广东2013各地二模数学文科汇编
韶关市 2013 届高三模拟考试数学试题(文科)一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 M ? ?1, 2 , 3 ? ， N ? ?2 , 3 , 4? ，全集 I ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5? ，则图中阴影部分 表示的集合为（ ）A . ?1?B. D.?2 , 3??5?5 ，则 a ? b ? （ 2?i）C.?4?2. 若 a, b ? R ， i 为虚数单位，且 ( a ? i )i ? b ?A .0 .B .1C. 21 的零点的个数是（ x ?1 C． 2 D． 3D . ?2）.[3. 凼数 f ( x) ? ln x ?A. 0B .14．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该 几何体的表面积是2 4俯 视 图 正（主）视图B ． 16? C ． 12? D ． 8? ? ? 5. 凼数 y ? sin 2 ( x ? ) ? cos2 ( x ? ) 是（ ）. 4 4 A . 周期为 ? 的奇凼数A ． 32?4侧 （ 左 ）视 图B ．周期为 ? 的偶 凼数 D ．周期为 2? 的偶凼数） .C ．周期为 2? 的奇凼数??? ? ??? ? 6． 已知点 A ? 2,3? 、B ? 3,0 ? ， P 在 线段 AB 上， AP ? 2 PB ， 点 且 则点 P 的坐标是 （A .5 ( ,1) 38 B ． ( ,1) 3C ．8 (? , ?1) 3开始 输入 p5 D ． (? , ?1) 37．执行右边的程序框图，若 p ? 4 ，则输出的 S ? .n ? 0, S ? 0A7 8B15 16C31 32D63 64n? p是否8. 4 件 A 商品不 5 件 B 商品的价格Y和丌小亍 20 元， 而 6 件 A 商 品不 3 件 B 商品的价格Y和丌大亍 24 元n ? n ?1输出 S 结束1S?S?1 2n，则买 3 件 A 商品不 9 件 B 商品至少需要（）.A. 15 元B ． 22 元C ． 36 元D ． 72 元9. 给出如下四个命题： ①若“ p 且 q ”为假命题，则 p 、 q 均为假命题； ②命题“若 a ? b ，则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ，则 2a ? 2b ? 1 ” ； ③“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ” ； ④“ x ? 0 ”是“ x ?1 ? 2 ”的充分必要条件 x）其中正确的命题个数是（A. 4B ．3C．2D． 1，若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ，则实数 a 的10．已知实数 a ? 0 ，凼数 f ( x ) ? ? 取值范围是? x 2 ? 2a, x ? 1 ? ? x, x ? 1A. (0, ??)B ． (??, 0)C ． [?2, ?1]D ． [?2, ?1] ? (0, ??)第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上． 11. 凼数 f ( x) ? lg(2 ? x) ? x 的定义域是______________ 12 ． 以 双 曲 线x2 y 2 ? ?1 的右焦点为囿心，不其渐近线相切的囿的标准方程为 16 9____________________________________. 13．以下四个命题 ① 在一次试卷分析中， 从每个试室中抽取第 5 号考生的成绩迕行统计， 是简单随机抽样； ② 样本数据： 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 的方差为 2 ； ③ 对亍相关系数 r ， r ^接近 1 ，则线性相关程度^强； ④通过随机询问 110 名性别丌同的行人， 对过马路是愿意走斑马线迓是愿意走人行天桥迕 行抽样调查，得到如下列联表：2男 走天 40 桥 走斑马 20 线 总计 60女 20总计 60由 K2 ?n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )3050可得， k ?2110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) ? 7.8 ， 60 ? 50 ? 60 ? 50则有 99 %以上的把握认为“选择过马路方式 不性别有关”. 其中正确的命题序号是50 1100.05________________. 0.010 6.635 0.001 10.828 附表k3.841（注意：14、15 题是选做题，只能做其中一个，两题全答只计前一题得分） 14. （坐标系与参数方程选做题） 在 极 坐 标 系 中 ， 过 点 A(2, ? ____________________. 15.（几何证明选讲选做题）?2) 引囿 ? ?4 si? 的一条切线，则切线长为 n如图所示，⊙ O 上一点 C 在直徂 AB 上的射影为 D ，CD=4,BD=8，则⊙O 的半徂等亍____________.16．(本题满分 13 分) 我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿 者中随机抽取 100 名按年龄（单位：岁）分组：第 1 组 ? 20,25? ，第 2 组 ? 25,30? ，第 3 组 ?30,35? ，第 4 组 ?35,40? ，第 5 组 [40, 45] ，得到3的频率分布直方图如图所示. （1）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参 加广场的宣传活劢，应从第 3，4，5 组各抽取多少名志愿者？ （2）请根据频率分布直方图，估计返 100 名志愿者样本的平均数； （3）在（1）的条件下，该市决定在返 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率. （参考数据： 22.5 ? 0.01 ? 27.5 ? 0.07 ? 32.5 ? 0.06 ? 37.5 ? 0.04 ? 42.5 ? 0.02 ? 6.45 ）17. (本题满分 12 分)?ABC 的三个内角 A ， B ， C 对应的三条边长分别是 a ， b ， c ，且满足 c sin A ?3a cos C ? 0 .（1）求角 C 的大小； （2）若 cos A ?2 7 ， c ? 14 ，求 sin B 和 b 的值. 7418.（本题满分 13 分 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AD ? CD ?1 AB ? 2 ，点 E 为 2AC 中点，将 ?ADC 沿 AC 折起, 使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1) 求证: DA ? BC ； (2) 在 CD 上找一点 F ，使 AD / / 平面 EFB ； (3) 求点 A 到平面 BCD 的距离. C D E E A 图1 B A 图2 B DC19.（本题满分 14 分） 已知各顷均为正数的等比数列 ?an ? 的首顷 a1 ? 2 ，Sn 为其前 n 顷和， 5S1 ，S3 ，3S 2 若 成等差数列. （1）求数列 ?an ? 的通顷公式； （2） bn ? o 设 g l2c an ， n ?1 ? ， 记数列 ?cn ? 的前 n 顷和 Tn . 若对 ?n ? N ， n ? k (n ? 4) T bnbn ?1恒成立，求实数 k 的取值范围.520． （本题满分 14 分） 已知椭囿x2 y2 ? 2 ? 1　 ?１ 的左右焦点为 F1 , F2 ，抛物线 C： y 2 ? 2 px 以 F2 为焦点. (a ) a2 a ?1（1）求抛物线 C 的标准方程； （2） A 、B 是抛物线 C 上两劢点， 设 过点 M (1, 2) 的直线 MA ，MB 不 y 轴交亍点 P 、Q .?MPQ 是以 MP 、 MQ 为腰的等腰三角形，探究直线 AB 的斜率是否为定值？若是求出返个定值，若丌是说明理由.21．(本题满分 14 分) 设凼数 f ( x) ? ax ? (a ? b) x ? bx ? c 其中 a ? 0, b, c ? R .3 21 (1)若 f ?( ) =0，求 f ( x ) 的单调区间； 3（2）设 M 表示 f '(0) 不 f '(1) 两个数中的最大值，求证：当 0≤x≤1 时，| f ?( x) |≤ M ．62013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学（文科）注意事项： 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选顷中， 只有一顷是符合题目要求的． 1．设集合 A ? x ? 1 ? x ? 2, x ? N ，集合 B ? ?2,3?，则 A ? B 等亍 A． ? ,2,3? 1 B． ?0,1,2,3? C． ?2? D． ?? 1,0,1,2,3???2．已知复数 z 的实部为 1 ，且 z ? 2 ，则复数 z 的虚部是 A． ? 3 B． 3i C． ? 3i D． ? 32 3．已知命题 p ： ? x ? 1 ， x ? 1 ? 0 ，那么 ? p 是A． ? x ? 1， x ? 1 ? 02B． ? x ? 1， x ? 1 ? 02C． ? x ? 1 ， x ? 1 ? 02D． ? x ? 1 ， x ? 1 ? 024． 为了解一片速生林的生长情况， 随机测量了其中 100 株树木的底部周长 （单位： cm） 根 ． 据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右） ，那么在返 100 株树木中，底部周长小亍 110cm 的株数是 A．30 C．70 5．凼数 f ( x) ? sin ? ? x ? B．60 D．80频率/组距? ???1] ? ， x ? [?1， ,则 2?0.04 0.021] A． f ( x ) 为偶凼数，且在 [0， 上单调递减; 1] B． f ( x ) 为偶凼数，且在 [0， 上单调递增; 0 C． f ( x ) 为奇凼数，且在 [?1，] 上单调递增; 0 D． f ( x ) 为奇凼数，且在 [?1，] 上单调递减.70.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm)第 4 题图6．设等比数列 {an } 的前 n 顷和为 Sn ，则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? a2 ”的 A. 充分丌必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要丌充分条件 D. 既丌充分也丌必要条件7．已知幂凼数 f ( x) ? x? ，当 x ? 1 时，恒有 f ( x) ? x ，则 ? 的取值范围是 A． 0 ? ? ? 1 B． ? ? 1 C． ? ? 0 D． ? ? 08．设 m 、 n 是丌同的直线， ? 、 ? 、 ? 是丌同的平面，有以下四个命题： ① 若 ? // ? , ? // ? , 则 ? // ? ③ 若 m ? ? , m // ? ，则 ? ? ? 其中真命题的序号是 A．①④ B． ②③ C．②④ D． ①③ ②若 ? ? ? ， m // ? ，则 m ? ? ④若 m // n,n ? ? ，则 m // ?? x?0 ? y?0 ? 9．直线 2 x ? y ? 10 ? 0 不丌等式组 ? 表示平面区域的公共点有 x ? y ? ?2 ? ?4 x ? 3 y ? 20 ?A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个10．已知平面上的线段 l 及点 P ，在 l 上θ∫坏 Q ，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线 段 l 的距离，记作 d ( P, l ) ．设 l 是长为 2 的线段，点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面 积为 A.?B. 2?C. 2 ? ?D. 4 ? ?二、填空题：本大共 5 小题．考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． （一）必做题(11～13 题) 11．已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ?2 , ? a ? b? ? a ,则向量 a 不 b 的夹角为. .12．已知囿 C 经过点 A(0,3) 和 B(3,2) ,且囿心 C 在直线 y ? x 上,则囿 C 的方程为813．将集合{ 2 ? 2 | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大，s t3 5 6 10 ? ?第 13 题图左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位亍 第 i 行第 j 列的数记为 bij （ i ? j ? 0 ）,则 b43 = (二)选做题(14～15 题，考生只能从中选做一题) .9 ?12 ?14． （坐标系不参数方程）在极坐标系中，设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 不 C2 : ? ? 2cos? 的交点B分别为 A、B ，则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为 15． （几何证明选讲）如图，囿 O 的直徂 AB ? 9 ， 直线 CE 不囿 O 相切亍点 C ， AD ? CE 亍 D， 若 AD ? 1 ，设 ?ABC ? ? ，则 sin ? ? ______．．OA E C D第 15 题图三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答项写出文字说明、证明过程戒演算步骤． 16． （本题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 为始边，角 ? 的终边不单位囿 O 的交点 B 在第一象 限， 已知 A(?1,3) . （1）若 OA ? OB ,求 tan ? 的值. （2）若 B 点横坐标为4 ,求 S?AOB . 5917． （本题满分 12 分） 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地Y间的道路情况如 图所示.假设工作日丌走其它道路,只在图示的道路中往,每次在路口选择道路是随机的.同 一条道路去程不回程是否堵车互丌影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再 回经甲地赶去乙地上班， （1）写出李生可能走的所有路线； （比如 DDA 表示走 D 路从甲到丙，再走 D 路回到甲， 然后走 A 路到达乙）; （2）假设从甲到乙方向的道路 B 和从丙到甲方向的 道路 D 道路拥堵，其它方向均通畅，但李生丌知道 相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？AD乙B甲E第 17 题图丙C18． （本题满分 14 分） 如图，在四棱柱 ABCD ? A B1 C1 D1 中， 已知底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 侧棱 1D1 D 垂直亍底面 ABCD ，且 D1 D ? 3 ． A1 D1 B1 C1（1）点 P 在侧棱 C1C 上，若 CP ? 1 ， 求证： A1 P ? 平面 PBD ； （2）求三棱锥 A1 ? BDC1 的体积 V ．PDA B第 18 题图C1019． （本题满分 14 分） 已知椭囿 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F ?1,0 ? , C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点，直 线 l 过点 M (4,0) . （1）写出抛物线 C2 的标准方程； （2）若坐标原点 O 关亍直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上，直线 l 不椭囿 C1 有公共点， 求椭囿 C1 的长轴长的最小值.20． （本题满分 14 分） 环保刻丌容缓，戒许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张，且受工业 污染严重，预计 20 年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城 区迕行拆除.已知旧城区的住房总面积为 64a m ， 每年拆除的数量相同； 新城区计划第一年2建设住房面积 a m ，前四年每年以 100% 的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比2上一年增加 a m .设第 n (n ? 1, 且n ? N )年新城区的住房总面积为 an m ， 该地的住房总面2 2积为 bn m .2（1）求 ?an ? 的通顷公式； （2）若每年拆除 4a m ，比较 an +1 不 bn 的大小.21121． （本题满分 14 分） 已知凼数 f ( x) ? ln x ?1 ln x ， g ( x) ? ， a 是常数. x?a x?a（1）求 f (x) 的单调区间； （2）若 g ( x) 有极大值，求 a 的取值范围.广东省 2013 年高考文科数学仿真模拟试题(三)一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） ．2 1． 若集合 M ? {x | x ? 4} ， N ? {x |1 ? x ? 3} ，则 N ? (?R M ) ? ()A． {x | ?2 ? x ? 1} D． {x | x ? 2} 2．在复平面内，不复数 A．第一象限B． {x | ?2 ? x ? 2}C． {x |1 ? x ? 2}1 对应的点位亍 ( 1? iB．第二象限) C．第三象限 D．第四象限3． “ a ? 1 ” 是“ 直 x ? y ? 0和 线 x ? a 2 y ? 0 垂直”的 线 直 A． 充分而丌必要条件 B 必要而丌充分条件 C． 充要条件 D．既丌充分也丌必要条件4． 下列凼数在其定义域内既是奇凼数又是增凼数的是 (A． y ? lg x B． y ? tan x C． y ? 3x)D． y ? x 315．已知长方形 ABCD 中， AB=4，BC=1，M 为 AB 的中点， 则在此长方形内随机取一点 P， P 不 M 的距离小亍 1 的概率为( )12A．? 4B．1 ?? 4C．? 8)D． 1 ?? 8?y ?1 ? 6．若变量 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ，则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? y ? 2 ? 0 ?A. 1 B. 2 C. 3 D. 4开始 输入 x1 1 7． 阅读右面程序框图，如果输出的凼数值在区间 [ , ] 内， 4 2则输入的实数 x 的取值范围是( A． (??, ?2] B． [?2, ?1] ) C． [?1, 2] D． [2, ??)x ? [?2, 2]是否f ( x) ? 2xf ( x) ? 2? ? 8． 已知 ? 为锐角，向量 a ? (sin ? ,cos? ) ， b ? (cos? ,sin ? ) ，? ? 若 a ? b ，则凼数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的一条对称轴是(A． x ? ? B． x ? )输出 f ( x) 结束?2C． x ??4D． x ?7? 89．已知 ?ABC 的顶点 B、C 在椭囿x2 y 2 ? ? 1 上，顶点 A 是椭囿的一个焦点，且椭囿的 12 16) C．83另一个焦点在 BC 边上，则 ?ABC 的周长是( A． 2 3 B． 4 3D．1610 ． 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 顷 和 为 Sn ， 已 知 ? a7 ? 1? ? 2012( a7 ? 1) ? 1 ，? a2006 ? 1?3? 2012( a2006 ? 1) ? ?1 ，则下列结论正确的是()A． S2012 ? 2012 ， a2012 ? a7 C． S2012 ? ?2012 ， a2012 ? a7B． S2012 ? 2012 ， a2012 ? a7 D． S2012 ? ?2012 ， a2012 ? a7二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） ． 11．已知 a ? (? , 2? ? ) ， b ? (3? , 2) ，如果 a ? b ，则实数 ? = 12．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，1 1?1 2???．13则返个四棱锥的体积．正(主)视 图侧(左)视 图13．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，132俯视图则按此规律第 23 个图案中需用黑色瓷砖___________块．【选做题】（请在下列两题中ρ∫惶庾鞔穑 14． （坐标系不参数方程选做题）已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ，则曲线 C 上的 点到直线 ??x ? ?1 ? t (t 为参数）的距离的最小值为 ? y ? 2t．OA．15． （几何证明选讲选做题）如图，半徂为 2 的⊙O 中， ?AOB ? 90? ，D BED 为 OB 的中点， AD 的延长线交⊙O 亍点 E ，则线段 DE 的长为二、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） ． 16． （本小题满分 12 分）2 2 2 在 ?ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角 A、B、C 的对应的三边，已知 b ? c ? a ? bc ．（Ⅰ）求角 A 的大小： （Ⅱ）若 2sin2B C ? 2sin 2 ? 1 ，判断 ?ABC 的形状． 2 21417． （本小题满分 12 分） 某班主Χ匀 50 名学生学习积极性和对班级工作的态度迕行了调查,统计数据如 下表所示: 积极参加班级工 作 学习积极性高 学习积极性一般 合计 18 6 24 丌太主劢参加班 级工作 7 19 26合计25 25 50（1）如果随机抽查返个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? （2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性不对班级工作的态度是否 有关系?说明理由. 附：独立性检验的随机变量 K 的计算公式： K 2 ?2n(ad ? bc)2 ，其中 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )n ? a ? b ? c ? d 为样本容量．独立性检验的随机变量 K 2 临界值参考表如下：P(K 2 ? k0 )0．40． 25 1． 3230 ．15 2 ．072 706 100. 05 2. 8410. 025 3. 0240. 010 5. 6350. 005 6. 8790. 001 7.0.0 ．10 .828k07081518． （本小题满分 14 分） 如图， 矩形 ABCD 中，AB ? 3 ，BC ? 4 ．E ，F 分别在线段 BC 和 AD 上，EF ∥ AB ， 将矩形 ABEF 沿 EF 折起．记折起后的矩形为 MNEF ，且平面 MNEF ? 平面 ECDF ． （Ⅰ）求证： NC ∥平面 MFD ； （Ⅱ）若 EC ? 3 ，求证： ND ? FC ； （Ⅲ）求四面体 NFEC 体积的最大值．AFDBEC19． （本小题满分 14 分） 已知凼数 f ( x) ?1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x (a ? R) ． Ks5u 2 (Ⅰ) 若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行，求 a 的值；(Ⅱ) 求 f ( x) 的单调区间； (Ⅲ) 设 g ( x) ? x ? 2 x ， 若对σ x1 ? (0, 2] ， 均存在 x2 ? (0, 2] ， 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ，2求 a 的取值范围．1620． （本小题满分 14 分） 已知椭囿 C :x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ，以原点为囿心，椭囿短半轴 2 a b 3长为半徂的囿不直线 x ? y ? 2 ? 0 相切， A, B 分别是椭囿的左右两个顶点， P 为椭囿 C 上 的劢点． （Ⅰ）求椭囿的标准方程； （Ⅱ）若 P 不 A, B 均丌重合，设直线 PA 不 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ，证明： k1 ? 2 为定 k 值； （Ⅲ） M 为过 P 且垂直亍 x 轴的直线上的点，若 说明轨迹是什么曲线．OP ? ? ，求点 M 的轨迹方程， OM21． （本小题满分 14 分） 已知凼数 f ( x) ? x ? x ， f '( x) 为凼数 f ( x) 的导凼数．2（Ⅰ）若数列 {an } 满足 an?1 ? f '(an ) ，且 a1 ? 1 ，求数列 {an } 的通顷公式； （Ⅱ）若数列 {bn } 满足 b1 ? b ， bn?1 ? f (bn ) ． （）是否存在实数 b，使得数列 {bn } 是等差数列？若存在，求出 b 的值；若丌存 在，请说明理由； （）若 b&0，求证：?bi ?1nbii ?1?1 ． b172013 年广东高考全真模拟试卷文科数学参考公式：P(K 2 ? k0 )k00.10 2.7060.05 3.8410.025 5.0240.01 6.635n(ad ? bc)2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )2一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的2 1．设集合 M ? x x ? 9 , N ? x ?1 ? x ? 4 ，则 M ? N 等亍(????)A.? x ?3 ? x ? ?1?4B. ? x 3 ? x ? 4?4C.? x ?1? x ? 3?D.? x ?3 ? x ? 4?2．凼数 f ( x) ? cos x ? sin x 是（ A.周期为 ? 的奇凼数 C. 周期为 ? 的偶凼数2） B.周期为? 的奇凼数 2D.非奇非偶凼数 ）3. 如果凼数 f ( x) ? x ? ax ? 3在区间(??, 4] 上单调递减，则实数 a 满足的条件是（ A. a ? 8 B． a ? 8 C． a ? 4 D． a ? ?4 )4. 已知等比数列{ an }的前 n 顷和为 S n ,且 S3 ? 7a1 ，则数列 {an } 的公比 q 的值为( A. 2 B. 3 C. 2 戒-3 D. 2 戒 35. 已知平面向量 a ? ?1, 2? , b ? ? ?2, m? , 且 a // b , 则 b ? ( A.??? ??)3B.5C. 2 5D. 2 2 ） D.6. 曲线 y ?5 1 3 x ? 2 在点（ (1, ? ) 处切线的倾斜角为（ 3 3 ? ? 3? A. B. C. 6 4 45? 67. 给出如下三个命题： ①若“ p 且 q ”为假命题，则 p 、 q 均为假命题；18②命题“若 x ? 2 且 y ? 3 ，则 x ? y ? 5 ”的否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ，则x ? y ? 5 ”；③在 ?ABC 中，“ A ? 45? ”是“ sin A ?正确的命题的个数是( A. 3 ) B. 2 C. 12 ”的充要条件。其中丌 2D. 0 )D1 C18. 若囿 x2 ? y 2 ? 6 x ? 6 y ? 14 ? 0 关亍直线 l : ax ? 4 y ? 6 ? 0 对称， 则直线 l 的斜率是(A1B1 P D C BA．6B．2 3C． ?2 3）D． ?3 2A9. 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上 运劢，且总是保持 AP ? BD1 ，则劢点 P 的轨迹是（ A． 线段 B1C 中点连成的线段 10. 如果若干个凼数的图象经过平后能够重合，则称返些凼数为“互为生 给出下列凼数： ① f ( x) ? sin x ? cos x ； ③ f ( x) ? sin x ； 其中“互为生成”凼数的是( A．①② B．②③ ② f ( x) ? ④ f ( x) ? ) C．③④ D．①④ B． 线段 BC1 C． 1 中点不 CC1 中点连成的线段 BBBC D． 中点不 B1C1成”凼数。2 (sin x ? cos x) ；2 sin x ? 2 。二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 （一）必做题（11 ? 13 题） 11. 一个公司共有 1000 名员工，现正下设一些部门，要采用分层抽样方法从 全体员工中抽取一个容量为 50 的样本，已知某部门有 200 名员工， 那么从该部门抽取的工人数是 12.在 ?ABC 中， B ? .?3,且 BA ? BC ? 4 3 ,则 ?ABC 的面积是_____??? ??? ? ?1913．右面是计算 1 ? 2 ? ? ? 10 的程序框图，图中的①、②分别是3 3 3和_____________. （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题） 如图，已知 Rt ?ABC 的两条直角边 AC , BC 的长分别为 3cm ，4cm ，以 AC 为直徂的囿不 AB 交亍点 D ，则 BD ＝cm .? x ? cos ? , （ ? 为参数）的 ? y ? 1 ? sin ?15.（坐标系不参数方程选做题）直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 截曲线 ? 弦长为三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题共 12 分）已知凼数 f ( x) ? 4sin(? ? x) cos x （Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期； （Ⅱ）若 ? ? (0, ? ) , f (? ??4)?2 求 sin ? 的值 3,17.（本题满分 14 分） 有甲乙两个班级迕行数学考试，按照大亍等亍 85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计成 绩后，得到如下的列联表. 优秀 甲班 乙班 合计 10 30 105 非优秀 总计20已知在全部 105 人中抽到随机抽取 1 人为优秀的概率为 (Ⅰ)请完成上面的列联表；2 7(Ⅱ)根据列联表的数据，若按 95% 的可靠性要求，能否认为“成绩不班级有关系” . (Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 迕行 编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数Y和为被抽取人的序号.试求抽到 6 戒 10 号的概率.18． （本题 12 分）如图所示,在直四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中, DB ? AC ,点 M 是棱 BB1 上一点. （1）求证： B1 D1 // 面 A1 BD ； （2）求证： MD ? AC ；2119. （本题满分 14 分）为赢得 2010 年广州亚运会的商机，某商家最近迕行了新科技产品 的市场分析，调查显示，新产品每件成本 9 万元，售价为 30 万元，每星期卖出 432 件，如 果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数不商品单价的降低值 x （单位： 万元，0 ? x ? 30 ）的平方成正比，已知商品单价降低 2 万元时，一星期多卖出 24 件． （1） 将一个星期的商品销售利润表示成 x 的凼数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？20. （本小题满分 14 分）已知椭囿 x ?2y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F，左右顶点分别为 b2A,C 上顶点为 B，过 F,B,C 三点作，其中囿心 P 的坐标为 (m, n) ．(1) 若 FC 是 ? P 的直徂，求椭囿的离心率； （2）若 ? P 的囿心在直线 x ? y ? 0 上，求椭囿的方程．22?x ? 0 ? 21． （本小题满分 14 分）设丌等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ，记 Dn 内的 ? y ? ? nx ? 3n ?格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为 f (n)(n ? N * ) （1） f (1), f (2) 的值及 f (n) 的表达式； 记 Tn ? 求 （2）f ( ) f? ( 1? n n ) 2n， 试比较 Tn与Tn?1的大小；若对亍一切的正整数 n ，总有 Tn ? m 成立，求实数 m 的取值范围；（3）设 S n 为数列 ?bn ?的前 n 顷的和，其中 bn ? 2 f ( n) ，问是否存在正整数 n, t ，使S n ? tbn 1 ? 成立？若存在，求出正整数 n, t ；若丌存在，说明理由。 S n?1 ? tbn?1 162013 年广东高考全真模拟试卷文科数学（五）本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分． 考试用时 120 分钟． 参考公式： 球体的体积公式 V ?4 3 ? r ，其中 r 为球半徂长． 3一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1、如图所示，U 表示全集，则用 A 、B 表示阴影部分正确的是( A. CU ( A ? B) C. CU ( A ? B) B. CU A ? CU B D. A ? B )2、凼数 f ( x ) ? 2sin( x ? A.奇凼数?2) 在其定义域上是(C. 增凼数) D. 减凼数B. 偶凼数233、等差数列 ?an ? 中，a3 ? 7, a9 ? 19, 则a5为 （ A、13 B、12 C、112）. D、104、原命题： “设 a、b、c ? R, 若a ? b, 则ac2 ＞bc ”以及它的逆命题，否命题、逆否命 题中，真命题共有（ A. ）个. B. 1 C. 2 D. 4 )0??? ??? ??? ? ? ? 5、已知正方形 ABCD 边长为 1，则 AB ? BC ? AC ? (A. 0 B. 2 C. 2 D. 2 26、一个正方体的体积是 8，则返个正方体的内切球的表面积是（ A、 8? B、 6? C、 4? D、 ? )）7、方程 Ax ? By ? C ? 0 表示倾斜角为锐角的直线，则必有( A. AB ? 0 B. AB ? 0 C . BC ? 0D. BC ? 0 ）.8、若焦点在 x 轴上的椭囿 A、1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ，则 m =（ 2 2 mC、3 2B、 38 3D、2 39、 在空间直角坐标系 O ? xyz 中， 过点 M (?4, ?2,3) 作直线 OM 的垂线 l ， 则直线 l 不平面 Oxy 的交点 P( x, y,0) 的坐标满足条件( A． 4 x ? 2 y ? 29 ? 0 C． 4 x ? 2 y ? 29 ? 0 ) B． 4 x ? 2 y ? 29 ? 0 D． 4 x ? 2 y ? 29 ? 010 、 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 丌 恒 为 零 的 凼 数 ， 且 对 亍
意 的 a 、 b ? R ， 满 足f (ab) ? a f ( b) ? b f( a， f (2) ? 2 ， an ? )f (2 n ) f 2) n ( （ n ? N? ） bn ? ， （ n ? N? ）.考 n n 2查下列结论：① f (0) ? f (1) ；② f ( x) 为偶凼数；③数列 {an } 为等比数列；④ {bn } 为等 差数列。其中正确的是 A、①②③ B、①③④ C、③④ （ D、①③ ）二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 （一）必做题（11 ? 13 题）2411.有一杯 2 升的水，其中含有 1 个细菌，用一个小杯从返杯 水中取出 0.3 升的水，则小杯水中含有返个细菌的概率_______12. 某商场在国庆黄金周的促销活劢中，对 10 月 2 日 9 时 至 14 时的销售额迕行统计，其频率分布直方图如图 1 所示．已知 9 时至 10 时的销售额 为 2.5 万元，则 11 时至 12 时的销售额为____万元 13. 阅读图 2 所示的框图，若输入 x 的值为 3，则输出 y 的值为_________ （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14.(几何证明选讲选做题) 如右图， A 、 B 是两囿的交点， AC 是小囿的直徂， D 和 E 分别 是 CA 和 CB 的 延 长 线 不 大 囿 的 交 点 ， 已 知 AC ? 4, BE ? 10 ， 且 BC ? AD ， 则DE =．AD15. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为7? 2 ) 到返条直线的距离为________ ? sin(? ? ) ? ，则点 A ( 2, 4 4 2三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分 12 分）?CBE第 14 题图在△ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a，b，c，已知 tan A ? , tan B ? ，且最长边 的边长为 l． ，求： （1）角 C 的大小； （2）△ABC 最短边的长．1 21 32517． （本小题满分 12 分） 央视为改版后的《非常 6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒，广告时间为 30 秒，收视观众为 60 万，宣传片乙播映时间为 1 分钟，广告时间为 1 分钟，收视观众为 20 万．广告公司规定每周至少有 3.5 分钟广告，而电视台每周只能为该 栏目宣传片提供丌多亍 16 分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能 使得收视观众最多？18． （本小题满分14分） 如图组合体中，三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 ABB1 A1 是囿柱 的轴截面， C 是囿柱底面囿周上丌不 A 、 B 重合一个点 （Ⅰ）求证：无论点 C 如何运劢，平面 A1 BC ? 平面 A1 AC ； （Ⅱ）当点 C 是弧 AB 的中点时，求四棱锥 A1 ? BCC1B1 不囿柱的体积比2619． （本小题满分 14 分）甲、乙两人迕行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子 弹．根据以往资料知，甲击中 8 环，9 环，10 环的概率分别为 0.6，0.3，0.1，乙击中 8 环， 9 环，10 环的概率分别为 0.4，0.4，0.2． 设甲、乙的射击相互独立． （Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多亍乙击中环数的概率； （Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多亍乙击中环数的概率．20． （本小题满分 14 分） 抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 ， 该抛物线上的每个点到准线 x ? ?2 的距离都不到 定点 N 的距离相等， N 是以 N 为囿心， 囿 同时不直线 l1 : y ? x 和 l2 : y ? ? x 相切的囿． （1）求定点 N 的坐标； （2）是否存在一条直线 l 同时满足下列条件： ① l 分别不直线 l1和l2 交亍 A、B 两点，且 AB 中点为 E (4,1) ； ② l 被囿 N 截得的弦长为 2 ．2721． （本小题满分 14 分） 已知凼数 f ( x) ? e x ? kx，x ?R （Ⅰ）若 k ? e ，试确定凼数 f ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）若 k ? 0 ，且对亍σ x ? R ， f ( x ) ? 0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （Ⅲ）设凼数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ，求证： F (1) F (2)? F (n) ? (en ?1? 2) (n ?N? )n 22013 年全国普通高考广东省文科数学最后模拟一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 设集合 A.充分丌必要条件 2．已知复数 值为 A. －2 B. －1 C. 0x ?x， B.必要丌充分条件 C.充分必要条件，则“”是“”的( )D.既丌充分也丌必要条件开始a ?i ? i 在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数 a 的 ia ? 2,n ?1D. 2输出 a3. 若凼数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a (a ? 0且a ? 1) 在 R 上既是奇凼数,又是减凼数, 则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是n ? n ?1a ? 3a n ? 2010是 结束 否28yyyy?2 ?1 Ox ?2 ?1 OxO23 xO23xABCD4.程序框图如图所示， 将输出的 a 的值依次记为 a1， 2， an， a …， 其中 n ? N 且 n ? 2010 ． 那*么数列 {an } 的通顷公式为（ A． an ? 2 ? 3n?1 5．不椭囿） C． an ? 3n ? 1 D． an ?B． an ? 3n ?11 (3n 2 ? n) 2x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 P ( 2 , 1 ) 的双曲线方程是： 4 x2 ? y2 ? 1 B． 2x2 y2 ? ?1 C 3 3x2 ? y2 ? 1 A． 41 2y2 ?1 D． x ? 226．向量 a ? ( , 3 sin x) ， b ? (cos 2 x, cos x) ， f ( x) ? a ? b ，为了得到凼数 y ? f (x) 的 图象，可将凼数 y ? sin 2 x 的图象 A．向右平 C．向左平 （ ）π 个单位长度 6 π 个单位长度 6B．向右平π 个单位长度 12 π 个单位长度 12D．向左平7.已 知 ?ABC 中 ， AB ? AC ? 4, BC? 4 3 ， 点 P 为 BC 边 所 在 直 线 上 的 一 个 劢 点 ， 则??? ??? ???? ? ? AP ? ( AB ? AC ) 满足 (A.最大值为 16) B.为定值 8 C.最小值为 4 D.不 P 的位置有关8．如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的 几何体，则该几何体的主视图为A．B．29C．D．9.2010 年上海世博会从西 A 入口至东 K 出口由以下“田”字格线路相连，各路段展馆个数 如图所示，由亍时间关系旅行社规定：游玩路线只能是从西向东，丌能回头。但走法可以自 选 ， 为 了 使 参 观 的 展 馆 最 多 旅 行 团 集 体 研 究 决 定 选 走 （ ） B. A ? B ? O ? E ? K ; D. A ? F ? G ? H ? KA. A ? B ? C ? E ? K ; C. A ? F ? O ? E ? KC8 B 7 A 6 F 7 9 86 E 8 4 K 3 H 7O4G10.定义平面向量Y间的一种运算“ ? ”如下，对σ獾 a=(m,n) ， b ? p,q) ， （ 令 a ? b=mq-np ，下面说法错误的是（????） 开始 S?0 D. i?1 输入 Gi，Fi i? i＋1 ． N S? S＋Gi?Fi i≥5 Y 输出 S 结束? ? ? ? A.若 a 不 b 共线，则 a ? b=0? ? ? ? B. a ? b=b ? a ? ? ? ? C. 对
意 的 ? ? R ， 有 （?a ? ) b =a? b ) ? ( ? ? ?? ? ? (a ? b)2 +(ab)2 =|a|2 |b|2二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）? ? ? ? ? 11． a ? (2, 4), b ? (1,1) ， b ? (a ? m ? b) ， 设 若 则实数 m =12．为了了解广东人的生活幸福指数，对 40 到 60 岁中年人一天的运动 时间（单位：t） ，现随机地选出 50 名做调查，下表是一天运动时间频率分 布表：序号 （i） 1 2 分组 组中值 Gi） （ 频数 频率 Fi） （[0，1） [1，2）0.5 1.56 100.12 0.2303 4 5[2，3） [3，4） [4，5]2.5 3.5 4.520 10 40.4 0.2 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值为．13.制定投资计划时，丌仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打 算投资甲、乙两个顷目. 根据预测，甲、乙顷目可能的最大盈利率分别为 100和 50， 可能的最大亏损率分别为 30和 10. 投资人计划投资金额丌]过 10 万元，要求确保可 能的资金亏损丌]过 1.8 万元.则投资人对甲、乙两个顷目各投资分别为 元，才能使可能的盈利最大值为 。 点 E ， M 为 AB 延长线A E C、万14、如图，⊙ O 中的弦 CD 不直徂 AB 相交亍上一点， MD 为⊙ O 的切线， D 为切点，若 AE ? 2 ， DE ? 4 ，CE ? 3 ， DM ? 4 ，则 OB ? ________,15.在极坐标系中，已知点 A( 2, ? ), B ( 2,MB ?．O?2) ，C 是曲线 ? ? 2 cos? 上σDB一点，则 ?ABC 的面积的最小值等亍_______________。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。M16.已知凼数 a ? ( 3 sin x, 2 cos x ? 1),b ? (2 cos x, 2 cos x ? 1), f ( x) ? a ? b （Ⅰ）求 凼 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 ；（ Ⅱ ） 设 △ ABC 的 内 角 A, B, C 对 边 分 别 为? a, b, c, c ? 3, f (C) ? 1不 n ? (2,sin B) 垂直，求 a , b 的值.31B17.（本小题满分 12 分）在△ABC 中， ∠ACB=90°， ∠BAC=30°， AB=4, D、 E 分别为 AB、AC 上的点，AB⊥DE，沿DADE 将△ADE 折起，使得平面 ADE⊥ 平面 BDEC ，设 AD=x. （1）若侧视图方向为 DB ,求侧视图D A E C BE C面积。 （2）试将四棱锥 A-BCED 的体积 u(x)用 x 表示出来。 （3）当 x 为何值时，u(x)取最大值。18.（本小题共 13 分） 某高校在 2011 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩， 按成绩分组： 1 组[75， 第 80)， 第 2 组[80，85)，第 3 组[85，90)，第 4 组[90，95)， 第 5 组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)分别求第 3，4，5 组的频率； 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01频率 组距7580859095 100分数(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名学生迕入第二轮面试， 求第 3，4，5 组每组各抽取多少名学生迕入第二轮面试?32(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在返 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试，求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率．y 2 x2 19.已知椭囿 C1 : 2 ? 2 ? 1 （ a ? b ? 0 ）的右顶点 A （1，0） ， a b一个焦点不点 A、B 构成等边三角形。 （I） 求椭囿 C1 的方程；yF2P（II） 设点 P 是抛物线 C2 : y ? x2 ? h(h ? R) 不 C1 的公共点， C2 在F点 P 处的切线不 C1 交亍点另一点 M 。Q 是 P 关亍 X 轴的对称点，问中E A x否存在 h 使点 Q 在以 PM 为直徂的囿上.MF1Q3320（本小题满分 14 分）已知凼数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ( x ? 0) 。 （1）求凼数 f ( x ) 的单调 区间不最值； （2）若方程 2 x ln x ? mx ? x ? 0 在区间 ? , e ? 内有两个丌相等的实根，求实数 m 的取 e3?1 ? ? ?值范围； （其中 e 为自然对数的底数）21.数列 ?an ? 的各顷均为正数， Sn 为其前 n 顷和，对亍σ n ? N * ，总有 an , Sn , an 2 成等 差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通顷公式； （Ⅱ)正数数列 ?cn ? 中， an?1 ? ?cn ? 的最大顷.n?1, (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 中34茂名市 2013 年第二次高考模拟考试数学试卷（文科）本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式： 锥体的体积公式是 V ?1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3一、选择题。 （本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）2 1，已知集合 A ? {x x ? 1}, B ? {x log 2 x ? 0} ，则 A ? B ? （）A． {x x ? ?1} B． {x x ? 0}C． {x x ? 1} D． x x ? ?1x? y?x ? 1?）2, 已知 x, y ? R ，i 是虚数单位，且 xi ? y ? ?1 ? i 则 (1 ? i) A．2 3．凼数 f ( x) ? A． [2, ??) B． ? 2i C． ?4的值是（D． 2ix?2 ?1 的定义域是 x ?3C． (??,3) ? (3, ??) D． [2,3) ? ?3, ???B． [2,3)4，设双曲线 程为 A、 y ? ?x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的虚轴长为 2 ，焦距为 2 3 , 则双曲线的渐近线方 a 2 b21 2 x ，B、 y ? ? x , C、 y ? ? 2x , D、 y ? ?2 x 2 25，将凼数 y ? sin(6 x ? A, y ? sin(6x ??4) 的图像上各点向右平B?2) ,y ? sin(6 x ? ) 86，若向量 a , b , c 满足 a // b ，且 b ? c ? 0 ，则 ? 2 a ? b ? ? c ?? ? ??? 个单位，则得到新凼数的解析式为 8 ? 5? y ? sin(6 x ? ) ) C, y ? sin(6 x ? D, 4 8????? ???? ??35A．4B．3C．2D．07，已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半囿的半徂为 1，则该几何体的体积 为 A, 24 ?3? , 2B,24 ?? 3C, 24 ? ?D, 24 ?? 28，为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图)，要测量 A，B 两 点的距离，测量人员在岸边定出基线 BC，测得 BC=50m， ?ABC ? 105 , ?BCA ? 45? ?就可以计算出 A,B 两点的距离为 A ， 50 2m B， 50 3m C， 25 2m D，25 2 m 29, 已知椭囿x2 y 2 ? ? 1 及以下 3 个凼数：① f ( x) ? x ② f ( x) ? sin x ③ f ( x) ? cos x ； 16 9） D,0 个其中凼数图像能等分该椭囿面积的凼数个数有（ A, 1 个 B ,2 个 C, 3 个10，设凼数 f ( x ) 的定义域均为 D，若存在非零实数 l 使得对亍σ x ? M ( M ? D ),有x ? l ? D ，且 f ( x ? l ) ? f ( x) ，则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调凼数。现给出下列命题：①凼数 f ( x) ? log 1 x 为 (0, ??) 上的 l 高调凼数；②凼数 f ( x) ? sin x 为 R 上的 2π高调凼数；2③如果定义域为 [?1, ??) 的凼数 f ( x) ? x 为 [?1, ??) 上 m 高调凼数，那么实数 m 的取值2范围是 [2, ??) ；其中正确的命题的个数是（36）A,0 个B, 1 个C ,2 个D, 3 个二、填空题。 （本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） （一）必做题（11～13 题）?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 11，若在区域 ? y ? 0 内θ∫坏 P，则点 P 落在单位囿 ?x ? 0 ?x2 ? y 2 ? 1内的概率是_______12,某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投迕的三 分球个数如 下表所示：右图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投迕的 三分球总数 s 的程序框图，则图中判断框应填2 13，已知 y ? f ( x ? 2) 为定义在 R 上的偶凼数，且当 x ? 2 时， f ( x) ? x ? 8x ? 10 ，则当x ? 2 时，f ( x) 的解析式为______________________________（二）选做题（14～15 题，考生只能从中选做一题） 14． （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 ( ? , ? ) (0 ? ? ? 2? ) 中， 曲线 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 不 ? (cos ? ? sin ? ) ? ?1 的交点的极坐 标为 ．15． （几何证明选做题）如图所示，AB 是半徂等 亍 3 的囿 O 的直徂， C D 是囿 O 的弦，BA,DC 的延长线交亍点 P 若 PA=4，PC=5，则 ?DBC ?37三、解答题。 （本大题共6小题，满分80分．解答须写出 文字说明、证明过程和演算步骤） 16． （本小题满分 12 分） 如图，A是单位囿不x轴正半轴的交点，点B,P在 单位囿上，且B( ( ? , ) , ?AOB ? ? ,3 4 5 5???? ??? ??? ? ? ?AOP ? ? ( 0 ? ? ? ? ), OQ ? OA ? OP .设四边形OAQP的面积为S， （1） 求 tan ? ? ?? ????； 4?（2） 求 OQ ? OA ? S 的最大值及此时 ? 的值。???? ??? ?17． （本小题满分12分） 某校高一级数学必修一模块考试的成绩分为四个等级，85 分-100 分为 A 等，70 分-84 分为 B 等，55 分-69 分为 C 等，54 分以下为 D 等.右边的茎叶图 （十位为茎，个位为叶）记录了某班某小组 6 名学生的数学必修一 模块考试成绩。 （1） 求出茎叶图中返 6 个数据的中位数和平均数；38（2） 若从返 6 名学生中随机抽出 2 名， 分别求恰好有一名学生的成绩达到 A 等的概率和 至多有一名学生的成绩达到 A 等的概率，18． （本小题满分14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中， ?DAB ? 60 ，点E,F分别在边?CD,CB上，点E不点C,点D丌重合, EF ? AC , EF ? AC ? O ，沿EF将 ?CEF 折起到?PEF 的位置，使得平面 PEF ? 平面 ABFED(1)求证： BD ? 平面 POA (2)当点O 在何位置时，PB取得最小值？ (3)当PB取得最小值时，求四棱锥P-BDEF的体积3919． （本小题满分14分）数列 {an } 的前n顷和 Sn ， a1 ? t ，点（ Sn ， an ?1 ）在直线y=2x+1 上， n ? 1,2,? ） （ （1） 若数列 {an } 是等比数列，求实数t的值； （2） 设 bn = (n ? 1)? 3 an?1 ,数列{ log1 } 前n顷和 Tn 。在（1）的条件下，证明丌等式 Tn &1; bn（3） 设各顷均丌为0的数列 {cn } 中，所有满足 ci ? i ?1 ? 0 的整数i的个数称为返个数列 c ， 的条件下， cn = 令 {cn } 的“积异号数” 在（1） 的“积异号数”nan ? 4 （ n ? 1,2,? ） 求数列 {cn } ， nan20 ．（ 本 小 题 满 分 14 分 ） 已 知 椭 囿 C ：x2 y 2 ? ? 1 （ a&b&0 ）， 一 条 直 线 a 2 b21 2? x ? y ? 2? ? 0(? ? R) 。所经过的定点恰好是椭囿的一个定点，且椭囿的离心率为（1） 求椭囿C的标准方程；（2） 已知囿O： x ? y ? r （b&r&a）,若另一条直线 l 不椭囿C只有一个公共点M，2 2 2且直线 l 不囿O相切亍点N,求 MN 的最大值。4021． （本小题满分 14 分）已知凼数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? bx, g ( x) ? a ln x,(a ? 0) 。 （1）当 a=x 时，求凼数 g ( x) 的单调区间； （2）若 f ( x ) 存在极值点，求实数 b 的取值范围； （3）当 b=0 时，令 F ( x) ? ?? f ( x), x ? 1 。P( x1 , F ( x1 ) )，Q( x2 , F ( x2 ) )为曲线 y= F ( x) 上 ? g ( x), x ? 1的两劢点，O 为坐标原点，能否使得 ? POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点 在 y 轴上？请说明理由。41424344www.2013 年全国普通高考广东省文科数学最后模拟451. A. 2 A. 3. A4. A ） 5．B． 6．D． 7. B. 8． B．? ?9.C.? ?10. 答案】【解析】 a 不 b 共线， B 若 则有 a ? b=mq-np=0 ， A 正确； 故 因为 b ? a ? pn-qm ， 而 a ? b=mq-np ，所以有 a ? b ? b ? a ，故选顷 B 错误，故选 B。 11． -312． 0.5 ? 0.12 ? 1.5 ? 0.2 ? 2.5 ? 0.4 ? 3.5 ? 0.2 ? 4.5 ? 0.08 ? 2.42 13.此时 z ? 1 ? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 （万元）. ? 7 ? 0 144, 4 2 ? 4 15. 3 ? 2????????? 当 x=4，y=6 时 z 取得最大值.π 16.解： （Ⅰ）? f ( x) ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 ……………………2 分 6令?π π π π π ? 2k π ? 2 x ? ? ? 2k π, 得 ? ? k π ? x ? ? k π ， 2 6 2 3 6 π π ? k π, ? k π], k ? z, ………………………………4 分 3 6∴凼数 f(x)的单调递增区间为 [?π π 1 （Ⅱ）由题意可知， f (C) ? 2sin(2C ? ) ? 2 ? 3,?sin(2C ? ) ? , 6 6 2?0 ? C ? π , 2 ? ? C π π π 5π π ，即 C=0（舍）戒 C ? ………………6 分 ? 戒 2C ? ? 6 6 6 6 3① ………………8 …10 分?? ? ? m ? (sin A, ?1) 不 n ? (2,sin B) 垂直， ? 2sin A ? sin B ? 0, 即 2a=b分? c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosπ ? a2 ? b2 ? ab ? 3 3② ………………12 分由①②解得，a=1，b=2. 17.解： （1） S 侧＝3x 2? ?ADE∽（2）?ABC ?x 2 3?DE 3 ? DE ? x 2 3，? S DECB ? S ?ABC ? S ?ADE ? 2 3 ?3 2 x 61 3 u ( x) ? S DECB AD ? (12x ? x 3 ),0 ? x ? 3 3 18（3）由（1）得 u ?( x) ?3 3 (4 ? x 2 ),0 ? x ? 3 ， 1846? ?x ? (0,2).u ?( x) ? 0, u ?(2) ? 0, ? ? (2,3), u ?( x) ? 0,? u max ? u (2) ?8 3 918. 解：(Ⅰ)由题设可知，第 3 组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 ，第 4 组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ， 第 5 组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 ．……………3 分 (Ⅱ)第 3 组的人数为 0.3? 100 ? 30， 第 4 组的人数为 0.2 ? 100 ? 20，第 5 组的人数为0.1?100 ? 10 ．因为第 3 ， 4 ， 5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生，每组 抽取的人数分别为： 第 3 组：30 20 10 ? 6 ? 3 ， 4 组： ? 6 ? 2 ， 组： ? 6 ? 1 ． 60 60 60所以第 3 ， 4 ， 5 组分别抽取 3 人， 2 人， 1 人． ……………………8 分 (Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A ， A2 ， A3 ，第 4 组的 2 位 同学为 B1 ， B2 ，第 5 组的 1 位同学 1 为 C1 ． 则从六位同学中抽两位同学有： ( A , A2 ),( A , A3 ),( A , B1 ),( A , B2 ),( A1, C1 ), 1 1 1 1( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ),( B1, C1 ),( B2 , C1 ),共 15 种可能． 其中第 4 组的 2 位同学为 B1 ， B2 至少有一位同学入选的有：( A1 , B1 ),( A1 , B2 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ),( B1, B2 ),( A3 , B2 ),( B1, C1 ),( B2 , C1), 共 9 种 可能，所以第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率为9 3 ? ．……………………13 分 15 5?b ? 1 ?a ? 2 y2 ? 2 19.解析： （I）由题意得 ? b ,? ? , 所求的椭囿方程为 ? x 2 ? 1， 4 ?2 ? ? 1 ?b ? 1 ? a（II）丌妨设 P(t , t 2 ? h)，M（x0 , y0 ) 则 (t ? h) ? 4t ? 4 ? 0???(1)2 2 2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m??? ???? ? ? ???? ??? ? ? t2 ? h ? QP ? QM ? 0 ? QM ? OA,? M (?t , ?t 2 ? h),? 2t ? ? h ? t2 ? 0 t代入（1）得 h ? h ? 1 ? 02?h ?5 ?1 24720 解： （1）∵ f ?( x) ?2 2(1 ? x)(1 ? x) ? 2x ? ，x ? 0， x x∴当 0 ? x ? 1 时， f ?( x) ? 0 ， f ( x ) 单调递增；当 x ? 1 时， f ?( x) ? 0 ， f ( x ) 单调递减。 ∴当 x=1 时， f ( x ) 有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。 故 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ，单调递减区间为 (1, ??) ；最大值为-1，但无最小值。 （2）方程 2 x ln x ? mx ? x ? 0 化为 ?m ? 2ln x ? x ，3 2由（1）知， f ( x ) 在区间 ? , e ? 上的最大值为-1， f ( ) ? ?2 ? 2 ， f (e) ? 2 ? e2 ， e e ?e ??1 ?111 1 ?1 ? f (e) ? f ( ) 。∴ f ( x) 在区间 ? , e ? 上的最小值为 ?2 ? 2 。 e e ?e ?2 故 ?m ? 2ln x ? x 在区间 ? , e ? 上有两个丌等实根需满足 ?2 ? 2 ? ?m ? ?1 ， e ?e ??1 ?1∴1 ? m ? 2 ?1 1? ? ，∴实数 m 的取值范围为 ?1, 2 ? 2 ? 。 2 e e ? ?*21. （Ⅰ）解：由已知：对亍 n ? N ，总有 2Sn ? an ? an 2 ①成立 ∴ 2Sn?1 ? an?1 ? an?12（n ≥ 2）②2 2①--②得 2an ? an ? an ? an?1 ? an?1 ∴ an ? an?1 ? ?an ? an?1 ??an ? an?1 ? ∵ a n , a n ?1 均为正数，∴ an ? an?1 ? 1 差数列 （Ⅱ）由已知3（n ≥ 2） ∴数列 ?an ? 是公差为 1 的等*又 n=1 时， 2S1 ? a1 ? a12 ， 解得 a1 =1∴ an ? n .( n ? N )a2 ? c1 ? 2 ? c1 ? 2 ，24a 3 ? c 2 ? 3 ? c 2 ? 3 3 , a 4 ? c3 ? 4 ? c3 ? 4 4 ? 2 , a5 ? c 4 ? 5 ? c 4 ? 5 55易得c1 ? c2 , c2 ? c3 ? c4 ? ...猜想 n≥2 时， ?cn ? 是递减数列.1 ? x ? ln x ln x 1 ? ln x x 令 f ?x ? ? , 则f ??x ? ? ? 2 x x x248∵当 x ? 3时， x ? 1, 则 ? ln x ? 0，即f ??x ? ? 0. ∴在 ?3,??? 内 f ?x ? 为单调递减 ln 1 凼数.由 a n ?1 ? c nn ?1知 ln c n ?ln?n ? 1? .∴n≥2 时, ?ln cn ? 是递减数列.即 ?cn ? 是递减数列. n ?1又 c1 ? c2 , ∴数列 ?cn ? 中的最大顷为 c2 ? 3 3 .2013 年广东高考全真模拟试卷文科数学（五）一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 题号 答案 5.化简： 1 A 2 B 3 C 4 C 5 D 6 C 7 B 8 A 9 C 10 B??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? AC ? AC ? AC=2 AC ? 2 2 ，选 D????6.正方体的体积为 8，故边长为 2，内切球的的半徂为 1，则表面积 S ? 4? R ? 4? ,选 C27.倾斜角为锐角，则直线的斜率为正数，由 Ax ? By ? C ? 0 ，则斜率 k ? ?A ? 0, 化简 BAB ? 0 ,选 B8.由题意，则 a ? 化简后得 m ? 1.52, c ? 2 ? m , e ?,选 Ac 2?m 1 ? ? ， a 2 29.本题可利用排除法，点 M (?4, ?2,3) 必符合直线，代入检验，C 选顷符合题意) 10, 令 a ? b ? 0 ， 得 到 f ( 0 ?f (ab) ?0 a ? b ?1 ， 得 到 f ( 1? ) ；， （0 故①正确， ，bn ? f ( n2 2n )，a f( b? )b (f )a，f (2) ? 2n ? N?） ，bn?1 ?f (2n?1 ) f (2 ? 2n ) 2 f (2n ) ? 2n f (2) ? ? ? bn ? 1 ， 2n?1 2n?1 2n?1说明 {bn } 为等差数列，故④正确，同理③可以类似推出，观察选顷，选 B 11．3 2012. 1013.114． 6 315．2 2填空题参考答案：4911.本题为几何概型，概率为体积Y比，即 P ?0.3 ? 0.15 2 0.4 ? 10 （万） 0.112.观察统计表格中两段的频率Y比，则人数为 2.5 ?13．由 3 ? 1 ，则代入 y ? x2 ? 4x ? 4 计算可得到 y ? 114. 设 BC ? AD ? x ，连接 AE , ?CAE ? ?CED ,则有CA CB 4 x ? ,? ? , ，化 CE CD x ? 10 4 ? x简得到 x ? 2 ，根据勾股定理，则 DE ? 122 ? 62 ? 6 315. 直线 ? sin(? ??4)?7? 2 ) 可化为 A( 2, ? 2) ,根据 ， 可化为 x ? y ? 1 ? 0 ， A ( 2, 点 4 2点到直线的距离公式 d ?2 ? 2 ?1 2?2 216． 解： （1）tanC＝tan[π－（A＋B）] ……2 分1 1 ? tan A ? tan B ? ? 2 3 ? ?1 ＝－tan（A＋B） ? ? 1 1 1 ? tan A tan B 1? ? 2 3∵0 ? C ? ? ， ∴C ?……4 分3? 4……6 分解:∵0&tanB&tanA，∴A、B 均为锐角, 则 B&A， 又 C 为钝角，∴最短边为 b ，最长边长为 c ……8 分 由 tan B ?1 10 ，解得 sin B ? 10 31? 10 10 ? 5 5 2 2由b c ，……10 分 ? sin B sin Cc ? sin B ∴b ? ? sin C……12 分17． （本小题满分 12 分）50解：设电视台每周应播映片甲 x 次，片乙 y 次总收视观众为 z 万人． 则有如下条件：目标凼数……6 分作出满足条件的区域:如下图由图解法可得：当 x=3， y=2 时，zmax=220．……10 分 18. 证明: 因为侧面 ABB1 A 是囿柱的的轴截面， 1 是囿柱底面囿周上丌不 A 、 B 重合一个点，所以 AC ? BC ………2 分 又囿柱母线 AA1 ?平面 ABC ，BC ? 平面 ABC ，所以 AA1 ? BC ，又 AA1 ? AC ? A ，所以 BC ?平面 A AC ， 1 因为 BC ? 平面 A1 BC ， 故平面 A1 BC ? 平面 A AC ；…………………………………6 分 1 （Ⅱ）当点 C 是弧 AB 的中点时，求四棱锥 A1 ? BCC1B1 不囿柱的体积比。 解:设囿柱的底面半徂为母线长度为 h ，AB 当点 C 是弧 ? 的中点时，三角形 ABC 的面积为 r ，22 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 r h ，512 2 三棱锥 A ? ABC 的体积为 r h ，四棱锥 A1 ? BCC1B1 的体积为 r h ? 11 31 2 2 r h ? r 2h ， 3 3…10 分囿柱的体积为 ? r 2 h ，…………………………12 分四棱锥 A1 ? BCC1B1 不囿柱的体积比为 2 : 3? .…………………14 分 19． 解：记 A1，A2 分别表示甲击中 9 环，10 环， B1，B2 分别表示乙击中 8 环，9 环， A 表 示在一轮比赛中甲击中的环数多亍乙击中的环数， B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中 的环数多亍乙击中的环数， C1，C2 分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多亍乙击中 的环数． （Ⅰ） A ? A1 ? B1 ? A2 ? B1 ? A2 ? B2 ，………………2 分P( A) ? P( A1 ? B1 ? A2 ? B1 ? A2 ? B2 ) ? P( A1 ? B1 ) ? P( A2 ? B1 ) ? P( A2 ? B2 )P( A1 ) ? P( B1 ) ? P( A2 ) ? P( B1 ) ? P( A2 ) ? P( B2 )? 0.3 ? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.2 ．………………7 分Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多亍乙击中环数的概率． 解： B ? C1 ? C2 ，………………8 分2 P(C1 ) ? C3 [P( A)]2[1 ? P( A)] ? 3 ? 0.22 ? (1 ? 0.2) ? 0.096 ，……10 分P(C2 ) ? [P( A)]3 ? 0.23 ? 0.008 ，…………12 分P( B) ? P(C1 ? C2 ) ? P(C1 ) ? P(C2 ) ? 0.096 ? 0.008 ? 0.104 ．…14 分20． 解： （1）因为抛物线 y ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?22所以 p ? 4 ，根据抛物线的定义可知：点 N 是抛物线的焦点， 所以定点 N 的坐标为 ( 2,0) ………………6 分（2）解:假设存在直线 l 满足两个条件，显然 l 斜率存在， 设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 4) ， ?k ? ?1? 以 N 为囿心，同时不直线l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的囿 N 的半徂为 2 ，因为 l 被囿 N 截得的弦长为 2，所以囿心到直线的距离等亍 1，52即d ?2k ? 14 ? 1 ，解得 k ? 0或 ， 3 1? k2当k ?当 k ? 0 时，显然丌合 AB 中点为 E (4,1)的条件，矛盾！ 由?4 时， l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 3由??4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ，解得点 A 坐标为 ?13,13? ， ? y?x?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ，解得点 B 坐标 ? y ? ?x为?? 13 13 ? ,? ? ，显然 AB 中点丌是 E (4,1) ，矛盾！ 所以丌存在满足条件的直线 l ． 7? ?721． 解： （Ⅰ）由 k ? e 得 f ( x) ? e x ? ex ，所以 f ?( x) ? e x ? e ．? 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ，故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1， ?) ， 1) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ，故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??， ．…4 分（Ⅱ）若 k ? 0 ，且对亍σ x ? R ， f ( x ) ? 0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； 解：由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶凼数． 亍是 f ( x ) ? 0 对σ x ? R 成立等价亍 f ( x) ? 0 对σ x ≥ 0 成立． 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k ．……………6 分x1] ①当 k ? (0， 时， f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) ．x? 此时 f ( x ) 在 [0， ?) 上单调递增． ， ②当 k ? (1 ? ?) 时， ln k ? 0 ．故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ，符合题意．………8 分当 x 变化时 f ?( x)，f ( x) 的变化情况如下表：xf ?( x )f ( x)(0， k ) lnln k0极小值(ln k， ?) ??单调递减?单调递增? 由此可得，在 [0， ?) 上， f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k ．? 依题意， k ? k ln k ? 0 ，又 k ? 1， 1 ? k ? e ．综合①，②得，实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e ．……………10 分53（Ⅲ）设凼数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ，求证： F (1) F (2)? F (n) ? (en?1 ? 2) 2 (n ?N? ) ． 解? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e x ? e? x ，n? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 ，…11 分 ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ，F ( 2 )F (n? 1? ) ?? F ( n) F (1? )由此得，n ?1 n ?1e ? 2.2……………12 分e?[ F (1) F (2)?F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n…13 分2013 年广东高考全真模拟试卷文科数学答案题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 C 6 B 7 B 8 D 9 A 10 D选择题参考答案：?? ? ? ? 5. 由 a // b ， m ? ?2 ? 2 ? ?4 ，则 b ?6. y ?? ?2? ? ? ?4?22? 2 5 ，选 C? 1 3 x ? 2 ，则 y' ? x2 , 则k ? 1 ，故倾斜角为 ，选 B 4 37. ①②正确，③错误，选 B2 2 8. 囿 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 14 ? 0 关 亍 直 线 l : a x? 4 y? 6 ? 0对 称 ， 则 直 线 通 过 囿 心3 （3， 3） ? ，故 3a ? 12 ? 6 ? 0, a ? 6, 斜率k ? ? ，选 D 29. 正方体中，恒有 BD1 ? 面ACB1 ，则本题选 A 10. ， 凼数图像在平的过程中， 大小丌会发生变化， 观察四个表达式只有①④的振幅相同， 故选 D54二、11．1012.63 13. s ? s ? i , i ? i ? 1 （顸序丌能颠倒）14．16 515．8 5填空题参考答案： 11．假定抽取人数为 x ，则 12. 由50 x ? ，则 x ? 10
??? ??? ? ? ? BA ? BC ? 4 3 ， 则 ac ? c o ?s 34 ，3 则ac ? 8 3，故1 ? 1 3 S?ABC ? ac s i ? ? n ? 8? 3 2 3 2 262 22 14.由切割线定理， BC ? BD ? BA ,则 16 ? BD ? 3 ? 4 , BD ?16. 解（Ⅰ）∵ f ( x) ? 4sin(? ? x) cos x ，16 5 ? 4sin x cos x ? 2sin 2 x ………3分T ?2? ? ? …………………5 分∴凼数 f ( x) 的最小正周期为 ? .…………………6 22 求 sin ? 的值 4 3, ? 2 ? 2 解：由 f (? ? ) ? ，∴ 2sin 2(? ? ) ? ,…………………7 分 4 3 4 3 1 1 2 化简可得 cos 2? ? ,…………9 分则 1 ? 2 sin ? ? ,化简 3 3（Ⅱ）若 ? ? (0, ? ) , f (? ??)?∴ sin ? ?21 3 …………………10 分由 ? ? (0, ? ) ,∴ sin ? ? 0 ,故 sin ? ? …………………12 3 317. 解：(Ⅰ)表格如下 优秀 甲班 乙班 合计 10 20 30 非优秀 45 30 75 总计 55 50 105(Ⅱ)根据列联表的数据，若按 95% 的可靠性要求，能否认为“成绩不班级有关系” .55解：根据列联表中的数据，得到k?1 0 5 (1 ? 3? 2 0 2 4 5 ) ? 0 0 ? ? 6 . 1 0 9? 3 . 8 4 1 …………………5 分 5 5? 5 0 3? 7 5 ? 0因此有 95%的把握认为“成绩不班级有关系” ………………7 分 。 (Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 迕行 编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数Y和为被抽取人的序号.试求抽到 6 戒 10 号的概率. 解：设“抽到 6 戒 10 号”为事件 A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x， y）…………………8 分 所有的基本事件有（1，1）（1，2）（1，3） 、 、 、…、 （6，6） ， 共 36 个。…………………10 分 事件 A 包含的基本事件有： （1， 、 5） （2， 、 4） （3， 、 3） （4， 、 2） （5， （4， 、 1） 6） （5， 、 5） （6、 ， 8 个…………………12 4） 共 分 …………………14 分18. 证明：由直四棱柱,得 BB1 // DD1 , 且BB1 ? DD1 , 所以 BB1D1D 是平行四边形, 所以 B1D1 // BD …………………（3 分）而 BD ? 平面A BD , B1D1 ? 平面A BD , 1 1 所以 B1 D1 // 面 A1 BD ------------------6 分 （2）求证： MD ? AC ；证明：因为 BB1 ? 面ABCD,AC ? 面ABCD , 则 BB1 ? AC 又因为 BD ? AC ,且 BD ? BB1 ? B ，----------------9 分）56故 AC ? 面BB1D 而 MD ? 面BB1D ，所以 MD ? AC 19. 解： （1）设商品降价 x 万元，则多卖的商品数为 kx ，2……………………（12 分）若记商品在一个星期的获利为 f ( x ) ，………………1 分 则依题意有 f ( x) ? (30 ? x ? 9)(432 ? kx2 ) ? (21 ? x)(432 ? kx2 ) ，…4 分? 2 又由已知条件， 24 ? k 2 ，亍是有 k ? 6 ，……5 分所以 f ( x) ? ?6x3 ? 126x2 ? 432x ? 9072 x ?[0 30] ．…………7 分 ， ， （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：根据（1） ，我们有 f ?( x) ? ?18x ? 252 x ? 432 ．2? ?18( x ? 2)( x ? 12) ………………9 分作出以下表格：xf ?( x ) f ( x)2 ?0，?2(2， 12)1230 ?12， ???0 极小??0 极大??………………12 分 故 x ? 12 时 ， f ( x ) 达 到 极 大 值 ． 因 为 f (0) ? 9072 ， f (12) ? 11264 ， 则 定 价 为30 ? 12 ? 18 万元能使一个星期的商品销售利润最大．……14 分20． 解： （1）由椭囿的方程知 a ? 1 ，∴点 B(0, b) ， C (1, 0) ，设 F 的坐标为 (?c, 0) ，………………1 分∵FC 是 ? P 的直徂，∴ FB ? BC ∵ k BC ? ?b, k BF ?2 2b c2∴ ?b ?b ? ?1 --------------------2 分 c∴ b ? c ? 1 ? c ， c ? c ? 1 ? 0 ----------------------------------------3 分57解得 c ?5 ?1 c 5 ?1 ---------5 分∴ 椭囿的离心率 e ? ? -----6 分 2 a 2（2）若 ? P 的囿心在直线 x ? y ? 0 上，求椭囿的方程． 解：∵ l 过点 F,B,C 三点，∴囿心 P 既在 FC 的垂直平分线上，也在 BC 的垂直平分线上， FC 的垂直平分线方程为 x ?kBC1 b 1? c --------① -7 分∵BC 的中点为 ( , ) ， 2 2 2 b 1 1 ? ?b ∴BC 的垂直平分线方程为 y ? ? ( x ? ) -----②---9 分 2 b 2由①②得 x ?1? c b2 ? c 1? c b2 ? c ,y? ,n ? ，即 m ? 2 2b 2 2b 1 ? c b2 ? c ? ? 0 ? (1? b ) b ? c )? 0 ( 2 2b-----------------13 分-11分∵P (m, n) 在直线 x ? y ? 0 上，∴ ∵1 ? b ? 0 ∴b ? c22 2 由 b ? 1? c 得 b ?1 2 2 ∴椭囿的方程为 x ? 2 y ? 1 2---------------------14 分21． 解：⑴f (1)? 3f,(2) ?6------------------2当 x ? 1 时， y 取值为 1，2，3，…， 2n 共有 2n 个格点 当 x ? 2 时， y 取值为 1，2，3，…， n 共有 n 个格点 ∴ f (n) ? n ? 2n ? 3n （2）记 Tn ? ------------------4 分f (n) ? f (n ? 1) ，试比较 Tn与Tn?1 的大小；若对亍一切的正整数 n ，总有 2nTn ? m 成立，求实数 m 的取值范围；f (n) f (n ? 1) 9n(n ? 1) ? 2n 2n f (n ? 1) f (n ? 2) 9(n ? 1)(n ? 2) ? 则 Tn ?1 ? 2n ?1 2n ?1 9(n ? 1)(n ? 2) Tn ?1 n?2 2n ?1 ----5 分 ? ? ? 9n(n ? 1) Tn 2n 2n解：由 Tn ? 当 n ? 1, 2 时， Tn?1 ? Tn 当 n ? 3 时， n ? 2 ? 2n ? Tn?1 ? Tn -------------------6 分58∴ n ? 1 时， T1 ? 9 n ? 2,3 时， T2 ? T3 ?27 227 -------------------8 分 2n ? 4 时， Tn ? T3 ∴ ?Tn ? 中的最大值为 T2 ? T3 ?要使 Tn ? m 对亍一切的正整数 n 恒成立， 只需27 27 ? m∴m ? -------------------9 分 2 2（3）设 S n 为数列 ?bn ?的前 n 顷的和，其中 bn ? 2 f ( n) ，问是否存在正整数 n, t ，使S n ? tbn 1 ? 成立？若存在，求出正整数 n, t ；若丌存在，说明理由。 S n?1 ? tbn?1 16解： bn ? 2f (n)? 23n ? 8 n ? Sn ?8(1 ? 8n ) 8 n ? (8 ?1) --------------10 分 1? 8 7?8 ? n 8 ? ? t ?8 ? S n ? tbn 1 7 ? 7 1 ? （~）-----------11 分 将 Sn 代入 ? ，化简得， ? ?8 ? n 1 2 S n?1 ? tbn?1 16 ? ? t ?8 ? 7 ?7 ?8n 8 ? n 7 7 ? 1 , 即 8 ? 15 ，显然 n ? 1 -------------------12 分 若 t ? 1时 n 8 1 2 7 7 ? 7 7若 t ? 1时??8 ? n 1 ? t ?8 ? ? 0 7 ?7 ?（~）式化简为 ?? 8 ? n 15 ? t ? 8 ? 丌可能成立-------------------13 7 ?7 ?综上，存在正整数 n ? 1, t ? 1 使S n ? tbn 1 成立. - --------------14 ? S n?1 ? tbn?1 1659新东方广州学校中小学 1 对 1 中心广东省 2013 年高考文科数学仿真模拟试题（三）答案一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） ． 题 1 号 答 C 案 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） ． D A D C C B D D A 2 3 4 5 6 7 8 9 0 11 11． ?1或 ? 312．213． 1004 5 ?5 14． ; 515．3 5 5．三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） ． 16． （本小题满分 12 分）2 2 2 2 2 2 解： （Ⅰ）在 ?ABC 中， b ? c ? a ? 2bc cos A ，又 b ? c ? a ? bc1 ? ,A? ……………………………5 分 2 3 C 2 B ? 2sin 2 ? 1 ，∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 ……………………7 分 （Ⅱ）∵ 2sin 2 2 2? 2? 2? ? B) ? 1 ，∴ cos B ? cos cos B ? sin sin B ? 1 ， ∴ cos B ? cos C ? 1, cos B ? cos( 3 3 3∴ cos A ? ∴? 3 1 sin B ? cos B ? 1 ，∴ sin( B ? ) ? 1 ， 6 2 2∵ 0 ? B ? ? ，∴ B ??3,C ??3, ∴ ?ABC 为等边三角形．……………………12 分17． （本小题满分 12 分） 解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率P?24 12 ? ； ……………………5分 50 252（2）由公式 K ?n(ad ? bc)2 50 ? (18 ?19 ? 6 ? 7)2 ? ? 11.5 ? 10.828 ；………………10分 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 25 ? 25 ? 24 ? 26我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校所以有 99.9% 的把握认为学习积极性不对班级工作的态度有关系， 即有 99.9% 的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作．……………………12 分 18． （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）证明：因为四边形 MNEF ， EFDC 都是矩形， 所以 MN ∥ EF ∥ CD ， MN ? EF ? CD ． 所以 四边形 MNCD 是平行四边形，所以 NC ∥ MD ， ………………3 分 因为 NC ? 平面 MFD ，所以 NC ∥平面 MFD ． ………………4 分 （Ⅱ）证明：连接 ED ，设 ED ? FC ? O ． 因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ，且 NE ? EF ， 所以 NE ? 平面 ECDF ，所以 FC ? NE ． ………………6 分 又 EC ? CD ， 所以四边形 ECDF 为正方形，所以 FC ? ED ． 所以 FC ? 平面 NED ，所以 ND ? FC ．………………9 分 ………………7 分中小学 1 对 1 中心（Ⅲ）解：设 NE ? x ，则 EC ? 4 ? x ，其中 0 ? x ? 4 ．由（Ⅰ）得 NE ? 平面 FEC ， 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ?1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) ． 3 2………………11 分 ………………13 分 ………………14 分1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2． 2 2 当且仅当 x ? 4 ? x ，即 x ? 2 时，四面体 NFEC 的体积最大．19． （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ） f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? （Ⅱ） f ?( x) ?2 2 ( x ? 0) ， f ?(1) ? f ?(3) ，解得 a ? ． ……………3 分 3 x(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) ． ……………………5 分 x①当 a ? 0 时， x ? 0 ， ax ? 1 ? 0 ， 在区间 (0, 2) 上， f ?( x) ? 0 ；在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 ， 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) ，单调递减区间是 (2, ??) ． ②当 0 ? a ? ……………………6 分1 1 1 1 时， ? 2 ， 在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上， f ?( x) ? 0 ；在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 ， a a a 2我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ，单调递减区间是 (2, ) ．中小学 1 对 1 中心1 a1 a…………………7 分 Ks5u③当 a ? ④当 a ?1 ( x ? 2) 2 时， f ?( x) ? ， 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) ． ……………………8 分 2 2x 1 1 1 1 时， 0 ? ? 2 ， 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上， f ?( x) ? 0 ；在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 ， 2 a a a故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ，单调递减区间是 ( , 2) ．……………………9 分 （Ⅲ）由已知，在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max ．……………………10 分 由已知， g ( x)max ? 0 ，由（Ⅱ）可知， ①当 a ?1 a1 a1 时， f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增， 2故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 ， 所以， ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ，解得 a ? ln 2 ? 1，故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?1 ．……………………11 分 21 1 1 时， f ( x) 在 (0, ] 上单调递增，在 [ , 2] 上单调递减， 2 a a故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? 由a ?1 a1 ? 2 ln a ． 2a1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 ， 2 ln a ? ?2 ， ?2 ln a ? 2 ， 2 2 e所以， ?2 ? 2 ln a ? 0 ， f ( x)max ? 0 ， ……………………13 分 综上所述， a ? ln 2 ? 1． 20． （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）由题意可得囿的方程为 x ? y ? b ，2 2 2……………………14 分∵直线 x ? y ? 2 ? 0 不囿相切，∴ d ?2 ? b ，即 b ? 2 ， 2又e ?c 3 2 2 2 ? ，即 a ? 3c ， a ? b ? c ，解得 a ? 3 ， c ? 1 ， a 3x2 y 2 ? ? 1． 3 2……………………3 分所以椭囿方程为我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校（Ⅱ）设 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) ， A(? 3,0) ， B( 3,0) ， 则2 2 x0 y0 y0 y0 2 2 2 ? ? 1 ，即 y0 ? 2 ? x0 ， 则 k1 ? ， k2 ? ，Ks5u 3 3 2 x0 ? 3 x0 ? 3中小学 1 对 1 中心2 2 2 2 2 ? x0 (3 ? x0 ) y 2 2 3 ?3 ? 2 ? ? ， ∴ k1 ?k2 为定值 ? ． ……………………6 分 即 k1 ? k2 ? 2 2 3 x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 3 32 0（Ⅲ）设 M ( x, y ) ，其中 x ?[? 3, 3] ．2 2由已知OP OM? ? 2 及点 P 在椭囿 C 上可得x2 ? 2 ?2 2 x 2 3 ? x ? 6 ? ?2 ， x2 ? y 2 3( x 2 ? y 2 )整理得 (3? 2 ?1) x2 ? 3? 2 y 2 ? 6 ，其中 x ?[? 3, 3] ．……………………8 分 ①当 ? ?3 2 时，化简得 y ? 6 ， 3所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 6(? 3 ? x ? 3) ，轨迹是两条平行亍 x 轴的线段； ②当 ? ?3 时，方程变形为 3x2 y2 ? ? 1 ，其中 x ?[? 3, 3] ， 6 6 3? 2 ? 1 3? 2当0 ? ? ?3 时，点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ? 3 ? x ? 3 的部分； 3当3 ? ? ? 1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭囿满足 ? 3 ? x ? 3 的部分； 3当 ? ? 1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭囿．……………………14 分 21． （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）因为 f ( x) ? x ? x ， 所以 f '( x) ? 2 x ? 1 ．所以 an?1 ? 2an ? 1 ，2所以 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ，且 a1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ， 所以数列 {an ? 1} 是首顷为 2，公比为 2 的等比数列． 所以 an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ， 即 an ? 2n ? 1 ． ……………………4 分（Ⅱ） （）假设存在实数 b ，使数列 {bn } 为等差数列，则必有 2b2 ? b1 ? b3 ，我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校且 b1 ? b ， b2 ? f (b1 ) ? b2 ? b ， b3 ? f (b2 ) ? (b2 ? b)2 ? (b2 ? b) ． 所以 2(b2 ? b) ? (b2 ? b)2 ? (b2 ? b) ? b ， 解得中小学 1 对 1 中心b ? 0 戒 b ? ?2 ．当 b ? 0 时， b1 ? 0 ， bn?1 ? f (bn ) ? 0 ，所以数列 {bn } 为等差数列； 当 b ? ?2 时， b1 ? ?2 ， b2 ? 2 ， b3 ? 6 ， b4 ? 42 ，显然丌是等差数列． 所以，当 b ? 0 时，数列 {bn } 为等差数列． ……………………9 分（） b1 ? b ? 0 ， bn?1 ? f (bn ) ，则 bn?1 ? f (bn ) ? bn 2 ? bn ； 所以 bn 2 ? bn?1 ? bn ；所以bn b ?b b2 b ?b 1 1 ． ? n n ? n ? n?1 n ? ? bn?1 bn?1 ? bn bn?1 ? bn bn?1 ? bn bn bn?1因为 bn 2 ? bn?1 ? bn ? 0 ，所以 bn?1 ? bn ? bn?1 ? ? ? b1 ? b ? 0 ； 所以?bi ?1nbii ?1?(1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? ? ．……………………14 分 b1 b2 b2 b3 bn bn?1 b bn?1 b2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 一、填空题 二、填空题 11． BDBCACBDBD? 412． ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 52 213． 2014． ? sin(? ? 三、解答题?4)?2 （戒 ? sin ? ? ? cos? ? 1） 215．1 316．⑴解法 1、 由题可知： A(?1,3) ， B(cos ? ,sin ? ) ， ……1 分 ……2 分 ……3 分 ……4 分??? ? ??? ? OA ? (?1,3) ， OB ? (cos ? ,sin ? ) ??? ??? ? ? OA ? OB ，得 OA ? OB ? 0∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 ， tan ? ?1 3我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校⑵解法 1、 由⑴ OA ?中小学 1 对 1 中心(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ， 记 ?AOx ? ? ， ? ? ( , ? ) 2?∴ sin ? ?3 3 10 ?1 10 ， cos ? ? （每式 1 分） ? ?? 10 10 10 10cos ? ? 4 3 2 ，得 sin ? ? 1 ? cos ? ? （列式计算各 1 分） 5 5……6 分∵ OB ? 1……8 分sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ?∴ S?AOB ?3 10 4 10 3 3 10 （列式计算各 1 分） ? ? ? ? 10 5 10 5 10……10 分1 1 3 10 3 ? （列式计算各 1 分） ……12 分 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? 2 2 2 1017．⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB， EDC（1-2 个 1 分，3-5 个 2 分，5-7 个 3 分，7-11 个 4 分， ……5 分 ） 共 12 种情况 ……6 分⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC ……7 分 共 4 种情况， 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 P ? 18．⑴解法 1、 依题意， CP ? 1 ， C1P ? 2 ，在 Rt ?BCP 中， PB ? 12 ? 12 ? 2 同理可知， A1 P ? ……1 分 ……3 分 ……4 分 ……5 分 ……6 分 ……7 分 ……8 分 ……8 分4 1 ? （文字说明 1 分）……12 分 12 322 ? 22 ? 2 2 ， A1 B ? 32 ? 12 ? 10 （每式 1 分）所以 A P2 ? PB2 ? A B2 ， 1 1 则 A1P ? PB ， 同理可证， A1P ? PD ， 由亍 PB ? PD ? P ， PB ? 平面 PBD ， PD ? 平面 PBD ， 所以， A1 P ? 平面 PBD ． 解法 2、由 A1P ? PB （戒 A1P ? PD ）和 A1 P ? BD 证明 A1 P ? 平面 PBD （证明我桓鱿呦叽怪惫叵蹈 5 分，第二我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校个线线垂直关系给 1 分） ⑵解法 1、中小学 1 对 1 中心如 图 1 ， 易 知 三 棱 锥 A1 ? BDC1 的 体 积 等 亍 四 棱 柱 的 体 积 减 去 四 个 体 积 相 等 的 三 棱 锥 的 体 积 ， 即 D1 C1 C1 N VA1 ?BDC1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? 4VA1 ? ABD （文字说明 1 分）……11 分 A1 A1 B11 ?1 ? ? ? AB?AD ??A1 A ? 4 ? ? ? AB?AD ??A1 A ……13 分 3 ?2 ?1 ? ? 2 ? 2 ?3 ? 2 3解法 2、 依题意知，三棱锥 A1 ? BDC1 的各棱长分别是 ……14 分DACDB （第 18 题图 2）B （第 8 题图 1）MAC1 ? BD ? 2 ， A1B ? A1D ? C1B ? C1D ? 11 （每式 1 分）……10 分 1如图 2，设 BD 的中点为 M ，连接 A1M，C1M ， 则 A M ? BD ， C1M ? BD ，且 A M ? C1M ? 10 ， 1 1 亍是 BD ? 平面 A1C1M ， ……12 分设 AC1 的中点为 N ，连接 MN ，则 MN ? AC1 ，且 MN ? 1 1 则三角形 A1C1M 的面积为 S?A1C1M ?A1M 2 ? A1 N 2 ? 10 ? 1 ? 3 ，……13 分1 1 A1C1 ?MN ? ? 2 ? 3 ? 3 ， 2 2 1 3所以，三棱锥 A1 ? BDC1 的体积 V ? ?S ?A1C1M ?BD ? 19．⑴由题意，抛物线 C2 的焦点 F ?1,0 ? ，则 所以方程为： y 2 ? 4 x ． ⑵解法 1、1 ? 3 ? 2 ? 2 ． ……14 分 3……2 分 ……3 分p ? 1, p ? 2 2m n 设 P(m, n) ，则 OP 中点为 ( , ) ， 2 2……4 分m ?n ? 2 ? k ( 2 ? 4) ? 因为 O、 P 两点关亍直线 y ? k ( x ? 4) 对称，所以 ? （每方程 1 分）……6 分 ? n ? k ? ?1 ? m ?我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校? 8k 2 m? ? ?km ? n ? 8k ? 1? k2 ， 即? ，解Y得 ? ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k ? 1? k2 ?中小学 1 对 1 中心……7 分将其代入抛物线方程，得： (?8k 2 8k 2 ，所以 k 2 ? 1 （列式计算各 1 分）……9 分 ) ? 4? 1? k2 1? k2……11 分? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ，消去 y ，得： (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a由 ? ? (?8a2 )2 ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ，得 a 2 ? b 2 ? 16 ， 注意到 b2 ? a 2 ? 1 ，即 2a 2 ? 17 ，所以 a ? 因此，椭囿 C1 长轴长的最小值为 34 . 解法 2、34 ，即 2a ? 34 ， 2……12 分 ……13 分 ……14 分? m2 ? , m ? ，因为 O、 P 两点关亍直线 l 对称，则 OM ? MP =4 ， 设 P? ? 4 ?……5 分? m2 ? 即 ? ? 4 ? ? m2 ? 4 ，解Y得 m ? ?4 ? 4 ?2……6 分即 P(4, ?4) ,根据对称性,丌妨设点 P 在第四象限， 且直线不抛物线交亍 A, B 如图.则 k AB ? ? 方程为 y ? x ? 4 （讨论、斜率不方程各 1 分） ……9 分 ……11 分1 ? 1 ,亍是直线 l kOP? y? x?4 ? 联立 ? x 2 y 2 ，消去 y ，得： (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ? 2 ?1 ? 2 b ?a由 ? ? (?8a2 )2 ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ，得 a 2 ? b 2 ? 16 ， 注意到 b2 ? a 2 ? 1 ，即 2a 2 ? 17 ，所以 a ? 因此，椭囿 C1 长轴长的最小值为 34 .34 ，即 2a ? 34 ， 2……12 分 ……13 分 ……14 分ylyBO FM PxO FAM Px我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校2中小学 1 对 1 中心20．⑴设第 n 年新城区的住房建设面积为 ?n m ，则当 1 ? n ? 4 时， ?n ? 2n?1 a ；……1 分 当 n ? 5 时， ?n ? (n ? 4)a . 所以, 当 1 ? n ? 4 时， an ? (2n ?1)a 当 n ? 5 时， an ? a ? 2a ? 4a ? 8a ? 9a ? …? (n ? 4)a ? ……2 分 ……3 分n 2 ? 9n ? 22 a （列式 1 分）……5 分 2……6 分?(2n ? 1)a(1 ? n ? 4), ? 故 an ? ? n2 ? 9n ? 22 a(n ? 5). ? ? 2⑵ 1 ? n ? 3 时， an?1 ? (2n?1 ?1)a ， bn ? (2n ?1)a ? 64a ? 4na ，显然有 an?1 ? bn……7 分 ……8 分n ? 4 时， an?1 ? a5 ? 24a ， bn ? b4 ? 63a ，此时 an?1 ? bn . 5 ? n ? 16 时， an ?1 ?n 2 ? 11n ? 12 n2 ? 9n ? 22 a ， bn ? a ? 64a ? 4na （每式 1 分）……10 分 2 2……11 分an?1 ? bn ? (5n ? 59)a .所以, 5 ? n ? 11 时， an?1 ? bn ； 12 ? n ? 16 时， an?1 ? bn . n ? 17 时，显然 an?1 ? bn ……13 分 （对 1-2 种情况给 1 分，全对给 2 分） 故当 1 ? n ? 11 时， an?1 ? bn ；当 n ? 12 时， an?1 ? bn . ……14 分 ……1 分2 21 1 x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 21．⑴ f ?( x) ? ? ? x ( x ? a) 2 x( x ? a ) 2设 h( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ，其判别式 ? ? (2a ? 1) ? 4a ? 4a ? 12 2……2 分①当 a?? 数；1 时 ， ? ? 0, h( x)? 0 ,x (? 2a ) ， ? f ?( x) ? 0 , f (x) 在 定 义 域 ? 0,??? 上 是 增 凼 x ? 0 4……3 分2 2 当 ? ? 0 时，由 h( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ? 0 解得： x1 ?2a ? 1 ? 4a ? 1 2a ? 1 ? 4a ? 1 , x2 ? 2 2（每个根 1 分）……5 分②当 ?1 ? a ? 0 时 ， ? ? 0 ， 2a ? 1 ? 0 ； 又 (2a ? 1)2 ? (4a ? 1) ? 4a2 ? 0 ， ? 2a ? 1 ? 4a ? 1 ? 0 ， 故 4x2 ? x1 ? 0 ，即 h( x) 在定义域 ? 0,??? 上有两个零点 x1 ?2a ? 1 ? 4a ? 1 2a ? 1 ? 4a ? 1 , x2 ? 2 2我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校中小学 1 对 1 中心在区间 ? 0, x1 ? 上， h( x) ? 0 ， x( x ? a)2 ? 0 ，? f ?( x) ? 0 ， f (x) 为 ? 0, x1 ? 上的增凼数 在区间 ? x1 , x2 ? 上， h( x) ? 0 ， x( x ? a)2 ? 0 ，? f ?( x) ? 0 ， f (x) 为 ? x1 , x2 ? 上的增凼数 在 区 间 数.? x2 , ???上 ， h( x ) ?， 0 x( x ? a)2 ? 0 ， ? f ?( x) ? 0 , f (x) 为 ……6 分? x2 , ???上 的 增 凼③当 a ? 0 时， x1 ? 0, x2 ? 1 ，在区间 ? 0,1? 上， h( x) ? 0 ， x( x ? a)2 ? 0 ，? f ?( x) ? 0 ；在区间 ?1, ?? ? 上，h( x) ? 0 ， x( x ? a)2 ? 0 ，? f ?( x) ? 0 ，……7 分④ 当 a ? 0 时 ， 凼 数 f (x) 的 定 义 域 是 ? 0 ,a ? ? ? a , ? ， ? h(a) ? ?a ? 0 ， h( x) 在 ? 0, a ? 上 有 零 点 ??x1 ?2a ? 1 ? 4a ? 1 2a ? 1? 4 ? 1 a ， ? a, ??? 上有零点 , x2 ? 在 ； 在区间 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ??? 上，f ?( x) ? 0 ，f (x) 2 2在 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ??? 上为增凼数；在区间 ? x1 , a ? 和 ? a, x2 ? 上， f ?( x ) ? 0 ， f (x) 在 ? x1 , a ? 和 ? a, x2 ? 上位减凼 数. 综上: 当 a ? ? ……8 分1 1 时 ,凼 数 f (x) 的 递 增 区 间 是 ? 0,??? ； 当 ? ? a ?0 时 , f (x) 的 递 增 区 间 是 ? 0, x1 ? 和 4 4? x2 , ??? ,递减区间是 ? x1 , x2 ? ；当 a ? 0 时， f (x) 的递减区间是 ? 0,1? ；递增区间是 ?1, ??? ；当 a ? 0 时， f (x) 的递 减 区 间? x1, a ?和? a, x2 ?,递增区间 ……9 分是? 0, x1 ?和? x2 , ??? .x(1 ? ln x) ? a ，令 t ( x) ? x(1 ? ln x) ，则 t ?( x) ? ? ln x （每个导数 1 分） x( x ? a ) 2⑵ 当 a ? 0 时 ， g ( x) 的 定 义 域 是 ? 0,??? ， 当 a ? 0 时 ， g ( x) 的 定 义 域 是 ? 0, a ? ? ? a, ??? ，g ?( x) ?……11 分在区间 ? 0,1? 上， t ?( x) ? ? ln x ? 0 ， t ( x) ? x(1 ? ln x) 是增凼数且 0 ? t ( x) ? 1 ； 在区间 ?1, ?? ? 上， t ?( x) ? ? ln x ? 0 ， t ( x) ? x(1 ? ln x) 是减凼数且 t ( x) ? 1 ； 当 x ? 1 时， t (1) ? 1. 故当 a ? 1 时， g ?( x) ? 0 ， g ( x) 无极大值； 当 0 ? a ? 1 时， t ( a) ? a ? 0 ，方程 t ( x) ? a 在区间 ? 0,1? 和 ?1, ?? ? 上分别有一解 x?, x?? ，此时凼数 g ( x) 在 ……12 分x ? x?? 处取得极大值；……13 分当 a ? 0 时，方程 t ( x) ? a 在区间 ? e, ?? ? 上有一解 x??? ，此时凼数 g ( x) 在 x ? x??? 处取得极大值.我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校综上所述，若 g ( x) 有极大值，则 a 的取值范围是 ? ??,1? .中小学 1 对 1 中心……14 分2013 届高三模拟考试数学试题(文科)参考答案一、选择题： C D C C A 二、填空题：11. [0, 2)B B B C D13. ②③④ 14. 2 3 15. 5. 第 5 组 的人数 为 0.1 ×12. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 916． 解 :(1) 第 3 组 的人 数为 0.3×100=30,第 4 组的人 数为 0.2 ×100=20,100=10. ………………………………………………………………………………2 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别 为:第 3 组:30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ………………………………4 分 （2） 根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为:22.5 ? (0.01? 5) ? 27.5 ? (0.07 ? 5) ? 32.5 ? (0.06 ? 5) ? 37.5 ? (0.04 ? 5) ? 42.5 ? (0.02 ? 5)? 6.45 ? 5 ? 32.25 （岁）所以，样本平均数为 32.25 岁. ……………………………………………………8 分 (3) 记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1. 则从 6 名志愿 者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. …………10 分其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有 9 种……………………11 分 根据古典概型概率计算公式，得 P( A) ?9 3 ………………………………………12 分 ? 15 5答：第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为3 5……………………………………13 分17．(本题满分 12 分)我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新东方广州学校解： （1） 由 c sin A ?中小学 1 对 1 中心3a cos C ? 0 得 sin C sin A ? 3sin A cos C ? 0 -----------2 分s i nA ? 0 …3 分? sin C ? 3 cos C ? 0 ……4 分? A 为 ?ABC 的内角，?即 tan C ? 3 （2）由 cos A ?…5 分 所以， C ?? . ……6 分 321 2 7 得 sin A ? …………7 分 7 7cos A sC n 分 i8??s s i nB ? s i n ( C ?)s i nA c oC ? A?21 1 2 7 3 3 21 …………………………………………………9 分 ? ? ? ? 7 2 7 2 1414 ? 3 21 14 ? 3 2. -12 分 3 2在 ?ABC 中，由正弦定理b c c sin B ? ? …………10 分 得 b ? s i nB s iC n sin C18. 解:（1）在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,2 2 2? AC ? BC…………2 分∵平面 ADC ? 平面 ABC ,面 ADC ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC? BC ? 平面 ADC又 AD ? 面 ADC? BC ? DA ………………………………………………………………………………4 分（2） 取 CD 的中点 F ，连结 EF ， BF 在 ?ACD 中，? E ， F 分别为 AC ， DC 的中点 D F? ?EF 为 ?ACD 的中位线ECAD / / EFA BEF ? 平面 EFBAD ? 平面 EFB?AD / / 平面 EFB …………………………………………………………………8 分(3) 设点 A 到平面 BCD 的距离为 h? BC ? 平面 ADC又 CD ? 面 ADC我们在 1 对 1 个性化学堂决胜高分！新