& 圆与圆锥曲线的综合知识点 & “以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A、B...”习题详情
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以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA-PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切．其中真命题为②③④&（写出所以真命题的序号）．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2009-江苏省南京一中高二（上）12月月考数学试卷
分析与解答
习题“以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA-PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④以过抛物...”的分析与解答如下所示：
①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；②正确．方程2x2-5x+2=0的两根和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③正确，焦点在x轴上，焦点坐标为（&，0）．④通过抛物线的性质即可说明正误．①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．②正确．方程2x2-5x+2=0的两根分别为和2，和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率．③正确，双曲线有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（&，0）；④正确；不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴． 设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，由抛物线的定义可得：=半径．所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切．故答案为：②③④
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以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA-PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；...
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经过分析，习题“以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA-PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④以过抛物...”主要考察你对“圆与圆锥曲线的综合”
等考点的理解。
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圆与圆锥曲线的综合
与“以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA-PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④以过抛物...”相似的题目：
已知：圆x2+y2=1过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆相交于A，B两点记．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求k的取值范围；（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．&&&&
如图，已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为&&&&．&&&&
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．&&&&
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该知识点好题
1如图，动圆C1：x2+y2=t2&，1＜t＜3与椭圆C2：x29+y2=1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；（Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
2在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值．
3如图，已知椭圆C过点M（2，1），两个焦点分别为(-√6，0)、(√6，0)，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）试问直线MA、MB的斜率之和是否为定值，若为定值，求出以线段AB为直径且过点M的圆的方程；若不存在，说明理由．
该知识点易错题
1在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值．
2如图，已知椭圆C过点M（2，1），两个焦点分别为(-√6，0)、(√6，0)，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）试问直线MA、MB的斜率之和是否为定值，若为定值，求出以线段AB为直径且过点M的圆的方程；若不存在，说明理由．
3已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=√33，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，点M是椭圆上异于A1、A2的任意一点，设直线MA1、MA2的斜率分别为kMA1、kMA2，证明kMA1okMA2为定值；（Ⅲ）设椭圆方程x2a2+y2b2=1，A1、A2为长轴两个端点，M为椭圆上异于A1、A2的点，kMA1、kMA2分别为直线MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得kMA1okMA2=&&&&（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．
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怎样判断点的轨迹是双曲线还是抛物线
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根据点来判断吗?如果是双曲线那么,每个点的横坐标乘以纵坐标都是定值.如果是抛物线可以用待定系数法,
其他类似问题
抛物线实际就是一个2次函数，形如y^2=2ax之类的，而且双曲线是有准线的，只能无限接近，无法相交，二抛物线没有这限制。
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动点的轨迹的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。&1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。&2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。&4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。&5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
【的几何性质】我们利用椭圆的标准{\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}+{\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=1\left({a>b>0}\right)来研究椭圆的几何性质．1.范围：椭圆上的点横坐标的范围是-a≤x≤a&，纵坐标的取值范围是-b≤y≤b．&&&2.对称性：椭圆关于x轴、&y轴都对称，坐标轴是椭圆的，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．3.顶点：椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．线段{{A}_{1}}{{A}_{2}}，{{B}_{1}}{{B}_{2}}分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4.离心率：椭圆的焦距和长轴长的比{\frac{c}{a}}称为椭圆的离心率，用e表示，即e={\frac{c}{a}}，离心率的取值范围为0<e<1．
【双曲线的几何性质】我们利用双曲线的标准方程{\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-{\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=1\left({a>0,b>0}\right)&来研究双曲线的几何性质．1.范围：双曲线在x≤-a与x≥a所表示的区域内．2.对称性：双曲线关于x轴、&y轴和原点都是对称的．坐标轴是双曲线的，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．3.顶点：双曲线与x轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点，即{{A}_{1}}\left({-a,0}\right)，{{A}_{2}}\left({a,0}\right)．令x=0，得{{y}^{2}}{{=-b}^{2}}，这个方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点，但是我们也把{{B}_{1}}\left({0,-b}\right)，{{B}_{2}}\left({0,b}\right)&画在y轴上．线段{{A}_{1}}{{A}_{2}}叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段{{B}_{1}}{{B}_{2}}叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长．4.渐近线：双曲线{\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-{\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=1&的各支向外延伸时，它与y=±{\frac{b}{a}}x这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．特别地，若双曲线的实轴长和虚轴长相等，此时渐近线方程为y=±x，它们相互垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，这样的双曲线叫做等轴双曲线．
5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比{\frac{c}{a}}，叫做双曲线的离心率．因为c>a>0，所以双曲线的离心率e={\frac{c}{a}}>1．由等式{{c}^{2}}{{-a}^{2}}{{=b}^{2}}&得{\frac{b}{a}}={\frac{\sqrt[]{{{c}^{2}}{{-a}^{2}}}}{a}}=\sqrt[]{{\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-1}=\sqrt[]{{{e}^{2}}-1},可以看出e越大，{\frac{b}{a}}也越大，即渐近线y=±{\frac{b}{a}}x的斜率的越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即张口越来越大．当离心率e越小时，{\frac{b}{a}}也越小，渐近线的斜率的绝对值越小，双曲线的张口也就越小，形状就越扁．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“设椭圆C与双曲线D有共同的焦点F1（-4，0），F2（4，0...”，相似的试题还有：
已知斜率为1的直线l与双曲线C：\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0，b＞0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1，3)．(1)求双曲线C的离心率；(2)若双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，则以双曲线的焦点为焦点，过直线g：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
(1)求经过点(\frac{5}{2}，-\frac{3}{2})，且与椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1有共同焦点的椭圆方程；(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P(3，0)在该椭圆上，求椭圆的方程．
求与椭圆\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{169}=1有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．