某商店同时卖出两件商品，每件各得36元，但其中一件赚了25%，另一件亏了25%，则这个商店卖出这两件商品是亏（赚或亏）了4.8元．
一条环形公路上有五个仓库（如图），数字表示各段路的千米数，A仓存粮50吨，B仓存粮5吨，C仓存粮10吨，D仓存粮35吨．现在要调整存放数，每个仓库存粮各20吨．已知每吨粮运1千米为5元，那么完成上述调运计划，最节省的方案运费需要525元．
从1开始依次将自然数写出来：…从左向右数，数到第12个数字起将开始第一次出现三个连续的1，数到第556个数字起将开始第一次出现五个连续的2．
有一根长240厘米的绳子，从一端开始每4厘米作一个记号，每6厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成80段．
四个连续自然数的积是24024，这四个自然数的和是50．
甲、乙两人手里各有一些画片，如果甲给乙12张画片，则他俩手里的画片数相等，如果乙给甲12张画片，则甲的画片数是乙的4倍，则甲原有画片52张．
甲、乙两人玩摸牌游戏，将点数分别为2，3，4，5的四张牌反扣在桌面上．游戏规则是：甲任意抽取两张牌，如果它们的积只是2的倍数，甲获胜；如果它们的积只是3的倍数，乙获胜；如果它们的积同时是2和3的倍数，就重来．（1）这个游戏公平吗？为什么？（2）如果不公平，你能换一张牌，让游戏变公平吗？
怎样求出西瓜的中位数？平均每个西瓜重多少千克？用哪个数量表示西瓜重量的平均水平最合适？
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！
请输入姓名
请输入手机号当前位置： >>
小学五年级奥数题
小学五年级奥数题 一、 小数的巧算 （一）填空题1. 计算 1.996+19.97+199.8=_____。 答案：221.766。 解析：原式=(2-0.004)+(20-0.03)+(200-0.2) =222-(0.004+0.03+0.2) =221.766。 2. 计算 1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+
19.19=_____。 答案：103.25。 解析：原式=1.1 ? (1+3+?+9)+1.01 ? (11+13+?+19) =1.1 ? 25+1.01 ? 75 =103.25。 3. 计算 2.89 ? 4.68+4.68 ? 6.11+4.68=_____。 答案：46.8。 解析：4.68×（2.89+6.11+1）=46.8 4. 计算 17.48 ? 37-17.48 ? 19+17.48 ? 82=_____。 答案：1748。 解析: 原式=17.48×37-17.48×19+17.48×82 =17.48×(37-19+82) =17.48×100 =1748。 5. 计算 1.25 ? 0.32 ? 2.5=_____。 答案：1。 解析：原式=(1.25 ? 0.8) ? (0.4 ? 2.5) =1 ? 1 =1。 6. 计算 75 ? 4.7+15.9 ? 25=_____。 答案：750。 原式=75 ? 4.7+5.3 ? (3 ? 25) =75 ? (4.7+5.3) =75 ? 10 =750。 7. 计算 28.67 ? 67+3.2 ? 286.7+573.4 ? 0.05=____。 答案：2867。 原式=28.67 ? 67+32 ? 28.67+28.67 ? (20 ? 0.05) =28.67 ? (67+32+1) =28.67 ? 100 =2867。（二）解答题8. 计算 172.4 ? 6.2+2724 ? 0.38。 答案：原式=172.4 ? 6.2+() ? 0.38 =172.4 ? 6.2+1724 ? 0.38+1000 ? 0.38 =172.4 ? 6.2+172.4 ? 3.8+380 =172.4 ? (6.2+3.8)+380 =172.4 ? 10+380 =04。 9.。 答案：181 是三位,11 是两位,相乘后 181 ? 11=1991 是四位,三位加两位是五位, 因此 1991 前面还要添一个 0,又 963+,所以 0. 00?0181 ? 0.00?011=0.00? 个 0 1028 个 0 1992 个 0 。10.计算 12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.23。 答案：9 个加数中,十位、个位、十分位、百分位的数都是 1~9，所以， 原式=11.11 ? (1+2+?+9) =11.11 ? 45 =499.95 。二、数的整除性 （一）填空题1. 四位数“3AA1”是 9 的倍数，那么 A=_____。 答案：7。 解析：已知四位数 3AA1 正好是 9 的倍数,则其各位数字之和 3+A+A+1 一定是 9 的倍数,可能是 9 的 1 倍或 2 倍,可用试验法试之。 设 3+A+A+1=9,则 A=2.5,不合题意.再设 3+A+A+1=18,则 A=7,符合题意。事实 上,3771 ? 9=419。 2. 在“25□79 这个数的□内填上一个数字,使这个数能被 11 整除,方格内应填 _____。 答案：1。 解析： 这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是 0 或是 11 的倍数,那么这 个数能被 11 整除.偶数位上数字和是 5+7=12,因而,奇数位上数字和 2+□+9 应等 于 12,□内应填 12-2-9=1。 3. 能同时被 2、3、5 整除的最大三位数是_____。 答案：990。解析：要同时能被 2 和 5 整除,这个三位数的个位一定是 0。要能被 3 整除,又要 是最大的三位数,这个数是 990。 4. 能同时被 2、5、7 整除的最大五位数是_____。 答案：99960。 解析： 解法一: 能被 2、 整除,个位数应为 0,其余数位上尽量取 9,用 7 去除 999 5 □0,可知方框内应填 6。所以,能同时被 2、5、7 整除的最大五位数是 99960。 解法二: 或者这样想,2,5,7 的最小公倍数是 70,而能被 70 整除的最小六位 是 100030。它减去 70 仍然是 70 的倍数,所以能被 2,5,7 整除的最大五位数是 =99960。 5. 1 至 100 以内所有不能被 3 整除的数的和是_____。 答案：3367。 解析：先求出 1~100 这 100 个数的和,再求 100 以内所有能被 3 整除的数的和, 以上二和之差就是所有不能被 3 整除的数的和。 (1+2+3+?+100)-（3+6+9+12+?+99） =(1+100) ? 2 ? 100-(3+99) ? 2 ? 33 = =3367 。 6. 所有能被 3 整除的两位数的和是______。 答案：1665。 解析：能被 3 整除的二位数中最小的是 12,最大的是 99,所有能被 3 整除的二位 数如下: 12,15,18,21,?，96，99 这一列数共 30 个数，其和为 12+15+18+?+96+99 =(12+99) ? 30 ? 2 =1665 。 7. 已知一个五位数□691□能被 55 整除,所有符合题意的五位数是_____。 答案：96910 或 46915。 解析： 五位数 A691B 能被 55 整除,即此五位数既能被 5 整除,又能被 11 整除。 所 以 B=0 或 5。 B=0 时, A6910能被 11 整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2 能被 11 整 当 除,因此 A=9； B=5 时,同样可求出 A=4。 当 所以,所求的五位数是 96910 或 46915。 （二）解答题 8. 173□是个四位数字，数学老师说： “我在这个□中先后填入 3 个数字, 所得到的 3 个四位数,依次可被 9、11、6 整除。 ”问：数学老师先后填入的 3 个 数字的和是多少？ 答案：∵能被 9 整除的四位数的各位数字之和能被 9 整除， 1+7+3+□=11+□ ∴□内只能填 7。 ∵能被 11 整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和 所得的差能被 11 整除。 ∴ (7+□)-(1+3)=3+□ 能被 11 整除, ∴□内只能填 8。∵能被 6 整除的自然数是偶数,并且数字和能被 3 整除, 而 1+7+3+□=11+□, ∴□内只能填 4。 所以,所填三个数字之和是 7+8+4=19。 9．在 1992 后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被 2、3、5、11 整除，这个七位数最小值是多少？ 解析： 设补上的三个数字组成三位数 abc,由这个七位数能被 2,5 整除,说明 c=0； 由这个七位数能被 3 整除知 1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c 能被 11 整除， 从而 a+b 能 被 3 整除；由这个七位数又能被 11 整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1 能被 11 整除；由所组成的七位数应该最小,因而取 a+b=3,a-b=1,从而 a=2,b=1。 所以这个最小七位数是 1992210。[注]小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能被 2,3,5,11 整除的条件,这个七位数必定 是 2,3,5,11 的公倍数,而 2,3,5,11 的最小公倍数是 2 ? 3 ? 5 ? 11=330。这 样,1992000 ? 330=，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即 0-120)=1992210。10．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成 3 张其他票券,也可以反过来交换。 试问,合作社成员瓦夏能否将 100 张黄油票换成 100 肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了 1991 张票券？ 答案：不可能。 由于瓦夏原有 100 张票,最后还有 100 张票,所以他作了多少次“两换三”, 那么也就作了多少次“三换两”,因此他一共出手了 2k+3k=5k 张票,而 1991 不是 5 的倍数。三 质数与合数 （一）填空题1. 在一位的自然数中， 既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的 有_____；既是偶数又是质数的有_____。 答案：9，1，2。 解析：在一位自然数中,奇数有:1,3,5,7,9,其中仅有 9 为合数,故第一个空填 9。 在一位自然数中,质数有 2、3、5、7，合数有 4、6、8、9，所以既不是合 数又不是质数的为 1。 在一位自然数中,偶数有 2、4、6、8，所以既是偶数又是质数的数为 2。 2. 最小的质数与最接近 100 的质数的乘积是_____。 答案：202。 解析：最小的质数是 2,最接近 100 的质数是 101,它们的乘积是 2 ? 101=202。 3．两个自然数的和与差的积是 41，那么这两个自然数的积是_____。 答案：420。 解析： 首先注意到 41 是质数,两个自然数的和与差的积是 41,可见它们的差是 1, 这是两个连续的自然数,大数是 21,小数是 20,所以这两个自然数的积是 20 ? 21=420。 4. 在下式□中分别填入三个质数,使等式成立。 □+□+□=50 答案：2、5、43。解析：接近 50 的质数有 43,再将 7 分拆成质数 2 与质数 5 的和.即 2+5+43=50。 另外,还有 2+19+29=50， 2+11+37=50。[注]填法不是唯一的，如也可以写成41+2+7=50。 5. 三个连续自然数的积是 1716,这三个自然数是_____、_____、_____。 答案：11,12,13。 解析：将 1716 分解质因数得： 1716=2 ? 2 ? 3 ? 11 ? 13 =11 ? (2 ? 2 ? 3) ? 13 由此可以看出这三个数是 11,12,13。 6. 找出 1992 所有的不同质因数,它们的和是_____。 答案：88。 解析：先把 1992 分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和。 1992=2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 83 所以 1992 所有不同的质因数有:2,3,83。它们的和是 2+3+83=88。 7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____。 答案：210。 解析：最小的四个质数是 2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是 2 ? 3 ? 5 ? 7=210。(二）解答题8．2，3，5，7，11，?都是质数，也就是说每个数只以 1 和它本身为约数。已 知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是 36 个单位。 问这个长方形的 面积至多是多少个平方单位? 答案：由于长+宽是 36 ? 2=18， 将 18 表示为两个质数和 18=5+13=7+11， 所以长方形的面积是 5 ? 13=65 或 7 ? 11=77， 故长方形的面积至多是 77 平方单位。 9. 把 7、14、20、21、28、30 分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。 答案：先把 7，14,20,21,28,30 分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数, 再分摊在两组中,使两组数乘积相等。 14=7 ? 2 20=2 ? 2 ? 5 21=3 ? 7 28=2 ? 2 ? 7 30=2 ? 3 ? 5 7 从上面五个数分解质因数来看,连 7 在内共有质因数四个 7,六个 2,二个 3, 二个 5,因此每组数中一定要含三个 2,一个 3,一个 5,二个 7。 六个数可分成如下两组(分法是唯一的): 第一组: 7、28、和 30 第二组：14、21 和 20 且 7 ? 28 ? 30=14 ? 21 ? 20=5880 满足要求。[注]解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语： “使两组数的乘积相等” 。实质上是 要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同。10. 学生 1430 人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在 100 至 200 之 间,问哪几种分法? 答案：把 1430 分解质因数得： 1430=2 ? 5 ? 11 ? 13 根据题目的要求,应在 2、 11 及 13 中选用若干个数， 5、 使它们的乘积在 100 到 200 之间，于是得三种答案： （1）2 ? 5 ? 11=110； （2）2 ? 5 ? 13=130； （3）11 ? 13=143. 所以,有三种分法:一种是分为 13 队,每队 110 人； 二是分为 11 队， 每队 130 人；三是分为 10 队，每队 143 人。四 约数与倍数1．28 的所有约数之和是_____。 答案：56。 解析：28 的约数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为 1+2+4+7+14+28=56。 2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法。 答案：4。 解析：因为 105 的约数有 1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的长方形的长与宽分别 是 105 和 1,35 和 3,21 与 5,15 与 7。所以能拼成 4 种不同的长方形。 3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是 28 的约数,十位数字与个位数字的 积是 24.这个两位数是_____。 答案：64。 解析： 因为 28=2 ? 2 ? 7,所以 28 的约数有 6 个:1,2,4,7,14,28。 在数字 0,1,2,?， 9 中，只有 6 与 4 之积，或者 8 与 3 之积是 24，又 6-4=2，8-3=5。故符合题目 要求的两位数仅有 64。 4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树 667 棵, 如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人。 答案：28。 解 析 ： 因 为 667=23 ? 29, 所 以 这 班 师 生 每 人 种 的 棵 数 只 能 是 667 的 约 数:1,23,29,667.显然,每人种 667 棵是不可能的。 当每人种 29 棵树时,全班人数应是 23-1=22,但 22 不能被 4 整除,不可能。 当每人种 23 棵树时,全班人数应是 29-1=28,且 28 恰好是 4 的倍数,符合题 目要求。 当每人种 1 棵树时,全班人数应是 667-1=666,但 666 不能被 4 整除,不可能。 所以,一班共有 28 名学生。 5. 两个自然数的和是 50,它们的最大公约数是 5,则这两个数的差是_____。 答案：40 或 20。 解析：两个自然数的和是 50,最大公约数是 5,这两个自然数可能是 5 和 45,15 和 35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填 40 或 20。[注]这里的关键是依最大公约数是 5 的条件,将 50 分拆为两数之和:50=5+45=15+35。6. 现有梨 36 个,桔 108 个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等, 最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个。 答案：36,1,3。 解析：要把梨 36 个、桔子 108 个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔 子相等，小朋友的人数一定是 36 的约数，又要是 108 的约数，即一定是 36 和 108 的公约数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是 36 和 108 的最大公约数。36 和 108 的最大公约数是 36,也就是可分给 36 个小朋友。 每个小朋友可分得梨: 36 ? 36=1(只)， 每个小朋友可分得桔子: 108 ? 36=3(只)， 所以,最多可分得 36 个小朋友,每个小朋友可分得梨 1 只,桔子 3 只。 7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片 _____块。 答案：56。 解析：剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长 48 厘米及宽 42 厘米,所 以它是 48 与 42 的公约数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是 48 与 42 的最大公约数。 因为 48=2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3,42=2 ? 3 ? 7,所以 48 与 42 的最大公约数是 6。这样, 最大正方形的边长是 6 厘米。 由此可按如下方法来剪:长边每排剪 8 块,宽边可剪 7 块,共可剪(48 ? 6) ? (42 ? 6)=8 ? 7=56(块)正方形布片。 8．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公约数是 1，但两两均不互质，请 问有多少组这种解？ 答案：三组。 解析： 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分 别是 2,3 和 5,这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组。 9．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？ 答案：四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公约 数应该是 1111 的约数。将 1111 作质因数分解,得 1111=11 ? 101 最大公约数不可能是 1111,其次最大可能数是 101.若为 101,则将这四个数分别 除以 101,所得商的和应为 11。现有 1+2+3+5=11, 即存在着下面四个数 101,101 ? 2,101 ? 3,101 ? 5, 它们的和恰好是 101 ? (1+2+3+5)=101 ? 11=1111, 它们的最大公约数为 101，所以 101 为所求。 1 3 10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 米，黄鼠狼每次跳 2 米，它 2 4 3 们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔 12 米设有一个陷井,当它们之 8 中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米? 3 3 99 答案：黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2 与 12 的“最小公倍数” ，即 4 8 499 11 1 3 ? =9 次掉进陷井， 狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是 4 和 12 的 “最 2 8 4 4 99 99 9 小公倍数” ，即跳了 ? =11 次掉进陷井。 2 2 2 经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是 1 4 ? 9=40.5(米)。 2跳了五 带余数除法 （一）填空题1．小东在计算除法时，把除数 87 写成 78，结果得到的商是 54，余数是 8.正确 的商是_____,余数是_____。 答案：48,44。 解析：依题意得：被除数=78 ? 54+8=4220，而 4220=87 ? 48+44,所以正确的商是 48,余数是 44。 2. a ? 24=121??b,要使余数最大，被除数应该等于_____。 答案：2927。 解析：因为余数一定要比除数小,所以余数最大为 23,故有， 被除数=24 ? 121+23=2927。 3. 一个三位数被 37 除余 17,被 36 除余 3,那么这个三位数是_____。 答案：831 解析：这个三位数可以写成： 37 ? 商+17=36 ? 商+(商+17)。 根据“被 36 除余 3” 。(商+17)被 36 除要余 3。商只能是 22(如果商更大的 话,与题目条件“三位数”不符合)。 因此,这个三位数是 37 ? 22+17=831。 4. 393 除以一个两位数,余数为 8,这样的两位数有_____个,它们是_____。 答案：11,35,55,77。 解析：393 减 8,那么差一定能被两位数整除。 ∵393-8=385， 385=5 ? 7 ? 11=(5 ? 7) ? 11=(5 ? 11) ? 7=(7 ? 11) ? 5， ∴385 能被两位数 11，35，55，77 整除。本题的答案是 4 个:11,35,55,77。5. 31453 ? 68765 ? 987657 的积,除以 4 的余数是_____。 答案：1。 解析：∵31453 ? 4=65 ? 4=657 ? 4= 1 ? 1 ? 1=1 ∴31453 ? 68765 ? 987657 的积除以 4 余数是 1。 6. 888??8 乘以 666??6 的积，除以 7 余数是_____。50 个 8 50 个 6答案：5。 解析： 因为 111111 能被 7 整除,所以 888888 和 666666 均能被 7 整除。 50=6 ? 8+2, 而 故得被乘数与 88 被 7 除的余数相同,乘数与 66 被 7 除的余数相同,进而得:被乘 数被 7 除余 4,乘数被 7 除余 3。所以乘积与(4 ? 3=)12 被 7 整除的余数相同。因 此得乘积被 7 除的余数是 5。 7. 如果时针现在表示的时间是 18 点整,那么分针旋转 1990 圈之后是_____点钟。 答案：16。 解析： 因为分针旋转一圈为一个钟头,所以分针旋转 24 圈,时针旋转 2 圈.若以现 时 18 点整为起点与终点,这样时针又回到 18 点整的位置上。 由 1990 ? 24=82?余 22，可知那时时钟表示的时间应是 16 点整。（二）解答题8．幼儿园某班学生做游戏，如果每个学生分得的弹子一样多，弹子就多 12 颗， 如果再增加 12 颗弹子， 那么每个学生正好分得 12 颗，问这班有多少个学生？原 有多少颗弹子？ 答案：依题意知，原来每个学生分相等的若干颗，余 12 颗，则学生人数大于 12. 同时由增加 12 颗后每个学生正好分得 12 颗,即 12+12=24(颗),24 能被班级人数 整除,又 24 能分解为 24=1 ? 24=2 ? 12=3 ? 8=4 ? 6由班级人数大于 12,可知符合题意的是 24 人。所以,共有弹子数 12 ? 24-12=276(颗)。 9．已知：a=??1991,问：a 除以 13,余数是几？1991 个 1991答案： 用试除的方法可知: 可以被 13 除尽。 原数 a 有 1991 个 1991. 因为 1991 除以 3 余 2,所以 a 与
除以 13 所得余数相同。又
除以 13 余 8,所以 a 除以 13 的余数也是 8。 10．100 个 7 组成的一百位数,被 13 除后,问： (1)余数是多少？ (2)商数中各位数字之和是多少？ 答案：因为 777777 ? 13=59829,即 777777 能被 13 整除,把这 100 个 7,从第一个 起,每 6 个分成一组,100 ? 6=16?4，共 16 组还多 4 个。 每一组除以 13 的商都是
除以 13 的商是 598,余数是 3。 所以,100 个 7 组成一百位数除以 13 后,余数是 3,商数中各位数字之和是 (5+9+8+2+9) ? 16+(5+9+8) =550。六 中国剩余定理 （一）填空题1. 有一个数，除以 3 余数是 1，除以 4 余数是 3，这个数除以 12 余数是_____。 答案：7。 解析：因为除以 3 余数是 1 的数是 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,? 除以 4 余数是 3 的数是 3,7,11,15,19,23,27,31? 所以，同时符合除以 3 余数是 1，除以 4 余数是 3 的数有 7，19，31，? 这些数除以 12 余数均为 7。 2. 一个两位数,用它除 58 余 2,除 73 余 3,除 85 余 1,这个两位数是_____。 答案：14。 解析：用一个两位数除 58 余 2,除 73 余 3,除 85 余 1,那么 58-2=56, 73-3=70,85-1=84 能被这个两位数整除,这个两位数一定是 56、70 和 84 的公约 数. 2 56 70 84 7 28 4 35 5 42 6由可可见,56、70、84 的两位数公约数是 2 ? 7=14，可见这个两位数是 14。3. 学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组 2.61 元,第二组 3.19 元,第三组 2.61 元,第四组 3.48 元,又知道每本练习本价格都超过 1 角,全 班共有_____人。 答案：41 解析：根据题意得： 319-261=练习本单价 ? 第二、一组人数之差， 348-319=练习本单价 ? 第四、二组人数之差。即 练习本单价 ? 第二、一组人数之差=58, 练习本单价 ? 第四、二组人数之差=29， 所以,练习本单价是 58 与 29 的公约数,这样,练习本的单价是 29 分,即 0.29 元。 因此,全班人数是 (2.61 ? 2+3.19+3.48) ? 0.29 =11.89 ? 0.29 =41(人)。[注]这里为了利用练习本单价是总价的公约数这一隐含条件,将小数化成整数来考虑, 为解决问题提供了方便.这里也可直接找 261、319 和 348 的公约数，但比较困难.上述解法 从一定意义上说是受了辗转相除法的启示。4. 五年级两个班的学生一起排队出操,如果 9 人排一行,多出一个人；如果 10 人排一行，同样多出一个人.这两个班最少共有_____人。 答案： 91 解析： 如果将两个班的人数减少 1 人,则 9 人一排或 10 人一排都正好排完没有剩 余,所以两班人数减 1 是 9 和 10 的公倍数,又要求这两班至少有几人,可以求出 9 和 10 的最小公倍数,然后再加上 1.所以,这两个班最少有 9 ? 10+1=91(人)。 5. 一个数能被 3、5、7 整除，若用 11 去除则余 1，这个数最小是____。 答案：210。 解析：一个数能被 3,5,7 整除,这个数一定是 3,5,7 的公倍数.3,5,7 的公倍数依 次为:105,210,315,420,??，其中被 11 除余数为 1 的最小数是 210，所以这个 最小数是 210。 6. 同学们进行队列训练,如果每排 8 人,最后一排 6 人；如果每排 10 人，最后一 排少 4 人，参加队列训练的学生最少有_____人。 答案：46 人。 解析：如果总人数少 6 人,则每排 8 人和每排 10 人,均恰好排完无剩余。由此可 见,人数比 10 和 8 的最小公倍数多 6 人,10 和 8 的最小公倍数是 40,所以参加队 列训练的学生至少有 46 人。 7. 把几十个苹果平均分成若干份,每份 9 个余 8 个,每份 8 个余 7 个,每份 4 个余 3 个.这堆苹果共有_____个。 答案：71。 解析：依题意知,这堆苹果总个数,添进 1 个苹果后,正好是 9,8,4 的倍数.因为 9,8,4 的最小公倍数是 9 ? 8=72,所以这堆苹果至少有 9 ? 8-1=71(个)。[注]本题为什么求 9,8,4 的最小公倍数呢?这是根据限制条件“这堆苹果共几十个”决 定的.若限制条件改为“这堆苹果的个数在 100-200 之间”的话，那么这堆苹果共有 9 ? 8 ? 2-1=141（个） 。因此，在解答问题时，一定要把条件看清楚，尤其要注意“隐含条件”的应用。（二）解答题8．有一盒乒乓球，每次 8 个 8 个地数，10 个 10 个地数，12 个 12 个地数，最后 总是剩下 3 个。这盒乒乓球至少有多少个? 答案：如果这盒乒乓球少 3 个的话,8 个 8 个地数,10 个 10 个地数,12 个 12 个的 数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少 3 个后是 8,10,12 的公倍数,又要求至少 有多少个乒乓球,可以先求出 8,10,12 的最小公倍数,然后再加上 3。 2 8 10 12 2 4 5 62 5 3 故 8,10,12 的最小公倍数是 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 3=120。所以这盒乒乓球有 123 个。 9. 求被 6 除余 4,被 8 除余 6,被 10 除余 8 的最小整数。 答案：设所求数为 x ,则 x +2 就能同时被 6,8,10 整除.由于[6,8,10]=120,所以 x =120-2=118。 10. 一盒围棋子,三只三只数多二只,五只五只数多四只,七只七只数多六只,若 此盒围棋子的个数在 200 到 300 之间,问有多少围棋子? 答案：设有 x 个围棋子,则 x +1 是 3,5,7 的倍数, x +1 是[3,5,7]=3 ? 5 ? 7=105 的 倍数, x +1=210, x =209。七 奇数与偶数 （一）填空题1. 2，4，6，8，??是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是 320，这五个数 中最小的一个是______。 答案：60。 解析：这五个连续偶数的第三个(即中间的那一个)偶数是 320 ? 5=64。所以，最 小的偶数是 60。 2. 有两个质数,它们的和是小于 100 的奇数,并且是 17 的倍数.这两个质数是 _____。 答案：2,83。 解析：因为两个质数的和是奇数,所以必有一个是 2。小于 100 的 17 的奇数倍有 17,51 和 85 三个,17,51 与 2 的差都不是质数,所以另一个质数是 85-2=83。 3. 100 个自然数,它们的和是 10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多, 那么,这些数里至多有_____个偶数。 答案：48 解析：由于 100 个自然数的和是 10000,即 100 个自然数中必须有偶数个奇数,又 由于奇数比偶数多,因此偶数最多只有 48 个。 4. 下图是一张靶纸,靶纸上的 1、3、5、7、9 表示射中该靶区的分数.甲说:我打 了六枪,每枪都中靶得分,共得了 27 分.乙说:我打了 3 枪,每枪都中靶得分,共得 了 27 分。1 3 57 9已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是_____。 答案：甲 解析：由于分数都是奇数,6 个奇数之和为偶数,不可能是奇数 27,所以说假话的 是甲。 5. 一次数学考试共有 20 道题,规定答对一题得 2 分,答错一题扣 1 分,未答的题 不计分。考试结束后,小明共得 23 分。他想知道自己做错了几道题,但只记得未 答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下,他答错了_____道题。 答案：3。 解析：小明做错的题的数目一定是奇数个,若是做错 1 个,则应做对 12 个才会得 12 ? 2-1=23 分,这样小明共做 13 个题,未做的题的个数 7 不是偶数；若是做错 3 个，则应做对 13 个才能得 13 ? 2-3=23 分，这样未答的题是 4 个，恰为偶数个。 此外小明不可能做错 5 个或 5 个以上的题.故他做错的题有 3 个。 7. 有一批文章共 15 篇,各篇文章的页数分别是 1 页、2 页、3 页??14 页和 15 页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码。那么每篇文 章的第一页是奇数页码的文章最多有_____篇。 答案：11。 解析：根据奇数+偶数=奇数的性质,先编排偶数页的文章(2 页,4 页,?，14 页)， 这样共有 7 篇文章的第一页都是奇数页码。 然后,编排奇数页的文章(1 页,3 页,?，15 页)，根据奇数+奇数=偶数的 性质，这样编排，就又有 4 篇文章的第一页都是奇数页码。 所以,每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是 7+4=11(篇)。 7. 一本书中间的某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是 1133,这本书有_____ 页,撕掉的是第_____页和第_____页。 答案：48,21,22。 解析：设这本书的页码是从 1 到 n 的自然数,正确的和应该是1 1+2+?+n= n ( n+1) 2由题意可知，1 n ( n+1)&1133 21 1 由估算，当 n=48 时， n ( n+1)= ? 48 ? 49=-1133=43。根据书页的 2 2 页码编排,被撕一张的页码应是奇、偶，其和是奇数，43=21+22。所以,这本书有 48 页,被撕的一张是第 21 页和第 22 页。（二）解答题9．如下图，从 0 点起每隔 3 米种一棵树。如果把 3 块“爱护树木”的小木牌分 别挂在 3 棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米 为单位） 。试说明理由。03691215182124答案：相距最远的两块木牌的距离,等于它们分别与中间一块木牌的距离之和。 如果三块木牌间两两距离都是奇数,就会出现“奇+奇=奇” ，这显然不成立，所以 必有两块木牌的距离是偶数。 13．如图所示，一个圆周上有 9 个位置，依次编为 1~9 号.现在有一个小球在 1 号位置上。第一天顺时针前进 10 个位置,第二天逆时针前进 14 个位置。以后,第 奇数天与第一天相同,顺时针前进 10 个位置,第偶数天与第二天相同,逆时针前 进 14 个位置。问:至少经过多少天,小球又回到 1 号位置。1 9 2837 6 54答案：顺时针前进 10 个位置,相当于顺时针前进 1 个位置；逆时针前进 14 个位 置，相当于顺时针前进 18-14=4（个）位置。所以原题相当于:顺时针每天 1 个 位置,4 个位置交替前进,直到前进的位置个数是 9 的倍数为止。 偶数天依次前进的位置个数: 5,10,15,20,25,30,35,40，?? 奇数天依次前进的位置个数： 1，6，11，16，21，26，31，36 ，41，?? 第 15 天前进 36 个位置，36 天是 9 的倍数，所以第 15 天又回到 1 号位置。八 周期性问题 （一）填空题1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____。 答案：二。 解析：因为 7 ? 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是 29 天，且 2 月 1 日与 2 月 29 日均为星期日，3 月 1 日是星期一，所以从这年 3 月 1 日 起到这年 6 月 1 日共经过了 31+30+31+1=93(天)。 因为 93?7=13?2，所以这年 6 月 1 日是星期二。 2. 1989 年 12 月 5 日是星期二,那么再过十年的 12 月 5 日是星期_____。 答案：日。 解析：依题意知，这十年中 1992 年、1996 年都是闰年，因此，这十年之中共有 365 ? 10+2=3652（天） 。 因为 3652 ? 7=521?5，1989 年 12 月 5 日是星期二所以再过十年的 12 月 5 日是 星期日。 3. 按下面摆法摆 80 个三角形,有_____个白色的。 ?? 答案：39。 解析：从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就 是这一排列的周期为 6，并且每一周期有 3 个白色三角形。 因为 80 ? 6=13?2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角 形 13 ? 3=39（个） 。 4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿 各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯, 小明想第 73 盏灯是_____灯。 答案：白。 解析：依题意知,电灯的安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,??这一 排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为 4。 由 73 ? 4=18?1,可知第 73 盏灯是白灯。 5. 时针现在表示的时间是 14 时正,那么分针旋转 1991 周后,时针表示的时间是 ____。 答案：13 时。 解析：分针旋转一周为 1 小时,旋转 1991 周为 1991 小时。一天 24 小 时,1991 ? 24=82?23， 1991 小时共 82 天又 23 小时.现在是 14 时正,经过 82 天仍 然是 14 时正,再过 23 小时,正好是 13 时。[注]在圆面上,沿着圆周把 1 到 12 的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组 成了我们天天见到的钟面。钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数 学问题,周期现象就是其中的一个重要方面。6. 把自然数 1,2,3,4,5??如表依次排列成 5 列，那么数“1992”在_____列。 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 1 10 ? 2 9 11 18 ? ? 答案：3。 3 8 12 17 ? ? 4 7 13 16 ? ? 5 6 14 15 ? ?解析：仔细观察题中表格。 1 2 3 4 第一组 9 8 7 10 11 12 第二组 18 17 19 20 21 第三组 27 265 6 13 16 22 25(奇数排) (偶数排) 14 (奇数排) 15 23 24 (偶数排) (奇数排) (偶数排)可发现规律如下: (1)连续自然数按每组 9 个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四 个数的规律循环排列； (2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用 9 除有如下规律:第 1 列用 9 除余数为 1,第 2 列用 9 除余数为 2,?，第 5 列用 9 除余数为。 (3)10 ? 9=1?1，10 在 1+1 组，第 1 列 19 ? 9=2?1，19 在 2+1 组，第 1 列 因为 1992 ? 9=221?3，所以 1992 应排列在（221+1）=222 组中奇数排第 3 列数的位置上。 4 7. 把分数 化成小数后，小数点第 110 位上的数字是_____。 7 答案：7。 4 解析： =0.?? 7 它的循环周期是 6，具体地六个数依次是： 5，7，1，4，2，8 110 ? 6=18?2 因为余 2，第 110 个数字是上面列出的六个数中的第 2 个，就是 7。（二）解答题8. 紧接着 1989 后面一串数字， 写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个 位数.例如 8 ? 9=72,在 9 后面写 2,9 ? 2=18,在 2 后面写 8,??得到一串数字: 1 9 8 9 2 8 6?? 这串数字从 1 开始往右数，第 1989 个数字是什么？ 答案：依照题述规则多写几个数字:6884?? 可见 1989 后面的数总是不断循环重复出现 286884，每 6 个一组，即循环周期为 6.因为(1989-4) ? 6=330?5，所以所求数字是 8。 9. 1991 个 1990 相乘所得的积与 1990 个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两 位数是多少？ 答案： 1991 个 1990 相乘所得的积末尾两位是 0,我们只需考察 1990 个 1991 相乘 的积末尾两位数即可。1 个 1991 末两位数是 91,2 个 1991 相乘的积末尾两位数 是 81,3 个 1991 相乘的积末尾两位数是 71,4 个至 10 个 1991 相乘的积的末两位 数分别是 61,51,41,31,21,11,01,11 个 1991 相乘积的末两位数字是 91，??，由此可见，每 10 个 1991 相乘的末两位数字重复出现，即周期为 10。因为 1990 ? 10=199,所以 1990 个 1991 相乘积的末两位数是 01,即所求结果是 01。 14．在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时自右至 左每隔 5 厘米也染一个红点， 然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是 1 厘米 的短木棍有多少根？ 答案： 因为 100 能被 5 整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可 以看作是从同一端点染色。 6 与 5 的最小公倍数是 30,即在 30 厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会 出现循环,每一周的长度是 30 厘米,如下图所示。6 . 5 30 12 18 24 . . . . 10 15 20 25 96 100 . 95. 90由图示可知长 1 厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第 1 周期 中,6-5=1,5 ? 5-6 ? 4=1。 剩余 10 厘米中有一段。所以锯开后长 1 厘米的短木棍共 有 7 段.综合算式为: 2 ? [(100-10) ? 30]+1 =2 ? 3+1 =7(段)。[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔 5 厘米的染色,转化为自左向右的染 色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易。九 图形的计数 （一）填空题1．下图中一共有（ ）条线段。答案：30 解析：图形中每边有 3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有 6 ? 5=30 条线段。 2. 如下图,O 为三角形 A1A6A12 的边 A1A12 上的一点,分别连结 OA2,OA3,?OA11， 这样图中共有_____个三角形。答案：37。 解析：将△A1A6A12 分解成以 OA6 为公共边的两个三角形。△OA1A6 中共有 5+4+3+2+1=15(个)三角形,△OA6A12 中共有 6+5+4+3+2+1=21(个)三角形。这样, 图中共有 15+21+1=37(个)三角形。 3. 下图中有_____个三角形。A DBC答案：15。 解析：这样的问题应该通过分类计数求解。此题中的三角形可先分成含顶点 C 的和不含顶点 C 的两大类。 含顶点 C 的又可分成另外两顶点在线段 AB 上的和在 线段 BD 上的两小类.分类图解如下:A AD B C B CA D B C B D所以原图有(3+2+1)+(3+2+1)+3 =15(个)三角形。4. 下图中共有_____个梯形。答案：18。 解析：梯形一共有三行,每行都有 3+2+1=6(个),所以一共有 6 ? 3=18(个)梯形。 5. 数一数 (1)一共有( )个长方形。 (2)一共有( )个三角形。D CA(1)B(2)答案：108,36。 解析： (1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的 可能种数。按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将 它们相乘就是所有长方形的个数。 9?8 因为 AB 边上有 8+7+6+?+2+1= =36 条线段，AD 边上有 2+1=3 条线段， 2 所以图中一共有 36 ? 3=108 个长方形。 (2)三角形一共有 6 行,每行都有 3+2+1=6(个),所以一共有 6 ? 6=36(个)三角 形。 6. 在下图中,所有长方形的个数是______。答案：30。 解析：图形中共有 12+22+32+42=30 个正方形。7. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有 4 ? 4 个钉(如右图)。以每个 钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?答案：44。 解析： 因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分 别求正方形和长方形的个数,仍用分类计数的方法求解。 先考虑有一组对边平行于 BC 的长方形有多少个。这一类按其水平边的位置 可分为 6 小类,即位置在 BF、FE、EC、FC、BE、BC。同样,其竖直边也分为 6 类。所以这一类有 6 ? 6=36 个长方形。A DBFEC另一类是没有边平行于 BC 的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示, 其中分别有 6 个和 2 个长方形。? ?? ? ??? ?? ? ??? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ????所以，一共可套出正方形和长方形 36+6+2=44 个。(二）解答题8. 右图中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之 比。 12 3 4 5 6 7(1 ? 6) ? 6 =21， 2 (1 ? 7) ? 7 黑色小三角形个数=1+2+3+?+7= =28， 2 21 3 所以它们的比= = 。 28 4 12. 下图中,AB、CD、EF、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是 O 多少？答案：白色小三角形个数=1+2+3+?+6=A C E MB D F N答案：解法一：本图中三角形的个数为(1+2+3+4) ? 4=40(个)。下面求梯形的个 数， 梯形由两底唯一确定.首先在 AB,CD,EF,MN 中,考虑两底所在的线段,共有 (4 ? 3) ? 2=6(种)选法； 对上述四条线段中确定的两条线段， 共有 10 10=4+3+2+1） （ 个梯形。共 60 个梯形，故所求差为 20。 解法二：在图 中可数出 4 个三角形,6 个梯形,梯形比三角图形图形多 2 个。 而在题图中,这种恰有 10 个。.故题图中,梯形个数与三角形的个数之差为 2 ? 10=20(个)。 13．现在都是由边长为 1 厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为 2 厘米、 4 厘米、8 厘米、9 厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的 小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要 组成这样 4 个大小不同的正方形， 总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少 个？ 答案：边长 2 厘米的正方形: 2 ? 2=4(个) ??红色 边长 4 厘米的正方形 (4-1) ? 4=12(个) ??红色(4-2) ? (4-2)=4(个) ??白色 边长 8 厘米的正方形 (8-1) ? 4=28(个) ??红色 (8-2) ? (8-2)=36(个) ??白色 边长 9 厘米的正方形 (9-1) ? 4=32(个) ??红色 (9-2) ? (9-2)=49(个) ??白色 所以,红色小正方形共有 4+12+28+32=76(个)， 白色小正方形共有 4+36+49=89(个)。 [注]本题的要求是由边长为 1 厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长 是 2 厘米,4 厘米,8 厘米,9 厘米的大小不同的正方形,可以看作方阵问题来解。 四周的小正方形是涂红色的,可看成是空心方阵。 因此,涂红色正方形的个数等于 4 ? (n-1)。其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵。所以，涂白色的正方形 的个数等于(n-2) ? (n-2).比如,由边长为 1 厘米的正方形组成边长为 9 厘米的正 方形,涂红色的小正方形的个数是:4 ? (9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数 是:(9-2) ? (9-2)=49(个)。十 图形与面积1. 如下图,把三角形 ABC 的一条边 AB 延长 1 倍到 D ,把它的另一边 AC 延长 2 倍到 E ,得到一个较大的三角形 ADE ,三角形 ADE 的面积是三角形 ABC 面积的 ______倍。答案：6 倍。 解析：过 B、D 点分别作 BG⊥AC，DH⊥AE。 由题意知，E 为 AD 的中点，得到高 BG：DH=1∶2， 底边 AC∶AE=1∶3， 根据面积公式得出：三角形 ADE 的面积是三角形 ABC 面积的 6 倍。 F 2. 如下图,在三角形 ABC 中, BC =8 厘米, AD =6 厘米, E 、 分别为 AB 和 AC 的中点。那么三角形 EBF 的面积是______平方厘米。答案：6 平方厘米。 解析：由题意知，E、F 分别为 AB、AC 的中点， 1 我们可得出， EF∥BC ， EF= BC=4厘米 。 2 1 △ BEF 的高= AD ? 3厘米 。 2 1 故，△BEF 的面积= ? 4 ? 3 ? 6平方厘米。 2 3. 有一个等腰梯形,底角为 450,上底为 8 厘米,下底为 12 厘米,这个梯形的面积应是 ______平方厘米。 答案：20 平方厘米。 解析：我们知道梯形的面积公式=（上底+下底）×高÷2。本题上底和下底已知， 我们只要求出高，面积就可得到。由题中给出的条件，底角为 45°，可以得出梯形 的高为 2 厘米，代入面积公式得到面积为 20 平方厘米。十一观察与归纳（一）填空题1. 找规律,填得数。 22=2×2=12×4=4； 222=22×22=112×4=484； 2=84； ? ? ? ? ? ? =( )2×____ =______×____ =_________。 答案：；284。 解析：根据已知等式的观察和分析,可知算式演变规律有两种形式: 其一是等积 恒变；其二是 11×11=121,111×111=12321,??。 2=84; =×4 =5284。 2. 图中第 1 格内放着一个立方体木块,木块六个面上分别写着 A, B, C, D, E, F 六 个字母,其中 A 与 D, B 与 E, C 与 F 相对.如果将木块沿着图中方格滚动,当木块 滚动到第 21 个格时,木块向上的面写的字母是______。答案：A。 解析：木块沿直线滚动 4 格,与原来的状态相同,所以木块到第 5,9,13,17，21 格时,与在第 1 格的状态相同,写的字母是 A。 3. 下面是 A, B, C 三行按不同规律排列的,那么当 A =32 时, B + C =______。A B C2 1 24 5 56 9 108 13 1710 17 26?? ?? ??答案: 318。 解析：由数表可知 A 和 B 都是等差数列,根据等差数列的通项公式an ? a1 ? (n ? 1) ? d 进行解答。当 An ? 32 时,n =(32-2)× 1 +1=16；2当 n =16 时, B16 =1+(16-1)×4=61。 再由数表可知 C 数列的相邻两项的差值 3,5,7,9,11,?,31 组成等差数列, 1 根据等差数列求和公式 S n ? ( a1 ? an )× n × 进行解答。 2 1 这 15 个差值的和是(3+31)×15× =255,则当 n =16 时, c16 =2+255=257。 2 因此,B16 ? C16 =61+257=318。4. 如图所示,在左上角(第一行第一列)的位置上画上第 1 个点,然后按箭头方向 依次画上第 2,3,4,?个点。那么,第 1999 个点在第______行第______几列。答案：27，45。 解析：正长形网格内的所有格点数之和必是平方数,如 2×2 方格网中共有格点 32=9(个),3×3 方格网中共有格点 42=16(个)。 因为 =452-26,所以第 1999 个点必在第 45 行或第 45 列上。因为 第 452 点在第 1 行第 45 列上,而 ,从第 1 行倒退 26 行,所以第 1999 个点在第 27 行第 45 列上。 5. 有一张黑白相间的相间的方格纸,用记号(2,3)表示从上往下数第 2 行,从左 往右数第 3 列的这一格(如图),那么(19,98)这一格是______色。答案：白 解析：观察归纳得:“行数+列数=奇数”时为白色,“行数+列数=偶数”时为黑色。 而 19+98 为奇数,因此(19-98)这一格是白色。 6. 如图所示,在正六边形 A 周围画出 6 个同样的正六边形(阴影部分),围成第 1 圈； 在第 1 圈外面再画出 12 个同样的正六边形,围成第 2 圈;??.按这个方法继 续画下去,当画完第 9 圈时,图中共有______个与 A 相同的正六边形。答案：271。 解析：提示:第 n 几圈有 6 n 个正六边形,所以共有 1+6×(1+2+?+9)=271(个)。 7. 下面是按规律列的三角形数阵: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ?????? 那么第 1999 行中左起第三个数是______。 答案：1995003 解析：第三行左起第三个数是 1=1； 第四行左起第三个数是 3=1+2； 第五行左起第三个数是 6=1+2+3； 第六边左起第三个数是 10=1+2+3+4； ?? 归纳可知,第 1999 行左起第三个数是 1+2+3+?+1997=2=1995003。（二）解答题8. 将自然数 1,2,3,4?按箭头所指方向顺序排列(如图),依次在 2,3,5,7,10? 等数的位置处拐弯。(1)如果 2 算作第一次拐弯处,那么第 45 次拐弯的数是什么?(2)从 1978 到 2010 的自然数中,恰好在拐弯处的数是什么? 答案：观察拐弯处的数的规律,可以得到 n 个拐弯处的数, 当 n 为奇数时为 1+(1+3+5+?+ n )=( 当 n 为偶数时为 1+2×(1+2+3+?+nn ?12)2+1；2)=(1+n2)×n2+1。(1)第 45 次拐弯处的数是(45? 12)2+1=530。89 ? 1(2)试算 n =89 时,拐弯处的数是(22)2+1=2026；n =88 时,拐弯处的数是(1+ 88 )× 88 +1=1981；2n =87 时,拐弯处的数是( 87 ? 1 )2+1=1937；2所以
中,恰在拐弯处的数是 1981。 9. 下图是一张把自然数按一定顺序排列的数表,用一个有五个空格的十字可以 框出不同的五个数字,现在框出的五个数字的四个角上的数字之和是 80,如果当 框出的五个数字的和是 500 时,四个角上数字的和是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?答案： 仔细观察十字框中的五个数里,中间一个是这五个数的平均值,也是其余四 个数的平均值,所以中间一个数可由 500÷5=100 得到,且即得四个角上数字这和 为 100×4=400。 13. 如图,在一张方格纸上画折线(用实线表示的部分),图中每个小方格的边 长为 1,从 A 点出发依次给每条直线段编号。(1)编号 1994 的直线段长是多少? (2)长度为 1994 的直线段的编号是多少?答案：通过观察列出编号与长度的关系表:编号 长度(1)(2) (3)(4) (5)(6) (7)(8) (9)(10) ?? 1 2 3 4 5 ?? 从表中看出:长度为 n 的线段编号为 2 n -1 和 2 n 。 (1)编号为 1994 的线段长为: 。 (2)长度为 1994 的线段有两条,编号分别为: =×2=3988。十二数列的求和（一）填空题1. 1～1991 这 1991 个自然数中,所有的奇数之和与所有的偶数之和的差是 ______。 答案：996。 解析：(1+3+?+1991)-(2+4+?+1990) =1+(3-2)+(5-4)+?+() =1+1+?+1 =996。 2. 计算: 1-3+5-7+9-11+?-=_____。 答案：1-3+5-7+9-11+?- =1+(5-3)+(9-7)+(13-11)+?+() =1+2+2+?+2 =1001。 3. 计算: 100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+?+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1=______。 答案：1130。 解析：100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+?+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1 =100+(99-97)+(98-96)+95+(94-92)+(93-91)+?+10+(9-7)+(8-6)+5+(4 -2)+(3-1) =(100+95+?+10+5)+2+2+?+2 (100? 5) = ? 20 ? 2 ? 40 2 =105×10+80 =1130。 4. 计算: 1992+ -1 +2 -3 +4 -5 +?+ =______。 答案：1162。1 21 31 21 31 21 31 21 3解析：1992+1 1 1 1 1 1 1 1 -1 +2 -3 +4 -5 +?+ 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 =[(2-1)+(4-3)+ ?+()]+[( - )+( - )+ ?+( - )] 2 3 2 3 2 3 1 1 =996+996×( - ) 2 3 1 =996+996×6=996+166 =1162。 5. 100 与 500 之间能被 9 整除的所有自然数之和是______。 答案：13266。 解析：100 到 500 之间 9 的倍数有 9×12,9×13,?,9×55,共 55-12+1=44 个,它 们的和是 (108? 495) ? 44 =13266。 2 6. 如左下图,一个堆放铅笔的 V 形架的最下层放 1 支铅笔,往上每一层都比它下 面一层多放一支,最上面一层放 120 支.这个 V 形架上共放了______支铅笔。答案：7260。 解析： V 型架上铅笔总数是 1+2+3+?+120=120?121 =7260(支)。 27. 一堆相同的立方体堆积如下图所示.第一层 1 个,第二层 3 个,第三层 6 个,??,第 10 层有______个立方体。答案：55。 解析：第一层有 1 个；第二层有 1+2=3 个；第三层有 1+2+3=6 个；??第十层有 10?11 1+2+3+?+10= =55(个)。 2（二）解答题8. 如下图,三角形每边 2 等分时,顶点向下的小三角形有 1 个;每边 4 等分时,顶点向下的小三角形有 6 个;每边 10 等分时,顶点向下的小三角形有几个? 20 等分 呢?答案：三角形每边二、三、四等分后,每排所产生的顶角向下的小三角形的个数 是 1,2,3。同样,三角形每边 10 等分时,顶角向下的小三角形有 9 ? 10 1+2+3+?+9= =45(个)。 2 三角形每边 20 等分后,产生的顶角向下的小三角形有 19? 20 1+2+3+?+19= =190(个)。 2 9. 求 1991 个自然数,其中一个是 1991,使它们的倒数之和恰好为 1(这些自然数 不都相同)。 答案： 因为 1 1 1 1 + + +?+ 1? 2 2 ? 3 3? 4
1 1 1 1 1 1 =1- + - + - +?+ 2 2 3 3 4
=1。 1991 所以 1 1 1 1 1 + + +?+ + =1。 1? 2 2 ? 3 3? 4 91 1×2,2×3,3×4,?, 和 1991 这 1991 个自然数满足要求。 1 1 1 1 1 ? ? ? 28 ?? 10. 求值: 1 ? 4 ? 7 ? 10 10 40 88 928 154 1 1 1 1 1 1 答案：1 +4 +7 +10 +13 +16 11?14 2 ? 5 5 ? 8 8 ?11 14?17 17? 20 1 1 1 1 1 1 =(1+4+7+10+13+16)+( + + + + + ) 2 ? 5 5 ? 8 8 ?11 11?14 14?17 17? 20 (1?16) ? 6 1 1 1 1 1 1 1 = +( - + - +?+ )× 2 5 5 8 2 3 17 20 1 1 1 =51+( )× 2 20 3 3 =51 。 20十三数列的分组（一）填空题1. 在下面的一列数中,只有一个九位数,它是______。 16,?? 答案：。 解析：按照自然数从小到大的顺序,每四个数构成一数。九位数只能由三个两位 数和一个三位数构成,所以这个九位数是 。 2. 把自然数按下表的规律排列,其中 12 在 8 的正下方,在 88 正下方的数是______。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 × × × × × × × × × × × × 答案：101。 解析：由 12=8+4,4 正好是 8 所在的行数值,则必须求出 88 所在行数值。 根据每行尾数的排列规律 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,?, 可知 88 所在行数应是第 13 行。 因此,在 88 的正下方的数是 88+13=101。 3. 计算:94-91-+?+4+3-2-1,结果是____。 答案：1996。 提示: 从左至右每四个数运算的结果都是 4。 1 1 1 1 1 1 1 1 4. 下面是一列有规律排列的数组:(1, , );( , , ),( , , );??;第 2 3 3 4 5 5 6 7 100 个数组内三个分数分母的和是______。 答案：600 提示:第 n 组中间的分数的分母是 2 n ,则第 n 组内三个分数分母之和是 (2 n -1)+2 n +(2 n +1)=6 n 。 5. 把所有的奇数依次一项,二项,三项,四项循环分为:(3),(5,7),(9,11,13), (15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43), ? , 则 第 100 个括号内的各数之和为______。 答案：1992。 解 析 ： 每 4 个 括 号 为 一 个 大 组 , 前 100 个 括 号 共 25 个 大 组 , 包 含 25 × (1+2+3+4)=250 个数,正好是从 3 开始的 250 个连续奇数。因此第 100 个括号内 的 最 后 一 个 数 是 2 × 250+1=501, 故 第 100 个 括 号 内 的 各 数 之 和 为 501+499+497+495=1992。 6. 一列数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,?,其中自然数 n 出现 n 次.那么, 这列数中的第 1999 个数除以 5 的余数是______。 答案：3。 解析：自然数 n 出现了 n 次,这 n 个 n 中的最后一个数 n 位于这列数中的第 1 (1+2+?+ n = n ( n +1)个数。 2 1 1 又 因为 ? 62? 63 ? ? 2016? ? 63? 64。 2 2 因此,这列数中的第 1999 个数是 63,它除以 5 的余数是 3。7. 如数表: 第1行 1 2 3 4 5 ? ? 14 15 第2行 30 29 28 27 26 ? ? 17 16 第3行 31 32 33 34 35 ? ? 44 45 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第n行 ? ? ? ? ? ? A ? ? 第 n +1 行 ? ? ? ? ? ? B ? ? 第 n 行有一个数 A ,它的下一行(第 n +1 行)有一个数 B ,且 A 和 B 在同一竖 列.如果 A + B =391,那么 n =______。 答案：13。 解析：观察数表排列规律知,相邻两行(第 n 行与第 n +1 行)十五组相应两数的和 值均相等,其和为 30 n +1。 由 30 n +1=391 得 n =13。 11. 假 设 将 自 然 数 如 下 分 组 :(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13, 14,15),(16,17,18,19,20,21),??再将顺序数为偶数的数组去掉,则剩下的前 k 个数组之和恒为 k 4,如:(1)+(4+5+6)+(11+12+13+14+15)=34。 19? 20 答案：从第一组开始的前 19 个数组,共包含 1+2+3+?+19= =190 个数,这 2 190?191 些数的和为 1+2+3+?+190= =18145。 2 19 其中顺序数为奇数的数组有[ ]+1=10 组,这 10 个数组所有数的和为 2 4 10 =10000,因此其中顺序数为偶数的数组中所有数的和为 =8145。 今有从第一组开始的前 19 个数组,求其中顺序数为偶数的数组中所有数的 和。 12. 1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,1,? 其中 1,1,2,2,3,3 这六个数字按此规律 重复出现,问: (1)第 100 个数是什么数? (2)把第一个数至第 52 个数全部加起来,和是多少? (3)从第一个数起,顺次加起来,如果和为 304,那么共有多少个数字相加? 答案：(1)因为 100÷6=16??4,所以第 100 个数与第 4 个数相同,为 2。 (2)因为 52÷6=8??4,所以第 1 个数至第 52 个数的和为(1+1+2+2+3+3)× 8+(1+1+2+2)=102。 (3)因为 1+1+2+2+3+3=12,304÷12=25??4,又 1+1+2=4,所以从第一个数起, 顺次相切,共加到第 25×6+3=153 个数,其总和才恰为 304。 10. 数 1,2,3,4,?,10000 按下列方式排列: 1 2 3 ? 100 101 102 103 ? 200 ? ? ? ? ? 03 ? 10000 任取其中一数,并划去该数所在的行与列。这样做了 100 次以后,求所取出的 100个数的和。 答案：将第 2 行的每个数减去 100,第 3 行每个数减去 200,?,第 100 行每个数减 去 9900,我们就得到一个各行都是 1,2,?,100 的数表。 在后一个数表按规定方法 取 出 的 各 数 之 和 是 1+2+ ? +100=5050 。 于 是 在 原 表 中 所 求 各 数 之 和 为:0+?++050。十四相遇问题（一）填空题1. 两列对开的火车途中相遇,甲车上的乘客从看到乙车到乙车从旁边开过去,共 用 6 秒钟。 已知甲车每小时行 45 千米,乙车每小时行 36 千米,乙车全长_____米。 答案：135。 解析： 根据相向而行问题可知乙车的车长是两车相对交叉 6 秒钟所行路之和。所 以乙车全长 1 ()× ×6 60 ? 60 1 =81000× 600 =135(米)。 2. 甲、乙两地间的路程是 600 千米,上午 8 点客车以平均每小时 60 千米的速度 从甲地开往乙地.货车以平均每小时 50 千米的速度从乙地开往甲地.要使两车在 全程的中点相遇,货车必须在上午______点出发。 答案：7。 1 解析：根据中点相遇的条件,可知两车各行 600× =300(千米). 2 其间客车要行 300÷60=5(小时); 货车要行 300÷50=6(小时). 所以,要使两车同时到达全程的中点,货车要提前一小时出发,即必须在上午 7 点 出发。 3. 甲乙两地相距 450 千米,快慢两列火车同时从两地相向开出,3 小时后两车在 距中点 12 千米处相遇,快车每小时比慢车每小时快______千米。 答案：8。 解析：快车和慢车同时从两地相向开出,3 小时后两车距中点 12 米处相遇,由此 可见快车 3 小时比慢车多行 12×2=24(千米)。所以,快车每小时比慢车快 24÷ 3=8(千米)。 4. 甲乙两站相距 360 千米， 客车和货车同时从甲站出发驶向乙站,客车每小时行 60 千米,货车每小时行 40 千米,客车到达乙站后停留 0.5 小时,又以原速返回甲 站,两车对面相遇的地点离乙站______千米。 答案：60。 解析：利用图解法,借助线段图(下图)进行直观分析。解法一客车从甲站行至乙站需要360÷60=6(小时)。 客车在乙站停留 0.5 小时后开始返回甲站时,货车行了 40×(6+0.5)=260(千米)。 货车此时距乙站还有 360-260=100(千米)。 货车继续前行,客车返回甲站(化为相遇问题)“相遇时间”为 100÷(60+40)=1(小时)。 所以,相遇点离乙站 60×1=60(千米)。 解法二 假设客车到达乙站后不停,而是继续向前行驶(0.5÷2)=0.25 小时后返 回,那么两车行驶路程之和为 360×2+60×0.5=750(千米) 两车相遇时货车行驶的时间为 750÷(40+60)=7.5(小时) 所以两车相遇时货车的行程为 40×7.5=300(千米) 故两车相遇的地点离乙站 360-300=60(千米)。 5. 列车通过 250 米长的隧道用 25 秒,通过 210 米长的隧道用 23 秒,又知列车的 前方有一辆与它行驶方向相同的货车,货车车身长 320 米,速度为每秒 17 米,列车 与货车从相遇到离开需______秒。 答案：190。 解析：列车速度为(250-210)÷(25-23)=20(米/秒).列车车身长为 20×25-250= 250(米)。列车与货车从相遇到离开需(250+320)÷(20-17)=190(秒)。 6. 小冬从甲地向乙地走,小青同时从乙地向甲地走,当各自到达终点后,又立刻 返回,行走过程中,各自速度不变,两人第一次相遇在距甲地 40 米处,第二次相遇 在距乙地 15 米处。甲、乙两地的距离是______米。 答案：105。 解析：根据题意,作线段图如下:根据相向行程问题的特点,小冬与小青第一次相遇时,两人所行路程之和恰是甲、 乙之间的路程。 由第一次相遇到第二次相遇时,两人所行路程是两个甲、 乙间的路程.因各自速度 不变,故这时两人行的路程都是从出发到第一次相遇所行路的 2 倍。 根据第一次相遇点离甲地 40 米,可知小冬行了 40 米,从第一次到第二次相遇小冬 所行路程为 40×2=80(米)。 因此,从出发到第二次相遇,小冬共行了 40+80=120(米)。由图示可知,甲、乙两 地的距离为 120-15=105(米)。 2 7. 甲、乙二人分别从 A, B 两地同时相向而行,乙的速度是甲的速度的 ,二人相 3 遇后继续行进,甲到 B 地、 乙到 A 地后都立即返回.已知二人第二次相遇的地点距 第一次相遇的地点是 20 千米,那么 A, B 两地相距______千米。答案：50。 解析： 因为乙的速度是甲的速度的2 ,所以第一次相遇时,乙走了 A, B 两地距离的 32 3 2 (甲走了 ),即相遇点距 B 地 个单程。 因为第一次相遇两人共走了一个单程, 5 5 5 2 6 第二次相遇共走了三个单程,所以第二次相遇乙走了 ×3= (个)单程,即相遇 5 5 1 1 2 2 点距 A 地 个单程(见下图)。 可以看出,两次相遇地点相距 1- - = (个)单程, 5 5 5 5 2 所以两地相距 20÷ =50(千米)。 5（二）解答题 8.甲、乙两地相距 352 千米.甲、乙两汽车从甲、乙两地对开.甲车每小时行 36 千米,乙车每小时行 44 千米.乙车因事,在甲车开出 32 千米后才出发.两车从各自 出发起到相遇时,哪辆汽车走的路程多?多多少千米? 答案：相遇问题的特点及基本关系知,在甲车开出 32 千米后两车相遇时间为 (352-32)÷(36+44)=4(小时) 所以,甲车所行距离为 36×4+32=176(千米) 乙车所行距离为 44×4=176(千米) 故甲、乙两车所行距离相等。 注: 这里的巧妙之处在于将不是同时出发的问题,通过将甲车从开出 32 千米后算起,化为同时出发的问题,从而利用相遇问题的基本关系求出“相遇时间” 。9.甲、乙两车从 A, B 两城市对开,已知甲车的速度是乙车的5 。甲车先从 A 城开 655 千米后,乙车才从 B 城出发。 两车相遇时,甲车比乙车多行驶 30 千米。 试求 A, B 两城市之间的距离。 答案：从乙车出发到两车相遇,甲车比乙车少行 55-30=25(千米)。 5 1 1 25 千米是乙车行的 1- ? ,所以乙车行了 25÷ =150(千米)。 6 6 6A, B 两城市的距离为150×2+30=330(千米)。 10.一条单线铁路线上有 A, B , C , D, E 五个车站,它们之间的路程如下图所示(单位:千米)。 两列火车从 A, E 相向对开, A 车先开了 3 分钟,每小时行 60 千米, E 车 每小时行 50 千米,两车在车站上才能停车,互相让道、 错车.两车应该安排在哪一 个车站会车(相遇),才能使停车等候的时间最短,先到的火车至少要停车多长时 间?答案： A 车先开 3 分,行 3 千米.除去这 3 千米,全程为 45+40+10+70=165(千米)。 若两车都不停车,则将在距 E 站 50 ? 75 (千米) 165 ? 60 ? 50 处相撞,正好位于 C 与 D 的中点.所以, A 车在 C 站等候,与 E 车在 D 站等候,等候 的时间相等,都是 A , E 车各行 5 千米的时间和,5 6 11 ? ? (时)=11 分。 60 60 60十五 追及问题 （一）填空题1．当甲在 60 米赛跑中冲过终点线时，比乙领先 10 米、比丙领先 20 米，如果乙 和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先 米。 答案：12。 解析：解法一 依题意,画出线段图如下: ? 起点 10 ? 20 ? 30 丙 ? 40 乙 ? 50 甲 60在同样时间内,甲跑 60 米,乙跑 50 米,丙跑 40 米,也就是在相同单位时间内 甲跑 6 米,乙跑 5 米,丙跑 4 米。 所以,由上图看出,当乙跑 10 米到达终点时,丙又 跑了 8 米,此时丙距终点 60-40-8=12(米)。 4 解法二 相同时间内,乙跑 50 米,丙跑 40 米,所以丙速是乙速的 .因此当乙 5 到达终点时,丙的行程为 4 60? =48(米)， 5 此时丙距终点 60-48=12(米)。 解法三 由于乙、丙两人速度不变,又丙与乙在第一段时间内的路程差 1 (50-40)=10 米是乙的路程的 10?50= ,所以当乙跑完后 10 米时,丙在第二段时间 5与乙的路程差为 1 10? =2(米) 5 两次路程差和 10+2=12(米),就是乙比丙领先的路程。 2.一只兔子奔跑时,每一步都跑 0.5 米；一只狗奔跑时,每一步都跑 1.5 米.狗跑 一步时,兔子能跑三步.如果让狗和兔子在 100 米跑道上赛跑,那么获胜的一定 是 。 答案：兔子。 解析： 从题面上看,狗和兔子的速度是一样的,但因为当狗跑了 66 步后,狗共跑了 99 米,剩下 1 米,这时它也得再花一步的时间,这相当于狗要往反 100.5 米,而当 狗跑了 66 步后,兔子跑了(3?66)=198 步,再花 2 步的时间,即到达终点。所以狗 较慢.兔子一定获胜。 3.骑车人以每分钟 300 米的速度,从 102 路电车始发站出发,沿 102 路电车线前进, 骑车人离开出发地 2100 米时,一辆 102 路电车开出了始发站,这辆电车每分钟行 500 米,行 5 分钟到达一站并停车 1 分钟。那么需要 分钟,电车追上骑车人。 答案：15.5。 解析：电车追及距离为 2100 米.电车每分钟行 500 米,骑车人每分钟行 300 米,1 分钟追上(500-300)=200 米,追上 2100 米要用(.5(分钟).但电车行 10.5 分 钟 要 停 两 站 , 共 花 (1?2)=2 分 钟 , 电 车 停 2 分 钟 , 骑 车 人 又 要 前 行 (300?2)=600 米,电车追上这 600 米,又要多用(600?200)=3 分钟.所以,电车追上 骑车人共要用 10.5+2+3=15.5(分钟)。 4.亮亮从家步行去学校,每小时走 5 千米.回家时,骑自行车,每小时走 13 千米. 骑自行车比步行的时间少 4 小时,亮亮家到学校的距离是 。 答案：32.5。 解析：此题可看成同向而行问题: 有两人从亮亮家出发去学校，一人步行,每小时走 5 千米；一人骑自行车, 每小时行 13 千米。 那么,当骑自行车的人到学校时,步行的人离学校还有(骑车人 比步行人早到 4 小时):5?4=20(千米)， 又骑车比步行每小时快 13-5=8(千米)， 所以,亮亮家到学校的距离是 (20?8)?13=32.5(千米)。 5.从时针指向 4 点开始,再经过 分钟,时钟与分针第一次重合。 9 答案：21 。 11 4 1 解析： 设钟面一周的长度为 1,则在 4 点时,分针落后于时针是钟面周长的 = ； 12 3 同时分钟和时针的速度之差为钟面周长的 1 1 11 ? ? ， 60 720 720 由追及问题的基本关系知,两针第一次重合需要1 ? 1 1 ? 9 ?? ? ? ? 21 (分钟)。 3 ? 60 720? 116.甲、 乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步， 甲以每分钟 300 米的速度从起点跑 出 1 分时,乙从起点同向跑出,从这时起甲用 5 分钟赶上乙。乙每分跑 米。 答案：280。 解析：甲以每分钟 300 米的速度从起点跑出 1 分钟,这时甲离乙 400-300?1=100(米) 甲用 5 分钟比乙多跑 100 米,则甲每分钟比乙多跑 100?5=20(米) 所以,乙每分钟跑 300-20=280(米)。 7.一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由 A 点开始爬行一周.在三条边上爬行的速度 分别为每分 50 厘米、 每分 20 厘米、每分 30 厘米(如右图).它爬行一周的平均速 度是 。2050A1 厘米/分。 3130答案： 29解析：设边长为 300 厘米,则爬行一周需 平均速度为(300?3)?31= 29300 300 300 ? ? ? 31 (分钟), 50 20 301 (厘米/分)。 31（二）解答题11．在周长为 200 米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙二人骑自行车分别以 6 米/秒和 5 米/秒的速度同时、相向出发(即一个顺时针一个逆时针),沿跑道行 驶.问:16 分钟内,甲乙相遇多少次? 200 答案：甲、乙二人第一次相遇时,一共走过的路程是 =100 米,所 2 100 100 ? 以需要的时间是 秒。 5 ? 6 11甲乙200 200 ? 秒相遇一次。 5 ? 6 11 所以,16 分钟内二人相遇的次数是以后,两人每隔100 ? ? ? 60 ? 16 ? 11 ? ? 960? 11 1 ? ? 264 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1= ?52.3? ? 1 =52+1=53(次) ? ? +1= ? 200 2? 2? ? 200 ? 5 ? ? ? ? 11 ? ? 这 里 的 中 括 号 [ ] 不 是 普 通 的 括 号 ,[ x ] 表 示 x 的 整 数 部 分 , 如?5? ? 2 ? ? ?2.5? ? 2 , ?3? ? 3 , ?0.6? ? 0 。 ? ?12.如图,A,B,C 三个原料加工厂分别停着甲、乙、丙三辆汽车，各车速度依次 是 60，48，36 千米/时，各厂间的距离如图所示(单位:千米),如果甲、丙车按箭 头方向行驶，乙车反向行驶，每到一厂甲车停 2 分，乙车停 3 分，丙车停 5 分。 那么,三车同时开动后何时何处首次同时相遇。A 6 B108C答案：甲车绕一圈后再到 B 厂,共用 60?[(6+8+10+6)?60]+2?3=36 (分)； 乙车绕一圈后再到 B 厂,共用 60?[(8+10+6)?48]+3?2=36(分)； 2 丙车从 C 厂到 B 厂，共用 60?[(10+6)?36]+5= 31 (分)。 3 因为丙车到 B 厂要停 5 分,所以三车同时开出后 36 分在 B 厂同时相遇。 14.甲、 乙二人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛.两人从起点同时同向出发, 开始时甲的速度为每秒 8 米,乙的速度为每秒 6 米。 当甲每次追上乙以后,甲的速 度每秒减少 2 米,乙的速度每秒减少 0.5 米.这样下去,直到甲发现乙第一次从后 面追上自己开始,两人都把自己的速度每秒增加 0.5 米,直到终点.那么领先者到 达终点时,另一人距终点多少米? 答案：甲追乙 1 圈时,甲跑了 8?[400?(8-6)]=1600(米), 此时甲、乙的速度分别变为 6 米/秒和 5.5 米/秒。甲追上乙 2 圈时,甲跑了 0?(6-5.5)]=6400(米), 此时甲、乙的速度分别变为 4 米/秒和 5 米/秒.乙第一次追上甲时,甲跑了 0?(5-4)]=8000(米), 乙跑了 0(米)。此时,甲、乙的速度分别变为 4.5 米/秒和 5.5 米/ 秒.乙跑到终点还需 -= (秒), 11 乙到达终点时,甲距终点
()-4.5? = ? 36 (米)。 11 11 11十六 变换和操作1. 黑板上写着 8,9,10,11,12,13,14 七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个 数的和减 1。例如,擦掉 9 和 13,要写上 21。经过几次后,黑板上就会只剩下一个 数,这个数是_____。 答案：71。 解 析 ： 所 剩 之 数 等 于 原 来 的 七 个 数 之 和 减 6, 故 这 个 数 是 (8+9+10+11+12+13+14)-6=71。 2. 口袋里装有 99 张小纸片,上面分别写着 1~99。 从袋中任意摸出若干张小纸片, 然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋 中。经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____。 答案：50。 解析：每次操作都不改变袋中所有数之和除以 100 的余数,所以最后一张纸片上 的数等于 1~99 的和除以 100 的余数。 (1 ? 99 ) ? 99 (1+2+?+99) ? 100= ? 100 2 =4950 ? 100 =49 ? 100+50 故这张纸片上的数是 50。 3. 用 1~10 十个数随意排成一排。 如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它 们变换位置。如此操作直到前面的数都小于后面的数为止。已知 10 在这列数中 的第 6 位,那么最少要实行_____次交换。最多要实行_____次交换。 答案：4 次；40 次。 解析：当排列顺序为 1,2,3,4,5,10,6,7,8,9 时,交换次数最少,需交换 4 次；当 排列顺序为 9，8，7，6，5，10，4，3，2，1 时，交换次数最多，需交换 40 次。 4. 5 个自然数和为 100,对这 5 个自然数进行如下变换,找出一个最小数加上 2, 找出一个最大数减 2。连续进行这种变换,直至 5 个数不发生变化为止,最后的 5 个数可能是_____。 答案：20,20,20,20,20,或 19,20,20,20,21 或 19,19,20,21, 21。 解析：5 个数的差距会越来越小，最后最大与最小数最多差 2。最终的 5 个数可 能是 20，20，20，20，20，或者 19，20，20，20，21 或 19，19，20，21，21。 5. 在黑板上写两个不同的自然数,擦去较大数,换成这两个数的差,我们称之为 一次变换.比如(15,40),40-15=25,擦去 40,写上 25,两个数变成(15,25),对得到 的两个数仍然可以继续作这样的变换,直到两个数变得相同为止,比如对(15,40) 作这样的连续变换: (15,40) (15,25) (15,10) (5,10) (5,5)。 对()作这样的连续变换，最后得到的两个相同的20 个 1数是_____。 答案：1。 解析： 变换中的两个数,它们的最大公约数始终末变,是后得到的两个相同的数即 为它们的最大公约数.因为 ,而 11?1 20 个 1 没有质因子 2，它们是互质的。所以最后得到的两个相同的数是 1。6. 在一块长黑板上写着 450 位数 456789? （将
重复 50 次） 。删去这个数中所有位于奇数位上的数字；再删去所得的数中所有位于奇数 位上的数字；再删去?，并如此一直删下去，最后删去的数字是_____。 答案：4。 解析：事实上,在第一次删节之后，留下的皆为原数中处于偶数位置上的数；在 第二次删节之后，留下的数在原数中所处的位置可被 4 整除；如此等等。于是在 第八次删节之后,原数中只留下处于第 28 ? k=256k 号位置上的数,这样的数在所 给的 450 位数中只有一个,即第 256 位数。由于 256=9 ? 28+4,所以该数处于第 29 组“”中的第 4 个位置上。即为 4。 7. 一个三角形全涂上黑色,每次进行一次操作,即把全黑三角形分成四个全等的 小三角形,中间的小正三角形涂上白色,经过 5 次操作后,黑色部分是整个三角形 的_____。(1)(2)答案：234
3 3 3 3 243 ,所以 5 次变换为 ? ? ? ? = 。 4 4 4 4 4 4 1024解析： 每一次黑三角形个数为整个的十八 逻辑推理1. 甲、乙、丙三人进行跑步比赛。A、B、C 三人对比赛结果进行预测。A 说: “甲肯定是第一名。 B 说:“甲不是最后一名。 C 说:“甲肯定不是第一名。 ” ” ”其 中只有一人对比赛结果的预测是对的.预测对的是 。 答案：C。 解析：A、C 的预测截然相反,必一对一错。因为只有一人对,不论 A、C 谁对,B 必错,所以甲是最后一名,C 对。 2. A、B、C、D、E 和 F 六人一圆桌坐下，B 是坐在 A 右边的第二人，C 是坐 在 F 右边的第二人，D 坐在 E 的正对面,还有 F 和 E 不相邻。那么,坐在 A 和 B 之间的是 。 答案：E。 解析：根据题意画出下图可得出，E 坐在 A、B 之间。B F D C E A3. 甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛。每两人都要比赛一盘,每胜一 盘得 2 分,和一盘得 1 分,输一盘得 0 分。到现在为止,甲赛了 4 盘,共得了 2 分； 乙赛了 3 盘,得了 4 分；丙赛了 2 盘，得了 1 分；丁赛了 1 盘，得了 2 分。那么 小明现在已赛了 盘，得了 分。 答案：2,3。 解析：由题意可画出比赛图,已赛过的两人之 甲 间用线段引连。由图看出小明赛了 2 盘。因 为一共赛了六盘,共得 12 分,所以小明得了 乙 小明 12-(2+4+1+2)=3(分)。丁 丙4. 曹、钱、刘、洪四个人出差，住在同一个招待所。一天下午,他们分别要找一 个单位去办事。 甲单位星期一不接待,乙单位星期二不接待,丙单位星期四不接待, 丁单位只在星期一、三、五接待，星期日四个单位都不接待. 曹:“两天前,我去误了一次,今天再去一次,还可以与老洪同走一条路。 ” 钱:“今天我一定得去,要不明天人家就不接待了。 ” 刘:“这星期的前几天和今天我去都能办事。 ” 洪:“我今天和明天去,对方都接待。 ” 那么,这一天是星期 ,刘要去 单位,钱要去 单位,曹要去 单位,洪要去 单位。 答案：三,丙,丁,甲,乙。 解析：由刘的讲话,知这一天是星期三,刘要去丙单位。钱要去丁单位,曹去的是 甲单位,洪去的是乙单位。 5. 四位外国朋友住在十八层高的饭店里,他们分别来自埃及、法国、朝鲜和墨西 哥。 (1)A 住的层数比 C 住的层数高,但比 D 住的层数低； (2)B 住的层数比朝鲜人住的层数低； (3)D 住的层数恰好是法国人住的层数的 5 倍； (4)如果埃及人住的层数增加 2 层,他与朝鲜人相隔的层数,恰好和他与墨 西哥人相隔的层数一样； (5)埃及人住的层数是法国人和朝鲜人住的层数的和。 根据上述情况,请你确定 A 是 人,住在 层；B 是 人,住在 层；C 是 人,住在 层；D 是 人,住在 层。 答案：埃及,8；法国，3；朝鲜，5；墨西哥，15。 解析：容易知道,墨西哥人住得最高,埃及人次之,朝鲜人又次之,法国人最低,各 层次分别 15,8,5 和 3。由(2)知 B 是法国人,由(3)和 D 是墨西哥人,由(1)知 A 是埃及人,而 C 是朝鲜人。 6． A、B、C、D 四人定期去图书馆，四人中 A、B 二人每隔 8 天(中间空 7 天,下同)、C 每隔 6 天、D 每隔 4 天各去一次，在 2 月份的最后一天，四人刚好都 去了图书馆，那么从 3 月 1 日到 12 月 31 日只有一个人来图书馆的日子有____ 天。 答案：51 天。 解析：因为[8,6,4]=24,所以四人去图书馆的情况每 24 天循环一次(见下表):每 24 天有 4 天只有 1 人去图书馆。3 月 1 日至 12 月 31 日有 306 天, 306?24=12?18，所以所求天数为 4?12+3=51(天)。十八 逆推法 1. 已知:1? 2? 3? 4? 1 1 1 1 1 5? 1 x=501 ,则 x =_____。 718答案：3。 解析：用逆推法解,如设 数取倒数后减 1,得217 1 501 ,求出 x1 ? 。事实上,依次由等号右边的 ? 501 1 ? x1 718217 67 16 ；再取倒数后减 2，得 ；再取倒数后减 3，得 ； 67 501 217 3 1 再取倒数后减 4,得 ；再取倒数后减 5,得 ；再取倒数,求得 x ? 3 。 16 3 2. 将某数的 3 倍减 5,计算出答案,将答案再 3 倍后减 5,计算出答案,这样反复经 过 4 次,最后计算的结果为 691,那么原数是_____。 答案：11。 解析：从最后的结果往前逆推,结果是 691,这是一个数的 3 倍减 5 得到的,这个 数应该是(691+5) ? 3=232,这是经过 3 次后的结果； 同样可知,经过 2 次后的结果 为 (232+5) ? 3=79 ； 经 过 1 次 后 的 结 果 为 (79+5) ? 3=28 ； 因 此 , 原 数 为 (28+5) ? 3==11。 3. 小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说： “把我的年龄加上 17 后用 4 除,再 减去 15 后用 10 乘,恰好是 100 岁”那么,这位老爷爷今年_____岁。 答案：83。 解析：采用逆推法,易知老爷爷的年龄为(100 ? 10+15) ? 4-17=83(岁)。 4. 李老师拿着一批书送给 36 位同学,每到一位同学家里,李老师就将所有的书 的一半给他,每位同学也都还她一本,最后李老师还剩下 2 本书,那么李教师原来拿了_____本书。 答案：2。 解析：最后李老师还剩 2 本书,因此,他到第 36 位同学家之前应有(2-1) ? 2=2 本 书；同样,他到 35 位同学家之前应有(2-1) ? 2=2 本书;?；由上此可知,他到每 位同学家之前都有 2 本书,故李老师原来拿了 2 本书。 5. 从某天起,池塘水面上的浮草,每天增加一倍,50 天后整个池塘长满了浮草, 1 第_____天时浮萍所占面积是池塘的 。 4 答案：48。 解析：采用逆推法,第 50 天后整个池塘长满了浮草,因此,第 49 天时浮萍所占面 1 1 积是池塘的 ,第 48 天时浮萍所占面积是池塘的 。 2 4 1 6. 一个车间计划用 5 天完成加工一批零件的任务,第一天加工了这批零件的 5 1 1 多 120 个,第二天加工了剩下的 少 150 个,第三天加工了剩下的 多 80 个,第四 4 3 1 天加工了剩下的 少 20 个,第五天加工了最后的 1800 个。这批零件总数有多少 2 个? 1 答案： 第五天加工了最后的 1800 个,后两天共加工(1800-20)÷(1- )=3560(个), 2 1 后 三 天 共 加 工 (3560+80) ÷ (1- )=5460( 个 ), 后 四 天 共 加 工 () ÷ 3 1 1 (1- )=7080(个),因此,零件总数为()÷(1- )=9000(个)。 4 5 解析：采用逆推法进行计算。二十 分数问题1 2 3 4 73 ? B ? ? ? 15 ? C ? 15.2 ? ? D ? 14.8 ? . A、B、C、D 四 99 3 4 5 74 个数中最大的是 。 答案：B。 1 2 3 4 解析：从题目看,A、B、C、D 中最大的,即为 15 ? 1 与 ? ? 15 与 15.2? 与 99 3 4 5 73 2 3 14.8? 中最小的,容易求出,与 B 相乘的 ? ? 15 最小,所以 B 最大。 74 3 4 2.所有分子为 11,而且不能化成有限小数的假分数共有 个。 答案：4。 11 11 11 11 解析：符合题意的假分数有 、 、 和 共 4 个。 3 6 7 9 3 3.在等式 a ? 1 ? b 中,a,b 都是由三个数字 1,4,7 组成的带分数,这两个带分数的 4 和是 。1. 已知 A ? 15 ? 1答案： 1111 。 281 1 4 解析：由 1,4,7 三个数字组成的带分数有 1 , 4 , 7 ,经验算,只有 7 7 4 1 1 11 a= 4 ,b= 7 符合条件.a+b= 11 。 7 4 28 8 33 23 3 19 4.小林写了八个分数,已知其中的五个分数是 、 、 、 、 ，如 77 29 183 317 222 3 果这八个分数从小到大排列的第四个分数是 ，那么按从大到小排列的第三个 29 分数是 。 19 答案： 。 183 33 8 19 23 3 提示:已知的五个分数从大到小排列依次为 、 、 、 、 ，因此 77 183 29 317 222 3 未知的三个分数都小于 。 29 2 2 5. 在分母小于 15 的最简分数中,比 大并且最接近 的是哪一个? 5 5 m 解析：设所求的分数为 ,(m,n)=1,n&15。 n m 2 5m ? 2 n 因为 - = ， n 5 5n 2n ? 1 , 由题目要求,取 m、n 使右边式子大于 0,且为最小,若 5m-2n=1,则 m= 5 1 当 n&15 时,使 m 为整数的最大整数 n 是 12,此时,m=5,差为 。 5 ? 12 m 2 5m ? 2n 2 2 1 2 2 ? ? ? 若 5m-2n?1,则 ? ? .故此 大并且最接近 的 n 5 5n 5n 5 ? 14 5 ? 12 5 5 5 是 。 12