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第7章连续时间系统的频域分析7.1学习要点1频率响应的定义频率响应可定义为系统零状态响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比，即。可写为：,其中，是输出与输入信号的幅度之比，称为幅频特性（或幅频响应）；是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）。2虚指数信号通过线性系统假设一个单位冲激响应为的线性时不变系统，若有激励信号则系统的零状态响应为：所以，当虚指数信号通过线性系统时，其零状态响应就是用乘以。3正弦信号通过线性系统若线性系统的激励为正弦信号则系统的零状态响应为：所以，线性系统对正弦激励的响应为与激励同频率的正弦量，其振幅为激励的振幅与模值的乘积，其相位为激励的初相位与相位的和。4非正弦周期信号通过线性系统周期为的非正弦周期信号可展开为：式中，则线性系统对该信号的零状态响应为：式中，，。所以，当周期信号作用于线性系统时，其零状态响应仍为周期信号，且周期和激励信号的周期相同。5非周期信号激励下系统的响应当线性时不变系统的单位冲激响应为，激励为时，系统的零状态响应为：对上式两端进行傅里叶变换，并利用时域卷积定理可得：即系统零状态响应的频谱函数等于系统的频率响应函数与激励的频谱函数之乘积。在求得后，可利用傅里叶反变换求得系统的时域响应。6系统实现无失真传输的条件：（1）系统在全部频率范围内为常数，即系统的通频带应为无穷大；（2）系统的相频特性应为通过原点的直线，即在整个频率范围内与成正比。设输入信号为，那么经过无失真传输，输出信号应该为：，即输出信号的幅度是输入信号幅度的倍，而且比输入信号延时了秒。其幅频响应和相频响应分别为：信号通过系统的延时为：7理想低通滤波器的定义具有图7-1所示幅频和相频特性的滤波器称为理想低通滤波器。图7-1理想低通滤波器的幅频特性和相频特性可见，该滤波器对低于的频率成分不失真地全部通过，而对高于的频率成分完全抑制掉，称为截止角频率。所以，的频率范围称为通带；的频率范围称为阻带。理想低通滤波器的频率响应函数为：8理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应为：取，其波形如图7-2所示。图7-2理想低通滤波器的冲激响应由图7-2可知，冲激响应的波形不同于激励信号的波形，产生了严重失真。另外，冲激响应在的时候存在，这说明理想低通滤波器是一个非因果系统，是物理不可实现的系统。9理想低通滤波器的阶跃响应理想低通滤波器的阶跃响应为：取，的波形如图7-3所示。图7-3理想低通滤波器的阶跃响应由图7-3可知，理想低通滤波器的阶跃响应不像阶跃信号那样陡直上升，这表明阶跃响应的建立需要一段时间；同时波形出现过冲激振荡，这是由于理想低通滤波器是一个带限系统所引起的。7.2精选例题例1已知一个连续LTI系统可用描述，利用傅里叶变换求下列输入信号作用下的输出：（1）
（2）解：对微分方程求傅里叶变换，得：频率响应为：（1）输入，其傅里叶变换为，求其反变换可得。（2）输入，其傅里叶变换为，求其反变换可得。例2如例2图所示的电路，若激励电压源为单位阶跃信号，求电容电压的零状态响应。例2图解：电路的频率响应函数为：式中，。单位阶跃信号的傅里叶变换为：可得零状态响应的频谱函数为：考虑到冲激函数的取样性质，得：取上式的傅里叶反变换，得输出电压式中，。例3某LTI系统的频率响应为，若系统输入为，求该系统的输出。解：因为，所以系统的输出的傅里叶变换为：得输出为。例4已知某一理想低通滤波器的频率响应为，若输入信号为，求输出。解：对输入信号进行化简，得：即输入信号包含了三个频率成分：，以及。由于系统频率响应是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让的频率分量通过，而和无法通过，故。例5已知系统框图如例5图所示，其中为门函数，子系统的单位冲激响应为：，系统输入为（）。（1）求子系统输出的傅里叶变换；（2）证明傅里叶系数为；（3）求系统的稳态响应。例5图解：（1），因为，由频域卷积定理得：再由时域卷积定理可得：而的周期，角频率为，由于其单周期的傅里叶变换为，则由周期信号的傅里叶级数与单周期信号傅里叶变换的关系得：故其傅里叶变换为：则（2）由（1）知也是周期，角频率为的周期信号。若的傅里叶级数为，则其傅里叶变换为：与（1）的结果相对比直接可得。（3）由傅里叶变换的对称性可知，即系统是一个理想低通滤波器，其截止频率为。由（2）知的基波频率为，则2次谐波和2次谐波以上的频率分量全部被滤除，只剩下直流分量和基波分量，即输出信号为：例6已知系统的单位冲激响应为，输入，求系统的输出。解：显然有由傅里叶变换的对称性可得：再根据频移特性可得：即同理可求得：根据时域卷积定理，可得：由及频移性质得。7.3习题精解1.已知某LTI系统的单位冲激响应为，系统的输入为，求该系统的输出。解：输入信号的频谱为：系统的频率响应为：则输出信号的频谱为：输出信号为
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信号与系统三四次实验报告..doc 20页
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信号与系统实验报告学院信息工程学院班级11级通信工程1班姓名尹桥宣学号实验日期日实验三连续时间LTI系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB语言进行系统频响特性分析的方法。基本要求：掌握LTI连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB描述方法，深刻理LTI系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB计算和绘制LTI系统频率响应特性曲线中的编程。MATLAB计算和绘制LTI系统频率响应特性曲线中的编程。二、实验原理及方法1连续时间LTI系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequencyresponse），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： 3.1或者：3.2为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即3.3由于H(j()实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutlyintegrabel）的话，那么H(j()一定存在，而且H(j()通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：3.4上式中，称为幅度频率相应（Magnituderesponse），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，称为相位特性（Phaseresponse），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。和都是频率(的函数。对于一个系统，其频率响应为H(j()，其幅度响应和相位响应分别为和，如果作用于系统的信号为，则其响应信号为3.5若输入信号为正弦信号，即x(t)=sin((0t)，则系统响应为3.6可见，系统对某一频率分量的影响表现为两个方面，一是信号的幅度要被加权，二是信号的相位要被移相。由于和都是频率(的函数，所以，系统对不同频率的频率分量造成的幅度和相位上的影响是不同的。2LTI系统的群延时从信号频谱的观点看，信号是由无穷多个不同频率的正弦信号的加权和（Weightedsum）所组成。正如刚才所述，信号经过LTI系统传输与处理时，系统将会对信号中的所有频率分量造成幅度和相位上的不同影响。从相位上来看，系统对各个频率分量造成一定的相位移（Phaseshifting），相位移实际上就是延时（Timedelay）。群延时（Groupdelay）LTI系统的群延时定义为：3.7群延时的物理意义：群延时描述的是信号中某一频率分量经过线性时不变系统传输处理后产生的响应信号在时间上造成的延时的时间。如果系统的相位频率响应特性是线性的，则群延时为常数，也就是说，该系统对于所有的频率分量造成的延时时间都是一样的，因而，系统不会对信号产生相位失真（Phasedistortion）[H,w]=freqs(b,a)：b,a分别为连续时间LTI系统的微分方程右边的和左边的系数向量（Coefficientsvector）Hm=abs(H)：求模数，即进行运算，求得系统的幅度频率响应，返回值存于Hm之中。real(H)：求H的实部；imag(H)：求H的虚部；phi=atan(-imag(H)./(real(H)+eps))：求相位频率相应特性，atan()用来计算反正切值；或者phi=angle(H)：求相位频率相应特性；tao=grpdelay(num,den,w)：计算系统的相位频率响应所对应的群延时。计算频率响应的函数freqs()的另一种形式是：H=freqs(b,a,w)：在指定的频率范围内计算系统的频率响应特性。在使用这种形式的freqs/freqz函数时，要在前面先指定频率变量w的范围。例如在语句H=freqs(b,a,w)之前加上语句：w=0:2*pi/256:2*pi。下面举例说明如何利用上述函数计算并绘制系统频率响应特性曲线的编程方法。假设给定一个连续时间LTI系统，下面的微分方程描述其输入输出之间的关系编写的MATLAB范例程序，绘制系统的幅度响应特性、相位响应特性、频率响应的实部和频率响应的虚部。二、实验原理及方法1连续时间LTI系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequencyresponse），是指
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第四章(频响)
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3秒自动关闭窗口实验三线性系统的频率响应分析；一、实验目的；1．掌握波特图的绘制方法及由波特图来确定系统开环；2．掌握实验方法测量系统的波特图；二、实验设备；PC机一台，TD-ACC+(或TD-ACS)教学；三、实验原理及内容；（一）实验原理；1．频率特性；当输入正弦信号时，线性系统的稳态响应具有随频率(；2．线性系统的频率特性；系统的正弦稳态响应具有和正弦输入信号的幅值比
实验三线性系统的频率响应分析
一、实验目的
1．掌握波特图的绘制方法及由波特图来确定系统开环传函。
2．掌握实验方法测量系统的波特图。
二、实验设备
PC 机一台，TD-ACC+(或 TD-ACS)教学实验系统一套。
三、实验原理及内容
（一）实验原理
1．频率特性
当输入正弦信号时，线性系统的稳态响应具有随频率 (ω由0变至 ∞ ) 而变化的特性。频率响应法的基本思想是：尽管控制系统的输入信号不是正弦函数，而是其它形式的周期函 数或非周期函数，但是实际上的周期信号都能满足狄利克莱条件，可以用富氏级数展开为各种谐波分量；而非周期信号也可以使用富氏积分表示为连续的频谱函数。因此，根据控制系统对正弦输入信号的响应，可推算出系统在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。
2．线性系统的频率特性
系统的正弦稳态响应具有和正弦输入信号的幅值比|Φ(jω)|和相位差∠Φ(jω)随角频率 (ω由0 变到∞) 变化的特性。而幅值比|Φ(jω)|和相位差∠Φ(jω)恰好是函数Φ(jω)的模和幅角。所以只要把系统的传递函数Φ(s)，令s=jω即可得到Φ(jω)。我们把Φ(jω)称为系统的频率特性或频率传递函数。当ω由 0 到∞变化时，|Φ(jω)|随频率ω的变化特性成为幅频特性，∠Φ(jω)随频率ω的变化特性称为相频特性。幅频特性和相频特性结合在一起时称为频率特性。
3．频率特性的表达式
(1) 对数频率特性：又称波特图，它包括对数幅频和对数相频两条曲线，是频率响应法中广泛使用的一组曲线。这两组曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图。 对数频率特性图的优点：
①它把各串联环节幅值的乘除化为加减运算，简化了开环频率特性的计算与作图。 ②利用渐近直线来绘制近似的对数幅频特性曲线，而且对数相频特性曲线具有奇
对称于转折频率点的性质，这些可使作图大为简化。
③通过对数的表达式，可以在一张图上既能绘制出频率特性的中、高频率特性，又能清晰地画出其低频特性。
(2) 极坐标图 (或称为奈奎斯特图)
(3) 对数幅相图 (或称为尼柯尔斯图)
本次实验中，采用对数频率特性图来进行频域响应的分析研究。实验中提供了两种实验测试方法：直接测量和间接测量。
直接频率特性的测量
用来直接测量对象的输出频率特性，适用于时域响应曲线收敛的对象（如：惯性环节）。该方法在时域曲线窗口将信号源和被测系统的响应曲线显示出来，直接测量对象输出与信号源的相位差及幅值衰减情况，就可得到对象的频率特性。
间接频率特性的测量
用来测量闭环系统的开环特性，因为有些线性系统的开环时域响应曲线发散，幅值不易测量，可将其构成闭环负反馈稳定系统后，通过测量信号源、反馈信号、误差信号的关系，从而推导出对象的开环频率特性。
4．举例说明间接和直接频率特性测量方法的使用
(1) 间接频率特性测量方法
①对象为积分环节：1/0.1S
由于积分环节的开环时域响应曲线不收敛，稳态幅值无法测出，我们采用间接测量方法，将其构成闭环，根据闭环时的反馈及误差的相互关系，得出积分环节的频率特性。
②将积分环节构成单位负反馈，模拟电路构成如图 3.1-1 所示。
其中 G(jw)为积分环节，所以只要将反馈信号、误差信号的幅值及相位按上式计算出来即可得积分环节的波特图。
④测量方式：实验中采用间接方式，只须用两路表笔 CH1 和 CH2 来测量图 3.1-1 中的反馈测量点和误差测量点，通过移动游标，确定两路信号和输入信号之间的相位和幅值关系，即可间接得出积分环节的波特图。
(2) 直接频率特性测量方法
只要环节的时域响应曲线收敛就不用构成闭环系统而采用直接测量法直接测量输入、输出信号的幅值和相位关系，就可得出环节的频率特性。
① 实验对象：选择一阶惯性其传函为G s =0.1??+1② 结构框图：如图所示 1
③ 模拟电路图
④ 测量方式：实验中选择直接测量方式，用 CH1 路表笔测输出测量端，通过移动游标，测得输出与信号源的幅值和相位关系，直接得出一阶惯性环节的频率特性。
（二）．实验内容
本次实验利用教学实验系统提供的频率特性测试虚拟仪器进行测试，画出对象波特图和极坐标图。
1．实验对象的结构框图
2． 模拟电路图
四、实验步骤
此次实验，采用直接测量方法测量对象的闭环频率特性及间接测量方法测量对象的频率特性。
1、实验接线：按模拟电路图 3.1-5 接线，
TD-ACC+的接线：将信号源单元的“ST”插针分别与“S”插针和“+5V”插针断开，运放的锁零控制端“ST”此时接至示波器单元的“SL”插针处，锁零端受“SL”来控制。将示波器单元的“SIN”接至图 3.1-5 中的信号输入端，
TD-ACS 的接线：将信号源单元的“ST”插针分别与“S”插针和“+5V”插针断开，运放的锁零控制端“ST”此时接至控制计算机单元的“DOUT0”插针处，锁零端受“DOUT0”来控制。将数模转换单元的“/CS”接至控制计算机的“/IOY1”，数模转换单元的“OUT1”，接至图 3.1-5 中的信号输入端.
2、直接测量方法 (测对象的闭环频率特性)
(1) “CH1”路表笔插至图 3.1-5 中的 4＃运放的输出端。
(2) 打开集成软件中的频率特性测量界面，弹出时域窗口，点击按钮，在弹出的
窗口中根据需要设Z好几组正弦波信号的角频率和幅值，选择测量方式为“直接”测量，每组参数应选择合适的波形比例系数，具体如下图所示:
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