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范文二：常用等价无穷小等价替换1、 当x→0时：1、 x~sinx~sin?1x~tanx~tan?1x~ex?1~ln(1+x)2、 x2+x~x3、 1?cosx~x2 21 4、 (1+x)α?1~αx5、 ax?1~xlna6、 loga(1+x)~m1lnax n 7、 (1+αx)?1~αx8、 ?重要极限：limx→∞ 1+ =e x1x1m limx→0(1+x)=elimx→∞ 1? = x1x11e limx→0(1?x)=e1 limn→∞ =1公式：cosα?cosβ=?2sinnnα+β2n?sinn2α?β2 (sin（βx))=βsin(βx+π)(1ax+b)n=(?1)nn!?an(ax+b)?(n+1)ab求极限常用：罗比达法则lim数) =lima′b′ (a’、b’是a、b的导无穷小量等价替换和罗比达法则只能在乘法中用，其中罗比达法则只有当因式极限为零或者无穷的时候用罗比达法则未定型式的变换：（变成或者 0∞0∞ 0?∞=0?= 0010 ∞?∞=?= 1∞=e∞?ln1=e∞?000=e0?ln0=e0?∞∞0=e0?ln∞=e0?∞通过这些变换可以使更多代数式实用罗比达法则
范文三：常用等价无穷小等价替换1、 当x→0时：1、 x~sinx~sin?1x~tanx~tan?1x~ex?1~ln(1+x)2、 x2+x~x3、 1?cosx~1 2x24、 (1+x)α?1~αx5、 ax?1~xlna6、 loga(1+x)~1 lnax7、 (1+αx)mn ?1~m nαx8、 (1+x)? (1?x)~x2、 重要极限：limx→∞ 1+1x x =elimx→0(1+x)1x =elimx→∞ 1?1x x =1 elimx→0(1?x)1 x =1 elimn→∞ nn=13、 公式：cosα?cosβ=?2sin α+β2 ?sin α?β2(sin（βx))n =βnsin(βx+n 2π)(1 ax+b)n=(?1)nn!?an(ax+b)?(n+1)4、 求极限常用：罗比达法则limab =lim a′b′ (a’、b’是a、b的导 数)5、 罗比达法则未定型式的变换：（变成00 或者∞ ∞ 的形式）0?∞=0?10 =0 0∞?∞=10?10= 0?00?01∞=e∞?ln1=e∞?000=e0?ln0=e0?∞∞0=e0?ln∞=e0?∞通过这些变换可以使更多代数式实用罗比达法则
范文四：常用等价无穷小等价替换1、 当x→0时：1、 x~sinx~sin?1x~tanx~tan?1x~ex?1~ln(1+x)2、 x2+x~x3、 1?cosx~2x24、 (1+x)α?1~αx5、 ax?1~xlna6、 loga(1+x)~lnax7、 (1+αx)?1~nαx8、 ?重要极限：limx→∞ 1+=e x1x1m11m limx→0(1+x)=elimx→∞ 1?x=elimx→0(1?x)=e limn→∞n =1公式：cosα?cosβ=?2sinnα+β211x11?sinnα?β2 (sin（βx))=βnsin(βx+2π)(ax+b)n=(?1)nn!?an(ax+b)?(n+1)求极限常用：罗比达法则lim数)无穷小量等价替换和罗比达法则只能在乘法中用，其中罗比达法则只有当因式极限为零或者无穷的时候用 ab1=lima′b′ (a’、b’是a、b的导罗比达法则未定型式的变换：（变成或者的形式） 0∞0∞ 0?∞=0?= 0010 ∞?∞=0?0=110?00?0 1∞=e∞?ln1=e∞?000=e0?ln0=e0?∞∞0=e0?ln∞=e0?∞通过这些变换可以使更多代数式实用罗比达法则
范文五：常用的等价无穷小量求极限的方法：˙利用四则运算法则˙无穷小量与无穷大量的性质（有界变量与无穷小量的积是无穷小量） ˙利用左右极限˙利用恒等变形（分子、分母有理化，通分，三角函数恒等式，数列求和）˙夹逼定理和单调有界原理˙两个重要˙洛必达法则（极限七种未定式：0∞，，0?∞，∞?∞，00，1∞，∞0） 0∞˙等价无穷小量的代换˙利用函数连续性˙利用导数定义˙利用定积分定义常用的等价无穷小量：（ x→0 时） sinx～x , tanx～x , arcsinx～x , arctanx～x ,121?cosx～x 2ln(1+x)～x ,loga(1+x)～1x ,lna ex?1～x , ax?1～xlna, (1+x)α?1～αx.
范文六：常用的等价无穷小量常见的等价无穷小量 当Δx→0时 sinΔx∽ΔxtanΔx∽ΔxarcsinΔx∽ΔxarctanΔx∽Δx1-cosΔ2（?x）x∽ 2e?x?1∽Δxln(1+Δx) ∽Δx(1+Δx)?-1∽αΔx（α为实数）最后一个公式在物理学里最实用 Δx→0时，(1+Δx)?-1∽αΔx（α为定实数） 证明：设函数为y=x?dy??x??1, dxdy=?x??1dx ,当x=1时：(1+Δx)?- (1)?= ??1??1dx=αdx ∴当Δx→0时，(1+Δx)?-1=αΔx（α为定实数）应用:当Δx→0时 1?1??x 1??x1?1??x 1??x(1+aΔx)2=1+2aΔx (a+bΔx)2=a2(1+2bΔx)=a2+2abΔx a1??x=1-1?x 2等等常见的等价无穷小量 当Δx→0时 sinΔx∽ΔxtanΔx∽ΔxarcsinΔx∽ΔxarctanΔx∽Δx1-cosΔ2（?x）x∽ 2e?x?1∽Δxln(1+Δx) ∽Δx(1+Δx)?-1∽αΔx（α为实数）最后一个公式在物理学里最实用 Δx→0时，(1+Δx)?-1∽αΔx（α为定实数） 证明：设函数为y=x?dy??x??1, dxdy=?x??1dx ,当x=1时：(1+Δx)?- (1)?= ??1??1dx=αdx ∴当Δx→0时，(1+Δx)?-1=αΔx（α为定实数）应用:当Δx→0时 1?1??x 1??x1?1??x 1??x(1+aΔx)2=1+2aΔx (a+bΔx)2=a2(1+2bΔx)=a2+2abΔx a1??x=1-1?x 2等等
范文七：等价无穷小等价无穷小目录 编辑本段等价无穷小首先来看看什么是无穷小：无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)＝0(或f(x0)＝0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。例如，f(x)＝(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)＝1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)＝sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。 这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：假设a、b都是lim(x→x0)时的无穷小，如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）如果lim b/a=∞，就是说b是比a低阶的无穷小。比如b=1/x^2， a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。如果lim b/a^n=常数C≠0（k＞0），就说b是关于a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。下面来介绍等价无穷小：从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim b/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lim a～a＇、b～b＇则：lim a/b=lim a＇/b＇现在我们要求这个极限 lim(x→0) sin(x)/(x+3)根据上述定理 当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ，那么lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=0编辑本段重要的等价无穷小替换当x→0时，sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1-cosx~1/2x^2a^x-1~xlnae^x-1~xln(1+x)~x(1+Bx)^a-1~aBx[(1+x)^1/n]-1~1/nxloga(1+x)~x/lna值得注意的是，等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（也不是不能替换，但是有条件）
范文八：等价无穷小这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。
范文九：积分公式与常用等价无穷小常用积分公式1、 kdx=x+c 2、dxx=lnx+c3、 xndx=xn+1n+1dx+c 4、 sinxdx=?cosx+c5、 cosxdx=sinx+c 6、 sec2xdx=tanx+c 7、 csc2xdx=?cotx+c 8、 secxtanxdx=secx+c 9、 cscxcotx=?cscx+c 10、 shxdx=chx+c 11、 chxdx=shx+c 12、 exdx=ex+c 13、 axdx=axlna+c14、 11+x2dx=arctanx+c 15、 =arcsinx+c16、 secxdx=ln secx+tanx +c 17、 cscxdx=ln cscx?cotx +c 18、 1a+xdx=1arctanxaa+c19、 =arcsinxa+c20、 tanxdx=?ln?|cosx|+c 21、 cotxdx=ln sinx +c 22、 =ln x+ +c 23、 =ln x+ +c24、11a?xdx=2aln?|a+xa?x|+c25、 11x?ax?adx=2aln?|x+a|+c 26、 cos2xdx=12sin2x+c 27、 sin2xdx=?12cos2x+c ?28、 = x?12dx=x1+1?+c=2 +c29、 =12 +c30、 adx=a22arcsinxxa?2 +c等价无穷小替换sinx～x tanx～x arcsinx～x arctanx～x ex?1～x ln(1+x)～x 1－cosx～1x2 sinx－x～－1x326x－sinx～16x3 ax－1～xlna (1+x)1?1～11?cosx1x limx→0=limax?1x→0=1 limln?(1+x)x→0=1求极限的常用方法阅读详情：/news/99C3F6A84E1B8C54.html∞型极限求法: f(x)g(x)=g x ·[f x ?1]
范文十：论文等价无穷小文章就多种类型的未定型极限，求极限时可用无穷小等价替换，所求的极限值不变，回答了在有加减的情况下有条件地使用等价无穷小替换来求极限。关键词：等价无穷小；未定型极限；等价替换；泰勒公式中图分类号：G649 文献标识码：A文章编号：（8-02等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。一、等价无穷小的概念及性质定义：极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。如果 ，就称 为当 时的无穷小。当 ，则称 与 是等价无穷小，记作 ∽ 。无穷小的性质有：定理1：若 ∽ ， ∽ ，且 ，则证：定理告诉我们，在求未定型“ ”、“ ”的极限时，式中的无穷小可用等价的无穷小来替换，其极限值不变。定理可作如下推广：推论1：设 是任意函数， ∽ ，且 存在，则例1：求解：此极限是 “0、 ”型，由推论1，可得在求其他类型的未定型“ ”、“ ”、“ ”、“ ”的极限时，也可直接利用等价无穷小进行替换，其求的极限值不变。推论2：设 ∽ ， ∽ ，且 存在，则有证明：例2：求解：由推论2及 、 ∽x、 ∽x可得定理2：若 ，则 ∽例3：求解：由泰勒公式（ ＜x＜ ）例4：求解：由泰勒公式定理3：若 ∽且 ，则证：当则同理：若因此 ∽定理4：若 ∽且 ，则证：当则， ∽ ，当∽ ，则 ∽ ，当 ∽ ， （或 ） ） ，（或同理：若 ，则因此 ∽在应用定理3与定理4时一定要注意它们的条件。二、等价无穷小替换的应用常用的等价无穷小有：当x∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽∽ ∽例5：求解1：该极限为未定型（ ）型，可用洛比达法则求解，也可用等价无穷小的性质求解。 （洛比达法则）解2：此处运用 ∽例6：解1：该极限为未定型，用洛比达法则原式解2：运用等价无穷小的性质原式此处运用了 ∽∽例7：解1：此极限为未定型，用洛比达法则解2：此处不能运用 ， ∽ ，因解3：由泰勒公式例8：求解1：原式 （洛比达法则）出现循环，用洛比达法则求不出结果，用等价无穷小替换。， x∽ ∽原式由此可看到洛比达法则并不是万能，它有它的局限性，只要充分地掌握好等价无穷小的性质，这些原本复杂的问题就会变得非常简单。参考文献[1]同济大学才教学教研室主编．高等数学[M]．高等教育出版社出版．[2]候风波主编．高等数学[M]．高等教育出版社出版．[3]王晓宏主编．高等数学[M]．科学出版社出版． 摘要等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中，还是在正项级数的敛散性判定中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注重的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。关键词等价无穷小极限罗比塔法则正项级数比较审敛法Comprension，ExpandandApplicationofEquivalentInfinitesimalHospitalRule.thispapergiveexamplesandcomparesomeinstancetopayattentiontoconditioninapplicationofEquivalentLimit，sothequestioncanbesimplyandavoiderrorinapplication.KeywordsequivalentIL’Hospitcomparisontest等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。其实，在判定广义积分、级数的敛散性，非凡是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，把握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时还很难判定错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地熟悉和理解，以便恰当运用，达到简化运算的目的。1等价无穷小的概念及其重要性质［1］无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时时，limf=0，则称函数f当x→x0时时为无穷小。当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。常见性质有：设α，α′，β，β′，γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小，①若α～α′，β～β′，且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′②若α～β，β～γ，则α～γ性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：③若α～α′，β～β′，且limβα=c，则α+β～α′+β′证实：∵limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′－βα－β′β=lim1+c1+c=1∴α+β～α′+β′而学生则往往在性质的应用上忽略了“limβα=c”这个条件，千篇一律认为“α～α′，β～β′，则有α+β～α′+β′④若α～α′，β～β′，且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′此性质的证实见文献［2］，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注重条件“limβα=c”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。2等价无穷小的应用2.1在求极限中经常用到的等价无穷小有x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln～ex-1，1-cosx～12x2，n1+x～1+xn，例1limx→0tanx-sinxx3解：原式=limx→0sinxx3cosx=limx→0x－12x2x3=12此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。例2limx→0e2x-31+xx+sinx2解：原式=limx→0e2x-1-x+x2=limx→02x-13xx=53用性质④直接将等价无穷小代换进去，也可用罗比塔法则做。例3limx→0解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x=limx→0x4=limx→0x2x4=limx→0x2=limx→012x2－x2=解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→0x4=limx→02xx44=limx→02x3=limx→023x2=23limx→0tan2xx2=23两种解法的结果不同，哪一种正确呢？可以发现解法1错了，根源在于错用sinx-xcosx～x-xcosx，由性质③sinx-xcosx并不等价于x-xcosx。从解法2又可以看到尽管罗比塔法则是求极限的一个有力工具，但往往需要几种方法结合起来运用，非凡是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出结果。2.2在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷小的一个应用。比较审敛法的极限形式：设∑∞n=1un和∑∞n=1vn都是正项级数，①假如limn→∞unvn=l，且级数∑∞n=1vn收敛，则级数∑∞n=1un收敛。②假如limn→∞unvn=l0或limn→∞unvn=+∞，且级数∑∞n=1vn发散，则级数∑∞n=1un发散。当l=1时，∑un，∑vn就是等价无穷小。由比较审敛法的极限形式知，∑un与∑vn同敛散性，只要已知∑un，∑vn中某一个的敛散性，就可以找到另一个的敛散性。例4判定∑∞n=11n2-lnn的敛散性解：∵limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1又∑1n2收敛∴∑∞n=11n2-lnn收敛 例5研究∑∞n=11ln的敛散性解：limn→∞1ln1n=limn→∞nln=1而∑1n发散∴∑∞n=11ln发散3等价无穷小无可比拟的作用以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→022xtan2x+2x2tanx－secx=limx→0secx-1tan2x+4x－tanx－secx+x2secx式子越变越复杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例：例6［3］limx→0+tansin解：原式=limx→0+sec2cosx2tancossec2x2sin56～59.2杨文泰，等.价无穷小量代换定理的推广.甘肃高师学，～13.3王斌.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨.黔西南民族师专学，～58.首页上一页 1下一页尾页相关热词搜索: 理学论文初论数学高中数学多媒体无穷小性质级数极限解法提供大量的免费资料下载,如果你喜欢我们,请将我们分享给您的朋友们!
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