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为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:& k& k+1& k+2& ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换：k&&&& --& 0k+1&& --& 1k+2&& --& 2......k-2&& --& n-2k-1&& --& n-1解x' & &----& 解为x注意&x’就是最终的解&变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！下面举例说明：假设现在是6个人（编号从0到5）报数，报到（2-1）的退出，即&m=2&。那么第一次编号为1的人退出圈子，从他之后的人开始算起，序列变为2,3,4,5,0，即问题变成了这5个人报数的问题，将序号做一下转换：2 --&03&--&14&--&25&--&30&--&4现在假设x为0,1,2,3,4的解，x'设为那么原问题的解（这里注意，2,3,4,5,0的解就是0,1,2,3,4,5的解，因为1出去了，结果还是一个），根据观察发现，x与x'关系为x'=(x+m)%n，因此只要求出x，就可以求x'。x怎么求出呢？继续推导吧。0,1,2,3,4,，同样是第二个1出列，变为（2,3,4,0），转换下为2 --&03 --&14 --&20 --&3很简单，同样的道理，公式又出来了，x=(x''+m)%5，这里变成5了。即求n-1个人的问题就是找出n-2的人的解，n-2就是要找出n-3，等等因此，就可以回去看上面的推导过程了。好了，思路出来了，下面写递推公式：令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]递推公式f[1]=0;f[i]=(f[i-1]+m)%i;& (i&1)有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：&1&#include&&stdio.h&&2&int&main()&3&{&4&&&&&int&n,&m,&i,&s&=&0;&5&&&&&printf&("N&M&=&");&6&&&&&scanf("%d%d",&&n,&&m);&7&&&&&for&(i&=&2;&i&&=&n;&i++)&8&&&&&{&9&&&&&&&&&s&=&(s&+&m)&%&i;10&&&&&}11&&&&&printf&("\nThe&winner&is&%d\n",&s+1);12&}这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。在问题的基础上再演变一下，如果是个人编号 先去掉第 个数然后从 个开始报 报到 的退出剩下的人继续从 开始报数求胜利者的编号这样的话，其实和原题基本解法是一样的，把去掉第m个数之后第m+1个数看成第一个就可以了，所以需要转换一下，于是程序为：
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历史上的今天
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blogTitle:'约瑟夫环问题的简单解法（数学公式法）（加个人润色，感谢原作者）',
blogAbstract:'关于约瑟夫环问题，无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。',
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{list wl as x}{/list}小学数学解题方法汇总！（附各年级数学公式大全）
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文章内容来源于网络，如有侵权请电话联系021-，我们将及时删除。
在小学数学解题方法中，运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程，叫抽象思维，也叫逻辑思维。
抽象思维又分为：形式思维和辩证思维。客观现实有其相对稳定的一面，我们就可以采用形式思维的方式；客观存在也有其不断发展变化的一面，我们可以采用辩证思维的方式。形式思维是辩证思维的基础。
形式思维能力：分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理。
辩证思维能力：联系、发展变化、对立统一律、质量互变律、否定之否定律。
小学数学要培养孩子初步的抽象思维能力，重点突出在：
（1）思维品质上，应该具备思维的敏捷性、灵活性、联系性和创造性。
（2）思维方法上，应该学会有条有理，有根有据地思考。
（3）思维要求上，思路清晰，因果分明，言必有据，推理严密。
（4）思维训练上，应该要求：正确地运用概念，恰当地下判断，合乎逻辑地推理。
小学数学是令很多孩子头疼的科目，其实，只要掌握了数学学习的方法和思维，学习过程就变得通透了。
如何正确地理解和运用数学概念？小学数学常用的方法就是对照法。根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。
这个方法的思维意义就在于，训练孩子对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。
例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少？
对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。
例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数。
这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。
通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。
比较法要注意：
（1）找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。
（2）找联系与区别，这是比较的实质。
（3）必须在同一种关系下（同一种标准）进行比较，这是“比较”的基本条件。
（4）要抓住主要内容进行比较，尽量少用“穷举法”进行比较，那样会使重点不突出。
（5）因为数学的严密性，决定了比较必须要精细，往往一个字，一个符号就决定了比较结论的对或错。
例3：填空：0.75的最高位是（），这个数小数部分的最高位是（）；十分位的数4与十位上的数4相比，它们的（）相同，（）不同，前者比后者小了（）。
这道题的意图就是要对“一个数的最高位和小数部分的最高位的区别”，还有“数位和数值”的区别等。
例4：六年级同学种一批树，如果每人种5棵，则剩下75棵树没有种；如果每人种7棵，则缺少15棵树苗。六年级有多少学生？
这是两种方案的比较。相同点是：六年级人数不变；相异点是：两种方案中的条件不一样。
找联系：每人种树棵数变化了，种树的总棵数也发生了变化。
找解决思路（方法）：每人多种7-5=2（棵），那么，全班就多种了75+15=90（棵），全班人数为90÷2=45（人）。
运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。它体现的是由一般到特殊的演绎思维。公式法简便、有效，也是孩子学习数学必须学会和掌握的一种方法。但一定要让孩子对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。
例5：计算59×37+12×59+59
59×37+12×59+59
＝59×（37+12+1）……运用乘法分配律
＝59×50……运用加法计算法则
＝（60-1）×50……运用数的组成规则
＝60×50－1×50……运用乘法分配律
＝3000-50……运用乘法计算法则
＝2950……运用减法计算法则
把整体分解为部分，把复杂的事物分解为各个部分或要素，并对这些部分或要素进行研究、推导的一种思维方法叫做分析法。
依据：总体都是由部分构成的。
思路：为了更好地研究和解决总体，先把整体的各部分或要素割裂开来，再分别对照要求，从而理顺解决问题的思路。
也就是从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决为止，这种解题模式是“由果溯因”。分析法也叫逆推法。常用“枝形图”进行图解思路。
例6：玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。问平均每天超过计划多少件？
思路：要求平均每天超过计划多少件，必须知道：计划每天生产多少件和实际每天生产多少件。计划每天生产多少件已知，实际每天生产多少件，题中没有告诉，还得求出来。要求实际每天生产多少件玩具，必须知道：实际生产多少天，和实际生产多少件，这两个条件题中都已知。
根据事物的共同点和差异点将事物区分为不同种类的方法，叫做分类法。分类是以比较为基础的。依据事物之间的共同点将它们合为较大的类，又依据差异点将较大的类再分为较小的类。
分类即要注意大类与小类之间的不同层次，又要做到大类之中的各小类不重复、不遗漏、不交叉。
例7：自然数按约数的个数来分，可分成几类？
答：可分为三类。（1）只有一个约数的数，它是一个单位数，只有一个数1；（2）有两个约数的，也叫质数，有无数个；（3）有三个约数的，也叫合数，也有无数个。
把对象的各个部分或各个方面或各个要素联结起来，并组合成一个有机的整体来研究、推导和一种思维方法叫做综合法。
用综合法解数学题时，通常把各个题知看作是部分（或要素），经过对各部分（或要素）相互之间内在联系一层层分析，逐步推导到题目要求，所以，综合法的解题模式是执因导果，也叫顺推法。这种方法适用于已知条件较少，数量关系比较简单的数学题。
例8：两个质数，它们的差是小于30的合数，它们的和即是11的倍数又是小于50的偶数。写出适合上面条件的各组数。
思路：11的倍数同时小于50的偶数有22和44。
两个数都是质数，而和是偶数，显然这两个质数中没有2。
和是22的两个质数有：3和19，5和17。它们的差都是小于30的合数吗？
和是44的两个质数有：3和41，7和37，13和31。它们的差是小于30的合数吗？
这就是综合法的思路。
用字母表示未知数，并根据等量关系列出含有字母的表达式（等式）。列方程是一个抽象概括的过程，解方程是一个演绎推导的过程。 方程法最大的特点是把未知数等同于已知数看待，参与列式、运算，克服了算术法必须避开求知数来列式的不足。有利于由已知向未知的转化，从而提高了解题的效率和正确率。
例9：一个数扩大3倍后再增加100，然后缩小2倍后再减去36，得50。求这个数。
例10：一桶油，第一次用去40%，第二次比第一次多用10千克，还剩余6千克。这桶油重多少千克？
这两题用方程解就比较容易。
用只参与列式、运算而不需要解出的字母或数表示有关数量，并根据题意列出算式的一种方法叫做参数法。参数又叫辅助未知数，也称中间变量。参数法是方程法延伸、拓展的产物。
例11：汽车爬山，上山时平均每小时行15千米，下山时平均每小时行驶10千米，问汽车的平均速度是每小时多少千米？
上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2。而应该用上下山的路程÷2。
例12：一项工作，甲单独做要4天完成，乙单独做要5天完成。两人合做要多少天完成？
其实，把总工作量看作“1”，这个“1”就是参数，如果把总工作量看作“2、3、4……”都可以，只不过看作“1”运算最方便。
排除对立的结果叫做排除法。
排除法的逻辑原理是：任何事物都有其对立面，在有正确与错误的多种结果中，一切错误的结果都排除了，剩余的只能是正确的结果。这种方法也叫淘汰法、筛选法或反证法。这是一种不可缺少的形式思维方法。
例13：为什么说除2外，所有质数都是奇数？
这就要用反证法：比2大的所有自然数不是质数就是合数。假设：比2大的质数有偶数，那么，这个偶数一定能被2整除，也就是说它一定有约数2。一个数的约数除了1和它本身外，还有别的约数（约数2），这个数一定是合数而不是质数。这和原来假定是质数对立（矛盾）。所以，原来假设错误。
例14：判断题：（1）同一平面上两条直线不平行，就一定相交。（错）
（2）分数的分子和分母同乘以或同除以一个相同的数，分数大小不变。（错）
对于涉及一般性结论的题目，通过取特殊值或画特殊图或定特殊位置等特例来解题的方法叫做特例法。特例法的逻辑原理是：事物的一般性存在于特殊性之中。
例15：大圆半径是小圆半径的2倍，大圆周长是小圆周长的（）倍，大圆面积是小圆面积的（）倍。
可以取小圆半径为1，那么大圆半径就是2。计算一下，就能得出正确结果。
例16：正方形的面积和边长成正比例吗？
如果正方形的边长为a，面积为s。那么，s：a=a（比值不定）
所以，正方形的面积和边长不成正比例。
通过某种转化过程，把问题归结到一类典型问题来解题的方法叫做化归法。化归是知识迁移的重要途径，也是扩展、深化认知的首要步骤。化归法的逻辑原理是，事物之间是普遍联系的。化归法是一种常用的辩证思维方法。
例17：某制药厂生产一批防“非典”药，原计划25人14天完成，由于急需，要提前4天完成，需要增加多少人？
这就需要在考虑问题时，把“总工作日”化归为“总工作量”。
例18：超市运来马铃薯、西红柿、豇豆三种蔬菜，马铃薯占25%，西红柿和豇豆的重量比是4：5，已知豇豆比马铃薯多36千克，超市运来西红柿多少千克？
需要把“西红柿和豇豆的重量比4：5”化归为“各占总重量的百分之几”，也就是把比例应用题化归为分数应用题。
附：小学阶段全部数学公式
对于数学学习而言，最重要的是理解并熟记所有的数学公式，这样才能真正的将公式运用到数学答题中。可见，数学公式的重要性！为大家收集整理的小学全部数学公式，供大家学习参考！
1.每份数×份数＝总数
总数÷每份数＝份数
总数÷份数＝每份数
2.1倍数×倍数＝几倍数
几倍数÷1倍数＝倍数
几倍数÷倍数＝1倍数
3.速度×时间＝路程
路程÷速度＝时间
路程÷时间＝速度
4.单价×数量＝总价
总价÷单价＝数量
总价÷数量＝单价
5.工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
6.加数＋加数＝和
和－一个加数＝另一个加数
7.被减数－减数＝差
被减数－差＝减数
差＋减数＝被减数
8.因数×因数＝积
积÷一个因数＝另一个因数
9.被除数÷除数＝商
被除数÷商＝除数
商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
C周长 S面积 a边长
周长＝边长×4
面积=边长×边长
V:体积 a:棱长
表面积=棱长×棱长×6
S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长
C周长 S面积 a边长
周长=(长 宽)×2
面积=长×宽
V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
(1)表面积(长×宽长×高
宽×高)×2
S=2(abah bh)
(2)体积=长×宽×高
s面积 a底 h高
面积=底×高÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
6平行四边形
s面积 a底 h高
面积=底×高
s面积 a上底 b下底 h高
面积=(上底 下底)×高÷2
s=(ab)× h÷2
S面积 C周长 d=直径 r=半径
(1)周长=直径×π=2×π×半径
C=πd=2πr
(2)面积=半径×半径×π
v:体积 h:高底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积底面积×2
(3)体积=底面积×高
（4）体积＝侧面积÷2×半径
v:体积 h:高底面积 r:底面半径
体积=底面积×高÷3
总数÷总份数＝平均数
和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数
和÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或者 和－小数＝大数)
差÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或 小数＋差＝大数)
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
面向上海，服务家长
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几种思维方式在数学解题过程中的巧妙运用
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