线性代数 矩阵特征值与特征向量量的问

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-24 06:37 标签： 特征值与特征向量
已知全部特征值特征向量求矩阵的问题【线性代数吧】_百度贴吧
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我知道可以用对角化的方法求，但是我用A乘以它特征向量构成的矩阵等于特征值分别乘以特征向量构成的矩阵为什么不行？就比如A特征向量为x1,x2,x3，特征值对应为a1,a2,a3，A（x1,x2,x3）=（a1,a2,a3）
假设特征向量无关，那右边乘以一个特征向量矩阵的逆不就是A了么？到底哪里错了？
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右边写错了，应该是a1x1,a2x2,a3x3
快出来解惑
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线性代数特征值和特征向量的求法
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lp ,首先你要明白,只有方阵才有特殊值.设矩阵为[A],求|λE-A|=0的所有λ,这些λ就为矩阵A的特征值,其中有的是重的,有几次就叫几重特征值.然后再解（λE-A）x=0,得到的这些x（向量）就为矩阵A的属于λ特征值的特征向量.
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【求助】线代的特征值与特征向量【已解决】
力学上一个公式如下图，从数学意义上来讲，是线代的特征值与特征向量问题，AX=λx,不过一般都是单个特征值问题，未涉及多个，我整理了一下发上来，
其中图中式2到式3怎么得来的，应该怎么理解，那位数学高手指导一下，表示感谢。
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扫描下载送金币线性代数复习 第五章 特征值和特征向量 - CSDN博客
线性代数复习 第五章 特征值和特征向量
第五章 特征值与特征向量
5.1 特征值与特征向量
有 n 阶方阵 A，非零 n 维列向量 α，若存在数 λ，使得关系式 Aα=λα 成立，那么称 λ 为矩阵 A 的一个特征值，对应 α 就是特征向量。
设 n 阶矩阵 A=(aij)，那么行列式
|λE-A|=∣∣∣∣∣∣λ-a11-a21?-an1-a12λ-a22?-an2????-a1n-a2n?λ-ann∣∣∣∣∣∣ 称为特征多项式，而 |λE-A|=0 就是特征方程，方程的根就是矩阵 A 的特征值。
总结起来就是
λ 是矩阵 A 的一个特征值
&& 存在非零向量 α，使得 Aα=λα&&|λE-A|=0
矩阵的迹（trace）定义为矩阵对角线元素的和，记做 tr(A)=a11+a22+?+ann
设方阵 A 的特征值为 λ，则有
而且这些矩阵的特征量都是一样的。
A 和 AT 的特征值相同，但是特征向量很不同。
设 λ1,...,λn 为矩阵 A 的 n 个特征值，那么 ∑i=1nλi=∑i=1naii=tr(A) ∏i=1nλi=|A| 即特征值的和是矩阵的迹，特征值的积是矩阵的行列式。
幂零矩阵（Ak=0）的特征值只能是 0
特征值都为零的矩阵一定是幂零矩阵，但不一定是零矩阵。
幂等矩阵（A2=A）的特征值只能是 0 和 1
对于矩阵 A，属于不同特征值的向量线性无关；若 λ 是 k 重根，那么属于该特征根的特征向量至多有 k 个。
计算特征值与特征向量
要求解特征值，直接解特征方程即可，然后带入到原始矩阵里，得到的基础解系就是特征向量。
5.2 相似矩阵与矩阵的对角化
基本概念和性质
设 A,B 都是 n 阶方阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B 则称矩阵 A 和 B 相似，记做 A~B。
若 A~B，则 B~A
若 A~B,&A~C 则 B~C
能和对角矩阵（即除了对角线上的元素其他元素都为零的矩阵）相似的矩阵，称作可对角化矩阵。
如果两个矩阵相似，那么这两个矩阵的特征多项式、特征值、迹、行列式和秩全部都相同。反之则不成立。
定理：n 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量（即 A 的 k 重根有 k 个线性无关的特征向量）
即 A 可对角化
λi 为 ki 重根，则属于 λi 的线性无关的特征向量的个数 n-r(λiE-A)=ki
当然暴力一点，如果有 n 个不同的特征根，则 A 相似于对角矩阵。反之却不成立。
矩阵的相似对角化的步骤
求解特征方程 |λE-A|=0，可以得到所有不同的特征值 λ1,...,λm
对每个特征值 λi，求对应的线性无关的特征向量
想要求特征向量，则要求 (λiE-A)x=0，其基础解系就是特征向量
若λi 为 k 重特征值，可能线性无关的特征向量不够 k 个，那么矩阵不可以对角化
若矩阵 A 可以对角化，所有线性无关的特征向量可以构成可逆矩阵 P，使得 P-1AP=Λ=?????????????????λ1?λ1?λm?λm?????????????????
对角矩阵 Λ 中空白的部分为 0.
实对称矩阵的相似对角化
特征值都是实数，且矩阵的转置等于本身的矩阵称作是实对称矩阵，还有下面的性质
实对称矩阵的不同特征值的特征向量必然正交
正交啊，亲！这么好的性质去哪里找。
实对称矩阵的 k 重特征值恰好对应 k 个线性无关的特征向量。
定理： n 阶实对称矩阵 A 正交相似于对角矩阵，即存在正交矩阵 Q，使得 Q-1AQ=???????λ1λ2?λn???????
求解正交矩阵 Q 的步骤：
1. 求出 A 的特征值
2. 求解每个特征值对应的 (A-λiE)X=0 的基础解系，在 Schmidt 正交化，单位化。
3. 把上面正交化，单位化后的向量，构成正交矩阵 Q
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