奥数题库之二
小学数学思维训练题题库（沈阳何老师） 一次数学竞赛出了 10 道选择题,评分标准为： 基础分 10 分,每道题答对得 3 分,答错扣 1 分, 不答不得分.问：要保证至少有 4 人得分相同,至少需要_______人参加竞赛 【解析】提示： 从 0 分到 40 分这 41 个分数中,只有 39,38,35 三个分数得不到,(41-3)× 3+1=115图是一个边长为 100 米的正三角形,甲自 A 点,乙自 B 点同时出发,按顺时针方向沿三角形的边行进.甲每分走 120 米,乙每分走 150 米,但过每个顶点时,因转弯都要耽误 10 秒.乙出发 后_______分时间在 C 点追上甲在三位数中,至少出现一个 6 的偶数有_______个 【解析】提示：三位偶数共有 5× 10× 9=450 个.先计算没有 6 的三位偶数的个数.个位数有 0,2,4,8 四 种 , 十位数除 6 外有 9 种 , 百位除 6,0 外有 8 种 , 故没有 6 的 三位偶数 有 4× 9× 8=288(个),450-288=162 个将 4 个棋子摆放到图的方格中[答案]
10:55将 4 个棋子摆放到图的方格中,要求每一行,每一列最多摆一个棋子,共有_______种不同的摆法甲,乙两城相距 360 千米,一台拖拉机由甲城出发去乙城.2 小时后,一辆汽车从甲城沿同一路 线去乙城,结果汽车比拖拉机早到乙城 2 小时.汽车到乙城时,拖拉机离乙城还有 60 千米.汽 车出发后行了_______千米追上拖拉机【解析】 由于汽车迟 2 小时出发,又早 2 小时到,故汽车在两城中点处追上拖拉机, 即 180 千米．一个圆柱形的玻璃杯中盛有水,水面高 2.5cm,玻璃杯内侧的底面积是 72 cm ,在这个杯中放进 棱长 6cm 的正方体铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高_______厘米 【 解 析 】 水 的 体 积 为 72× 2.5=180(`cm^3`), 放 入 铁 块 后 可 以 将 水 看 做 是 底 面 积 为 72-6× 6=32(`cm^2`)的柱体,所以它的高为 180÷ 32=5(cm). 用铁皮做一个如下图(单位：cm)所示的工件,需用铁皮_______平方厘米2【解析】解：两个同样的工件可拼成下图的圆柱体,所以一个工件需铁皮 (46+54)×15×3.14÷2=2355(cm ).2一个长方体的长宽高都扩大相同的倍数后,体积比原来多 7 倍,棱长总和比原来多 100 厘 米．这个长方体扩大后,棱长总和是_______厘米【解析】 从题目中我们了解到,长方体的长宽高扩大相同的倍数后,体积比原来多 7 倍,即体积扩大到 1+7=8 倍,所以长,宽和高都扩大了 2 倍,而棱长总和也扩大了 2 倍,扩大后棱长总和为：100÷(2-1)×2=200 厘米.有糖 144 颗,平均分成若干份,每份不得少于 10 颗,也不能多于 40 颗.共有_______种分法【解析】 因为 144 的约数中比 10 大而比 40 小的数有 12,16,18,24,36 五个,所以 有五种分法.即： 每份 12 颗，可分成 12 份；每份 16 颗，可分成 9 份；每份 18 颗，可分成 8 份； 每份 24 颗，可分成 6 份；每份 36 颗，可分成 4 份.有 1985 名男,女乒乓球运动员分别参加男,女单打比赛(采用淘汰制),最后分别产生男,女单 打冠军.问共需要安排_______场比赛【解析】打一场,淘汰一名运动员,最后男,女单打冠军各一名,共要淘汰 1983 名 运动员.所以要安排 1983 场比赛.一个人买了 D 元 C 分钱的商品(C 为一位数或两位数),交给售货员 20 元钱,售货员错误地看 成 C 元 D 分,于是找给买主 4.88 元.按正确的价格,售货员应找给买主_______元钱【解析】 解：20-4.88=15.12(元),商品的正确价格为 12.15 元,应找给买主 20-12.15=7.85(元). 甲乙两个数的和是 1986,这两个数的积的首末数字之和最大是_______.【解析】 要使积的首末数字之和最大， 首位与末尾均应尽可能大。 1998 末尾为 6， 可分成两个 3，3×3＝9；而首位若能分成 1×9（后面不进位）或 9×9（后面进 位） ，均能使积的首位数字为 9，这时积的首末数字之和为 18，有最大值.所以可 将 1986 分成 993，993 两数，亦可将 1986 分成
等等. 993＋993＝3=986049； ＝×983＝985949； ＝×903＝977949.在一次考试中,甲,乙两人考试结果如下： 甲答错了全部试题的 1/3,乙答错了 7 道题,甲,乙都答 错的题目占全部试题的 1/5,则甲,乙两人都答对的题目最少有_______道 【解析】 解： 设全部试题有 x 道,则两人都答对的题目数是 x-[(`1/3-1/5`)x+7]=`13/15x`-7,显然,x 越小两人都答对的题目数越少.由上式知,x 应是 15 的倍数,所以当 x=15 时,两人都答对的题目 最少,是 6 道. 一本故事书有 50 篇故事,这些故事占的篇幅从 1 到 50 页各不相同.如果从书的第 1 页开始印 第一个故事,下一个故事总是从新的一页开始印.故事从奇数号页起头的最少有_______篇.【解析】提示：一篇故事是偶数页,它与下一篇故事开头页码数的奇偶性相同,否则奇偶性不 同.共有 25 篇故事是奇数页,所以开头页码数的奇偶性共转换 25 次.注意第一篇故事开头页码 是奇数. 一艘油轮的船长已经 50 多岁,船上有三十多名工作人员,其中男性占多数,将船长的年龄,男工 作人员的人数,女工作人员的人数相乘,等于 15606.船上共有_______名工作人员【解析】提示:15606=2× `3^3`× `17^2`,若船长为 2× `3^ 3`=54(岁),则男,女船员各 17 名,不合题 意;船长 3× 17=51（岁） ，男工 2× `3^2`=18(名)，女工 17 名，工作人员共 18+17=35（名） 水池周围栽了一些树,小明和小红绕水池散步.一前一后朝同一方向,边走边数树的棵树.小 明数的第 20 棵在小红那儿是第 7 棵.小明数的第 7 棵在小红那儿是第 94 棵.水池四周栽了 _______棵树 【解析】由于小明数的第 20 棵在小红那儿是第 7 棵,所以小红应该在前面,用圈外数字表示小红数的树,用圈内数字表示小明数的树.由图中可看出小红与小明之间相差 13 棵树.又由 于小明数的第 7 棵在小红那儿是第 94 棵. 由图中可看出第 94 棵树前面还有 6 棵,所以水池周围应有 100 棵树.将 400 本书随意分给若干同学,但每人不得超过 11 本.至少有_______个同学得到的书的本数相同【解析】提示：1+2+?+11=66,400÷66=6??4.最不利的分法是：得 1,2,?,11 本书的各 6 人,还剩 4 本书,要使每人不超过 11 本,无论发给谁,都会使至少有 7 人得到书的本数相同. A,B,C,D 四个足球队进行循环比赛,赛了若干场后,A,B,C 三队的比赛情况如下：D 赛了_______场【解析】解：四个队赛的总场数应是偶数,A,B,C 共赛了 7 场,所以 D 赛了 1 场或 3 场.因为四个队总的进球数,失球数应相等,A,B,C 三队总的进球数与失球数相 等,所以 D 队的进球数与失球数相等.又因为四个队总的胜,负数应当相等,而 A,B,C 三队共胜 3 场,负 2 场,所以 D 队或者负 1 场,或者负 1 场平 2 场,或者负 2 场胜 1 场. 如果 D 队仅负 1 场,或负 1 场平 2 场,那么 D 队进球数将少于失球数,与题意 不符.所以 D 队赛 3 场,负 2 场,胜 1 场. 由已知情况,D 队负于 A,B 队,胜 C 队.因为 A 队未失球,B 与 C 之间未赛过, 所以 B,C 队进的球都是与 D 队比赛进的,D 队共失 1+4+3=8(个)球,D 队也应进 8 个球,D 队与 A,B,C 队的比分分别是 0 比 1,3 比 4 和 5 比 3.一年级奥数数字谜 答案
07:24题目：请把 1.2.3.4.5.6.7 七个数字填到 3 个相交的圆里（不可重复或不填）， 使每个里圆的数字相加等于 15。正方形操场四周栽了一圈树,每两棵树相隔 5 米.甲,乙从一个角上同时出发,向不同的方向 走去(如右图),甲的速度是乙的 2 倍,乙在拐了一个弯之后的第 5 棵树与甲相遇.操场四周栽 了_______棵树【解析】 解： 因为甲的速度是乙的 2 倍,所以乙拐一个弯走到第 5 棵树时,甲拐了两个弯走到 第 10 棵树(见图),推知操场四周共有树(5+10)×4=60(棵).鸡兔共有脚 100 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 86 只，请你求出鸡兔 各多少只？解法 1 鸡变兔多 2 只脚,兔变鸡少 2 只脚,共少 100-86=14 只脚,所以兔比鸡多 14÷2=7 只. 鸡兔共:(100+86)÷(2+4)=31 只 和差问题 鸡:(31-7)÷2=12 只 兔:12+7=19 只. 解法 2 假设全是鸡 兔:(100×2－86)÷(2+4)=19 只 鸡:(100－19×4)÷2=12 只 解法 3 假设全是兔甲乙丙三人行走的速度分别为每分钟 30 米、40 米和 50 米。甲乙同在 A 地，丙在 B 地。甲乙与丙同时相向而行，丙遇见乙后 10 分钟又和甲相遇，求 AB 两地 相距多少米? 一般解法：（30+50）×10÷(40-30)×(40+50)=7200 米.巧妙解法:10÷ [1/(30+50)－1/(40+50)]＝7200 米.有100 名学生要到离学校 33 千米的某公园，学生的步行速度是每小时 5 千米，学校只有一辆能坐 25 人的汽车，汽车的速度是每小时 55 千米，为了花最短的时间到达公园， 决定采用步行与乘车相结合的办法，那么最短时间为__________。 解:主要思路是让车先带 25 人行到一定位置， 再回来带另 25 人， 最后 100 人同时到达终点。 车行驶部分和人行驶部分的时间相同，路程比和速度比相同。 每队 25 人行的路程是:100÷ 25-1=3 份，中间一段就相当于（55÷ 5－1）÷ 2＝5 份 全程就是 5＋1＋3＝9 份,汽车行驶 5+1=6 份,人行驶 3 份 因此，总共用的时间就是 33÷ 9× 6÷ 55+33÷ 9× 3÷ 5＝2.6 小时.有一个蓄水池装有 9 根水管，其中一根为进水管，其余 8 根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水，后来有人想打开出水管，使池 内的水全部排光，这时池内已注有一些水。如果 8 根出水管全部打开，需 3 小 时把池内的水全部排光，如果打开 5 根出水管，需 6 小时把池内的水全部排光， 要想在 4.5 小时内把水全部排光，需同时打开__________根出水管。 方法 1 解:(1/3-1/6)÷(8-5)=1/18. 1/18×8-1/3=1/9 (1/4.5+1/9)÷1/18=6 根. 方法 2 解：设打开一根出水管每小时可排出水“1 份”，8 根出水管开 3 小时共 排出水 8×3=24（份）；5 根出水管开 6 小时共排出水 5×6=30（份）。 30-24=6（份），这 6 份是“6-3=3”小时内进水管放进的水。 （30-24）÷（6-3）=2（份），这“2 份”就是进水管每小时进的水。 [8×3＋（4.5-3）×2]÷4.5=6（根） 或[5×6-（6-4.5）×2]÷4.5=6（根）答：需同时打开 6 根出水管 1、 每架飞机只有一个油箱， 飞机之间可以相互加油 （注意是相互， 没有加油机） ， 一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈。问:为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞 时的飞机场，至少需要出动几架飞机？（所有飞机从同一机场起飞，而且必须安 全返回机场，不允许中途降落，中间没有飞机场。） 解析：本题中实际隐含着加油时间忽略不计这个条件。可以把起点看作 0,半圈看 作D1”,一圈看作“2”， 至少用四架飞机。 可把四架飞机标号为 1,2,3,4 号,先 1,2,3三架同时起飞,1 号飞到 1/4 处把 1/2 油分别给 2,3 号加满,返回,2 号飞到 1/2 处,把 1/4 油给 3 号加满,留 1/2 油自己返回,3 号油箱满,可飞到 1 又 1/2 处,油箱空.在 3 号飞机到达全程一半处,1 号 2 号已返回机场，再与 4 号同时起飞反方向去接 3 号飞机。4 号飞到 1 又 1/4 处把 1/2 油分加给 1,2 号,1，2 号飞行至 1 又 1/2 处正 好接到 3 号,各加给 3 号 1/4 油后,1，2，3 号同时返回.这样 3 号飞机绕地球一圈. 2、有一件礼物成本是 18 元，标价是 21 元。 结果是这个年轻人掏出 100 元要买 这件礼物。 王老板当时没有零钱，用那 100 元向街坊换了 100 元的零钱，找给 年轻人 79 元。 但是街坊後来发现那 100 元是假钞，王老板无奈还了街坊 100 元。 现在问题是：王老板在这次交易中到底损失了多少钱 ? 解析：正确答案；97 元。此类题有转移思维之嫌。答案为 197 元的。多数认为 换邻居的 100 应加上。你应这样考虑；第一步，他拿买主的 100 给邻居换回 100 零钱找出 79.现在他手里还有 21 元。第二步邻居要回他的 100，其实他只从自己 腰包里掏出 79 元就行了。（79+21）。第三步最终他的损失 79+21-3=97 元。 3、甲、乙、丙三人在一条长 900 米的环形跑道上赛跑，甲的速度是每分钟 360 米，乙的速度是每分钟 300 米，丙的速度是每分钟 210 米，问：当他们第一次相 遇时各跑了几圈？ 解析：360：300：210=12：10：7 也就是说,第一次相遇时,甲、乙、丙三人分别跑了 12 圈、10 圈、7 圈。由此我 们还可以推出他们第二次相遇时的分别跑了 24、20、14 圈...... 4、三位客人急着想住宿，找到一家酒店住下了，条件：单间，三张单人床。 一 晚共计 300 元人民币。 第二天，三位客人每人交 100 元后退了房。 那天正好是 酒店店庆。老板决定收他们 250 元。于是把 50 元钱叫秘书还给他们三人。 秘书 觉得 50 元平均给三人不好分。于是只还给他们 30 元（即每人 10 元），另 20 元放进自己的腰包了。 问题：三位客人每人拿出 90 元，一共是 3＊90=270 元， 加上服务员的 20 元。共 290 元。那么还有 10 元去哪里了？ 解析：250 除以 3 得 83 又三分之一元 也就是打过折后，每人应付 83 又三分之 一元 秘书还给每人 10 元，于是每人实际付了 93 又三分之一元 3×93 又三分之 一=280（元） 280+20=300（元）5、有十框苹果，每框各 50 个，且每个框中的所有苹果均一样的重，现在已知其 中有九个框子里苹果的总重量是 50 斤（即每个苹果 1 斤重），另一个框子里的 苹果总重量是 45 斤（即每个苹果 9 两重），现在只允许称一次，如何找出哪框 苹果是每个 9 两的？ 解析： 把 10 个筐分别编上 1～10 号， 从第 1 个筐取出 1 个， 第 2 个筐取出 2 个…… 第 10 个筐取出 10 个，一共 55 个。称一次，看看跟 55 斤差多少两，差多少两就 是那一个编号的筐。 6、有 6 只猪过河.其中母子分为一队,分 3 队.第一队母子都会划船.第二队妈妈会, 孩子不会.第三队妈妈也会,孩子不会.有一只船,每次只可以坐两人,妈妈要保护自 己的孩子,不然别的母猪就会吃她的孩子,怎么做? 解析：A B C 代表猪妈妈 a b c 代表猪宝宝 ab 过河，a 回对岸 ac 过河,a 回对岸.（此时 bc 已过河） BC 过河,Bb 回去． Aa 过河,Cc 回去．（此时过河的为 Aa) BC 过河,a 回去．（3 只大猪已过河，问题解决） a 再来回四次接另两小猪过河即可 7、老师退休后每天坚持爬山锻炼，他每天都是爬同一座山，上山每走 100 米需 要 20 分钟， 下山每走 40 米用 5 分钟。王老师每次爬山 1 个小时后总要在一个亭 子里休息一会儿， 每次下山走了 1 个小时也恰好到达这个亭子，他也要休息一会 儿。王老师每天锻炼要走多少米的山路？ 解析：由于从山脚到山腰的亭子与从山顶到山腰的亭子都是 1 小时，所以此题也 可以联想成一道相遇问题： 有两人同时从山脚和山顶相向而行，一人以王老师上 山的速度走，一人以王老师下山的速度走，经过一小时在山腰小亭相遇，求王老 师每天锻炼要走多少米的山路？ 王老师上山的速度 100÷20=5 米/秒，下山的速度 40÷5=8 米/秒，根据路程=速 度和×时间有山顶到山脚=（5+8）×60=780 米，王老师每天走 780×2=1560 米。例 1 523 除以一个数所得的不完全商是 10，并且除数与余数的差是 5，求除数和余数。【分析与解】因为 523 除以除数所得的商是 10，除数与余数的差是 5，所以被除数 523 等于 除数的 11 倍减 5，即，532 与 5 的和等于除数的 11 倍。 （523+5）÷ 11 =528÷ 11 =48 48-5=43 所以，除数是 48，余数是 43。 例 2 有一批图书，总本数是个三位数，它正好可以按 2 本捆一包，或 3 本捆一包，或 5 本 捆一包，或 7 本捆一包，或 14 本捆一包，或 15 本捆一包，问这批图书最少是多少本？ 【分析与解】抓住数的本数是 2，3，5，7，14，15 的公倍数这一重要数据关系，是解法关 键。 ∵〔2，3，5，7，14，15〕=〔14，15〕=210 ∴这批数的本数是形如 210K（K 是自然数）这样的数。故这批数的本数最少是 210。 例 3 有 47 位小朋友，老师要给每人发一支红笔和一支蓝笔，商店中每种笔都是 5 支一包或 3 支一包，不能打开包零售，5 支一包的红笔 61 元，蓝笔 70 元，3 支一包的红笔 40 元，蓝 笔 47 元。则老师买所需笔至少要花多少元？ 【分析与解】5 支一包的笔单价较低，所以要使总钱数最少，应多买 5 支一包的，但是 47=5× 9+2，剩下的两支怎样买，按花钱最少的条件又有两种选择： 其一是买一包 3 支包装的，这样得多花一支笔的钱；其二是少买几包 5 支一包的，这样 多花一些差价， 所以对这种不定情况， 应按两种方案进行计算加以比较才能决定花钱最少的 买法。 由 47=5× 9+2 可设计如下买法： 对红笔来说，如果买 9 包 5 支一包的、1 包 3 支一包的，要用的钱数是 61× 9+40=589（元） ； 对蓝笔来说，如果买 9 包 5 支一包的、1 包 3 支一包的，要用的钱数是 70× 9+47=677（元） ； 由 47=5× 7+3× 4 可设计如下买法： 对于红笔，如果买 7 包 5 支一包的、4 包 3 支一包的，则要用的钱数是 61× 7+40× 4=587（元） ； 对于蓝笔，如果买 7 包 5 支一包的、4 包 3 支一包的，则要用的钱数是70× 7+47× 4=687（元） ； 综上所述，对于红笔，应买 7 包 5 支一包的和 4 包 3 支一包的，用 587 元，对于蓝笔， 应 9 包 5 支一包的和 1 包 3 支一包的，用 677 元，按这种方案购买用钱最少，所用钱数是： 587+677=126（元） 。 例 4 A、B、C 共 3 人，从 P 地到 Q 地的距离为 3 km，每个人可以每小时 3km 的速度步行。 在 P 地有两辆自行车。如果骑自行车则速度可以达到每小时 15km。但每辆自行车只能一个 人骑。问怎样才能使 3 个人各自在最短的时间内到达 Q 地？ 【分析与解】各人由于速度相同，行走的距离相同，能使用工具也是平等的，因此三人应同 时达到，从而他们三人步行的路程与骑车的路程也分别对应相等。由此即可设定行走方案。 依题意，A、B、C 三人同时到达，自行车充分使用，恰好两辆自行车各用一个全程， 两辆自行车行驶的路程总共是 3 km× 2=6 km。每个人骑车行驶 2 km，步行 1 km 即可使每人 都用最短时间到达 Q 地，下面用D----‖表示骑车 1 km，用D……‖表示步行 1 km 来示意行走 方案： A；---- …… ---B：---- ---- …… C：…… ---- ---例 5 在下面四个算式中，求出最大的得数是谁？ （1）1992×
（2）1993×
（3）1994×
（4）1995×
【分析与解】 笨方法是分别把上面四个式子中的前一项两个数的积乘开， 再和后一项相加得 到一个数， 然后再比较所得的四个数的大小。 显然这个方法不可取， 因为数很大， 容易出错。 我们仔细观察上面的四个式子发现一个规律：如（1）式中第一项有 1999，第二项也有 1999，所以可以运用乘法分配律，把它变化为： （1）1992× =（1992+1）× × 1999 同理，其他三个式子也这样变化为： （2）1993× =（1993+1）× × 1998 （3）1994× =（1994+1）× × 1997 （4）1995× =（1995+1）× × 1996根据D和相等的两个数，相差越小乘积越大‖可以作出判断：第（4）算式 1996× 1996 和 积最大。1996× ，所以最大的得数是 3984016。 例 6 在由自然数组成的自然数列的前 100 个数中，即从 1 到 100 中，共有多少个奇数？共 有多少个偶数？ 【分析与解】在自然数组成的数列中，奇、偶数出现的规律是：奇，偶，奇，偶，奇，偶…… 也就是说奇偶数是相间出现的，或者说奇数加 1 就是偶数，偶数加 1 就是奇数。自然数 前 100 个数中，第 1 个是奇数，最后 1 个是偶数，所以奇数和偶数的个数是相等的，也就是 有 50 个奇数，50 个偶数。 例 7 1+2×3+4×5+6×7+……+100×101 的和是奇数还是偶数？ 【分析与解】我们仔细观察题中已给的式子，就会发现，从第 2 个加数起，每个加数为两数 之积，而且其中有一个因数为偶数，所以从第 2 项起的每个加数为偶和，这样从第二项起的 总和为偶数。又因为第一个加数为奇数，根据D奇数+偶数=奇数‖可知，整个式子的最后结果 是奇数。 例 8 有四个数，从中每次取出三个数相加，得到四个和分别是 22、24、27 和 20，试求这四 个数。 【分析与解】所求四个数没有明显的相互关系，因而不便于相互表示，故不易设其中某数， 但根据题意，易用四个数之和把各数表示出来。 设四个数之和为 x，四个数可分别表示为 x-22，x-24，x-27，x-20。列方程 （x-22）+（x-24）+（x-27）+（x-20）=x 。 4 x -93= x X=31 。 则 x-22=9，x-24=7，x-27=4，x-20=11。 答：所求四个数为 9，7，4，11。 例 9 在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球各 一个。现在三只盒子上的标签全贴错了。问能否从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只 盒子里各装的是什么吗？ 【分析与解】抓住D三只盒子上的标签全贴错了‖这一关键条件，可从标有D一黑一白‖的盒子 获得突破。 先从标有D一黑一白‖的盒子里任取一只球来看，有两种情况： （1）若取出的是一只白球，则根据题设条件，该盒的另一个球不能是黑球（因为盒上的标签全贴错了，这个标有D一黑一白‖的盒子就不可能装着一个黑球和一个白球） ，因此这 个盒子的两个球全是白色的；从而可知贴着D全黑‖的标签的盒子里装的不可能是全黑，也不 可能是全白，因而是一黑一白；标着D全白‖的盒子里装的全是黑球。 （2）若取出的是一只黑球，则由题设条件知这只盒子装有两个黑球；从而可知贴有D全 白‖标签的盒子装的不是全白也不是全黑，因而是一黑一白；这样贴有D全黑‖标签的盒子中 装的两个球只能是全白的了。 例 10 公路上按一路纵队排列着五辆大客车。每辆车的后面都贴有该车的目的地的标志，每 个司机都知道这五辆车有两辆开往 A 市，有三辆开往 B 市；并且他们都只能看见在自己前 的车的标志。调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让 他们根据已知的情况进行判断。 他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的。 这个司机看 看前两辆车的标志，想了想说D不知道‖。第二辆车的司机看了第一辆车的标志，又根据第三 个司机的D不知道‖，想了想，也说不知道，第一个司机也很聪明，他根据第二、第三个司机 的D不知道‖，做出了正确判断，说出了自己的目的地。问：第一个司机是开往哪儿去的？试 分析这个问题。 【分析与解】要分析第一个司机的目的地，必须抓住：D恰有两辆开往 A 市，有三辆开往 B 市‖，以及第二、第三个司机都说D不知道‖这些关键条件深入分析。 根据第三个司机说自己不知道开往何处，说明第一辆和第二辆车不是都开往 A 市，否 则这第三辆车的司机应该知道自己是开往 B 市的；列表： 1 2 ABB BAB若第一辆车是开往 A 市的，则第二辆车的司机应能够判别自己是开往 B 地的，但由题 设 第二辆车的司机不知道自己开向何处，所以第一辆车不是开往 A 市的，故第一辆车的司机 应该断定自己应开往 B 市。1、有一块长方形菜地，长为 5 米，宽为 4 米。如果将菜地的长增加 2 米，那么这块菜地的周长将增加多少米？（换角度思考） 【分析与解答】我们往往会这样想：先算出原来菜地的周长： （5+4）×2=18 （米），再算出现在菜地的周长：5+2=7（米），（7+4）×2=22（米），然后 再相减：22-18=4（米），菜地的周长增加 4 米。如果我们换一个角度去思考，问题就变得非常简单。因为一条长边增加了 2 米，那么两条长边就增加了 4 米， 而宽不变，所以，菜地的周长就增加了 4 米。 如果将菜地的长和宽分别增加 2 米， 那么这块菜地的周长将增加多少米呢？ 我们按照上面第二种方法去思考，答案很容易得到。这块菜地的周长增加了： 2×4=8（米） 2、小红有 1 角、5 角的硬币共 35 枚，一共是 9 元 5 角。两种硬币各有多 少枚？ 【分析与解答】解法 1：假设 35 枚硬币都是 1 角的，那么总钱数应是： 1×35=35（角），比原来的总钱数少：95-35=60（角），这是因为把其中的 5 角当成了 1 角。用一枚 5 角换一枚 1 角多算 4 角，那么少的 60 角是把多少 5 角 当成了 1 角呢？由此可求出 5 角硬币的数量：（95-35）÷（5-1）=15（枚） 1 角硬币：35-15=20（枚） 解法 2：假设 35 枚硬币都是 5 角的，那么总钱数应是：5×35=175（角）， 比原来的总钱数多：175-95=80（角），这是因为把其中的 1 角当成了 5 角，由 此可求出 1 角硬币：（175-95）÷（5-1）=20（枚） 5 角硬币：35-20=15（枚） 解法 3：设 1 角硬币有 X 枚，那么 5 角硬币有&35-X&枚。 根据题意，1 角、5 角的硬币总钱数一共是 9 元 5 角，那么 1 角的钱数+5 角 的钱数=9 元 5 角，所以，列出等量关系式：X+5×（35－X）=95 解出：X=20 3、兰兰看一本《安徒生童话》，翻到今天要看的页码，发现左右两页的页 码的和为 193。请问，兰兰打开的是书的哪两页？（找隐含条件） 【分析与解答】我是这样想的：先要找出题目中的一个隐含条件，即左右 两页书页码的差为 1。知道了两数的和与差。我联想到刚学的“和差问题”。用 １93 页去掉 1 页， 所得的差不就是左边页数的 2 倍吗？从而可求出左边的页数。 当然用 193 页加上 1 页，就是右边页数的 2 倍，也可求出右边页数。 1．左边页数：（193－1）÷2＝96 2．右边页数：96＋1＝97 答：左右两页的页码分别为第 96 页和第 97 页。 我有一个学生却是列出含有未知数Ｘ的等式来解答的。设左边页数为Ｘ。 Ｘ＋（Ｘ＋1）＝193 解出：Ｘ＝96 右边页数：96＋1＝97 答：左右两页的页码分别为第 96 页和第 96 页。 用不同的方法解答，却得到相同的答 案，我们都很高兴。 4、题目：一辆客车从甲城开往乙城，同时一辆货车从乙城开往甲城，行了 6 小时后在离乙城 210 千米的地方两车相遇。货车每小时比客车少行 8 千米。甲 乙两城之间公路长是多少千米？（一题三解） 【分析与解答】解法一：先求出货车速度，再求出客车速度，接着求出速 度和，最后求出两城之间公路的长度。列式为： （210÷6×2＋8）×6＝468（千米） 解法二：先求出货车速度，再求出客车速度，接着求出客车行的路程，最 后求出两城之间公路的长度。列式为： （210÷6＋8）×6＋210＝468（千米） 解法三：从“货车每小时比客车少行 8 千米”入手，先求相遇时货车比客 车少行的路程，进而求出两城之间公路的长度。列式为： 8×6＋210×2＝468（千米） 5、题目：用一条 100 米长的绳子围一个长方形或正方形，怎样围能使围 成的图形的面积大？ 【分析与解答】 为了迅速找到规律，我们把“100 米”缩短为“20 米”。 缩短为 20 米后，长方形：长+宽=20÷２=10（米） 当长为 9 米，宽为 1 米时，面积是：9×１=9（平方米） 当长为 8 米，宽为 2 米时，面积是：８×２=16（平方米） 当长为 7 米，宽为 3 米时，面积是：７×３=21（平方米） 当长为 6 米，宽为 4 米时，面积是：６×４=24（平方米） 当长为 5 米，宽为 5 米时，面积是：５×5=25（平方米） 由此可见，周长相等的长方形和正方形，正方形的面积大。由此类推，用 一条 100 米长的绳子围成一个正方形的面积比围成一个长方形的面积大。6、商店出售甲、乙、丙三种水果。张阿姨买甲种水果 3 千克、乙种水果 5 千克、丙种水果 1 千克，付出 29 元；李阿姨买甲种水果 4 千克、乙种水果 7 千 克、丙种水果 1 千克，付出 39 元；王阿姨买甲、乙、丙三种水果各 1 千克，应 付出多少元？ 【分析与解答】为了叙述方便，我们把甲、乙、丙三种水果分别用甲、乙、 丙来表示。由已知条件可知： 3 甲+5 乙+丙=29（元）??（1） 4 甲+7 乙+丙=39（元）??（2） 从（2）式减去（1）式可得 1 甲+2 乙=10（元）??（3） 将（3）式扩大 2 倍，得： 2 甲+4 乙=20（元）??（4） 从（1）式中减去（4）式，得到 甲+乙+丙=9（元） 综合算式是： 29-（39-29）×2=9（元） 答：王阿姨应付出 9 元。 7、把 800 分成 40 个质数之和，同时让最大的质数尽可能小，让最小的质 数尽可能大。这最大、最小的两个质数的差是多少？（从平均值入手） 【分析与解答】很多同学读完这道题后，就从小到大写出一些质数，然后 按照题目所说的意思在这些质数中挑出 40 个。可是，用这种方法挑来挑去，总 很难凑成 800，而且还时常担心自己所挑的质数是不是真的符合题目要求。 根据题意，要“最大的尽可能小”和“最小的尽可能大”，我们应尽可能 把这 40 个质数挤在一块儿。因此，解答这道题的突破口就是抓住这 40 个质数 的平均值。这 40 个质数的平均值是：800÷40=20。接近 20 的质数有 19 和 23。 假设这 40 个质数都是 19，它们的和是：19×40=760，比 800 少了 40。用 一个“23”替换一个“19”，可以增加 4，由此可求出，只需用 10 个“23”替 换 10 个“19”，就会使 40 个质数的和是 800，即 19×30+23×10=800。所以， 满足条件的两个质数（19 和 23）的差是 4。一、一架飞机从甲地飞往乙地，原计划每分钟飞行 9 千米，现在按每分钟 12 千 米的速度飞行，结果比原计划提前半小时到达。甲、乙两地相距多少千米？ 分析与解：因为 9 和 12 的最上公倍数为 36，飞行 36 千米，原计划 4 分钟， 现在只需 3 分钟，说明现在每飞行 36 千米就比原计划提前 1 分钟，所以要 提前 30 分钟就需要飞行 36×30=1080（千米） 二、122／123、123／124、124／125、125／126 这四个数哪一个最大？ 分析与解：单位“1”比较法。因为 122/123=1-1/123，123/124=1-1/124， 124/125=1-1/125，125/126=1-1/126：又因为了 1/5 1/126，所以可以确定 125/126 最大。 三、甲、乙两人在一个圆形跑道上跑步，他们从同一地点出发，甲用 40 秒就能 跑完一圈，乙反向跑每 15 秒和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少秒？ 分析与解：甲用 40 秒跑完全程，则起跑 15 秒后与乙相遇，“乙 15 秒跑的 路程”相当于“甲 40-15=25 秒跑的路程。如果设乙跑完一圈要 x 秒，根据 题意可得：x/15=40/40-15,x=24 四、两数相除，被除数、除数、商和余数的和是 97。如果把被除数和除数都扩 大 10 倍，那么商 3 余 90。被除数是多少？ 分析与解： 根据商不变的性质可知原来的商为 3 余数为 9， 而四者之和是 97， 那么，被除数与除数之和就是 97-3-9=85。故有除数的 4 倍+余数=85 所以， （85-9）×4=19，被除数是 19×3+9=66 五、 村里种了新瓜,男女老少品尝它.小伙每人吃一个,姑娘两人分一瓜,老人一瓜 三人吃,四个小孩吃一瓜.男女老少四个组,一共吃了五十瓜。各组人数都相 等，每组几人品尝瓜？ 分析与解：把小伙组吃的瓜看作单位“1”。姑娘组吃相当于小伙组的 1/2， 老人组吃的相当于小伙组的 1/3，小孩组吃了相当于小伙组的 1/4。每组的 人数就是 50÷（1+1/2+1/3+1/4）=24（人） 六、5 个数的平均数为 60，若把其中一个数改成 80，平均数变成 70，这个数是 多少？ 分析与解：原来五个数的和是 60×5=300 改动后五个数的和是 70×5=350。 比较发现，改动后总和增加了 350-300=50，这就表示改动的这个数增加了 50。原数为 80-50=30。 列式：80-（70×5-60×5）=30 七、某班男生人数和女生人数的比是 3：2，如果发给每个男生 2 支彩笔，每个 女生 3 支彩笔，一共发了 108 支。这个班有多少个学生？ 分析与解：因为 2×3=3×2，108÷2=54。所以男生为彩笔总数和女生的同样 多都江堰市是 54 支。因此 54÷3+54÷2=18+27=45（人） 八、李老师为课外兴趣小组的同学们买书，他带的钱正好可以买 15 本作文书或 者 24 本数学书。如果他买了 10 本作文书后，余下的钱全部买数学书，还能 买几本？ 分析与解：此题可当作工程问题求解。如果把总钱数理解为工作总量，把带 的钱可买 15 本作文书或 24 本数学书看成是完成工作总量单独所需的工作时 间，那么工效就是 1/15 和 1/24，于是有（1-1/15×10）÷1/24=8（本） 九、甲乙两辆卡车各自装运重量相等的两堆煤。一段时间后，两车的运煤总量正 好相当于一堆煤的重量。 两车继续运各自剩下的煤，甲车又用的时间比乙已用的时间少 1.5 小时， 乙车又用的时间比已用的时间多 2.5 小时。已知甲车 每小时比乙车多运煤 4.8 吨。甲乙两车每小时共运煤多少吨？ 分析与解： 题目告诉我们“一段时间后，两车的运煤总量正好相当于一堆煤 的重量”，也就是说，如果按照原来的运法，剩下的一堆煤（相当于）由两 车共同装运 （甲运完后帮乙运） 如果甲车多运 1.5 小时,乙车就可以少运 2.5 小时,即甲车 1.5 小时的运煤量相当于乙车 2.5 小时的运煤量. 设乙车每小时运煤 x 吨,则甲车每小时运(x+4.8)吨.故有方程 1.5×(x+4.8)=2.5x 解之得 x=7.2 7.2+4.8+7.2=19.2(吨) 十、两地之间相距 3 千米，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲分行 80 千米， 乙分行 70 千米，如果一只小狗与甲同时从同地出发，狗每分跑 150 千米， 当狗遇到乙时立即返回，遇到甲后又迎着乙跑去。这样，狗不停的在甲、乙 之间往返地跑， 直到两人相遇为止。那么狗在两人中间跑的路程是多少米？ 分析与解：要求狗跑的路程必须先求出狗跑的时间。根据题意，狗跑的时间 与两人相遇的时间相同，从而可知狗跑的时间是 3000÷（80+70）=20（分） 150×20=3000（千米）一，巧用观察。 1,同样大小的长方形小纸片摆成了这样的图形,已知小纸片的宽是 12 厘米，求阴影部分的总 面积。【分析与解答】从第一排与第二排观察到，2 个小纸片的长等于 3 个小纸片的宽，3 个小纸 片的宽是 36 厘米， 因此一个小纸片的长等于 18 厘米， 阴影小正方形边长为 18-12=6 （厘米） ， 则得到总面积为：6× 6× 3=108（平方厘米）二，巧用推理。 2,,如右图.正方形 ABCD 与正方形 EFGC 并放在一起.已知小正方形 EFGC 的边长是 6，求三 角形 AEG（阴影部分）的面积.【分析与解答】解：四边形 AECD 是一个梯形.它的下底是 AD，上底是 EC，高是 CD，因 此 四边形 AECD 面积=（小正方形边长+大正方形边长）× 大正方形边长÷ 2 三角形 ADG 是直角三角形，它的一条直角边长 DG=（小正方形边长+大正方形边长） ， 因此 三角形 ADG 面积=（小正方形边长+大正方形边长）× 大正方形边长÷ 2. 四边形 AECD 与三角形 ADG 面积一样大.四边形 AHCD 是它们两者共有， 因此， 三角形 AEH 与三角形 HCG 面积相等，都加上三角形 EHG 面积后，就有 阴影部分面积=三角形 ECG 面积 =小正方形面积的一半 = 6× 6÷ 2＝18. 十分有趣的是， 影阴部分面积， 只与小正方形边长有关， 而与大正方形边长却没有关系. 三，巧用图形变换。 3，求下图中阴影部分的面积（单位：cm） 。[分析与解答]：本题可以采用一般方法，也就是分别计算两块阴影部分面积，再加起来， 但不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分（弓形）翻折到半圆 的右上角（以下图中虚线为折痕），把两块阴影部分合在一起，组成一个梯形（如图所示）， 2 这样计算就很容易。S 阴影=S 梯形=（2+4）×3÷2=9（厘米 ） 本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转 90°，到达右上角，得到同样的一个梯形。 四，巧用等量代换。 4，如图，由正方形 ABCD 和长方形 EFDG 部分重叠而成。正方形的边长是 4 厘米，CG=3 厘米；长方形的长是 5 厘米，它的宽是多少厘米？[分析与解答] 只要在 AF 两点间连一条线段（如图 6），就会发现，三角形 AFD 的面积是正 方形 ABCD 面积的一半， 同时也是长方形 EFDG 面积的一半， 所以正方形 ABCD 和长方形 EFDG 的面积一样大。因此，它的宽是 4×4÷5=3.2（厘米）。五, 巧用补形法。 5，在四边形 ABCD 中（见下图） ，线段 BC 长 6cm，∠ABC 为直角，∠BCD=135° ，而且点 A 到边 CD 的垂线段 AE 的长为 12cm，线段 ED 的长为 5cm，求四边形 ABCD 的面积。[分析与解答]解：延长 AB，DC 相交于点 F（见右上图），则∠BCF=45°，∠FBC=90°，从 而∠BFC=45°。 因为∠BFC=∠BCF， 所以 BF=BC=6 （cm） 。 所以， 三角形 BCF 的面积=6×6÷2=18 2 （cm ）在直角△AEF 中，∠AFE=45°，所以∠FAE=90°-45°=45°，从而 EF=AE=12（cm）。 所 以 ， 三 角 形 ADF 的 面 积 =12× （ 12+5 ） ÷2=102 （ cm2 ） 。 故 S 四 边 形 ABCD=S△ADF-S△BCF=102-18=84（cm2）。六，巧用比例。 6,，如下图所示，BD，CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，△DEF 的面积是 4cm2，△CED 的面 积是 6cm2。问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米七，巧加面积。 7，有一个直角梯形 ABCD，已知 AB=8 厘米，CD=4 厘米，BC=6 厘米，三角形 ABF 的面 积比三角形 EFD 的面积大 17.4 平方厘米，那么 ED 长多少厘米？[分析与解答]连接 DB（图 12）。已知三角形 ABF 比三角形 EFD 的面积大 17.4 平方厘米，如果把它们 分别加上三角形 BDF， 从而得到三角形 ABD 的面积比三角形 BDE 的面积也大 17.4 平方厘米。 这样可先求出三角形 ABD 的面积，然后可求出三角形 BDE 的面积，最后就求出 ED 了。已知 AB=8 厘米，EC=6 厘米，三角形 ABD 的面积是 8×6÷2=24(平方厘米).三角形 BDE 的面积是： 24-17.4=6.6（平方厘米）。而三角形 BDE 的面积等于 ED×BC×1/2，即 ED×6×1/2=6.6， 所以 ED 长是 2.2 厘米。答：ED 的长是 2.2 厘米。八，巧作辅助线。 8，在右图中，ABCD 是长方形，三条线段的长度如图所示，M 是线段 DE 的中点，求四边 形 ABMD（阴影部分）的面积.【分析与解答】 ：四边形 ABMD 中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出 三角形 DCE 与三角形 MBE 的面积，然后用长方形 ABCD 的面积减去它们，由此就可以求 得四边形 ABMD 的面积. 把 M 与 C 用线段连起来， 将三角形 DCE 分成两个三角形.三角形 DCE 的面积是 7× 2÷ 2 ＝7. 因为 M 是线段 DE 的中点，三角形 DMC 与三角形 MCE 面积相等，所以三角形 MCE 面积是 7÷ 2＝3.5. 因为 BE＝ 8 是 CE＝ 2 的 4 倍，三角形 MBE 与三角形 MCE 高一样，因此三角形 MBE 面积是 3.5× 4＝14.长方形 ABCD 面积=7× （8＋2）=70.所以四边形 ABMD（阴影部分） 的面积是 70-7-14=49。九，巧用特殊求极值 9，如下图，正方形 ABCD 的边长是 8 M，E、F 是边上的两点，且 AE＝3 M，AF＝4 M在 正方形的边界上再选一点 P， 使得三角形 EFP 的面积尽可能大， 这个面积的最大值是多少平 方厘米？十，巧用格点与面积的关系。 10, .图中的每个小正方形的面积都是 2 平方厘米，则图中阴影部分的面积是____平方厘米。【分析与解答】因为图形的面积数 =内部格点数+ 周界上格点数 ÷ 2-1 ，于是 5+10÷ 2-1=9 ， 9× 2=18（平方厘米） 。、很久很久以前，印度有个农民，临终前他对三个儿子说：“我没有给你们留下 更多遗产，只留下 19 头牛：老大分总数的 ，老二分总数的 ，老三分总数的。”说完，他就闭上了眼睛。三个儿子按照老人的要求怎么也分不好，而当时 的印度，又有不准宰牛的教规。应该怎么办呢？2、3、有一群小孩在游泳，有一位男生出来看时，男女生人数正好相等，一位女生 出来看时，男生人数正好是女生人数的 2 倍，问男女生各有几个？ 【分析与解答】男生出来看时，说明男生人数-1 和女生人数相等，说明男女生相 差 1，女生出来看，说明女生人数-1=男生人数÷2，从而设男生人数有 X 人，女 生人数即 X-1，列出方程 X-1=X÷2+1 X=4 X-1=3 所以女生有 3 人，男生有 4 人。 4、一天，一位农夫准备了 21 个同样的油壶去油坊装油。他把其中的 7 个壶装满 了，还有 7 个壶分别装了 壶油，最后还剩下 7 个空壶。他把油和壶平分给三个儿子， 每人分得的油要一样多， 壶也要一样多。 农夫没用倒来倒去， 就分出来了。 你知道怎样分吗？5、有甲乙两个两位数，甲数的 2/7 等于乙数的 2/3，这两个两位数的差最多是多 少？ 【分析与解答】 甲数∶乙数=2/3∶2/7=7∶3，甲数是 7 份，乙数是 3 份，由甲 是两位数可知，14× 7=98 所以甲每份的数量最大是 14，甲数与乙数相差 4 份， 所以，甲乙两个数的差是 14× （7-3）=56。6、一瓶汽水一元钱，三瓶空汽水瓶可以换一瓶汽水。现在有 12 元钱，最多可以 喝多少瓶汽水？ 【分析与解答】一般的简单思想是，用 12 元买 12 瓶汽水，再用 12 个瓶子换 4 瓶汽水，一共喝 12+4=16 瓶汽车，这样完全是错误的，再进一步思考可以得到 4 瓶空汽水瓶其中 3 瓶可以换一瓶，一共又 16+1=17 瓶汽水。这也不对，现在已 经喝了 17 瓶汽水了，还剩 2 个空瓶子，这种情况下可以找别人借一个汽水瓶， 又可以换 1 瓶汽水，喝完后再把空瓶还给别人，这样最多就可喝道 17+1=18 瓶 汽水。 12÷1=12 瓶 12÷3=4 瓶 4÷3=1 瓶??1 瓶 （1+1+1）÷3=1 瓶 12+4+1+1=18 瓶 7、一位买菜人问一位卖蛋的老妇人：今天早上卖了多少个鸡蛋？老妇说：“我 没有数，不过我记得：第一个人买了我鸡蛋总数的一半少半个；第二个人买了余 下的一半少半个， 第三个人又买了其余的一半多半个，最后把剩下的两个蛋卖给 了第四个人。”你知道这位老妇人共卖了多少个蛋吗？ 【分析与解答】此题用还原的方法来计算： 如果第三个人不买，此时有（2+1/2）×2=5 个蛋； 如果第二人不买，此时有（5-1/2）×=9 个蛋； 如果第一个人不买，此时有（9-1/2）×2=17 个蛋；老妇人一共卖 17 个鸡蛋。 8、有一片牧场，已知饲养牛 27 头，6 天把草吃尽；饲养牛 23 头，则 9 天吃尽。如果饲养 牛 21 头，问多少天吃尽？【分析与解答】此题有名的“牛顿问题”，计算这种问题，必须首先明确一个道 理，就是牧场上的草不是固定不变的，而是不断地生长。计算时，必须考虑这一 点。 假设 1 头牛 1 天吃的草为 1。 （1）、每天新长的草是 （23×9-27×6）÷（9-6）=45÷3=15。 （2）、牧场原有的牧草是 27×6-15×6=162-90=72。 （3）、21 头牛多少天把草吃尽72÷（21-15）=72÷6=12。 即 21 头牛 12 天把牧场的草吃尽。 9、两个人做一个移动火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可以轮流 移走 1 至 7 根火柴，知道移尽为止，挨到谁移动最后一根就算谁输。如果开始时 由 1000 根火柴， 首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。 【分析与解答】先移火柴的人要取胜，只要取走第 999 根火柴，即利用逆推法就 可以得到答案。 设先移的人为甲，后移的人为乙，甲要取胜只要取走第 999 根火柴。因此。 只要取走 991 根就可以了（如乙取 1 根，甲就取 7 根；乙取 2 根，甲就取 6 根， 依此类推，甲取的与乙取的之和为 8 根火柴），由此继续推下去，甲只要取第 983 根，第 975 根，??第 7 根就能保证获胜。 所以先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走 7 根火柴。 10、将 20～25 这 25 个数字填入图 1 中 25 个方格中，使得任一行、任一列和对 角线上 5 个数字之和都相等。 1、8 枚棋子围成一个大圆圈，依次编上号码 1、2、3??8，按顺时针方向，每隔一枚拿掉一枚，从“1”拿起，再拿 3，依次这样拿下去， 剩下的最后一枚棋子是几号？如果是 16 枚棋子围成一个大圆圈，剩下最后一枚又是几号？32 枚、64 枚呢？你发现了什么？分析：通过操作发现，总数是 8 枚棋子时，剩下最后一颗是 8 号，是 16 枚棋子 时，剩下最后一颗是 16 号，总数是 32 枚棋子时剩下最后一枚棋子是 32 号。由 此推断，当总数是 2n 枚时，剩下最后一枚是 2n 号棋子。 当总数是 10 枚，50 枚呢？ 分析：根据上面发现的规律，可以把问题转化成 8 枚，只需从 10 枚里取出 2 枚 就可以当作 8 枚时的规律考虑了。先取走 1 号、3 号，当取走 5 号时就相当于取 8 枚里的 1 号，由此判断，5 号的前面一枚 4 号就是最后剩下的一枚。同样的道 理，当总数是 50 枚时，可算出：50－36＝18，18×2＝36，即最后剩下的是 36 号棋子。2、50 枚棋子围成了一个大圆圈，依次编上号码 1、2、3??50。按顺时针方向，每隔一枚 拿一枚，直到剩下最后一枚棋子为止。 如果剩下的这枚棋子的号码是“39”，那么，第一个被取走的棋子的号码是多少？分析：此题我们仍可以把 50 枚棋子简化成 32 枚棋子来考虑，这样就需先提走 18 枚棋子。 与②题不同的是从几号提起我们不知道， 只知道最后剩下的是“39” 号，这时我们应从反面思考，即从“39”开始倒着往前取，39、37、35??这样 取完 18 枚后，应是 39－18×2＝3，这里的 3 号相当于棋子枚数是 25 时，最后 剩下的那一枚。因此，第 1 颗是从 4 号取走的。需要注意的是留下的最后一枚是 “39”，倒着想时，我们是从 39 号取走，算出的 3 号应是取走的，实际上是留 下来的。3、如图，三角形 ABC 的面积是 30 平方厘米，又知它的面积相当于平行四边形 CDEF 面积的倍。图中阴影部分的面积是多少平方厘米？分析：题目中只有三角形 ABC 的面积这一个具体数据，要想直接求出阴影三角 形 BEF 的底和高都绝对不可能的。 怎么办呢？并不需要求出这两个具体的数据。 如果我们连结 E、C 就可以看见：新三角形 CEF 和三角形 BEF 共着一个底 EF， 而且等高。由此可知，这两个三角形的面积相等。又因为新三角形 EFC 恰好占平行四边形 CDEF 的一半，所以图中阴影部分的面 积也就相当于平行四边形 CDEF 的一半。 经过这么一番“替换”之后， 列式就非 常简单了：30÷ ×1/2=6(平方厘米)。答：图中阴影面积为 6 平方厘米。4、肖老师和丁老师带领学生 50 名到东湖公园划船。他们一共租了 11 条船，其中有大船和 小船，每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人。 已知每条船都正好坐满了人。求他们租的大船和小船各多少只？分析：我们首先应知道实际坐船的共有 52 人，然后按一种情况去推算。如果租 的 11 条船全是小船，少算的人数就是大船多出的人数。 （50＋2－4×11）÷（6－4） ＝8÷2 ＝4（条） 答：他们租大船 4 条，租小船 7 条。5、足球赛门票 15 元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一。算一算门票降 价多少元？分析：假定原来的观众是 100 人，总收入刚为 1500 元（15×100）。降价后“观 众增加了一半”，则为 150 人（100＋100×1/2）；总收入“增加了五分之一”， 则为 ×1/5＝1800（元），有了这些具体的数据再来推算门票，“降 价多少元”就不困难了。列式为：先算新的门票价：＝12（元），再 求降价多少：15－12＝3（元）。 6、下图中阴影部分面积占正方形面积的几分之几 （A、B 都位于所在边的三等分点上）？7/187、如图，边长为 5 厘米和 4 厘米的两个正方形有一小部分相互重合。问， 它们没有重合的阴影部分的面积相差多少平方厘米？分析：由于图形中两个正方形的重叠部分是一个未知数，因此，好多同学感到无 从入手。我们也不妨把它们推向极端来思考： a.当这两个正方形相互不重叠的时候，阴影部分的面积之差是：52－42 。 b.当这两个正方形全部重叠的时候，它们的阴影部分的面积之差为：52－42＝9 （平方厘米） 由此，可以推断，不管这两个正方形如何重叠着，它们没有重合的阴影部分的面 积之差都是 9 平方厘米。 8、9、把一根铁丝分成三段。第一段的长度相当于另外两段的总和；第二段又相当于另外两段之和的一半。又知第三段长米。这根铁丝长多少米？10、甲、乙、丙、丁四个化肥仓库共存化肥 1260 吨，已知甲仓库所存化肥的，乙仓库所存化肥的，丙仓库所存化肥的，丁仓库所存化肥的，都同样多。试求，丁仓库存化肥多少吨？1、用下面写有数字的四张卡片 1995排成四位数。问：其中最小的数与最大的数的和是多少？ [分析与解答]这四张卡片是可以任意摆放的，它可以倒过来放，9 倒过来就成了 6。所以排成的最大数为 9951，排成的最小数为 1566。 ＝11517 即排成的最大数与最小数的和为 11517。 2、把一把长为 9 厘米的直尺。你能不能在上面只刻上三条刻度线，使得这把直 尺可以量出从 1 至 9 厘米的所有整厘米长度？ [分析与解答]可以考虑按以下方法来安排刻度：使 3 个刻度值依次为 1、4、7 厘 米，此时 1、4、7、9 这四个长度可直接量出，2（9－7＝2）、3（7－4＝3 或 4 －1＝3）、5（9－4＝5）、6（7－1＝6）、8（9－1＝8）也都可以量出。3、有一种报数游戏，游戏规则是： （1）两人轮流报数； （2）每次报的数只能是 1―10 中的某一个数； （3）谁报数后两人所报全部数的和正好是 1998，就算谁获胜。 如果让你先报， 你应该先报几才能保证获胜？为什么？你的获胜策略是怎样的？ [分析与解答]先报 7。 以后无论对方报几， 你都报“11 与对方报的数之差”的数。 因为第 1 次报 7 后，与 1998 还差 1991，而 1991 是 11 的倍数，以后双方每报一 次， 两人报的数之和都是 11， 所以每次双方报完数后， 留下的数总是 11 的倍数， 最后剩下 11，无论对方报几，你都能获胜。 4、如图：四个大小相同的正方体木块，请你用一把米尺设法量出正方体对角线 AB 的长。[分析与解答]先把四个立方体排成两个一排的两层，对齐放好后，拿开上面的一 个立方体，得到如图的情况，只要测量 AB 的长即是所需的对角线的长。5、将边长为 8 厘米的等边三角形 ABC 以点 A 为中心逆时针旋转 30°，得到等 边三角形 AB1C1。问五边形 ABB1CC1 的面积是多少平方米。[分析与解答]由题意可知，AB1 与 BC 垂直，所以四边形 ABB1C 的面积是： BC×AB1÷2＝8×8÷2＝32（平方厘米） 又因为三角形 ABB1、 三角形 AB1C 与三角形 ACC1 完全相等，所以五边形 ABB1CC1 的面积是：32÷2×3＝48（平方厘米） 6、 一个半径为 1 厘米的圆盘沿着一个半径为 4 厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动， 当小圆盘的中心围绕大圆中心转动 90 度后（如下图），小圆盘运动过程中扫过 的面积是多少平方厘米？（π ＝3.14）18.84（平方厘米）7、如下图是一张靶纸，靶纸上的 1、3、5、7、9 表示射中该靶区的分数。甲说： “我打了六枪，每枪都中靶得分，共 27 分。”乙说：“我打了三枪，每枪都中 靶得分，共得了 27 分。”[分析与解答]甲如果 6 枪都中靶，则每枪打中的分数都是奇数，于是 6 枪所中的 6 个奇数的和是偶数，不可能是 27。所以，说假话的是甲。 8、如下图所示，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为 10，阴影长 方形的面积为 6，那么图中四边形 ABCD 的面积是________。[分析与解答]如图所示，除去阴影长方形外，剩下的 4 个矩形都被四边形 ABCD 的一条边平分成两部分。 四个三角形的面积为（100－6）÷2＝47 所以四边形 ABCD 的面积是 47＋6＝53 9、有一座四层楼（如图），每层楼有 3 个窗户，每个窗户有 4 块玻璃，分别是 白色和茶色。 如果每个窗户从左到右表示一个三位数，四个楼层表示的三位数分 别是 612、275、791、362，那么第三层楼表示的三位数是多少？61210、将一张长 10 厘米，宽 1 厘米的正方形纸连续对折 3 次，得到宽不变的较短 的长方形，然后从它的一端开始，每隔 1 厘米剪一刀，最后可得到连长 1 厘米的 小正方形_____块，长 2 厘米、宽 1 厘米的小长方形____块。[分析与解答]按照题意，对折一次，出现 1 个“折”，对折 2 次，出现 3＝(1+2) 个“折”；对折 3 次，出现 7＝(1+2+4)个“折”；这些“折”不可能被剪断， 与它相连的两个 1×1 的正方形组成 2×1 的长方形， 这样的长方形共 7 个， 而 1×1 的小正方形共有 40－7×2＝26（个）。 1、有 50 个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色或红色的。 若有 14 人穿的是蓝色上衣，白裤子，31 人穿黑裤子，18 人穿红上衣，那么穿红 上衣，黑裤子的学生有多少人？ 分析：上衣只有两种颜色，裤子也只有两种颜色。 解答：穿白裤子的人 50－31=19（人） 已知有 14 人穿蓝色上衣，白裤子，所以穿红色上衣，白裤子子的人：19－ 14=5（人） 已知有 18 人穿红上衣，所以，穿红上衣、黑裤子的人：18－5=13（人） 结论：穿红上衣，黑裤子的有 13 人 2、电梯坏了，小红要步行走回在 10 楼的家，她从 1 楼出发到达 4 楼后，看 了一下时间，发现自己用去了 2 分钟，如果小红以不变的速度走上 10 楼，她一 共要用多少时间？ 分析：这个题目的关键在于我们要清楚从 1 楼到 4 楼，1 楼到 10 楼各有多 少层， 这样我们就可以求出小红走一层楼所用的时间， 从而求出她一共用的时间。 解答：走 1 层楼梯用的时间：2÷3=2/3（分） 走 9 层用的时间：2/3×9=6（分） 答：用的时间是 6 分钟 3、5 个空瓶子可以换取 1 瓶汽水，某班同学喝了 161 瓶汽水，其中有一些 是用喝剩下的瓶子换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？ 分析与解答：至少要买 129 瓶，因为买 129 瓶的汽水可以得到 129 的空瓶， 然后拿 125 个空瓶去换汽水， 可换 125÷5=25 瓶汽水， 这时还有 （129－125＋25） =29 个空瓶，再拿 25 个空瓶去换汽水，可换 25÷5=5 瓶，还剩下（29－25＋5）=9 个，这样可以再拿个空瓶去换 1 瓶汽水，这时还有）（9－5＋1）5 个空瓶， 可再换 1 瓶，所以他们一共喝到的汽水是：129＋25＋5＋1＋1=161（瓶） 所以至少要买 129 瓶汽水。 4、一筐苹果，第一次卖出 16 个，第二次卖出剩下的一半多 2 个，这时还剩 下 28 个，求这筐苹果一共有多少个？ 分析与解答：利用逆推法，第二次卖出剩下的一半多 2 个，说明剩下的 28 个正是第一次卖出的一半少 2 个，因此第二次卖出去的是 32 个，这样这筐苹果 数量的总和就是 16＋32＋28=76（个） 5、果品店将每千克 4 元的酥糖 5 千克，每千克 6 元的水果糖 2 千克，每千 克 8 元的牛奶糖 5 千克，混合成什锦糖，什锦糖每千克多少元？ 分析与解答：酥糖、水果糖、奶糖的一定的比例混合后，价钱为混合前的价 钱总和除以一共的数量，价钱的总和为： 5×4＋6×2＋8×5=72（元） 一共的数量：5＋2＋5=12（千克） 平均价格：72÷12=6（元） 所以什锦糖每千克 6 元钱。 6、圆珠笔和铅笔的价格比是 4：3，20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用了 71.5 元，圆珠笔的单价是每支多少元？ 分析：圆珠笔的单价是 a 元，铅笔的价钱就是 3/4a 元，买 21 支铅笔相当于 买 21×3/4 支圆珠笔。 解答：71.5÷（20＋21×3/4）=2（元） 所以圆珠笔的单价是每支 2 元 7、有男女同学 327 人，新学年男生增加人，女生减少 5%，总人数增加 16 人，那么现有男同学多少人？分析与解答：男生增加 25 人，总人数增加 16 人，说明女生减少 9 人，而女 生减少 5%，故 9 人对应的即 5%，故女生原人数为 9÷5%=180（人） 所以现在男生有 325＋25－180=170（人） 8、先找出规律，然后填上适当的数。 25，11，5，10，（ ），1，（ ）5，14，1分析与解答，从两头开始考虑 发现如下规律： 25×1=11＋14=5×5=10＋（ ）=（ ）×1所以第一个空填 25，第 2 个空填 15 9、今年小宁 9 岁，妈妈 33 岁，那么再过多少年，小宁的岁数是妈妈岁数的 一半？ 分析与解答：今年小宁比妈妈小 33―9=24 岁，那么小宁永远比妈妈小 24 岁，几年后小宁是妈妈岁数的一半时，即妈妈年龄是小宁的 2 倍时，妈妈仍比小 宁大 24 岁，因此，把小宁的年龄作为 1 倍量，妈妈的年龄是 2 倍量，所以妈妈 比小宁大的岁数也是 1 倍量，即 1 倍代表 24 岁，因此再过 24－9=15（年），小 宁的岁数是妈妈的一半。 10、师徒两人加工一批零件，由师傅独做要 37 小时，徒弟每小时能加工 30 个，现由师徒两个同时加工，完时徒弟加工的个数是师傅的 5/9，这批零件共有 多少个？ 分析： 师徒两人同时加工， 那么徒弟完工时加工的零件个数与师傅加工的个 数之比就是每小时两者加工零件的个数之比。 解答；徒弟每小时加工数是师傅有 5/9 师傅每小时加工 30÷5/9=54（个） 共有 54×37=1998（个）1、甲、乙、丙三人共买了 8 个面包，平均分着吃，甲拿出了 5 个面包的钱，乙 拿出了 4 个面包的钱，丙没带钱，吃完后一算，丙应拿出 3.2 元，甲应收回多少 钱？ [分析与解答] 甲、乙、丙三人平均分吃 8 个面包，丙付 3.2 元，说明 8 个面包共值 3.2×3=9.6 元，每个面包 9.6÷8=1.2 元，甲拿出了 5 个面包的钱 1.2×5=6 元，扣除自己应 付的 3.2 元，则应收回 6－3.2=2.8 元 3.2×3÷8×5－3.2 =9.6÷8×5－3.2 =2.8（元） 答：甲应收回 2.8 元 2、右图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线的交叉点上，但不能在 同一条棋盘线上，一共有多少种不同的做法？[分析与解答] 这个棋盘上共有 12 个交叉点，黑子可以放入任何一个交叉点上，只要考虑白子 放置的情况即可。 由于白子与黑子不能同在一条棋盘上，所以当黑子的位置确定 以后，和它在同一横行及同一竖行的棋盘线上，就不能放白子了，故白子只能放 在其它的 6 个交叉点上，也就是说，每次当黑子确定一个交叉点放置好以后，白 子有 8 个交叉点位置可以选择，因为黑子可以选择 12 个交叉点，所以一共有 12×6=72 种不同的放法 12×6=72（种） 3、在所有的两位数中，十位数字比个位数大的两位数有多少个？ [分析与解答] 按照十位上数字的不同，把符合要求的两位数进行分类： 十位数字是 1 的数：10， 1 个，十位数字是 2 的数：20，21。2 个； 十位数字是 3 的数：30,31,32 3 个，十位数字是 4 的数：40，41，42，43， 4 个 ?? 十位数字是 9 的数：90，91，92，93，??98 9 个。 1＋2＋3＋4＋??＋8＋9 =（1＋9）×9÷2 =45（个） 答：这样两位的数有 45 个 4、要使 975×935×972×（ 最小是多少？ ）的积的最后四个数字都是 0,括号内所填的数[分析与解答] 要使积的末尾出现 0，我们只要注意因数中含有的 2 与 5 有情况，因为 975=5×5×39，935=5×187，972=2×2×243，这其中已经出现了三个 5 与两个 2，要使积的末尾四个数都是 0，最少还要一个 5 和两个 2 的因数，所以括号里 的数最小是 5×2×2=20 5、在 3 时到 4 时之间，何时时针和分针重合。 3 时 16 又 4/11 分6、把 14 分抓成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，再使得到的乘积尽可能 大，问这个乘积是几？ [分析与解答] 拆成的数中一定没有 1，因为 1 与任何数相乘不是任何数；这些数中一定不能出 现 5，因为 5 可以拆成 2 与 3，而 2×3＞5，那么在数中出现 5 就不能使乘积最 大。同理，这些数中不能出现比 5 大的自然数，而 4=2×2，也就是说，分析的 数中只能是 2 或 3，再比较一下：因为 2＋2＋2=3＋3，而 2×2×2＜3×3，如果 出现 3 个 2，就应将它变成 2 个 3，即分拆的数中，2 最多只能有 2 个，其余都 应是 3 14=2＋3＋3＋3＋3 2×34=162 答：乘积最大是 162。 7、有 1 到 49 的 49 个数，从中挑选若干个数，排成一个圆圈，使任何两个相邻 的数的乘积小于 100，最多能挑多少个数？ [分析与解答] 因为任意两个两位数乘积都大于 100，所以任意两个两位数都不能相邻，两位数 必须用一位数隔开，一位数有 9 个，它们之间有 9 个间隔，最多放 9 个两位数， 所以最多挑出 8 个数。 8、猫狗赛跑，在相隔 100 米的两树间，有一只狗和一只小猫在赛跑，小狗每次 跳了 3 米，小猫每次跳了 2 米，但小狗跳 2 次的时间，小猫可以跳 3 次，如果要 求它们在两树间跑一个来回，谁先到达终点？ [分析与解答] 相同的时间内，小猫跳 3 次，而小狗只能跳 2 次，也就是说在相同的时间内它们 同跳到 6 米、12 米、18 米??96 米，当跳到 96 米，离第二棵树差 4 米，狗仍 要跳 2 次， 而猫跳了 3 次， 已经回头跳了 2 次， 这时正在狗在前面 2 米了， 所以， 猫先到达终点。 9、一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数。46□，□内的数 字是多少？810、一个分数，分子加 1 后，其值为 值。,分子减 1 后，其值为，求这个分数的5/8 1、一口枯井深 10 米，一只蜗牛从井底向上爬，白天向上爬 3 米，晚上向下滑了 2 米，问这只蜗牛几天能爬出井？ [分析与解答] 根据题意， 最后一天爬 3 米可以爬出井， 则剩下的 7 米所需要的天数为 7÷ （3―2） =7 天，则这只蜗牛需要（7＋1）=8（天）能爬出井。 2、有两只水桶，一只可装水 7 升，另一只可装水 5 升，现在只用这两只水桶打 水，请你量出 1 升水，该怎么办呢？ [分析与解答] 根据题意我们可以写出以下两个算式 （1）7×□―5×○=1（升） （2）5×□―7×○=1（升） 这里“□”表示的数是指大（小）水桶打满水的次数，而“○”表示的数是指大 （小）水桶注满水后全倒掉的次数。根据以上两个算式的特征，我们很快就可以 找到“□”和“○”所表示的数了，如下面两个算式 （1）7×3―5×4=1（升） （2）5×3―7×2=1（升） 这两个算式可以得出两种量出 1 升水的方法，通过比较不难发现，第 2 个算式量 水方便。 3、甲原来有存款 30000 元，乙原来有存款 12500 元，甲每月存入 600 元，乙每 月存入 800 元，问：几个月后甲的存款是乙存款的 2 倍？ [分析与解答] 这题对于没有学过简易方程的同学可能感到困难，不妨用假设法试试 假设甲原有的存款是乙的 2 倍， 乙原有存款 12500 元，那么假设可知甲原有存款 100（元），与实际甲原有的存款相差 3=500（元） 再假设甲每月有存款是乙的 2 倍，乙每月存款 800 元，那么根据假设可知，甲每 月存款额为 800×2=1600（元），与实际甲每月存 600 元相差 00 （元） 从上面两个假设可知： 每个月相差 1000 元，几个月才能相差 5000 元呢？不难得 出 =5（个）月 4、自行车的前轮轮胎行驶 5000 千米后报废，后轮轮胎行驶 3000 千米后报废。 现有一对轮胎， 可在适当的时候交换前后位置。如果一辆自行车同时安装上这对 轮胎，最多可以行多少千米？ [分析与解答] 假如有 4 对（8 个）自行车轮胎，前轮胎报废后再找，用这样的 3 个可行驶 00 （千米） ； 后轮胎报废后再换， 用这样的 5 个， 可行驶 00 （千米），也就是说 4 对轮胎最多可行驶 15000 千米，那么，一对轮胎在适当的 时候交换使用，最多可以行驶 10（千米）5、天气炎热，闹闹和四个小伙伴准备去冷饮店买汽水喝，店外挂着一块牌子， 上面写着： 3 个空瓶换 1 瓶汽水， 如果他们买 10 瓶汽水， 最多可喝到几瓶汽水？ [分析与解答] 闹闹几个先把 10 瓶汽水喝完，得到 10 个空瓶子，用其中的 9 个空瓶子可换得 3 瓶汽水，喝完后又得到 3 个空瓶子，接着又可以兑换一瓶汽水，随后喝掉后，加 上原来剩下的一个，共有 2 个空瓶子，不够找一瓶汽水，怎么办？可以先跟商店 的主人借 1 瓶汽水，喝完后，与原来剩下的 2 个空瓶还给主人，正好又可以换 1 瓶汽水，归还给店主。所以一共是 10＋3＋1＋1=15（瓶） 6、36 名学生参加数学比赛，答对第一题的有 25 名学生，答对第 2 题的有 23 名 学生，两题都答对的有 15 名学生。两题都没答对的学生有多少名？ [分析与解答] 两题中至少答对一题的学生数是 25＋23－15=33（人），两题都没有答对的学生 数是 36－33=3（人） 7、国庆节前，居委会买来 10 个红灯笼，要求挂 5 行，每行行都是 4 个，想想怎 样挂？ [分析与解答] 只有 10 个红灯笼，而且要求挂 5 行，每行都是 4 个，就是说要有 5 条线段，并 且要两两相交，要有 10 个交点，在每个交点处悬挂。因此，我们很容易想到五 角星有 5 条线段，10 个交点；也可以想到从 2 个点分别画 2 条线段，这四条线 段又相互相交形成 4 个交点， 这样共有 6 个交点，再让这四条线段又与另外一条 线相交，又形成 4 个交点，这样共有 5 条线，10 个交点 8、某校参加数学竞赛的有 120 名男生，80 名女生，参加语文竞赛的有 120 名男 生，80 名男生。已知该校总共有 260 名学生参加了竞赛，其中有 75 名男生两科 竞赛都参加了， 那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是多少人？ [分析与解答] 两科都参加的人数是 200＋200－260=140（人），已知两科都参加的男生有 75 人，所以两科都参加的女生是 140－75=65（人），只参加数学竞赛而没有参加 语文竞赛的女生人数是 80－65=15（人） 9、有一本连环画，每两页文字之间有 3 页插图，也就是说，3 页插图前后各有 一页文字，假如这本连环画共有 96 页，而最后一页是插图，这本书共有插图多 少页？ [分析与解答] 用“□”表示文字，“△”表示插图，根据题意，这本连环画中的文字和插图排 列情况如下：□△△△□△△△□△△△??□△△△□ 这本连环画有 96 页，可以看出每 4 页为一个周期，那么 96÷4=24，有 24 个周 期，而后后一页是插图的情况有以下三种： ①□△△△□△△△??□△△△ ②△□△△△□△△△??□△△ ③△△□△△△□△△△??□△ 无论是这三种情况中的哪一种，这本书的插图页数总是 3×24=72（页） 10、从 1 到 100 的自然数中，每次取两个数，使两数之和大于 100，有多少种取 法？ [分析与解答]在这两个数中，必须一个数是较小的，另一个数是较大的。我们可以列举小数的 可能情况来分析。 较小数为 1 时，只有 1 种取法，即（1，100） 较小数为 2 时，只有 2 种取法，即（2，99）（2，100） 较小数为 50 时，只有 50 种取法，即（50，51）（50，52）??（50，100） 较小数为 99 时，只有 1 种取法，即（99，100） 通过以上有序的列举，我们不难发现，所有取法为 1＋2＋3＋??＋49＋50＋49 ＋??2＋1=2500（种） 1、甲、乙、丙三个班共有学生 144 人，先从甲班调出与乙班相等的人数给乙班， 再从乙班调出与丙班相等的人数给丙班， 再从丙班调出与甲班这时相等的人数给 甲班。这样，甲、乙、丙三个班的人数相等，原来甲比乙班多多少人？”【分析与解答】根据题意，由最后甲的人数是 144÷3=48 人，可推出第一次甲班调出与乙班 同样的人给乙班后，甲班剩下的人数是 48÷2=24 人，这时 24 人就是甲班比乙班多的人数。2、小兰和小明两人各有人民币若干元。小兰拿出给小明后，小明又拿出给小兰，这时两人各有 90 元，小兰和小明原来各有多少元？105 元3、将 62-63=1 移动其中一个数字使等式成立？ 【分析与解答】 想要使等式成立， 必须是 64-63， 怎样将 62 变成 64？只有 26 得 64，所以只要把 6 移动在 2 的上面，等式成立。即：26 -63=1。4、一条笔直的马路通过 A、B 两地，甲、乙两人同时从 A、B 两地出发，若相 向而行，12 分钟相遇，若同向行走，8 分钟甲就落在乙后面 1864 米，已知 A、 B 两地相距 1800 米，甲、乙每分钟各行多少米？ 【分析与解答】甲、乙两人从同时出发到相遇，12 分钟共行的路程 1800 米，那 么每分钟甲、乙共行
米，甲、乙同时同向行驶 8 分钟，甲就落在 乙后面 1864 米，由此每分钟甲追乙的速度差为（）÷8=8 米，再根据 甲、乙的速度和与差得出：甲每分钟行（150+8）÷2=79 米，乙每分钟行（150-8） ÷2=71 米。 5、小军行走的路程比小红多 红的速度比。 ，而小红行走的时间却比小军多 ，求小军和小【分析与解答】由于小军行走的路程比小红多，即小红走的路程为 4 份，小军走的路程为 4+1=5 份，又由小红用的时间比小军多，得小军的时间为 10 份，小红的时间为 10+1=11 份， 那么两人的速度比为： 小军： 小红= （5÷10） ： （4÷11） =11：8。 6、甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付钱数的 等于乙付钱数的 ，等于丙付钱数的，已知丙比甲多付了 120 元，这台电视机多少元？2640 元7、甲、乙两班原有人数比为 5：4，若从甲班调 9 人到乙班，那么乙班与甲班人 数之比为 5：4，两班原来各有多少人？36 人8、 两辆汽车同时从东西两站相向开出， 第一次在离东站 60 千米的地方相遇之后， 两车继续以原来的速度前进，各自到达对方车站后，都立即返回，又在距中点西 侧 30 千米处相遇，两站相距多少千米？ 【分析与解答】 从两辆汽车同时从东西两站相对开出，到第二次相遇共行三个全 程， 两辆汽车行一个全程时,从东站出发的汽车行了 60 千米， 两车走三个全程时， 这辆汽车走了 3 个 60 千米， 也就是说这辆汽车再行 30 千米的话，共行的路程相 当于东、西两站路路程的 1.5 倍，找到这个关系，东西两站之间的距离也就可以 很快求出：（60×3+30）÷1.5=140 千米。9、在 400 米的环行跑道上，A、B 两点相距 100 米，甲乙两人分别从 A、B 两地 同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒 5 米，乙每秒 4 米，每人跑 100 米，都要 停留 10 秒钟，那么甲追上乙需要多少秒？ 【分析与解答】由题意得，每跑 100 米，乙比甲多用时间为 100÷4-100÷5=5 秒， 甲追上乙要多跑 100 米需要 20 秒， 休息次数为 20÷5=4 次， 乙跑 100×4=400 米，甲跑 100×5=500 米，停了 4 次共用时间为 20×5+40=140 秒，也就是乙跑完 400 米后又停了 10 秒，甲刚好追上。 10、圆锥形容器中装有 3 升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能 装多少升水？21 升1、一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求符合条件的最小数。【分析与解答】 象这样除数只有一位数除以一个数且有余数的除法，先举出其中 一个数能被其中任意一个除数去除且符合这个数除且余数相同的条件，如被 3 除余 2 的数有 5、8、11、14、17、20、23、26、29??再在这两个数中找能被 3 除余 4，被 7 除余 2 的条件，则有 23，检查符合。2、一个数除以 5 余 1，除以 6 余 3，除以 7 余 6，这个数是几？【分析与解答】同第 1 题先举出一个被 6 除余 3 的数，9、15、21，21 虽然能被 5 除余 1，但不能被 7 除余 6，由此继续往下找，依次加 6 到 51,还不行，因为 51 比 21 多 30，由此推出 81、111、141，其中 111 符合题意。3、某人到某地去时上坡路为每小时走 3 千米，回来时下坡路速度为每 小时走 6 千米，求他的平均速度是多少？4 千米4、把 0. 3 5 化成分数。. .35/995、把 0.3 5. . 2化为分数。349/990 6、宇光小学上学年有学生 480 人，本学年比上学年增加了 ，本学年有学生多少人？600 人7、一个发电厂十月份烧煤 1520 吨，比九月份节省了 吨？，九月份烧煤多少16008、一个工程队修一段长 60 米的公路，第一天修了全长的 ，第二天修 了余下的 ，第三天全部修完，问第三天修了多少米？30 米9、一个工程队在三天内修一段公路，第一天修了全长的 ，第二天修 了余下的 ，第三天修了 30 米，问这段公路有长多少米？60 米10、已知甲数的 等于乙数的 甲数的几分之几？ 4/9，求甲数是乙数的几分之几，乙数是1、小明有两只旧手表，一只每天快 20 分钟，一只每天慢 30 分钟，现将两只手表调到标准 时间，它们至少经过多少天才能同时显示标准时间？ 【分析与解答】一只慢手表需再次显示标准时间，它必须要少走 12 小时，那么需要 60× 12÷ 30=24（天） ，即慢表每隔 24 天又一次显示标准时间，同理，一只快表再次显示标准 时间，它必须要多走 12 小时，那么需要 60× 12÷ 20=36（天） ，即快表每隔 36 天又一次显示 标准时间，24 和 36 的最小公倍数是 72，两只表同时显示标准时间至少经过 72 天。2、在一只箱子里有 4 种形状相同，颜色不同的木块若干个，一次最小要取多少块才能保证 其中至少有 10 个木块的颜色相同？ 【分析与解答】把 4 种颜色的木块看做 4 个抽屉，要保证每个抽屉里至少有 10 个木块，要 保证每个抽屉至少有 9 个木块， 则共需 9× 4=36 （个） 木块， 如果至少有 10 个木块颜色相同， 所以至少有一个抽屉里有 10 个木块，所以一次至少要取 36+1=37（个）木块才能达到要求。 3、有 5 个药箱,每 2 个药箱里有一种相同的药,每种药恰好在 2 个药箱里出现,问一共有多少 种药?每个药箱里放几种药? 【分析与解答】每 2 个药箱里都有一种相同的药,所以每 2 个点都要画一条连线，又因为每 种药恰好在 2 个药箱里出现，所以连线的条数就是药的种数。 即：4× 5÷ 2=10，所以一共有 10 种药，每个药箱里放 4 种药。 4、有 10 只茶杯，茶杯口都朝上放在桌子上，现在规定每次翻动 9 只茶杯，共翻动 10 次， 能否把茶杯底全部朝上？为什么？ 【分析与解答】把每只茶杯编上号码（1-10 号） ，第一次翻时，1 号茶杯不动，翻动其余 9 只，第二次翻动时，2 号茶杯不动，依次类推，直到第十次翻动时，10 号茶杯不动，这样正 好每只茶杯各翻动了 9 次，10 只茶杯底都朝上。5、有两个圆柱体，已知小圆柱半径的长是大圆柱半径长的，小圆柱的体积是大圆柱体的，求小圆柱的高是大圆柱的几分之几？ 9/106、在一个圆柱形水桶里，放入一段半径为 5 厘米的圆钢，如果把它全部放进水中，桶里的 水就上升 9 厘米，如果把水中的圆钢露出水面 8 厘米，那么这时桶里的水就下降 4 厘米，求 圆柱的体积。 【分析与解答】4S=3.14× 5? × 8=3.14× 25× 8÷ 4=157 平方厘米，求出水柱的底面积后，再求上 升 9 厘米水柱的体积，就是圆钢的体积。157× 9=1413 立方厘米。7、 某工厂有一批煤， 第一天用去这批煤的， 第二天用去余下的， 第三天用去余下的，依次用去余下的 240（吨）、、，还剩 120 吨煤，则第一天、第二天共用去多少煤？1、鸡兔同笼，共有头 158 只，足 468 只，求鸡兔各几只？【分析与解答】假设笼子里全是鸡，2×158=316 只，（468-316）÷（4-2）=76 只??兔的只数，158-76=82 只??鸡的只数。 2、松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采 20 个，雨天每天只能采 12 个，它一连几 天采了 112 个松籽，平均每天采 14 个，这几天当中有几天有雨？ 【分析与解答】解：一共采了几天，112÷14=8 天，假设全是晴天，一共可以采 多少个，20×8=160 个，比实际采的多几个，160-112=48 个，有几天有雨，48÷ （20-12）=6 天。 3、有一个班的同学划船,他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人， 如果减少一条船，正好每条船坐 9 人，这个班有多少同学？ 【分析与解答】解：假设这个班共有同学 X 人，X÷6-X÷9=2，X=36。 4、一列火车通过长 320 米的隧道，用了 52 秒，当它通过长 864 米的大桥时，速 度比通过隧道时提高 1/4，结果用了 1 分 36 秒，求： （1）火车通过大桥的速度。 （2）火车车身的速度。 【分析与解答】解：设火车车身长 X 米，320+X/52×（1+1/4）=864+X/60+36， X=96。火车通过大桥时的速度为：（864+96）÷96=10 米/秒。 5、妈妈让小明给客人烧开水沏茶，洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟， 洗茶壶要用 1 分钟，洗茶杯要用 1 分钟，拿茶叶要用 2 分钟，小明估算一下，完 成这些工作要 20 分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排多少分 钟就能沏茶了？ 【分析与解答】解：先洗开水壶用 1 分钟，接着烧开水用 15 分钟，在等待水开 的过程中，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了 16 分钟， 又因为烧开水的 15 分钟不能减少，烧水前必须用 1 分钟洗开水壶，所以用 16 分钟是最少的。 6、某旅社有甲乙丙三位客人，星期二晚同住在一客房，已知甲 3 天来住一次， 乙 4 天来住一次， 丙 5 天来住一次，问下次再同住一客房过多少天？这天是星期 几？ 【分析与解答】因为 3、4、5 的最小公倍数是 60，所以 60÷7=8??4，4+2=6， 所以下次再同住一客房要过 60 天，这天是星期六。 7、甲乙两人合作清理 400 米环行跑道，两人同时从同一地点背向而行，各自进 行工作。最初甲清理的速度比乙快 1/3，中途乙曾用 10 分钟换取工具，而后工 作效率比原来提高了一倍，结果从开始工作算起，经过 1 分钟完成清理任务，且 两人清理的道路长也正好相等，问乙换取工具后又工作了多少时间？ 【分析与解答】 解： 设乙换取工具后又工作了 X 分钟， （60-10-X） ×1+2X= （1+1/3） ×60，X=30。 8、资料室有 8 本不同的语文杂志，6 本不同的数学杂志，小明从中任意取语文、 数学杂志各一本，有多少种不同的取法？ 【分析与解答】 要做的事情是从语文数学杂志中各取一本， 完成这件事要分两步， 先取一本语文杂志，（有 8 种取法）再取一本数学杂志（有 6 种取法）所以用乘 法原理解决。8×6=48 种。9、下面是由七个钉子组成的钉阵，我们依次给它们编号，分别为 1、2、3、4、 5、6、7，其中 1、2、3、4 在一条线上，用皮筋去套这些钉，问一共能套出多少 条线段？【分析与解答】1 由 1、2、3、4 四个钉构成的线段有 3+2+1=6 条。 2 固定钉 5，还剩 6 个钉，钉 5 与 6 个钉构成的线段有 6 条。 3 固定钉 6，为了避免重复钉 6 不再与钉 5 构成线段，钉 6 与其它 5 个钉构 成 5 条线段。 4 固定钉 7，为了避免重复，钉 7 不再与钉 6、钉 5 构成线段，钉 7 与其它四个 钉构成 4 条线段。所以这七个钉共套出线段：6+6+5+4=21 条。 10、数一数有多少条线段。【分析与解答】在线段 AB 上有 3 个分点，即 M、G、N，它上面线段的条数为 4+3+2+1=10 条，在线段 CD 上有 2 个分点，即 G、H，它上面线段的条数为 3+2+1=6 条，同样，在线段 E、 F 上也有 2 个分点， 它上面线段条数为 6 条， 所以共有线段条数为 10+6+6=22条8、生物小组的同学饲养兔子和鸽子，饲养 1 只兔子每天需 1 元，饲养 1 只鸽子每天需 0.5 元，该小组每月 90 元活动经费，他们能饲养多少只鸽子？多少只兔子？ 【分析与解答】方法一、只养鸽子：90÷ （0.5× 30）=6（只） 方法二、若养 1 只兔子，则还可养鸽子（90-1× 30）÷ （0.5× 30）=4（只） 方法三、若养 2 只兔子，则还养鸽子（90-2× 30）÷ （0.5× 30）=2（只） 方法四、若养 3 只兔子，则可养鸽子（90-30× 3）÷ （0.5× 30）=0（只） 9、甲乙两列火车分别从两城同时相向而行，在甲车比乙车少走 36 千米时，两车还相距 264 千米，已知两车速度的比为 5：6，这两城相距多少千米？21610、如图：环形的外圆 O1 和 02 的周长分别为 314 厘米和 251.2 厘米，求环形的宽 X.【分析与解答】由圆的周长公式 C=2∏r，可分别求出外圆半径 R=314÷2∏=157÷∏，内圆的 半径 r=251.2÷2∏=125.6÷∏,所以 X=R-r=157÷∏-125.6÷∏=31.4÷3.14=10（厘米） 。1、 四位小朋友， 他们的年龄是四个连续的自然数。 这四个自然数的乘积是 3024。 问这四个小朋友当中年龄最小的是几岁？ 【分析与解答】3024 是四位小朋友的年龄乘积，只要我们把 3024 分解质因数再 按照每组相差 1 来分成四组，这四组数就是每位小朋友的年龄。 ×2×2×3×3×3×7=（2×3）×7×（2×2×2）×（3×3）=6×7×8×9所以年龄最小的是 6 岁。2、客车和货车从甲、乙两地同时相对开出，经过 3 小时客车行了全程的，货车行了全程的 ，哪一辆车离中点近一些？ 【分析与解答】客车每小时行全程的 1/4，货车每小时行全程的 1/5，可见客车 行的快一些。经过 3 小时两车都超过了中点，那么一定是客车离中点远一些，货 车离中点近一些。 3、6 个人挖 6 米长的沟需要 6 小时，计划用 100 小时挖 100 米长的沟要用几个 人？ 【分析与解答】我们可把 6 个人看成是一个小组，工作进度是 6 小时，挖沟 6 米，也就是 1 小时挖沟 1 米，同样是这 6 个人，10 小时可以挖沟 10 米，100 小 时就可以挖沟 100 米。因此可知，100 小时挖 100 米长的沟要用 6 个人。 4、某校学生去春游，有 9 个同学去划船，每次只能有 4 个人一同上船去划，其 余的人在岸边休息。他们共划了 3 小时，请问，平均每人要在岸边休息几分钟？ 【分析与解答】因为每次只能有 4 个人去划船，共划了 3 小时，即共划了 180 分钟。假设每次只能有 1 人去划船，这个人划 180×4=720（分钟），可得每人 划船的时间为：720÷9=80（分钟），每人在岸边休息：180-80=100（分钟）。 5、有一天，小明、小军和小刚三人去打乒乓球，大家约定一共玩 2 小时，并且 要每个人打球的时间都相等。小刚抢着说，每人打 40 分钟，小明说 60 分钟，小 军说打 80 分钟，三人各人说各人的道理，争得面红耳赤，谁也说服不了谁，那 么究竟是谁说得对，我们来帮助他们分析一下。 【分析与解答】因为打乒乓球是二个打的，三个人一共打 2 小时即三个人打 120 分钟。假定是一个人打乒乓球，120 分钟除以 3，每人打 40 分钟，因为是二个人 同时打的，再 40 分钟乘以 2，得 80 分钟，即三个人平均每人打乒乓球的时间： 120÷3×2=80（分钟）。 6、警车从甲地开往乙地，客车、货车从乙地开往甲地，现三辆车同时出发，警 车在途中与客车相遇后，又经过 0.5 小时遇到货车，已知警车每小时行 80 千米， 客车每小时行 60 千米， 货车每小时行 50 千米， 甲乙两地之间的路程是多少千米？ 【分析与解答】从警车、客车、货车三辆同时出发到警车与客车这段时间里，客 车比货车多行的路程就是警车、 货车 0.5 小时内共行的路程， 即 （80+50） ×0.5=65 千米，这样可以求出警、客两车相遇的时间是 65÷（60-50）=6.5（小时），所 以甲乙两地之间的路程是（80+60）×6.5=910（千米）。 7、A、B 两地相距 3000 米，甲、乙两人分别以每分钟 75 米和 65 米的速度同时 从 A 向 B 出发，同时丙以每分钟 80 米的速度从 B 向 A 出发，丙在多少分钟后， 恰好位于甲乙两人之间距离的中点处？ 【分析与解答】 出题意在同一时间里，乙丙相距的距离等于甲比乙多行距离的一 半，得丙行的时间：3000÷（65+（75-65）/2+80）=20（分钟）8、甲乙两辆汽车分别 A、B 两地同时出发，相向而行，两车出发时的速度比是 5：3，相遇后，甲车的速度提高了 20%，乙车的速度提高了 40%，这样，当甲 到达 B 地时，乙车离 A 地还有 58 千米，求 A、B 两地之间的距离。 【分析与解答】[5×（1+20%）]：[3×（1+40%）]=10：7 58÷（5-3÷10×7）=20（千米） 20×（5+3）=160（千米） 9、甲乙两个水桶都没有装满水，如果将甲桶里的水倒入乙桶，乙桶被装满后， 甲桶里还剩 4 升水， 如果将乙桶里的水全部倒入甲桶， 甲桶还能装 6 升水， 又知， 甲桶的容量是乙桶的 1.5 倍，那么甲乙两桶中共有多少升水？ 【分析与解答】我们先将题目中的第一个条件,如果将甲桶里的水倒入乙桶，乙 桶被装满后，甲桶里还剩 4 升水可知，如果将乙桶里的水全部倒入甲桶，这就相 当于把甲桶里倒出去的水又倒进来，再把乙桶里的水倒入甲桶。得出：（4+6） 升水， 相当于乙桶容量的 1.5-1=0.5 倍， 故知， 乙桶容量为 （4+6） ÷0.5=20 （升） ， 甲桶容量为 20×1.5=30（升），甲乙两桶中共有水 30-6=24（升）。 10、小冬和小明二人从相距 30 千米的两地出发，相向而行，小冬速度每小时 3.5 千米，小明速度每小时 2.5 千米，与小冬同时、同地、同向出发的还有一只警犬， 警犬的速度每小时 5 千米，警犬碰到小明回头向小冬跑,碰到小冬回头向小明 跑??这只警犬往返于二人之间，直到相遇为止，相遇时，这只警犬跑了多少千 米？ 【分析与解答】题意与小冬同时、同地、同向出发的这只警犬，中途往返于二人 之间，直到他们相遇，说明他们二人相遇时间就是警犬在中间跑的时间。得出： 30÷（3.5+2.5）=5（小时） 5×5=25（千米） 1、农民伯伯要挑两筐西瓜，甲筐有西瓜 8 只，每只重 6 千克；乙筐有西瓜９只， 每只重４千克，从甲筐拿出几只西瓜给乙筐，这副担子两边重量才相等？ 分析与解答： 甲筐有西瓜８只， 每只重６千克， 甲筐西瓜共重６×８＝48 （千克） 。 乙筐有西瓜 9 只，每只重 4 千克，乙筐西瓜共重 4×9＝36（千克）。甲筐比乙 筐重 48－36＝12（千克），把 12 千克平均分成 2 份，12÷2＝6（千克），从甲 筐拿出 6 千克放入乙筐，这副担子两边重量就相等了，甲筐每只西瓜重 6 千克， 所以，只要拿出 6÷6＝1（只）西瓜就行了。 2．一筐萝卜连筐共重 20 千克，卖了四分之一的萝卜后，连筐重 15．6 千克这个 筐重多少千克？ 分析解答：由题意可知，萝卜的四分之一等于 20-15.6=4.4 千克，萝卜重 4.4÷1/4=17.6 千克，所以这个筐重 20-17.6=2.4 千克。 3．A、B、C、D 四位同学看演出，他们同坐一排且相邻，座号从东到西依次是 1 号、2 号、3 号、4 号。散场后他们遇到小明，小明问：你们分别坐在几号座位。 D 说：B 坐在 C 的旁边，A 坐在 B 的西边。这时 B 说：D 全说错了，我坐在 3 号座 位。 假设 B 的说法正确， 那么 4 号座位上坐的是____________________________。 ， 则这个筐重____________千克。分析解答：因为 B 的说