于DH参数的介绍，为什么DH参数只需要四个参数。&/p&&p&（6) Siciliano的《&b&Robotics，Modelling, Planning and Control&/b&》， 这个显然是奔着教科书的目的去的。
推荐指数：*****
特点：系统完整
使用方法：手边参考读物，这本书基本是做研究或者工作的一个基本参考读物了，可以配合《Robotics handbook》使用。&/p&&p&（7）&b&paper&/b&， 带着批判的眼光阅读大量的paper，做大量的笔记（记录在一个专门的地方，纸质，文字都可以），（I&b&CRA，IROS， RSS， TRO，IJRR，RAS，AR等等&/b&)。 刚看了下自己硬盘上的paper文件夹（包含部分文章代码），共21GB。
推荐指数：*****
特点：及时&可追踪
使用方法：长期坚持。或者找几个朋友分工，读几篇然后用半个小时讲给另外的人听。讲完之后再相互攻击这个paper。
机器人操作方面的基本知识不是那么多，但是要同时增加深度和广度，其实也不容易。经典的书籍还是多读几遍，有能力最好都编程实现一次（这是我没有做的事情）。&/p&&p&就这么多了。&/p&
机器人领域必读的书籍还是不是那么多的，我只能说说自2007年以来，我看过的一部分机器人书籍或者paper，只能局限在机器人操作与抓取领域，并且偏学术领域。按照时间先后顺序：（1）《机器人技术基础》， 熊有伦 主编；推荐指数： *** 特点：短小精悍使用方…
啊，我小时候也曾为三等分角而磨秃无数支铅笔……故事最后再说，我先回答问题。&br&&br&『三等分角』是古希腊三大尺规作图难题之一，具体表述为：&b&用只用圆规与一把没有刻度的直尺，将任意给定角三等分&/b&。&br&&br&比如，如果给定的是&b&直角&/b&，那么下图就是一种三等分的办法（图片来自网络）：&br&&br&&img src=&/0bfa1b5fb3f29b96fea605c_b.jpg& data-rawwidth=&363& data-rawheight=&333& class=&content_image& width=&363&&&br&但可以看出，这个方法只对直角有效。&br&&br&那么是否存在可以三等分任意角的方法呢？这个看起来并不复杂的问题困扰了数学家们&b&两千多年&/b&，直到十九世纪才被证明是无解的。&br&&br&接下来我试着解释一下为什么这是无解的。同样地，这只是小小的『科普』。为了可读性，我会牺牲一些严谨性。想要彻底理解，还是得看教材。&br&&br&我先说一下证明的思路（采用引用格式以方便阅读）：&br&&br&&blockquote&&b&假设存在&/b&三等分任意角的方法。&br&&br&由于我们可以用尺规作出60°角，那么我们就可以通过三等分60°角而&b&作出20&/b&&b&°角&/b&。&br&&br&如果作出了20°角，那么我们就可以&b&作出长度为cos 20&/b&&b&°&/b&&b&的线段&/b&。&br&&br&然而，&b&尺规无法作出长度为&/b&&b&cos 20°&/b&&b&的线段&/b&，所以不存在三等分任意角的方法。&/blockquote&&br&就是这样。&br&&br&我们一步步看：作60°角很简单，作一个正三角形即可，如下图（图片来自网络）：&br&&br&&img src=&/e67c3eafdc63ee_b.jpg& data-rawwidth=&446& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&446& data-original=&/e67c3eafdc63ee_r.jpg&&&br&在有了20°角的基础上，作出长度为cos 20°的线段也很简单，只需要在一条边上与顶点距离为1的位置作另一条边的垂线段即可，如下图：&br&&br&&img src=&/0de472dc8df441ca6b0e_b.jpg& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&95& class=&content_image& width=&220&&&br&（如何过一点作垂线？这个不难，留作练习）&br&&br&&b&所以难点在于，如何证明『尺规无法作出长度为cos 20°的线段』。&/b&&br&&br&（从解析几何的角度来看，『可以作出(c, 0)点』与『可以作出一条长度为|c|的线段』是等价的，所以我接下来可能会交替使用这两种表述。）&br&&br&为什么作不出来呢？&br&&br&&b&因为尺规作图只能作出有理数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上次数为2的幂的数，而cos 20°在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上的次数为3.&/b&&br&&br&&blockquote&说人话！！！&/blockquote&&br&好吧好吧，我会解释的。在这之前，我们不妨先把问题反过来问：尺规作图能作出什么来呢？&br&&br&基本的操作如下：&br&&br&&blockquote&1. 过给定两点作直线；&br&&br&2. 在给定点以给定半径作圆；&br&&br&3. 确定直线与直线的交点；&br&&br&4. 确定直线与圆的交点；&br&&br&5. 确定圆与圆的交点。&/blockquote&&br&基本操作有这五种。注意到，当我们确定了原点、坐标轴与单位长度之后，&b&所有新的点只能通过后三种操作的方式被确定&/b&。&br&&br&由于我们可以过一点作垂线，所以平面上所有的整点（即横坐标与纵坐标都是整数）都是可构作的；也就是说，我们可以作出所有的整数。&br&&br&此外，尺规可以作&b&加、减、乘、除&/b&以及&b&开平方根&/b&这五种操作。&br&&br&加、减是很显然的；乘法可以通过相似三角形来完成，如下图：&br&&br&&img src=&/5fbf4bce68_b.jpg& data-rawwidth=&188& data-rawheight=&193& class=&content_image& width=&188&&&br&除法类似；开平方根同样是通过相似三角形来完成：&br&&br&&img src=&/2a8fb78ab82beab9340adadcd042fd61_b.jpg& data-rawwidth=&265& data-rawheight=&149& class=&content_image& width=&265&&&br&所以，既然整数都是可构作的，又可以加减乘除，那么&b&所有的有理数都是可构作的&/b&。&br&&br&而『开平方根』这个操作略特殊，为了更好地解释，我们需要引进一个新的概念：&br&&br&&blockquote&&b&域&/b&。&/blockquote&&br&域的定义很冗长，不严谨地概括一下的话，域就是一个&b&对加、减、乘、除都封闭的集合&/b&。&br&&br&什么意思呢？就是说，对于一个域中的数字，无论你怎么用加减乘除去蹂躏它们，它们依然还是在这个域里。&br&&br&举个例子，所有的有理数构成了有理数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&，因为任意两个有理数做加减乘除之后依然是有理数。&br&&br&除此之外常见的域还有实数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&、复数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&&等等。&br&&br&而整数集合&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BZ%7D& alt=&\mathbb{Z}& eeimg=&1&&就不是域，因为一个整数除以另一个整数，得到的商不一定是整数。&br&&br&有了『域』这个概念之后，我们再来看尺规作图：由于我们已经知道所有的有理数都是可构作的，所以如果我们只做加减乘除操作，我们还是只能得到有理数，还是在有理数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&内。&br&&br&而『开平方根』这个操作就不一样了——它可以让我们&b&离开有理数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&&/b&. 比如我们对2开平方根，可以得到&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&，而&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&就不属于有理数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&.&br&&br&当我们在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&的基础上多了&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&之后，我们可以通过加减乘除得到所有形如&img src=&///equation?tex=a%2Bb%5Csqrt%7B2%7D& alt=&a+b\sqrt{2}& eeimg=&1&&的数（&img src=&///equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&内，即为有理数）。&br&&br&可以验证，所有形如&img src=&///equation?tex=a%2Bb%5Csqrt%7B2%7D& alt=&a+b\sqrt{2}& eeimg=&1&&的数构成了一个新的域。这个域是&b&包含&/b&&b&&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&的最小的域&/b&，我们记作&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&.&br&&br&所以，『对2开平方根』的操作的本质是『&b&域的扩张&/b&』——把&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&扩张为&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&.&br&&br&这个操作可以继续下去——对&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&中的3开平方根，得到&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B3%7D& alt=&\sqrt{3}& eeimg=&1&&，而&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B3%7D& alt=&\sqrt{3}& eeimg=&1&&不在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&内。于是，通过通过加减乘除，就可以得到包含&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B3%7D& alt=&\sqrt{3}& eeimg=&1&&的最小的域，记作&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29%28%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})& eeimg=&1&&.&br&&br&我们把这样的『新加入了一个数而得到的扩张』叫作『&b&单扩张&/b&』。&br&&br&当然，我们可以通过同时向&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&中加&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B3%7D& alt=&\sqrt{3}& eeimg=&1&&，得到包含它们的最小的域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%2C%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})& eeimg=&1&&. 显然，&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%2C%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29%28%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})& eeimg=&1&&是相等的。&br&&br&但是，并不是每一次开平方根都会让我们得到更大的数域，比如对9开平方根，得到3，而3仍然属于&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&. 所以&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B9%7D%29%3D%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{9})=\mathbb{Q}& eeimg=&1&&.&br&&br&为了衡量扩张的大小，我们引进『&b&扩张的维数&/b&』这个概念。&br&&br&学过线性代数的同学对此一定不陌生，『维数』就是一组基的大小。对于没学过线代的同学，我来稍微解释一下：&br&&br&&b&&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&到&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&的扩张是二维的&/b&，为什么呢？&br&&br&因为我们可以从&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&中取出&b&两个数&img src=&///equation?tex=1%2C%5Csqrt%7B2%7D& alt=&1,\sqrt{2}& eeimg=&1&&&/b&，使得&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&中的&b&每一个数&/b&都可以被&b&唯一&/b&表示成&img src=&///equation?tex=a%5Ccdot1%2Bb%5Ccdot%5Csqrt%7B2%7D& alt=&a\cdot1+b\cdot\sqrt{2}& eeimg=&1&&的形式，其中&img src=&///equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&内。&br&&br&我们把这个维数记作&img src=&///equation?tex=%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%3D2& alt=&[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2& eeimg=&1&&.&br&&br&那么&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&直接到&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%2C%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})& eeimg=&1&&的扩张是几维的呢？&b&四维&/b&，即&img src=&///equation?tex=%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%2C%5Csqrt%7B3%7D%29%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%3D4& alt=&[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4& eeimg=&1&&. 为什么呢？&br&&br&因为我们可以从&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%2C%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})& eeimg=&1&&中取出&b&四个数&/b&&img src=&///equation?tex=1%2C%5Csqrt%7B2%7D%2C%5Csqrt%7B3%7D%2C%5Csqrt%7B6%7D& alt=&1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}& eeimg=&1&&，使得&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%2C%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})& eeimg=&1&&中的&b&每一个数&/b&都可以被&b&唯一&/b&表示成&img src=&///equation?tex=a%5Ccdot1%2Bb%5Ccdot%5Csqrt%7B2%7D%2Bc%5Ccdot%5Csqrt%7B3%7D%2Bd%5Ccdot%5Csqrt%7B6%7D& alt=&a\cdot1+b\cdot\sqrt{2}+c\cdot\sqrt{3}+d\cdot\sqrt{6}& eeimg=&1&&的形式，其中&img src=&///equation?tex=a%2Cb%2Cc%2Cd& alt=&a,b,c,d& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&内。&br&&br&同样地，&img src=&///equation?tex=%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29%28%5Csqrt%7B3%7D%29%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5D%3D2& alt=&[\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2& eeimg=&1&&，为什么呢？&br&&br&因为我们可以从&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29%28%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})& eeimg=&1&&中取出&b&两个数&/b&&img src=&///equation?tex=1%2C%5Csqrt%7B3%7D& alt=&1,\sqrt{3}& eeimg=&1&&，使得&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29%28%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})& eeimg=&1&&中的&b&每一个数&/b&都可以被&b&唯一&/b&表示成&img src=&///equation?tex=a%5Ccdot1%2Bb%5Ccdot%5Csqrt%7B3%7D& alt=&a\cdot1+b\cdot\sqrt{3}& eeimg=&1&&的形式，其中&img src=&///equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&内。&br&&br&&b&&u&注意，这时&img src=&///equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&内而不是在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&内，因为我们是从&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})& eeimg=&1&&扩张到&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29%28%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})& eeimg=&1&&的！&/u&&/b&&br&&br&由于&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29%28%5Csqrt%7B3%7D%29%3D%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%2C%5Csqrt%7B3%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})& eeimg=&1&&，我们可以验证一下：&br&&br&&img src=&///equation?tex=a%5Ccdot1%2Bb%5Ccdot%5Csqrt%7B2%7D%2Bc%5Ccdot%5Csqrt%7B3%7D%2Bd%5Ccdot%5Csqrt%7B6%7D%3D%28a%2Bb%5Csqrt%7B2%7D%29%5Ccdot1%2B%28c%2Bd%5Csqrt%7B2%7D%29%5Ccdot+%5Csqrt%7B3%7D& alt=&a\cdot1+b\cdot\sqrt{2}+c\cdot\sqrt{3}+d\cdot\sqrt{6}=(a+b\sqrt{2})\cdot1+(c+d\sqrt{2})\cdot \sqrt{3}& eeimg=&1&&.&br&&br&从这个例子中，我们可以看出，&b&维数是相乘的关系：『从域A扩张域B的维数』乘『从域B扩张域C的维数』等于『从域A扩张域C的维数』；也就是说，&img src=&///equation?tex=%5BB%3AA%5D%5BC%3AB%5D%3D%5BC%3AA%5D& alt=&[B:A][C:B]=[C:A]& eeimg=&1&&.&/b&&br&&br&而由于&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B9%7D%29%3D%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{9})=\mathbb{Q}& eeimg=&1&&，所以&img src=&///equation?tex=%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B9%7D%29%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%3D%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%3D1& alt=&[\mathbb{Q}(\sqrt{9}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}:\mathbb{Q}]=1& eeimg=&1&&.&br&&br&与『维数』密不可分的概念是『&b&次数&/b&』。&br&&br&『维数』是对于『扩张』而言的，而『次数』是对于『新加入的数』而言的。什么意思呢？就是说，&img src=&///equation?tex=%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B2%7D%29%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%3D2& alt=&[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2& eeimg=&1&&，那么&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上的次数为2.&br&&br&我们使用『次数』这个词，是因为&b&&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上的多项式&img src=&///equation?tex=x%5E2-2& alt=&x^2-2& eeimg=&1&&的根&/b&，而这个&b&多项式的次数是2&/b&；同时，&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&不是任何&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上次数小于2的多项式的根。&img src=&///equation?tex=x%5E2-2& alt=&x^2-2& eeimg=&1&&叫作&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上的『&b&极小多项式&/b&』。&br&&br&同样地，原本的域中每一个数的次数都是1.&br&&br&我们可以证明，&b&对于单扩张来说，扩张的维数等于新加入的数的次数&/b&。&br&&br&好了！关于维数和次数，需要知道的就是这么多！接下来让我们回到尺规作图！&br&&br&之前说过，我们&b&得到新的点的方式只有三种&/b&：直线与直线的交点、直线与圆的交点、圆与圆的交点。新得到的点，有可能在已有的域当中（维数与次数均为1），也有可能在已有的域之外（维数与次数均大于1）。&br&&br&高中学的解析几何告诉我们，圆的一般方程是&img src=&///equation?tex=x%5E2%2By%5E2%2Bax%2Bby%2Bc%3D0& alt=&x^2+y^2+ax+by+c=0& eeimg=&1&&，直线的一般方程是&img src=&///equation?tex=dx%2Bey%2Bf%3D0& alt=&dx+ey+f=0& eeimg=&1&&；而求交点的坐标就是把两个方程联立起来，此时得到了一个&b&一元二次方程&/b&。&br&&br&而一元二次方程的求根公式是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B-B%5Cpm+%5Csqrt%7BB%5E2-4AC%7D%7D%7B2A%7D+& alt=&\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A} & eeimg=&1&&；于是，交点相当于是往原本的域当中加了&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7BB%5E2-4AC%7D& alt=&\sqrt{B^2-4AC}& eeimg=&1&&这个数。&br&&br&根据之前的讨论，如果&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7BB%5E2-4AC%7D& alt=&\sqrt{B^2-4AC}& eeimg=&1&&在原来的域内，那么这就是一个&b&一维扩张&/b&；如果&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7BB%5E2-4AC%7D& alt=&\sqrt{B^2-4AC}& eeimg=&1&&不在原来的域内，那么这就是一个&b&二维扩张&/b&（因为&img src=&///equation?tex=B%5E2-4AC& alt=&B^2-4AC& eeimg=&1&&一定在原来的域内）。&br&&br&也就是说，&b&每次得到新的交点，我们都是在之前的域的基础上做了一维或者二维的扩张&/b&。&br&&br&又因为扩张的维数可以相乘，&b&那么每一次扩张出的域对于最初的域&/b&&b&&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&来说，维数都是2的幂&/b&。&br&&br&对于任意可构作的数&img src=&///equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&来说，我们既然在有限步数&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&之内得到了它，那么&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28c%29& alt=&\mathbb{Q}(c)& eeimg=&1&&一定是在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28v_1%2Cv_2%2C...%2Cv_n%29& alt=&\mathbb{Q}(v_1,v_2,...,v_n)& eeimg=&1&&之间。&br&&br&由于&img src=&///equation?tex=%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%28v_1%2Cv_2%2C...%2Cv_n%29%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%3D%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%28v_1%2Cv_2%2C...%2Cv_n%29%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%28c%29%5D%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%28c%29%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D& alt=&[\mathbb{Q}(v_1,v_2,...,v_n):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(v_1,v_2,...,v_n):\mathbb{Q}(c)][\mathbb{Q}(c):\mathbb{Q}]& eeimg=&1&&是2的幂，所以&img src=&///equation?tex=%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%28c%29%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D& alt=&[\mathbb{Q}(c):\mathbb{Q}]& eeimg=&1&&一定是2的幂，所以&img src=&///equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&的次数一定是2的幂。&br&&br&也就是说，&b&我们所有能构作出的数在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上&/b&&b&的次数一定是2的幂&/b&。&br&&br&那么cos 20°在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上的次数是多少呢？&br&&br&由于&img src=&///equation?tex=%5Ccos%283%5Calpha%29%3D4%5Ccos%5E3%5Calpha-3%5Ccos%5Calpha& alt=&\cos(3\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha& eeimg=&1&&；当&img src=&///equation?tex=%5Calpha%3D20%5E%7B%5Ccirc%7D& alt=&\alpha=20^{\circ}& eeimg=&1&&时，&img src=&///equation?tex=%5Ccos%283%5Calpha%29%3D%5Ccos+60%5E%7B%5Ccirc%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+& alt=&\cos(3\alpha)=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2} & eeimg=&1&&.&br&&br&所以，cos 20°是方程&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%3D4x%5E3-3x& alt=&\frac{1}{2} =4x^3-3x& eeimg=&1&&即&img src=&///equation?tex=8x%5E3-6x-1%3D0& alt=&8x^3-6x-1=0& eeimg=&1&&的解，而&img src=&///equation?tex=8x%5E3-6x-1& alt=&8x^3-6x-1& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上的不可约多项式（即不能被分解为次数更小的多项式的乘积），所以&img src=&///equation?tex=8x%5E3-6x-1& alt=&8x^3-6x-1& eeimg=&1&&是cos 20°的极小多项式，&b&所以&/b&&b&cos 20°在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&&/b&&b&上的次数是3，不是2的幂&/b&。&br&&br&所以尺规作图是作不出cos 20°的。&br&&br&所以我们没法三等分60°角。&br&&br&所以尺规三等分任意角是无解的。&br&&br&证毕。&br&&br&===============补充说明===============&br&&br&评论里有不少人问『长度为1』的线段怎么作出来。&br&&br&可能是我没有表述清楚，所以在此补充一下：&br&&br&&b&长度为1的线段不是『作』出来的，而是最开始『规定』的。&/b&&br&&br&只有确定了『原点』、『坐标轴』和『单位长度』之后，我们才能确定一个坐标系。&br&&br&所以，尺规作图的最开始，没有任何点参照，我们可以任意取一个点作为原点，接着以该点为圆心，任选一个半径画圆，并把这个半径的长度规定为单位长度『1』。&br&&br&而当单位长度已经规定好之后，我们就不能『任意取点』或者『任意选半径』了，否则我们就不知道该点或该半径在已建立好的坐标系中的位置或长度，那么这个任意的选择就没有意义了。&br&&br&===============以下是一些题外话===============&br&&br&除了『三等分角』外，另外两道题是『&b&倍立方体&/b&』，即用尺规作出体积两倍于给定立方体的立方体，和『&b&化圆为方&/b&』，即用尺规作出与给定圆面积相等的正方形。&br&&br&这两道题也都是无解的。&br&&br&&b&『倍立方体』问题等价于作出&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D+& alt=&\sqrt[3]{2} & eeimg=&1&&&/b&，而&img src=&///equation?tex=x%5E3-2& alt=&x^3-2& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上的不可约多项式，&b&所以&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D+& alt=&\sqrt[3]{2} & eeimg=&1&&的次数为3，不是2的幂&/b&。所以『倍立方体』是无解的。&br&&br&&blockquote&哇！秒杀哎！&br&&/blockquote&&br&嗯，确实秒杀。我们现在对『三等分角』与『倍立方体』不可解性的证明属于『&b&伽罗瓦理论&/b&』的领域（虽然不是核心领域）。1830年，该理论由法国数学家伽罗瓦于&b&18岁（！！！）&/b&创立。&br&&br&不过这两个问题的正式证明是由法国数学家汪策尔于1837年给出的，因为伽罗瓦创立这个理论是为了解决『五次方程不存在根式解』的问题……而且伽罗瓦在1832年就死了。20岁。死于决斗。&br&&br&&blockquote&『化圆为方』呢？&/blockquote&&br&『化圆为方』问题等价于作出&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D& alt=&\sqrt{\pi}& eeimg=&1&&，而&img src=&///equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&（和&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D& alt=&\sqrt{\pi}& eeimg=&1&&）甚至都不是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上任何多项式的根，所以『化圆为方』是无解的。&br&&br&&blockquote&哇！秒杀哎！不过为什么&img src=&///equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&不是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&上任何多项式的根？&/blockquote&&br&这有点麻烦，也是光用伽罗瓦理论还不够的原因。&img src=&///equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&的超越性是德国数学家&b&林德曼&/b&于1882年证明的。到此为止，困扰数学家们两千多年的古希腊三大尺规作图难题都有了答案。&br&&br&当然，这三大难题依然困扰着今天的民科们。&br&&br&===============以下是故事时间===============&br&&br&正如我在最开始所说的，我小时候也曾为三等分角而磨秃无数支铅笔……&br&&br&大概是小学三年级的时候，我读了一本数学科普书：《特别要命的数学》（我超喜欢这本！！！）。&br&&br&这本书中有一个章节叫《如何能流芳百世》：&br&&br&&img src=&/2ff705a479d280a2cde9fb7_b.jpg& data-rawwidth=&2448& data-rawheight=&3264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2448& data-original=&/2ff705a479d280a2cde9fb7_r.jpg&&&br&首先先介绍了一些尺规作图的简单问题，比如作等边三角形、作正方形等等，最后是平分任意角。&br&&br&接着，就是流芳百世的方法——解决『三等分角』问题：&br&&br&&img src=&/b5e443dd3f763e_b.jpg& data-rawwidth=&2448& data-rawheight=&3264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2448& data-original=&/b5e443dd3f763e_r.jpg&&&br&以及，『化圆为方』：&br&&br&&img src=&/53f936da9d6012eda94f_b.jpg& data-rawwidth=&2448& data-rawheight=&3264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2448& data-original=&/53f936da9d6012eda94f_r.jpg&&&br&由于把任意角平分非常简单，而『三等分角』看起来与其差别不大，于是我随即就找来了铅笔、直尺、圆规和白纸，开始试着解决『三等分角』问题……&br&&br&我记不得到底为此花了多长时间，但半个月肯定是有的，每天晚上就画呀画……最后自然是没能成功……不过也并非一无所获，至少我歪打正着作出了正五边形……&br&&br&后来初中的数学课上讲到了尺规作图，对我来说就像见到了老朋友一样。初三有很长一段时间我的数学课都是在与朋友一起研究『锈规作图』与『尺圆作图』这两个尺规作图的推广问题中度过的。&br&&br&现在，坐在十年前曾尝试三等分角的房间里，写下了这篇关于『三等分角不可解性』的回答，想想真是有些感慨。至少自己这十年还是学到了一点点东西的，虽然只是一点点。&br&&br&看着手边的代数课本中伽罗瓦的名字——&br&&br&&img src=&/e1b3fd3f1b_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/e1b3fd3f1b_r.jpg&&&br&&b&流芳百世。&/b&
啊，我小时候也曾为三等分角而磨秃无数支铅笔……故事最后再说，我先回答问题。 『三等分角』是古希腊三大尺规作图难题之一，具体表述为：用只用圆规与一把没有刻度的直尺，将任意给定角三等分。 比如，如果给定的是直角，那么下图就是一种三等分的办法（图…
&p&&strong&船其实并不是向海啸开过去，而是向深水区开过去。&/strong&前段时间答了一个相关问题，被吐槽特别水。于是今天这个答案我决定从头说起。:p本科期间上过相关的课，把课件翻出来用咯~link在最后喵。&/p&&br&&p&海浪和海啸一样，都是波。&/p&&p&大家见过停在水面的海鸥吧。&/p&&img src=&/20e0aa948b7addefd2330_b.jpeg& data-rawwidth=&256& data-rawheight=&520& class=&content_image& width=&256&&&br&&br&它们在随着浪上下摆动，但却不会在水平方向上有明显的位移。（如果能够随着波浪向前，那海鸟还为什么要迁徙呢呢？躺在海上晒太阳就到对岸了_(:3 」∠)_ ）&p&这就是因为海浪的波属性。波能够传递能量，但并不能传递物质。&br&&br&如果我们观测海面的每个水分子的运动轨迹，会发现是酱紫的：&/p&&img src=&/bfdb1bf4d5eeb2db2fd7d7_b.jpeg& data-rawwidth=&1065& data-rawheight=&497& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1065& data-original=&/bfdb1bf4d5eeb2db2fd7d7_r.jpeg&&&p&靠近水面的水分子画大圈圈，而离水面比较远的水分子画小圈圈。如果离水远到一定程度，水分子的运动可以被忽略不计。确切地说，离水面超过1/2 波长的深处，就是风平浪静的了，这就是为什么在我们看discovery拍摄海底生物的时候，感觉不到波涛汹涌，一只皮皮虾掀起的尘土都能够静静落地。&br&&br&&/p&&br&&p&能被带起来浪的水体有个名字叫做wave base（浪基）。海底深于1/2波长的情况下，海浪又叫做深水波（deep water wave）&/p&&img src=&/45ee9c7aa78f2a7e8834d_b.jpeg& data-rawwidth=&573& data-rawheight=&536& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&573& data-original=&/45ee9c7aa78f2a7e8834d_r.jpeg&&&p&深水波的传播速度就是一般机械波的传播速度：&/p&&p&速度等于波长除以周期：&/p&&br&V=L/T&br&&br&&p&但有的时候，水非常浅，不但不能够提供浪基面需要的1/2波长深度，甚至远远小于1/20波长，这个时候会发生什么情况呢？&/p&&p&没那么多活动空间了，水分子在浅水里以扁圆的椭圆轨道运动。这个时候浪的名字叫做浅水波（shallow water wave）&/p&&img src=&/2cb4deddcf28cc4e2f5b9c1e5b81849d_b.jpeg& data-rawwidth=&863& data-rawheight=&366& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&863& data-original=&/2cb4deddcf28cc4e2f5b9c1e5b81849d_r.jpeg&&&br&浅水波的传播速度可就与自己本身的周期和波长无关了：只与水深的平方根成正比。&br&水越浅，浪的速度越小：&br&&br&V=3.1d^0.5&br&&img src=&/e15b8fbab9d71dd98042_b.jpeg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/e15b8fbab9d71dd98042_r.jpeg&&&br&&br&&br&这些又有什么用呢？&br&&br&试想我们是海上的一朵浪打浪（喂），在深海区域触不到海底，当然就是深水波，以速度L/T的速度向岸边愉快奔去。但越靠近海岸，水变浅了，海的深度甚至不足够1/20的波长了，这时候我们成为了浅水波，速度就变成了V=3.1d^0.5，等快上岸的时候，水越来越浅，速度越来越小：&br&&br&&img src=&/e5a2e5f2f408e5b6cd8ee1_b.jpeg& data-rawwidth=&1156& data-rawheight=&489& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1156& data-original=&/e5a2e5f2f408e5b6cd8ee1_r.jpeg&&&br&&br&学过高中物理的泥萌肯定知道，波的频率和周期只与震源有关，所以由深水波变成浅水波的这一过程里，海浪的周期和频率不变。&br&由周期=波长/速度 这个公式可以知道，速度变小了，要使周期不变，那波长肯定也要变小。浪上岸这个过程就叫做shoaling&br&&br&&img src=&/1fe86a8658_b.jpeg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&速度波长都变小了，机械波本来携带的能量是几乎守恒的呀。该如何转化它无处释放的青春能量呢？&br&&br&嗯解决方法就是——振幅变大了。也就是说，随着靠近海滩，浪花变高变大了。&br&但我们知道很多东西是需要一个稳定的状态的，浪的波长变小，振幅变高，那意味着它变”陡“了，不像原来一样稳定了。陡峭到一定程度就会触及它的breaking point，浪不再是平缓的波状，它break了（破了？），成为了我们非常熟悉的白色的浪花。&br&&br&&img src=&/d5fb8cdbf2cad5_b.jpeg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&545& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/d5fb8cdbf2cad5_r.jpeg&&&br&&br&好哒，无害又能帮助我们锻炼身体的海浪就说到这里。&br&我们再来说说海啸。&br&&br&它通常是由大体量的水体垂直移动造成（断层垂直移动的地震，滑坡，小行星掉水里），而普通的浪则是由海风吹出来的。虽然它们都是水体传播的波，但波的性质区别还是大大的。&br&&img src=&/b218fd071acff099e6b5ca7ceae64694_b.jpeg& data-rawwidth=&469& data-rawheight=&299& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&469& data-original=&/b218fd071acff099e6b5ca7ceae64694_r.jpeg&&&br&&br&&strong&海啸的波长远远大于海浪。&/strong&&br&&br&&br&同时，它的振幅（浪高）又比海浪小，所以在深水区，船舶是几乎无法感知的，所以灾难片里，船为了躲避海啸会向深水开去，在那里海啸就会温柔很多（前提是没有在开的半道上被掀了 ⊙▂⊙ ）&br&&br&虽然振幅小，但海啸如此恐怖的波长和速度，对陆地带来的水体变化则是巨大的。这也是为什么等到海啸上岸，灾难就来了。一般的海浪上岸，由深水波变成浅水波，shoaling过程中，break了最多翻出一点浪花，但海啸进行这一转化，由于原本速度巨大，能量释放也十分恐怖，break的时候会翻起几十米的水墙。&br&&br&而海啸的速度大还有个坏处。本来发现海啸到海啸上岸，是有一个时间差的，速度快则大大缩减了这个时间差，加之在深海区本来浪高不过一米，探知就困难……&br&&br&希望这次泥萌别再说我水_(:3 」∠)_ &br&咦？图挂了？&br&resource：&br&&a class=& wrap external& href=&///?target=http%3A///AMuseum/earthquak/1/2j-1-7-5.html& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&为什么地震海啸对有些地方威胁大？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a class=& wrap external& href=&///?target=http%3A//www.tsunami.noaa.gov/& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&NOAA Tsunami Website&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=https%3A//www.eoas.ubc.ca/courses/eosc114/eosc114summ/12WavesIPost.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&eoas.ubc.ca/courses/eos&/span&&span class=&invisible&&c114/eosc114summ/12WavesIPost.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
船其实并不是向海啸开过去，而是向深水区开过去。前段时间答了一个相关问题，被吐槽特别水。于是今天这个答案我决定从头说起。:p本科期间上过相关的课，把课件翻出来用咯~link在最后喵。 海浪和海啸一样，都是波。大家见过停在水面的海鸥吧。 它们在随着浪…
更新说明&br&修正了原文的链接，补上封面和书号方便大家找（虽然这本书绝版了！= =）&br&然后！重点是提供了解决方案...&br&再然后！是一个让我&b&&u&一脸懵逼+&/u&&/b&&b&&u&无比心塞&/u&&/b&的发现= =... &br&内容都更新在文末啦~还在纠结买不到书的孩纸可以去看一下~&br&以上！&br&————&br&作为日语专业+N1成绩还不差的留学生来说两句自己的经验。&br&我个人觉得对于想要系统的学习日语并且有效掌握词汇的学生而言，方法就很单纯：&u&&b&系统认真的学习基础知识+大量的实际应用（听说读写四项均不可少）&/b&&/u&。其他的各种记忆窍门啊、参考书什么的都不过是辅助而已。最理想的就是用日语学日语，中文注音啊联想啊什么的对于纯粹的爱好者而言是可以的，对于认真想学日语的学生来说效率太差同时也不利于实际能力的提升。&br&&br&那么展开来说：&br&&b&1. 系统学习基础知识：&/b&&br&指的是要学习好日语发音规则、基础的词汇的分类法构成法、还有最基础的文法。&br&比如，你应该知道日语中动词、副词、名词、形容词之类都是怎么分的，你应该知道所谓的一二三类动词是怎么分的，所谓的动词活用和变形是怎么变的，并且记住一些基本的语法和词汇。这些是你日后大量积累词汇量的基础。有了这样的基础你才能真的做到“通过日语学日语”，学习基础知识就是给你一把打开日语这个世界钥匙，这一阶段可能会显得很枯燥，但是我希望大家能够沉得住气，有条件的可以考虑报个班之类的跟着老师学，效果会好很多。&br&贴两个相关的回答：&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&日语动词中为什么要分为「一类动词、二类动词、三类动词」，如何记忆和运用？ - 知乎用户的回答&/a&&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&刚开始入门日语，请问日语中的动词活用应该如何掌握？ - 知乎用户的回答&/a&&br&&br&对于基础的词汇的学习，一上来就读前面朋友推荐的红宝书什么的肯定是非常枯燥和让人抓狂的事情。而另外一些朋友提到的那些联想记忆或者APP，实在是效率性不高而且分类比较零散，未必实用。这一阶段，一本好的指导书确实会给你很大的帮助。在这里我强烈推荐外研社的这本《新出题基准:日语能力考试考前对策 2级汉字词汇详解 》&u&&b&（不要着急现在就去搜，文末有解释！= =）&/b&&/u&&br&&a href=&///?target=http%3A///.html%3Fjd_pop%3D8b270b80-370f-48ee-9f1b-64f8bfb9407b%26abt%3D3& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/subject/2115286/&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&豆瓣评分9.1（虽然评价的人不多- -）&br&&img src=&/1d0bcfd2e0da9c4be15bcbd_b.jpg& data-rawwidth=&280& data-rawheight=&280& class=&content_image& width=&280&&（图片是网上搜到的哈，给大家参考。。。）&br&这是一本完全参照JLPT考试基准编写的书。这本书虽然是目标N2，但是我推荐给N3~N1备考以及希望认真学日语的所有朋友，这真是一本非常神作又性价比高的书。我实际上就是考N1之前才看的，并且后来留学的时候还带到了日本，现在偶尔翻翻也都有所受益。&br&这本书实际上是7天X8周的一个完整的学习计划，每一天的内容就是两页纸，分配的很合理，完全不会形成负担，由浅入深，从最基础的生活常用名词类词汇开始满满延伸到掌握起来有一定难度的专有名词和副词。编写的很友好，爱好者到专业学生都能很愉快的阅读学习。&br&&img src=&/d308cdfccde3fb6f4c47a7c45ced2c4e_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/d308cdfccde3fb6f4c47a7c45ced2c4e_r.jpg&&这是第一周第一天的前半段内容，可以看到，都是生活中会用得到、而在词汇书中很分散的单词，以场景的形式描绘的图片可以给我们直观的印象并且方便大家同时记住不少词。图片和单词下方是&br&是一些相关的搭配用法，也都是很常用很实用的组合。&br&&img src=&/80c35668ad6baed41da34e_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/80c35668ad6baed41da34e_r.jpg&&而右边的第二页会有几道简单的练习题，是配合考试的题型出的，对于备考的同学很实用，最后作为延展学习，会附上一句这一天学到的词所构成的例句。&br&&img src=&/30a1bc694cad76f984de47a_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/30a1bc694cad76f984de47a_r.jpg&&每一天都是这种感觉，简单的生活场景，最基础的词汇，这些词通过常规的词汇书可能很难一下全掌握，但通过这本书你可以非常直观的记住他们。记住他们不仅对你学习日语打基础非常有效果，同时对于有留学计划的同学而言，这些更是你必备的生活词汇。&br&&img src=&/c2b590f1_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/c2b590f1_r.jpg&&&img src=&/90cd359433c_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/90cd359433c_r.jpg&&&img src=&/62087ffcdbd1dcb0fda99c_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/62087ffcdbd1dcb0fda99c_r.jpg&&&img src=&/acf11cfb85dc13a7b47c1_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/acf11cfb85dc13a7b47c1_r.jpg&&每周的第七天会是一个简单的小测验，就是JLPT的题型，大家可以反复的做，来巩固和检测自己的词汇学习。&br&这本书其实是一套丛书中的一本，并且也有其他等级的版本。对于准备考级的同学，除了这本之外，佐佐木老师的《新日语能力考试考前对策》这一套书（分为文法、词汇、阅读、听力）是必不可少的，这真是我们日语系同学最为推荐的一套神书。&br&&br&&b&2. 大量的实际应用：&/b&&br&那么现在，我们已经有了一定的基础日语能力和基础