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浅谈矩阵对角化
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　　内容摘要:本文对矩阵对角化做了一些概括和分析,并结合几个典型的应用实例列举了对角化矩阵的应用,反映出可对角化矩阵在某些问题的研究中所起的重要作用。
　　关键词:线性代数;矩阵;对角化;应用
　　中图分类号:O13 文献标识码:A
　　线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程,它具有较强的抽象性和逻辑性,是高等学校工科各专业的一门重要的基础理论课,它对培养一个人的逻辑思维能力、抽象思维能力、计算能力、推理能力都起着非常重要的作用。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,而某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题,因此线性代数中的矩阵所介绍的思想和方法广泛应用于各个学科,尤其在计算机日益普及的今天。
　　一、矩阵的对角化
　　在“线性代数”中,我们知道根据方阵A的多项式f(A)=0,往往可以较容易地求得A的特征值取值范围,但A的每个特征值的重数,A是否可以对角化却不得而知。例如A2=A,A特征值的取值范围为0,1;我们可以证明A可以对角化;同样A2=E,A特征值的取值范围为1,-1;A也可以对角化。但A2=0,A≠0时,A的特征值均为0,A却不能对角化。本文将给出f(A)=0时,A可以对角化的一个充分条件。
　　为了叙述方便起见,下面先给出两个著名的关于的矩阵秩的结论作为引理。
　　引理1:设A,B均为n阶方阵,则:
　　秩(A+B)≤秩(A)+秩(B)
　　引理2:(Sylvester公式)设A,B均为n阶方阵,则:
　　秩(A)+秩(B)≤n+秩(AB)
　　从线性代数原理我们可以得到很多关于Sylvester定理的证明方法。反复应用Sylvester定理,进一步可证得Sylvester定理更一般的形式,即
　　引理3:设A1,A2…As均为n阶方阵,则:
　　秩(A1)+秩(A2)+…+秩(As)≤(n-1)n+秩(A1,A2…As)
　　命题1:设A为n阶方阵,A2=A,则A可以对角化。
　　命题2:设A为n阶方阵,A2=E,则A可以对角化。
　　可得到下面2个结论。
　　设A为n阶方阵,λ1≠λ2,且(A-λ1E)(A-λ2E)=0,则A可以对角化。
　　设A为n阶方阵,λ1λ2…λs两两互不相等,使得:(A-λ1E)(A-λ2E)…(A-λsE)=0则A可以对角化。
　　例1:设n阶方阵A满足A3-5A2+6A=0,则A可以对角化;并且
　　秩(A)+秩(A-2E)+秩(A-3E)=2n
　　证明:由A3-5A2+6A=0可得A(A-2E)(A-3E)=0
　　从而可知:A可以对角化;并且秩(A)+秩(A-2E)+秩(A-3E)=2n
　　另外还有一种方式,即在可对角化的前提下要确定矩阵所相似的对角矩阵,关键是确定其特征值及其重数。
　　即λ=0是A的n-1重特征值,λ=βTα是A的单非零特征值。此时A满足定理条件,故A相似于对角矩阵,其中0的个数为n-1个。
　　类似地,若n阶矩阵A的秩r(A)=n-1(n≥3),则r(A*)=1,于是当A11+A22+…Ann=0时,A*有n重特征值0,其对应的线性无关特征向量取为A的n-1个线性无关的列向量ξ1,ξ1…ξn-1,故A*没有n个线性无关的特征向量,因此A*不能对角化。而当A11+A22+…+Ann≠0时,A*有n-1重特征值0及单非零特征值A11+A22+…+Ann≠0,此时A*满足定理条件,所以A*相似于对角矩阵diag(0,…,0,A11+A22+…+Ann),其中0的个数为n-1个。
　　二、对角化矩阵的应用
　　可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵,在理论上和应用上都有着十分重要的意义,例如求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面都有应用。
　　下文笔者结合实际问题的应用实例。
　　例2:有甲、乙两个地区,甲地每年有30%的人迁入乙地,乙地每年有20%的人迁入甲地,设甲地人口60万,乙地人口40万,且两地区总人口保持不变,问5年后甲地及乙地人口分别是多少?经过很长时间后,两地人口的分布是否会趋于一个“稳定状态”?
　　解:第一年后,甲地人口0.7×60+0.2×40=50;
　　乙地人口0.3×60+0.8×40=50
　　我们可以把上面的计算写成矩阵的乘积,
　　即 ,记
　　那么第5年后两地人口可由A5x给出,为计算出A5,我们先将A对角化,矩阵A的特征值为1和1/2,它们对应的特征向量分别为[2,3]T和[1,-1]T
　　令,则 ,可得
　　所以,5年后甲地有40.625万人,乙地有59.375万人。n年后两地人口由Anx给出,
　　为得到经过很长时间后的人口分布情况,我们取n→∞时的极限,
　　因此,经过很长时间后,两地人口的分布会趋于稳定,且甲地有40万人,乙地有60万人。
　　参考文献:
　　[1]晏玲莉.在《线性代数》课中补充应用题的体会[J].工科数学,):71-72
　　[2]张圣梅.线性代数方法在初等数学中的应用[J].数学通报,):56-57
　　[3]李尚志.线性代数精彩应用案例(之一)[J].大学数学,):1-8
　　[4]黄毅.广义正定矩阵的研究[D]电子科技大学,2003
　　作者简介:
　　刘磊(1988- )男,回族,天津人,西北民族大学数学与计算机科学学院。
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矩阵的秩与其非零特征值个数相等的条件
证明了n阶方阵A的秩r（A）与其非零特征值个数μ（A）之间的关系：r（A）≥μ（A）.得出了矩阵A可逆和矩阵A可对角化是r（A）=μ（A）的两个充分条件;矩阵A没有形如xm（m?2）的初等因子是r（A）=μ（A）的充分必要条件.
Abstract：
The relationship between the rank of matrix and its number of nonzero eigenvalue is proved,that is r（A）≥u（A）.Following conclusion are educed,the two sufficient condition for r（A）=u（A） are that matrix A is invertible and matrix A is diagonalizable,the Necessary and Sufficient Conditions for r（A）=u（A） is that there is not the elementary factor whose form is xm（m≥2） in elementary factors of matrix A.
作者单位：
德州学院数学系,山东德州,253023
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相似及相似对角化
1、定义 定义 设A, B是n阶方阵,若有n阶可逆方阵P，使 P ?1 AP ? B, 则称A与B相似，记作A ~ B.对A进行运算P ?1AP, 称为对A进行相似变换； 可逆矩阵P称为把A变为B的相似变换矩阵.2、 性质反身性：A A； ? ? ? 等价关系 对称性：A ~ B ? B ~ A； ? 传递
性：A ~ B且B ~ C ? A ~ C； ? 相似矩阵的可逆性：A ~ B ? det A ? det B, ? A与B同时可逆或同时不可逆； 证 A ~ B ? B ? P ?1 AP ? det B ? det P ?1 ? det A ? det P ? det A (5) 逆矩阵相似性:A ~ B且A可逆 ? A?1 ~ B?1； (1) (2) (3) (4)证 B ? P ?1AP ? B?1 ? ( P ?1AP)?1 ? P ?1A?1P(6) 同幂矩阵、数乘矩阵相似性： A ~ B ? kA ~ kB (k ? R) , A ~Bm ?1 m ?1m m(m ? N )?1证 B ? ( P AP ) ? P APP APm个P AP ? P A P?1?1 m(7) 矩阵多项式相似性： A ~ B ? f ? A? ~ f ? B ? , f 是多项式； 证 设 f ( x) ? as x s ? as?1x s?1 ? ? a1x ? a0 s s ?1 ? f ( B) ? as B ? as ?1B ? ? a1B ? a0 E? as P ?1 As P ? as ?1P ?1 As ?1P ? ? P ?1 (as As ? as ?1 As ?1 ? ? P ?1 f ( A) P ? a1 A ? a0 E ) P? a1P ?1 AP ? a0 P ?1EP4、矩阵多项式推论 设?, p是A的特征值和特征向量，则(1) k?, p是kA的特征值和特征向量； ( 2) ? s , p 是As 的特征值和特征向量； (3) 当A可逆时，? -1, p是A?1的特征值和特征向量.1、相似对角化条件 问题：方阵A 与对角阵相似的条件？ ? ?1 ? 定义： ? ?2 ?若n阶方阵A ? ? ? 则称A可对角化。? ? diag(?1, ?2 , ?n ? ?, ?n )，对角化条件： n 阶方阵 A 与对角阵相似 无关的特征向量.A 有 n 个线性1、相似对角化条件说明 (1)若 A～Λ ? diag (?1, ?2 , , ?n ), 则A与Λ的特征值 相同， Λ 的主对角线元素?1, ?2 , , ?n为A的全部特征值.设相似变换矩阵为P ? ( p1, p2 , , pn )，则列向量 p1, p2 , , pn 依次是 ?1, ?2 , , ?n 对应的特征向量.A的相似标准形.⑵ 相似变换矩阵不唯一； (3) A～Λ, 若不计?i的排列顺序,则Λ唯一，称为 A推论1 n阶方阵A的n 个特征值互不相同 与对角阵相似。值，重数依次为 r1 , r2 , , rm , 且 r1 ? r2 ? ? rm ? n. 则 A 与对角阵相似 ? A 的ri 重特征值?i恰有ri个线性 无关的特征向量(i ? 1, 2, , m) p1r1 r1 个 线性无关 ?1 r1 重 p11 p12 p2r2 r2 个 线性无关 ?2 r2 重 p21 p22 即1、相似对角化条件 设 ? , ? , , ? 是 A 的 m 个互不相同的特征 1 2 m 推论2?m互异rm 重 pm1 pm 2和为n 共n个pmrm rm 个 线性无关共n个 合之仍线性无关称为代数维数；的维数称为的几何重数。1、相似对角化条件? ?1 ? ? ? A ~ 对角阵Λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? r个 ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r m个 ?? ? ?m ? ???2? ? r个 ? 2 ?2 ? ??m注1、相似对角化条件 推论3 如果 n 阶方阵 A 可对角化，则 rank(A)=A的非零特征值的个数。 证明 若 A 可以对角化，设与其相似的对角阵为?即存在可逆矩阵P，使得 P ?1 AP ? ? 。 因此 A 与? 等价，则有r(A)=r(? ). 所以 ? 对角线 上的非零元个数为r(A). 又因为 A 与 ? 相似，所以 A 的特征值与 ? 的特 征值相同，所以r(A)= A 的非零特征值的个数。证毕2、相似对角化的应用 把一个矩阵对角化,不仅可以使矩阵运算简化,而 且在理论和应用上都有意义.主要有以下几种应用: 1） 由特征值特征向量反求矩阵 2） 求方阵的幂3） 求行列式说明：1. 一般方阵常常不能对角化 2. 对角化条件一般难于判断。 本小节主要结论： 实对称矩阵 (1) 特征值必为实数 (2) 必相似于对角矩阵 (3) 且可正交相似于对角矩阵(相似变换可 为正交变换)2、实对称矩阵的特征值和特征向量 定理：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征 向量是实向量.分析 复数z ? a ? bi是实数 ? b ? 0 ? a ? bi ? a ? bi? a ? bi ? a ? bi ? z ? z是对应特征向量，则 p1 ? p2 . 即：实对称阵的不同特征值所对应的特征向量互相正交.2、实对称矩阵的特征值和特征向量 定理： 设实对称阵A的两个特征值?1, ?2互异，p1 , p2证毕3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理：设A是n阶实对称阵,?1, ?2 , , ?n是A的特征值则有正交矩阵 Q, 使 Q AQ ? Q AQ ? Λ ? diag (?1, ?2 , 此时称 A 正交相似于 Λ.?1 ?, ?n )3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵推论 设?1, ?2 ,..., ?m是n 阶实对称矩阵A的m 个不同的特征值，重数依次为 r1, r2 , , rm , 且 r1 ? r2 ? ? rm ? n 则 ri 重特征值 ?i 必有 ri 个线性无关的特征向量.3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵 ?n 阶实对称阵 A 正交相似于对角阵的问题与 求解步骤问题：求正交阵 Q，使 Q ?1 AQ ? Λ.步骤（1）求 A 的全部特征值(含重数)，即 解一元 n 次方程 det( A ? ? E ) ? 0 根：?1, ?2 , , ?重数：r1, r2 , , rm , 且 r1 ? r2 ? ? rm ? n3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵(2) 对每个 ?i , 求对应的 ri 个线性无关的特征向量： pi1, pi 2 , , piri , i ? 1, 2, , m 即求齐次线性方程组 ? A ? ?i E ? x ? 0 的基础解系， 注意：必有rank ? A ? ?i E ? ? n ? ri , 对应解空间Si , dim Si ? ri(3) 将 pi1, pi 2 , , piri，正交化，单位化，得 qi1, qi 2 , , qiri , 仍为 ?i 之特征向量；(4) 写出正交矩阵（即为正交相似变换矩阵） Q ? q11, , q1r1 , q21, , q2 r2 , , qm1, , qmrm ,??及对角阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵? ?1 ? ? ? Q ?1 AQ ? Q ? AQ ? Λ ? ? ? ? ? ? ?? ? r个 ?1 ?1 ? ? ?2? ?r个 ?2 ?2 ? ??m? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? rm个 ?m ? ??
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