高数 恒等式变形变形

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-08-04 11:55 标签： 常用的恒等变形技巧
分式的恒等变形习题_百度文库
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分式的恒等变形习题
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第14讲 有理式的恒等变形资料.doc 9页
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第15讲有理式的恒等变形可以数是属统治着整个量的世界，而算数的四则运算则可以看作是数学家的全部装备。麦克斯韦可以分为无条件限制等式和有条件条件等式的证明实质上是有根据，有目标的式的恒等变经典例题解析例1．求证：分析要证A=B，可先证A-B=0，这种方法称为差法。左–右=这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．因为同理所以左–右=本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．例2证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．证明用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．注意到因式分解公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a3+b3+c3-3abc=0，(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．评注换元是恒等变形的常用技巧．例3．（1957年武汉市中学生数学竞赛试题）已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．（1994年蓝溪市初中数学竞赛）已知求证：分析设则a,b,c就可求出，代入所要证的等式，如果这时关于k,x,y,z的式相等，那么结论就可证得。解设那么，分别代入，得同理所以。例．(1993年浙江绍兴市初中数学竞赛试题）已知a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0，求证:分析与证明要证成立，只需证(cy-bz)(z-x)=(az-cx)(y-z)，即cyz-bz2-cxy+bzx=azy-cxy-az2+czx即只需证z(cy-bz+bx-ay+ax-cz)=0成立,而此时从已知条件a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0可知cy-bz+bx-ay+ax-cz=0，所以成立同理，结论成立。评注这种方法称为“分析法”。例．已知abc=1，求证:分析1这个题目的结论比较复杂，我们可以从条件出发，用代入消元的方法消去一个字母，将问题转化为一般恒等式的证明。证明1∵abc=1，∴原式左边==。证毕。分析2从上面的证法可以看出：它的证法就是“通分”----设法将几个分式的分母倍的一样。这实际是利用分式的基本性质将第一个分式的分子、分母乘以bc,第三个分式的分子、分母乘以b得到的。证明2左边==。证毕。例7．≠1。分析所要证明的式子是一个不等式，左边的式子又较复杂，直接从已知条件出发证明不是很容易，因而可以考虑用反证法来证明。证明假设原式不成立，即a2+b2+c2+d2+ab+cd=1∵ad-bc=1，∴a2+b2+c2+d2+ab+cd=ad-bc∴a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0，即(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(d-a)2=0∴a+b=b+c=c+d=d-a=0，∴a=-b,b=-c,c=-d,d=a于是a=-a,即a=0,∴b=c=d=0，这与ad-bc=1矛盾。∴原式成立，即a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1评注（1）结论是否定形式的问题，可以考虑用反证法来证明。（2）配方法在恒等变形中是一种常用的方法。可以由一个等式推出若干个等式来，还可以得到一些不等关系。例8．(宗沪杯)数学竞赛试题）设a,b,c均是不等于0的实数，且满足a2-b2=bc，b2-c2=ca,求证a2-c2=ab，证明将已知等式相加得依条件得②依条件得②代入得即故代人式①即有成立．同步训练 一选择题1．a+b+c≠0,则()（A）1（B）1-q（C）1-q3（D）1-2q22．,,且x+y+z≠0.则=（）（A）1（B
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恒等变形与高等数学创意解题
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