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什么是力学
作者：liuxinyuan2012
热门文章推荐流体力学_甜梦文库
流体力学许春晓 彭杰 航天航空学院2009年秋-研究生-流体力学绪论1绪论 流体力学的研究对象和内容 流体力学的发展历史 流体力学的研究方法 本课程的主要内容2009年秋-研究生-流体力学绪论2流体力学的研究对象和内容研究流体（液体和气体）的运动规律及其 和周围物体的相互作用 流动现象在自然界中非常普遍，流体力学 的内容非常广泛 例如：环境、能源、运输、生物2009年秋-研究生-流体力学绪论3飓风Here we have two pictures of hurricane Fran, taken on September 5, 1996. Hurricane form in the summer and fall when intense low pressure systems form over the ocean. As the air moves in towards the low pressure zone, the Coriolis force due to the rotation of the earth causes the air to move in counterclockwise direction (in the Northern hemisphere ). The spiraling motion over a warm sea increases the moisture and energy content, and the storm builds up over time. Once the hurricane moves inland, it loses its power source and quickly dissipates, but not before causing great damage.2009年秋-研究生-流体力学绪论4海啸Japanese term (literally meaning &big wave&) now generally used for an unusual, very large wave or series of waves. Tsunamis are generated either by submarine earthquakes, by landslides or by effects of volcanic eruptions (such as the collapse of a caldera in the sea). Tsunamis have long wavelengths and small wave heights on the open sea. As water depth decreases near land the wavelength diminishes and the wave height increases dramatically which may lead to catastrophic flooding of coastal areas. Tsunamis may deceive coastal residents in that a wave trough may arrive before the first wave crest.2009年秋-研究生-流体力学 绪论 5能源2009年秋-研究生-流体力学绪论6运输2009年秋-研究生-流体力学绪论7生物流体力学2009年秋-研究生-流体力学绪论8流体力学的发展二十世纪是近代流体力学的发展时期，可分为两个阶段1. 以空气动力学为主的时期：20世纪初到50年代 主要标志和成就 C 机翼理论：正确解释飞行原理，飞机的升力 是怎样产生的，开辟了人类飞行时代； C 边界层理论：正确解释流动阻力的产生； C 突破音障：飞机接近音速时强烈振动； C 预言热障：激波2009年秋-研究生-流体力学绪论9流体力学的发展2. 应用科学时代（20世纪50年代以来） 除“空气动力学”和“水动力学”外，还发展了? ? ? ? ? ? ? ? 地球物理流体力学：大气、海洋； 气体力学：高速空气动力学； 水波动力学：波和堤岸、海洋平台的相互作用； 渗流力学 生物流体力学 工业流体力学 非牛顿流体力学 运动流体力学2009年秋-研究生-流体力学绪论10流体力学的发展3. 目前流体力学的发展重点 复杂流动的预测和控制 C 复杂介质：两相、多相流体，高分子、高稠度非牛顿流体， 超高温气体，有化学反应的介质；C 复杂流态：湍流；C 复杂几何边界：飞机整机计算，多级透平整机计算;2009年秋-研究生-流体力学绪论11流体力学的研究方法理论研究C 建立可解正确的方程和边界条件 C 建立流动模型实验研究C 认识流动现象 C 模化实际流动数值研究C 利用数值计算模拟、预测流动，验证理论2009年秋-研究生-流体力学绪论12本课程简介定位：专业基础课C 注重流体力学概念、原理和分析方法内容：流体力学的基本原理和分析方法C 流体的物理性质 C 流体运动学 C 流体动力学基本原理 C 理想流体动力学 C 气体力学基础 C 粘性流体动力学基础2009年秋-研究生-流体力学 绪论4 8 8 12 12 12许春晓 许春晓 许春晓 许春晓 彭杰 彭杰13本课程简介学时： 共64学时（十一元旦放掉4学时）C 授课56，习题课2，期中考试2教材及参考书C 流体力学，张兆顺、崔桂香，清华大学出版社 C 流体力学理论例题与习题，朱之墀、王希麟， 清华大学出版社成绩：C 期中40%，期末60%方式：C 上课、作业、考试；2009年秋-研究生-流体力学 绪论 14本课程简介主讲教师： 许春晓 逸夫科学楼6 xucx@ 彭 杰 逸夫科学楼9 peng-jie@ 辅导教师： 邓冰清 逸夫科学楼9 dbq05@mails.2009年秋-研究生-流体力学 绪论 15预备知识向量和张量的表示x2 e2 x3 e3爱因斯坦求和约定 坐标： x ie1坐标基单位矢量： eix1向量： a = a1e1 + a2 e2 + a 3 e 3 = ai ei 张量：T = Tij ei e jT = Tijk ei e j ek并矢： ab = (ai ei ) (bj e j ) = aibj ei e j2009年秋-研究生-流体力学 绪论 16预备知识克罗内克尔δ符号?0, i ≠ j ? i, j = 1,2, 3 δ ij = ei ? e j = ? ?1, i = j ?置换符号 ei × e j = ε ijk ek?0 ? ? =?1 ? ??1 ?i,j,k中至少有两个相同 i,j,k排列顺序为123123。。。 i,j,k排列顺序为321321。。。ε ijk2009年秋-研究生-流体力学绪论17预备知识哈密尔顿算子? ? = ei ?x i梯度?? ?x i ?a ?a j e j ?a j ?a = ei = ei = ei e j ?x i ?x i ?x i ? ? = ei标量的梯度是向量 向量的梯度是二阶张量散度?a j ?a j ? ?ai ? ? a = ei ? (a j e j ) = ei ? e j = δ ij = ?x i ?x i ?x i ?x i ?Tjk ? ?Tjk ?Tjk ? (Tjk e j ek ) = ? ? T = ei ei ? e j ek = ek δ ij ek = ?x i ?x i ?x i ?x j绪论 182009年秋-研究生-流体力学预备知识应用举例? V ? ?V = Vi ei ? e j (Vk ek ) ?x j ?Vk ?Vk ?Vk ?V δ ij ek = Vi ek = Vi = Vi ei ? e j ek = Vi ?x j ?x i ?x i ?x j ? ?VVk j ? (VVk e j ek ) = ei ? e j e k j ?x i ?x i ?VVk ? ?Vk ?VVk ?Vj ? j j ek = ?Vj = δ ij ek = + Vk ? ek ? ?x ?x j ?x i ?x j ? j ? ? ?Vj ?V = Vj +V = V ? ?V + V? ? V ?x j ?x j绪论 19? ? ( VV ) = ei2009年秋-研究生-流体力学预备知识高斯公式（体积分与面积分的转换关系）∫∫∫ ? ? adτ = ∫∫ n ? adA τAn∫∫∫ ?? dτ = ∫∫ n? dA τAτA∫∫∫ ? × adτ = ∫∫ n × adA τA斯托克斯公式（面积分与线积分的转换关系）n∫∫ n ? ( ? × a ) dA = ∫ a ? dLA LA L绪论 202009年秋-研究生-流体力学作业自学附录 I. 张量运算基础 II.高斯公式和斯托克斯公式 III.正交曲线坐标系 习题 朱之墀：0.5, 0.6, 0.7,0.142009年秋-研究生-流体力学绪论21第一章 流体的物理性质2009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质1基本内容流体的连续介质模型 流体的基本性质 作用在流体上的体积力和表面力 流体的界面现象和性质2009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质2§1.1流体的连续介质模型研究流体的宏观运动：巨量分子的统计性质 1. 连续介质模型C 流体是连续分布的物质，它可以无限分割为具有一定 质量的宏观微元体； C 不发生化学反应和离解等非平衡热力学过程的运动流 体中，微元体内流体状态服从热力学关系； C 除特殊面外，流体的力学和热力学状态参数在时空中 是连续分布的，并且通常认为是无限可微的。2009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质3§1.1流体的连续介质模型连续介质模型的适用范围流体的运动尺度远远大于流体分子运动的平均自由程 例如：常温常压下空气 分子运动的平均自由程： λ ? 10?8 m l ? 10?6 m 微米探针： 3 l / λ ) ? 106 分子数： ( 在微米的尺度上仍可将空气视为连续介质 在外层空间， 分子运动的平均自由程： λ ? 1m l ? 1m 飞行器： 在米的尺度上气体运动不能采用连续介质模型2009年秋-研究生-流体力学 流体的物理性质 4§1.1流体的连续介质模型Knudsen number (努森数)Kn = λ / L2009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质5§1.1流体的连续介质模型2. 流体微团及流体质点的概念 流体微团：C 定义： 把流体无限分割为具有一定质量的微元，它是研究流 体运动的最小单元，称为“流体微团” 性质： 流体微团应是宏观上无限小，微观上无限大的质量体C流体微团体积 δ V ，流体运动尺度 L ，分子运动尺度 λδ 宏观上无限小： V / L32009年秋-研究生-流体力学1 ;微观上无限大：δ V / λ 3流体的物理性质16§1.1流体的连续介质模型2. 流体微团及流体质点的概念 流体质点：C 定义： 当不需要考虑流体微团的体积和变形，只研究它的位 移和各物理状态时，我们可以把它视作没有体积的质 点，这时我们称流体微团为流体质点2009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质7§1.1流体的连续介质模型3. 流体物理量空间任一点上的流体物理量（如密度、温度、速度等） 是指位于该点上的流体质点的物理量，是宏观平均量的 极限值。 例如：流体在某一点上的密度定义为ρ ( P ) = limΔM Δτ →0 Δτ根据连续介质模型，流体中每一点都被相应的流体质点 所占据，流体质点可以用时空中的一个点来标记 P ( x, t )， 因此流体宏观物性的不均匀性，可以用时空变量 ( x,t ) 的函数来描述， 例如：气体的密度 ρ = ρ ( x,t )，温度 T = T ( x, t )2009年秋-研究生-流体力学 流体的物理性质 8§1.2流体的基本性质1. 流体的易流动性处于静止状态的流体不能抵抗剪切力，即流体在很小的 剪切力作用下将发生连续不断的变形，直到剪切力消失 为止，流体的这种性质称为易流动性。2009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质9§1.2流体的基本性质2. 流体的粘性 1）定义：流体运动时，流体微团之间具有抵抗相互滑移运动的属 性，称为流体的粘性。 粘性是流体的固有属性之一，不论是静止流体还是运动 流体都具有粘性。 2）粘性的表现： 流体作变形运动时，相互接触的流体微团之间有切应力 作用 分子运动引起的动量交换，是一种分子的输运性质2009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质10§1.2流体的基本性质牛顿平板实验上表面的流体速度为 U 下表面的流体速度为0 两板间速度为yAera=A U=Consto z xF=?HU u ( y) = y H 单位面积上作用力正比于 U / H即F U ∝ A HF U τ ≡ =μ A HdU τ =μ dy2009年秋-研究生-流体力学牛顿切应力公式μ ：动力粘性系数流体的物理性质 11§1.2流体的基本性质3）粘性系数： 粘性系数是流体粘性大小的一种度量，它取决于流体的 种类和状态，与温度有很大关系，而与压力关系不大 动力粘性系数：μ = μ (θ )[ 量纲：μ ] = [ F ][ L]?2 [T ]ν 运动粘性系数： =μ = ν (θ , p ) ρ[ν ] = [ L]2 [T ]?1国际单位：N ? S/m 2 在常温常压下，液体： θ ↑ μ ↓ ρ ↓ ν ↓ 气体： θ ↑ μ ↑ ρ ↓ ν ↑m 2 /S液体输运：分子间引力，温度升高，引力降低，粘性系数减小 气体输运：分子间碰撞，温度升高，碰撞增强，粘性系数增大2009年秋-研究生-流体力学 流体的物理性质 12§1.2流体的基本性质4）理想流体粘性系数等于零的流体称为理想流体 是人们为简化实际问题所提出的的一种抽象模型 可用于粘性系数较小、远离固壁、速度梯度较小情况红色硅油粘度为10,000倍水的粘度 黄色：硅油粘度为10倍水的粘度2009年秋-研究生-流体力学 流体的物理性质 13§1.2流体的基本性质3. 流体的压缩性 由于压强变化而引起流体体积变化的性质 体积压缩系数：在一定温度下，单位压强增量引起的流体体积的相对 变化量1 ? ?V ? 1 ? dρ ? β =? ? ? = ? ? V ? ?p ?θ ρ ? dp ?θM2 / N体积弹性模量 ：单位体积的相对变化所需的压强增量? dp ? E = = ρ? ? β ? dρ ?θ 12009年秋-研究生-流体力学 流体的物理性质N/M214§1.2流体的基本性质不可压缩流体：流体运动中密度相对变化微小的流体 一般情况下，液体的密度几乎不随压强变化，视为不可压流体 E = 2.1× 109 N / m 2 ， 例如：水的体积弹性模量 Δp = 1.013 × 105 N / m 2 增加1个大气压 密度的相对变化 Δρ = Δp ≈ 0.5 × 10?4ρE气体视为可压缩的，但气体速度远小于当地音速时，视为不可压。2009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质15§1.3作用在流体上的体积力和表面力在流体中，任取一流体微团，其上受到两种外力： 第一种外力作用在流体微团的质心上，与流体 微团的体积成正比，称为体积力，属于非接触 力； 第二种外力是周围流体或物体作用在流体微团 表面上的力，与力的作用面大小成正比，称为 表面力，是接触力。表面力体积力2009年秋-研究生-流体力学 流体的物理性质 16§1.3作用在流体上的体积力和表面力1. 体积力和体积力强度a) 几种体积力 地球引力场中流体微团受到的引力与它的质量成正比δ G = gδ m ? ? ? δ G = ρ gδ V δ m = ρδ V ? 重力加速度流体在非惯性坐标系中运动时，受到的惯性力δ F = ?aδ m = ? ρ aδ V惯性加速度带电质点在静电场中运动时，受到的静电力δ F = qEδ V2009年秋-研究生-流体力学电荷密度，电场强度流体的物理性质 17§1.3作用在流体上的体积力和表面力b) 体积力强度 流体微团单位体积上作用的体积力称为体积力强度δF fV = lim δ V →0 δ Vc) 体积力合力及合力矩（有限体积的流体） 合力： 合力矩：2009年秋-研究生-流体力学F = ∫ fV dVVM = ∫ r × fV dVV流体的物理性质ro18§1.3作用在流体上的体积力和表面力2、表面力和应力1）定义任取一有限体积的流体，它的表面上受到周围流体或物体的接触 力，这种力分布于有限体积的表面，称为“表面力” 单位面积上的表面力称为表面力的局部强度，称为“应力”TnnδAδF Tn = lim δ A→0 δ AT 注意：应力和它的作用面的方向有关； n 是向量，可分解为沿作用面 的法向分量（正应力）和切向分量（切应力）。 nTnn = Tn ? nTnt = Tn ? tTns = Tn ? ssTn应力分量下标第一个符号代表应力作用面的法向量， 第二个符号代表应力分量的方向2009年秋-研究生-流体力学 流体的物理性质t19§1.3作用在流体上的体积力和表面力2）应力的性质 相邻两微元面上的表面力是作用力与反作用力δFn*n δ F*δ F = ?δ F*? δ F* ? ? δF ? Tn* = lim ? ? = δlim0 ? ? ? = ?Tn δ A→0 δ A ? ? A→ ? δ A ?相邻微元面上的正应力和切应力值都相等δAδ A*n* = ?n, t * = ?t , s* = ?sTnn = Tn ? n Tnt = Tn ? t Tns = Tn ? s2009年秋-研究生-流体力学Tn*n* = Tn* ? n* = ( ?Tn ) ? ( ?n ) = TnnTn*t* = Tn* ? t* = ( ?Tn ) ? ( ?t ) = TntTn*s* = Tn* ? s* = ( ?Tn ) ? ( ?s ) = Tns流体的物理性质 20§1.3作用在流体上的体积力和表面力3、一点上的应力张量及其性质1）一点的应力状态 一点上三个相互垂直平面上的应力向量称为一点的应力 状态 只要知道一点的应力状态，就可以确定通过该点任意面 上的应力（证明略）x2 ?e1 x3 ?e 2Tn?e3nTn = T1n1 + T2 n2 + T3 n3 = Ti nix1n = n1e1 + n2e 2 + n3e3 = ni eiδ Ai = δ An ni2009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质21§1.3作用在流体上的体积力和表面力2）应力张量 一个向量可分解为三个分量T1 = T11e1 + T12e 2 + T13e3 = T1 j e j ? ? T2 = T21e1 + T22e 2 + T23e3 = T2 j e j ? Ti = Tij e j T3 = T31e1 + T32e 2 + T33e3 = T3 j e j ? ?于是一点的应力状态还可以用九个代数值组成的矩阵表示?T11 T12 T13 ? ?Tij ? = ?T21 T22 T23 ? ? ? ? ? ?T31 T32 T33 ? ? ?T = Tij ei e jTij = T ji则任意面上的应力可表示为Tn = Ti ni = Tij ni e j = n ? T2009年秋-研究生-流体力学 流体的物理性质 22§1.3作用在流体上的体积力和表面力例：已知流场中某点的应力张量, 求：作用在过该点的面元上的应力矢量、 正应力和切应力。该面元与以下平面平行f ( x , y , z) = x + 3y + z ? 1 = 0解：先求出面元法向的单位矢 由柯西公式 ? 1 得应力矢量 T = n ? σ = ?? 0 1 2? ? ? σ ij = ? 1 2 0? ? ? ? 2 0 1??f 1 n= = , (1,31) ?f 113 11 ?0 1 2? ? ? 5 1 ?? ? ?1 2 0? = ? 11 ? ? 2 0 1 ? ? 11 ? ? 7 11 3 ? ? 11 ?? 11正应力 切应力Tn = T ? n =5 + 21 + 3 29 = 11 11Tτ = T 2 ? Tn2 =25 + 49 + 9 ? 29 ? 6 2 ?? ? = ? 11 ? 11 1122009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质23§1.3作用在流体上的体积力和表面力3）理想流体和静止流体的应力张量Tij = ? pδ ij任意面上的应力为p 为大于零的标量Tn = Tij ni e j = ? pδ ij ni e j = ? pn j e j = ? pn各向同性的压力思考题：为什么？2009年秋-研究生-流体力学 流体的物理性质 24§1.4流体的界面现象和性质界面现象：流体和固体或流体和另一种互不掺混的流体交界 面处的力学和热力学现象 1. 界面上流体速度和温度的连续性 n界面两侧流体处于热力学平衡状态，温度相等、 速度相等,若不考虑表面张力，则应力大小相等、 方向相反?nθn = θ?nVn = V? nTn = ?T? n理想流体：由于不计粘性，界面上允许流体的滑移，界面速度和应 力条件为Vn ? n = V? n ? n不可穿透条件2009年秋-研究生-流体力学p+ n = p? n流体的物理性质25§1.4流体的界面现象和性质2.互不掺混流体界面上的表面张力和应力条件 表面张力在流体界面上取一微小面积δA，则在分割线S上 必有某种张力δF 使界面处于平衡，称这种张力 为表面张力。 表面张力位于界面的切平面内，并垂直于分割线 单位长度的表面张力称为表面张力系数，记为γ 量纲： [γ ] = [ F][ L ]?1流体1流体2 界面δAsδF单位： N / m表面张力系数与界面两侧的介质有关，还与温度有关 例如：20°C时，常见界面的表面张力系数为 界面类型 表面张力系数2009年秋-研究生-流体力学水-空气 0.0731酒精-空气 0.0223流体的物理性质水银-空气 0.517726§1.4流体的界面现象和性质应力关系在界面上给定点 M 附近取一法向量为 n 的微元面 积 δ A，微元弧长分别为 δ l1和 δ l2，曲率半径分别 为 R1和 R2 ，张角分别为 δα1和 δα 2δα δα ? ? δ Fn = ? ? 2γδ l2 sin ( δα ) + 2γδ l1 sin ( δα ) ? ≈ ? ? 2γδ l2 1 + 2γδ l1 2 ? 2 2 ? ? 2 2 ? ?1 2γδ l2Dδ l2MnCδ l1δ l1 δ l2Bγδ l1Aγδ l1γδ l2作用于ABCD微元周线上表面张力的合力在n方向的投影为γδ l2nδ l1R1γδ l2? δ l1 δ l2 ? = ? ?γδ l2 + γδ l1 ? = ?γ R1 R2 ? ??1 1? ? + ? δ l1δ l2 = ?γ ? R1 R2 ??1 1? ? + ?δ A ? R1 R2 ?介质+δα1界面两侧正应力的投影为 δ Tn = (Tnn+ ? Tnn? ) δ A 力平衡关系： δ Tn + δ Fn = 0Tnn+ ? Tnn? ? 1 1 ? =γ ? + ? ? R1 R2 ?? 1 1 ? p ? ? p+ = γ ? + ? ? R1 R2 ?nn+介质-n?理想流体：2009年秋-研究生-流体力学流体的物理性质4学时27§1.4流体的界面现象和性质3.流体界面在固壁上的接触角 接触角接触线：当流场中有三种互不侵入的介质共存时， 三种介质之间的界面交于一线，如果其中 一个界面为固壁，则称该交线为接触线。 接触角：在接触线上，流体界面与固壁的夹角 流体界面的法线和固壁面法线的夹角 法线指向被考察的流体和固壁的内部 接触角的大小取决于固壁材料与流体的性质 例如：空气、水、干净玻璃： θ = 0 空气、水银、干净玻璃：θ = 130° ? 140°介质1 介质2 接触线介质3θ1 θ2介质1介质2θ 2 = π ? θ12009年秋-研究生-流体力学 流体的物理性质 28§1.4流体的界面现象和性质毛细现象将细管插入液体，细管中液面低于或高于周围连通液面的现象 利用界面上表面张力的平衡关系，可计算高度差H? 1 1 ? 表面张力： p2 ? p1 = γ ? + ? ? R1 R2 ? d /2 几何关系： R1 = R2 = R R = cos θ 静力平衡： p2 = p1 + ρ gH4γ cos θ 4γ cos θ ?H = ρ gH = d ρ gddθ & 90° θ & 90°2009年秋-研究生-流体力学，细管液面上升R，细管液面下降流体的物理性质θ29第二章流体运动学2009年秋-研究生-流体力学运动学1基本内容采用数学分析和几何描述的方法研究流体运动 规律，不研究运动产生和变化的原因 描述流体运动的两种方法 流场的几何描述 流体微团运动分析 流场的旋度 给定流场的散度和旋度求速度场2009年秋-研究生-流体力学运动学2§2.1 描述流体运动的两种方法在流体力学中主要采用两种 方法来描述流体的运动 拉格朗日法： 以流场中个别质点的运动作 为研究的出发点，从而进一 步研究整个流体的运动，这 种方法是质点系力学研究方 法的自然延续。 欧拉法： 以流体流过空间某点时的运 动特性作为研究的出发点， 从而研究流体在整个空间里 的运动情况。2009年秋-研究生-流体力学t1t2Joseph-Louis Lagranget1 t2Leonhard Euler运动学 3§2.1 描述流体运动的两种方法一、拉格朗日法格朗日法通过两个方面来描述流场： C 某一运动的流体质点各种物理量随时间的变化； C 相邻质点间这些物理量的变化。 拉格朗日法实现的关键是建立识别每个质点的标记方法 流体质点初始时刻的坐标与流体质点一一对应 可用来标记流体质点2009年秋-研究生-流体力学运动学4§2.1 描述流体运动的两种方法以质点 P1 在 t0 时刻的坐标 (a1, b1, c1 ) 作为标记 在 t 时刻质点 P1 的位置x = x (a1, b1, c1; t ) ? ? ? y = y (a1, b1, c1; t ) ? x = x ( A1; t ) ? z = z (a1, b1, c1; t ) ? ?其中 A1 = (a1,b1, c1 ) 为常数，表明研究的是质点 P12009年秋-研究生-流体力学运动学5§2.1 描述流体运动的两种方法对任意质点 P : (a,b, c ) ，在任意时刻 t 的位置 x = x (a, b, t ) ?? ? y = y (a, b, t ) ? x = x ( A; t ) ? z = z (a, b, t ) ? ?其中 a, b, c, t 为自变量，称为拉格朗日变量 x = x ( A; t ) 称为流体质点的位移函数x A 固定： 表示某个确定质点的运动轨迹 x t 固定： 表示 t 时刻各质点的位置2009年秋-研究生-流体力学运动学6§2.1 描述流体运动的两种方法位移函数的两个基本性质： 1、在初始时刻 t0 ，x = Ax ( A; t0 ) = A2、任意时刻 x 和 A是一一对应的连续函数x = x ( A; t ) ? A = A ( t )意义： 欧拉变量与拉格朗日变量的转换?x (a, b, c, t ) V= ?t2009年秋-研究生-流体力学?V (a, b, c, t ) a= ?t运动学 7§2.1 描述流体运动的两种方法二、欧拉法欧拉法通过以下两个方面来描述整个流场： C 在空间固定点上流体物理量随时间的变化； C 在相邻空间点上这些物理量的变化。 空间点上的物理量指占据这些位置的各个流体质点的 物理量，在不同时刻由不同流体质点占据，从而引起 空间点上物理量的变化2009年秋-研究生-流体力学运动学8§2.1 描述流体运动的两种方法在欧拉法中，流动物理量是时间t 和空间坐标 x = ( x , y, z ) 的函数V = V ( x, t ) p = p ( x, t )ρ = ρ ( x, t )其中 x , y, z, t 为自变量，称为欧拉变量 欧拉法是一种场的描述方法 定常流场：与时间无关的欧拉速度场2009年秋-研究生-流体力学运动学9§2.1 描述流体运动的两种方法三、欧拉描述与拉格朗日描述的互换 1、拉格朗日描述变为欧拉描述QL ( A, t ) QE ( x, t )？x = x ( A,t )A = A ( x,t )QL ( A, t ) = QL ( A ( x, t ) , t ) = QE ( x, t )2009年秋-研究生-流体力学运动学10§2.1 描述流体运动的两种方法例：给定拉格朗日的位移表达式x 1 = a1e ?2t / k , x 2 = a2e t / k , x 3 = a 3e t / k a 其中 k 为常数， 1, a2 , a 3为拉格朗日变量，求欧拉速度场由拉格朗日的位移表达式求拉格朗日速度表达式V1 = ?x 1 2a ?x a ?x a = ? 1 e ?2t / k , V2 = 2 = 2 e t / k , V3 = 3 = 3 e t / k ?t ?t ?t k k k由位移表达式求反演a1 = x 1e 2t / k , a2 = x 2e ?t / k , a 3 = x 3e ?t / k代入拉格朗日速度表达式V1 = ? 2x 1 x x , V2 = 2 , V3 = 3 k k k定常流动2009年秋-研究生-流体力学运动学11§2.1 描述流体运动的两种方法2、欧拉描述变为拉格朗日描述QE ( x, t ) QL ( A, t )？x = x ( A,t )QE ( x, t ) = QE ( x ( A, t ) , t ) = QL ( A, t )?x ( A, t ) VE ( x, t ) = ?tx = x ( A,t )t = 0: x = A2009年秋-研究生-流体力学运动学12§2.1 描述流体运动的两种方法例：已知欧拉速度场 V1= x 1 + t, V2 = x 2 + t, V3 = 0求质点位移和速度的拉格朗日表达式?x 1 = x1 + t ?t ?x V2 = 2 = x 2 + t ?t ?x V3 = 3 = 0 ?t 由初始条件 t = 0 : x 1 = a1, V1 =x 1 = c1e t ? t ? 1 x 2 = c2e t ? t ? 1x 3 = c3x 2 = a2, x 3 = a 3c1 = a1 + 1, c2 = a2 + 1, c3 = a 3x 1 = (a1 + 1) e t ? t ? 1, x 2 = (a2 + 1) e t ? t ? 1, x 3 = a 3 V1 = (a1 + 1) e t ? 1, V2 = (a2 + 1) e t ? 1, V3 = 02009年秋-研究生-流体力学运动学13§2.1 描述流体运动的两种方法四、质点导数 (Material Derivative)定义：流体质点的物理量对于时间的变化率称作该物理量的质点导数在拉格朗日描述中 Q = Q ( A, t ) ， 的质点导数 Q?Q ? ?Q ( A, t ) ? =? ? ?t ?t ? ?A例如：加速度是速度的质点导数? ?V ( A, t ) ? a ( A, t ) = ? ? ?t ? ?A2009年秋-研究生-流体力学 运动学 14§2.1 描述流体运动的两种方法在欧拉描述中 Q = Q ( x, t ) t 时刻质点的物理量 Q = Q ( x , y, z , t ) t + Δt 时刻质点的物理量 Q ′ = Q ( x + Δ x , y + Δ y, z + Δ z , t + Δ t )yx + Δx Δt t:xx zΔt 时间内该质点物理量的增量 ΔQ = Q ( x + Δx , y + Δy, z + Δz , t + Δt ) ? Q ( x , y, z, t ) ?Q ?Q ?Q ?Q = Δx + Δy + Δz + Δt + ?x ?y ?z ?t ΔQ ?Q ?Q ?Q ?Q Q 的质点导数 = lim u+ v+ w+ = Δt → 0 Δ t ?x ?y ?z ?t2009年秋-研究生-流体力学 运动学 15§2.1 描述流体运动的两种方法欧拉描述中物理量 Q 的质点导数DQ ?Q = + V ? ?Q ?t Dt?Q ?t V ? ?Q局部导数，由流场的非定常性引起 迁移导数，由流场的非均匀性引起DV ?V = + V ? ?V a= Dt ?t质点的加速度 = 局部加速度 + 迁移加速度2009年秋-研究生-流体力学运动学16§2.2 流场的几何描述一、迹线 (Pathline, Trajectory)定义：流体质点运动的轨迹称为迹线 方程： 拉格朗日描述 欧拉描述x = x ( A,t ) ?x =V ?t2009年秋-研究生-流体力学运动学17§2.1 描述流体运动的两种方法例：已知流体的速度场在直角坐标 ( x , y, z )中为x u= , v = y, w = 0 1+t求 t = 0 时位于 (1,1,1) 的质点的轨迹?x x = ?t 1 + t ?y v= =y ?t ?z w = =0 ?t 由初始条件 t = 0 : x = 1, y u=x = c1 (1 + t ) y = c2e tz = c3= 1, z = 1c1 = 1, c2 = 1, c3 = 1?y = e x ?1 ? ? ?z = 1 ??x = 1 + t ? ? 迹线的参数方程 ?y = e t ? ?z = 1 ?2009年秋-研究生-流体力学或运动学18§2.2 流场的几何描述二、流线 (streamline)定义： 流线是速度场的向量线，它是某一固定时刻的空间曲线， 该曲线上任意一点的切线方向与在该点的流体速度方向一致。V // dxV × dx = 0ydxV直角坐标系中流线方程：xx zdx dy dz = = u v w说明与比较：迹线是同一质点在不同时刻的运动轨迹，迹线方程中 t 是自变量； 流线是同一时刻不同质点上的速度场向量线，流线方程中 t 是参变量， 积分时做为常数。2009年秋-研究生-流体力学 运动学 19§2.1 描述流体运动的两种方法例：已知流体的速度场在直角坐标 ( x , y, z )中为x u= , v =y 1+t求 t = 0 时通过 (1,1) 的流线方程dx d y = u vdx dy (1 + t ) = x y(1 + t ) ln x = ln y + ln cx 1+t = cyt = 0 : x = 1, y = 1 c =1所求的流线方程为y =xy = x 1+tdx dy = x y运动学?y =x20另一种解法： t = 0 : u = x , v = y2009年秋-研究生-流体力学§2.2 流场的几何描述流线的性质：1. 一般情况下流线不能相交，同一时刻通过一点只有一根流线； 三个例外：驻点（速度为零），奇点（速度为无限大）源 2. 3. 4. 5. 流场中每一点都有流线通过，由这些流线形成流谱； 垂直于流线方向的速度分量为零； 定常流动中，流线与迹线重合； 流线形状与选定的坐标系有关。汇2009年秋-研究生-流体力学运动学21§2.1 描述流体运动的两种方法例：已知流体的速度场在直角坐标 ( x , y, z )中为 u = ax , v = ?ay 求流线和迹线方程 流线：dx d y = u v ?x =u ?t ?y =v ?t dx dy =? ax ay ?x = ax ?t ?y = ?ay ?t ln x = ? ln y + ln c xy = c迹线：ln x = at + ln c1 ln y = ?at + ln c2 xy = c消去 t ： ln xy = ln c1c2 = ln c 流线和迹线相同2009年秋-研究生-流体力学运动学22§2.2 流场的几何描述三、流管 （stream-tube）在给定瞬时，通过任一非流线的曲线上各点作流线， 这些流线组成的曲面称为“流面” 在给定瞬时，通过任一非流线的封闭曲线上各点作流线， 由这些流线构成的管状曲面称为“流管侧面”, 该曲面包围的空间称为“流管” 流管的性质： ? 流管侧面不可能有流体通过； ? 流管不可能在流场内部中断：流管只能始于或终于 流场边界、或成环形、或伸展到无穷远处2009年秋-研究生-流体力学运动学25§2.2 流场的几何描述四、光滑流体线与光滑流体面的保持性流体线：同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点所组成的线，称为流体线 处处连续且可微的流体线称为光滑流体线。流体面：同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点所组成的面，称为流体面 处处连续且可微的流体面称为光滑流体面。光滑流体线（面）的保持性：光滑流体线（面）在运动过程中始终保持为光滑流体线（面）， 且其上流体质点的排列顺序不随时间变化，因此处于流体线两端 的流体质点始终处于两端，处于流体面边界上的流体质点始终位 于流体面边界上。2009年秋-研究生-流体力学运动学26§2.2 流场的几何描述数学描述：设光滑流体界面的方程为F ( x , y, z, t ) = 0由于流体运动，界面也随之运动，在 t + Δt 时刻，它的方程为F ( x + Δx , y + Δy, z + Δz, t + Δt ) = 0因为它是光滑流体面且具有保持性，对上式进行Taylor展开 ?F ?F ?F ?F F ( x , y, z, t ) + Δx + Δy + Δz + Δt + = 0 ?x ?y ?z ?t ?F Δx ?F Δy ?F Δz ?F + + + =0 ?x Δt ?y Δt ?z Δt ?t?F ?F ?F ?F +u +v +w =0 ?t ?x ?y ?z2009年秋-研究生-流体力学 运动学?F + V ? ?F = 0 ?t27§2.3 流体微团运动分析一、几何分析CVC ΔtC′D′DVO ΔtΔyΔzVD Δt O′ VB ΔtB′zO Δx B ( x, y , z )yx正交微元六面体经过微小时间间隔将变成斜平行六面体 ? 平行移动：六面体整体平移到新位置； ? 线变形：六面体经过O点的三条正交流体线伸长或缩短，引起六面 体体积膨胀或压缩； ? 角变形：过O点有三个正交流体面，每个正交流体面的两正交流体 线之间角度的变化，引起六面体形状变化； ? 转动：六面体象刚体一样转动。2009年秋-研究生-流体力学 运动学 28§2.3 流体微团运动分析二、线变形率 单位时间内流体线的相对伸长，称为线变形速率ε xx =?u ?v ?w , ε yy = , ε zz = ?x ?y ?z流体微团的体积在单位时间内的相对变化，称为 流体微团体积膨胀速率 流体微团体积膨胀速率 = 三个方向线变形速率之和 = 流体散度 不可压缩流体?u ?v ?w + + = ??V = 0 ?x ?y ?z运动学 292009年秋-研究生-流体力学§2.3 流体微团运动分析三、流体旋转角速度过同一点的任意两条正交微元流体线，在它们所在的平面上的旋转角 速度的平均值，称为该点流体的旋转角速度在垂直该平面方向的分量C1C′CDαΔz2α1 ω = ?×V 2B2B0B′O′α 1 B1zOΔxBx1 ? ?w ?v ? ωx = ? ? ? 2 ? ?y ?z ? 1 ? ?v ?u ? ωz = ? ? 2 ? ?x ?y ? ?α1 ≈B1B2 B0B2 ? B0B1 w ( x , y, z, t ) Δt ? w ( x + Δx , y, z, t ) Δt ?w = ≈ =? Δt ′B2 ′B2 Δx ?x O O?u Δt ?zα2 ≈ωy =1 ? α1 α 2 ? 1 ? ?u ?w ? + ? ? ?= ? ? 2 ? Δt Δt ? 2 ? ?z ?x ?2009年秋-研究生-流体力学运动学30§2.3 流体微团运动分析四、角变形率微元平面上两垂直线段夹角在单位时间内减小量之半称为该面的 角变形率，用 ε ij 表示，下标 ij 表示线段所在的平面。C1C′CDαα1 ≈ ?α α 1 B1B2B0B′Δz2O′zOΔxB?w Δt ?x ?u α2 ≈ Δt ?zxε xz =α 2 ? α12Δt=1 ? ?u ?w ? + ? ? 2 ? ?z ?x ?ε yz1 ? ?w ?v ? = ? + 2 ? ?y ?z ? ?ε xy1 ? ?v ?u ? = ? + 2 ? ?x ?y ? ?运动学1 ? ?Vi ?Vj ε ij = ? + 2 ? ?x j ?x i ?? ? ? ?312009年秋-研究生-流体力学§2.3 流体微团运动分析五、流体的速度梯度张量流体微团上任一点的速度由参考点的速度和线变形率、角变形率 以及旋转角速度控制流体的速度梯度张量? ?u ? ?x ? ?Vj ? ?v ei e j = ? ?V = ?x i ?x ? ? ?w ? ?x ? ?u ?y ?v ?y ?w ?y ?u ? ?z ? ? ?v ? ?z ? ? ?w ? ?z ? ?2009年秋-研究生-流体力学运动学32§2.3 流体微团运动分析流体的速度梯度张量可分解为一个对称张量和一个反对称张量1 ? ?Vj ?Vi ? 1 ? ?Vj ?Vi ? = ? + ? ?+ ? ? = Sij + Ωij ? ?x ? 2 ? ?x ?x i ?x j ? ?x j ? 2? i ? i ? 1 ? ?Vj ?Vi ? + 变形率张量 Sij = ? ? 二阶对称张量，6个独立分量 ? ?x ?x j ? 2? i ? 1 ? ?Vj ?Vi ? Ωij = ? ? 旋转张量 ? 二阶反对称张量，3个独立分量 ? ?x ?x j ? 2? i ? ? 0 ωz ?ωy ? ?ε xx ε xy ε xz ? ? ? ? ? ?Ωij ? = ? ?ωz 0 ωx ? ?Sij ? = ?ε yx ε yy ε yz ? ? ? ? ? ? ? ?ε ? ε zy ε zz ? 0 ? ? ωy ?ωx ? zx ? ? ?VjΩij = ε ijk ωk2009年秋-研究生-流体力学 运动学 33§2.3 流体微团运动分析六、海姆霍兹速度分解定理某参考点附近任一点上的速度可以分为三个部分 ? 与参考点相同的平移速度； y ? 绕参考点转动在该点引起的速度； ? 变形在该点引起的速度。δxoAVA = Vo + δ x ? So + ( ? × V )o × δ x1 2xzx有旋流动和无旋流动? × V = 0 流动无旋? × V ≠ 0 流动有旋流体微团的运动 = 平动 + 转动 + 变形有旋与无旋分开 联系变形率与应力342009年秋-研究生-流体力学运动学§2.3 流体微团运动分析流动有旋：流体微团自身旋转 例：分别求以下两个流场中流体质点的迹线和准刚体旋转的角速度 y x (a ) : u = ?y, v = x , w = 0 b) : u = ? 2 , v= 2 , w=0 ( 2 2x +y x +y流场定常，流线和迹线重合dx dy dx dy = = (a) ?y x u v dx dy = (b) ?y / ( x 2 + y 2 ) x / ( x 2 + y 2 )x 2 + y2 = c x +y =c2 2ω=ω=1 ?×V = k 21 ?×V = 0 2ω=kω=02009年秋-研究生-流体力学运动学35§2.4 流场的旋度一、涡量场及其性质 定义：速度场的旋度称为涡量。 Ω = ? × V = 2ω 性质：涡量场是管式场（散度为零）。 涡线、涡面和涡管 ? 涡量场的向量线称为涡线； Ω × dx = 0 ? 给定瞬间，通过某一曲线（非涡线）的所有涡线构 成的曲面称为涡面； ? 管状涡面的内域称为涡管。 涡面对于涡量具有不可穿透性Ω?n = 02009年秋-研究生-流体力学运动学36§2.4 流场的旋度涡通量和涡管强度 ? 通过某一开口曲面的涡量总和称为涡通量I =n?∫∫AΩ ? ndAdAA? 在给定瞬间，沿涡管各截面上的涡通量大小相等，并 将该涡通量的绝对值称为涡管强度 n3∫∫?A1Ω ? ndA =∫∫A2Ω ? ndAn1 A1A3 A2n2（证明）推论：在流场中涡管不能消失，只能两端延伸到无穷远、或形成封 闭涡环、或中止于物面及其它边界上运动学 372009年秋-研究生-流体力学§2.4 流场的旋度二、速度环量 定义：在速度场中，速度沿封闭周线的线积分称为 绕该周线的速度环量Γl =∫ V ? dxl定理：速度环量 Γl 等于张在封闭周线 l 上任意曲面的 涡通量，其中曲面法向与 l 的方向由右手规则确定∫ V ? dx = ∫∫lAΩ ? ndAn（证明）lA三、无旋流动和速度势 对于无旋流动,一定存在一个标量函数 φ ，使得 V = ?φ , 称 φ 为速度势（证明） 流动无旋 速度有势2009年秋-研究生-流体力学 运动学8学时38§2.5 给定流场的散度和旋度求速度场一、由速度场的散度和旋度确定速度场的唯一性定理 定理：已知域内速度场的散度和旋度以及边界上的法向 速度，则可唯一确定域内的速度场。给定 ? ? V = θ ( x ) , ? × V = Ω ( x ) , V ? n Σ = Vbn ( x ) 则 V 的解是唯一的。（证明）速度场的求解可分为三个部分： V = VE + VV + u? ? ?VE 是无旋有散的一个解 VV 是无散有旋的一个解? ? VE = θ ( x ) , ? × VE = 0 ? ? V = 0, ? × VV = Ω ( x ) Vu 是无散无旋满足边界条件的一个解? ? u = 0, ? × u = 0, u ? n Σ = Vbn ( x ) ? VE ? n Σ ? V ? n Σ V2009年秋-研究生-流体力学 运动学 39§2.5 给定流场的散度和旋度求速度场二、由速度场的散度求速度场 ? ? VE = θ ( x ) ? × VE = 01 ΦE ( x, y, z ) = ? 4πVE = ?ΦE?2 Φ E = θθ (ξ ,η, ζ ) ∫∫∫ R (x, y, ξ ,η, ζ ) dξ dη dζ D1 VE ( x, y, z ) = 4π∫∫∫ RDθ3yRdξ dη dζxzRξxR = ( x ? ξ ) i + (y ? η ) j + ( z ? ζ ) kR = R = ( x ? ξ ) + (y ? η ) + ( z ? ζ )2 222009年秋-研究生-流体力学运动学40§2.5 给定流场的散度和旋度求速度场例：点源诱导的速度场为 δ 函数 ? 0, (ξ ,η, ζ ) ≠ ( 0, 0, 0 ) ? θ ( ξ , η, ζ ) = ? ?∞, (ξ ,η, ζ ) = ( 0, 0, 0 ) ? 设速度场的散度VE ( x , y, z ) = 1 4πθ∫∫∫ θ (ξ ,η, ζ ) dξ dη dζD0=1D0 为包含 ( 0, 0, 0 ) 的任意体积∫∫∫ RDθ3Rdξ dη dζ =1 R 4π R 3=ξ = 0,η = 0,ζ = 01 xi + yj + zk 4π ( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2球坐标中1 VR = , Vθ = 0, Vε = 0 4π R2y( x , y, z )R点源? × VE = 0xz2009年秋-研究生-流体力学 运动学 41§2.5 给定流场的散度和旋度求速度场三、由速度场的旋度求速度场? ? VV = 0 ? × VV = Ω? ? VV = ? ? ( ? × A ) = 0 散度方程自动满足令 VV = ? × A? × VV = ? × ( ? × A ) = ? ( ? ? A ) ? ? ? ?A = Ω1、若选择 A 使得 ? ? A = 0 ，则 ?2A = ?ΩA ( x , y, z ) = 1 4π Ω (ξ , η , ζ ) ∫∫∫ R (x, y, ξ , η, ζ ) dξ dη dζ D1 V ( x, y, z ) = V 4πΩ×R ∫∫∫ R3 dξ dη dζ D毕奥-萨法尔公式（涡诱导速度公式）2009年秋-研究生-流体力学 运动学 42§2.5 给定流场的散度和旋度求速度场2、 ? ? A = 0 的条件1 ? ? A ( x, y, z ) = 4π A ( x , y, z ) = 1 4π Ω (ξ , η , ζ ) ∫∫∫ R (x, y, ξ , η, ζ ) dξ dη dζ D? ? ? +j +k ?x ?y ?z ? ? ? ?′ = i +j +k 1 1 ?1 ? ?ξ ?η ?ζ = ? ? Ω + ? ? ? ? Ω ? dξ dη dζ ? ? 4π ∫∫∫ ? R ?R? ? 1 1 D ? ? ? ? = ??′ ? ? ? ? ? ? 1 ? Ω 1 ? dξ dη dζ ?R? ?R? =? ?′ ? ? ? 1 1 4π ∫∫∫ ? R? D ? ? ? ? Ω = ??′ ? ? ? Ω ? ? ? ? ?R? ?R? 1 n?Ω dS =? 1 1 4π ∫∫Σ R = ??′ ? ? Ω ? + ?′ ? Ω ? ? ? R? R 若边界上处处满足 n ? Ω = 0，则域内满足 ? ? A = 0 ?=i? Ω (ξ , η , ζ ) ? ∫∫∫ ? ? ? R (x, y, ξ , η, ζ ) ? dξ dη dζ ? ? D? ? ?求解域的边界是涡面； 静止固壁的粘附边界； 无界的静止流场。运动学 432009年秋-研究生-流体力学§2.5 给定流场的散度和旋度求速度场例:直线涡的诱导速度场1 Ω×R VV ( x , y, z ) = ∫∫∫ R3 dξ dη dζ 4π D Ω (ξ , η , ζ ) × R ( x, y, ζ ) 1 dξ dη dζ = 3 ∫∫∫ 4π D R设在无界流场中有一无限长的细直涡管，涡管强度为 Γ 求该涡管周围的诱导速度场 z( x , y, z )R y1 = 4π∫+∞?∞? ∫∫δ A Ω (ξ , η, ζ ) dξ dη ? × R (x, y, ζ ) dζ ? ? R3xδ r && 11 = 4π Γ = 4πΓk × R ( x, y, ζ ) dζ 3 ∫?∞ R +∞ xj ? yi+∞Γ=dζ∫∫δAΩ ? nds?x + y + ( z ? ζ ) ? ? ? Γ ? ?yi + xj ? = 2π ? x 2 + y 2 ? ? ??∞ 2 2∫2 3/2?∞, ( 0, 0, z ) ? Ω=? ? 0, otherwise ?R = xi + yj + ( z ? ζ ) k运动学 442009年秋-研究生-流体力学§2.5 给定流场的散度和旋度求速度场四、满足边界条件的无旋无散速度场的解??u = 0 ?×u = 0令 u = ???2? = 0u ? n Σ = Vbn ( x ) ? VE ? n Σ ? VV ? n Σ?? ?nΣ= Vbn ( x ) ? VE ? n Σ ? VV ? n Σ数理方程中的Neuman问题2009年秋-研究生-流体力学运动学45第三章流体运动学流体动力学的基本原理C 几何和分析的方法，流动形态的描述 C 不涉及运动的原因流体动力学C 考虑作用在流体上的力三大守恒定律 流体的运动 流体动力学的基本方程积分型：系统，总体性能 微分型：流体微团，流场的细节2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理1§3.1 流体动力学积分型基本方程三大守恒定律：质量体 一. 质量体和控制体 （1）质量体（闭系统）C C实际流动问题：控制体定义：流场中封闭流体面所包含的流体称为质量体 性质： 质量体的边界随流体一起运动，其形状和大小随时间 变化； 质量体的边界面上无质量交换； 质量体的边界面上与外界有力的相互作用和能量交换D* (t ) Σ* (t )Lagrange 方法！流体动力学基本原理 22009年秋-研究生-流体力学§3.1 流体动力学积分型基本方程（2）控制体（开系统）C 定义：被流体所流过的、由相对于某一坐标系不随时 间变化的 封闭曲面包含的流体称为控制体。 C 性质： 控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系是不变的 在控制面上可以有质量交换； 在控制面上控制体内流体与外界有力的相互作用和能量 交换。 Euler 方法！DΣ2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理3§3.1 流体动力学积分型基本方程输运公式 随体导数 质量体 经典定理应用方便 局部导数 控制体 研究实际问题方便2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理4§3.1 流体动力学积分型基本方程二、 随体导数和局部导数 局部导数：控制体内某物理量的总和随时间的增长率 例：控制体内的总质量 M = ∫∫∫D ρ dV 其局部导数为 ?M ? ?ρ?t = ?t ∫∫∫Dρ dV = ∫∫∫D?tdV随体导数：质量体内某物理量的总和随时间的增长率 例：质量体内的总质量 M = ∫∫∫D*(t ) ρ dV 其随体导数为DM D = ∫∫∫D*(t ) ρ dV Dt Dt2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理5§3.1 流体动力学积分型基本方程三、 输运公式任意时刻，质量体内物理量的随体导数等于该时刻形状、体积相同 的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和。?Q ?D ? ? Dt ∫∫∫D* (t ) Qdτ ? = ∫∫∫D ?t dτ + ? ? t = t0∫∫ΣQV ? ndAdτ = VΔt ? ndA dAnD * ( t0 + Δt )VΔtΣ * ( t0 + Δt )D * ( t0 ) = DΣ * ( t0 ) = Σ2009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理 6§3.1 流体动力学积分型基本方程?D ? Q ( x , t ) dτ ? ? Dt ∫∫∫D*( t ) ? ? t = t0= lim随体导数定义1 ? Q ( x, t0 + Δt ) dτ ? ∫∫∫ Q ( x, t0 ) dτ ? D * ( t0 + Δt ) = D * ( t0 ) + δ D * D*( t0 ) ? Δt → 0 Δt ? ∫∫∫D*( t0 +Δt ) ? ?1 ? Q ( x, t0 + Δt ) dτ + ∫∫∫ Q ( x, t0 + Δt ) dτ ? ∫∫∫ Q ( x, t 0 ) d τ ? δ D* D*( t0 ) ? Δt → 0 Δt ? ∫∫∫D*( t0 ) ? ? 1 = lim ? ∫∫∫ ( Q ( x, t0 + Δt ) ? Q ( x, t0 ) ) dτ + ∫∫∫ Q ( x, t0 + Δt ) dτ ? D δ D* ? Δt → 0 Δ t ? ? ( Q ( x, t0 + Δt ) ? Q ( x, t0 ) ) ? dτ + lim ? 1 ? Q ( x, t0 + Δt ) dτ ? dτ = VΔt ? ndA = ∫∫∫ ? lim ? D Δt → 0 Δt → 0 ? Δt ∫∫∫δ D* Δt ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?Q ? = ∫∫∫ ? ? dτ + lim ? ∫∫ Q ( x, t0 + Δt ) VΔt ? ndA? Σ D Δt → 0 Δ t ? ? ? ?t ? t =t0 = lim? ?Q ? = ∫∫∫ ? ? dτ + D ? ?t ? t =t0∫∫ΣQ ( x, t 0 ) V ? n dAV ? n & 0 流出控制体 V ? n & 0 流入控制体流体动力学基本原理 72009年秋-研究生-流体力学§3.1 流体动力学积分型基本方程四、 质量体上的守恒方程 ―― Lagrange 积分型方程任取一质量体 D*(t), Σ*(t) （1）质量守恒方程（连续方程） 在质量体中不存在源和汇的条件下，质量体内的质量不随时间变化。D ∫∫∫D* (t ) ρ dτ = 0 Dtn对任何坐标系成立！D * (t )Σ * (t )ρ ( x,t )2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理8§3.1 流体动力学积分型基本方程（2）动量守恒方程（运动方程） 根据牛顿定律，质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质量体上 的外力之和。D ∫∫∫D* (t ) ρ Vdτ = ∫∫∫D* (t ) ρ fdτ + DtTnn∫∫Σ (t )*Tn dA只适用于惯性系！V ( x,t ) D * ( t )Σ * (t )ρ ( x,t )f ( x,t )2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理9§3.1 流体动力学积分型基本方程（3）动量矩守恒方程 在惯性坐标系中，质量体对某点的动量矩随时间的变化率等于 该瞬间外界作用在质量体上所有外力对于同一点的力矩之和。D ∫∫∫D* (t ) ρ r × Vdτ = ∫∫∫D* (t ) ρ r × fdτ + Dt∫∫Σ* ( t )r × Tn dAr 为质量体内任一流体质点到参考点的向径Tnn Σ * (t )V ( x,t ) D * ( t )ρ ( x,t )ro2009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理 10f ( x,t )§3.1 流体动力学积分型基本方程（4）能量守恒方程 遵照热力学第一定律，质量体内总能量的变化率等于单位时间内 外力对质量体所做的功和由外界输入质量体内的热量之和。D 2 1 ∫∫∫D* (t ) ρ e + 2 V dτ = ∫∫∫D* (t ) ρ f ? Vdτ + Dt + ∫∫∫D (t )*()∫∫Σ (t )*Tn ? VdAρ ( q + qR ) dτ + ∫∫Σ (t )*λ n ??θ dAe1 2单位质量流体的内能，状态函数2V单位质量流体的动能 单位时间单位质量流体生成热，如摩擦、化学反应 单位时间辐射到单位质量流体上的热 Fourier导热系数流体动力学基本原理 11q qRλ2009年秋-研究生-流体力学§3.1 流体动力学积分型基本方程五、 控制体上的守恒方程 ―― Euler 积分型方程将质量体上的守恒方程用输运公式，可得到控制体上的守恒方程。 （1）连续方程 (Q = ρ )D ∫∫∫D* (t ) ρ dτ = 0 Dt ?ρ = ∫∫∫ dτ + ∫∫ ρ V ? ndA D ?t Σ ?ρ ∫∫∫D ?t dτ = ? ∫∫ Σ ρ V ? ndA物理意义：控制体 D 内质量的增长率等于单位时间控制面 Σ 上流入的质量。2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理12§3.1 流体动力学积分型基本方程（2）动量方程 (Q = ρ V )D ∫∫∫D* (t ) ρ Vdτ = ∫∫∫D* (t ) ρ fdτ + Dt ? = ∫∫∫ ρ Vdτ + ?t D ? ∫∫∫D ρ Vdτ = ∫∫∫D ρ fdτ + ?t控制体内动量 的增长率 =∫∫ ∫∫Σ (t )*Tn dAΣρ (V ? n)VdA∫∫ΣTn dA ? ∫∫ ρ (V ? n)VdAΣ作用在控制体内 流体上的合力+通过控制面 流入的动量2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理13§3.1 流体动力学积分型基本方程（3）动量矩方程 (Q = ρ r × V )D ∫∫∫D* (t ) ρ r × Vdτ = ∫∫∫D* (t ) ρ r × fdτ + Dt ? = ∫∫∫ ρ r × Vdτ + ?t D ? ∫∫∫D ρ r × Vdτ = ∫∫∫D ρ r × fdτ + ?t控制体内动量 矩的增长率 =∫∫Σ* ( t )r × Tn dA∫∫ΣΣρr × V (V ? n)dA∫∫r × Tn dA ? ∫∫ ρr × V (V ? n)dAΣ作用在控制体内 流体上的合力矩+通过控制面 流入的动量矩2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理14§3.1 流体动力学积分型基本方程（4）能量方程 (Q = ρ (e + 1 V )) 22D 2 ρ e + 1 V dτ = ∫∫∫ * ρ f ? Vdτ + 2 D (t ) Dt ∫∫∫D* (t ) + ∫∫∫=D* ( t )()∫∫Σ* ( t )Tn ? VdAρ ( q + qR ) dτ +∫∫Σ* ( t )2λn ??TdA? 2 ρ e + 1 V dτ + 2 ?t ∫∫∫D()∫∫Σρ (e + 1 V )V ? ndA 2控制体内总能量 的增长率 ? 2 ρ e + 1 V dτ = ∫∫∫ ρ f ? Vdτ + 2 D ?t ∫∫∫D()∫∫ΣΣTn ? VdA外力所做的功 外界所传导的热 通过控制面流入的能量+ ∫∫∫ ρ ( q + qR ) dτ +D?∫∫Σρ e+ 1 V 2(∫∫2λn ??TdA) V ? n dA2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理15§3.1 流体动力学积分型基本方程六、 定常流中的常用公式 (1) 定常流中沿流管截面的质量流量相等连续方程? 定常 =0 ?t 流管侧面 V ? n | A3 = 0?ρ ∫∫∫D ?t dτ +n3 A3 A2 n1 A1 n2∫∫Σρ V ? ndA = 0∫∫均质不可压流体 ρ = constA1ρ V ? ndA = ? ∫∫ ρ V ? ndAA2Σ = A1 + A2 + A3体积流量相等∫∫A1V ? ndA = ? ∫∫ V ? ndAA2微元流管 A1 → 0 A2 → 0流动均匀ρ1V1 ? n1 A1 = ? ρ 2 V2 ? n 2 A22009年秋-研究生-流体力学ρ1V1n A1 = ? ρ 2V2 n A216流体动力学基本原理§3.1 流体动力学积分型基本方程(2) 理想流体在势力场中做绝热定常流动的能量方程? 2 ρ e+ 1 V 2 ?t ∫∫∫D()Tn = ? pn f = ??Π dτ = ∫∫∫ ρ f ? Vdτ + ∫∫ Tn ? VdAD Σ+ ∫∫∫ ρ ( q + qR ) dτ +DD Σ Σ∫∫Σλn ??TdA ? ∫∫ ρ e + 1 V 2Σ2(2) V ? ndA? ∫∫∫ ( ρ?Π ) ? Vdτ ? ∫∫ pn ? VdA ? ∫∫ ρ e + 1 V 2() V ? n dA = 0∫∫∫D( ρ V ) ??Π = ? ? ( Πρ V ) ? Π? ? ( ρ V )? ? ( ρ V ) dτ = 0 ? ?( ρV) = 0? 任取一控制体 ∫∫∫D ρ dτ + ∫∫ Σ ρ V ? ndA = 0 ?t ∫∫∫ ? ? ( ρΠV ) dτ = ∫∫ n ? ( ρΠV ) dAD Σ? ? p 2 1 ∫∫ Σ ρ ? e + 2 V + ρ + Π ? ( V ? n ) dA = 0 ? ?2009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理 17§3.1 流体动力学积分型基本方程(3) 理想流体在势力场中做绝热定常流动沿流线的能量方程? + Π ? ( V ? n ) dA = 0 ∫∫ Σ ? ρ ? 流管侧面 V ? n | A3 = 0 ? ? p 2 ρ ? e + 1 V + + Π ? ( V ? n ) dA = 0 ∫∫A1 + A2 ? 2 ρ ?ρ ?e + 1 V + 22?pn3 A3 A2 n1 A1 n2Σ = A1 + A2 + A3微元流管 A1 → 0 A2 → 0ρ1 ? e1 + 1 V1 + 22?? ? ? p 2 + Π1 ? ( V1 ? n1 ) A1 = ? ρ 2 ? e2 + 1 V2 + 2 + Π 2 ? ( V2 ? n 2 ) A2 2 ρ1 ρ2 ? ? ? ? 由连续方程 ρ1 ( V1 ? n1 ) A1 = ? ρ 2 ( V2 ? n 2 ) A2 p1流动均匀e1 + 1 V1 + 22ρ1p1+ Π1 = e2 + 1 V2 + 22ρ2p2+ Π2e+ V +1 2 2pρ+ Π = CL h + 1 V 2 + Π = CL 2流体动力学基本原理沿流线的Bernoulli方程2009年秋-研究生-流体力学18§3.1 流体动力学积分型基本方程(4) 不可压缩理想流体势力场中定常流动沿流线的能量方程热力学第一定律：内能增量+体膨胀作功=输入的热量de + pd不可压缩流体Dρ =0?d Dt( ) = dqρ1( )=0ρ1不可压缩流体中由外界输入的热量=质量体内的内能增量? 2 ρ e + 1 V dτ = ∫∫∫ ρ f ? Vdτ + 2 D ?t ∫∫∫D + ∫∫∫ ρ ( q + qR ) dτ +D()∫∫ΣTn ? VdA2∫∫Σλ n ??TdA ? ∫∫ ρ e + 1 V 2Σ() V ? ndA2 1 2? 2 1 ρ V dτ = ∫∫∫ ρ f ? Vdτ + D ?t ∫∫∫D 21 2∫∫ΣTn ? VdA ? ∫∫1 Σ 2ρ V V ? n dAV +2V +2pρ+ Π = CL重力场：Π = gzpρ+ gz = CL2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理19§3.1 流体动力学积分型基本方程七、 非惯性坐标系中的守恒方程 某些情况下，在非惯性坐标系中流动定常 附加“惯性力强度项”：f 用 f-a 代替，其中a = Vo′ (t ) + ω × (ω × r′) + ω × r′ + 2ω × V′动坐标系 原点移动 加速度 向心 加速度y′y z′ o x切向 加速度科氏 加速度ωr′V′o′x′z2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理20总结控制体上的守恒方程 ―― Euler 积分型方程?ρ ∫D ?t dV = ? ∫∫ Σ ρ V ? ndA ? ρ VdV = ∫ ρ fdV + ∫∫ Tn dA ? ∫∫ ρ (V ? n)VdA D Σ Σ ?t ∫D ? ρ r × VdV = ∫ ρ r × fdV + ∫∫ r × Tn dA ? ∫∫ ρr × V (V ? n)dA D Σ Σ ?t ∫D ? 2 ρ (e + 1 V )dV = ∫ ρ f ? VdV + ∫∫ Tn ? VdA + ∫ ρ (q + qR )dV + 2 Σ D D ?t ∫D∫∫Σλ n ??TdA ? ∫∫ ρ (e + 1 V )V ? ndA 22 Σ定常流中的常用公式∫∫A1ρ V ? ndA = ? ∫∫ ρ V ? ndAA2ρ1V1 ? n1δ A1 = ? ρ 2 V2 ? n 2δ A2Π+ p p∫∫Σρ (Π +ppρ+ e + 1 V )V ? ndA = 0 22 2ρ+ e + 1 V = CL 22 2Π+ρ+ 1 V = CL 2ρ+ 1 V + gz = CL 2非惯性坐标系中的守恒方程f ?a ? f2009年秋-研究生-流体力学a = Vo′ (t ) + ω × (ω × r′) + ω × r′ + 2ω × V′流体动力学基本原理21§3.2 积分型守恒方程的应用简单定常流动过程中流体作用在周围物体上的合力与合力矩 解题的一般方法和步骤 1. 选取恰当的坐标系，使得在该坐标系中相对流动定常 2. 选取恰当的控制体：C 控制体界面上包括要求的未知量和尽可能多的已知量 C 一般可选固体壁面或流面作为控制面，使得在其上输运量为零或 可求3. 利用沿流管的连续方程和 Bernoulli 方程求出流入、流出 边界上未知流动参数。 4. 计算动量输运量及动量矩输运量、质量力合力及合力 矩，由动量方程和动量矩方程求出流体和周围物体之间 的作用力和力矩。2009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理 22§3.2 积分型守恒方程的应用例1、Venturi 流量计的基本原理这是一种连接在管路中测量 不可压缩流体定常流动体积流量 的一种常用仪器，当测定 流动的进口与喉部压差 和已知进口与喉部面积时， 便可以计算通过Venturi管的流量。ρ,ρ′已知：理想不可压流体定常流动，假定在管流截面上流速均匀分布， 入口面积A1、喉部面积A2、入口与喉部压差Δp为已知 求： 流量Qm2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理12学时23§3.2 积分型守恒方程的应用例2、不可压缩流体对弯管管壁的作用力理想均质不可压缩流体流过水平弯管的 定常流动，计算流动过程中流体作 用在弯管上的合力。 已知：弯管入口和出口面积A1、A2， 入口速度V1，入口压力p1 求： 管内流体对弯管的作用力V1 p1 n1 A1 Aw x yA2 n2 V2p22009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理24§3.2 积分型守恒方程的应用例3、叶轮机械的欧拉公式1、简介：叶轮模型 2、假设： (1) 忽略叶片厚度及叶片形状在轴 向的变化，认为流动参数在轴向均 匀分布，即为平面流动； (2) 忽略机械摩擦； (2) 质量力为重力； (3) 在流动平面上，叶轮进出口处 流速均匀分布。 3、已知：叶轮的几何参数，进口速度V1，出口速度V2， 质量流量Qm，动轮转动角速度ω为常数， 求：叶轮与流体间相互作用的力矩在轴向的投影Mz 和传递的功率N2009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理 25§3.2 积分型守恒方程的应用1、选择坐标系：选择固定于叶轮，和叶轮一起旋转的坐标系，为非惯性系a = Vo′ (t ) + ω × (ω × r′) + ω × r′ + 2ω × V′v2 u2β2 α2w2v1 u1β1 α1w1速度三角形r2r12、选择控制体：入口： 出口：Σ = Aw + A1 + A22009年秋-研究生-流体力学A1 = 2π r1 × Lz A2 = 2π r2 × Lz流体动力学基本原理n1 //? r1 n 2 // r226§3.2 积分型守恒方程的应用? ∫∫∫D r × ρ Wdτ = ∫∫∫D r × ρ [f ? a] dτ + ?t ?Qm ( u2 r2 ? u1r1 ) e z∫∫Σr × Tn dA ? ∫∫ ( r × ρ W )( W ? n ) dAΣMQm ( r1w1 cos β1 ? r2 w2 cos β 2 ) e zM = Qm ? r2 ( u2 ? w2 cos β 2 ) ? r1 ( u1 ? w1 cos β1 ) ? e z ? ?= Qm [ r2 v2 cos α 2 ? r1v1 cos α1 ] e z = Qm [ r2 v2u ? r1v1u ] e zN = M ? ω = Qm [ r2 v2u ? r1v1u ] e z ? ωe z = Qm [u2 v2u ? u1v1u ]N &0 N &02009年秋-研究生-流体力学叶轮对流体做功，为透平压缩机 流体对叶轮做功，为透平发动机流体动力学基本原理14学时27§3.3 流体动力学微分型基本方程 一、微分型基本方程连续方程?ρ ∫∫∫D ?t dτ +∫∫∫D? ? ( ρ V ) dτ∫∫Σρ V ? ndA = 0? ?ρ ? + ? ? ( ρ V ) ? dτ = 0 ∫∫∫D ? ?t ? ??ρ + ? ?( ρV) = 0 ?t不可压流体Dρ =0 Dtρ? ? V + V ??ρDρ = ? ρ? ? V Dt??V = 0?ρ + V ??ρ = ? ρ? ? V ?t2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理30§3.3 流体动力学微分型基本方程动量方程? ∫∫∫D ρ Vdτ = ∫∫∫D ρ fdτ + ∫∫ Σ Tn dA ? ∫∫ Σ ρ V ( V ? n ) dA ?t Tn = n ? T ? ∫∫∫D ρ Vdτ = ∫∫∫D ρ fdτ + ∫∫∫D ? ? Tdτ ? ∫∫∫D ? ? ( ρ VV ) dτ ?t ?ρ V = ρ f + ? ? T ? ? ? ( ρ VV ) ?t ?V ?ρ V? ? ( ρ V ) + ρ V ??V +V ρ?t ?t?V ?ρ ρ +V + V? ? ( ρ V ) + ρ V ??V = ρ f + ? ? T ?t ?t?V 1 + V ??V = f + ? ? T ?t ρ2009年秋-研究生-流体力学DV 1 = f + ??T Dt ρ31流体动力学基本原理§3.3 流体动力学微分型基本方程能量方程 ??t ∫∫∫Dρ e+ 1 V 2(2) dτ = ∫∫∫∫∫Σn?T?VDρ f ? Vdτ + ∫∫ Tn ? VdAΣ Σ? 2 ρ e + 1 V dτ = ∫∫∫ ρ f ? Vdτ + ∫∫∫ ? ? ( T ? V ) dτ 2 D D ?t ∫∫∫D 2 + ∫∫∫ ρ ( q + qR ) dτ + ∫∫∫ ? ? ( λ?T ) dτ ? ∫∫∫ ? ? ? ρ e + 1 V V ? dτ 2 D D D ? ? ? ? 2 2 ρ e + 1 V ? = ρ f ? V + ? ? ( T ? V ) + ρ ( q + qR ) + ? ? ( λ? T ) ? ? ? ? ρ e + 1 V V ? 2 2 ? ? ? ?t ? ? 2 2 ?ρ 2 2 ρ e+ 1 V + e+ 1 V e + 1 V ? ? ( ρ V ) + ( ρ V ) ?? e + 1 V 2 2 2 2 ?t ?t ? 2 2 ρ e + 1 V + ( ρ V ) ?? e + 1 V = ρ f ? V + ? ? ( T ? V ) + ρ ( q + qR ) + ? ? ( λ?T ) 2 2 ?t ? 1 1 2 2 1 1 e + 2 V + V ?? e + 2 V = f ? V + ? ? ( T ? V ) + q + qR + ? ? ( λ?T ) ?t ρ ρ D 1 1 2 1 e + 2 V = f ? V + ? ? ( T ? V ) + q + q R + ? ? ( λ? T ) Dt ρ ρ(+ ∫∫∫ ρ ( q + qR ) dτ +)Dλ n ??TdA ? ∫∫ ρ e + 1 V 2(2) ( V ? n ) dA(()())( () ( )() () ( (()()) ))2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理32§3.3 流体动力学微分型基本方程一、微分型基本方程?ρ + V ??ρ = ? ρ? ? V ?t?V 1 + V ??V = f + ? ? T ρ ?t独立的未知量ρ V T e T1 3 6 1 1独立的方程：5? 1 1 2 2 (e + 1 V ) + V ??(e + 1 V ) = f ? V + ? ? ( T ? V ) + q + qR + ? ? ( λ?T ) 2 2 ?t ρ ρ二、微分型基本方程组封闭性讨论不封闭 补充方程：物性方程或物理模型方程有一定的适用范围！2009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理 33§3.3 流体动力学微分型基本方程1. 热力学状态方程热力学状态参数 p, ρ, T , e 常比热完全气体p = ρ RT e = cvT只有两个独立！h = cpTR = cp ? cvγ = cp / cv均质不可压缩流体ρ = Const.e = e (T , p ) .补充2个方程2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理34§3.3 流体动力学微分型基本方程2. 本构方程定义：流体微团的应力状态和微团运动状态间的物性关系 式，称为介质的本构方程。 理想流体：忽略粘性 Tij = ?pδij 牛顿流体：应力张量与应变率张量成线性关系，且静止时 与介质的静压力相同。2 ? ? Tij = ? ? p + ? μ ′ ? μ ? ? ? V ? δ ij + 2 μSij ? ? 3 ? ? ? ? μ 流体动力粘性系数 μ ′ 第二粘性系数，一般情况 μ ′ = 0p 流体中压强补充6个方程 增加1个未知量未知量：12+1=13；方程：5+2+62009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理尚未找到对任何流体 都适用的封闭方程组35§3.3 流体动力学微分型基本方程常用粘性流体微分型封闭方程组q 1. 重力场中， = qR = 0 ，符合牛顿流体假设和傅里叶定律的 常比热完全气体的流动?ρ + V ? ?ρ = ? ρ? ? V ?t ?V 1 + V ? ?V = g + ? ? T ?t ρ ? 1 1 2 2 1 1 e + 2 V + V ? ? e + 2 V = g ? V + ? ? ( T ? V ) + ? ? ( λ? T ) ?t ρ ρ()()2 ? ? Tij = ? ? p + ? μ ′ ? μ ? ? ? V ? δ ij + 2μSij ? ? 3 ? ? ? ? p = ρ RT未知量：共13个标量e = C vTp, ρ, e,T , V, T方程：13个标量方程2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理36§3.3 流体动力学微分型基本方程2. 重力场中，q = qR = 0 ，均质不可压缩牛顿流体的流动??V = 0 ?V 1 + V ? ?V = g + ? ? T ρ ?t未知量：共4个标量 方程：4个标量方程p, V封闭！Tij = ?pδ ij + 2 μSij? e+ ?t?V 1 + V ? ?V = g ? ? p + ν? 2 V ?t ρV2(1 2V2) + V ? ? (e +1 21 1 ) = g ? V + ρ ? ? ( T ? V ) + ρ ? ? ( λ? T )e = e (T , p )直角坐标系下的分量形式?ui =0 ?x i2009年秋-研究生-流体力学能量方程在速度场求解后单独求解?ui ?ui 1 ?p ? 2ui + uj = gδi 3 ? +ν ρ ?x i ?t ?x j ?x j ?x j流体动力学基本原理 37§3.3 流体动力学微分型基本方程三、边界条件和初始条件 边界条件无穷远条件 固壁条件 界面条件x → ∞ : V = 0, Tij = ? p∞δ ij , ρ = ρ∞ , T = T∞V |wall = Vw , T |wall = Tw V+ = V? , T+ = T?( Tn ? n )+ ? ( Tn ? n )? = γ ?? 1 1 ? + ?, ? R1 R2 ??F + V ? ?F = 0 ?t( Tn ? s )+ = ( Tn ? s )? , ( Tn ? t )+ = ( Tn ? t )?初始条件非定常问题，需给出初始状态t = t0 : V = V0 ( x ) , p = p0 ( x ) , ρ = ρ0 ( x ) , T = T0 ( x )2009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理 38§3.4 流体静力学静止流场：流体动力学的一个特例 要解决的问题： 静止流场中的压强分布及其作用在物体上的合 力、合力矩 静止流场的特点：V=0Tij = ? pδ ij2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理39§3.4 流体静力学一． 流体静力学的基本方程（流体静止的必要条件） 1 ?p = ρ f 或 f = ?pρ二． 静止流场中的质量力条件 正压流体与斜压流体 正压流体：流体质点的密度只是当地压强的函数ρ = ρ ( p)斜压流体：不满足以上关系的流体 压力函数：对正压流体可定义 1 dP 1 P = ∫ dp = P ( p ) ?P = ?p = ?p ρ dp ρ2009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理不可压流体 完全气体绝 热流动40§3.4 流体静力学斜压流体静止的必要条件是 f ?? × f = 0证明： 流体静止f= 1?1 ? ?1? 1 ? × f = ? × ? ?p ? = ? × ( ?p ) + ? ? ? × ( ? p ) ρ ?ρ ? ?ρ?ρ?p? ?1 ? ? ?1? f ? ( ? × f ) = ? ?p ? ? ? ? ? ? × ?p ? = 0 ?ρ ? ? ?ρ? ?与 ?p 垂直2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理41§3.4 流体静力学正压和不可压流体静止的必要条件是 ? × f = 0证明：对于正压和不可压流体 ?P = ?p 流体静止f=11ρρ?p = ?P? × f = ? × ( ?P ) = 02009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理42§3.4 流体静力学三、静止流场的主要性质势力场作用下的静止流场中，等压面、等密度面和等势 面重合?p = ρ f ? ? ? ?p = ? ρ?π ? ?p × ?π = ? ρ?π × ?π = 0 f = ??π ??p // ?πf=1 ? ?1 ? ?1? 1 = ? 2 ?ρ × ?p = 0 ? ? ? × ? ?p ? = 0 ? ? × ?p + ? ? ? × ? p ρ ρ ?ρ ? ?ρ? ?×f = 0 ?1等压面与等势面重合ρ?p?p // ?ρ等压面与等密度面重合推论：两种互不掺混的均质液体的静止交界面为等势面2009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理 43§3.4 流体静力学四、重力场中静止流体的压强分布重力场中的静止液体（不可压）z?p = ρ ff = ?gkx0 hy?p ?p ?p = 0, = 0, = ? ρg ?x ?y ?zp = ? ρ gz + C? z 为常数的面为等压面；p = p0 ? ρ gz ? 当 z = ?h 时， p = p0 + ρ gh? 若 z = 0 时 p = p0 ，则2009年秋-研究生-流体力学 流体动力学基本原理 44§3.4 流体静力学四、重力场中静止流体的压强分布重力场中的静止大气及国际标准大气 dp = ? ρ gdz ρ = ρ ( p, T ) ① 国际标准大气模型 海平面 ( z = 0km)5 2 ： p = p0 = 1.0133 × 10 N/m同温层T1 pc , ρcρ = ρ 0 = 1.225kg/mT = T0 = 288°k11km 对流层 0km3对流层 (0 & z ≤ 11km)： T = T0 ? 0.0065z 同温层 ( z & 11km) ： T = T1 = 216.5°k 大气为完全气体 ： p = ρ RT R = 286.85J/kg ?°kp0 , ρ 0 , T02009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理45§3.4 流体静力学②压力及密度分布dp = ? ρ gdz20 18p = ρ RT20 18 16 14 12g dp = ? p dz RT20 18 16 14 12同温层16 14 12T = 0.752 T0p ? 11 ? z ? = 0.222 exp ? ? p0 ? 6.34 ?ρ ? 11 ? z ? = 0.297 exp ? ? ρ0 ? 6.34 ?Z(km)Z(km)Z(km)10 8T 6.5 z = 1? T0 T010 8 6 4 2 0 0p ? z ? = ?1 ? ? p0 ? 44.3 ?5.25610 8 6 4 2 0 0z ? ρ ? = ?1 ? ρ0 ? 44.3 ? ?4.256对流层6 4 2 0 0.70.80.910.20.40.60.810.20.4T/T0P/P 0ρ/ρ00.60.812009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理46§3.4 流体静力学五、非惯性坐标系中的静止液体在非惯性坐标系中相对静止的流体的基本方程为：f ?a = 1ρ?p例：重力场下匀加速运动容器中的液体， 求液体中压力分布和 a = ax i 时自由面的形状。z y xa2009年秋-研究生-流体力学流体动力学基本原理16学时47第四章 理想流体动力学2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学1简介理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性μ =0Cv μ =0 λ= mTij = ? pδ ij理想流体（势流）2009年秋-研究生-流体力学 理想流体动力学真实流体2基本内容理想流体运动的基本方程和初边值条件 理想流体在势力场中运动的主要性质 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分 理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要 性质 5. 理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及 叠加法 6. 不可压缩流体二维流动的流函数及其性质 7. 理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函 数方法 1. 2. 3. 4.2009年秋-研究生-流体力学 理想流体动力学 3§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件1. 理想流体运动的基本方程 ―― Euler 方程?ρ + V ??ρ = ? ρ? ? V ?t?V 1 + V ??V = f + ? ? T ρ ?tTij = ? pδ ij? ? ek ? ( ? pδ ij ) ei e j = ( ? p ) ei = ??p ?xi ?xk? 1 1 2 2 (e + 1 V ) + V ??(e + 1 V ) = f ? V + ? ? ( T ? V ) + q + qR + ? ? ( λ?T ) 2 2 ?t ρ ρ? pδ ij ei e j ? Vk e k = ? pVi ei = ? pV2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学4§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件?ρ + V ??ρ = ? ρ? ? V ?t?V j ?ρ ?ρ +Vj = ?ρ ?t ?x j ?x j?V 1 + V ??V = ? ?p + f ?t ρ?Vi ?Vi 1 ?p +Vj =? + fi ρ ?xi ?t ?x j? 1 2 2 1 1 (e + 2 V ) + V ??(e + 2 V ) = f ? V ? ? ? ( pV ) + q + qR ?t ρ? ? 1 ? 2 2 1 1 e + 2 V +Vj e + 2 V = f jV j ? ( pV j ) + q + qR ?t ?x j ρ ?x j()()不封闭！2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学5§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件2. 理想流体能量方程的讨论D 2 e+ 1 V 2 Dt Dρ = ? ρ? ? V Dt Dp ?p = + V ??p Dt ?t?? 1 2 2 1 1 (e + 2 V ) + V ??(e + 2 V ) = f ? V ? ? ? ( pV ) + q + qR ?t ρ()1 Dρ ? ??V = 2 ρ ρ Dt 1 1=?1ρp? ? V ?1ρV ??pρV ??p = ?1 Dp 1 ?p + ρ Dt ρ ?tp Dρ 1 Dp 1 ?p ? + 2 ρ Dt ρ Dt ρ ?t D ? 1 ? 1 Dp 1 ?p = ?p ? ?? + Dt ? ρ ? ρ Dt ρ ?t D ? p ? 1 ?p = ? ? ?+ Dt ? ρ ? ρ ?tD? p? 1 ?p 2 1 ? e + 2 V + ? = f ? V + q + qR + Dt ? ρ? ρ ?t2009年秋-研究生-流体力学 理想流体动力学 6§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件动能方程D Dt(1 2DV 1 = f ? ?p Dt ρ 1 2 V = f ? V ? V ??p)ρD? p? 1 ?p 2 e + 1 V + ? = f ? V + q + qR + ? 2 ρ? ρ ?t Dt ? D? p? 1 Dp e + ? = q + qR + ? ρ? ρ Dt Dt ?焓i = e+pρDi 1 Dp = q + qR + ρ Dt DtDe D?1? + p ? ? = q + qR Dt Dt ? ρ ?2009年秋-研究生-流体力学热力学第一定律理想流体动力学 7§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件理想常比热完全气体绝热运动时沿流体质点的迹线熵不变i = C pTP = ρ RTR = C p ? Cvγ = C p / CvDi 1 Dp = q + qR + Dt ρ Dt Di DT C p D ? p ? γ D ? p? γ 1 Dp p γ Dρ = Cp = ? 2 ? ?= ? ?= Dt Dt R Dt ? ρ ? γ ? 1 D t ? ρ ? γ ? 1 ρ D t ρ γ ? 1 D t Dp p Dρ =γ Dt ρ DtD? p ? ? γ ?=0 Dt ? ρ ?Ds =0 Dt? p s = Cv ln ? γ ?ρ? ? + Const. ?熵理想流体动力学 82009年秋-研究生-流体力学§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件3. 常用理想流体动力学微分型封闭方程组重力场中，理想常比热完全气体绝热流动 ?ρ + V ??ρ = ? ρ? ? V 关于 p, ρ , V 的封闭方程组 ?t ?V 1 + V ??V = ? ?p + g ? p = ρ RT ρ ?t?? p ? ?t ? ρ γ ? ? p ? + V ?? ? γ ? = 0 ? ? ?ρ ?? ? e = CvTe, T重力场中，理想匀质不可压缩流体的运动??V = 0 ?V 1 + V ??V = ? ?p + g ?t ρ关于p, V的封闭方程组De = q + qR Dte, T2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学9§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件4. 理想流体运动的初边值条件（1）初始条件： 对非定常流动，应给出流动的初始速度、压力、密度等的分布t = t0 : V = V0 (x), p = p0 (x), ρ = ρ0 (x)（2）边界条件： 界面或固壁的不可穿透条件 若界面或固壁满足 无穷远条件（无界静止流体） （绕流条件） 两种互不掺混界面上的应力条件( VL ? n )Σ = ( VB ? n )ΣΣ : F ( x, y , z , t ) = 0?F + VL ? ?F = 0 ?t p = p∞ , ρ = ρ∞ p = p∞ , ρ = ρ ∞x → ∞ : V = 0, x → ∞ : V = V∞ ,? 1 1 ? p + ? p? = γ ? + ? ? R1 R2 ?102009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件例：刚体椭球以速度 V0 = Ui 在无界理想流体中作等速直线运动， 建立理想流体运动的边界条件。yUty′x ′ = x ? Ut, y ′ = y, z ′ = z u ′ = u ? U , v ′ = v, w ′ = wz球面：oxz′o′x′无穷远：x′ y′ z′ u′ 2 + v′ 2 + w′ 2 = 0 a b cu ′ = ?Uv′ = w′ = 0x ? Ut x ? Ut y z ?U +u +v 2 +w 2 = 0 2 2 a a b c2009年秋-研究生-流体力学 理想流体动力学u =v =w =011§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件例：在原无界静止的理想匀质不可压缩流体中，有一圆球作均匀膨胀， 其物面方程为 R = Rb (t ) 无穷远处压力 p = p∞ ，不计质量力， 求：球面上的压强分布。? ( R 2VR ) = 0 ?RRb (t ) R??V = 0 ?V 1 + V ??V = ? ?p ?t ρt = 0: V = 0Vθ = V? = 0球坐标系( R, θ , ? )?VR ?V 1 ?p + VR R = ? ?t ?R ρ ?R t = 0 : VR = 0 R → ∞ : VR = 0 p = p∞R →∞: V = 0p = p∞R = Rb (t ) : VR = Rb (t )? ? = =0 ?θ ?? VR = VR ( R)R = Rb (t ) : VR = Rb (t )2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学12§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件C (t ) ? 2 VR = 2 R 2VR = C ( t ) ( R VR ) = 0 Rb2 R ?R VR = 2 Rb ( t ) R C (t ) 2 R = Rb (t ) : VR = Rb (t ) C ( t ) = Rb Rb ( t ) Rb ( t ) = 2 Rb ?VR ?VR 1 ?p ? ? Rb2 ? ? Rb2 ? ? ? Rb2 ? 1 ?p + VR =? Rb ? + ? 2 Rb ? ? 2 Rb ? = ? ? ?t ?R ρ ?R ?t ? R 2 ? ? R ρ ?R ? ?R ? R ?2 2 1 ?p Rb2 Rb 2 + ? Rb R ?? ?2 Rb R ? =? Rb + 2 2 Rb ? 2 b ?? b? R R3 ? ρ ?R R2 R ? ?? 1 1 1 ?p Rb2 Rb + 2 Rb Rb2 ) 2 ? 2 Rb4 Rb2 5 = ? ( R R ρ ?R积分1 ? 1? 1 ? p ∞ = ? ( Rb2 Rb + 2 Rb Rb2 ) ? 2 Rb4 Rb2 ? ? ? 4 ρ R∞ ? 4? R 1R 2 b 2 bRR∞R = Rb (t ) :2009年秋-研究生-流体力学1 1 4 2 1 p = p∞ + ρ ( R Rb + 2 Rb R ) ? ρ Rb Rb 4 R 2 R 1 3 ? ? pb = p∞ + ρ ( Rb Rb + 2 Rb2 ) ? ρ Rb2 = p∞ + ρ ? Rb Rb + Rb2 ? 2 2 ? ?理想流体动力学18学时13§4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质1. Kelvin 定理（沿封闭流体线的环量不变定理）理想正压流体在势力场中运动时，连续流场内沿任一条 封闭流体线的速度环量不随时间变化。D 证明： DtD Dt∫∫llV ? dx = 0lδxl′(V + δ V)δtδ x′ Vδ t∫ V ? dxl=D ( V ? dx ) DtDV ∫ l Dt ? d x + DV = ∫ ? dx + l Dt DV = ∫ ? dx + l Dt =2009年秋-研究生-流体力学∫lV?D ( dx ) Dt∫ V ? dVl∫ (ld1 2V2)δ x′ ? δ x = δ x + ( V + δ V ) δ t ? Vδ t ? δ x = δ Vδ t D ( dx ) ? δ x′ ? δ x ? = lim ? ? δ t →0 ? Dt δt ? = lim δ V = dVδ t →0理想流体动力学14§4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质D Dt DV ∫ l V ? d x = ∫ l Dt ? d x = ? ∫ l ? ( P + Π ) ? d x = ? ∫ l d ( P + Π ) = 0动量方程 理想： 正压：μ =0 ρ = ρ ( p)DV 1 = ? ?p + f Dt ρ 1 ?p = ?PDV = ??P ? ?Π Dtρ势力场： f = ??Π2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学15§4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质2. Lagrange 定理（涡量不生不灭定理）理想正压流体在势力场中运动时，若某一时刻连续流场 无旋，则流场始终无旋。 理想正压流体在势力场中运动时，若某一时刻连续流场 有旋，则流场始终有旋。推论：在满足Kelvin 定理的条件下，均匀来流绕过任一物体的 流场为无旋流场；由任意物体在原静止流场中运动所造 成的流场是无旋流场。2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学16§4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质3. 旋涡产生或消失的条件只要不满足 Kelvin 定理的任何一个条件，旋涡都会产生或消失。 Kelvin 定理条件：理想正压流体、质量力有势、流场连续边界层内有旋流动 （1）流体的粘性（非理想流体） 均匀来流 （2）存在间断（非连续流场） 切向间断 均匀来流 法向间断 曲线激波无旋有旋2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学17§4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质（3）非正压流场 北极D DtDV ∫ l V ? d x = ∫ l Dt ? d x=?ρn?p∫l ( f1 ? ρ ?p ) ? dxl赤道?∫1 ( ρ ?p ) ? dx l A?ρ × ?p // nDΓ &0 Dt1 = ? ∫∫ ? × ( ρ ?p ) ? ndA=∫∫2 A ρ1( ?ρ × ? p ) ? n d A贸易风（信风）理想流体动力学≠02009年秋-研究生-流体力学北南18§4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质（4）非有势力场（以地球上大气运动为例）DV ′ 1 a = ω × ( ω × R ′ ) + 2ω × V ′ f = ??Π = f ? a ? ?p Dt ρ DΓ ′ DV ′ 1 = ∫ ? dx = ∫ ( ??Π ? ω × ( ω × R′ ) ? 2ω × V′ ? ρ ?p ) ? dx l Dt l Dtzω′ VNS′ ω × VNS // dr′r′ dr′′ R′ VNS( ω × V ′ ) ? dr ′ & 0DΓ ′ &0 Dty东北西南理想流体动力学 19x2009年秋-研究生-流体力学§4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质4. Helmholtz 定理（涡线及涡管保持定理）理想正压流体在势力场中运动时，组成涡线（面）的流 体质点永远组成此涡线（面），即涡线（面）是流体线 （面）。 理想正压流体在势力场中运动时，组成涡管的流体质点 永远组成此涡管，且涡管强度不随时间变化。2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学20§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分1. Lamb 型方程?V 1 + V ??V = ? ?p + f ?t ρ? ( V ? V ) = 2V ??V + 2V × ( ? × V )V ??V = ?(1 2V2)? V×Ω?V 1 ?1 2? + ? ? V ? ? V × ? = f ? ?p ?t ρ ?2 ?V×?2009年秋-研究生-流体力学Lamb矢量21理想流体动力学§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分2. 伯努利积分 C 理想正压流体在势力场中作定常流动时，沿流 线有 1 22 V + P + Π = CnC 理想正压流体在势力场中作定常流动时，沿涡 线有1 2 V + P + Π = Cm 2P Π2009年秋-研究生-流体力学压力函数 质量力势理想流体动力学 22§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分理想正压流体在势力场中作定常流动?V 1 ?1 ? + ? ? V 2 ? ? V × ? = f ? ?p ρ ?t ?2 ???Π ?1 2 ? ?? V + Π + P? = V×? ?2 ? ?1 ? s ? ? ? V 2 + Π + P ? = s ? (V × ?) ?2 ? ?P流线切向s投影s // V? ?1 2 ? V + Π + P? = 0 ? ?s ? 2 ?1 2 V + Π + P = Cn 22009年秋-研究生-流体力学 理想流体动力学( V × ?) ⊥ V23§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分3. 几种特殊情况下的伯努利积分C 理想均质不可压缩流体在重力场中定常流动时，沿流 线有 1 2 p2 V +ρ+ gz = C (l )C理想常比热完全气体在势力场中作绝热定常流动时， 沿流线有 1 2 γ p2 V +γ ?1 ρ+ Π = C (l )C等速转动坐标系中的伯努利方程 理想流体在势力场中作绝热运动，相对于等速转动坐 标系运动是定常的，则沿相对流线有1 2 1 V ′ + i + Π ? ω 2 r ′2 = C (l ′) 2 22009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学24§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分理想流体在势力场中作绝热运动，相对于等速转动坐标系定常1 ?V ′ ?1 ? + ?′ ? V ′2 ? ? V ′ × ?′ = f ? a ? ? ′p ρ ?t ?2 ?a = ω × (ω × R′) + 2ω × V ′1 1 ?1 ? ′ ? V ′2 + Π ? ω 2 r ′2 ? = V ′ × ?′ ? 2ω × V ′ ? ? ′p ? 2 ρ ?2 ??? ( 1 ω 2 r ′2 ) 2沿相对流线 能量方程? ?1 2 1 2 2? 1 ? V ′ + Π ? ω r ′ ? = ? ?′p ? s′ 2 ρ ?s ′ ? 2 ?Di 1 Dp = q + qR + Dt ρ DtV ′ ? ?′i =1ρV ′ ? ?′p? ?1 2 1 ? ′ + Π ? ω 2 r ′2 + i ? = 0 V ? 2 ?s ′ ? 2 ?2009年秋-研究生-流体力学1 2 1 2 2 V ′ + Π ? ω r ′ + i = Cl ′ 2 2理想流体动力学 25§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分 伯努利积分应用举例：毕托管测速原理V,ρ用于测量不可压液体或低速气体流动的速度， 简化： ? 假定流体是理想均质不可压，流动定常； ? 放入毕托管后2点处的压力和速度分别近似等 于放毕托管前1点处的压力和速度； ? 忽略1、2点间的质量力势之差； ? 测速时，沿流动方向放置毕托管，则1、2点位 于同一条流线上。2009年秋-研究生-流体力学 理想流体动力学20学时26§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分 4. Cauchy-Lagrange 积分理想正压流体在势力场中作无旋流动时，全流场成立?? 1 2 + ?? + P + Π = C (t ) ?t 2其中 ? ,P, Π , C (t ) 分别为速度势、压力函数、质量力势、积分常数定常1 2 V +P+Π =C 2全流场成立的伯努利积分2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学27§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分例：理想流体的一维非定常流动 在 L 形等截面管道中充满理想均质不可压流体，开始时出口端封闭，管内流 体静止，当 t=0 时，封口突然打开，流体开始经管内流出。设 L 形管的垂直和水 平段长度均为 l ，L 形管上下段空气压强均为大气压 pa 求：1）在 t=0 打开封口瞬时管内压强分布； 2）流体从管内流空的时间。zz0 = lzzs = 2lz0s = l + z0s=00初始状态s=0x0液面在垂直段内s = l ? x0x0x0s=0 x液面在水平段内2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学28无旋?? 1 p 2 + ?? + + Π = C (t ) ?t 2 ρ dV 1 2 p ? s + V + + Π = C (t ) ρ dt 21. 求速度势的表达式? = ?V ( t ) s2. 求t=0时打开封口后管内压强分布1 p = pa + ρ gs ? ρΠ ( s ) 2zz0 = ls = 2l在垂直段 未开封口 在水平段p = pa + 1 ρ g ( l ? z ) 2p = pa + ρ g ( l ? z ) p = pa + 1 ρ g ( l ? x ) 2 p = pa + ρ gls=00x2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学293. 求液面的运动规律V = V (t )V = V液面dV s面 = Π 面 dtdV 1 2 p ? s + V + + Π = C (t ) ρ dt 2 z液面在垂直段 V = 2 g ( l ? z0 ) + 2 gl ln ? z0 + l ? ? ?? 2l ?z0s = l + z0 s=0液面在水平段 V = 0.7834 gl 4. 求泄空时间 垂直段泄空时间 T1 = 2.130 l / g 水平段泄空时间 T2 = 1.276 l / g0xT = 3.406 l / g2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学30§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分 5. 动坐标系中的 Cauchy-Lagrange 积分在动坐标系中研究绝对运动? ′? 1 2 ? Ve ? V + V + P + Π = C (t ) ?t 2Ve = Vo′ + ω × R ′2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学31§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分动坐标系中的 C-L 积分举例例：半径为 a 的圆球，在原无界静止的理想均质不可压流体中以 Vo (t ) 作变速直线运动，忽略质量力， 求：圆球表面的压力分布以及流体作用在圆球上的合力。 解： 1. 数学提法 在固结于圆球的动坐标系中研究绝对运动?′2? = 0物面条件：不可穿透条件 V′ ? ?′F = 0 无穷远条件： V ∞ = 02009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学32§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分? 2? ? 2? 2 ?? ctgθ ′ ?? 1 ? 2? 1 + 2 + 2 2 + + =0 2 2 2 2 R ′ ?R ′ R ′ ?θ ′ ?R ′ R ′ ?θ ′ R ′ sin θ ′ ?ε ′?? = ?Vo (t ) cos θ ′ ?R ′ R′ = a ?? 1 ?? 1 ?? = = =0 ?R ′ R′→∞ R ′ ?θ ′ R′→∞ R ′ sin θ ′ ?ε ′ R′→∞2. 求速度势：分离变量法求解：? = f ( R′ ) cos θ ′1 3 f = a V0 (t ) 2 2R ′2 2 f′? 2 f = 0 R′ R′ f ′ R′ =a = ?V0 (t ) f ′′ +f ′ R′→∞ = 02009年秋-研究生-流体力学Vo (t )a 3 ?= cos θ ′ 2 2 R′理想流体动力学 33§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分3. 求压力分布? ′? 1 2 p p∞ ? Ve ? V + V + = 2 ρ ρ ?tVo (t )a 3 ?= cos θ ′ 2 2 R′p = p∞ +4. 求合力1 1 9 ρV02 ? ρV0a cos θ ′ ? ρV02 sin2 θ ′ 2 2 82 F = πρa 3V0 ez 3讨论： 1 流体作用在圆球上的合力为阻力； 2 达朗贝尔佯谬 若圆球的运动为等速直线运动， 则它所受阻力为零； 3 附加质量2009年秋-研究生-流体力学 理想流体动力学22学时34§4.4 理想不可压缩无旋流动问题的数学题法及主要性质一、不可压缩流体无旋流动问题的数学提法C 基本方程? 2? = 0C 边界条件 ? 界面条件Σ : F ( x, y, z , t ) = 0,? 无穷远条件?F + ?? ? ?F = 0 ?tx → ∞ : ?? = V∞2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学35§4.4 理想不可压缩无旋流动问题的数学题法及主要性质 二、 理想不可压缩流体在势力场中作无旋流动问题 的求解思路C 由运动学条件求 ?? ? =02+B.C.pC由 C-L 积分求?? 1 p 2 + ?? + + Π = C (t ) ?t 2 ρ2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学36§4.4 理想不可压缩无旋流动问题的数学题法及主要性质三、不可压缩无旋流动问题中速度势的主要性质 1、连通域的概念 C C C C 连通域：在某个空间区域内，任意两点能在该域内以 连续曲线连接，这样的空间区域称为“连通域”。 单连通域：在连通域内，任意封闭曲线都能在域内连 续地收缩为一点，则称该连通域为“单连通域”。 多连通域：凡是不具有单连通域性质的连通域称为“多 连通域”。 隔面：完全在域内、并和域的封闭边界相交的曲面称 为“隔面”。加 1 个隔面可变为单连域的称为“双连域”； 加 n-1 个隔面可变为单连域的称为“ n 连域”。2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学37§4.4 理想不可压缩无旋流动问题的数学题法及主要性质球内域球外域两球之间圆环内域2009年秋-研究生-流体力学圆环内域加一个隔面理想流体动力学 38§4.4 理想不可压缩无旋流动问题的数学题法及主要性质2、无旋流动速度势的主要性质 速度势的确定：? ( x ) = ? p ( x ) + ∫ V ? dxl? p (x) = ∫ V ? dxx0x沿某一路径在单连域中速度势是单值的。 推论：单连域中的无旋流动不可能存在封闭的流线。 双连域的无旋流场中，任意不可缩周线上的速度环量相 等（绕封闭周线一周），速度势多值。2009年秋-研究生-流体力学理想流体动力学39§4.4 理想不可压缩无旋流动问题的数学题法及主要性质3、理想不可压无旋流动速度场解的唯一性定理① 有界单连域中解的唯一性条件 在边界上给定 ? 或在边界上给定 ?? / ?n 或在一部分边界上给定 ? ，另一部分边界上给定 ?? / ?n 有界双连域中解的唯一性条件 ① + 绕不可缩周线的速度环量或通过隔面的体积流量 无界单连域中解的唯一性条件 给定无穷远处 ?? |∞ = V∞ 和以下三种条件之一 内边界上给定 ? 及总体积流量 内边界上给定 ?? / ?n 内边界上部分给定 ? ，其余部分给定 ?? / ?n ，并给定通过内边界的体积流量② ③④无界双连域中解的唯一性条件 ③ + 内边界上的速度环量理想流体动力学 402009年秋-研究生-流体力学§4.4 理想不可压缩无旋流动问题的数学题法及主要性质4、不可压无旋流场的主要特性① ② ③ ④ 速度势函数不能在域内有极大或极小值； 不可压缩无旋流场中速度