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在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．（1）已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；（2）若bn=1anan+1，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn=19-1n+9，求数列{an}的公差．
题型：解答题难度：中档来源：不详
设等差数列{an}的公差为d，由a1，a4，a8成等比数列可得，a42=a1oa8．即(a1+3d)2=a1(a1+7d)，∴a12+6a1d+9d2=a12+7a1d，而d≠0，∴a1=9d．（1）由数列{an}的前10项和为45，得S10=10a1+10×92d=45，即90d+45d=45，故d=13，a1=3，故数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)o13=13(n+8)；（2）bn=1anoan+1=1d(1an-1an+1)，则数列{bn}的前n项和为Tn=1d[(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1an-1an+1)]=1d(1a1-1an+1)=1d(19d-19d+nd)=1d2(19-1n+9)=19-1n+9．故数列{an}的公差d=1或d=-1．
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据魔方格专家权威分析，试题“在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．（1）已知数列..”主要考查你对&&等差数列的通项公式，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的通项公式数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
&数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．（1）已知数列..”考查相似的试题有：
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已知等差数列{an}首项与公差相等{an}的前几项和记作sn且s20=840求a及通项公式?求数列前多少项和为84?
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a1=dan=a1+(n-1)d=ndsn=na1+n(n-1)d/2=(n+1)nd/2s20=(20+1)*20*d/2=210d=840d=4a1=4an=4n&2.sn=(n+1)nd/2=2(n+1)n=84(n+1)n=42n=6
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其他类似问题
扫描下载二维码公式/等差数列
通项公式如果一个等差数列的首项为a1，公差为d，那么该等差数列第n项的表达式为：等差数列即等差数列补充：求和公式若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：S=（a1+an）n÷2即（首项+末项）×项数÷2前n项和公式注意：n是正整数（相当于n个等差中项之和）等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.等差数列推论一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}三.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p(q))四.其他推论① 和=（首项+末项）×项数÷2(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))证明原理见高斯算法项数=（末项-首项）÷公差+1(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)② 首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）③ 末项=2x和÷项数-首项(以上2项为第一个推论的转换)④ 末项=首项+（项数-1）×公差(上一项为第二个推论的转换)推论3证明若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d=2*a(1)+(m+n-2)*d同理得，a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d又因为m+n=p+a(1),d均为常数所以若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)注：1.常数列不一定成立2.m,p,q,n属于自然数⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和
等差中项/等差数列
等差中项即等差数列头尾两项的和的一半.但求等差中项不一定要知道头尾两项.等差数列中，等差中项一般设为A(r).当A(m),A(r),A(n)成等差数列时。A(m)+A(n)=2×A(r),所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项，且为数列的平均数。并且可以推知n+m=2×r。且任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明它可以看作等差数列广义的通项公式。等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n.则a(m+n)=0。其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。
等差数列小故事/等差数列
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。等差数列高斯日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。
基本性质/等差数列
⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)．⑵在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时，S偶－S奇 = nd，S奇÷S偶=an÷a（n+1）；当项数为(2n－1）(n∈ N+)时，S奇—S偶=a（中），S奇-S偶=项数*a（中） ，S奇÷S偶 =n÷（n-1）．⑶若数列为等差数列，则Sn，S2n －Sn ，S3n －S2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d ．(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则am/bm=S2m-1/T2m-1.⑸在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)．⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上．⑺记等差数列的前n项和为S ．①若a >0，公差d<0，则当a ≥0且an+1≤0时，S 最大；②若a 0，则当a ≤0且an+1≥0时，S 最小．[8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)r次等差数列为什么等差数列的学习中，对公差和首项特别的关注，因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点。当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫的抛弃公差和首项。假设一个基En(x)=[1,x,x^2,...,x^k]，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=[b0,b1,b2,...,bk]。b同En的长度一样(k+1)。b'表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列。k=r时，我们可以称为r次数列。(x,k只能取自然数)p(x)=En(x)*b's(x)=x*En(x)*A*b'm+n=p+q（m、n、p、q∈N*)则am+an=ap+aq一次数列的性质1.p1(x),p2(x)均为一次数列，则p1(x)±p2(x)与c*p1(x)±p2(x)(c为非零常数)也是一次数列。p(x)是一次函数，(n,p(x))构成直线。2.p(m)-p(n)=En(m)*b'-En(n)*b'=(En(m)-En(n))*b'=[0,m-n]*b'3.m+n=p+q -> p(p)+p(q)=p(m)+p(n)(证明:m+n=p+q -> En(m)+En(n)=En(p)+En(q)p(m)+p(n)=En(m)*b'+En(n)*b'=(En(m)+En(n))*b'p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))*b'=(En(m)+En(n))*b'=p(m)+p(n)4.从p(x)=En(x)*b'中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次数列，其一次项系数为k*b(1)( k为取出项数之差)，常项系数未知。5.在一次数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数．6.当一次项系数b(1)>0时，数列中的数随项数的增大而增大；当b(1)<0时，数列中的数随项数的减少而减小；b(1)=0时，数列中的数等于一个常数.等差数列的判定1、a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。3、a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。一道例题1.设p(x)为一次数列，s(7)=7，s(15)=75，t(x)=s(x)/x，求T(x)，其中x为自然数[s(7);s(15)]=[7*En(7);15*En(15)]*A*b'=[7;75] ->b'=A^-1*[7*En(7);15*En(15)]^-1*[7;75]t(x)=s(x)/x=x*En(x)*A*b'/x=En(x)*A*b' ->st(x)=x*En(x)*A^2*b'=x*En(x)*A^2*A^-1*[7*En(7);15*En(15)]^-1=x*En(x)*A*[7*En(7);15*En(15)]^-1*[7;75]=-9/4*x+1/4*x^2（注意：其中st(x)表示t(x)的和）
特殊性质/等差数列
在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中例：数列：1，3，5，7，9，11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。数列：1，3，5，7，9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍,另见，等差中项.
余数/等差数列
1、当合数是由单个素因子组成时，如由单个素因子3组成的合数9，27，81等，等差数列的公差能够被该单个素因子整除时，该等差数列除以合数的余数为：9/3=3个，27/3=9个，81/3=27个循环排列。具体余数为该等差数列的首项/素因子的余数+素因子*L所得。如首项/3余1，其余数为1+3L，例如等差数列1+30N数列除以合数9余数按1，4，7进行循环；如首项/3余0，其余数为0+3L，例如等差数列3+30N数列除以合数9的余数按3，6，0进行循环。2、当公差能被合数整时，该等差数列除以合数的余数，为等差数列的首项除以该合数的余数。如等差数列3+30N的数除以合数15的余数，都为首项的3/15的余数3。3、当等差数列的公差能够被合数分解出现的部分素因子整除。（1）单素因子：其余数个数与不能整除的素因子的值相同，具体余数为首项除以能整除的素因子的余数+该素因子*L。如等差数列3+30N的数除以35，因首项的3/5余3，有3+5L=3，8，13，18，23，28，33。具体余数为3，33，28，23，18，13，8的循环排列。（2）多素因子：其余数个数与不能整除的素因子之积的值相同，具体余数为首项除以能整除的素因子的共同余数+素因子之积*L。如N数列除以合数46410，公差*5*7*11，合数4*5*7*13*17，共同的素因子为2，3，5，7，因首项，，，，满足这些条件的数为37，37是它们的共同余数。具体余数为37+210L中的数，取13*17=221个余数循环，具体余数以，6567，…， 46237，共221项为一个循环周期。4、当等差数列的公差不能被合数分解出来的素因子整除时，其余数个数为合数的值，如等差数列7+43N除以合数10，其余数为10个：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，具体余数为7，0，3，6，9，2，5，8，1，4的循环排列。相邻两项之间的差为常数的一类数列或者任意相邻两项的差相等的数列。等差数列的递推公式an=a(n-1)+d d为公差 an为第n项 a(n-1)为第n-1项通项公式an=a1+(n-1)d前n项和S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2等差数列前n项和公式S 的基本性质⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)．⑵在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时，S偶－S奇 = nd， S奇÷S偶=an÷a（n+1） ；当项数为(2n－1）(n∈ N+)时，S奇—S偶=a中 ，S奇÷S偶 =n÷（n-1） ．⑶若数列为等差数列，则S n，S2n －Sn ，S3n －S 2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d ．⑷若两个等差数列的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = ．⑸在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)．⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上．(7)记等差数列{an}的前n项和为Sn：①若a1>0，公差d<0，则当an≥0且an+1≤0时，S最大；②若a10，则当an≤0且an+1≥0时，S最小。(8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)等差数列在高中数学人教版必修5
经典试题/等差数列
高一数学经典试题：两数列{an}{bn}满足bn=(a1+2a2+3a3+...nan)/(1+2+3+..+n)若{bn}是等差数列，求证{an}也是等差数列。高一数学经典试题解析：bn=(a1+2a2+3a3+...nan)/(1+2+3+..+n)=(a1+2a2+3a3+....nan)/(n+n^2)/2∴(n+n^2)bn=2(a1+2a2+3a3+....nan).......................1∴[(n+1)+(n+1)^2]b(n+1)=2[a1+2a2+3a3+....(n+1)a(n+1)].............2由1式-2式得：(n+n^2)bn-(n^2+3n+2)b(n+1)=-2(n+1)an+1.............3若{bn}是等差数列设其公差d则bn=b(n+1)-d...............4将4式代入3式得an+1=(2bn+1+nd)/2=bn+1+nd/2.......5又∵b(n+1)=b1+nd代入5式得an+1=b1+nd+nd/2=b1+3n/2d由bn=(a1+2a2+3a3+...nan)/(1+2+3+..+n)知当n=1时b1=a1∴an+1=a1+3n/2d∴an=a1+(n-1)*(2/3)d∴{an}也是等差数列.公差为(2/3)d
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