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我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？&监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...
& &对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：
& & & & （1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
& & & & （2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
& & & & （3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。
　&最常用的是普通最小二乘法（）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。
&　样本回归模型：
& & & & & & & & &&& & & & & & & & & &其中ei为样本（Xi,&Yi）的误差
& &平方损失函数：
& & & & & & & & & & &&
& &则通过Q最小确定这条直线，即确定，以为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：
& & & & & & & & & && &&
& & 根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。
& & 解得：
& & & & & & & & & &
这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。
最小二乘法的C语言实现：
最小二乘法C++实现
参数1为输入文件
输出： 预测的y
#include&iostream&
#include&fstream&
#include&vector&
class LeastSquare{
LeastSquare(const vector&double&& x, const vector&double&& y)
double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;
for(int i=0; i&x.size(); ++i)
t1 += x[i]*x[i];
t2 += x[i];
t3 += x[i]*y[i];
t4 += y[i];
a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);
// 求得β1
b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);
// 求得β2
double getY(const double x) const
return a*x +
void print() const
cout&&&y = &&&a&&&x + &&&b&&&\n&;
int main(int argc, char *argv[])
if(argc != 2)
cout&&&Usage: DataFile.txt&&&
return -1;
vector&double&
ifstream in(argv[1]);
for( in&&d; )
x.push_back(d);
int sz = x.size();
vector&double& y(x.begin()+sz/2, x.end());
x.resize(sz/2);
LeastSquare ls(x, y);
ls.print();
cout&&&Input x:\n&;
double x0;
while(cin&&x0)
cout&&&y = &&&ls.getY(x0)&&
cout&&&Input x:\n&;
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(1)(1)(1)(1)(3)(4)(5)(4)(8)非负约束最小二乘算法,nonnegative constrained least-squares algorithm,音标,读音,翻译,英文例句,英语词典
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1)&&nonnegative constrained least-squares algorithm
非负约束最小二乘算法
2)&&constrained least square algorithm
约束最小二乘算法
约束加权最小二乘算法
In this paper, we investigate the Constrained Weighted Least Squares(CWLS) algorithms for Time Difference of Arrival (TDOA) based mobile user location in wireless communication systems.
本文主要对无线定位中基于 TDOA的一种约束加权最小二乘算法进行了研究。
4)&&restricted least-square algorithm
约束最小二乘法
5)&&nonnegative least
非负最小二乘法
Both nonnegative least Squares regression and least Squares regression are used in the iterative regression to obtain the pure spectral and pure chromatographic profiles.
采用正交投影法获得初始迭代光谱，继采用非负最小二乘法和常规最小二乘法进行交替迭代，最终获得纯光谱和纯色谱向量。
6)&&constrained nonlinear least square
约束非线性最小二乘
补充资料：负乘
1.负载，乘坐。
2.见"负乘致寇"。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。最小二乘法和梯度下降法有哪些区别？ - 知乎596被浏览79392分享邀请回答1448 条评论分享收藏感谢收起9816 条评论分享收藏感谢收起更多3 个回答被折叠（）您所在位置： &
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最小二乘法原理，VC++实现及应用
毕业设计.doc 41页
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北京信息科技大学毕业设计（论文）题目最小二乘法原理，VC++实现及应用学院理学院专业信息与计算科学学生姓名班级/学号指导老师/督导老师起止时间：年月日至年月日
摘要最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，是利用最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配的一种计算方法[1]，目前在测量学、城市道路规划、物理学、地质勘探学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。本文对最小二乘法进行了深入细致的研究，利用VisualC++编制程序实现最小二乘法的界面化设计，通过实验数据的输入，实现线性和二次拟合曲线的输出，并利用设计的程序实现了一些实际问题的求解和处理。关键词：最小二乘法；曲线拟合；VisualC++AbstractTheleastsquaremethod(alsocalledtheleast-squaremethod)isakindofmathematicaloptimizationtechnique,anditisacalculationmethodminimizingtheerrorsumofsquarestofindthebestfunctionmatchingofthedata,ithasbeenwidelyappliedinthefieldofsurveying,urbanroadplanning,physics,geologicalexploration,science,probabilitytheoryandstatisticsetc.Inthispaper,westudytheleastsquaremethodcarefully,anduseVisualC++programtorealizetheleastsquaremethodoftheinterfacedesign,throughtheexperimentdatainput,realizetheoutputtothelinearandsecondarycurvefitting,anduseprogramsdesignedtoachieveanumberofpracticalproblemssolvingandhandling.Keywords:TTVisualC++;目录摘要 ⅠAbstract Ⅱ第一章概述 Ⅲ1.1最小二乘法简介 11.2VC++的介绍及其应用 21.3论文的主要结构安排 3第二章基本理论 42.1线性拟合曲线 42.2二次拟合函数 52.3多元线性拟合 6第三章最小二乘法曲线拟合的VC++实现 93.1程序实现最小二乘法流程图 93.2界面设计 103.3主要函数类 143.4程序设计中的问题 15第四章 最小二乘法的应用 164.1测定铜丝的电阻温度系数 164.2最小二乘法在道路中心线测量中应用 194.3最小二乘法在工业纯碱中铁含量测定中的应用 214.4应用效果分析 23结束语 24参考文献 25
概述1.1最小二乘法简介最小二乘法是法国大数学家A.M.Legendre最先于1805年发表的，其动机是为处理一类从天文学和测地学中提出的数据分析问题。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小[3]。最小二乘法还可用于曲线拟合，工程施工中，我们会经常取得一些相关的数据，这些数据往往来自与施工密切相关的测量或实验中，我们可以通过作图或多段插值取得变量之间的联系，但作图和插值查图往往误差较大。这时可采用最小二乘法先拟合出一个多项式，再根据此多项式求解任一自变量所对应的因变量较精确的结果，据此绘图可得到较精确、较合理的曲线[4]。1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星[2],经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执[5]。1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小
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