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YoYo-[浅谈高中数学]
我只能说悠悠你太牛了。虽然你看不见
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很多同学都曾跟我说，觉得问题处理的不是很好，学好数学有困难。对于计算、变形处理、数学思想等要求比较高。其实大家不是学不会，而是没有掌握做题的方法。解题思路和方法对于高中数学尤其重要。当然，计算能力必不可少，这是需要大量练习提升质量和速度的。虽然我数学学的也不是很好，但是我这里有一些自己总结的东西，一部分是对的理解，一部分是一些问题的处理方法。可能会很浅显，但个人觉得很实用，希望大家支持。
—————————————————攸攸
集合集合是高中最基础的概念。在我们解题过程中最常用的集合表达法当然是数学表达法和区间法。有时当范围是一个或者几个特定的值的时候，也会出现列举法。区间法要注意开闭。（这里说一下临界取值的开闭。临界取值是一个非常重要的值，它能否取到对于一个问题的结果非常重要。如果不是特别肯定，最好把临界取值带入看看是否符合条件）集合的数学表达法：{x|p(x)}。其中x是“代表元素”，p(x)是约束条件。集合表示“代表元素”的取值范围。“代表元素”的取值范围受“约束条件”限制。举个例子吧。比如{x|x+1＞0}，代表元素是x，所以集合表示x的取值范围。由约束条件得x＞-1，因此他就表示大于-1的所有实数。再如{x+1|x＞0}，代表元素为x+1，所以它表示x+1的取值范围。由约束条件x＞0得x+1＞1，因此它表示大于1的所有实数。集合没有什么特别重要的考点，在此就不赘述了。
函数与导数（一）函数的定义域经常会遇到这样的问题：已知f（x）定义域为x＞0，求f（x+2）定义域。或者已知后者定义域求前者定义域。老师会告诉我们：定义域就是x的取值范围！但是这个x具体指什么呢？实际是这样的，我们可以把变形函数看做原来函数f（x）的一种复合函数f（g(x)）f（x）的定义域是函数g(x)的值域通过g(x)值域求得的x取值范围是变形函数f（g(x)）的定义域这样说可能有点懵，用上面的例子解释一下就好了。原来函数f（x）定义域x＞0变形函数f（x+2），那么g(x)=x+2的值域就是x＞0，解得x＞-2即为变形函数f（x+2）的定义域同理，若已知变形函数f（x+2）定义域为（0，+∞），那么g(x+2)值域为（2，+∞），即为f（x）定义域这样理解会让这类问题绝不出错。
函数与导数（二）求值域的常用方法 求值域是高中函数的一大难题，但各种类型题中随处可见它的身影，因此了解并掌握求值域的几种方法是很必要的。下面我来归纳一下求值域的步骤与方法。第一步，求定义域。定义域都不知道求你妹的值域？虽然是废话，不过很实用。如果你忘了，请你一定要记得想起来。第二步，求值域。下面是几种常用方法。1、利用初等函数。高中接触的初等函数包括指对幂函数和三角函数等等，如果要研究的函数是由这几种函数通过平移、伸缩、对称变换得到的，那么你就可以通过函数性质以及变换特点求得值域。2、求导。有关导数单调性、极值最值的问题我们会在以后的章节中研究。3、分式型分母带有二次项的函数值域。高中见到的最多的求值域的类型就是分母中含有二次项的分式了。这里介绍一下处理这样问题的一种通用方法。形式(dx²+ex+f)/(ax²+bx+c)，其中a ≠0，a、b、c、d、e、f都是常数。步骤 ①若d=e=0，直接求出分母的值域，然后利用y=1/x得出所求值域。②若d=0，e ≠0，即分子有一次项。(1)求定义域，即x取值范围。(2)设分子ex+f=m，得出m取值范围。将x用m表示，分母也随之变为关于m的二次代数式。(3)检验m是否可以取0，若可以，则值域中含0，若不可以，值域中不含0。(4)将分子中的m除下来，分子变为1，分母变成am+k/m+C（常数）的形式，利用对号函数和m取值范围求得分母的范围，再用y=1/x求得y的范围。(5)若(3)中有0，(4)的范围并上0即为所求值域。若(3)中没有0，(4)即为所求值域。③若d ≠0，先用分离常数法将分子的二次项分离出来，然后问题回归 ①或②。4、判别式法求值域。适用形式：(dx²+ex+f)/(ax²+bx+c)（我会告诉你其实这就是3提到的那个形式么）要求：a²+d²≠0，定义域不能由人为限制（可以不是R，但不能由题干限制定义域），分子分母不能约分（不含公因式）方法步骤，把分母乘到y上去，再把分子移过去，整理出一个关于x的一元二次方程，令Δ≥0，即可解出y的范围评价：我不知道用这种方法为什么这么多要求，我只知道，如果不满足要求就用这方法，那么答案是错的。5、换元法。我感觉这种方法最能体现高中数学的魅力，但是情况太多，不好总结，所以...换元法就是将自变量x换成其他的自变量，建立它与y的关系。所以换元后我们首先要做的，就是通过定义域求新元的范围。有时候复杂的形式还可能多次换元，所以一定要注意好新元的范围，这样才不会出错。下面粗略地概括几种类型的换元：（1）根号与一次项共存的式子中，设根号整体为新元u，即可将问题转化为二次函数的值域（2）对号函数的转化过程中，当分子只剩一次项和常数项，设分子为m，然后除下去（别忘了检验分子能否为0）（3）两个根式相加，根式下都是一次项与常数项，可以利用三角换元，即想办法将其转化为sin²θ+cos²θ=1的形式。如”根号下（x-1）+根号下（3-x）”，我们发现这两个根号的平方和为2，所以设第一个根号为√2倍的sinθ，第二个根号为√2倍的cosθ，根据所设角的范围再作相应处理即可。三角换元与圆锥曲线关系很大，应用了参数方程思想，很有意思。6、数形结合。作出函数图象，或者利用其几何意义也可以求出函数的值域。＜题＞求y=根号下（x²+2x+2）+根号下（x²+4x+8）的值域。有兴趣的同学可以试着做做
函数与导数（三）函数的平移变换“左加右减，上加下减”这个大家都清楚。不过上下左右都是什么呢？左右平移是针对x的变换，左加右减。上下平移是针对y的变换，上加下减。比如把f（x）图象向右平移两个单位，针对x右减，变为f（x-2）。再如把f（x）图象向上平移两个单位，针对y上加，变为f（x）+2
函数与导数（四）函数的伸缩变换伸缩变换，顾名思义，将函数横向或纵向的伸长或者缩短。这种变换在处理三角函数图象时特别常见。横向伸缩是针对x的变换纵向伸缩是针对y的变换设常数a＞0，且a ≠1，原函数为f（x）现将函数图象上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍。那么函数表达式变为af（x）这个比较好理解，纵坐标变为a倍，即为函数值变为原来的a倍，直接乘a就可以了。现将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的a倍，那么函数表达式变为f（x/a）这个要怎么理解呢？我们可以任取f（x）图象上一点（m，n），那么变换后的图象（设为g(x)）一定过（am，n），即n=f（m）=g（am）。把am看做整体x，m=x/a，就有g（x）=f（x/a）以上两种情况，当0 ＜a＜1时，图象缩短；当a＞1时，图象伸长。
函数与导数（五）函数的对称变换本节我们要分几种情况对函数的对称变换进行研究。在这之前希望大家注意一点，函数变换指的是由一个函数变为另一个函数，是两个函数之间的关系，而不是研究单纯的一个函数的对称性。大家一定要区分好。本节我们将变换前的函数设为f（x），变换后的函数设为g（x）1、f（x）关于点（a，b）的对称通过图象我们可以观察出如下特点：若x1+x2=2a，那么有f（x1）+g（x2）=2b所以g（x）=2b-f（2a-x）2、f（x）关于x=k的对称对称轴与对称点不同，因为对称轴多了一个垂直的因素。通过图象我们可以发现：当x1+x2=2k时，f（x1）=g（x2）即g（x）=f（2k-x）由它我们可以引申得到这样一个结论：函数y=f（x-k）与y=f（k-x）关于x=k对称（这个结论的求法也非常简单，f（x）向右平移k个单位，f（2k-x）向左平移k个单位，对称轴不变）（看好符号！是f（x-k）与f（k-x），不是若f（x+k）=f（k-x），则f（x）关于x=k对称。之前说过了，对称变换与函数自身对称性不一样）3、f（x）关于y=k的对称仍是通过图象，有：x1=x2时，f（x1）+g（x2）=2k所以g（x）=2k-f（x）4、f（x）关于y=x的对称据说反函数高中不讲了。不过下面这个结论真的好神奇阿：若f（x）与g（x）互为反函数，则他们的图象关于y=x对称因此f（x）关于y=x对称的函数g（x）=f^-1（x）（注：数学上用f^-1（x）表示f（x）的反函数，不过它不表示f（x）的-1次方）5、f（x）关于ax+by+c=0的对称推了好长时间，又借助反函数什么的，形式太复杂，所以干脆没必要归纳。其实在这几种变换中，伸缩变换是改变曲线形状的，而平移、对称变换不改变曲线形状，我们可以通过f（x）上特殊点，作其关于对称轴对称的对称点，再结合图象形状的特殊性（如二次函数的a值），利用待定系数法解出g（x）6、f（|x|）对于这种形式，我们可以发现这样的特点：(1)f（x）=f（-x），说明它是偶函数(2)当x＞0时，f（|x|）=f（x），说明它在y轴右侧的图象与f（x）完全一致综上，我们可以先画出f（x）的图象，取其y轴右侧的部分（包括f(0)），将这部分图象沿y轴翻折，得到的偶函数图象即为f（|x|）图象7、|f（x）|这个更好办了，函数值大于等于0恒成立先作出f（x）图象，然后将其x轴下方的图象全部翻折上去即可8、三角绝对值函数的最小正周期(1) f（x）= |sin（ax+b）|原本无绝对值时周期为2派/a，现在把y轴下面的部分也翻上来了，使周期缩短为原来的一半，变为派/a(2) f（x）= |sin（ax+b）+ M | （M为非0常数）这种情况因为M的乱入，即使图象翻折，由于最高点不重合导致最小正周期不变，仍为2派/a
函数与导数（六）f（x）=Asin（ωx+φ）形式的转化有时候处理问题时，我们只得到了cos（ωx+φ）或者sin（-ωx+φ）的形式。这可能对于习惯性思维不太方便。所以就要转化为sin形式，且ω＞0。下面有种方法，即利用三角恒等转化。cos（-ωx+φ）=sin（π/2 - (-ωx+φ)）cos（ωx+φ）=sin（π/2 + (ωx+φ)）sin（-ωx+φ）=sin（π-(-ωx+φ)）
函数与导数（七）函数的对称性（奇偶性）与周期性对称性分为轴对称和中心对称，先来分析一下轴对称我们知道，如果f（a-x）=f（x+b），那么f（x）的对称轴为x=(a+b)/2如果f（x）为周期函数，且最小正周期为T，那么f（x）=f（x+T）现在我们来讨论这样一个问题如果f（x）为周期函数，最小正周期为T，且x=a是f（x）的一个对称轴，那么我们知道x=a+kT（k∈Z）都是f（x）的对称轴但是参照sinx和cosx三角函数图象，我们发现每隔半个周期就会出现一条对称轴。是不是所有周期函数都这样呢？现在我们进行一下推导：由x=a为对称轴得f（a-x）=f（a+x）得f（x）=f（2a-x）—— ①由周期函数得f（x）=f（x+kT）——②由 ①②得f（2a-x）=f（x+kT）得f（x）对称轴为x=a+kT/2因此所有有对称轴的周期函数每隔半个周期出现一条对称轴。然后是对称中心。对称中心的问题一般都会与分析图象同时出现。11年黑龙江省高考数学选择最后一题就是利用函数图象与对称中心处理的。利用对称轴的类比，其实对称中心也很好理解，就是纵坐标也变成了到对称中心纵坐标的数值相等。即若f（x）关于点（a，b）中心对称，（x1，y1）（x2，y2）为f（x）上两点若x1+x2=2a则y1+y2=2b用一个式子表达就是b - f（a+x） = f（a-x）- b类似地，若f（x）为周期函数，最小正周期为T，（a，b）为f（x）的一个对称中心，那么（a+kT/2，b）都是f（x）的对称中心。而奇偶性其实就是一种特殊的对称性。根据的上面的讲解，容易得到下面的结论：我们知道，偶函数是关于y轴对称的，即x=0是它的一条对称轴，如果这个偶函数还是周期函数，那么x=kT/2（k∈Z）都是它的对称轴。同理，若函数为奇函数，（0，0）是它的一个对称中心，若它是周期函数，那么（kT/2，0）都是它的对称中心。
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函数与导数（八）三个基本初等函数：指、对、幂没什么复杂的，挑点重要的说吧log（a）b 表示以a为底b的对数1、指数与指数函数（1）a的log（a）b次方=b（2）指数函数定义域为R，值域为y&#＜a＜1时，函数单调递减；a＞1时，函数单调递增（3）指数函数必过点（0，1）（4）y=a的x次方与y=a分之一的x次方图象关于y轴对称（5）a＞1时，a越大，图象越靠近坐标轴2、对数与对数函数（1）log（a的m次方）b的n次方=n/mlog（a）b（2）log（a）b * log（b）c = log（a）c 。特别地，log（a）b * log（b）a = 1（3）对数函数定义域为x＞0，值域为R。0＜a＜1时，函数单调递减；a＞1时，函数单调递增（4）对数函数必过点（1，0）（5）y=log（a）x 与y=log（a分之一）x 图象关于x轴对称（6）a＞1时，a越大，图象越靠近坐标轴（7）f（x）=a的x次方与g（x）=log（a）x 互为反函数，它们的图象关于y=x对称3、幂函数（1）形式f（x）=x的a次方。a可以取0，不过此时定义域为x≠0（2）图象必经过点（1，1），不一定经过原点（3）图象一定分布在第一象限，可能分布在二、三象限，一定不分布在第四象限（4）幂函数的奇偶性：可能奇非偶、偶非奇、非奇非偶，就是不可能即奇又偶
函数与导数（九）导数的引入及其意义高中数学通过研究数列的极限，再研究函数两点确定直线斜率的极限，最终引入导数。然而实际过程中，数列是不能求导的。原因就是，数列的定义域是正整数，它的函数图象不连续。（注：处理某些问题时，如果知道数列通项，可以将其设成函数形式求导，定义域可以认为是R或x＞0或x≥1(合理即可，但必须连续)）这就考虑到函数的连续性。现在我们接触到的函数，除了分段函数（包括带绝对值的），基本其他所有函数在其一个连续的定义域内都是连续的。函数的连续性对研究导数意义至关重要。我们知道，导数就是函数图象某点在其图象上切线的斜率。它能反应一个函数在某区间上递增或递减的趋势。为什么函数的连续性对导数意义至关重要呢？不连续的函数不能求导。例如离散的点，或者分段函数的折点。离散的点，即是数列不可求导的原因。每个点之间没有联系，你无法确定这个点在其图象上的斜率。分段函数的折点，例如一次绝对值函数的折点，它同时在两条直线上，会得到两个不同的导数，因此这个点导数没有意义。但是其他点导数还是有意义的。如果一个分段函数，两部分图象交点对于这两个函数的导数都相同（即其中一个图象是另一个图象的切线或者两个图象在这点享有共同的切线），那么这点导数就有意义了。不过对于这种纠结的问题高中是不会涉及的。只需要注意在书写上不要犯类似这样的错误就可以了。
函数与导数（十）函数的单调性、极值与最值在学习导数之前，我们只能通过一些基本函数的性质配合复合函数求单调性，有时候也通过定义证明抽象函数的单调性。学习导数之后，一些具体函数的单调性就显得明朗的多。我们知道，导数代表斜率。斜率大于0时，曲线呈上升趋势，即单调递增；斜率小于0时，曲线呈下降趋势，即单调递减。当斜率等于0时，切线水平，曲线达到一个峰值，即所谓的极值。下面是极值的具体定义：设函数f（x）在x0附近有定义，如果对于x0附近的所有的点，都有f（x）&f（x0），则f（x0）是函数f（x）的一个极大值。如果对于x0附近的所有的点，都有f（x）&f（x0），则f（x0）是函数f（x）的一个极小值。极大值与极小值统称为极值。极值只能在f'（x）=0和导数无意义的点取得。（导数无意义的点作为极值点的情形需要另行讨论。如果满足定义，那么它也可以成为极值点，比如y=|x|的折点，原点是极值点，因为它满足极值定义，但它导数无意义。我们在高中只研究在其定义域内任意点都可导的函数的极值情况。）根据数学书上的说法就是：我们规定f(x)在其定义域上可导，那么“f(x)在x0处的导数等于0”是”x0是f(x)的极值点”的必要不充分条件。也就是说，对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点，但极值点导数一定为0。（1）导数=0时，可导函数不一定会有极值。比如常函数y=1，所有点的导数都等于0，但是都不是极值。（你可以用定义直接理解它）（2）函数的极值点，可导函数的导数一定等于0。这是规定。求最值的步骤：先求出极值，然后将区间端点对应函数值与极值比较即可。
函数与导数（十一）函数研究方法在研究一个具体函数的性质时，我们通常要从以下方面进行研究，这样处理问题会简单而方便。1、定义域。求定义域。（1）分母不为0，根号下的数大于等于0，对数中真数大于0，0次幂的底数不为0等。（2）注意题目中是否有定义域限制。（3）复合函数定义域的转变，详见函数与导数（一）2、值域。求值域，详见函数与导数（二）在研究某些函数时，需要我们讨论当x趋近于某个数值时函数值的情况，这就需要你熟练掌握极限的知识和洛必达法则。这个对具体问题作具体分析。3、单调性。（1）根据复合函数判断单调区间（表示这个没有研究过……高一之后再没见过……因为学了导数）（2）根据导数求单调区间，参考函数与导数（十）（3）根据定义证明抽象函数的单调性（这个学会如何变形，再往已知上靠近即可，比如把x1变为x1-x2+x2或者(x1/x2)*x2之类）4、奇偶性。（1）按奇偶性可将函数完备而互异地分为四类：奇非偶函数、偶非奇函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数。（2）奇函数、偶函数要求定义域对称。（3）奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。（4）奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴（直线x=0）对称。5、周期性。f(x)=f(x+T)6、对称性。包括对称轴和对称中心。（1）奇偶性是一种特殊的对称性，因为它们拥有一个特殊的对称中心与对称轴。（2）一个周期函数，根据其对称性可将其完备而互异的分为以下4类： ①没有对称性。②有无数个对称中心，没有对称轴，每隔半个周期出现一个对称中心。③有无数条对称轴，没有对称中心，每隔半个周期出现一条对称轴。④有无数个对称中心和无数条对称轴，每相邻的两个对称中心或两条对称轴相隔半个周期，相邻的对称中心与对称轴相隔四分之一个周期。这个结论，完全是我自己概括的……请用心体会……7、渐近线。基本用不上。8、函数变换。由指、对、幂、三角函数出发，经某种平移、伸缩、对称变换得到目标函数。详见函数与导数（三）、（四）、（五）。9、作出图象。根据以上特点，再描出特殊点，大致作出函数图象。
函数与导数（十二）函数研究举例—对号函数学习了导数之后，我们就可以根据函数的单调性、奇偶性、周期性等性质大致作出一些函数的图象。下面我们来研究一下对号函数。对号函数又叫耐克函数。当然，它并不是数学家耐克首次研究的，只是因为耐克的商标也是对号。(- -!)对号函数的基本形式：f(x)=ax+b/x（ab＞0）我们以a＞0，b＞0为例根据这个形式，我们可以发现这个函数的如下特点：(1)函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）(2) f(x)+f(-x)=0，即这是一个奇函数(3)当x＞0时，f(x)&0，x&0时，f(x)&0，说明函数图象分布在第一象限和第三象限(4)我们通过导数来研究一下它的单调性f'(x)=a-b/x²f'(x)&0时，x&根号下b/a或x&-根号下b/af'(x)&0时，-根号下b/a&x&根号下b/a，且x≠0所以f(x)在（-∞，-根号下b/a）和（根号下b/a，+∞）上单调递增，在（-根号下b/a，0）（0，根号下b/a）上单调递减(5)x＞0时，当x=根号下b/a时，f(x)取得极小值2倍根号下abx＜0时，当x=根号下b/a时，f(x)取得极大值-2倍根号下ab(6)定义域边界取值：当x趋近于负无穷时，y趋近于负无穷（负无穷+0）当x趋近于0-时，y趋近于负无穷（0+负无穷）当x趋近于0+时，y趋近于正无穷（0+正无穷）当x趋近于正无穷时，y趋近于正无穷（正无穷+0）根据以上几个特点，我们可以作出函数的大致图象在函数与导数（二）中，我们介绍了如何将含二次项的分式转化为对号函数的形式，因为对号函数的增减性一目了然，便于处理。希望大家能熟练运用对号函数。
函数与导数（十三）切线问题高中会在两种题型中接触切线，一类是解析几何中，这类问题我们通常使用联立方程组令判别式=0解决（有时抛物线切线问题为了简便也可用导数求切线斜率），另一种就是求函数曲线的切线，这种问题我们通常使用的工具就是导数。若点P(x0，y0)在函数f(x)的图象上根据导数的意义f'(x0)即为该点在函数图象上的切线斜率由点斜式可得此切线方程为：y=f'(x0)（x-x0）+y0如果点P(x0，y0)在f(x)的图象外，现过点P作f(x)的切线，求该切线的方程这种情况下我们只需要设切点Q(x1，y1)根据上面的结论我们有y=f'(x1)（x-x1）+y1又Q在f(x)图象上y1=f(x1)所以切线方程为y=f'(x1)（x-x1）+f(x1)且P点在这个切线方程上那么代入坐标得y0=f'(x1)（x0-x1）+f(x1)将具体的函数和坐标代入，解出x1，y1即可，至于其他情况或取舍，具体问题具体分析最后再提一句，提到切线，我们通常会认为：切线与曲线只有一个交点。然而实际上，切线与曲线未必只有一个交点，下面这个图可以说明这个问题。
函数与导数（十四）简单构造或许可以这么讲，构造问题是高中数学中最难的一类问题了。根据已知形式，构造函数，或者推知几个函数之间的关系，从而进一步解决问题，这便是构造。由于本人做题有限，只能总结一下我遇到过的形式，我按照函数与变量个数的关系，简单的对问题做一下概述。1、单变量，多函数问题。（包括恒成立问题、零点问题）已知f(x)≤g(x)恒成立（两个函数中至少一个含参），求参数的取值范围。这种类型是最常见的导数恒成立问题，可以把它构造成一个新函数h(x)=f(x)-g(x)，即h(x)≤0恒成立同理，如果是f(x)=g(x)，相当于h(x)=f(x)-g(x)，交点问题转变为零点问题。这两类问题的具体解法我们会在以后的章节中讨论。2、多变量，多函数问题（包括最值问题、单调性问题）最值问题常常与全称量词和特称量词结合在一起，考的是你对于最值的理解，虽然它并没有体现的那么明显。在某确定区间[a，b]内（1）任意x1，x2∈[a，b]，都有f(x1)≤g(x2)这个说的什么意思呢？就是无论怎么样，f（x）的取值都比g（x）小即在区间[a，b]上，f（x）max≤g（x）min，然后分别求再做比较即可（2）存在x1，x2∈[a，b]，使得f(x1)≤g(x2)这个是把（1）中的全称量词变为特称量词。那有什么区别呢？我们假设一种极端情况，即只存在1个这样的值使得f（x）≤g（x），那就意味着f（x）其他的值都很大，甚至比g（x）的最大值都大，只有f（x）在这个区间上的最小值满足条件，即f（x）min≤g（x）max（3）对于任意x1∈[a，b]，总存在x2∈[a，b]，使得f(x1)≤g(x2)仍然假设极端情况，假设f(x)已取最大值，仍存在g(x)某值比它大，因为是存在，所以一个值足够，即取最大值：所以f(x)max≤g(x)max（4）对于任意x2∈[a，b]，总存在x1∈[a，b]，使得f(x1)≤g(x2)这个就不解释了，直接上结果：f(x)min≤g(x)min而多变量多函数的构造单调性问题就显得明显的多，它的特点是同函数靠拢，同变量分散。它的解决方法是同变量靠拢，利用不同函数构造新函数。比如已知f(x1)-f(x2)＞g(x1)-g(x2)对于任意x1＞x2恒成立符合上面的形式，于是我们把同变量靠拢，含x1的都移到左侧，含x2的都移到右侧，就有：f(x1)-g(x1)＞f(x2)-g(x2)如果构造新函数h(x)=f(x)-g(x)那么h(x1)＞h(x2)对于任意x1＞x2恒成立说明h(x)在其定义域内是增函数。然后再做相应处理即可。
3、多变量，单函数问题这类最常见的就是y=lnx与直线y=kx+b有两个交点的问题。处理方法也很简单，核心是将不同变量靠拢，用它们构造单一变量，构造新函数形式。具体方法就是点差法。举个例子，f(x)=lnx的图象与斜率为k的直线交于两点，它们的横坐标分别为x1、x2（x1＜x2），试证明存在x0∈(x1，x2)，使得f'(x0)=k通过画图我们知道这样的x0一定是存在的，那么如何证明呢？不妨假设f'(x0)=k成立，只需证明x1ᢤx2就可以了f'(x0)=1/x0=k设直线y=kx+b，把横坐标分别代入两个解析式，有：kx1+b=lnx1kx2+b=lnx2由点差法，上下作差：k(x1-x2)=lnx1-lnx2=ln(x1/x2)我之前说过解决它的核心是同变量靠拢，而x1/x2恰好符合这个特点，那么我们应该试图将左侧也转化为x1/x2，那么提出x2kx2（x1/x2 - 1）=ln(x1/x2)而k=1/x0整理得到：x2/x0=ln(x1/x2) ／ (x1/x2 -1)欲证明x2＞x0，只需证明右侧函数大于1即可，而x1/x2小于1因此构造函数g(x)=lnx/(x-1)，0＜x＜1，证明g(x)＞1就可以了。然后问题就很简单了。证明x0＞x1同理，左侧提出x1就变成x0与x1的关系，也需要构造函数，大家自己试着证明吧。4、其它构造或技巧结论。（1）熟练掌握以下结论：y=x+1是y=e的x次方的一条切线，切点是（0，1）那么有e的x次方≥x+1恒成立y=ex是y的e的x次方的一条切线，切点是（1，e）那么有e的x次方≥ex恒成立y=x-1是y=lnx的一条切线，切点是（1，0）那么有x-1≥lnx恒成立（x＞0）（2）当θ∈（0，π/2）时，sinx＜x＜tanx（3）数列证明题，一般都是让你一大长串式子大于或者小于一个简单的式子，其实这个简单的式子也可以写成一大长串式子和的形式，常见的有：ln(n+1)=ln2/1+ln3/2+ln4/3+……+ln(n+1)/nn/(n+1)=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n- 1/(n+1)然后分解为单项，每一项都比右侧的单项大或小，加和自然也满足不等关系。（4）左右同时取对数，比如取ln，可以实现消幂，乘法变加法。（5）导数最后一问不等式的证明一般不会脱离前几问，尤其是不会脱离前面的恒成立问题，注意前面恒成立问题的特殊取值的函数，往往会提供给最后一问证明提供思路。（6）选择题中出现的构造一般结合导数熟记：（xf(x)）' = xf'(x)+f(x)（f(x)/x）' =（ xf'(x)-f(x)）/ x²假如题中已知f(x)＞0，xf'(x)-f(x)＞0我们根据第二个式子可以知道f(x)/x是增函数。但由于已知f(x)＞0，我们也可以知道xf(x)也是一个增函数。至于为什么，大家可以思考一下。
函数与导数（十五）恒成立问题的五种解法—常规法函数与导数（十四）中我们介绍了单变量、多函数中恒成立问题。根据楼主的做题经验，我一共归纳了五种不同的解法。本节我们来一起讨论第一种解法：常规法。首先复习一下恒成立问题的形式：在规定的定义域内，f(x)≥g(x)（或f(x)≤g(x)）恒成立（两个函数中至少有一个含参），试求参数取值范围。常规方法的解题套路介绍如下：让参数参与求导，通过讨论参数的范围得到函数的单调性，看它是否符合条件，最后总结参数的范围。一些步骤或者处理方式：1、将所有成分移至不等号一侧，变为h（x）≤0或类似的形式（本讲以此为例）并注明其定义域（一般的题目中都有定义域限制）此时所求问题变为h（x）≤0在其定义域上恒成立我们只需试图通过单调性求其最大值，令最大值小于等于0即可。2、判断x取特殊值时，h（x）是否也是固定取值我们可以验证h（0）、h（1）、h（e）或者定义域的边界。如果发现特殊取值将给以下的处理提供一个非常不错的方向。3、求h'（x）一般情况下都是一个分式，分母明显大于0，所以将分子设为r（x），r（x）与h'（x）同正负。以下的处理就要具体情况具体分析了，通常有这样几种形式：（1）根据第2步中的特殊点直接寻找突破口，如h（0）=0，你只需令h（x）在x＞0上单调递减或先减后增，而x趋于无穷时h（x）仍小于等于0即可（2）直接观察讨论参数范围，如二次函数中讨论判别式、开口方向、对称轴等。有时你解出了h（x）的最大值点，但是它是一个很复杂的式子，带回原函数求解非常麻烦。这种情况下你可以用x0代替这个最大值点，通过导数与原函数联立，有时佐以观察法观察出参数的值（需要注意的是最好最后再用导数证明一下你观察的值是参数唯一解）（3）若一次求导根据我们现有的知识不能解出x的范围，我们可以尝试多次求导，用下一阶的导数求上一阶导数的单调性，这种情况下会出现特殊值，然后依次递推，最后求得r（x）单调性。＜例题＞已知直线y=ex是f(x)=a^x（表示a的x次方）的一条切线（1）求a的值。（2）若x≥0时，f(x)-f(-x)≥kx恒成立，求k的取值范围。我们先来解决第一问。我在（十四）中说过，y=ex是y=e^x的一条切线，那么很明显这里a=e，但是我们不能直接这么写，必须列出方程把它解出来。在之前的（十三）中，我讲过切线问题中不知道切点要设切点。所以设切点为P（x0，ex0）那么可以得到两个方程：点P在f(x)上有：ex0=a^x0 ①f(x)在P点的切线斜率（导数）为e有：e=f'(x0)=(a^x0)lna ②这个方程不是很好解（虽说你可以直接写解得a=e）下面我来提供它的一种解法。把②中的e代入 ①中，得：x0lna=1 ③将 ①式变形，左右同取自然对数，得：lnex0=lna^x0即1+lnx0=x0lna=1解得x0=1，a=e所以f(x)=e^x针对第二问，我们利用常规方法试图解一下。设g(x)=e^x-(e^-x)-kx，即x≥0时，g(x)≥0恒成立寻找特殊点发现，g(0)=0求导得g'(x)=e^x+(e^-x)-k由对号函数或不等式，我们发现：e^x+e^-x≥2因此2是讨论k范围的一个分界点。当k≤2时，g'(x)≥0恒成立，说明g(x)在(0，+∞)上单调递增，而g(0)=0，满足条件。当k＞2时，我们研究一下g'(x)。当x=0时，g'(x)=2-k＜0对g'(x)求导看其单调性，g''(x)=e^x-(e^-x)而x≥0，e^x≥1，e^-x≤1所以g''(x)≥0说明g'(x)是增函数，它的最小值g'(0)＜0设令g'(x)=0的x取值为x0，容易说明g(x)在（0，x0）上单调递减那么g(x0)＜g(0)=0因此k＞2时，存在x0使得g(x0)＜0成立，不符题意，舍去。综上，k≤2。
函数与导数（十六）恒成立问题的五种解法—分参法分离参数是一种非常好理解，而且用起来也不是很难的方法，因为它独特的无需分情况讨论、思维方式简单的特点深受我的喜爱（我是懒人好么- -）。下面我们就来研究一下这种解法的具体步骤。1、将参数分离为a≤h(x)或类似的形式，h(x)是一个确定的函数并注明其定义域（一般由题中条件限定）2、求h'(x)，利用单调性求得h(x)在其定义域上的最小值m，则本题答案为a≤m乍一看，这种方法十分简单，仅两步就可解决问题，然而下面几个问题仍是值得推敲的：（1）你能否分离出参数？有时候会遇到ax+lna•x²或类似的形式，这种情况由于参数形式不统一而无法使用分参法。（2）你得到的h(x)是否方便求导？虽然是一个确定的函数，但一些题目整理出的h(x)形式非常难看，求导难求，更别说求出最值了（3）由于题干规定的定义域是（0，+∞）或类似的开区间，而你通过求导发现h(x)恰在x=0时取得最值，可你又无法通过求极限的方法求得h(0)的值（普通方法和洛必达法则不适用），在最后一步停滞不前。加上上面的几个问题，似乎分离参数变得不是那么容易了。不过按常理来说，一般的题都能做出结果的。下面想说一下洛必达法则。何时使用：分离参数法经常使用洛必达法则。在函数与导数（十一）中我们研究函数特性，求某些边界的函数值趋近情况也会用到洛必达法则用途：求极限形式：当x趋近于x0时，求f(x)/g(x)的极限要求：当x趋近于x0时，f(x0)与g(x0)同时趋近于0或同时趋近于无穷（正负无所谓）内容：当x趋近于x0时，f(x0)/g(x0)的极限等于f'(x0)/g'(x0)的极限而且如果一阶导满足要求，还可以继续求导很好用的一个法则，没什么多说的，需要注意的就是使用时必须满足要求。还有两点需要注意：1、如果第一步分离参数得a＜h(x)，最后利用h(x)的最小值M是不在定义域内的一个自变量的极限，那么解集为a≤M2、如果第一步分离参数得a＜h(x)，最后利用h(x)的最小值M是在定义域内的一个自变量的极限，那么解集为a＜M下面我们用分离参数法解一下（十五）中的那道例题＜例题＞x≥0时，e^x-(e^-x)≥kx恒成立，求k的取值范围。把k分离出来就是把x除到左侧，当x=0时当然不能除了，但是x=0时左右相同，k可取任意值所以x＞0时，k≤(e^x-e^-x)/x=g(x)g(x)是一个确定的函数，求它最小值就行了那么求g'(x)分子是(x-1)e^x + (x+1)e^-x分母是x²分母必大于0，因此分子的正负就是g'(x)的正负设h(x)=(x-1)e^x + (x+1)e^-x再次求导h'(x)=x(e^x-e^-x)而x＞0，e^x＞1，e^-x＜1所以h'(x)＞0所以h(x)在x＞0上单调递增h(x)＞h(0)=0即g'(x)＞0说明g(x)在x＞0上单调递增现在要求g(x)的最小值，那么就要求g(x)在x趋近于0时的极限x趋近于0时分子e^x-e^-x趋近于0，分母x趋近于0满足洛必达法则条件那么lim(e^x-e^-x)/x x-0 =lim(e^x+e^-x) x-0=2所以k≤2
函数与导数（十七）恒成立问题的五种解法—特值法对于一些题而言，特值法几乎已经可以达到了秒杀的程度。作为一种新颖而创新的方法，它能否在大型考试中使用我并不清楚，但是我坚信，这种方法是科学的，是迅捷的，是最棒的。我之所以把这种方法称之为特值法，是因为它应用了两个特值。我们首先来分析一下这个问题：欲证f(x)≥g(x)在x≥0时恒成立只需证明h(x)=f(x)-g(x)≥0在x≥0时恒成立而寻找函数特值（特殊点）发现h(0)=0h(x)≥0在x≥0时恒成立，而h(0)=0那么h(x)从0开始一定是递增趋势不管它以后是一直增还是先增后减或怎样，在0处它一定是增的趋势，否则在0处就呈现减的趋势就会出现比0小的值，不符合条件。换句话说，h'(0)≥0一定成立求出h'(x)，把0带进去，就可以求得一个参数范围，若想h(x)≥0，参数一定满足该范围，于是我们得出了这个范围的必要性。但是我们不能说明这个范围内所有参数的取值对于题干都成立，也就是说它并不充分，把我们不妨令参数取得该范围，检验h(x)的单调性，即检验h'(x)的正负，然后相应的缩小参数范围就可以了。所以大家也发现了，所谓的两个特值，便是题干中规定的定义域边界点具有特殊的函数值，而根据题目要求，该点的导数也存在一个特殊性。用它求出参数的必要取值范围，然后带回检验其充分性即可。可以看出这种方法的限制因素很多，但是只要适用了，就会非常简单。先来说一下限制因素。1、你得能寻找出这个特值点（一般都在定义域边界，但是如果令h(0)=0的点不在定义域边界，而在x0处，那么h'(x0)一定等于0，这个应该很好理解）2、函数在特殊取值点导数必须有意义。也就是说这个特殊点附近必须连续，否则不能使用这种方法。3、h'(0)的表达式里得有参数，要不你用它干嘛呢- -下面我们用特值法解一下（十五）中的那道例题＜例题＞x≥0时，e^x-(e^-x)≥kx恒成立，求k的取值范围。设g(x)=e^x-(e^-x)-kx有g(0)=0求导g'(x)=e^x+(e^-x)-k要想满足题目中的条件，g(x)在(0，0)的导数必须大于等于0那么g'(0)=2-k≥0得k≤2检验这个结果的充分性：发现g'(x)=e^x+(e^-x)-k≥0在k≤2时恒成立，说明所有k≤2的值都满足条件。综上，k≤2
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